Задачи как найти векторное произведение

Решения типовых задач по теме: «Векторное произведение векторов»
Задача № 1. Даны модули векторов vec{a} и vec{b}, left|vec{a} right|=8,; left|vec{b} right|=15, и их скалярное произведение vec{a}vec{b}=96. Вычислить модуль векторного произведения left|[vec{a}vec{b}] right|.
Решение. Так как модуль векторного произведения двух векторов равен произведению модулей данных векторов, умноженному на синус угла между векторами, то необходимо знать синус угла между векторами vec{a} и vec{b}.
Воспользуемся скалярным произведением данных векторов:

vec{a}vec{b}=left|vec{a} right|left|vec{b} right|cos hat{(vec{a}vec{b})},

откуда

cos hat{(vec{a}vec{b})}=frac{vec{a}vec{b}}{|vec{a}||vec{b}|}=frac{96}{8cdot 15}=frac{4}{5}.

Тогда

sin hat{(vec{a}vec{b})}=sqrt{1-frac{16}{25}}=frac{3}{5}.

Следовательно,

left|[vec{a}vec{b}] right|=left|vec{a} right|left|vec{b} right|sin hat{(vec{a}vec{b})}=8cdot 15cdot frac{3}{5}=72.

Ответ: left|[vec{a}vec{b}] right|=72.
Задача № 2. Какому условию должны удовлетворять векторы vec{a} и vec{b}, чтобы векторы 3vec{a}+vec{b} и vec{a}-3vec{b} были коллинеарны?
Решения этих задач подробно изложено в следующем видео


Задача № 3. Векторы vec{a}, vec{b} и vec{c} удовлетворяют условию vec{a}+vec{b}+vec{c}. Доказать, что left[vec{a}vec{b} right]=left[vec{c} vec{a}right]=left[vec{b}vec{c} right].
Задача № 4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах vec{AB}=6vec{a}-3vec{b} и vec{AD}=3vec{a}+2vec{b}, еслиleft|vec{a} right|=3,; left|vec{b} right|=5 и left(hat{vec{a}vec{b}} right)=frac{pi }{6}.
Указания. Площадь параллелограмма численно равна длине вектора, полученного в результате векторного умножения двух данных векторов, т. е.

S_{ABCD}=left|vec{AB}times vec{AD} right|=left|(6vec{a}-3vec{b})(3vec{a}+2vec{b}) right|.

Ответ: S параллелограмма= 157,5 кв. ед.
Решения этих задач подробно изложено в следующем видео

Задача № 5. Зная стороны треугольника vec{AB}={-3; -2; 6} и vec{BC}= {- 2; 4; 4}, вычислить длину высоты vec{AD}.
Решение. I способ приведен в видеоуроке
II способ. Указания. Найти Пр_{vec{BO}}vec{BA} и затем по теореме Пифагора вычислить высоту vec{AD}.
Ответ: AD=frac{8}{3}sqrt{5} ед. длины.
Решение этой задачи подробно изложено в следующем видео

Задача № 6. Решить самостоятельно. Вычислить длины диагоналей и площадь параллелограмма, построенного на векторах: vec{a}{6;0;2} и vec{b}{1,5; 2; 1}.
Указания. Одна из диагоналей параллелограмма будет равна сумме векторов сторон, а другая — разности векторов сторон параллелограмма (рис.1).
vekt090

Рис.1

vec{OC}=vec{a}+vec{b},; vec{AB}=vec{b}-vec{a}.; S=left|vec{a}times vec{b} right|.

Ответ: длины диагоналей frac{1}{2}sqrt{277} и frac{1}{2}sqrt{101}, площадь параллелограмма 13 кв.ед.
Задача № 7. Зная, что векторы vec{a}=alpha vec{i}+7vec{j}+3vec{k} и vec{b}= vec{i}+beta vec{j}+2vec{k} коллинеарны, вычислить коэффициенты α и β.
Указания. Если векторы а и b коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю, vec{a}times vec{b}=0.
Ответ: alpha =frac{3}{2};; beta =frac{14}{3}
Решения этих задач подробно изложено в следующем видео

Векторное произведение векторов

Определение

Определение

Векторным произведением векторов $ overline{a} $ и $ overline{b} $ является вектор $ overline{c} $, который расположен перпендикулярно к плоскости, образуемой векторами $ overline{a} $ и $ overline{b} $. Само произведение обозначается как $ [overline{a},overline{b}] $, либо $ overline{a} times overline{b} $.

векторное произведение векторов

Векторное произведение векторов, формула которого зависит от исходных данных задачи, можно найти двумя способами.

Формула

Формула 1

Если известен синус угла между векторами $ overline{a} $ и $ overline{b} $, то найти векторное произведение векторов можно по формуле:

$$ [overline{a},overline{b}] = |overline{a}| cdot |overline{b}| cdot sin (overline{a},overline{b}) $$

Формула 2

В случае когда векторы $ overline{a} $ и $ overline{b} $ заданы в координатной форме, то их произведение определяется по формуле:

$$ overline{a} times overline{b} = begin{vmatrix} overline{i} & overline{j} & overline{k} \ a_1 & a_2 & a_3 \ b_1 & b_2 & b_3 end{vmatrix} $$

где векторы $ overline{i},overline{j},overline{k} $ называются единичными векторами соответствующих осей $ Ox, Oy, Oz $.

Определитель во второй формуле можно раскрыть по первой строке:

$$ overline{a} times overline{b} = begin{vmatrix} overline{i} & overline{j} & overline{k} \ a_1 & a_2 & a_3 \ b_1 & b_2 & b_3 end{vmatrix} = overline{i} (a_2 b_3 — a_3 b_2) — overline{j} (a_1 b_3 — a_3 b_1) + overline{k} (a_1 b_2 — a_2 b_1) $$

Итого вторая формула приобретает окончательный короткий вид:

$$ overline{a} times overline{b} = (a_2 b_3 — a_3 b_2; a_3 b_1 — a_1 b_3; a_1 b_2 — a_2 b_1) $$

Свойства

  1. При изменении порядка множителей меняется знак на противоположный: $$ [overline{a},overline{b}] = -[overline{b},overline{a}] $$
  2. Вынос константы за знак произведения: $$ lambda [overline{a},overline{b}] = [lambda overline{a}, overline{b}] = [overline{a}, lambda overline{b}] $$
  3. $$ [overline{a}+overline{b}, overline{c}] = [overline{a},overline{c}] + [overline{b}, overline{c}] $$

Примеры решений

Пример 1

Найти векторное произведение векторов, заданных координатами

$$ overline{a} = (2,1,-3) $$ $$ overline{b} = (1,2,-1) $$

Решение

Составляем определитель, первая строка которого состоит из единичных векторов, а вторая и третья из координат векторов $ overline{a} $ и $ overline{b} $:

$$ overline{a} times overline{b} = begin{vmatrix} overline{i} & overline{j} & overline{k} \ 2&1&-3\1&2&-1 end{vmatrix} = overline{i} (-1+6) — overline{j}(-2+3) + overline{k}(4-1) = 5overline{i} — overline{j} + 3overline{k} $$

Полученный ответ можно записать в удобном виде:

$$ overline{a} times overline{b} = (5, -1, 3) $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ overline{a} times overline{b} = (5, -1, 3) $$

Геометрический смысл

  • Модуль векторного произведения векторов $ overline{a} $ и $ overline{b} $ в геометрическом смысле равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах: $$ S_{parall} = |overline{a} times overline{b}| $$
  • Половина этого модуля это площадь треугольника: $$ S_Delta = frac{1}{2} |overline{a} times overline{b} | $$
  • Если векторное произведение равно нулю $ overline{a} times overline{b} = 0 $, то векторы коллинеарны.

 

    Пример 2
    Найти площадь треугольника по заданным векторам $$ overline{a} = (2,1,3) $$ $$ overline{b} = (-1,2,1) $$
    Решение

    Используя геометрический смысл, в частности вторую формулу находим половину модуля векторного произведения векторов.

    Находим определитель:

    $$ begin{vmatrix} overline{i}&overline{j}&overline{k}\2&1&3\-1&2&1 end{vmatrix} = overline{i}(1-6) — overline{j}(2+3) + overline{k}(4+1) = -5overline{i} — 5overline{j} + 5overline{k} $$

    Вычисляем модуль полученного вектора как корень квадратный из суммы квадратов координат этого вектора:

    $$ |overline{a} times overline{b}| = sqrt{(-5)^2 + (-5)^2 + 5^2} = sqrt{25 + 25 + 25} = sqrt{75} $$

    По формуле нахождения площади треугольника имеем:

    $$ S_Delta = frac{1}{2} |overline{a} times overline{b}| = frac{1}{2} sqrt{75} = 4.33 $$

    Ответ
    $$ S_Delta = 4.33 $$

    Примеры
    решения задач с векторами

    Вектора
    применяются во многих науках
    ,
    таких как: математика, физика, геометрия
    и многих других прикладных науках. На
    практике, они позволяют не делать лишних
    операций и сократить время выполнения
    задач. Поэтому, будущим специалистам
    очень важно понять теорию векторов и
    научиться решать задачи с ними.

    Перед
    изучением примеров решения задач
    советуем изучить теоретический материал
    по векторам, прочитать все определения
    и свойства. Список тем находится в правом
    меню.

    Координаты
    вектора

    Теоретический
    материал по теме — координаты
    вектора.

    Пример

    Запись
    означает,
    что вектор
    имеет
    следующие координаты: абсцисса равна
    5, ордината равна -2.

    Пример

    Задание.
    Заданы векторы
    и
    .
    Найти координаты вектора

    Решение.

    Пример

    Задание.
    Вектор
    .
    Найти координаты вектора

    Решение.

    Пример

    Задание.
    Найти координаты вектора
    ,
    если

    Решение.

    Длина
    (модуль) вектора

    Теоретический
    материал по теме — длина
    вектора.

    Пример

    Задание.
    Найти длину вектора

    Решение.
    Используя формулу, получаем:

    Пример

    Задание.
    Найти длину вектора

    Решение.
    Используя формулу, получаем:

    Угол
    между векторами

    Теоретический
    материал по теме — угол
    между векторами.

    Пример

    Задание.
    Известно, что скалярное произведение
    двух векторов
    ,
    а их длины
    .
    Найти угол между векторами
    и
    .

    Решение.
    Косинус искомого угла:

    Пример

    Задание.
    Найти угол между векторами
    и

    Решение.
    Косинус искомого угла

    Пример

    Задание.
    Найти угол между векторами
    и

    Решение.
    Косинус искомого угла:

    Разложение
    вектора по ортам координатных осей

    Теоретический
    материал по теме — разложение
    вектора по ортам.

    Пример

    Задание.
    Зная разложения вектора
    по
    базисной системе векторов:
    ,
    записать координаты этого вектора в
    пространстве.

    Решение.
    Коэффициенты при ортах и есть координатами
    вектора, поэтому из того, что
    ,
    получаем, что

    Пример

    Задание.
    Вектор
    задан
    своими координатами:
    .
    Записать разложение данного вектора
    по ортам осей координат.

    Решение.
    Координаты вектора — это коэффициенты
    при ортах координатных осей в разложении
    вектора по базисной системе векторов,
    поэтому искомое разложение:

    Скалярное
    произведение векторов

    Теоретический
    материал по теме — скалярное
    произведение векторов.

    Пример

    Задание.
    Вычислить скалярное произведение
    векторов
    и
    ,
    если их длины соответственно равны 2 и
    3, а угол между ними 60°.

    Решение.
    Так как из условия
    ,
    ,
    а
    ,
    то

    Пример

    Задание.
    Найти скалярное произведение векторов
    и

    Решение.
    Скалярное произведение

    Векторное
    произведение векторов

    Теоретический
    материал по теме — векторное
    произведение векторов.

    Пример

    Задание.
    Найти векторное произведение векторов
    и

    Решение.
    Составляем определитель и вычисляем
    его:

    Смешанное
    произведение векторов

    Теоретический
    материал по теме — смешанное
    произведение векторов.

    Пример

    Задание.
    Вычислить объем пирамиды, построенной
    на векторах
    ,
    ,

    Решение.
    Найдем смешанное произведение заданных
    векторов, для это составим определитель,
    по строкам которого запишем координаты
    векторов
    ,
    и
    :

    Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

    • #
    • #
    • #
    • #
    • #
    • #
    • #
    • #
    • #
    • #
    • #

    Содержание:

    • Координаты вектора
    • Длина (модуль) вектора
    • Угол между векторами
    • Разложение вектора по ортам координатных осей
    • Скалярное произведение векторов
    • Векторное произведение векторов
    • Смешанное произведение векторов

    Вектора применяются во многих науках, таких как: математика, физика, геометрия и многих других
    прикладных науках. На практике, они позволяют не делать лишних операций и сократить время выполнения задач.
    Поэтому, будущим специалистам очень важно понять теорию векторов и научиться решать задачи с ними.

    Перед изучением примеров решения задач советуем изучить теоретический материал по векторам, прочитать
    все определения и свойства. Список тем находится в правом меню.

    Координаты вектора

    Теоретический материал по теме — координаты вектора.

    Пример

    Запись $overline{a}=(5 ;-2)$ означает, что вектор $overline{a}$
    имеет следующие координаты: абсцисса равна 5, ордината равна -2.

    236

    проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

    Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

    Пример

    Задание. Заданы векторы $overline{a}=(-3 ; 5)$
    и $overline{b}=(0 ;-1)$. Найти координаты вектора $overline{c}=overline{a}+overline{b}$

    Решение. $overline{c}=overline{a}+overline{b}=(-3 ; 5)+(0 ;-1)=(-3+0 ; 5+(-1))=(-3 ; 4)$

    Пример

    Задание. Вектор $overline{a}=(3 ;-2)$.
    Найти координаты вектора 2$overline{a}$

    Решение. $2 overline{a}=2 cdot(3 ;-2)=(2 cdot 3 ; 2 cdot(-2))=(6 ;-4)$

    Пример

    Задание. Найти координаты вектора $overline{A B}$,
    если $A(-4 ; 2), B(1 ;-3)$

    Решение. $overline{A B}=(1-(-4) ;-3-2)=(5 ;-5)$

    Длина (модуль) вектора

    Теоретический материал по теме — длина вектора.

    Пример

    Задание. Найти длину вектора $overline{a}=(-4 ; 3)$

    Решение. Используя формулу, получаем:

    $|overline{a}|=sqrt{(-4)^{2}+3^{2}}=sqrt{16+9}=sqrt{25}=5$

    Пример

    Задание. Найти длину вектора $overline{a}=(1 ; 0 ;-4)$

    Решение. Используя формулу, получаем:

    $|overline{a}|=sqrt{1^{2}+0^{2}+(-4)^{2}}=sqrt{1+0+16}=sqrt{17}$

    Угол между векторами

    Теоретический материал по теме — угол между векторами.

    Пример

    Задание. Известно, что скалярное произведение двух векторов $(overline{a} ; overline{b})=2$,
    а их длины $|overline{a}|=2,|overline{b}|=2$.
    Найти угол между векторами $overline{a}$ и
    $overline{b}$.

    Решение. Косинус искомого угла:

    $$cos (bar{a}, bar{b})=frac{(bar{a} ; bar{b})}{|bar{a}| cdot|bar{b}|}=frac{2}{2 cdot 2}=frac{1}{2} Rightarrow(bar{a}, bar{b})=60^{circ}$$

    Пример

    Задание. Найти угол между векторами $overline{a}=(1 ; sqrt{3})$ и
    $overline{b}=(1 ; 0)$

    Решение. Косинус искомого угла

    $$cos (bar{a}, bar{b})=frac{1 cdot 1+sqrt{3} cdot 0}{sqrt{1^{2}+(sqrt{3})^{2}} cdot sqrt{1^{2}+0^{2}}}=frac{1}{2}$$
    $$(bar{a}, bar{b})=arccos frac{1}{2}=60^{circ}$$

    Пример

    Задание. Найти угол между векторами $overline{a}=(1 ; 3)$
    и $overline{b}=(2 ; 1)$

    Решение. Косинус искомого угла:

    $$cos (bar{a}, bar{b})=frac{1 cdot 2+3 cdot 1}{sqrt{1^{2}+3^{2}} cdot sqrt{2^{2}+1^{2}}}=frac{5}{sqrt{10} cdot sqrt{5}}=sqrt{frac{1}{2}}=frac{sqrt{2}}{2}$$
    $$(bar{a}, bar{b})=arccos frac{sqrt{2}}{2}=45^{circ}$$

    Разложение вектора по ортам координатных осей

    Теоретический материал по теме — разложение вектора по ортам.

    Пример

    Задание. Зная разложения вектора $overline{a}$
    по базисной системе векторов: $overline{a}=3 overline{i}-overline{k}$, записать координаты этого вектора в пространстве.

    Решение. Коэффициенты при ортах и есть координатами вектора, поэтому из того, что $overline{a}=3 overline{i}-0 cdot overline{j}-overline{k}$,
    получаем, что $overline{a}=(3 ; 0 ;-1)$

    Пример

    Задание. Вектор $overline{a}$ задан
    своими координатами: $overline{a}=(2 ;-1 ; 5)$. Записать разложение данного вектора по ортам осей координат.

    Решение. Координаты вектора — это коэффициенты при ортах координатных осей в разложении вектора
    по базисной системе векторов, поэтому искомое разложение:

    $overline{a}=2 overline{i}-overline{j}+5 overline{k}$

    Скалярное произведение векторов

    Теоретический материал по теме — скалярное произведение векторов.

    Пример

    Задание. Вычислить скалярное произведение векторов $overline{a}$ и
    $overline{b}$ , если их длины соответственно равны 2 и 3,
    а угол между ними 60°.

    Решение. Так как из условия $|overline{a}|=2$,
    $|overline{b}|=3$, а , то

    $overline{a} cdot overline{b}=(overline{a}, overline{b})=2 cdot 3 cdot cos 60^{circ}=6 cdot frac{1}{2}=3$

    Пример

    Задание. Найти скалярное произведение векторов $overline{a}=(3 ;-1)$ и
    $overline{b}=(-2 ; 7)$

    Решение. Скалярное произведение

    $overline{a} overline{b}=3 cdot(-2)+(-1) cdot 7=-6-7=-13$

    Векторное произведение векторов

    Теоретический материал по теме — векторное произведение векторов.

    Пример

    Задание. Найти векторное произведение векторов $overline{a}=(6 ; 7 ; 10)$ и
    $overline{b}=(8 ; 5 ; 9)$

    Решение. Составляем определитель и вычисляем его:

    $overline{a} times overline{b}=left| begin{array}{ccc}{overline{i}} & {overline{j}} & {overline{k}} \ {6} & {7} & {10} \ {8} & {5} & {9}end{array}right|=overline{i} left| begin{array}{cc}{7} & {10} \ {5} & {9}end{array}right|-overline{j} left| begin{array}{cc}{6} & {10} \ {8} & {9}end{array}right|+overline{k} left| begin{array}{cc}{6} & {7} \ {8} & {5}end{array}right|=$

    $=overline{i}(7 cdot 9-5 cdot 10)-overline{j}(6 cdot 9-8 cdot 10)+overline{k}(6 cdot 5-8 cdot 7)=$

    $=13 overline{i}+26 overline{j}-26 overline{k}=(13 ; 26 ;-26)$

    Смешанное произведение векторов

    Теоретический материал по теме — смешанное произведение векторов.

    Пример

    Задание. Вычислить объем пирамиды, построенной на векторах $overline{a}=(2 ; 3 ; 5)$,
    $overline{b}=(1 ; 4 ; 4)$,
    $overline{c}=(3 ; 5 ; 7)$

    Решение. Найдем смешанное произведение заданных векторов, для это составим определитель,
    по строкам которого запишем координаты векторов $overline{a}$,
    $overline{b}$ и $overline{c}$:

    $(overline{a}, overline{b}, overline{c})=left| begin{array}{lll}{2} & {3} & {5} \ {1} & {4} & {4} \ {3} & {5} & {7}end{array}right|=2 cdot 4 cdot 7+1 cdot 5 cdot 5+3 cdot 4 cdot 3-$

    $-3 cdot 4 cdot 5-5 cdot 4 cdot 2-1 cdot 3 cdot 7=-4$

    $$V_{пир}=frac{1}{6}|(overline{a}, overline{b}, overline{c})|=frac{1}{6} cdot 4=frac{2}{3}$$

    Читать первую тему — операции над векторами,
    раздела векторы.

    Понравилась статья? Поделить с друзьями:

    Не пропустите также:

  1. Как найти работу по удаленному доступу
  2. Как найти фильм по отрывку кадры
  3. Общие затраты на персонал как найти
  4. Как найти количество досок в кубе
  5. Найти как приготовить крем для торта

  6. 0 0 голоса
    Рейтинг статьи
    Подписаться
    Уведомить о
    guest

    0 комментариев
    Старые
    Новые Популярные
    Межтекстовые Отзывы
    Посмотреть все комментарии