Решения типовых задач по теме: «Векторное произведение векторов»
Задача № 1. Даны модули векторов и
,
, и их скалярное произведение
Вычислить модуль векторного произведения
.
Решение. Так как модуль векторного произведения двух векторов равен произведению модулей данных векторов, умноженному на синус угла между векторами, то необходимо знать синус угла между векторами и
.
Воспользуемся скалярным произведением данных векторов:
откуда
Тогда
Следовательно,
Ответ:
Задача № 2. Какому условию должны удовлетворять векторы и
, чтобы векторы
и
были коллинеарны?
Решения этих задач подробно изложено в следующем видео
Задача № 3. Векторы ,
и
удовлетворяют условию
. Доказать, что
.
Задача № 4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и
, если
и
Указания. Площадь параллелограмма численно равна длине вектора, полученного в результате векторного умножения двух данных векторов, т. е.
Ответ: S параллелограмма= 157,5 кв. ед.
Решения этих задач подробно изложено в следующем видео
Задача № 5. Зная стороны треугольника ={-3; -2; 6} и
= {- 2; 4; 4}, вычислить длину высоты
.
Решение. I способ приведен в видеоуроке
II способ. Указания. Найти Пр и затем по теореме Пифагора вычислить высоту
.
Ответ: ед. длины.
Решение этой задачи подробно изложено в следующем видео
Задача № 6. Решить самостоятельно. Вычислить длины диагоналей и площадь параллелограмма, построенного на векторах: {6;0;2} и
{1,5; 2; 1}.
Указания. Одна из диагоналей параллелограмма будет равна сумме векторов сторон, а другая — разности векторов сторон параллелограмма (рис.1).
Рис.1
Ответ: длины диагоналей и
, площадь параллелограмма 13 кв.ед.
Задача № 7. Зная, что векторы и
коллинеарны, вычислить коэффициенты α и β.
Указания. Если векторы а и b коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю, .
Ответ:
Решения этих задач подробно изложено в следующем видео
Векторное произведение векторов
Определение
Определение |
Векторным произведением векторов $ overline{a} $ и $ overline{b} $ является вектор $ overline{c} $, который расположен перпендикулярно к плоскости, образуемой векторами $ overline{a} $ и $ overline{b} $. Само произведение обозначается как $ [overline{a},overline{b}] $, либо $ overline{a} times overline{b} $. |
Векторное произведение векторов, формула которого зависит от исходных данных задачи, можно найти двумя способами.
Формула
Формула 1 |
Если известен синус угла между векторами $ overline{a} $ и $ overline{b} $, то найти векторное произведение векторов можно по формуле: $$ [overline{a},overline{b}] = |overline{a}| cdot |overline{b}| cdot sin (overline{a},overline{b}) $$ |
Формула 2 |
В случае когда векторы $ overline{a} $ и $ overline{b} $ заданы в координатной форме, то их произведение определяется по формуле: $$ overline{a} times overline{b} = begin{vmatrix} overline{i} & overline{j} & overline{k} \ a_1 & a_2 & a_3 \ b_1 & b_2 & b_3 end{vmatrix} $$ где векторы $ overline{i},overline{j},overline{k} $ называются единичными векторами соответствующих осей $ Ox, Oy, Oz $. |
Определитель во второй формуле можно раскрыть по первой строке:
$$ overline{a} times overline{b} = begin{vmatrix} overline{i} & overline{j} & overline{k} \ a_1 & a_2 & a_3 \ b_1 & b_2 & b_3 end{vmatrix} = overline{i} (a_2 b_3 — a_3 b_2) — overline{j} (a_1 b_3 — a_3 b_1) + overline{k} (a_1 b_2 — a_2 b_1) $$
Итого вторая формула приобретает окончательный короткий вид:
$$ overline{a} times overline{b} = (a_2 b_3 — a_3 b_2; a_3 b_1 — a_1 b_3; a_1 b_2 — a_2 b_1) $$
Свойства
- При изменении порядка множителей меняется знак на противоположный: $$ [overline{a},overline{b}] = -[overline{b},overline{a}] $$
- Вынос константы за знак произведения: $$ lambda [overline{a},overline{b}] = [lambda overline{a}, overline{b}] = [overline{a}, lambda overline{b}] $$
- $$ [overline{a}+overline{b}, overline{c}] = [overline{a},overline{c}] + [overline{b}, overline{c}] $$
Примеры решений
Пример 1 |
Найти векторное произведение векторов, заданных координатами $$ overline{a} = (2,1,-3) $$ $$ overline{b} = (1,2,-1) $$ |
Решение |
Составляем определитель, первая строка которого состоит из единичных векторов, а вторая и третья из координат векторов $ overline{a} $ и $ overline{b} $: $$ overline{a} times overline{b} = begin{vmatrix} overline{i} & overline{j} & overline{k} \ 2&1&-3\1&2&-1 end{vmatrix} = overline{i} (-1+6) — overline{j}(-2+3) + overline{k}(4-1) = 5overline{i} — overline{j} + 3overline{k} $$ Полученный ответ можно записать в удобном виде: $$ overline{a} times overline{b} = (5, -1, 3) $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
Ответ |
$$ overline{a} times overline{b} = (5, -1, 3) $$ |
Геометрический смысл
- Модуль векторного произведения векторов $ overline{a} $ и $ overline{b} $ в геометрическом смысле равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах: $$ S_{parall} = |overline{a} times overline{b}| $$
- Половина этого модуля это площадь треугольника: $$ S_Delta = frac{1}{2} |overline{a} times overline{b} | $$
- Если векторное произведение равно нулю $ overline{a} times overline{b} = 0 $, то векторы коллинеарны.
Пример 2 |
Найти площадь треугольника по заданным векторам $$ overline{a} = (2,1,3) $$ $$ overline{b} = (-1,2,1) $$ |
Решение |
Используя геометрический смысл, в частности вторую формулу находим половину модуля векторного произведения векторов. Находим определитель: $$ begin{vmatrix} overline{i}&overline{j}&overline{k}\2&1&3\-1&2&1 end{vmatrix} = overline{i}(1-6) — overline{j}(2+3) + overline{k}(4+1) = -5overline{i} — 5overline{j} + 5overline{k} $$ Вычисляем модуль полученного вектора как корень квадратный из суммы квадратов координат этого вектора: $$ |overline{a} times overline{b}| = sqrt{(-5)^2 + (-5)^2 + 5^2} = sqrt{25 + 25 + 25} = sqrt{75} $$ По формуле нахождения площади треугольника имеем: $$ S_Delta = frac{1}{2} |overline{a} times overline{b}| = frac{1}{2} sqrt{75} = 4.33 $$ |
Ответ |
$$ S_Delta = 4.33 $$ |
Примеры
решения задач с векторами
Вектора
применяются во многих науках,
таких как: математика, физика, геометрия
и многих других прикладных науках. На
практике, они позволяют не делать лишних
операций и сократить время выполнения
задач. Поэтому, будущим специалистам
очень важно понять теорию векторов и
научиться решать задачи с ними.
Перед
изучением примеров решения задач
советуем изучить теоретический материал
по векторам, прочитать все определения
и свойства. Список тем находится в правом
меню.
Координаты
вектора
Теоретический
материал по теме — координаты
вектора.
Пример
Запись
означает,
что вектор
имеет
следующие координаты: абсцисса равна
5, ордината равна -2.
Пример
Задание.
Заданы векторы
и
.
Найти координаты вектора
Решение.
Пример
Задание.
Вектор
.
Найти координаты вектора
Решение.
Пример
Задание.
Найти координаты вектора
,
если
Решение.
Длина
(модуль) вектора
Теоретический
материал по теме — длина
вектора.
Пример
Задание.
Найти длину вектора
Решение.
Используя формулу, получаем:
Пример
Задание.
Найти длину вектора
Решение.
Используя формулу, получаем:
Угол
между векторами
Теоретический
материал по теме — угол
между векторами.
Пример
Задание.
Известно, что скалярное произведение
двух векторов
,
а их длины
.
Найти угол между векторами
и
.
Решение.
Косинус искомого угла:
Пример
Задание.
Найти угол между векторами
и
Решение.
Косинус искомого угла
Пример
Задание.
Найти угол между векторами
и
Решение.
Косинус искомого угла:
Разложение
вектора по ортам координатных осей
Теоретический
материал по теме — разложение
вектора по ортам.
Пример
Задание.
Зная разложения вектора
по
базисной системе векторов:
,
записать координаты этого вектора в
пространстве.
Решение.
Коэффициенты при ортах и есть координатами
вектора, поэтому из того, что
,
получаем, что
Пример
Задание.
Вектор
задан
своими координатами:
.
Записать разложение данного вектора
по ортам осей координат.
Решение.
Координаты вектора — это коэффициенты
при ортах координатных осей в разложении
вектора по базисной системе векторов,
поэтому искомое разложение:
Скалярное
произведение векторов
Теоретический
материал по теме — скалярное
произведение векторов.
Пример
Задание.
Вычислить скалярное произведение
векторов
и
,
если их длины соответственно равны 2 и
3, а угол между ними 60°.
Решение.
Так как из условия
,
,
а
,
то
Пример
Задание.
Найти скалярное произведение векторов
и
Решение.
Скалярное произведение
Векторное
произведение векторов
Теоретический
материал по теме — векторное
произведение векторов.
Пример
Задание.
Найти векторное произведение векторов
и
Решение.
Составляем определитель и вычисляем
его:
Смешанное
произведение векторов
Теоретический
материал по теме — смешанное
произведение векторов.
Пример
Задание.
Вычислить объем пирамиды, построенной
на векторах
,
,
Решение.
Найдем смешанное произведение заданных
векторов, для это составим определитель,
по строкам которого запишем координаты
векторов
,
и
:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Содержание:
- Координаты вектора
- Длина (модуль) вектора
- Угол между векторами
- Разложение вектора по ортам координатных осей
- Скалярное произведение векторов
- Векторное произведение векторов
- Смешанное произведение векторов
Вектора применяются во многих науках, таких как: математика, физика, геометрия и многих других
прикладных науках. На практике, они позволяют не делать лишних операций и сократить время выполнения задач.
Поэтому, будущим специалистам очень важно понять теорию векторов и научиться решать задачи с ними.
Перед изучением примеров решения задач советуем изучить теоретический материал по векторам, прочитать
все определения и свойства. Список тем находится в правом меню.
Координаты вектора
Теоретический материал по теме — координаты вектора.
Пример
Запись $overline{a}=(5 ;-2)$ означает, что вектор $overline{a}$
имеет следующие координаты: абсцисса равна 5, ордината равна -2.
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Заданы векторы $overline{a}=(-3 ; 5)$
и $overline{b}=(0 ;-1)$. Найти координаты вектора $overline{c}=overline{a}+overline{b}$
Решение. $overline{c}=overline{a}+overline{b}=(-3 ; 5)+(0 ;-1)=(-3+0 ; 5+(-1))=(-3 ; 4)$
Пример
Задание. Вектор $overline{a}=(3 ;-2)$.
Найти координаты вектора 2$overline{a}$
Решение. $2 overline{a}=2 cdot(3 ;-2)=(2 cdot 3 ; 2 cdot(-2))=(6 ;-4)$
Пример
Задание. Найти координаты вектора $overline{A B}$,
если $A(-4 ; 2), B(1 ;-3)$
Решение. $overline{A B}=(1-(-4) ;-3-2)=(5 ;-5)$
Длина (модуль) вектора
Теоретический материал по теме — длина вектора.
Пример
Задание. Найти длину вектора $overline{a}=(-4 ; 3)$
Решение. Используя формулу, получаем:
$|overline{a}|=sqrt{(-4)^{2}+3^{2}}=sqrt{16+9}=sqrt{25}=5$
Пример
Задание. Найти длину вектора $overline{a}=(1 ; 0 ;-4)$
Решение. Используя формулу, получаем:
$|overline{a}|=sqrt{1^{2}+0^{2}+(-4)^{2}}=sqrt{1+0+16}=sqrt{17}$
Угол между векторами
Теоретический материал по теме — угол между векторами.
Пример
Задание. Известно, что скалярное произведение двух векторов $(overline{a} ; overline{b})=2$,
а их длины $|overline{a}|=2,|overline{b}|=2$.
Найти угол между векторами $overline{a}$ и
$overline{b}$.
Решение. Косинус искомого угла:
$$cos (bar{a}, bar{b})=frac{(bar{a} ; bar{b})}{|bar{a}| cdot|bar{b}|}=frac{2}{2 cdot 2}=frac{1}{2} Rightarrow(bar{a}, bar{b})=60^{circ}$$
Пример
Задание. Найти угол между векторами $overline{a}=(1 ; sqrt{3})$ и
$overline{b}=(1 ; 0)$
Решение. Косинус искомого угла
$$cos (bar{a}, bar{b})=frac{1 cdot 1+sqrt{3} cdot 0}{sqrt{1^{2}+(sqrt{3})^{2}} cdot sqrt{1^{2}+0^{2}}}=frac{1}{2}$$
$$(bar{a}, bar{b})=arccos frac{1}{2}=60^{circ}$$
Пример
Задание. Найти угол между векторами $overline{a}=(1 ; 3)$
и $overline{b}=(2 ; 1)$
Решение. Косинус искомого угла:
$$cos (bar{a}, bar{b})=frac{1 cdot 2+3 cdot 1}{sqrt{1^{2}+3^{2}} cdot sqrt{2^{2}+1^{2}}}=frac{5}{sqrt{10} cdot sqrt{5}}=sqrt{frac{1}{2}}=frac{sqrt{2}}{2}$$
$$(bar{a}, bar{b})=arccos frac{sqrt{2}}{2}=45^{circ}$$
Разложение вектора по ортам координатных осей
Теоретический материал по теме — разложение вектора по ортам.
Пример
Задание. Зная разложения вектора $overline{a}$
по базисной системе векторов: $overline{a}=3 overline{i}-overline{k}$, записать координаты этого вектора в пространстве.
Решение. Коэффициенты при ортах и есть координатами вектора, поэтому из того, что $overline{a}=3 overline{i}-0 cdot overline{j}-overline{k}$,
получаем, что $overline{a}=(3 ; 0 ;-1)$
Пример
Задание. Вектор $overline{a}$ задан
своими координатами: $overline{a}=(2 ;-1 ; 5)$. Записать разложение данного вектора по ортам осей координат.
Решение. Координаты вектора — это коэффициенты при ортах координатных осей в разложении вектора
по базисной системе векторов, поэтому искомое разложение:
$overline{a}=2 overline{i}-overline{j}+5 overline{k}$
Скалярное произведение векторов
Теоретический материал по теме — скалярное произведение векторов.
Пример
Задание. Вычислить скалярное произведение векторов $overline{a}$ и
$overline{b}$ , если их длины соответственно равны 2 и 3,
а угол между ними 60°.
Решение. Так как из условия $|overline{a}|=2$,
$|overline{b}|=3$, а , то
$overline{a} cdot overline{b}=(overline{a}, overline{b})=2 cdot 3 cdot cos 60^{circ}=6 cdot frac{1}{2}=3$
Пример
Задание. Найти скалярное произведение векторов $overline{a}=(3 ;-1)$ и
$overline{b}=(-2 ; 7)$
Решение. Скалярное произведение
$overline{a} overline{b}=3 cdot(-2)+(-1) cdot 7=-6-7=-13$
Векторное произведение векторов
Теоретический материал по теме — векторное произведение векторов.
Пример
Задание. Найти векторное произведение векторов $overline{a}=(6 ; 7 ; 10)$ и
$overline{b}=(8 ; 5 ; 9)$
Решение. Составляем определитель и вычисляем его:
$overline{a} times overline{b}=left| begin{array}{ccc}{overline{i}} & {overline{j}} & {overline{k}} \ {6} & {7} & {10} \ {8} & {5} & {9}end{array}right|=overline{i} left| begin{array}{cc}{7} & {10} \ {5} & {9}end{array}right|-overline{j} left| begin{array}{cc}{6} & {10} \ {8} & {9}end{array}right|+overline{k} left| begin{array}{cc}{6} & {7} \ {8} & {5}end{array}right|=$
$=overline{i}(7 cdot 9-5 cdot 10)-overline{j}(6 cdot 9-8 cdot 10)+overline{k}(6 cdot 5-8 cdot 7)=$
$=13 overline{i}+26 overline{j}-26 overline{k}=(13 ; 26 ;-26)$
Смешанное произведение векторов
Теоретический материал по теме — смешанное произведение векторов.
Пример
Задание. Вычислить объем пирамиды, построенной на векторах $overline{a}=(2 ; 3 ; 5)$,
$overline{b}=(1 ; 4 ; 4)$,
$overline{c}=(3 ; 5 ; 7)$
Решение. Найдем смешанное произведение заданных векторов, для это составим определитель,
по строкам которого запишем координаты векторов $overline{a}$,
$overline{b}$ и $overline{c}$:
$(overline{a}, overline{b}, overline{c})=left| begin{array}{lll}{2} & {3} & {5} \ {1} & {4} & {4} \ {3} & {5} & {7}end{array}right|=2 cdot 4 cdot 7+1 cdot 5 cdot 5+3 cdot 4 cdot 3-$
$-3 cdot 4 cdot 5-5 cdot 4 cdot 2-1 cdot 3 cdot 7=-4$
$$V_{пир}=frac{1}{6}|(overline{a}, overline{b}, overline{c})|=frac{1}{6} cdot 4=frac{2}{3}$$
Читать первую тему — операции над векторами,
раздела векторы.