Обратная функция как найти алгоритм - Avtoru.top

Загрузить PDF

Математические функции, обычно обозначаемые как f(x) или g(x), можно представить как порядок выполнения математических операций, которые позволяют прийти от «x» к «y». Обратная функция f(x) записывается как f^-1(x).^[1] В случае простых функций найти обратную функцию несложно.

Шаги

1
Полностью перепишите функцию, заменив f(x) на y. При этом «у» должна находиться на одной стороне функции, а «x» — на другой. Если вам дана функция вида 2 + y = 3x², вам необходимо изолировать «у» на одной стороне, а «x» — на другой.
- Пример. Перепишем данную функцию f(x) = 5x — 2 как y = 5x — 2. f(x) и «y» взаимозаменяемы.
- f(x) — это стандартная запись функции, но если вы имеете дело с несколькими функциями, то каждой из них нужно будет присвоить свою букву, чтобы их было легче отличать друг от друга. Например, часто функции обозначают как g(x) и h(x).
2
Найдите «x». Другими словами, выполните математические операции, необходимые для изолирования «x» по одну сторону от знака равенства. Основные алгебраические принципы: если «x» имеет числовой коэффициент, то разделите обе стороны функции на этот коэффициент; если к члену с «x» прибавляется некоторый свободный член, вычтите его с обеих сторон функции (и так далее).
- Помните, что вы можете применять любую операцию по отношению к одной из сторон уравнения только в том случае, если вы применяете ту же операцию по отношению ко всем членам по обе стороны от знака равенства.^[2]
- В нашем примере добавьте 2 к обеим частям уравнения. Вы получите y + 2 = 5x. Затем разделите обе части уравнения на 5 и получите (y + 2)/5 = x. И, наконец, перепишите уравнение с «x» в левой части: x = (y + 2)/5.
3
Поменяйте переменные, заменив «x» на «y» и наоборот. Результатом будет функция, обратная исходной. Другими словами, если мы подставим значение «x» в исходное уравнение и найдем значение «у», то, подставив это значение «у» в обратную функцию, мы получим значение «x».
- В нашем примере получим y = (x + 2)/5.
4
Замените «у» на f^-1(x). Обратные функции обычно записывают в виде f^-1(x) = (члены с «x»). Следует отметить, что в данном случае -1 — это не показатель степени; это просто обозначение обратной функции.
- Так как «x» в -1 степени равно 1/x, то f^-1(x) — это форма записи 1/f(x), что также обозначает функцию, обратную f(x).
5
Проверьте работу, вместо «x» подставив постоянное значение в исходную функцию. Если вы правильно нашли обратную функцию, подставив в нее значение «у», вы найдете подставленное значение «x».
- Например, подставьте x = 4. Вы получите f(x) = 5(4) — 2 или f(x) = 18.
- Теперь подставьте 18 в обратную функцию и получите y = (18 + 2)/5 = 20/5 = 4. То есть у = 4. Это подставленное значение «x», поэтому вы правильно нашли обратную функцию.
Реклама

Советы

Когда вы выполняете алгебраические операции над функциями, вы можете свободно заменять f(x) = y и f^(-1)(x) = y в обоих направлениях. Но прямая запись обратной функции может привести к путанице, поэтому придерживайтесь записи f(x) или f^(-1)(x), которая поможет вам отличить их друг от друга.
Обратите внимание, что обратная функция обычно (но не всегда) является функциональной зависимостью.^[3]

Об этой статье

Эту страницу просматривали 63 573 раза.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Функция, обратная данной
Алгоритм вывода формулы функции, обратной данной
Свойства взаимно обратных функций
Примеры

Функция, обратная данной

По определению (см. §34 справочника для 7 класса)

Функция – это соответствие, при котором каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной.

Пусть некоторое соответствие задано таблицей:

x	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
y	-2	-1,5	-1	-0,5	0	0,5	1	1,5	2

Множество значений X = {-4;-3;…;4} отображается в множество значений Y = {-2;-1,5;…;2}: $X xrightarrow{f} Y$. При этом каждому значению x соответствует единственное значение y, т.е., данное соответствие f является функцией.

С другой стороны, мы можем рассмотреть обратное отображение $Y xrightarrow{g} X$, заданное той же таблицей. При этом каждому значению y соответствует единственное значение x, т.е., обратное соответствие $g = f^{-1}$ также является функцией.

Функцию $f: X xrightarrow{f} Y$ с областью определения X и областью значений Y называют обратимой, если обратное ей соответствие $g: Y xrightarrow{g} g X$ также является фунцией.

Если функция f обратима, то обратное ей соответствие $g = f^{-1}$ называют обратной функцией к f.

Например: аналитическое выражение для функции $X xrightarrow{f} Y$, заданной таблицей $y = f(x) = frac{x}{2}$. Обратное соответствие $Y xrightarrow{g} X$ также является функцией x = g(y) = 2y.

Функция g — обратная функция к f.

В общем случае формулы функций записывают в виде y(x). При такой записи, функции $y = frac{x}{2}$ и y=2x являются взаимно обратными.

Алгоритм вывода формулы функции, обратной данной

На входе: множества X и Y, для которых оба соответствия $X xrightarrow{f} Y$ и $Y xrightarrow{g} X$ являются функциями.

Шаг 1. В формуле для исходной функции заменить обозначения аргумента и значения: $x rightarrow y$, $y rightarrow x$.

Шаг 2. Из полученной формулы выразить y(x). Искомое выражение для обратной функции найдено.

Шаг 3. Учесть ограничения для области определения и области значений исходной и/или обратной функций.

Например:

1) Пусть исходная функция $y = frac{x}{2}$

Шаг 1. Меняем аргумент и значение: $x = frac{y}{2}$

Шаг 2. Находим y из полученной формулы: y = 2x — искомая обратная функция

Шаг 3. Ограничений на x и y нет

2) Пусть исходная функция y = -2x+3

Шаг 1. Меняем аргумент и значение: x = -2y+3

Шаг 2. Находим y из полученной формулы: $y = frac{-x+3}{2}$ — искомая обратная функция

Шаг 3. Ограничений на x и y нет

3) Пусть исходная функция $y = sqrt{x+1}$

Шаг 1. Меняем аргумент и значение: $x = sqrt{y+1}$

Шаг 2. Находим y из полученной формулы: $y = x^2-1$ — искомая обратная функция

Шаг 3. На исходную функцию накладываются ограничения

на $x:x+1 ge 0 Rightarrow x ge -1$, на $y:y ge 0$

Тогда исходная функция определяется на множествах $y ge -1$, $x ge 0$

4) Пусть исходная функция $y = 2x^2+1$

Шаг 1. Меняем аргумент и значение: $x = 2y^2+1$

Шаг 2. Находим y из полученной формулы: $y = sqrt{frac{x-1}{2}}$ — искомая обратная функция

Шаг 3. На обратную функцию накладываются ограничения

на $x:x-1 ge 0 Rightarrow x ge 1$, на $y:y ge 0$

Тогда исходная функция определяется на множествах $y ge 1$, $x ge 0$

Исходная функция — парабола получает ограничения из-за обратной функции; только в этом случаи функции будут взаимно обратными.

Свойства взаимно обратных функций

Пусть f и g — взаимно обратные функции. Тогда:

1. Область определения функции f является областью значений функции g, а область значений функции f является областью определения функции g.

2. Функции f и g либо одновременно возрастающие, либо одновременно убывающие.

3. Если f — нечётная, то и g — нечётная.

4. Графики f и g симметричны относительно биссектрисы 1-й четверти y = x.

5. Справедливы тождества f(g(x) ) = x и g(f(x) ) = x.

Например:

Графики пар взаимно обратных функций, найденных выше:

Примеры

Пример 1. Задайте формулой функцию, обратную данной.

а) y = 5x-4

Меняем аргумент и значение: x = 5y-4

Получаем: $y = frac{x+4}{5}$ — искомая обратная функция

б) y = -3x+2

Меняем аргумент и значение: x = -3y+2

Получаем: $y = frac{-x+2}{3}$ — искомая обратная функция

в) y = 4x+1, где $-1 le x le 5$

Меняем аргумент и значение: x = 4y+1

Получаем: $y = frac{x-1}{4}$

Требуем, чтобы: $-1 le y le 5 Rightarrow -1 le frac{x-1}{4} le 5 Rightarrow -4 le x-1 le 20 Rightarrow -3 le x le 21$

Итак, искомая обратная функция: $y = frac{x-1}{4}$, где -3 $le x le 21$

г) $y=- frac{1}{2} x+7$, где $2 le x le 9$

Меняем аргумент и значение: $x=-frac{1}{2} y+7$

Получаем: y = 2(-x+7) = -2x+14

Требуем, чтобы: $2 le y le 9 Rightarrow 2 le -2x+14 le 9 Rightarrow -12 le -2x le -5 Rightarrow$

$6 ge x ge 2,5 Rightarrow 2,5 le x le 6$

$y = -2x+14,где 2,5 le x le 6$ — искомая обратная функция

Пример 2. Найдите функцию, обратную данной.

Постройте график исходной и обратной функции в одной системе координат.

а) $y=x^2,x le 0$ Обратная функция $x = y^2 Rightarrow y = pm sqrt{x}$ При этом $y le 0$ Поэтому выбираем $y = — sqrt{x}$ – искомая обратная функция
б) y = x-3, $-1 le x le 4$ Обратная функция $x = y-3 Rightarrow y = x+3$ При этом $-1 le y le 4 Rightarrow -1 le x+3 le 4$ $Rightarrow -4 le x le 1$ y = x+3, $-4 le x le 1$ — искомая обратная функция
в) $y = frac{1}{x+1} $ Обратная функция $x = frac{1}{y+1} Rightarrow y = frac{1}{x} -1$
г) $y = 1+ sqrt{x-3}$ Область определения: $x ge 3$ Область значений: $y ge 1$ Обратная функция: $x = 1+ sqrt{y-3} Rightarrow y = (x-1)^2+3$ Область определения: $x ge 1$ Область значений: $y ge 3$

Источник

Начнем разбор данной темы с того, что познакомимся с термином “обратная функция”.

Обратная функция — это функция, характеризующаяся тем, что для каждого ее значения, то есть переменной y, существует одно значение независимой переменной x из некоторого заданного множества X.

Для того чтобы обозначить обратную функцию, используют следующее буквенное обозначение: f^-1(x).

Нельзя не отметить и тот факт, что не все существующие функции являются обратимыми. Для наглядности приведем пример: y = x^2. Ее невозможно назвать обратной функцией, ведь два противоположных значения x будут давать одно и то же значение переменной y. Допустим возьмем x = 2 и x = (-2), тогда y = 2*2 = 4 и y = (-2)*(-2) = 4. Что и требовалось доказать.

Теперь разберем случай, когда множество возможных значений уменьшили с помощью интервала [0; +∞). При таких условиях обратной функцией к изначально данной параболе станет функция y = √x. Как мы видим, существование обратной функции теперь возможно, так как благодаря введенному интервалу аргумент будет принимать исключительно положительные значения.

Теперь обозначим условия, без которых обратимость функции невозможна.

Иными словами к функции f(x) можно найти обратную функцию только в том случае, если следующие условия полностью удовлетворены:

Исходная функция f(x) либо непрерывно возрастает, либо непрерывно убывает на заданной условием области допустимых значений X;
Для одного значения функции существует только одно значение независимой переменной x.

Алгоритм поиска обратной функции

Чтобы для заданной условием функции найти обратную, необходимо соблюдать следующий порядок действий:

Берем уравнение y = f(x) и выражаем из него переменную x. После осуществления всех преобразовательных операций мы должны получить функцию x = g(y);
Далее мы просто заменяем переменную x на y, и наоборот, y на x. Получившуюся функцию y = f^-1(x) можно смело называть обратной y = f(x).

Характеристики обратной функции

Теперь поговорим о том, какими свойствами обладает обратная функция. Эти знания нам помогут в дальнейшем решении различных задач, а также в построении графиков.

Итак, обратным функциям свойственны следующие положения:

Мы знаем, что обратная функция — это отображение зависимости между x и y, а именно x от y, поэтому область определения y = f^-1(x) будет являться областью значений изначальной функции y = f(x), а область значений напротив будет областью определений. В буквенной записи это выглядит так: E(f^-1(x)) = D(f(x)) и D(f^-1(x)) = E(f(x));
Функции f(x) f^-1(x) считаются взаимно обратными. Говоря простым языком, f(x) — обратная к f^-1(x) и f^-1(x) — обратная к f(x);
Графики функций f(x) и f^-1(x) симметричны. Симметрия же проходит относительно прямой y = x.

Обратная функция: теоремы

Обозначим теперь главные теоремы, касающиеся разбираемой нами темы.

Теорема №1

Обратная функция f^-1(x) существует для заданной функции f(x) тогда, когда функция f(x) является монотонно возрастающей или монотонно убывающей на некотором множестве значений X.

Теорема №2

Если изначальная функция f(x) обладает такими свойствами, как непрерывное возрастание или убывание на конкретном множестве X, то для нее существует обратная функция f^-1(x). Но в этом случае f^-1(x) будет также монотонно возрастающей или убывающей, но уже на конкретной области Y, где Y — область значений f(x).

Таким образом, разобранная нами тема достаточно трудна в понимании, поэтому требует для своего изучений достаточного уровня усидчивости и внимательности. Также тут необходимо знание свойств функций. Поэтому если вы понимаете, что предыдущие темы у вас плохо закрепили, то вернитесь к ним и изучите подробнее, так как в ином случае весь последующий материал будет также плохо усвоен.

Источник

Download Article

A foundational part of learning algebra is learning how to find the inverse of a function, or f(x). The inverse of a function is denoted by f^-1(x), and it’s visually represented as the original function reflected over the line y=x. This article will show you how to find the inverse of a function.

Steps

1
Make sure your function is one-to-one. Only one-to-one functions have inverses.^[1]
- A function is one-to-one if it passes the vertical line test and the horizontal line test. Draw a vertical line through the entire graph of the function and count the number of times that the line hits the function. Then draw a horizontal line through the entire graph of the function and count the number of times this line hits the function. If each line only hits the function once, the function is one-to-one.
  - If a graph does not pass the vertical line test, it is not a function.
- To algebraically determine whether the function is one-to-one, plug in f(a) and f(b) into your function and see whether a = b. As an example, let’s take f(x) = 3x+5.
  - f(a) = 3a + 5; f(b) = 3b + 5
  - 3a + 5 = 3b + 5
  - 3a = 3b
  - a = b
- Thus, f(x) is one-to-one.
2
Given a function, switch the x’s and the y’s. Remember that f(x) is a substitute for «y.»^[2]
- In a function, «f(x)» or «y» represents the output and «x» represents the input. To find the inverse of a function, you switch the inputs and the outputs.
- Example: Let’s take f(x) = (4x+3)/(2x+5) — which is one-to-one. Switching the x’s and y’s, we get x = (4y + 3)/(2y + 5).
Advertisement
3
Solve for the new «y.» You’ll need to manipulate the expressions to solve for y, or to find the new operations that must be performed on the input to obtain the inverse as an output.^[3]
- This can be tricky depending on your expression. You may need to use algebraic tricks like cross-multiplication or factoring to evaluate the expression and simplify it.
- In our example, we’ll take the following steps to isolate y:
  - We’re starting with x = (4y + 3)/(2y + 5)
  - x(2y + 5) = 4y + 3 — Multiply both sides by (2y + 5)
  - 2xy + 5x = 4y + 3 — Distribute the x’s
  - 2xy — 4y = 3 — 5x — Get all the y terms on one side
  - y(2x — 4) = 3 — 5x — Reverse distribute to consolidate the y terms
  - y = (3 — 5x)/(2x — 4) — Divide to get your answer
4
Replace the new «y» with f^-1(x). This is the equation for the inverse of your original function.^[4]
- Our final answer is f^-1(x) = (3 — 5x)/(2x — 4). This is the inverse of f(x) = (4x+3)/(2x+5).

Add New Question

Question

Where did the +5 in the determining whether the function is one-to-one go?

Cluster Duck

Community Answer

The 5’s cancel each other out during the process. Here is the extended working out. 3a + 5 = 3b + 5, 3a +5 -5 = 3b, 3a = 3b.

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Video

Thanks for submitting a tip for review!

References

About This Article

Article SummaryX

To find the inverse of a function, start by switching the x’s and y’s. Then, simply solve the equation for the new y. For example, if you started with the function f(x) = (4x+3)/(2x+5), first you’d switch the x’s and y’s and get x = (4y+3)/(2y+5). Then, you’d solve for y and get (3-5x)/(2x-4), which is the inverse of the function. To learn how to determine if a function even has an inverse, read on!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 134,089 times.

Did this article help you?

Источник

Нахождение формулы для функции, обратной данной

Пользуясь формулой (y = f(x)), следует выразить (x) через (y), а в полученной формуле (x = g(y)) заменить (x) на (y), а (y) на (x).

Пример:

найти функцию, обратную для функции

y=x2,x∈0;+∞)

Функция

y=x2

возрастает на промежутке

0;+∞)

. Делаем вывод, что обратная функция существует. Если значения (x) принадлежат промежутку

0;+∞)

, то

x=y

. Заменим (x) на (y), а (y) на (x), получим обратную функцию

y=x,x∈0;+∞)

. Обратная функция определена на промежутке

0;+∞)

и её график симметричен графику функции

y=x2,x∈0;+∞)

относительно прямой (y=x).

Источник

Шаги

Советы

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Функция, обратная данной

Алгоритм вывода формулы функции, обратной данной

Свойства взаимно обратных функций

Примеры

Алгоритм поиска обратной функции

Характеристики обратной функции

Обратная функция: теоремы

Steps

Video

References

About This Article

Did this article help you?

Не пропустите также: