Как составить уравнение прямых параллелограмма

4.1.8. Примеры решения задач по теме «Уравнение прямой на плоскости»

Даны уравнения двух сторон параллелограмма: 2Х + У + 3 = 0 и 2Х – 5У + 9 = 0 и уравнение одной из его диагоналей: 2Х – у — 3 = 0. Найти координаты вершин этого параллелограмма.

Выясните, уравнения каких сторон даны в условии задачи: параллельных или

Смежных, и как расположена данная диагональ по отношению к данным сторонам.

Выясним, уравнения каких сторон даны в условии задачи: параллельных или

Следовательно, прямые пересекаются, то есть даны уравнения смежных сторон параллелограмма.

Условие параллельности прямых

.

Пусть даны уравнения сторон АВ и AD. Тогда координаты точки А будут решением системы уравнений:

Теперь определим, уравнение какой диагонали: АС или BD – нам известно. Если это диагональ АС, то на ней лежит точка А, следовательно, координаты этой точки должны удовлетворять уравнению диагонали. Проверим:

Значит, точка А не лежит на данной прямой, то есть дано уравнение диагонали BD.

Тогда вершина В лежит на прямых АВ и BD, значит, ее координаты найдем из системы:

Система уравнений для определения координат точки D составлена из уравнений прямых AD И BD:

Остается найти координаты точки С. Составим уравнения прямых ВС и DC.

Поскольку ВС параллельна AD, их угловые коэффициенты равны. Найдем угловой коэффициент прямой AD:

Тогда ВС можно задать уравнением

Найдем координаты точки С, решив систему из двух полученных уравнений:

Найти точку, симметричную точке А(2; 1) относительно прямой, проходящей через точки В(-1; 7) и С(1; 8).

Представьте себе, что вам нужно Построить искомую точку на плоскости. Последовательность действий при этом можно задать так:

1) провести прямую ВС;

2) провести через точку А прямую, перпендикулярную ВС;

3) найти точку О пересечения этих прямых и отложить на прямой АО по другую сторону прямой ВС отрезок ОА1 = АО.

Представим себе, что нам нужно Построить искомую точку на плоскости. Последовательность действий при этом можно задать так:

4) провести прямую ВС;

5) провести через точку А прямую, перпендикулярную ВС;

6) найти точку О пересечения этих прямых и отложить на прямой АО по другую сторону прямой ВС отрезок ОА1 = АО.

Тогда точка А1 будет симметричной точке А относительно прямой ВС.

Теперь заменим каждое из действий составлением уравнений и вычислением координат точек.

1) Найдем уравнение прямой ВС в виде:

2) Найдем угловой коэффициент прямой ВС:

Прямая АО Перпендикулярна прямой ВС, поэтому

Составим уравнение прямой АО:

3) Найдем координаты точки О как решение системы:

4) Точка О – середина отрезка АА1, поэтому

Найти угол между прямыми L1: 3Х – у + 5 = 0 и L2: 2Х + У – 7 = 0.

Если J – угол между прямыми L1 и L2, то J = A2 — A1, где A2 и A1 – углы, образованные прямыми L1 и L2 с положительной полуосью Ох. Тогда

Где K1 и K2 – угловые коэффициенты прямых L1 и L2.

Если J – угол между прямыми L1 и L2, то J = A2 — A1, где A2 и A1 – углы, образованные прямыми L1 и L2 с положительной полуосью Ох. Тогда

Где K1 и K2 – угловые коэффициенты прямых L1 и L2. Найдем K1 и K2: для L1

Y = 3X + 5, K1 = 3; для второй: Y = -2X + 7, K2 = -2. Следовательно,

Для прямых А1х + В1У + С1 = 0 И А2Х + В2У + С2 = 0

.

Определить, лежит ли точка М(2; 3) внутри или вне треугольника, стороны которого заданы уравнениями 4Х – у – 7 = 0, Х + 3У – 31 = 0, Х + 5У – 7 = 0.

Если точка М расположена внутри треугольника АВС, то ее отклонение δ от каждой стороны треугольника имеет тот же знак, что и для вершины, не лежащей на этой стороне, а если точка М лежит вне треугольника, то по крайней мере с одной из вершин она окажется в разных полуплоскостях относительно стороны треугольника.

Пусть первое уравнение задает сторону АВ, второе – ВС, третье – АС. Найдем координаты точек А, В и С:

Для ответа на вопрос задачи отметим, что:

1) если точка М расположена внутри треугольника АВС, то ее отклонение δ от каждой стороны треугольника имеет тот же знак, что и для вершины, не лежащей на этой стороне (т. е. точка М расположена относительно каждой стороны треугольника в одной полуплоскости с третьей вершиной);

2) если точка М лежит вне треугольника, то по крайней мере с одной из вершин она окажется в разных полуплоскостях относительно стороны треугольника (на рисунке: точки М1 и В расположены по разные стороны от прямой АС).

Составим нормальные уравнения сторон треугольника АВС:

Вычислим соответствующие отклонения:

1) для точек М и А относительно прямой ВС:

2) для точек М и В относительно прямой АС:

3) для точек М и С относительно прямой АВ:

Итак, точки М И С лежат по разные стороны от прямой АВ. Следовательно, точка М расположена вне треугольника АВС.

Ответ: Точка М расположена вне треугольника АВС.

Для треугольника АВС с вершинами А(-3; -1), В(1; 5), С(7; 3) составить уравнения медианы и высоты, выходящих из вершины В.

Составьте уравнение медианы как прямой, проходящей через точки В и М – середину стороны АС, а высоты – как прямой, проходящей через точку В и перпендикулярной стороне АС.

1) Медиана ВМ проходит через точку В и точку М – середину отрезка АС. Найдем координаты точки М:

Тогда уравнение медианы можно записать в виде:

2) Высота ВН перпендикулярна стороне АС. Составим уравнение АС:

Ответ: медиана ВМ: 4Х + У – 9 = 0; высота ВН: 5Х + 2У – 15 = 0.

Определить, при каком значении А прямая

Параллельна оси ординат. Написать уравнение прямой.

Если прямая параллельна оси ординат, то в уравнении Ах + Ву + С = 0

Если прямая параллельна оси ординат, то в уравнении Ах + Ву + С = 0

В = 0, С ≠ 0. Из условия В = 0 получаем: А2 – 1 = 0, А = ± 1.

При А = 1 С = 2 + 7 – 9 = 0 – второе условие не выполняется (получившаяся при этом прямая -4Х = 0 не параллельна оси Оу, а совпадает с ней).

При А = -1 получим: -6Х – 14 = 0, 3Х + 7 = 0.

Составить уравнения всех прямых, проходящих через точку М(2; 3) и отсекающих от координатного угла треугольник площадью 12.

Составьте уравнение искомой прямой «в отрезках»:

Где |A| и |B| — длины отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях. Тогда

Откуда |Ab| = 24. Кроме того, координаты точки М(2; 3) должны удовлетворять уравнению «в отрезках».

Составим уравнение искомой прямой «в отрезках»:

Где |A| и |B| — длины отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях. Тогда

Откуда |Ab| = 24. Кроме того, координаты точки М(2; 3) должны удовлетворять уравнению «в отрезках». Таким образом, для А и B можно составить систему уравнений:

Следовательно, условию задачи удовлетворяют три прямые:

Задача 59148 Подскажите как правильно решать! Найти.

Условие

Подскажите как правильно решать! Найти уравнение диагонали параллелограмма, проходящей через точку пересечения его сторон x+y-1=0 если у+1=0 если известно что диагональ параллелограмма пересекается в точке F(-1, 0) И надо ли в этой задаче чертить рисунок?

Решение

Можно нарисовать схематический чертеж, чтобы понять как решать задачу ( cм. рис)

Противоположные стороны параллелограмма параллельны.

Даны уравнения смежных сторон. Это может быть АВ и ВС

1) чтобы найти точку пересечения сторон АВ и ВС

Это и есть координаты точки B.

2)
Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:
(2;-1) и F(–1, 0)

Это можно сделать двумя способами:

Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид:
y=kx+b

Подставляем координаты точек:
-1=k*2+b
0=k*(-1)+b
находим k и b

[b]x+3y+1=0[/b] — это ответ.

Второй способ
Уравнение прямой, проходящей через две точки имеет вид: ( cм. скрин)

Подставляем координаты точек

и получаем пропорцию:

[b]x+3y+1=0[/b]- ответ.

Как составить уравнение прямых параллелограмма

Даны уравнения двух сторон параллелограмма x + 2y + 1 = 0 (AB), 2x + y — 3 = 0 (AD) и точка пересечения его диагоналей N(1, 2). Найти уравнения двух других сторон этого параллелограмма.

При решении, замечая, что данные стороны параллелограмма не параллельны, будем следовать такому плану:

1) Найдем координаты точки A пересечения данных сторон.

2) Зная координаты точек A и N, найдем координаты точки C, что мы легко сможем сделать по формуле определения координат середины отрезка.

3) Через найденную точку C проведем сначала прямую, параллельную AD, а потом прямую, параллельную AB.

4) Определим координаты точки A, как точки пересечения прямых AB и AD, и получим, что

5) Формулы для определения координат середины отрезка в данном случае запишутся так:

По этим формулам получим

Итак, точка .

6) Через точку C проведем прямую, параллельную AD, и получим, что уравнение стороны BC будет таким:

Решение типового варианта контрольной работы. Аналитическая геометрия.

Задача №1.

Даны три последовательные вершины параллелограмма А(2;-3), В(5;1),С(3;-4). Не находя координаты вершины D, найти:

1)  уравнение стороны AD;

2)  уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD;

3)  длину высоты BK;

4)  уравнение диагонали BD;

5)  тангенс угла между диагоналями параллелограмма.

Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж.

Решение.

Сначала построим чертеж. Построим в прямоугольной декартовой системе координат точки , , . Построим отрезки и .

Рис. 1

Достроим полученный рисунок до параллелограмма и нанесем на чертеж высоту BK.

Рис. 2

1)  Составим уравнение прямой AD.

А) Предварительно найдем уравнение прямой BС. Уравнение прямой, проходящей через точки и , имеет вид

(3.1)

По условию , . Подставим координаты точек и в уравнение (3.1): , т. е. .

Запишем полученное уравнение в общем виде, то есть в виде . Для этого в последнем уравнении избавимся от знаменателей и проведем преобразования, перенося все слагаемые в левую часть равенства: или .

Из этого уравнения выразим : ; . Получили уравнение вида — уравнение с угловым коэффициентом.

Б) Воспользуемся тем фактом, что противоположные стороны параллелограмма параллельны. Составим искомое уравнение прямой AD как уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой .

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, имеет вид

(3.2)

Где направление определяется угловым коэффициентом .

Условие параллельности двух прямых и имеет вид

(3.3)

По условию задачи , прямая . Подставим координаты точки в уравнение (3.2): . Так как прямая параллельна прямой , то в силу формулы (3.3) их угловые коэффициенты совпадают. Угловой коэффициент прямой равен , следовательно, уравнение прямой имеет вид .

Запишем уравнение прямой в общем виде. Для этого раскроем скобки и все слагаемые перенесем в левую часть равенства: . Умножим обе часть равенства на (-2) и получим общее уравнение прямой : .

Запишем уравнение прямой в виде с угловым коэффициентом. Для этого выразим из общего уравнения: .

2) Составим уравнение высоты , проведенной из вершины на сторону как уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой .

Условие перпендикулярности двух прямых и имеет вид

(3.4)

Подставим координаты точки в уравнение (3.2): . Так как высота перпендикулярна прямой , то их угловые коэффициенты связаны соотношением (3.4). Угловой коэффициент прямой равен , следовательно, угловой коэффициент высоты равен и уравнение прямой имеет вид . Запишем уравнение высоты в общем виде: . Запишем это же уравнение в виде с угловым коэффициентом: .

3) Найдем длину высоты как расстояние от точки до прямой .

Расстояние от точки до прямой представляет собой длину перпендикуляра, опущенного из точки на прямую и определяется формулой

(3.5)

Так как перпендикулярна , то длина может быть найдена с помощью формулы (3.5). По условию , прямая определяется уравнением . В силу формулы (3.5) длина высоты равна =.

4) Найдем уравнение диагонали как уравнение прямой, проходящей через точки И , где — середина отрезка .

А) Если и , то координаты точки — середины отрезка , определяются формулами

(3.6)

По условию , . В силу формул (3.6) имеем: , . Следовательно .

Б) Так как точка пересечения диагоналей является их серединой, то точка (середина отрезка ) является точкой пересечения диагоналей и диагональ проходит через точку .

Воспользуемся уравнением (3.1). По условию , . В силу формулы (3.1) уравнение прямой (диагонали ) имеет вид: или . Запишем это уравнение в общем виде: . Запишем это же уравнение в виде с угловым коэффициентом: .

5) Найдем тангенс угла между диагоналями и .

А) Найдем уравнение диагонали как уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Воспользуемся уравнением (3.1). По условию , . Следовательно, . Общее уравнение диагонали имеет вид , уравнение с угловым коэффициентом – вид , угловой коэффициент прямой равен .

Б) Уравнение диагонали имеет вид , ее угловой коэффициент .

В) Тангенс угла между прямыми и определяется формулой

Следовательно, . Отсюда .

Задача №2.

Условие задачи №2 несколько различается в зависимости от номера варианта контрольной работы. Приведем решения простейших задач, входящих в это задание.

1) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки , , .

Решение.

Уравнение плоскости, проходящей через точки , , имеет вид:

(3.7)

Тогда уравнение плоскости в силу уравнения (3.7) имеет вид или .

Запишем полученное уравнение в общем виде, т. е. в виде . Для этого раскроем определитель по первой строке . После преобразований получим: .

2) Найти нормальный вектор плоскости .

Решение.

Нормальный вектор — это вектор, перпендикулярный плоскости. Если плоскость задана общим уравнением , то нормальный вектор имеет координаты .

Рис. 3

Для плоскости нормальным является вектор =.

Отметим, что любой вектор, коллинеарный вектору = так же является нормальным вектором плоскости . Таким образом, при каждом ненулевом вектор с координатами будет являться нормальным вектором рассматриваемой плоскости.

3) Найти косинус угла между плоскостями и .

Решение.

Угол между двумя плоскостями и представляет собой угол между их нормальными векторами и определяется равенством

Для плоскости координаты нормального вектора определяются равенствами , , . Для плоскости — равенствами , , . Следовательно, =.

4) Составить уравнение плоскости , проходящей через точку параллельно плоскости : .

Решение.

Уравнение плоскости, проходящей через точку , имеет вид

(3.8)

Подставим в уравнение (3.8) координаты точки : .

Условие параллельности плоскостей и имеет вид

(3.9)

Так как плоскости и параллельны, то в качестве нормального вектора Плоскости можно взять нормальный вектор плоскости , т. е. в формуле (3.9) отношение можно принять равным единице. Следовательно, уравнение плоскости примет вид . Запишем это уравнение в общем виде: .

5) Найти расстояние от точки до плоскости : .

Решение.

Расстояние от точки до плоскости представляет собой длину перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость, и определяется формулой

(3.10)

Для плоскости координаты нормального вектора определяются равенствами , , . Следовательно, .

6) Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точки и .

Решение.

Уравнения прямой, проходящей через точки и имеют вид

(3.11)

Так как , , то в силу (3.11) получим уравнения или .

7) Найти направляющий вектор прямой .

Решение.

Направляющий вектор — это вектор, параллельный прямой.

Если прямая задана каноническими уравнениями , то направляющий вектор имеет координаты .

Рис. 4

Для рассматриваемой прямой направляющим вектором является вектор .

Отметим, что любой вектор, коллинеарный вектору так же является направляющим вектором прямой . Таким образом, при каждом ненулевом вектор с координатами будет являться направляющим вектором рассматриваемой прямой.

Найти косинус угла между прямыми и .

Решение.

Угол между двумя прямыми и представляет собой угол между их направляющими векторами и определяется равенством

Для прямой координаты направляющего вектора определяются равенствами , , . Для прямой — равенствами , , . Значит, .

9) Составить канонические уравнения прямой , проходящей через точку параллельно прямой : .

Решение.

Канонические уравнения прямой имеют вид . Здесь — координаты точки, через которую проходит прямая.

В канонические уравнения прямой подставим координаты точки . Получим: .

Условие параллельности прямых и имеет вид

(3.12)

Так как прямые и параллельны, то в качестве направляющего вектора прямой можно взять направляющий вектор прямой , т. е. в формуле (3.12) отношение можно принять равным единице. Следовательно, уравнение прямой примет вид .

10) Найти угол между прямой : и плоскостью : .

Решение.

Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Угол между прямой и плоскостью равен , где — угол между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости.

Рис. 5

Угол между прямой и плоскостью определяется формулой

Для плоскости : координаты нормального вектора определяются равенствами , , . Для прямой : координаты направляющего вектора — равенствами , , . Синус угла между прямой и плоскостью равен =. Следовательно, .

11) Составить уравнение плоскости , проходящей через точку перпендикулярно прямой : .

Решение.

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку, имеет вид .

Подставим в указанное уравнение координаты точки . Получим: .

Условие перпендикулярности плоскости и прямой имеет вид

(3.13)

Так как искомая плоскость перпендикулярна прямой , то в качестве нормального вектора плоскости можно взять направляющий вектор прямой , т. е. в формуле (3.13) отношение можно принять равным единице. Следовательно, уравнение плоскости примет вид . Запишем это уравнение в общем виде: .

12) Составить канонические уравнения прямой , проходящей через точку перпендикулярно плоскости : .

Решение.

Канонические уравнения прямой, проходящей через данную точку, имеют вид .

Подставим в эти уравнения координаты точки . Получим:

Условие перпендикулярности прямой и плоскости имеет вид .

Так как прямая перпендикулярна плоскости , то в качестве направляющего вектора прямой можно взять нормальный вектор плоскости , т. е. в формуле (3.13) отношение можно принять равным единице. Следовательно, уравнение прямой примет вид: .

13) Найти координаты точки пересечения прямой : и плоскости : .

Решение.

Координаты точки пересечения прямой и плоскости представляют собой решение системы

(3.14)

Запишем параметрические уравнения прямой : и подставим выражения для в уравнение плоскости : . Отсюда ; . Подставим найденное значение в параметрические уравнения прямой : . Следовательно, .

Задача №3.

К кривым второго порядка относятся эллипс (рис.6), гипербола (рис. 7 и 8), парабола (рис. 9-12). Приведем рисунки и канонические уравнения этих кривых.

Эллипс

Рис. 6

Гипербола Гипербола .

Рис. 7 Рис. 8

Парабола Парабола

Рис. 9

Рис. 10

Парабола Парабола

Рис. 11

Рис. 12

Приведем примеры решения задачи №3.

Пример 1. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и построить кривую.

Решение.

Для приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду применяют метод выделения полного квадрата.

Сгруппируем слагаемые, содержащие текущие координаты. Коэффициенты при и вынесем за скобки: .

Выделим полный квадрат: . Отсюда . Разделим обе части равенства на 25: . Запишем полученное уравнение в каноническом виде: .

Выполним параллельный перенос осей координат по формулам . При таком преобразовании начало координат переносится в точку , уравнение эллипса принимает канонический вид .

В нашем примере , , , .

Итак, рассматриваемое уравнение определяет эллипс с центром в точке и полуосями и .

Рис. 13

Пример 2. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и построить кривую.

Решение.

Как и в предыдущем примере, сгруппируем слагаемые, содержащие текущие координаты: .

В скобках выделим полный квадрат: ; . Отсюда .

Выполним замену переменных . После этого преобразования уравнение параболы принимает канонический вид , вершина параболы в системе координат расположена в точке .

Рис. 14

Задача №4.

Кривая задана в полярной системе координат уравнением .

Требуется:

1)  найти точки, лежащие на кривой, давая значения через промежуток, равный , начиная от до ;

2)  построить полученные точки;

3)  построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью лекала);

4)  составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе координат.

Решение.

Сначала построим таблицу значений и :

	0
	2,00	1,92	1,71	1,38	1,00	0,62	0,29	0,08	0,00	0,08	0,29	0,62	1,00	1,38	1,71	1,92

Построим эти точки в полярной системе координат. Полярная система координат состоит из начала координат (полюса) и полярной оси . Координаты точки в полярной системе координат определяются расстоянием от полюса (полярным радиусом) и углом между направлением полярной оси и полярным радиусом (полярным углом). Для того, чтобы построить точку , необходимо построить луч, выходящий из точки под углом к полярной оси; отложить на этом луче отрезок длиной .

Рис. 15

Построим все точки, определенные в таблице и соединим их плавной линией

Рис. 16

Запишем уравнение рассматриваемой кривой в прямоугольной декартовой системе координат. Для этого воспользуемся формулами перехода от декартовой к полярной системе координат.

Если полюс совпадает с началом координат прямоугольной декартовой системы координат, полярная ось – с осью абсцисс, то между прямоугольными декартовыми координатами и полярными координатами существует следующая связь:

,

Откуда

Рис. 17

Итак, в уравнении исходной кривой , . Поэтому уравнение принимает вид . После преобразований получим уравнение .

Задача №5.

Построить на плоскости геометрическое место точек, определяемое неравенствами

1)

2)

Решение.

Для того, чтобы решить неравенство на плоскости, надо построить график линии . Кривая разбивает плоскость на части, в каждой из которых выражение сохраняет свой знак. Выбирая пробную точку в каждой из этих частей, найдем часть плоскости, являющуюся искомым решением неравенства.

1) Построим прямые и , заштрихуем область, в которой . Затем построим параболу и заштрихуем область, содержащую ось симметрии параболы (расположенную внутри параболы); построим прямую и заштрихуем область, лежащую выше прямой. Пересечение всех заштрихованных областей и определит множество точек, представляющих решение рассматриваемой системы.

Рис. 18

2) Построим линию, определяемую уравнением . Эта линия представляет собой ту часть окружности или , на которой . Далее построим прямую (). Решением рассматриваемого двойного неравенства является часть плоскости, расположенная между нижней половиной окружности с центром в точке радиуса прямой .

Рис. 19

< Предыдущая		Следующая >

210

Определить, какие из точек M₁(3; 1), M₂(2; 3), M₃(6; 3), M₄(-3;
-3), M₅(3; -1), M₆(-2; 1) лежат
на прямой и какие на ней не лежат. 211 Точки P₁,
P₂, P₃, P₄, P₅ расположены
на прямой ; их абсциссы соответственно равны
числам 4; 0; 2; -2; -6. Определить ординаты этих точек. 212 Точки Q₁,
Q₂, Q₃, Q₄, Q₅ расположены
на прямой ; их ординаты соответственно равны
числам 1; 0; 2; -1, 3. Определить абсциссы этих точек. 213 Определить точки
пересечения прямой с координатными
осями и построить эту прямую на чертеже. 214 Найти точку
пересечения двух прямых , . 215 Стороны АВ, ВС и АС
треугольника АВС даны соответственно
уравнениями , , . Определить
координаты его вершин. 216 Даны уравнения двух
сторон параллелограмма , и уравнение одной из
его диагоналей .
Определить координаты вершин
этого параллелограмма. 217 Стороны
треугольника лежат на прямых , , . Вычислить его площадь S. 218 Площадь
треугольника S=8, две его вершины суть точки А(1; -2),
В(2; 3), а третья вершина С лежит на прямой . Определить координаты вершины С. 219 Площадь
треугольника S=1,5, две его вершины суть точки А(2;
-3), В(3; -2), центр масс этого треугольника лежит на
прямой .
Определить координаты третьей
вершины С. 220 Составить
уравнение прямой и построить прямую на чертеже,
зная ее угловой коэффициент k и отрезок b,
отсекаемый ею на оси Oy: 220.1 k=2/3, b=3; 220.2 k=3, b=0; 220.3 k=0, b=-2; 220.4 k=-3/4, b=3; 220.5 k=-2, b=-5; 220.6 k=-1/3, b=2/3. 221 Определить угловой
коэффициент k и отрезок b, отсекаемый на оси Oy, для
каждой из прямых: 221.1 ; 221.2 ; 221.3 ; 221.4 ; 221.5 . 222 Дана прямая . Определить угловой коэффициент k
прямой: 222.1 Параллельной
данной прямой; 222.2 Перпендикулярно к
данной прямой. 223 Дана прямая . Составить уравнение прямой,
проходящей через точку М₀(2; 1): 223.1 Параллельно данной
прямой; 223.2 Перпендикулярно
данной прямой. 224 Даны уравнения двух
сторон прямоугольника , и одна из его вершин
А(2; -3). Составить уравнения двух других сторон
этого прямоугольника. 225 Даны уравнения двух
сторон прямоугольника , и уравнение одной из
его диагоналей .
Найти вершины прямоугольника. 226 Найти проекцию
точке Р(-5; 13) относительно прямой . 227 Найти точку Q,
симметричную точке Р(-5; 13) относительно прямой . 228 В каждом из
следующих случаев составить уравнение прямой,
параллельной двум данным прямым и проходящей
посередине между ними: 228.1 , ; 228.2 , ; 228.3 , ; 228.4 , ; 228.5 , . 229 Вычислить угловой
коэффициент k прямой, проходящей через две данные
точки: 229.1 M₁(2;
-5), M₂(3; 2); 229.2 P(-3, 1), Q(7; 8); 229.3 A(5; -3), B(-1; 6). 230 Составить
уравнения прямых, проходящих через вершины
треугольника A(5; -4), B(-1; 3), C(-3; -2) параллельно
противоположным сторонам. 231 Даны середины
сторон треугольника M₁(2; 1), M₂(5;
3), M₃(3; -4). Составить
уравнение его сторон. 232 Даны две точки P(2; 3),
Q(-1; 0). Составить уравнение прямой, проходящей
через точку Q перпендикулярно к отрезку . 233 Составить
уравнение прямой, если точка P(2; 3) служит
основанием перпендикуляра, опущенного из начала
координат на эту прямую. 234 Даны вершины
треугольника M₁(2; 1), M₂(-1; -1),
M₃(3; 2). Составить уравнения
его высот. 235 Стороны
треугольника даны уравнениями , , . Определить точку пересечения его
высот. 236 Даны вершины
треугольника A(1; -1), B(-2; 1), C(3; 5). Составить
уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины
А на медиану, проведенную из вершины В. 237 Даны вершины
треугольника A(2; -2), B(3; -5), C(5; 7). Составить
уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины
С на биссектрису внутреннего угла при вершине А. 238 Составить
уравнения сторон и медиан треугольника с
вершинами A(3; 2), B(5; -2), C(1; 0). 239 Через точки M₁(-1; 2), M₂(2; 3) проведена
прямая. Определить точки пересечения этой прямой
с осями координат. 240

Доказать,
что условие, при котором три точки M₁(x₁,
y₁), M₂(x₂, y₂), M₃(x₃,
y₃) лежат на одной прямой,
может быть записано в следующем виде:

241

Доказать,
что уравнение прямой, проходящей через две
данные точки M₁(x₁, y₁),
M₂(x₂, y₂), может
быть записано в следующем виде:

242 Даны
последовательные вершины выпуклого
четырехугольника A(-3; 1), B(3; 9), C(7; 6), D(-2; -6).
Определить точку пересечения его диагоналей. 243 Даны две смежные
вершины A(-3; -1), B(2; 2) параллелограмма ABCD и точка Q(3;
0) пересечения его диагоналей. Составить
уравнения сторон этого параллелограмма. 244 Даны уравнения двух
сторон прямоугольника , и уравнение его
диагонали . Составить уравнения остальных
сторон и второй диагонали этого прямоугольника. 245 Даны вершины
треугольника A(1; -2), B(5; 4), C(-2; 0). Составить
уравнения биссектрис его внутреннего и внешнего
углов при вершине А. 246 Составить
уравнение прямой, проходящей через точку P(3; 5) на
одинаковых расстояниях от точек A(-7; 3) и B(11; -15). 247 Найти проекцию
точки P(-8; 12) на прямую, проходящую через точки A(2;
-3), B(-5; 1). 248 Найти точку M₁, симметричную точке М₂(8;
-9) относительно прямой,
проходящей через точки А(3; -4), B(-1; -2). 249 На оси абсцисс
найти такую точку P, чтобы сумма ее расстояний до
точек M(1; 2), N(3; 4) была наименьшей. 250 На оси ординат
найти такую точку P, чтобы сумма ее расстояний до
точек M(-3; 2), N(2; 5) была наибольшей. 251 На прямой найти такую точку Р, сумма
расстояний которой до точек A(-7; 1), B(-5; 5) была бы
наименьшей. 252 На прямой найти такую точку Р, разность
расстояний которой до точек A(4; 1), B(0; 4) была бы
наибольшей. 253 Определить угол между двумя прямыми: 253.1 , ; 253.2 , ; 253.3 , ; 253.4 , . 254 Дана прямая . Составить уравнение прямой,
проходящей через точку M₀(2; 1) под углом 45⁰ к данной прямой. 255 Точка А(-4; 5)
является вершиной квадрата, диагональ которого
лежит на прямой . Составить
уравнения сторон и второй диагонали этого
квадрата. 256 Даны две
противоположные вершины квадрата A(-1; 3), C(6; 2).
Составить уравнения его сторон. 257 Точка E(1; -1) является
центром квадрата, одна из сторон которого лежит
на прямой . Составить уравнения
прямых, на которых лежат остальные стороны этого
квадрата. 258 Из точки M₀(-2; 3) под углом к оси
Ox направлен луч света. Известно, что . Дойдя
до оси Ox, луч от нее отразился. Составить
уравнения прямых, на которых лежат падающий и
отраженный лучи. 259 Луч света направлен
по прямой , луч от нее отразился.
Составить уравнение прямой, на которой лежит
отраженный луч. 260 Даны уравнения
сторон треугольника , , . Доказать, что этот треугольник
равнобедренный. Решить задачу при помощи
сравнения углов треугольника. 261 Доказатть, что
уравнение прямой, проходящей через точку M₁(x₁; y₁) параллельно
прямой , может быть записано в виде . 262 Составить
уравнение прямой, проходящей через точку М₁(2: -3) параллельно
прямой: 262.1 ; 262.2 ; 262.3 ; 262.4 ; 262.5 . 263 Доказать, что
условие перпендикулярности прямых ; может быть записано
в следующем виде: . 264 Установить, какие
из следующих пар прямых перпендикулярны. Решить
задачу, не вычисляя угловых коэффициентов данных
прямых. 264.1  , ; 264.2 , ; 264.3 , ; 264.4 , ; 264.5 , ; 264.6 , . 265

Доказать,
что формула для определения угла между
прямыми , может
быть записана в следующей форме:

266 Определить угол , образованный двумя прямыми. Решить
задачу, не вычисляя угловых коэффициентов данных
прямых. 266.1 , ; 266.2  , ; 266.3  , . 267 Даны две вершины
треугольника M₁(-10; 2), M₂(6; 4);
его высоты пересекаются в точке
N(5; 2). Определить координаты третьей вершины M₃. 268 Даны две вершины A(3;
-1), B(5; 7) треугольника ABC и точка N(4; -1) пересечения
его высот. Составить уравнения сторон этого
треугольника. 269 В треугольнике АВС
даны: уравнение стороны АВ: , уравнения
высот АМ: и BN: . Составить уравнения двух
других сторон и третьей высоты этого
треугольника. 270 Составить
уравнения сторон треугольника АВС, если даны
одна из его вершина А(1; 3) и уравнения двух медиан , . 271 Составить
уравнения сторон треугольника, сли даны одна из
его вершин B(-4; -5) и уравнения двух высот , . 272 Составить
уравнения сторон треугольника, зная одну из его
вершин A(4; -1) и уравнения двух биссектрис , . 273 Составить
уравнения сторон треугольника, зная одну из его
вершин B(2; 6), а также уравнения высоты и
биссектрисы , проведенных из одной вершины. 274 Составить
уравнения сторон треугольника, зная одну его
вершину B(2; -1), а также уравнения высоты и биссектрисы , проведенных из
различных вершин. 275 Составить
уравнения сторон треугольника, зная одну его
вершину C(4; -1), а также уравнения высоты и медианы , проведенной из
одной вершины. 276 Составить
уравнения сторон треугольника, зная одну его
вершину B(2; -7), а также уравнения высоты и медианы , проведенных из
различных вершин. 277 Составить
уравнения сторон треугольника, зная одну его
вершину C(4; 3), а также уравнения биссектрисы и медианы , проведенных из
одной вершины. 278 Составить
уравнения сторон треугольника, зная одну его
вершину A(3; -1), а также уравнения биссектрисы и медианы , проведенных из
различных вершин. 279 Составить
уравнение прямой, которая проходит черезначало
координат и вместе с прямыми , образует
треугольник с площадью, равной 1,5. 280 Среди прямых,
проходящих через точку P(3; 0), найти такую, отрезок
которой, заключенный между прямыми , , делится в точке Р
пополам. 281 Через точку Р(-3; -1)
проведены всевозможные прямые. Доказать, что
отрезок каждой из них, заключенный между прямыми , , делится
в точке Р пополам. 282 Через точку Р(0; 1)
проведены всевозможные прямые. Доказать, что
среди них нет прямой, отрезок которой,
заключенный между прямыми , , делился бы в точке Р
пополам. 283 Составить
уравнение прямой, проходящей через начало
координат, зная, что длина ее отрезка,
заключенного между прямыми , , равна . 284 Составить
уравнение прямой, проходящей через точку С(-5; 4),
зная, что длина ее отрезка, заключенного между
прямыми , , равна 5.

Приведём уравнения заданных прямых к виду с угловыми коэффициентами:

1) $$y = 2x + 3 (CD)$$ 2)$$y = -x/3 + 2/3 (BC)$$ Примем сторону CD лежащей на прямой 1), а BC — на прямой 2). Известную вершину параллелограмма с координатами (3; -1) обозначим A(3; -1). Через эту точку проходят прямые, параллельные соответственно прямым 1) и 2). При обходе контура параллелограмма против часовой стрелки считаем, что вершины его будут B, С, D. Уравнение 1) — это прямая CD, уравнение 2) — это прямая BC. Уравнение прямой AD находим из условия параллельности её прямой BC (угловые коэффициенты обеих прямых равны друг другу). Уравнение AD будет: $$y = -x/3 + b$$ Величину b находим из условия, что прямая AD проходит через точку A(3; -1). Отсюда: b = 0. Итак, уравнение AD $$y = -x/3$$ Прямая AB параллельна прямой CD. Значит, её уравнение будет:$$y = 2x + r$$ Величину r находим из условия прохождения прямой AB через точку A(3; -1). Значит: r = -7, а уравнение AB $$y = 2x — 7$$ Точка B — это точка пересечения прямых $$y = 2x — 7$$ и $$y = -x/3 + 2/3$$ Отсюда находим координаты точки B. $$y = 2x — 7 = -x/3 + 2/3$$ $$B(23/7;-3/7)$$ По аналогии находим координаты точки C. $$y = 2x — 3 = -2x/3 +2/3$$ $$C (-1;1)$$ Диагональ AC прходит через точки A(3;-1) и C(-1;1). Отсюда: $$((y — (-1))/ (1 — (-1) = (x — 3)/(-1 — 1). Или: y = — x/2 + 1/2$$ По аналогии находим уравнение диагонали, проходящей через точки B(23/7; -3/7) и D(-9/7; 3/7) $$y = (3/16)x — 177/714$$ Через точки A(3; -1), B(23/7; -3/7), C(-1: 1) и D(-9/7;3/7), построенные на масштабной бумаге или на клетчатой бумаге, проводим прямые (стороны параллелограмма и диагонали). Задача несложная, но требует много рутинной работы, поэтому за её решение никто и не берётся.