Уравнение момента как найти

Моменты импульса и силы связаны между
собой важным соотношением, которое
называется уравнением моментов. Вначале
получим это соотношение для одной
материальной точки. С этой целью
продифференцируем момент импульса
(5.5) по времени

.
(5.9)

Учитывая, что

и
,

с учетом (5.1), получим

.
(5.10)

Это и есть уравнение моментов для одной
материальной точки.

Распространим теперь уравнение (5.10) на
систему материальных точек. Для этого
сложим все уравнения (5.10) для каждой
точки, понимая под М момент всех
действующих на нее сил, как внешних, так
и внутренних

.
(5.11)

Суммарный момент всех внутренних сил
равен нулю. Действительно, внутренние
силы входят в систему попарно. Эти силы
направлены противоположно и действуют
вдоль одной и той же прямой, поэтому
момент таких двух сил, а значит и момент
всех внутренних сил равны нулю. В
результате получаем уравнение моментов
для системы материальных точек:

,
(5.12)

где

— суммарный момент всех внешних сил,
—
момент импульса системы.

Таким образом, скорость изменения
момента импульса системы относительно
неподвижной точки (полюса) равна
результирующему моменту относительно
той же точки всех внешних сил, действующих
на систему.

Соотношение (5.12) справедливо, в частности,
для твердого тела, закрепленного в одной
точке. В этом случае оно выражает основной
закон динамики для тела, вращающегося
вокруг неподвижной точки. Из него
следует, что момент импульса является
основной динамической характеристикой
тела, вращающегося вокруг неподвижной
точки.

Из уравнения моментов (5.12) непосредственно
вытекает закон сохранения момента
импульса механической системы. Если
момент внешних сил равен нулю (),
то момент импульса системы остается
постоянным ().
Таким образом, момент импульса замкнутой
системы относительно произвольного
центра остается постоянным во времени.
Такова формулировка закона сохранения
момента импульса механической системы.

Этот закон, наряду с законами сохранения
импульса и энергии, является одним из
фундаментальных законов природы. В
теоретической механике, изучающей самые
общие законы движения, закон сохранения
момента импульса связывается с
изотропностью пространства, т.е. с
инвариантностью относительно вращений
пространства.

5.3. Момент силы и момент импульса относительно неподвижной оси

Следует различать и никоим образом не
смешивать понятия момента импульса и
момента силы относительно точки и
относительно оси. Момент вектора
относительно точки сам есть вектор,
тогда как момент вектора относительно
оси уже не является вектором.

М

Рис.5.4

оментом импульса

и моментом силы

относительно произвольной оси Z
называют проекции векторов

и

на эту ось в предположении, что точка О
(полюс) лежит на рассматриваемой оси
(рис.5.4).

Покажем на примере момента силы, что
выбор точки на оси влияет на значение
,
но не влияет на значение
.
Будем полагать, что точка О, относительно
которой определен момент силы
,
расположена в произвольной точке на
оси вращения (рис.5.5). Разложим вектор
силы на три взаимно перпендикулярные
составляющие, две из которых,
_||
и
,
параллельная и перпендикулярная оси
вращения, лежат в плоскости, проходящей
через ось вращения и точку приложения
силы, а третья

— перпендикулярна к этой плоскости
(обозначена на рисунке крестиком). Момент
силы
относительно
точки О равен сумме моментов составляющих:

.

В

Рис.5.5

екторное произведение направлено
перпендикулярно плоскости, в которой
лежат образующие его векторы. Векторы
_||
и

перпендикулярны оси, и следовательно,
их проекции на эту ось равны нулю. Поэтому

.
(5.13)

Здесь
,
а
.
Окончательно, для момента силы относительно
оси вращения получаем:

,
(5.14)

где
—
радиус окружности с центром на оси OZ,
а

— касательная составляющая силы к этой
окружности.

Таким образом, момент силы относительно
оси характеризует способность силы
вращать тело вокруг этой оси. В соответствии
с правилом винта величина
положительна,
когда сила приводит к вращению тела
вокруг направления оси против часовой
стрелки, и отрицательна – при вращении
в противоположном направлении.

Проектируя векторное уравнение (5.12) на
ось ОZ, получим

.
(5.15)

Это уравнение называется уравнением
моментов относительно неподвижной оси.
Когда момент внешних сил относительно
какой-либо оси равен нулю, то момент
импульса системы относительно той же
оси остается постоянным. Это закон
сохранения момента импульса относительно
неподвижной оси.

Этот закон в сочетании с законом
сохранения механической энергии
эффективно используется при решении
задач на вращательное движение твердого
тела (см.5.8).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Содержание книги

Предыдующая страница

§4. Основные законы динамики

4.6 Вращательное движение твердого тела. Момент силы.

Конечно, положение одной, даже «особой», точки далеко не полностью описывает движение всей рассматриваемой системы тел, но все-таки, лучше знать положение хотя бы одной точки, чем не знать ничего. Тем не менее, рассмотрим применение законов Ньютона к описанию вращения твердого тела вокруг фиксированной оси ^[1].

Начнем с простейшего случая: пусть материальная точка массы m прикреплена с помощью невесомого жесткого стержня длиной r к неподвижной оси OO’ (рис. 46). Материальная точка может двигаться вокруг оси, оставаясь от нее на постоянном расстоянии, следовательно, ее траектория будет являться окружностью с центром на оси вращения.

Безусловно, движение точки подчиняется уравнению второго закона Ньютона (~m vec a = vec F_0). Однако, непосредственное применение этого уравнения не оправдано: во-первых, точка обладает одной степенью свободы, поэтому в качестве единственной координаты удобно использовать угол поворота, а не две декартовые координаты; во-вторых, на рассматриваемую систему действуют силы реакции в оси вращения, а непосредственно на материальную точку – сила натяжения стержня. Нахождение этих сил представляет собой отдельную проблему, решение которой излишне для описания вращения. Поэтому имеет смысл получить на основании законов Ньютона специальное уравнение, непосредственно описывающее вращательное движение.

Пусть в некоторый момент времени на материальную точку действует некоторая сила (~vec F), лежащая в плоскости перпендикулярной оси вращения (рис. 47). При кинематическом описании криволинейного движения вектор полного ускорения (~vec a) удобно разложить на две составляющих: нормальную (~vec a_n), направленную к оси вращения, и тангенциальную (~vec a_{tau}) , направленную параллельно вектору скорости. Значение нормального ускорения для определения закона движения нам не нужно. Конечно, это ускорение также обусловлено действующими силами, одна из которых неизвестная сила натяжения стержня.

Запишем уравнение второго закона в проекции на тангенциальное направление:

(~m a_{tau} = F_{tau}) , (1)

заметим, что сила реакции стержня не входит в это уравнение, так как она направлена вдоль стержня и перпендикулярна выбранной проекции. Изменение угла поворота φ непосредственно определяется угловой скоростью (~omega = frac{Delta varphi}{Delta t}) , изменение которой в свою очередь описывается угловым ускорением (~varepsilon = frac{Delta omega}{Delta t}) . Угловое ускорение связано с тангенциальной составляющей ускорения соотношением a_τ = rε. Если подставить это выражение в уравнение (9), то получим уравнение, пригодное для определения углового ускорения. Удобно ввести новую физическую величину, определяющую взаимодействие тел при их повороте. Для этого умножим обе части уравнения (1) на r

(~m r^2 varepsilon = F_{tau} r) . (2)

и рассмотрим выражение в его правой части F_τr, имеющего смысл произведения тангенциальной составляющей силы, на расстояние от оси вращения до точки приложения силы. Это же произведение можно представить несколько иной форме (см. рис. 48)

M = F_τr = Fr cos α = Fd, здесь d — расстояние от оси вращения до линии действия силы, которое также называют плечом силы. Эта физическая величина, произведение модуля силы на расстояние от линии действия силы до оси вращения (плечо силы) M = Fd называется моментом силы. Действие силы может приводить к вращению, как по часовой стрелке, так и против часовой стрелки. В соответствии с выбранным положительным направлением вращения следует определять и знак момента силы. Заметьте, что момент силы определяется той составляющей силы, которая перпендикулярна радиус-вектору точки приложения. Составляющая вектора силы, направленная вдоль отрезка, соединяющего точку приложения и ось вращения, не приводит к раскручиванию тела. Эта составляющая при закрепленной оси компенсируется силой реакции в оси, поэтому она не влияет на вращение тела.

Запишем еще одно полезное выражения для момента силы. Пусть сила (~vec F) приложена к точке А, декартовые координаты которой равны x,y (рис. 49). Разложим силу (~vec F) на две составляющие (~vec F_x, vec F_y) , параллельные соответствующим осям координат. Момент силы (~vec F) относительно оси, проходящей через начало координат, очевидно равен сумме моментов составляющих (~vec F_x, vec F_y) , то есть M = xF_y — yF_x.

Аналогично, тому, как нами было введено понятие вектора угловой скорости, можно определить также и понятие вектора момента силы. Модуль этого вектора соответствует данному выше определению, направлен же он перпендикулярно плоскости, содержащей вектор силы и отрезок, соединяющий точку приложения силы с осью вращения. Вектор момента силы также может быть определен как векторное произведение радиус-вектора точки приложения силы на вектор силы

(~vec M = vec r times vec F) .

Заметим, что при смещении точки приложения силы вдоль линии ее действия момент силы не изменяется.

Обозначим произведение массы материальной точки на квадрат расстояния до оси вращения mr² = I (эта величина называется моментом инерции материальной точки относительно оси). С использованием этих обозначений уравнение (2) приобретает вид, формально совпадающий с уравнением второго закона Ньютона для поступательного движения

(~I varepsilon = M) . (3)

Это уравнение называется основным уравнением динамики вращательного движения. Итак, момент силы во вращательном движении играет такую же роль, как и сила в поступательном движении, именно он определяет изменение угловой скорости. Оказывается, (и это подтверждает наш повседневный опыт) влияние силы на скорость вращения определяет не только величина силы, но и точка его приложения. Момент инерции определяет инерционные свойства тела по отношению к вращению (говоря простым языком – показывает, легко ли раскрутить тело) — чем дальше от оси вращения находится материальная точка, тем труднее привести ее во вращение.

Уравнение (3) допускает обобщение на случай вращения произвольного тела. При вращении тела вокруг фиксированной оси угловые ускорения всех точек тела одинаковы. Поэтому, аналогично тому, как мы проделали при выводе уравнения Ньютона для поступательного движения тела, можно записать уравнения (3) для всех точек вращающегося тела и затем их просуммировать. В результате мы получим уравнение, внешне совпадающее с (3), в котором I — момент инерции всего тела, равный сумме моментов составляющих его материальных точек, M — сумма моментов внешних сил, действующих на тело.

Покажем, каким образом вычисляется момент инерции тела. Важно подчеркнуть, момент инерции тела зависит не только от массы, формы и размеров тела, но и от положения и ориентации оси вращения. Формально процедура расчета сводится к разбиению тела на малые части, которые можно считать материальными точками (рис. 51), и суммированию моментов инерций этих материальных точек, которые равны произведению массы на квадрат расстояния до оси вращения

(~I = m_1 r^2_1 + m_2 r^2_2 + m_3 r^2_3 + ldots) .

Для тел простой формы такие суммы давно подсчитаны, поэтому часто достаточно вспомнить (или найти в справочнике) соответствующую формулу для нужного момента инерции. В качестве примера: момент инерции кругового однородного цилиндра массы m и радиуса R для оси вращения совпадающей с осью цилиндра равен (~I = frac{1}{2} m R^2) .

Примечания

1. ↑ В данном случае мы ограничиваемся рассмотрением вращения вокруг фиксированной оси, потому, что описание произвольного вращательного движения тела представляет собой сложную математическую проблему, далеко выходящую за рамки курса математики средней школы. Знания же других физических законов, кроме рассматриваемых нами, это описание не требует.

Следующая страница