Ускорение свободного падения планет как найти

Ускорение свободного падения характеризует то, как быстро будет увеличиваться скорость тела при свободном падении. Свободным падением называется ускоренное движение тела в безвоздушном пространстве, при котором на тело действует только сила тяжести. Из физики известно, что ускорение свободного падения на Земле составляет (9,8) 

мс2

.

Ускорение свободного падения в упрощённом виде можно рассчитать по формуле 

g=Fm

, которая получается из формулы 

F=m⋅g

, где (F) — сила тяжести либо вес тела в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, (m) — масса тела, которое притягивает планета, (g) — ускорение свободного падения.

(F) — сила тяжести, Н;

(R) — расстояние между центрами планеты и объекта в метрах. Если притягиваемое тело находится на поверхности планеты, тогда (R) равен радиусу планеты (если планета имеет сферическую форму);

При помощи формулы расчёта ускорения свободного падения и измерений, проведённых для удалённых объектов, учёные-физики могут определить величину ускорения свободного падения на любой планете или звезде.

Рис. (1). Планеты Солнечной системы: Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун; и карликовые планеты: Церера, Плутон, Эрида ((2003) UB (313))

Пример:

1. Гравитационное взаимодействие
2. Закон всемирного тяготения
3. Ускорение свободного падения на поверхности для различных планет
4. Космические скорости
5. Искусственные спутники Земли
6. Задачи

п.1. Гравитационное взаимодействие

Согласно современным представлениям, все тела, обладающие массой, притягиваются друг к другу. Это взаимодействие называется гравитационным.

Таким образом, масса проявляется в природе двумя качественно разными способами.

Инертная масса — мера инертности тел (второй закон Ньютона), дающая связь между силой и вызываемым ею ускорением.
Гравитационная масса — мера гравитационного взаимодействия тел (закон всемирного тяготения), определяющая силу взаимного притяжения.

Нужно подчеркнуть, что инертная масса и гравитационная масса возникают в механике при рассмотрении совершенно разных явлений, и ниоткуда не следует, что они должны быть равны.

Тем не менее, уже сам Ньютон доказал равенство этих масс с точностью 10^-3.

На сегодняшний день (эксперимент 2009 г.) этот факт подтвержден с точностью 10^-13.

Принцип эквивалентности
Значения инертной и гравитационной массы одного и того же тела равны.

п.2. Закон всемирного тяготения

Закон всемирного тяготения
Две материальные точки массами (m_1) и (m_2) притягиваются по направлению друг к другу с силой (F), прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния (r) между ними: $$ F=Gfrac{m_1m_2}{r^2} $$ Коэффициент пропорциональности называется гравитационной постоянной;
она одинакова для всех тел природы и в системе СИ равна $$ G=6,67cdot 10^{-11}frac{text{Н}cdot text{м}^2}{text{кг}^2} $$

Физический смысл гравитационной постоянной
Если два тела массой по 1 кг находятся на расстоянии 1 м друг от друга, сила гравитационного взаимодействия между ними равна $$ F=Gcdot 1frac{text{кг}^2}{text{м}^2}=6,67cdot 10^{-11} text{Н} $$

Закон всемирного тяготения выполняется для тел, размерами которых можно пренебречь, т.е. для материальных точек. Но его применение можно расширить.

При рассмотрении небесных тел (Солнца, планет и их спутников) в первом приближении их можно считать однородными идеальными сферами с одинаковой плотностью вещества внутри. Как показывает теория, в такой модели небесное тело можно заменить материальной точкой, совпадающей с его центром, с массой полностью сосредоточенной в этом центре.

В этом случае для применения закона всемирного тяготения открываются дополнительные возможности. Например, можно описывать движение небольшого тела на поверхности планеты, «сжимая» всю планету в материальную точку, от которой тело удалено на расстояние, равное радиусу планеты.

п.3. Ускорение свободного падения на поверхности для различных планет

Найдем силу, с которой Земля притягивает небольшое тело массой m, расположенное на её поверхности.

Будем считать Землю сферическим однородным телом. Масса Земли (M_oplus=5,97cdot 10^{24} text{кг}), радиус Земли (R_oplus=6370 text{км}). Допущение об однородности позволяет перейти к модели, в которой вся масса Земли сосредоточена в её центре. Расстояние от центра до поверхности, на которой находится тело, – это радиус Земли.

Получаем, что сила притяжения между Землей и телом: $$ F=Gfrac{M_oplus m}{R^2_oplus} $$

По своей природе, полученная сила является ничем иным, как силой тяжести (F=mg), с которой мы уже знакомы (см. §22 данного справочника).

Значит, (Gfrac{M_oplus m}{R^2_oplus}=mg), и ускорение свободного падения begin{gather*} g=Gfrac{M_oplus}{R^2_oplus}\[6pt] g=6,67cdot 10^{-11}cdot frac{5,97cdot 10^{24}}{(6,37cdot 10^6)^2}approx 9,81 (text{м/с}^2) end{gather*} Что полностью согласуется с многочисленными экспериментами.

Полученный результат можно обобщить и применить к любому другому небесному телу.

Ускорение свободного падения на поверхности сферической однородной планеты или звезды массой (M) и радиусом (R) прямо пропорционально массе и обратно пропорционально квадрату радиуса: $$ g=Gfrac{M}{R^2} $$

Например, для Луны (g_{text{Л}}=1,62frac{text{м}}{text{с}^2}approx 0,165g_0); для Юпитера (g_{text{Ю}}=23,95frac{text{м}}{text{с}^2}approx 2,442g_0); для Солнца (g_{text{С}}=273,1frac{text{м}}{text{с}^2}approx 27,85g_0). Здесь, (g_0) — ускорение свободного падения у поверхности Земли.

Заметим, что в задачах на гравитационное взаимодействие часто оказывается полезной замена (GM=gR^2).

п.4. Космические скорости

Если тело находится на поверхности Земли, то расстояние между центром планеты, где сосредоточена вся масса, и этим телом равно радиусу Земли (R_oplus).

Если подняться над поверхностью на некоторую высоту (h), расстояние станет равным ((R_oplus+h)). Сила всемирного тяготения (она же – сила тяжести) на этой высоте: $$ F_h=Gfrac{M_oplus m}{(R_oplus+h)^2} $$

Т.к. (GM_oplus=gR^2_oplus), где (g=9,81 (text{м/с})^2), можем также записать удобное на практике выражение: $$ F_h=mgleft(frac{R_oplus}{(R_oplus+h)}right)^2 $$

Пусть мы хотим запустить спутник, который будет летать на высоте (h) по круговой орбите с постоянной скоростью (v). При равномерном движении по окружности ускорение равно отношению квадрата скорости к радиусу орбиты. Получаем: $$ F_h=Gfrac{M_oplus m}{(R_oplus +h)^2}=ma=mfrac{v^2_h}{(R_oplus + h)} $$

Скорость вращения спутника на высоте (h): $$ v_h=sqrt{frac{GM_oplus}{R_oplus + h}} $$

Зная ускорение свободного падения у поверхности Земли (g), можем также записать: $$ v_h=sqrt{frac{gR^2_oplus}{R_oplus + h}} $$

В общем случае:

Чтобы запустить тело на круговую орбиту на высоте (h) над поверхностью сферической однородной планеты или звезды массой (M) и радиусом (R), нужно на этой высоте сообщить телу в горизонтальном направлении скорость $$ v_h=sqrt{frac{GM}{R+h}} $$

Скорости, достаточные для запуска околоземного спутника, межпланетной станции и вылета за пределы Солнечной системы, называют космическими скоростями для Земли.

Первая космическая скорость
Скорость, достаточная для того, чтобы тело, запускаемое с Земли на уровне моря ((h=0)), стало её искусственным спутником, равна $$ v_1=sqrt{frac{GM_oplus}{R_oplus}}=sqrt{gR_oplus}approx 7,92 text{км/с} $$

Вторая космическая скорость
Скорость, достаточная для того, чтобы тело, запускаемое с Земли на уровне моря ((h=0)), преодолело земное притяжение и смогло осуществить межпланетный полет в пределах Солнечной системы, равна $$ v_2=sqrt{frac{2GM_oplus}{R_oplus}}=sqrt{2gR_oplus}approx 11,18 text{км/с} $$

Аналогичные формулы для первой и второй космических скоростей можно получить для любой планеты, как в Солнечной системе, так и за ее пределами.

Нужно только знать массу и радиус планеты.

Можно также рассчитать скорость, необходимую для межзвездных полетов при старте с Земли. Это задача непростая, т.к. необходимо учесть относительное движение трех тел: космического корабля, Земли и Солнца.

Третья космическая скорость
Скорость, достаточная для того, чтобы тело, запускаемое с Земли на уровне моря ((h=0)), преодолело притяжение Земли и Солнца и смогло осуществить межзвездный полет за пределы Солнечной системы, равна $$ v_3=sqrt{(sqrt{2}-1)^2frac{GM_odot}{R_odot}+frac{2GM_oplus}{R_oplus}} approx 16,65 text{км/с} $$

В этой формуле, (M_odot) — масса Солнца, (R_odot) — радиус орбиты вращения Земли вокруг Солнца.

п.5. Искусственные спутники Земли

Искусственный спутник Земли – это космический летательный аппарат, вращающийся вокруг Земли по геоцентрической орбите (эллипсу, в одном из фокусов которого находится Земля).

Круговая орбита спутника в плоскости экватора Земли, двигаясь по которой он находится всё время над одной и той же точкой экватора, называется геостационарной. Такие спутники имеет большое значение для создания систем связи.

Чтобы запустить спутник на орбиту, ему необходимо сообщить скорость, больше чем первая космическая, но меньше чем вторая космическая: $$ 7,92frac{text{км}}{text{с}}lt vlt 11,18frac{text{км}}{text{с}} $$

На практике, получение соответствующей силы тяги ракетного двигателя, способного разогнать ракету до таких скоростей, является сложной технической проблемой.

Вывод спутников на орбиту осуществляется с помощью многоступенчатых ракет-носителей в несколько этапов. На первом этапе ракета стартует и, двигаясь вертикально вверх, проходит плотные слои атмосферы на относительно небольшой скорости, после чего отработавшие двигатели первой ступени отделяются (у Илона Маска — аккуратно возвращаются на Землю). На втором этапе ракета постепенно разворачивается параллельно к поверхности Земли и начинает ускоряться. Когда скорость достигает определенной величины и направления, работа двигателей прекращается, отделяется вторая ступень. Спутник начинает самостоятельное движение по расчетной орбите.

Искусственные спутники Земли используются для решения разнообразных научных и прикладных задач.

В апреле 2020 года на орбите находилось 1388 спутников США, 356 Китая, 167 России, 138 Британии, 78 Японии и 627 других стран. Из них: 1007 спутников связи, 446 спутников для исследования Земли, 97 спутников навигации и GPS, 87 научно-исследовательских спутников и другие космические аппараты.

п.6. Задачи

Задание. Радиус некоторой планеты равен R, ее средняя плотность составляет $rho $, считая, что масса планеты распределена равномерно, определите ускорение свободного падения около поверхности этой планеты.

Решение. Ускорение свободного падения около поверхности планеты можно найти как:

[g=gamma frac{M}{R^2}left(1.1right),]

где $R$ — радиус планеты; $M$ — масса планеты. Массу планеты найдем, считая ее шаром:

[M=frac{4}{3}pi R^3rho left(1.2right).]

Тогда ускорение свободного падения около поверхности этой планеты равно:

[g=gamma frac{frac{4}{3}pi R^3rho }{R^2}=frac{4}{3}gamma pi rho R.]

Ответ. $g=frac{4}{3}gamma pi rho R.$

Задание. Какова зависимость ускорения свободного падения от расстояния от центра планеты$ ( r)$, если планета — однородный шар, плотность которого равна $rho ?$ Радиус планеты R. Изобразите график $gleft(rright).$

Решение. Рассмотрим случай, когда расстояние от центра планеты меньше ее радиуса ($r$ меньше $R$) (рис.1 (а)).

Расположим тело массы $m$ на расстоянии $r$ от центра планеты (в точке А). Тогда тело притягивается к планете с силой:

[mg=frac{gamma M’m}{r^2}left(2.1right),]

где $M’=frac{4}{3}pi r^3rho $ — масса планеты, которая ограничена сферической поверхностью радиуса $r$. При этом, ускорение свободного падения равно:

[g_1(r)=frac{gamma frac{4}{3}pi r^3rho }{r^2}=frac{4}{3}pi gamma rho r.]

Расположим материальную точку массы $m$ в точке А за пределами планеты (рис.1 (б)), тогда по закону всемирного тяготения на точечную массу действует сила, равная:

[mg=gamma frac{mM’}{r^2} left(2.2right),]

где $M’=frac{4}{3}pi R^3rho $, в этом случае ускорение свободного падения равно:

[g_2(r)=gamma frac{4}{3}pi R^3frac{rho }{r^2}.]

В результате получаем:

[left{ begin{array}{c}
g_1left(rright)=frac{4}{3}pi gamma rho r при rle R \
g_2left(rright)=gamma frac{4}{3}pi R^3frac{rho }{r^2}при rge R. end{array}
right. ]

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!