Уравнение параболы симметричной оси оy
Глава 20. Парабола
Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой. Фокус параболы обозначается буквой F , расстояние от фокуса до директрисы — буквой р. Число р называется параметром параболы.
Пусть дана некоторая парабола. Введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокус данной параболы перпендикулярно к директрисе и была направлена от директрисы к фокусу; начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой (рис.). В этой системе координат данная парабола будет определяться уравнением
(1)
Уравнение (1) называется каноническим уравнением параболы. В этой же системе координат директриса данной параболы имеет уравнение
.
Фокальный радиус произвольной точки М( x; y ) параболы (то есть длина отрезка F(M ) может быть вычислен по формуле
.
Парабола имеет одну ось симметрии, называемую осью параболы, с которой она пересекается в единственной точке. Точка пересечения параболы с осью называется ее вершиной. При указанном выше выборе координатной системы ось параолы совмещена с осью абсцисс, вершина находится в начале координат, вся парабола лежит в правой полуплоскости.
Если координатная система выбрана так, что ось абсцисс совмещена с осью параболы, начало координат — с вершиной, но парабола лежит в левой полуплоскости (рис.), то ее уравнение будет иметь вид
(2)
В случае, когда начало координат находится в вершине, а с осью совмещена ось ординат, парабола будет иметь уравнение
(3)
если она лежит в верхней полуплоскости (рис.), и
(4)
если в нижней полуплоскости (рис.)
Каждое из уравнений параболы (2), (3), (4), как и уравнение (1), называется каноническим.
2.5 Парабола
Парабола Есть геометрическое место точек на плоскости, равноотстоящих от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.
Выберем систему координат таким образом (рисунок 2.7): за ось ОХ примем прямую, проходящую через фокус F перпендикулярно к директрисе, за положительное направление примем направление от директрисы к фокусу. За начало координат примем середину О отрезка от точки F до директрисы, длину которого обозначим через Р и будем называть параметром параболы. Пусть М(Х, У) произвольная точка, лежащая на параболе. Пусть точка N основание перпендикуляра, опущенного из М На директрису. По определению параболы MN = MF.
Из этого условия получаем Каноническое уравнение параболы в выбранной системе координат
Пусть P > 0, исследуем форму параболы.
Из канонического уравнения параболы видно, что Х не может принимать отрицательных значений, т. е. все точки параболы лежат справа от оси ОY. Уравнение содержит переменную У В квадрате, значит парабола симметрична относительно оси ОХ, эта ось называется Осью Параболы. Точка О пересечения параболы с ее осью симметрии называется Вершиной параболы.
Для параболы, заданной уравнением (2.11), вершина совпадает с началом координат, а ось симметрии – с осью ОХ. График параболы имеет вид, изображенный на рисунке 2.7. Уравнение директрисы записывается в виде 
.
Фокус параболы для параболы с осью симметрии – осью Х имеет вид F(
,0), а для параболы с осью симметрии осью Y – F(0,).
Определяет параболу, область определения которой 
.
Имеет вершину в начале координат, фокус 
, директрису 
; ветви параболы направлены в положительную сторону оси OY и ветви направлены в отрицательную сторону оси OY, если уравнение параболы Х2 = –2Py. Осью симметрии такой параболы является ось ОY, а вершиной – начало координат.
Пример 2.4. Составить уравнение параболы и ее директрисы, зная, что она симметрична относительно оси ОY, фокус находится в точке F(0; 2), вершина совпадает с началом координат.
Решение. Будем искать уравнение параболы в виде Х2 = 2Py, так как по условию она симметрична относительно оси OY.
По условию 
, а значит, P = 4. Итак, искомое уравнение имеет вид Х2 = 8У, уравнение ее директрисы у = –2.
Парабола
Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки F этой плоскости, называемой фокусом параболы, и данной прямой, называемой ее директрисой.
Построим уравнение параболы.
Пусть ось Оx проходит через фокус F параболы и перпендикулярен директрисе, а ось Оу проходит посередине между фокусом и директрисой. Обозначим через p – расстояние между фокусом и директрисой. Тогда 
, а уравнение директрисы 
.
Число p – называется фокальным параметром параболы.
Пусть 
– произвольная точка параболы. Пусть 
– фокальный радиус точки M. d – расстояние от точки М до директрисы. Тогда 
По определению параболы 
. Следовательно
Возведем это уравнение в квадрат
(20)
– каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси Оx и проходящей через начало координат.
Точка (0; 0) – вершина параболы.
Если р > 0 (р > 0 ), то парабола (20) расположена правее (левее) оси Оу.
Так как для параболы 
, а для эллипса и гиперболы 
, то, следовательно, эксцентриситет параболы равен 1 (e = 1).
Заметим, что парабола, симметричная относительно Оу и проходящая через начало координат, определяется уравнением
Фокус этой параболы находится в точке 
. Уравнение ее директрисы 
. Фокальный радиус ее точки М(х, у) выражается формулой 
.
Если q > 0 (q 2 + у 2 – 4х + 6у – 3 = 0.
Выделим полные квадраты в данном уравнении:
х 2 + у 2 – 4х + 6у – 3 = (х 2 – 4х + 4) – 4 + (у 2 + 6у + 9) – 9 – 3 = 0
Þ (х – 2) 2 + (у + 3) 2 = 16.
Учитывая уравнение окружности (1), имеем, что ее центр находится в точке с координатами (2; –3), а радиус равен 4.
Эллипс, симметричный относительно осей координат, фокусы которого находятся на оси Ох, проходит через точку М(–4; 
) и имеет эксцентриситет 
. Написать уравнение эллипса и найти фокальные радиусы точки М.
Каноническое уравнение эллипса имеет вид 
Так как эллипс проходит через точку М, то ее координаты должны удовлетворять этому уравнению
Фокусы находятся на оси Ох, следовательно
Объединив полученные два уравнения в систему, найдем а 2 и в 2 :
Следовательно, уравнение данного эллипса имеет вид:
Фокальные радиусы точки М определим по формулам (8): х = –4, 
, .
Þ r1 = а + eх = 
= 8 – 3 = 5,
r2 = а – eх = 
= 8 + 3 = 11.
Определить траекторию точки М, которая при своем движении остается вдвое ближе к точке F (–1; 0), чем к прямой х = –4.
Пусть М (х, у). Тогда çMNú = 2 çMFú, çMNú = ç–4 – xú, çMFú= = 
, Þ ç– (4 + х)ú = 
.
Возведем в квадрат: (4 + х) 2 = 4 ((х + 1) 2 + у 2 ),
Þ 16 + 8х + х 2 = (х 2 + 2х + 1 + у 2 ) · 4 = 4х 2 + 8х + 4 + 4у 2 ,
Þ 3х 2 + 4у 2 = 12 Þ 
Þ 
.
Таким образом, точка М (х, у) движется по эллипсу.
Написать уравнение гиперболы, имеющей вершины в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса 
.
Из уравнения данного эллипса имеем: а = 5; в = 3, а > в.
Следовательно, 
Поэтому, вершинами эллипса будут точки (±5; 0), (0; ±3), а фокусами точки F1(–с; 0) = (–4; 0), F2(4; 0).
Так как фокусы эллипса находятся на оси Ох (а > в), то вершины (±5; 0) будут фокусами гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы, имеющей фокусы на оси Ох, имеет вид (13)
,
причем F1(–5; 0), F2(5; 0) – фокусы данной гиперболы, т. е. с1 = 5. Найдем а1 и в1.
Так как вершины данной гиперболы находятся в фокусах эллипса, то а1 = с = 4. Следовательно:
.
Таким образом, уравнение гиперболы имеет вид
Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от точки F(2; 0) и от прямой у = 2. Найти вершину параболы, точки пересечения ее с осью Ох.
Пусть точка М (х, у) – принадлежит данному множеству точек.
Следовательно çFMú = çNMú , çFMú == 
, çNMú = 2 – у, Þ 2 – у = 
.
Возведем в квадрат:
– парабола, ветви которой направлены вниз.
Найдем точки пересечения данной параболы с осью Ох.
у = 0 Þ 
Þ 
Þ х1 = 0; х2 = 4.
Т. е. это будут точки (0; 0); (4; 0).
Þ Вершина параболы будет в точке с абсциссой х = 2 Þ 
= = 2 – 1 = 1, т. е.
Вершиной параболы будет точка (2; 1).
На параболе у 2 = 6х найти точку, фокальный радиус которой равен 4,5.
Так как у 2 = 2рх Þ 2р = 6, р = 3. 
Þ 
= = 
Значит у 2 = 6 · 3 = 18 Þ у = ± 
= ±
. Þ (3; ±) – две таких точки.
1. Гусак А. А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.– Мн.: Тетрасистемс, 1998.
2. Овсеец М. И., Светлая Е. М. Сборник задач по высшей математике. Учебное издание.– Мн.: ЧИУиП, 2006.– 67 с.
http://matica.org.ua/metodichki-i-knigi-po-matematike/iunit-1-analiticheskaia-geometriia-na-ploskosti/2-5-parabola
http://kazedu.com/referat/105371/2
2.5 Парабола
Парабола Есть геометрическое место точек на плоскости, равноотстоящих от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.
Выберем систему координат таким образом (рисунок 2.7): за ось ОХ примем прямую, проходящую через фокус F перпендикулярно к директрисе, за положительное направление примем направление от директрисы к фокусу. За начало координат примем середину О отрезка от точки F до директрисы, длину которого обозначим через Р и будем называть параметром параболы. Пусть М(Х, У) произвольная точка, лежащая на параболе. Пусть точка N основание перпендикуляра, опущенного из М На директрису. По определению параболы MN = MF.
Из этого условия получаем Каноническое уравнение параболы в выбранной системе координат
Пусть P > 0, исследуем форму параболы.
Из канонического уравнения параболы видно, что Х не может принимать отрицательных значений, т. е. все точки параболы лежат справа от оси ОY. Уравнение содержит переменную У В квадрате, значит парабола симметрична относительно оси ОХ, эта ось называется Осью Параболы. Точка О пересечения параболы с ее осью симметрии называется Вершиной параболы.
Для параболы, заданной уравнением (2.11), вершина совпадает с началом координат, а ось симметрии – с осью ОХ. График параболы имеет вид, изображенный на рисунке 2.7. Уравнение директрисы записывается в виде .
Фокус параболы для параболы с осью симметрии – осью Х имеет вид F(,0), а для параболы с осью симметрии осью Y – F(0,).
Определяет параболу, область определения которой .
Имеет вершину в начале координат, фокус , директрису ; ветви параболы направлены в положительную сторону оси OY и ветви направлены в отрицательную сторону оси OY, если уравнение параболы Х2 = –2Py. Осью симметрии такой параболы является ось ОY, а вершиной – начало координат.
Пример 2.4. Составить уравнение параболы и ее директрисы, зная, что она симметрична относительно оси ОY, фокус находится в точке F(0; 2), вершина совпадает с началом координат.
Решение. Будем искать уравнение параболы в виде Х2 = 2Py, так как по условию она симметрична относительно оси OY.
По условию , а значит, P = 4. Итак, искомое уравнение имеет вид Х2 = 8У, уравнение ее директрисы у = –2.
Параллельный перенос и симметричные отображения графиков функций
Параллельный перенос графика по оси OX
Сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:
$$ y_1 = f(x), quad y_2 = f(x+a) $$
где $a gt 0$, произвольное положительное число.
$y_2=y_1 при x_2=x_1-3$
График смещается влево на 3 по оси OX
$ y_2 = y_1 при x_2 = x_1-3 $
График смещается влево на 3 по оси OX
$y_2 = y_1 при x_2 = x_1-3$
График смещается влево на 3 по оси OX
Теперь сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:
$$ y_1 = f(x), quad y_2 = f(x-a) $$
где $a gt 0$, произвольное положительное число.
$y_2 = y_1 при x_2 = x_1+2$
График смещается вправо на 2 по оси OX
$ y_2 = y_1 при x_2 = x_1+2$
График смещается вправо на 2 по оси OX
$y_2=y_1 при x_2 = x_1+2$
График смещается вправо на 2 по оси OX
При сравнении графиков двух функций
$$ y_1 = f(x), quad y_2 = f(x+a), quad a gt 0 $$
график второй функции смещается влево на a по оси OX по сравнению с графиком первой функции.
При сравнении графиков двух функций
$$ y_1 = f(x), y_2 = f(x-a), a gt 0 $$
график второй функции смещается вправо на a по оси OX по сравнению с графиком первой функции.
Заметим, что данные утверждения справедливы не только для рассмотренных функций, но и для любых других (синусов, косинусов, логарифмов и т.п.)
Параллельный перенос графика по оси OY
Сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:
$$ y_1 = f(x), quad y_2 = f(x)+a$$
где $a gt 0$, произвольное положительное число.
$y_2 = y_1+1 при x_2 = x_1$
График смещается вверх на 1 по оси OY
$ y_2 = y_1+1 при x_2 = x_1 $
График смещается вверх на 1 по оси OY
$y_2 = f(x)+1 = sqrt+1$
$y_2 = y_1+1 при x_2 = x_1$
График смещается вверх на 1 по оси OY
Теперь сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:
$$ y_1 = f(x), quad y_2 = f(x)-a $$
где $a gt 0$, произвольное положительное число.
$y_2 = y_1-2 при x_2 = x_1$
График смещается вниз на 2 по оси OY
$ y_2 = y_1-2 при x_2 = x_1$
График смещается вниз на 2 по оси OY
$y_2 = f(x)-2 = sqrt-2$
$y_2 = y_1-2 при x_2 = x_1$
График смещается вниз на 2 по оси OY
При сравнении графиков двух функций
$$ y_1 = f(x), quad y_2 = f(x)+a, quad a gt 0 $$
график второй функции смещается вверх на a по оси OY по сравнению с графиком первой функции.
При сравнении графиков двух функций
$$ y_1 = f(x), quad y_2 = f(x)-a, quad a gt 0 $$
график второй функции смещается вниз на a по оси OY по сравнению с графиком первой функции.
Заметим, что данные утверждения справедливы не только для рассмотренных функций, но и для любых других (синусов, косинусов, логарифмов и т.п.)
Симметрия относительно оси OX
Сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:
$$ y_1 = f(x), quad y_2 = -f(x)$$
$y_2 = -y_1 при x_2 = x_1$
График симметричен относительно оси OX
$y_2 = -y_1 при x_2 = x_1$
График симметричен относительно оси OX
Графики функций $y_1 = f(x), quad y_2 = -f(x)$ симметричны относительно оси OX.
Это справедливо для любой функции f(x).
Симметрия относительно оси OY
Сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:
$$ y_1 = f(x), quad y_2 = f(-x)$$
$y_2=y_1 при x_2 = -x_1$
График симметричен относительно оси OY
$y_2 = y_1 при x_2 = -x_1$
График симметричен относительно оси OY
Графики функций $y_1 = f(x), quad y_2 = f(-x)$ симметричны относительно оси OY.
Это справедливо для любой функции f(x).
Примеры
Пример 1. Постройте в одной координатной плоскости функции
$$ y = x^2, quad y = (x-3)^2, quad y = (x-3)^2+2, quad y = -x^2 $$
По сравнению с графиком $y = f(x) = x^2$:
- график функции $y = f(x-3) = (x-3)^2$ сдвинут вправо на 3 по OX(→)
- график функции $y = f(x-3)+2 = (x-3)^2+2 $ сдвинут вправо на 3 по OX и вверх на 2 по OY(↑)
- график функции $y = -f(x) = -x^2$ симметричен относительно оси OX.
Пример 2. Постройте в одной координатной плоскости функции
$$ y = sqrt, quad y = sqrt<-x+1>, quad y = — sqrt, quad y = — sqrt-3 $$
По сравнению с графиком $y = f(x) = sqrt$:
- график функции $y = f(-x) = sqrt<-x+1>$ симметричен относительно оси OY
- график функции $y = -f(x) = — sqrt$ симметричен относительно оси OX
- график функции $y = -f(x)-3 = -x^2$ симметричен относительно оси OX и сдвинут вниз на 3 по оси OY(↓).
Уравнение параболы симметричной относительно оси oy
Глава 20. Парабола
Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой. Фокус параболы обозначается буквой F , расстояние от фокуса до директрисы — буквой р. Число р называется параметром параболы.
Пусть дана некоторая парабола. Введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокус данной параболы перпендикулярно к директрисе и была направлена от директрисы к фокусу; начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой (рис.). В этой системе координат данная парабола будет определяться уравнением
(1)
Уравнение (1) называется каноническим уравнением параболы. В этой же системе координат директриса данной параболы имеет уравнение
.
Фокальный радиус произвольной точки М( x; y ) параболы (то есть длина отрезка F(M ) может быть вычислен по формуле
.
Парабола имеет одну ось симметрии, называемую осью параболы, с которой она пересекается в единственной точке. Точка пересечения параболы с осью называется ее вершиной. При указанном выше выборе координатной системы ось параолы совмещена с осью абсцисс, вершина находится в начале координат, вся парабола лежит в правой полуплоскости.
Если координатная система выбрана так, что ось абсцисс совмещена с осью параболы, начало координат — с вершиной, но парабола лежит в левой полуплоскости (рис.), то ее уравнение будет иметь вид
(2)
В случае, когда начало координат находится в вершине, а с осью совмещена ось ординат, парабола будет иметь уравнение
(3)
если она лежит в верхней полуплоскости (рис.), и
(4)
если в нижней полуплоскости (рис.)
Каждое из уравнений параболы (2), (3), (4), как и уравнение (1), называется каноническим.
источники:
http://reshator.com/sprav/algebra/8-klass/parallelnyj-perenos-i-simmetrichnye-otobrazheniya-grafikov-funkcij/
http://a-geometry.narod.ru/problems/problems_20.htm
Прежде чем перейти к разбору квадратичной функции рекомендуем вспомнить, что называют
функцией в математике.
Если вы прочно закрепите общие знания о функции (способы задания, понятие графика)
дальнейшее изучение других
видов функций будет даваться значительно легче.
Что называют квадратичной функцией
Запомните!
Квадратичная функция — это функция вида
y = ax2 + bx + c,
где a,
b и с — заданные числа.
Другими словами можно сказать, что если в функции старшая (то есть самая большая) степень,
в которой стоит «x» — это «2»,
то перед нами квадратичная функция.
Рассмотрим примеры квадратичных функций и определим, чему в них равны коэффициенты «a»,
«b» и «с».
| Квадратичная функция | Коэффициенты |
|---|---|
| y = 2x2 − 7x + 9 |
|
| y = 3x2 − 1 |
|
| y = −3x2 + 2x |
|
Как построить график квадратичной функции
Запомните!
График квадратичной функции называют параболой.
Парабола выглядит следующим образом.
Также парабола может быть перевернутой.
Существует четкий алгоритм действий при построении графика квадратичной функции.
Рекомендуем при построении параболы всегда следовать этому порядку действий, тогда вы сможете избежать ошибок при построении.
Чтобы было проще понять этот алгоритм, сразу разберем его на примере.
Построим график квадратичной функции «y = x2 −7x + 10».
- Направление ветвей параболы
Запомните!
Если «a > 0», то ветви направлены вверх.
Если «a < 0», то ветви направлены вниз.
В нашей функции «a = 1», это означает, что ветви параболы направлены вверх.
- Координаты вершины параболы
Запомните!
Чтобы найти «x0»
(координата вершины по оси «Ox»)
нужно использовать формулу:Найдем «x0» для нашей функции «y = x2 −7x + 10».
Теперь нам нужно найти «y0»
(координату вершины по оси «Oy»).
Для этого нужно подставить найденное значение «x0» в исходную функцию.
Вспомнить, как найти значение функции можно в уроке
«Как решать задачи на функцию» в подразделе
«Как получить значение функции».y0(3,5) =
(3,5)2 − 7 ·3,5 + 10 = 12,25 − 24,5 + 10 =−12,25 + 10 = −2,25
Выпишем полученные координаты вершины параболы.
(·) A (3,5; −2,25) — вершина параболы.
Отметим вершину параболы на системе координат.
Проведем через отмеченную точку ось симметрии, так как парабола — это симметричный график
относительно оси «Oy». - Нули функции
Для начала давайте разберемся, что называют нулями функции.
Запомните!
Нули функции — это точки пересечения графика функции с осью «Ox»
(осью абсцисс).Наглядно нули функции на графике выглядят так:
Свое название нули функции получили из-за того, что у этих точек координата
по оси «Oy» равна нулю.Теперь давайте разберемся, как до построения графика функции рассчитать координаты точек нулей функции.
Запомните!
Чтобы найти координаты точек нулей функции, нужно в исходную функцию подставить вместо
«y = 0».Подставим в заданную функцию «y = x2 −7x + 10»
вместо «y = 0» и решим полученное
квадратное уравнение
относительно
«x» .0 = x2 −7x + 10
x2 −7x + 10 = 0x1;2 =
7 ±
√49 − 4 · 1 · 102 · 1 x1;2 =
x1;2 =
x1 = x2 =
x1 = x2 =
x1 = 5 x2 = 2
Мы получили два корня в уравнении, значит, у нас две точки пересечения
с осью «Ox».
Назовем эти точки и выпишем их координаты.- (·) B (5; 0)
- (·) C (2; 0)
Отметим полученные точки («нули функции») на системе координат.
- Дополнительные точки для построения графика
Возьмем четыре произвольные числовые значения для «x».
Целесообразно брать целые числовые значения на оси «Ox»,
которые наиболее близки к оси
симметрии. Числа запишем в таблицу в порядке возрастания.x 1 3 4 6 y Для каждого выбранного значения «x»
рассчитаем «y».- y(1) = 12 − 7 · 1 + 10 = 1 − 7 + 10 =
4 -
y(3) = 32 − 7 · 3 + 10 = 9 − 21 + 10 =
−2 -
y(4) = 42 − 7 · 4 + 10 = 16 − 28 + 10 =
−2 -
y(6) = 62 − 7 · 6 + 10 = 36 − 42 + 10 =
4
Запишем полученные результаты в таблицу.
x 1 3 4 6 y 4 −2 −2 4 Отметим полученные точки графика на системе координат (зеленые точки).
Теперь мы готовы построить график.
На забудьте после построения подписать график функции. - y(1) = 12 − 7 · 1 + 10 = 1 − 7 + 10 =
Краткий пример построения параболы
Рассмотрим другой пример построения графика квадратичной функции.
Только теперь запишем алгоритм построения коротко без подробностей.
Пусть требуется построить график функции
«y = −3x2 − 6x − 4».
- Направление ветвей параболы
- Координаты вершины параболы
x0 =
x0 = == −1
y0(−1) = (−3) · (−1)2 − 6 · (−1) − 4 =
−3 · 1 + 6 − 4 = −1(·) A (−1; −1)
— вершина параболы.
- Нули функции
Точки пересечения с осью «Ox» (y = 0).
0 = −3x2 − 6x − 4
−3x2 − 6x − 4 = 0 |·(−1)
3x2 + 6x + 4 = 0
x1;2 =
−6 ±
√62 − 4 · 3 · 42 · 1 x1;2 =
x1;2 =
Ответ: нет действительных корней.Так как корней нет, значит, график функции не пересекает ось
«Ox». - Вспомогательные точки для: «x = −3»;
«x = −2»;
«x = 0»;
«x = 1». Подставим в исходную функцию
«y = −3x2 − 6x − 4».- y(−3) = −3 · (−3)2 − 6 · (−3) − 4
= −3 · 9 + 18 − 4 = −27 + 14 = −13 -
y(−2) = −3 · (−2)2 − 6 · (−2) − 4
= −3 · 4 + 12 − 4 = −12 + 12 − 4 = −4 -
y(0) = −3 · 02 − 6 · 0 − 4
= −4 -
y(1) = −3 · 12 − 6 · 1 − 4
= −3 −6 − 4 = −13
x −3 −2 0 1 y −13 −4 −4 −13 - y(−3) = −3 · (−3)2 − 6 · (−3) − 4
«a = −3» — ветви параболы направлены вниз.
Отметим вспомогательные точки. Отмечаем на системе координат только те точки, которые
не выходят за масштаб нашей системы координат, то есть точки
«(−2; −4)» и «(0; −4)».
Построим и подпишем график функции.
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи
«ВКонтакте».
Оставить комментарий:
Лучший ответ
|
|
 |
|
Функция вида 
, где 
называется квадратичной функцией.
График квадратичной функции – парабола.
Рассмотрим случаи:
I СЛУЧАЙ, КЛАССИЧЕСКАЯ ПАРАБОЛА
, то есть 
, 
, 
Для построения заполняем таблицу, подставляя значения x в формулу:
Отмечаем точки (0;0); (1;1); (-1;1) и т.д. на координатной плоскости (чем с меньшим шагом мы берем значения х ( в данном случае шаг 1 ), и чем больше берем значений х, тем плавнее будет кривая), получаем параболу:
Нетрудно заметить, что если мы возьмем случай 
, , , то есть 
, то мы получим параболу, симметричную относительно оси (ох). Убедиться в этом несложно, заполнив аналогичную таблицу:
II СЛУЧАЙ, «a» ОТЛИЧНО ОТ ЕДИНИЦЫ
Что же будет, если мы будем брать 
, 
, 
? Как изменится поведение параболы? При 
парабола 
изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):
На первой картинке (см. выше) хорошо видно, что точки из таблицы для параболы (1;1), (-1;1) трансформировались в точки (1;4), (1;-4), то есть при тех же значениях 
ордината 
каждой точки умножилась на 4. Это произойдет со всеми ключевыми точками исходной таблицы. Аналогично рассуждаем в случаях картинок 2 и 3.
А при 
парабола «станет шире» параболы :
Давайте подитожим:
III СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ «С»
Теперь давайте введем в игру 
(то есть рассматриваем случай, когда 
), будем рассматривать параболы вида 
. Нетрудно догадаться (вы всегда можете обратиться к таблице), что будет происходить смещение параболы вдоль оси 
вверх или вниз в зависимости от знака :
IV СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ «b»
Когда же парабола “оторвется” от оси и будет, наконец, “гулять” по всей координатной плоскости? Когда 
перестанет быть равным 
.
Здесь для построения параболы нам понадобится формула для вычисления вершины: 
, 
.
Так вот в этой точке (как в точке (0;0) новой системы координат) мы будем строить параболу , что уже нам по силам. Если имеем дело со случаем , то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, один вверх, – полученная точка – наша (аналогично шаг влево, шаг вверх – наша точка); если имеем дело с , например, то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, два – вверх и т.д.
Например, вершина параболы 
:
, 
. Теперь главное уяснить, что в этой вершине мы будем строить параболу по шаблону параболы , ведь в нашем случае.
При построении параболы после нахождения координат вершины очень удобно учитывать следующие моменты:
1) парабола обязательно пройдет через точку 
. Действительно, подставив в формулу x=0, получим, что 
. То есть ордината точки пересечения параболы с осью (оу), это . В нашем примере (выше), парабола пересекает ось ординат в точке 
, так как 
.
2) осью симметрии параболы является прямая 
, поэтому все точки параболы будут симметричны относительно нее. В нашем примере, мы сразу берем точку (0; -2) и строим ей симметричную относительно оси симметрии параболы, получим точку (4; -2), через которую будет проходить парабола.
3) Приравнивая к , мы узнаем точки пересечения параболы с осью (ох). Для этого решаем уравнение 
. В зависимости от дискриминанта, будем получать одну (
, 
), две (
, 
) или нИсколько (
) точек пересечения с осью (ох). В предыдущем примере у нас корень из дискриминанта – не целое число, при построении нам особо нет смысла находить корни, но мы видим четко, что две точки пересечения с осью (ох) у нас будут (так как ), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.
Итак, давайте выработаем
Алгоритм для построения параболы, если она задана в виде 
1) определяем направление ветвей ( а>0 – вверх, a<0 – вниз)
2) находим координаты вершины 
параболы по формуле , .
3) находим точку пересечения параболы с осью (оу) по свободному члену , строим точку, симметричную данной относительно оси симметрии параболы (надо заметить, бывает, что эту точку невыгодно отмечать, например, потому, что значение велико… пропускаем этот пункт…)
4) В найденной точке – вершине параболы (как в точке (0;0) новой системы координат) строим параболу . Если , то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с
5) Находим точки пересечения параболы с осью (оу) (если они еще сами “не всплыли”), решая уравнение
Пример 1
Пример 2
Замечание 1. Если же парабола изначально нам задана в виде 
, где 
– некоторые числа (например, 
), то построить ее будет еще легче, потому что нам уже заданы координаты вершины 
. Почему?
Возьмем квадратный трехчлен 
и выделим в нем полный квадрат: 
Посмотрите, вот мы и получили, что 
, 
. Мы с вами ранее называли вершину параболы 
, то есть теперь 
, 
.
Например, 
. Отмечаем на плоскости вершину параболы 
, понимаем, что ветви направлены вниз, парабола расширена (относительно ). То есть выполняем пункты 1; 3; 4; 5 из алгоритма построения параболы (см. выше).
Замечание 2. Если парабола задана в виде, подобном этому 
(то есть представлен в виде произведения двух линейных множителей), то нам сразу видны точки пересечения параболы с осью (ох). В данном случае – (0;0) и (4;0). В остальном же действуем согласно алгоритму, раскрыв скобки.