Как определить направление скорости
Скорость — характеристика движения тела, характеризующая быстроту его передвижения, то есть, расстояние, пройденное им за единицу времени. Этот параметр является векторным, а значит, имеет не только величину, но и направление. Определять направление скорости требуется в целом ряде физических задач.
Инструкция
Скорость является одной из характеристик движения материальной точки. Она выражает расстояние, пройденное этой точкой за определенный промежуток времени. Различают среднюю и мгновенную скорость, а также равномерное и неравномерное движение.При равномерном движении скорость не меняется с течением времени, что облегчает определение направления этой скорости векторным путем. Вектор средней скорости представляет собой отношение приращения радиус-вектора к промежутку времени:[v]=?r/?tНаправление радиус-вектора ?r совпадает с направлением средней скорости, как показано на рис.1, поскольку точка перемещается из пункта М в пункт М1. Это условие соблюдается только при равномерном движении точки.
Мгновенная скорость рассчитывается при ?t, стремящемся к нулю. Это векторная величина, равная первой производной радиус-вектора по времени. Рассчитывается она следующим образом:v =|lim ?r/?t|=ds/dt
?t>0Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории движения MM1. Интегрируя последнее выражение по ds, получим:s=v?dt=v*(t2-t1)=v*tПоследняя формула применяется в случае равномерного движения, когда в условии задачи дан промежуток времени.
Направление скорости может быть вычислено только координатным способом, поскольку это — векторная величина.Если в задаче заданы координаты x и y, а также указаны указаны проекции vx и vy, может быть определено как численное значение скорости, так и ее направление. Вектор скорости v в данном случае является диагональю квадрата, образованного двумя проекциями. Вследствие этого, скорость равна:v= sqrt(vx^2+vy^2), где tg?=vx/vy (см. рис.2)Следует учитывать, что в реальных условиях на движущееся тело действует целый ряд факторов: трение, гравитация и т.п. В одних задачах действием этих факторов можно пренебречь, в других по крайней мере некоторые из них необходимо учитывать в обязательном порядке.
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Содержание:
- Определение и формула скорости
- Скорость в разных системах координат
- Частные случаи формул для вычисления скорости
- Единицы измерения скорости
- Примеры решения задач
Определение и формула скорости
Определение
Мгновенной скоростью (или чаще просто скоростью) материальной точки называется физическая величина равная первой производной от радиус–вектора
$bar{r}$ точки по времени (t). Обозначают скорость обычно буквой v.
Это векторная величина. Математически определение вектора мгновенной скорости записывается как:
$$bar{v}=frac{d bar{r}}{d t}=dot{bar{r}}(1)$$
Скорость имеет направление указывающее направление движения материальной точки и лежит на касательной к траектории ее движения.
Модуль скорости можно определить как первую производную от длины пути (s) по времени:
$$v=frac{d s}{d t}=dot{s}(2)$$
Скорость характеризует быстроту перемещения в направлении движения точки по отношениюк рассматриваемой системе координат.
Скорость в разных системах координат
Проекции скорости на оси декартовой системы координат запишутся как:
$$v_{x}=dot{x} ; v_{y}=dot{y} ; v_{z}=dot{z}(3)$$
Следовательно, вектор скоростив декартовых координатах можно представить:
$$bar{v}=dot{x} bar{i}+dot{y} bar{j}+dot{z} bar{k}(4)$$
где $bar{i}, bar{j}, bar{k}$ единичные орты. При этом модуль вектора скорости находят при помощи формулы:
$$v=sqrt{(dot{x})^{2}+(dot{y})^{2}+(dot{z})^{2}}(5)$$
В цилиндрических координатах модуль скорости вычисляют при помощи формулы:
$$v=sqrt{(dot{rho})^{2}+(rho dot{varphi})^{2}+(dot{z})^{2}}(6)$$
в сферической системе координат:
$$v=sqrt{(r)^{2}+(r dot{theta})^{2}+(r dot{varphi} sin theta)^{2}}(7)$$
Частные случаи формул для вычисления скорости
Если модуль скорости не изменяется во времени, то такое движение называют равномерным (v=const).
При равномерном движении скорость можно вычислить, применяя формулу:
$$v=frac{s}{t}(8)$$
где s– длина пути, t – время, за которое материальная точка преодолела путь s.
При ускоренном движении скорость можно найти как:
$$bar{v}=int_{t_{1}}^{t_{2}} bar{a} d t(9)$$
где $bar{a}$ – ускорение точки,
$t_{1} leq t leq t_{2}$ – отрезок времени, в течение которого рассматривается скорость.
Если движение является равнопеременным, то применяется следующая формула для вычисления скорости:
$$bar{v}=bar{v}_{0}+bar{a} t$$
где $bar{v}_0$ – начальная скорость движения,
$bar{a} = const$ .
Единицы измерения скорости
Основной единицей измерения скорости в системе СИ является: [v]=м/с2
В СГС: [v]=см/с2
Примеры решения задач
Пример
Задание. Движение материальной точки А задано уравнением:
$x=2 t^{2}-4 t^{3}$ . Точка начала свое движение при
t0=0 c.Как будет двигаться рассматриваемая точка по отношению к оси X в момент времени t=0,5 с.
Решение. Найдем уравнение, которое будет задавать скорость рассматриваемой материальной точки, для
этого от функции x=x(t), которая задана в условиях задачи, возьмем первую производную по времени, получим:
$$v=frac{d x}{d t}=4 t-12 t^{2}(1.1)$$
Для определения направления движения подставим в полученную нами функцию для скорости v=v(t) в (1.1) указанный в условии момент
времении сравним результат с нулем:
$$v(t=0,5)=4 cdot 0,5-12(0,5)^{2}=-1 lt 0$$
Так как мы получили, что скорость в указанный момент времени отрицательна, следовательно, материальная точка движется против оси X.
Ответ. Против оси X.
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Скорость материальной точки является функцией от времени вида:
$$v=10left(1-frac{t}{5}right)$$
где скорость в м/с, время в c. Какова координата точки в момент времени равный 10 с, в какой момент времени точка будет на расстоянии
10 м от начала координат? Считайте, что при t=0 c точка началадвижение из начала координат по оси X.
Решение. Точка движется по оси X, cвязь координаты x и скорости движения определена формулой:
$$x=int_{0}^{t} v d t=int_{0}^{t} 10left(1-frac{t}{5}right) d t=10 t-frac{10 t^{2}}{2 cdot 5}=10 t-t^{2}(2.1)$$
Для ответа на первый вопрос задачи подставим в выражение (2.1) время t=10 c, имеем:
$$x=10 cdot 10-(10)^{2}=0(m)$$
Для того чтобы определить в какой момент времени точка будет находиться на расстоянии 10 м от начала координат
приравняем выражение (2.1) к 10 и решим, полученное квадратное уравнение:
$$
begin{array}{c}
10 t-t^{2}=10(2.2) \
t_{1}=5+sqrt{15} approx 8,8(c) ; t_{2}=5-sqrt{15} approx 1,13(c)
end{array}
$$
Рассмотрим второй вариант нахождения точки на расстоянии 10 м от начала координат, когда x=-10. Решим квадратное уравнение:
$$10 t-t^{2}=-10(2.3)$$
При решении уравнения (2.3) нам подойдет корень равный:
$$t_{3}=5+6=11 (c)$$
Ответ. 1) $x=0 mathrm{~m}$ 2) $t_{1}=8,8 mathrm{c}, t_{2}=1,13 c, t_{3}=11 c$
Читать дальше: Формула средней скорости.
Что такое скорость?
Скорость – важнейшее понятие кинематики.
Скорость точки определение
Определение скорости точки:
Скорость равна отношению перемещения к промежутку времени, за которое совершилось данное перемещение.
Скорость точки формула
Формула скорости точки:
v = r/t
Жирным шрифтом здесь обозначены векторные величины, т.о. скорость является вектором.
Обратите внимание, что речь идёт об очень маленьком участке траектории, на этом участке мы и рассматриваем перемещение. На таком маленьком отрезке траектории движение должно быть практически равномерным. Только при таких условиях мы можем применять формулу v = r/t. На большем, т.е. более протяженном, участке траектории эта формула не годится в общем случае.
Направление вектора скорости
Вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории в том месте, где мы его рассматриваем.
Модуль вектора скорости
Модуль вектора скорости равен отношению приращения длины пути к соответствующему промежутку времени:
|v| = S/t
Обратите внимание, что это приращение длины пути соответствует нашему приращению вектора перемещения в формуле в начале данной статьи. Из раздела «Путь и перемещение» мы знаем как соотносятся приращение длины пути и приращение вектора перемещения, вот так:
S = ±|r|
2. Скорость.
2.1 Равномерное прямолинейное движение.
2.1.1 Равномерное прямолинейное движение — это движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает равные перемещения, двигаясь по прямой линии.
2.1.2 Скорость 
— векторная физическая величина, показывающая какое перемещение совершило тело за единицу времени:
При равномерном движении по прямой:
где S — путь, проходимый телом за время t.
Для учета направления движения эту формулу запишем в проекциях:
где 
— перемещение вдоль оси Ox за время t. Знак проекции зависит от направления скорости и оси координат (см. рис.):
2.1.3 График проекции скорости от времени.
Так скорость при равномерном движении по прямой является постоянной, то график будет представлять собой прямые линии, параллельные оси времени (см. рис.):
Направление движения: если график лежит над осью времени (1 и 2), то проекция положительна и тело движется по направлению оси Ox; в противном случае, когда график расположен ниже оси времени (3 и 4), то проекция скорости отрицательна и тело движется против оси Ox.
Значение скорости: чем дальше от оси времени лежит прямая, тем больше модуль скорости 
2.1.4 Геометрический смысл площади под графиком в осях 
.
Для любого вида движения пройденный телом путь можно определить как площадь под графиком, когда на оси Oy отложена скорость, а на оси Ox — время. Это легко видеть непосредственно из рисунка для равномерного движения (см. рис.):
2.1.5 График проекции перемещения.
Проекция перемещения при равномерном прямолинейном движении определяется формулой:
График проекции перемещения при равномерном прямолинейном движении — это прямая, выходящая из начала координат.
Направление движения: если прямая лежит над осью времени (поднимается вверх), то тело движется в положительном направлении оси Ox (прямые 1 и 2); если прямая лежит под осью времени (опускается вниз), то тело движется против оси Ox.
Значение скорости: чем больше тангенс угла наклона (чем круче поднимается вверх или опускает вниз), тем больше модуль скорости 
2.1.6 Закон движения.
Имеем:
где 
— начальная координата тела по оси Ox, x — координата тела в момент времени t, 
— проекция скорости на ось Ox.
При движении по прямой всегда возможно выбрать ось Ox вдоль этой прямой. Однако в некоторых случаях удобно рассматривать движение и вдоль оси Oy:
2.1.7 График изменения координаты.
Уравнение координаты при равномерном движении имеет вид (2.5).
График изменения координаты при равномерном движении — это прямая линия.
Направление движения: если с течением времени координата увеличивается (прямая поднимается вверх), то тело движется по направлению оси Ox (прямые 1 и 2); если координата уменьшается (прямая опускается вниз), то движение происходит против оси Ox.
Значение скорости: чем больше тангенс угла наклона (чем круче поднимается вверх или опускает вниз), тем больше модуль скорости; 
где 
— изменение координаты за время 
Начальная координата тел — точка пересечения прямой с вертикальной осью (на рисунке это ось Ox, но мы привыкли, что вертикальная ось — ось Ox).
Время и место встречи двух тел — точка пересечения графиков координат двух тел; из точки пересечения следует опустить перпендикуляры на ось времени и ось координат.
Пересечение прямой с осью времени — точка пересечения прямой с ось времени означает, что тело проехало мимо начала отсчета.
2.2 Средняя скорость неравномерного движения.
2.2.1 Неравномерное движение — это движение с переменной скоростью. Скорость со временем может меняться как угодно — по любому закону.
2.2.2 Средняя векторная скорость.
где 
— перемещение за время t.
2.2.3 Средняя путевая (скалярная) скорость.
где L — весь путь, пройденный за время t.
2.3 Относительность механического движения.
В определении системы отсчета было сказано, что за тело отсчета можно выбирать абсолютно любое тело. В зависимости от выбора такого тела, то есть от выбора системы отсчета, одно и то же движение будет выглядеть по-разному. Например, сидим в движущейся машине — относительно машины мы неподвижны, относительно земли — движемся. Покой относителен. Движение тела относительно и положение тела относительно.
2.3.1 Правило сложения перемещений.
Векторная сумма перемещений
где — перемещение относительно неподвижной системы отсчета (НСО), 
— перемещение относительно подвижной системы отсчета (ПСО), 
— перемещение самой подвижной системы отсчета (СПСО).
2.3.2 Правило сложения скоростей.
Векторная сумма скоростей
где 
— скорость относительно неподвижной системы отсчета (НСО), 
— скорость относительно подвижной системы отсчета (ПСО), 
— перемещение самой подвижной системы отсчета (СПСО).
2.3.3 Относительная скорость.
Векторная разность скоростей
где 
— скорость первого тела относительно второго (относительная скорость), 
— скорость первого тела, 
— скорость второго тела.
В прошлой статье мы немножко разобрались с тем, что такое механика и зачем она нужна. Мы уже знаем, что такое система отсчета, относительность движения и материальная точка. Что ж, пора двигаться дальше! Здесь мы рассмотрим основные понятия кинематики, соберем вместе самые полезные формулы по основам кинематики и приведем практический пример решения задачи.
Присоединяйтесь к нам в телеграм и получайте ежедневную рассылку с полезной информацией по актуальным студенческим вопросам.
Траектория, радиус-вектор, закон движения тела
Кинематикой занимался еще Аристотель. Правда, тогда это не называлось кинематикой. Затем очень большой вклад в развитие механики, и кинематики в частности, внес Галилео Галилей, изучавший свободное падение и инерцию тел.
Итак, кинематика решает вопрос: как тело движется. Причины, по которым оно пришло в движение, ее не интересуют. Кинематике не важно, сама поехала машина, или ее толкнул гигантский динозавр. Абсолютно все равно.
Сейчас мы будем рассматривать самую простую кинематику – кинематику точки. Представим, что тело (материальная точка) движется. Не важно, что это за тело, все равно мы рассматриваем его, как материальную точку. Может быть, это НЛО в небе, а может быть, бумажный самолетик, который мы запустили из окна. А еще лучше, пусть это будет новая машина, на которой мы едем в путешествие. Перемещаясь из точки А в точку Б, наша точка описывает воображаемую линию, которая называется траекторией движения. Другое определение траектории – годограф радиус вектора, то есть линия, которую описывает конец радиус-вектора материальной точки при движении.
Радиус-вектор – вектор, задающий положение точки в пространстве.
Для того, чтобы узнать положение тела в пространстве в любой момент времени, нужно знать закон движения тела – зависимость координат (или радиус-вектора точки) от времени.
Перемещение и путь
Тело переместилось из точки А в точку Б. При этом перемещение тела – отрезок, соединяющий данные точки напрямую – векторная величина. Путь, пройденный телом – длина его траектории. Очевидно, перемещение и путь не стоит путать. Модуль вектора перемещения и длина пути совпадают лишь в случае прямолинейного движения.
В системе СИ перемещение и длина пути измеряются в метрах.
Перемещение равно разнице радиус-векторов в начальный и конечный моменты времени. Другими словами, это приращение радиус вектора.
Скорость и ускорение
Средняя скорость – векторная физическая величина, равная отношению вектора перемещения к промежутку времени, за которое оно произошло
А теперь представим, что промежуток времени уменьшается, уменьшается, и становится совсем коротким, стремится к нулю. В таком случае о средней скорости говорить на приходится, скорость становится мгновенной. Те, кто помнит основы математического анализа, тут же поймут, что в дальнейшем нам не обойтись без производной.
Мгновенная скорость – векторная физическая величина, равная производной от радиус вектора по времени. Мгновенная скорость всегда направлена по касательной к траектории.
В системе СИ скорость измеряется в метрах в секунду
Если тело движется не равномерно и прямолинейно, то у него есть не только скорость, но и ускорение.
Ускорение (или мгновенное ускорение) – векторная физическая величина, вторая производная от радиус-вектора по времени, и, соответственно, первая производная от мгновенной скорости
Ускорение показывает, как быстро изменяется скорость тела. В случае прямолинейного движения, направления векторов скорости и ускорения совпадают. В случае же криволинейного движения, вектор ускорения можно разложить на две составляющие: ускорение тангенциальное, и ускорение нормальное.
Тангенциальное ускорение показывает, как быстро изменяется скорость тела по модулю и направлено по касательной к траектории
Нормальное же ускорение характеризует быстроту изменения скорости по направлению. Векторы нормального и тангенциального ускорения взаимно перпендикулярны, а вектор нормального ускорения направлен к центру окружности, по которой движется точка.
Здесь R – радиус окружности, по которой движется тело.
Закон равноускоренного движения
Рассмотрим далее закон равноускоренного движения, то есть движения с постоянным ускорением. Будем рассматривать простейший случай, когда тело движется вдоль оси x.
Здесь — x нулевое- начальная координата. v нулевое — начальная скорость. Продифференцируем по времени, и получим скорость
Производная по скорости от времени даст значение ускорения a, которое является константой.
Пример решения задачи
Теперь, когда мы рассмотрели физические основы кинематики, пора закрепить знания на практике и решить какую-нибудь задачу. Причем, чем быстрее, тем лучше.
Кстати! Для всех наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы.
Решим такую задачу: точка движется по окружности радиусом 4 метра. Закон ее движения выражается уравнением S=A+Bt^2. А=8м, В=-2м/с^2. В какой момент времени нормальное ускорение точки равно 9 м/с^2? Найти скорость, тангенциальное и полное ускорение точки для этого момента времени.
Решение: мы знаем, что для того, чтобы найти скорость нужно взять первую производную по времени от закона движения, а нормальное ускорение равняется частному квадрата скорости и радиуса окружности, по которой точка движется. Вооружившись этими знаниями, найдем искомые величины.
Нужна помощь в решении задач? Профессиональный студенческий сервис готов оказать ее.