Найдите последнюю цифру числа как решать

Основная часть

I. Нахождение последней цифры в записи
степени натурального числа.

После изучения темы “Степень с натуральным
показателем” была предложена такая задача:
найти последнюю цифру степеней:

а) , , , , ;

б) , .

Мы заметили, что в первом случае показатели
степеней составные числа, а во втором случае
показатели степеней простые числа. В обоих
случаях есть основания четные и нечетные. Мы
сначала попробовали представить степени в виде
произведения степеней с тем же основанием и
одинаковыми показателями, затем воспользовались
со свойствами степеней с натуральными
показателями

Например, = ***
или

В первом случае узнали последнюю цифру степени . Это 3. А дальше
определили искомую цифру как последнюю цифру
числа .
Получили 1. Во втором случае сначала нашли
последнюю цифру степени . Это 1. А 1 в любой степени -1.
Второй способ нам понравился больше. Аналогично
нашли последнюю цифру остальных степеней.

В ходе решения таких задач мы поняли, чтовсегда оканчивается (при натуральном) n
на 6.

Но вторая задача достаточно сложная, так как
показатели степеней простые числа и мы не
можем представить эти степени в виде
произведения степеней с одинаковыми
показателями, как делали раньше. Но мы нашли
способы решения.

Значит, последняя цифра степени равна 3.

Мы решили найти более удобный,
универсальный способ нахождения последней цифры
степени.

Решили заполнить таблицу, где в первой
строке написаны цифры, которыми оканчиваются
записи натуральных чисел. Во — второй строке —
цифры, которыми оканчиваются соответствующие
квадраты, в третьей – кубы и т.д.

Мы заполнили пятую строку, затем шестую и
удивились. Оказывается, пятая степень числа
оканчивается той же цифрой, что и первая степень
числа; а шестая степень числа оканчивается той же
цифрой, что и вторая степень этого числа; седьмая
степень – что и третья степень этого числа.

К нашему удивлению, результаты в таблице
повторяются через каждые четыре строки.

После решения этих примеров и заполнения
таблицы мы пришли к выводу, что:

• Во-первых, квадрат натурального числа может
  оканчиваться любой цифрой;
• Во-вторых, куб натурального числа может
  оканчиваться любой цифрой;
• В-третьих, четвертая степень натурального числа
  может оканчиваться одной из цифр: 0, 1, 5, 6;
• В-четвертых, пятая степень натурального числа
  оканчивается той же цифрой, что и само число;
• В-пятых, если запись натурального числа
  оканчивается на 1, на 5, на 6, то любая степень этого
  числа оканчивается соответственно на 1, на 5, на 6;
• В-шестых, нечетные степени числа 4 оканчиваются
  цифрой 4, а четные — цифрой 6.

Мы поставили перед собой такую задачу, а
нельзя ли найти способ определения последней
цифры степени по остатку от деления ее
показателя на 4.

II. Составление алгоритма нахождения
последней цифры степени по остатку от деления ее
показателя на 4.

Вернулись к нашим же примерам.

Найти последнюю цифру степеней: , , , ;.

Итак, мы заметили, что если остаток равен 0, то
для всех нечетных оснований, кроме чисел,
оканчивающихся на 5, искомая цифра равна 1, а
для четных, искомая цифра равна 6.

Далее мы начали подбирать такие степени, когда
при делении показателя степени на 4 получаются
остатки 1, 2, 3.

Например, .

Если остаток равен 1, то искомая цифра будет
равна последней цифре основания степени.

Если остаток равен 2, то искомая цифра будет
равна последней цифре в записи квадрата
основания.

А если степени с очень большими показателями?

Например,

Мы легко справились и с этой задачей.

Итак, мы получили алгоритм нахождения
последней цифры степени натурального числа.

Чтобы найти последнюю цифру степени
натурального числа с натуральным показателем,
надо:

Найти остаток от деления показателя степени на
4;

Если остаток равен

а) 1, то искомая цифра будет совпадать с
последней цифрой основания степени;

б) 2, то искомая цифра будет равна последней
цифре в записи квадрата основания;

в) 3, то искомая цифра будет равна последней
цифре в записи куба основания;

г) 0, то для всех нечетных оснований, кроме чисел,
оканчивающихся на 5, искомая цифра равна 1, а для
четных, кроме круглых чисел, искомая цифра равна
6.

Мы научились быстро находить последнюю цифру
степени и попробовали расширить круг знаний.
Например, мы составили такие задачи.

III. Составление упражнений на применение
алгоритма.

1. Доказать, что число кратно 2.

2. Доказать, что -1 кратно 5 (при натуральном n).

3. Верно ли, что 1,6*( -1 ) – целое число при любом
(натуральном) n.

4. Какой цифрой оканчивается произведение всех
двузначных чисел, каждое из которых оканчивается
на 7?

Для целых чисел все просто, как уже верно заметил Stalker_RED достаточно взять остаток от деления на 10n % 10
Но вот с дробными числами все намного интереснее. Потенциально, можно получить целое представление последовательно умножая число на 10 (сдвигая тем самым десятичную точку вправо), а после воспользоваться предыдущим приемом. Но проблема тут в том, что потенциально такая последовательность может оказаться бесконечной и такой алгоритм зациклится.
Если обратится к стандарту IEEE 754, то можно узнать, что в 64 битах можно точно представить не более 16 десятичных разрядов, а это уже можно использовать как ограничитель, так как при превышении 16 сдвигов десятичной точки значение все равно уже не будет точным

const lastDigit = n => {
    // в n совсем не то
    if (isNaN(n) || !isFinite(n)) return NaN;
    // в n целое
    if (n % 1 === 0) return n % 10;
    // для дробных проще со строкой работать
    const s = String(Math.abs(n));
    // неточные значения
    if (s.length > 16 || s.includes('e')) return NaN;
    return +s.slice(-1);
}