Набор значений функции как найти

1. 

   1

   Запишите функцию. Например: f(x) = 3x² + 6x -2. Подставив x в уравнение, мы сможем найти значение y. Эта квадратичная функция, и ее график — парабола.

2. 

   2

   Найдите вершину параболы. Если вам дана линейная функция или любая другая с переменной в нечетной степени, например, f(x) = 6x³+2x + 7, пропустите этот шаг. Но если вам дана квадратичная функция или любая другая с переменной х в четной степени, нужно найти вершину графика этой функции. Для этого используйте формулу х=-b/2a. В функции 3x² + 6x -2 a = 3, b = 6, c = -2. Вычисляем: х = -6/(2*3)= -1.

   • Теперь подставьте х= -1 в функцию, чтобы найти у. f(-1) = 3*(-1)² + 6*(-1) -2 = 3 — 6 -2 = -5.
   • Координаты вершины параболы (-1,-5). Нанесите ее на координатную плоскость. Точка лежит в третьем квадранте координатной плоскости.

3. 

   3

   Найдите еще несколько точек на графике. Для этого подставьте в функцию несколько других значений х. Так как член x² положительный, то парабола будет направлена вверх. Для подстраховки подставим в функцию несколько значений x, чтобы узнать, какие значения y они дают.

   • f(-2) = 3(-2)² + 6(-2) -2 = -2. первая точка на параболе (-2, -2)
   • f(0) = 3(0)² + 6(0) -2 = -2. Вторая точка на параболе (0,-2)
   • f(1) = 3(1)² + 6(1) -2 = 7. Третья точка на параболе (1, 7).

4. 

   4

   Найдите множество значений функции на графике. Найдите наименьшее значение у на графике. Эта вершина параболы, где у=-5. Так как парабола лежит выше вершины, то множество значений функции y ≥ -5.

   Реклама

1. 

   1

   Найдите минимум функции. Вычислите наименьшее значение у. Допустим, минимум функции у=-3. Это значение может становиться все меньше и меньше, вплоть до бесконечности, так что минимум функции не имеет заданной минимальной точки.

2. 

   2

   Найдите максимум функции. Допустим, максимум функции у= 10. Как и в случае с минимумом, максимум функции не имеет заданной максимальной точки.

3. 

   3

   Запишите множество значений. Таким образом, множество значений функции лежит в диапазоне от -3 до +10. Запишите множество значений функции как: -3 ≤ f(x) ≤ 10

   • Но, допустим, минимум функции у=-3, а ее максимум — бесконечность (график функции уходит бесконечно вверх). Тогда множество значений функции: f(x) ≥ -3.
   • С другой стороны, если максимум функции у=10, а минимум — бесконечность (график функции уходит бесконечно вниз), то множество значений функции: f(x) ≤ 10.

   Реклама

1. 

   1

   Запишите множество координат. Из множества координат можно определить его область значения и область определения. Допустим, дано множество координат: {(2, -3), (4, 6), (3, -1), (6, 6), (2, 3)}.^[1]
   

2. 

   2

   Перечислите значения у. Чтобы найти область значений множества, просто запишите все значения у: {-3, 6, -1, 6, 3}.^[2]
   

3. 

   3

   Удалите все повторяющиеся значения у. В нашем примере удалите «6»: {-3, -1, 6, 3}.^[3]
   

4. 

   4

   Запишите область значений в порядке возрастания. Областью значений множества координат {(2, –3), (4, 6), (3, –1), (6, 6), (2, 3)} будет {-3, -1, 3, 6}.^[4]
   

5. 

   5

   Убедитесь, что множество координат дано для функции. Чтобы это было так, каждому одному значению х должно соответствовать одно значение у. Например, множество координат {(2, 3) (2, 4) (6, 9)} дано не для функции, потому что одному значению х=2 соответствуют два разных значения у: у=3 и у=4.^[5]
   

   Реклама

1. 

   1

   Прочитайте задачу. «Ольга продает билеты в театр по 500 рублей за билет. Общая вырученная сумма за проданные билеты является функцией от количества проданных билетов. Какова область значений этой функции?»

2. 

   2

   Запишите задачу как функцию. В этом случае М — общая вырученная сумма за проданные билеты, а t — количество проданных билетов. Так как один билет стоит 500 рублей, надо умножить количество проданных билетов на 500, чтобы найти вырученную сумму. Таким образом, функция может быть записана в виде M(t) = 500t.

   • Например, если она продаст 2 билета, нужно умножить 2 на 500 — в итоге получим 1000 рублей, вырученных за проданные билеты.

3. 

   3

   Найдите область определения. Для нахождения области значений вы должны сначала найти область определения. Это все возможные значения t. В нашем примере Ольга может продать 0 или больше билетов, — она не может продать отрицательное число билетов. Поскольку мы не знаем количество мест в театре, можно предположить, что теоретически она может продать бесконечное число билетов. И она может продавать только целые билеты (она не может продать, например, 1/2 билета). Таким образом, область определения функции t = любое неотрицательное целое число.

4. 

   4

   Найдите область значений. Это возможное количество денег, которые Ольга выручит от продажи билетов. Если вы знаете, что область определения функции — любое неотрицательное целое число, а функция имеет вид: М(t) = 5t, то вы можете найти вырученную сумму, подставив в функцию любое неотрицательное целое число (вместо t). Например, если она продаст 5 билетов, то М(5) = 5*500 = 2500 рублей. Если она продаст 100 билетов, то М(100) = 500 х 100 = 50000 рублей. Таким образом, область значений функции — любые неотрицательные целые числа, кратные пятистам.

   • Это означает, что любое неотрицательное целое число, которое делится на 500, является значением у (вырученная сумма) нашей функции.

   Реклама

Советы

• В более сложных случаях лучше сначала чертить график, используя область определения, и только потом находить область значений.
• Посмотрите, можете ли вы найти обратную функцию. Область определения обратной функции равна области значений исходной функции.
• Проверьте, повторяется ли функция. Любая функция, которая повторяется вдоль оси x, будет иметь ту же область значений для всей функции. Например, область значений для f(x) = sin(x) будет составлять от -1 до 1.

Реклама

Содержание

Математика ( Справочник )

• D(f) — те значения, которые может принимать аргумент, т.е. область определения функции.

• E(f) — те значения, которые может принимать функция, т.е. множество значений функции.

1. последовательное нахождение значений сложных аргументов функции;

2. метод оценок/границ;

3. использование свойств непрерывности и монотонности функции;

4. использование производной;

5. использование наибольшего и наименьшего значений функции;

6. графический метод;

7. метод введения параметра;

8. метод обратной функции.

Рассмотрим некоторые из них.

Общий подход к нахождению множества значений непрерывной функции f(x) заключается в нахождении наибольшего и наименьшего значения функции f(x) в области ее определения (или в доказательстве того, что одно из них или оба не существуют).

В случае, если нужно найти множества значений функции на отрезке:

1. найти производную данной функции f ‘(x);

2. найти критические точки функции f(x) и выбрать те из них, которые принадлежат данному отрезку;

3. вычислить значения функции на концах отрезка и в выбранных критических точках;

4. среди найденных значений выбрать наименьшее и наибольшее значения;

5. Множество значений функции заключить между этими значениями.

Если областью определения функции является интервал, то используется та же схема, но вместо значений на концах используются пределы функции при стремлении аргумента к концам интервала. Значения пределов из не входят в множество значений.

Для нахождения множества значений функции сначала находят множество значений аргумента, а затем отыскивают соответствующие наименьше и наибольшее значения функции функции. Используя неравенства — определяют границы.

Суть состоит в оценке непрерывной функции снизу и сверху и в доказательстве достижения функцией нижней и верхней границы оценок. При этом совпадение множества значений функции с промежутком от нижней границы оценки до верхней обуславливается непрерывностью функции и отсутствием у неё других значений.

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

$f(x)=sin^{2}{x}+cos{x}-frac{1}{2}$

$y=5-4sin{x}$

$y=cos{7x}+5cos{x}$

$f(x)=1+2sin^{2}{x}$

$$
\ -1leqsin{x}leq 1
\ 0leqsin^{2}{x}leq 1
\ 0leq2sin^{2}{x}leq 2
\ 1leq1+2sin^{2}{x}leq 3
$$
Ответ: E(f) = [1; 3].

$f(x)=3-2^{3+{rm tg}^{2}, x}$

$$
\ -infty < {rm tg}, x < +infty
\ 0 leq {rm tg}^{2}, x < +infty
\ 3 leq 3+{rm tg}^{2}, x < +infty
\ 2^{3} leq 2^{3+{rm tg}^{2}, x} < +infty
\ -infty < -2^{3+{rm tg}^{2}, x} leq -8
\ -infty < 3-2^{3+{rm tg}^{2}, x} leq -5
$$
Ответ: E(f) = (–∞; -5].

$f(x)=2+sqrt{16-lg^{2}{x}}$

$$
\ -infty < lg{x} < +infty
\ 0 leq lg^{2}{x} < +infty
\ -infty < -lg^{2}{x} leq 0
\ -infty < 16-lg^{2}{x} leq 16
\ 0 leq sqrt{16-lg^{2}{x}} leq 4
\ 2 leq 2+sqrt{16-lg^{2}{x}} leq 6
$$
Ответ: E(f) = [2; 6].

$f(x)=sqrt{2-x}+sqrt{2+x}$

$y=sin{x}+cos{x}$

Статьи:

• Область значения функций в задачах ЕГЭ, Минюк Ирина Борисовна

• Советы по нахождению множества значений функции, Беляева И., Федорова С.

• Нахождение множества значений функции

• Как решать задачи по математике на вступительных экзаменах, И.И.Мельников, И.Н.Сергеев

На данном рисунке область значений функции $y=f(x)$ равна $E(y)=3$, так как на протяжении всего отрезка функция $y$ не меняет своего значения и всегда равна $3$, тогда как область определения функции $D(y)=[0;3.5]$.

Скобки в данном случае для области определения функции необходимо использовать квадратные, так как обе точки закрашены, то есть включены в отрезок. В случае если точки не закрашены, они не включаются в отрезок и тогда применяются круглые скобки.

Дана функция $f(x)=sqrt{16-x^2}$. Найдите область её значений.

Сначала определяем, какие значения может принимать $x$ для существования функции.

При значении $x^2>16$ под корнем получается отрицательное число, а это значит, что область определения функции от $[-4;4]$ включительно.

Теперь найдём производную функции:

$(sqrt{16-x^2})’=-frac{x}{sqrt{16-x^2}}$

Если в знаменателе производной нуль, то производной не существует, в данном случае это условие выполняется при $x=±4$.

Приравниваем производную к нулю и находим значения $x$. Производная данной функции принимает нулевое значение при $x=0$. Теперь подставляем найденные значения производной в нашу функцию, и получаем, что наименьшее значение функции — это $f(4)$ и $f(-4)$, при этих значениях функция равна нулю, а наибольшее значение $f(x)$ — при $x=0$, в этой точке функция равна $16$.

Определите область значений функции:

$y=6-4sinx$

Проанализируем данную функцию. Так как минимальное значение синуса равно минус единице, а а максимальное — единице, то подставив эти значения получаем, что $max(f(x))=10$ при $x=frac{3π}{2}$, а минимум $min(f(x))=2$ при $x=frac{π}{2}$. Следовательно, множество значений, которые может принимать данная функция — $E(x)=[2;10]$.

×

×

Для установки калькулятора на iPhone — просто добавьте страницу
«На главный экран»

Для установки калькулятора на Android — просто добавьте страницу
«На главный экран»