Как составить ряд функции случайной величины

2.3.
Функции случайных величин

2.3.1.
Функции одномерных случайных величин

Пусть
на вероятностном пространстве (, F, P) задана
случайная величина X. Предположим, что имеется числовая
функция  скалярного аргумента x. Случайную величину  назовем функцией от одномерной
случайной величины X. Покажем, как построить закон
распределения функции , зная
закон распределения случайного аргумента X.

1. Пусть
случайная величина X является дискретной.

Функция
 от СВДТ X снова
является дискретной случайной величиной, принимающей значения  с вероятностями , где  – множество возможных значений СВДТ X. Тогда для нахождения функции распределения можно
воспользоваться соотношением

.

Однако,
как правило, удобнее вначале составить ряд распределения случайной величины .
Чтобы его построить, необходимо объединить в один столбец все одинаковые
значения ,
приписав этому столбцу суммарную вероятность.

Пример 2.3.1. Закон распределения случайной
величины X имеет вид:

Решение. 1) Найдем возможные значения случайной
величины Y:

, , , .

Тогда
ряд распределения случайной величины Y имеет вид:

Составим
теперь функцию распределения случайной величины :

2) Найдем вначале значения функции :

, , , .

Составим
теперь функцию распределения случайной величины :

Ответ: 1) 
2) 

2. Пусть
случайная величина X является непрерывной.

Рассмотрим
вначале случайную величину , где  – гладкая строго монотонная функция скалярного аргумента x, а X – СВНТ с плотностью .
Тогда плотность распределения  случайной величины Y находится
по формуле:

,

где  – обратная по отношению к  функция.

Если
же  – немонотонная функция на множестве возможных значений X, то следует разбить этот промежуток на такие
интервалы, в которых функция  монотонна, и найти плотности распределений  для каждого из интервалов монотонности, а
затем представить  в виде суммы

.

В
частности, если функция  монотонна в двух интервалах, в которых
соответствующие обратные функции равны  и , то

.

Пример 2.3.2. Найти плотность распределения
СВНТ  (), где
СВНТ X имеет плотность .

Решение.  при  гладкая строго монотонная функция. Тогда
обратная функция .
Отсюда .
Таким образом,

.

Ответ: .

Пример 2.3.3. Случайная величина X распределена нормально с параметрами m и  ().
Доказать, что линейная функция , где ,
также распределена нормально, причем , .

Решение. Напишем плотность распределения
случайной величины X:

.

Применим
формулу ,
выведенную в предыдущем примере 2.3.2. Получим

.

Отсюда
видно, что .

Пример 2.3.4. Случайная величина X распределена по закону Коши

.

Найти
плотность распределения случайной величины .

Решение.  гладкая
строго монотонная функция. Тогда обратная функция .
Отсюда ,
причем .
Значит, .

Таким
образом,

.

Ответ: .

Пример 2.3.5. Случайная величина X распределена равномерно в интервале  ().
Найти плотность распределения случайной величины .

Решение. Найдем плотность распределения  случайной величины X:

Из
уравнения  найдем обратную функцию .
Поскольку в интервале  функция  немонотонна, то необходимо разбить этот интервал
на интервалы  и , в
которых эта функция монотонна. На интервале  обратная функция , на
интервале  обратная функция .
Тогда искомая плотность распределения может быть найдена из равенства

.

Найдем
производные обратных функций:

, .

Тогда
модули производных равны

, .

Учитывая,
что  при ,
получим

, .

Отсюда

.

Так
как  при , то . Таким
образом, на интервале  искомая плотность распределения равна , вне
этого интервала .

Ответ:

Рассмотрим далее на примерах, как находится функция
распределения  случайной величины , если известна функция распределения  случайной величины X.

Пример 2.3.6. Задана функция
распределения  случайной величины X. Найти
функцию распределения  случайной величины , если: 1) ; 2) .

Решение. 1) По определению функции
распределения .
Поскольку функция  – возрастающая, то неравенство  выполняется, если имеет место неравенство ,
поэтому

.

Из
уравнения  выразим x: . Тогда

.

2) По определению функции распределения .
Поскольку функция  – убывающая, то неравенство  выполняется, если имеет место неравенство ,
поэтому

.

Из
уравнения  выразим x: . Тогда

.

Ответ: 1) ;
2) .

2.3.2. Числовые
характеристики функций одномерных случайных величин

Если X – случайная величина с известным законом
распределения и , где  – неслучайная функция скалярного аргумента x, то математическое ожидание и дисперсия случайной
величины Y (если они существуют) могут быть
найдены по следующим формулам:

, если
X – СВДТ,

, если
X – СВНТ;

, если
X – СВДТ,

, если
X – СВНТ.

Аналогичные
формулы имеют место и для всех прочих начальных и центральных моментов
распределения случайной величины .

Замечание 1. Таким образом, для вычисления
числовых характеристик функции одномерной случайной величины X необязательно знать закон распределения случайной
величины , а достаточно
знать закон распределения случайного аргумента X.

Замечание 2. Если , то
математическое ожидание случайной величины  есть не что иное, как начальный момент s-го порядка, т.е.

.

Аналогично,
если , то
математическое ожидание случайной величины  есть центральный момент s-го порядка, т.е.

.

Пример 2.3.7. Закон распределения случайной
величины X имеет вид:

Тогда

;

.

Пример 2.3.8. Случайная величина X задана плотностью распределения

Найти
математическое ожидание и дисперсию функции .

Решение. Найдем вначале математическое
ожидание:

.

Вычислим
теперь дисперсию:

.

Ответ: , .

Замечание. Математическое ожидание и дисперсию
функции  можно было вычислить, найдя предварительно
плотность распределения случайной величины Y.

Упражнения

2.3.1. Закон распределения случайной
величины X имеет вид:

2.3.2. Число X неисправностей на участке высоковольтной линии в
течение года имеет распределение Пуассона с параметром a ().
Общий материальный ущерб Y от этих неисправностей
пропорционален квадрату их числа: , где  – неслучайная величина. Найти закон
распределения этого ущерба.

2.3.3. СВДТ X имеет
пуассоновское распределение , а .
Вычислить .

2.3.4. Задана плотность распределения  случайной величины X, возможные
значения которой заключены в интервале .
Найти плотность распределения  случайной величины Y, если:

1) ;
2) ;
3) .

2.3.5. Задана плотность распределения  случайной величины X, возможные
значения которой заключены в интервале .
Найти плотность распределения  случайной величины Y, если:

1) ;
2) ;
3) .

Ответы к упражнениям

2.3.1.

2.3.2.

2.3.3. 1.

2.3.4. 1) , ;
2) , ;
3) , .

2.3.5. 1) , ;

2) , ;
3) , .

2.3.3.
Функции многомерных случайных величин

Функция
многомерной случайной величины определяется аналогично тому, как определялась
функция одномерной случайной величины. Рассмотрим это на примере двумерной
случайной величины. Пусть на вероятностном пространстве (, F, P) задана
двумерная случайная величина .
Предположим, что имеется числовая функция  скалярных аргументов x и y. Случайную величину  назовем функцией от двумерной
случайной величины .

1. Пусть
случайные величины X и Y являются дискретными.

Функция
 от двумерной дискретной случайной величины  снова является дискретной случайной величиной,
принимающей значения  с вероятностями , где  – множество возможных значений компоненты X,  – множество возможных значений компоненты Y. Тогда для нахождения функции распределения можно
воспользоваться соотношением

Однако,
как правило, удобнее вначале составить ряд распределения случайной величины .
Чтобы его построить, необходимо исключить все те значения ,
вероятность которых равна нулю, и объединить в один столбец все одинаковые
значения ,
приписав этому столбцу суммарную вероятность.

Пример 2.3.9. Распределение
случайного вектора  задано таблицей:

Составить
закон распределения случайной величины .

Решение. Найдем вначале значения функции :

, , , , , .

Таким
образом, случайной
величины Z имеет биномиальное распределение .

Ответ: .

2. Пусть
случайные величины X и Y являются непрерывными.

В
случае, когда  – двумерная непрерывная случайная величина с плотностью ,
функция распределения случайной величины  определяется формулой

.

Область
интегрирования здесь состоит из всех точек x и y, для которых .
Найдя функцию распределения ,
далее можно дифференцированием по z (в тех точках, в которых  имеет производную по z) найти плотность  распределения случайной величины Z.

Пример 2.3.10. Случайная точка  распределена равномерно в квадрате Q со стороной 1 (рис. 2.3.1 а). Найти
закон распределения площади Z прямоугольника со сторонами X и Y: .

Решение. Очевидно, что в данном случае
случайные величины X и Y независимы
(Советуем убедиться в этом самостоятельно!):

 

Область
интегрирования  заштрихована на рис. 2.3.1 б.

                       

а                                                           
б

Рис. 2.3.1.

Тогда

,

где .
Таким образом, окончательно получим:

Дифференцируя
это выражение по z, получим плотность распределения
случайной величины Z:

Ответ:  

2.3.4.
Задача композиции

Очень
часто встречается функциональная зависимость вида

,

т.е.
возникает задача определения закона распределения суммы компонент случайного
вектора  по известному закону совместного распределения
его компонент X и Y. Покажем,
как эта задача решается в двух случаях, когда компоненты X и Y: 1) СВДТ; 2) СВНТ.

1.    Пусть X и Y
– СВДТ с
известным законом совместного распределения , где  – множество возможных значений компоненты X,  – множество возможных значений компоненты Y. Тогда закон распределения  записывается в виде

,

где
суммирование распространяется на все значения индексов i и j, для которых выполняется условие .
Затем, построив ряд распределения случайной величины Z (исключая все те значения ,
вероятность которых равна нулю), можно составить функцию распределения .

Пример 2.3.11. Закон распределения случайного вектора  задан таблицей:

Составив
закон распределения случайной величины , найти функцию распределения  и вычислить , .

Решение. Найдем вначале значения функции
:

, , , , , .

Тогда найдем функцию
распределения :

Вычислим
теперь  и :

, .

Ответ:  , .

2.    Пусть X и Y
– СВНТ с
известной плотностью совместного распределения компонент ,
тогда

.

Особо
важным для практики представляется частный случай, когда X и Y – независимые случайные величины, а .
Получается так называемая задача композиции.

1.    Пусть X и Y
– независимые СВДТ, тогда

или

.

Пример 2.3.12. Рассматривается случайная
величина Z
– суммарное число
«успехов» в двух независимых опытах с одной и той же вероятностью «успеха» p в каждом опыте. Найти закон
распределения случайной величины Z и составить ее функцию
распределения.

Решение. Пусть X – количество успехов в первом опыте, а Y – количество успехов во втором опыте. По условию
задачи X и Y независимы.
Тогда .
Получается задача композиции. Поскольку случайные величины X и Y принимают только два значения 0 или
1, то случайная величина  может принимать четыре значения

, , ,

с
вероятностями

, qp, pq,

соответственно.
Тогда ряд распределения примет вид

Составим
теперь функцию распределения случайной величины :

Ответ:

2.    Пусть X и Y
– независимые СВНТ,  и  – их плотности. Плотность совместного
распределения равна .
Функция распределения суммы  равна

.

Этот
интеграл можно вычислять как повторный:

Дифференцируя
по z, получаем:

.

Две
последние формулы носят название формул свертки. С помощью этих формул можно
выразить функцию распределения  и плотность  суммы независимых случайных величин через
плотности и функции распределения слагаемых. Отметим, что в силу симметрии
переменных x и y формулы
свертки можно записать следующим образом:

,

.

Пример 2.3.13. Пусть случайные величины X и Y – независимы,  – функция распределения Х, а Y имеет плотность

Составить
функцию распределения и функцию плотности суммы .

Решение. Применяя формулу свертки, имеем

,

т.к.
производная интеграла по переменной z равна значению подынтегральной
функции от верхнего предела, умноженного на производную по z от верхнего предела, минус значение
подынтегральной функции от нижнего предела, умноженного на производную по z от нижнего предела. Отсюда следует
существование плотности

.

Ответ: , .

Пример 2.3.14. Случайные величины X и Y независимы и равномерно распределены
на отрезке : , . Найти
плотность вероятности случайной величины .

Решение. 1 способ. По условию возможные значения X определяются неравенством ,
возможные значения Y – неравенством .
Отсюда следует, что возможные случайные точки  расположены в квадрате ABCD.

           

а                                                                 
б

Рис. 2.3.2.

По
определению функции распределения

.

Неравенству
 удовлетворяют те точки  плоскости xOy, которые
лежат ниже прямой  (эта прямая отсекает на осях Ox и Oy отрезки, равные z). Если же брать только возможные значения x и y, то неравенство  выполняется только для точек, лежащих в
квадрате ABCD ниже прямой .

С
другой стороны, т.к. случайные величины X и Y независимы, то

,

где
область G – часть квадрата ABCD, которая расположена ниже прямой , а  – площадь G. Очевидно,
что величина площади  зависит от значения z.

Если , то ,
поэтому . Если
 (рис. 2.3.2 а), то ,
поэтому .

Если  (рис. 2.3.2 б), то

,

поэтому
.

Если , ,
поэтому .

Найдем
теперь плотность распределения ,
продифференцировав  по z:

График
функции плотности  так называемого треугольного
распределения, или распределения Симпсона, показан на рис. 2.3.3.

Рис. 2.3.3.

2 способ. Учтем, что в данном случае
подынтегральное выражение в формуле свертки  отлично от нуля лишь в случае, когда  принадлежит отрезку , а
именно:

, если
; , если
.

Рассматривая
два случая взаимного расположения отрезков, на которых плотности одновременно
отличны от нуля (рис. 2.3.4), получим:

, если
;

, если
.

Рис. 2.3.4.

Ответ:

Определение. Закон распределения W определенного вида называется композиционно устойчивым, если из того, что две независимые случайные величины X и Y подчиняются закону распределения
данного типа, следует, что их сумма  подчиняется закону распределения W того же вида (различаются только параметры этого
закона).

Рассмотрим
примеры композиционно устойчивых распределений.

Пример 2.3.15. Найти закон распределения суммы
двух независимых случайных величин X и Y,
распределенных по закону Пуассона: , .

Решение. Найдем вероятность события , где :

.

Следовательно,
случайная величина  распределена по закону Пуассона с параметром .
Значит, распределение Пуассона композиционно устойчиво.

Ответ: .

Пример 2.3.16. Найти закон распределения суммы
двух независимых случайных величин X и Y,
распределенных по биномиальному закону: , .

Решение. Представим случайную величину X в виде:

,

где  () –
индикатор события A в i-м опыте:

Ряд
распределения случайной величины  имеет вид:

Аналогичное
представление сделаем и для случайной величины Y:

,

где  () –
индикатор события A в j-м опыте:

Ряд
распределения случайной величины  имеет вид:

Следовательно,

,

где
каждое из слагаемых является индикаторной случайной величиной распределенной по
одному и тому же закону:

Всего
слагаемых – .
Отсюда следует, что случайная величина  распределена по биномиальному закону с
параметрами ; p. Значит, биномиальное распределение композиционно
устойчиво.

Ответ: .

Замечание 1. Если вероятности p в различных сериях опытов (первая серия опытов
описывается случайной величиной X, а вторая серия – случайной
величиной Y) будут различны, то в результате
сложения двух независимых случайных величин X и Y, распределенных по биномиальным законам, получится
случайная величина Z, распределенная не по биномиальному
закону.

Замечание 2. Примеры 2.3.15 и 2.3.16 легко
обобщаются на произвольное число слагаемых (Проделайте выкладки
самостоятельно!).

Пример 2.3.17. Случайные величины X и Y независимы и нормально распределены:
, .
Найти плотность вероятности случайной величины .

Решение. Пользуясь формулой свертки ,
получим:

.

Из
курса интегрального исчисления известно, что

.

В
данном случае , , .

Таким
образом, из структуры плотности следует, что случайная величина  имеет нормальное распределение , где , .
Значит, нормальное распределение композиционно устойчиво.

Ответ: , где , .

Упражнения

2.3.6. Независимые случайные величины
имеют биномиальное распределение , .
Вычислить значение , если
.

2.3.7. Законы распределения случайных
величин X и Y имеют вид:

Найти
распределение случайной величины .

2.3.8. Законы распределения случайных
величин X и Y имеют вид:

Найти
распределение случайной величины .

2.3.9. Независимые случайные величины
имеют показательное распределение , .
Найти плотность распределения случайной величины .

2.3.10. Независимые случайные величины
имеют равномерное распределение , .
Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины .

2.3.11. Независимые случайные величины
имеют равномерное распределение , .
Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины .

2.3.12. Случайные величины X и Y независимы и нормально распределены:
, .
Найти плотность вероятности случайной величины .

Ответы к упражнениям

2.3.6. 0,84.

2.3.7.

2.3.8.

2.3.9. 

2.3.10. 

2.3.11. 

2.3.12. , т.е.
.

2.3.5. Числовые характеристики функций многомерных случайных величин

Сформулированные
в пункте 2.3.2 правила нахождения числовых характеристик функций одномерных
случайных величин естественным образом обобщаются на случай функций от
бóльшего числа переменных. В частности, если  – двумерный случайный вектор с известным
законом распределения и , где  – числовая функция скалярных аргументов x и y, то математическое ожидание и
дисперсия случайной величины Z (если они существуют) могут быть
найдены по следующим формулам:

,

если
компоненты X и Y вектора  являются СВДТ,

,

если
компоненты X и Y вектора  являются СВНТ;

,

если
компоненты X и Y вектора  являются СВДТ,

,

если
компоненты X и Y вектора  являются СВНТ.

Аналогичные
формулы имеют место и для всех прочих начальных и центральных моментов
распределения случайной величины .

Замечание. Таким образом, для вычисления числовых
характеристик функции многомерной случайной величины  необязательно знать закон распределения
случайной величины Z, а достаточно знать закон
распределения случайного вектора .

Пример 2.3.18. Закон распределения случайного
вектора  задан таблицей:

Не
составляя закона распределения случайной величины , вычислить
, .

Решение. Найдем вначале математическое
ожидание:

.

Вычислим
теперь дисперсию:

.

Сравните
найденные числовые характеристики случайной величины  с
аналогичными, полученными в примере 2.3.11.

Ответ: , .

В пункте 2.2.7
рассматривались условные числовые характеристики случайных векторов. В
частности, определялись условные математические ожидания двумерных случайных
векторов . Напомним, что если случайные величины X и Y дискретны, то условные
математические ожидания вычисляются по формулам:

, .

Если случайные величины X и Y непрерывны, то условные
математические ожидания вычисляются по формулам:

, .

Аналогично определяется
условное математическое ожидание функции  при условии, что
случайная величина Y приняла определенное значение
(соответственно  при условии, что
случайная величина X приняла определенное значение):

, ,

если случайные величины X и Y дискретны;

, ,

если случайные величины X и Y непрерывны.

Также имеют место
следующие формулы полного математического
ожидания:

, ,

если случайные величины X и Y дискретны;

, ,

если случайные величины X и Y непрерывны.

Пример 2.3.19. Число N радиотехнических приборов, сдаваемых покупателями в
гарантийную мастерскую в течение дня, можно представить в виде случайной
величины, хорошо описываемой распределением Пуассона , где a является средним числом приборов, сданных за день.
Вероятность того, что сданный прибор потребует длительного ремонта, равна p. Найти среднее число приборов, требующих длительного
ремонта.

Решение. При фиксированном числе n поступивших приборов количество приборов, требующих
капитального ремонта, представляет собой случайную величину X с биномиальным распределением .
Поэтому , .
Поскольку случайная величина N имеет распределение Пуассона , то .
Тогда по формуле полного математического ожидания

.

Ответ: .

2.3.6. Свойства математического ожидания и дисперсии

Если
существуют соответствующие моменты, то справедливы следующие свойства
математического ожидания и дисперсии:

1.    , где  – индикатор события А.

2.    Для любых случайных величин X и Y:

(аддитивное свойство математического ожидания).

Замечание. Для любых случайных величин  из свойства 2 по индукции выводится:

.

3.    Для любой константы c:

, .

9.    Для любых случайных величин X и Y:

 (или ).

В
частности, если случайные величины X и Y некоррелированны, то

(мультипликативное свойство математического ожидания).

Замечание. Отметим,
что для случайных величин , где , для
выполнения свойства

недостаточно условия некоррелированности .
Однако если случайные величины независимы, то последнее равенство верно.

10.  Для любых случайных величин X и Y:

.

Замечание. Для любых случайных величин  из свойства 11 по индукции выводится:

.

В
частности, если случайные величины X и Y некоррелированны, то

(аддитивное свойство дисперсии).

Замечание. Если случайные величины  некоррелированны, то

.

Отметим
также, что поскольку из независимости случайных величин следует их
некоррелированность, то свойство 10 выполняется и для независимых
случайных величин.

Пример 2.3.20. Известно, что случайная величина имеет биномиальное
распределение . Найти  и .

Решение. По свойству 8 математического ожидания и дисперсии . Поскольку для случайной величины  дисперсия , где по условию задачи , , , то

.

Вычислим теперь . Опираясь на свойства 2 и 3 математического ожидания
и дисперсии, получим:

.

Поскольку для случайной
величины  математическое
ожидание  и, по свойству 6, , то

.

Ответ: , .

Пример 2.3.21. Функция распределения СВНТ X имеет вид:

Найти
 и .

Решение. По
условию задачи случайная величина X распределена по экспоненциальному
закону: . Поэтому , . Найдем вначале : . Тогда:

.

По свойству 8
математического ожидания и дисперсии:

.

Ответ: , .

Пример 2.3.22. Известно, что , , . Найти  и .

Решение. Используя
формулу для дисперсии суммы

,

получим
. Тогда

.

Ответ: , .

Пример 2.3.23. На столе налогового инспектора лежат три декларации от
представителей трех различных групп населения. Вероятности сокрытия доходов при
заполнении декларации для одного представителя каждой группы равны
соответственно 0,05, 0,1 и 0,15. Предположим, что сокрытие доходов
обнаруживается при проверке в 100% случаев. Найти средний доход государства от
проверки этих деклараций, если сумма налагаемого штрафа при обнаружении
сокрытия дохода составляет по группам населения 100, 250 и 500 минимальных
окладов соответственно.

Решение. Рассмотрим случайную величину X, равную
доходу государства от проверки трех деклараций. Тогда X можно представить в виде

,

где
 () индикаторные случайные величины, т.е. , если подавший декларацию представитель i-й группы населения скрывает доход, и  – в противном случае.
По условию задачи требуется найти средний доход государства от проверки
налоговых деклараций, т.е. математическое ожидание случайной величины X.
Воспользуемся свойствами математического ожидания для вычисления :

.

Поскольку
для индикаторных случайных величин  (), то

.

Ответ: средний доход государства от проверки
поданных трех деклараций составит 105 минимальных окладов.

Пример 2.3.24. Известно,
что случайные величины X и Y (где X – рост
наугад взятого взрослого мужчины и Y – его вес) удовлетворительно
описываются нормальным законом распределения: , . Ковариация этих признаков равна . Считается, что человек страдает избыточным весом, если
выполняется неравенство . Найти математическое ожидание и дисперсию характеристики
избыточного веса , а также вероятность того, что наугад выбранный мужчина
страдает избыточным весом.

Решение. Так как случайные величины X и Y распределены нормально, то разность  также распределена
нормально (Проверьте!). Вычислим параметры этого закона распределения:

; .

Таким образом,  и, следовательно,

.

Ответ: , , .

Упражнения

2.3.13. СВНТ X имеет
плотность вероятности

.

Найти
 и .

2.3.14. Плотность
вероятности случайной величины X имеет следующий вид:

Найти
 и .

2.3.15. Пусть
существуют дисперсии случайных величин X и Y такие, что . Чему равна ковариация случайных величин  и ?

2.3.16. Известно, что случайная величина , , . Найти .

2.3.17. Известно, что случайная величина . Пусть . Найти .

2.3.18. Известно, что случайные величины , . Вычислить .

2.3.19. Подбрасывают
три игральные кости. Рассматриваются случайные величины: X –
количество костей, на которых выпало шесть очков, Y – количество костей, на которых
выпало пять очков. Найти  и закон распределения
случайной величины .

2.3.20. Предприятие имеет две поточные линии по сборке некоторой продукции.
Технологические процессы на линиях связаны между собой. Рассматривая в качестве
случайной величины X – количество единиц продукции,
собранной за день на первой линии, а Y – на второй линии, совместное
распределение этих величин можно задать с помощью таблицы:

Составить
закон распределения случайной величины  – суммарного
количества единиц продукции, выпускаемой предприятием за день. Найти  и .

Ответы к упражнениям

2.3.13. , .

2.3.14. , .

2.3.15. 0.

2.3.16. 0.

2.3.17. 0.

2.3.18. .

2.3.19. , .

2.3.20. , ; закон распределения Z:

2.3.7. Характеристическая
функция

Если
 – комплекснозначная
случайная величина, где X и Y – действительные случайные
величины, то

.

Определение. Характеристической функцией случайной
величины X называется комплекснозначная функция

,

где
, .

В
частности,

, если X – СВДТ;

, если X – СВНТ.

Замечание 1. По
характеристической функции  однозначно восстанавливается
функция распределения .

Замечание 2. Характеристическая
функция представляет собой преобразование Фурье плотности вероятности  СВНТ X. Поэтому
обратное преобразование Фурье приводит к соотношению

.

Таким
образом, для СВНТ задание  равносильно заданию , и наоборот.

Характеристическая
функция  обладает следующими
свойствами:

1.    .

2.    .

3.    Если существует m-й абсолютный момент , то существуют производные характеристической функции  до m-го порядка
включительно, причем , где .

4.    Если , то .

5.    Если , причем  независимы в
совокупности, то .

Замечание. Пользуясь
этим свойством, можно решать задачу определения закона распределения суммы независимых случайных величин (задачи композиции). Действительно, если , то . Найдя , можно по характеристической функции восстановить закон
распределения случайной величины Z. Кроме того, по виду  можно ответить на
вопрос о композиционной устойчивости распределения.

6.    , где черта означает операцию комплексного сопряжения. В
частности, отсюда следует, что если  – действительная
функция, то она обязательно четная.

Определение. Характеристической функцией случайного
вектора  называется комплекснозначная функция n
действительных переменных , определяемая равенством

.

Пример 2.3.25. Найти
характеристическую функцию случайной величины X, имеющей биномиальное
распределение (), и с ее
помощью вычислить ,  и .

Решение. Согласно
определению характеристической функции СВДТ X

.

По свойству 3 для :

,

.

Отсюда

, .

Пример 2.3.26. Найти
характеристическую функцию случайной величины X, имеющей пуассоновское
распределение (), и с ее
помощью вычислить ,  и .

Решение. Согласно
определению характеристической функции СВДТ X

.

По свойству 3 для :

,

.

Отсюда

, .

Пример 2.3.27. Найти
характеристическую функцию случайной величины X, имеющей геометрическое
распределение (), и с ее
помощью вычислить ,  и .

Решение. Согласно
определению характеристической функции СВДТ X

.

По свойству 3 для :

,

.

Отсюда

, .

Пример 2.3.28. Найти
характеристическую функцию случайной величины X, имеющей равномерное распределение
().

Решение. Согласно
определению характеристической функции СВНТ X

.

Замечание. Для случайной величины  с помощью характеристической функции можно
вычислить ,  и . Однако это не очень удобно, поэтому мы этого не
делаем.

Пример 2.3.29. Найти
характеристическую функцию случайной величины X, имеющей показательное
распределение (), и с ее
помощью вычислить ,  и .

Решение. Согласно
определению характеристической функции СВНТ X

.

По свойству 3 для :

,

,

Отсюда

, .

Пример 2.3.30. Найти
характеристическую функцию случайной величины X, имеющей нормальное распределение
(), и с ее
помощью вычислить ,  и .

Решение. Найдем
вначале характеристическую
функцию случайной величины
. Согласно
определению характеристической функции СВНТ X

Дифференцируя  (по t) и применяя метод интегрирования по частям, получим:

.

Решая это
дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными при начальном условии  (свойство 2
характеристической функции), находим . Отсюда характеристическая функция случайной величины  имеет вид

.

Рассмотрим теперь случайную величину . Тогда нормированная случайная
величина  имеет нормальное
распределение  и, следовательно,
характеристическую функцию . Далее, по свойству 4 характеристической функции, для случайной величины  имеем

.

Найдем
теперь математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение :

,

,

Отсюда

, .

Пример 2.3.31. Проверить
композиционную устойчивость нормального закона.

Решение. Пусть
независимые случайные величины X и Y имеют нормальное распределение: , .
Найдем  случайной
величины , учитывая свойство 5 характеристической функции и
опираясь на результаты примера 2.3.30:

.

Откуда видно, что характеристическая функция  соответствует
нормальному распределению, причем .
Значит, нормальный закон является композиционно устойчивым.

Упражнения

2.3.21. Задана характеристическая
функция СВНТ X:

.

Найти
плотность  распределения случайной величины X.

2.3.22. Случайные величины X и Y независимы и распределены по закону
Пуассона: , . С
помощью характеристической функции доказать композиционную устойчивость закона
Пуассона.

2.3.23. Случайные величины X и Y независимы и распределены по
биномиальному закону: , . С
помощью характеристической функции доказать композиционную устойчивость
биномиального закона.

2.3.24. Случайные величины X и Y независимы и распределены по одному
закону .
Является ли закон  композиционно устойчивым?

Ответы к упражнениям

2.3.21.  –
распределение Коши.

2.3.24. Нет.

Дискретная случайная величина

На этой странице мы собрали краткую теорию и примеры решения учебных задач, в которых дискретная случайная величина уже задана своим рядом распределения (табличный вид) и требуется ее исследовать: найти числовые характеристики, построить графики и т.д. Примеры на известные виды распределения вы можете найти по ссылкам:

• Биномиальный закон распределения
• Гипергеометрический закон распределения
• Геометрический закон распределения
• Закон распределения Пуассона

Краткая теория о ДСВ

Дискретная случайная величина задается своим рядом распределения: перечнем значений $x_i$, которые она может принимать, и соответствующих вероятностей $p_i=P(X=x_i)$. Количество значений случайной величины может быть конечным или счетным. Для определенности будем рассматривать случай $i=overline{1,n}$. Тогда табличное представление дискретной случайной величины имеет вид:

$$
begin{array}{|c|c|}
hline
X_i & x_1 & x_2 & dots & x_n \
hline
p_i & p_1 & p_2 & dots & p_n \
hline
end{array}
$$

При этом выполняется условие нормировки: сумма всех вероятностей должна быть равна единице

$$sum_{i=1}^{n} p_i=1$$

Графически ряд распределения можно представить полигоном распределения (или многоугольником распределения). Для этого на плоскости откладываются точки с координатами $(x_i,p_i)$ и соединяются по порядку ломаной линией. Подробные примеры вы найдете ниже.

Числовые характеристики ДСВ

Математическое ожидание:

$$M(X) = sum_{i=1}^{n} x_i cdot p_i$$

Дисперсия:

$$ D(X)=M(X^2)-(M(X))^2 = sum_{i=1}^{n} x_i^2 cdot p_i — (M(X))^2$$

Среднее квадратическое отклонение:

$$sigma (X) = sqrt{D(X)}$$

Коэффициент вариации:

$$V(X) = frac{sigma(X)}{M(X)}$$.

Мода: значение $Mo=x_k$ с наибольшей вероятностью $p_k=max_i{p_i}$.

Вы можете использовать онлайн-калькуляторы для вычисления математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения ДСВ.

Функция распределения ДСВ

По ряду распределения можно составить функцию распределения дискретной случайной величины $F(x)=P(Xlt x)$. Эта функция задает вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение меньшее некоторого числа $x$. Примеры построения с подробными вычислениями и графиками вы найдете в примерах ниже.

Примеры решенных задач

Задача 1. Дискретная случайная величина задана рядом распределения:

1 2 3 4 5 6 7

0,05 0,15 0,3 0,2 0,1 0,04 0,16
Построить многоугольник распределения и функцию распределения $F(x)$. Вычислить: $M[X], D[X], sigma[X]$, а также коэффициент вариации, асимметрии, эксцесса, моду и медиану.

Задача 2. Дан закон распределения дискретной случайной величины Х. Требуется:
а) определить математическое ожидание М(х), дисперсию D(х) и среднее квадратическое отклонение (х) случайной величины Х;
б) построить график этого распределения.
хi 0 1 2 3 4 5 6
pi 0,02 0,38 0,30 0,16 0,08 0,04 0,02

Задача 3. Для случайной величины Х с данным рядом распределения
-1 0 1 8
0,2 0,1 $р_1$ $р_2$
А) найдите $р_1$ и $р_2$ так, чтобы $М(Х)=0,5$
Б) после этого вычислите математическое ожидание и дисперсию случайной величины $Х$ и постройте график ее функции распределения

Задача 4. Дискретная СВ $X$ может принимать только два значения: $x_1$ и $x_2$, причем $x_1 lt x_2$. Известны вероятность $P$ возможного значения, математическое ожидание $M(x)$ и дисперсия $D(x)$. Найти: 1) Закон распределения этой случайной величины; 2) Функцию распределения СВ $X$; 3) Построить график $F(x)$.
$P=0,3; M(x)=6,6; D(x)=13,44.$

Задача 5. Случайная величина Х принимает три значения: 2, 4 и 6. Найти вероятности этих значений, если $M(X)=4,2$, $D(X)=1,96$.

Задача 6. Дан ряд распределения дискретной с.в. $Х$. Найти числовые характеристики положения и рассеивания с.в. $Х$. Найти м.о. и дисперсию с.в. $Y=X/2-2$, не записывая ряда распределения с.в. $Y$, проверить результат с помощью производящей функции.
Построить функцию распределения с.в. $Х$.
¦ x¦ 8 ¦ 12 ¦ 18 ¦ 24 ¦ 30 ¦
¦ p¦ 0,3¦ 0,1¦ 0,3¦ 0,2¦ 0,1¦

Задача 7. Распределение дискретной случайной величины $Х$ задано следующей таблицей (рядом распределения):
-6 3 9 15

0,40 0,30 ? 0,10
Определить недостающее значение в таблице распределения. Вычислить основные числовые характеристики распределения: $M_x, D_x, sigma_x$. Найти и построить функцию распределения $F(x)$. Определить вероятность того, что случайная величина $Х$ примет значения:
А) больше чем 6,
Б) меньше чем 12,
В) не больше 9.

Задача 8. В задаче требуется найти: а) математическое ожидание; б) дисперсию; в) среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины X по заданному закону её распределения, заданному таблично (в первой строке таблицы указаны возможные значения, во второй строке – вероятности возможных значений).

Задача 9. Задан закон распределения дискретной случайной величины $X$ (в первой строке указаны возможные значения $x_i$, во второй строке – вероятности возможных значений $p_i$).
Найти:
А) математическое ожидание $M(X)$, дисперсию $D(X)$ и среднее квадратическое отклонение $sigma(X)$;
Б) составить функцию распределения случайной величины $F(x)$ и построить ее график;
В) вычислить вероятности попадания случайной величины $X$ в интервал $x_2 lt X lt x_4$, пользуясь составленной функцией распределения $F(x)$;
Г) составить закон распределения величины $Y=100-2X$;
Д) вычислить математическое ожидание и дисперсию составленной случайной величины $Y$ двумя способами, т.е. пользуясь
свойством математического ожидания и дисперсии, а также непосредственно по закону распределения случайной величины $Y$.
10 20 30 40 50

0,1 0,2 0,1 0,2 0,4

Задача 10. Дискретная случайная величина задана таблице. Вычислить ее начальные и центральные моменты до 4 порядка включительно. Найти вероятности событий $xi lt Mxi$, $xi ge M xi$, $xi lt 1/2 M xi$, $xi ge 1/2 M xi$.

X 0 0,3 0,6 0,9 1,2

P 0,2 0,4 0,2 0,1 0,1

Решебник по терверу

Нужны еще решения? Более 11000 подробно решенных и оформленных задач. Найди в решебнике сейчас:

Функция распределения случайной величины

• Краткая теория
• Примеры решения задач
• Задачи контрольных и самостоятельных работ

Краткая теория

---

Пусть

 – действительное число. Вероятность события,
состоящего в том, что

 примет значение, меньшее

, то есть вероятность
события

 обозначим через

. Разумеется, если

 изменяется, то, вообще говоря, изменяется и

, то есть

 – функция от

.

Функцией распределения называют функцию

, определяющую вероятность
того, что случайная величина

 в результате испытания примет значение,
меньшее

, то есть:

Геометрически
это равенство можно истолковать так:

 есть вероятность того, что случайная величина примет
значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки

.

Иногда
вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная
функция».

Функцию
распределения дискретной случайной величины

 можно представить следующим соотношением:

Это
соотношение можно переписать в развернутом виде:

Функция
распределения дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция,
скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям
случайной величины и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков
функции

 равна 1.

Свойства функции распределения

Свойство 1.

Значения
функции распределения принадлежат отрезку

:

---

Свойство 2.

 – неубывающая функция, то есть:

,
если

---

Свойство 3.

Если возможные значения случайной величины
принадлежат интервалу

,
то:

1)

 при

;

2)

 при

---

Свойство 4.

Справедливо равенство:

---

Свойство 5.

Вероятность того, что непрерывная случайная
величина

 примет одно определенное значение, равна нулю.

Таким образом, не представляет интереса говорить о
вероятности того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное
значение, но имеет смысл рассматривать вероятность попадания ее в интервал,
пусть даже сколь угодно малый.

Заметим, что было бы неправильным думать, что
равенство нулю вероятности

 означает, что событие

 невозможно (если, конечно, не ограничиваться
классическим определением вероятности). Действительно, в результате испытания
случайная величина обязательно примет одно из возможных значений; в частности,
это значение может оказаться равным

.

---

Свойство 6.

Если возможные значения непрерывной случайной величины
расположены на всей оси

,
то справедливы следующие предельные соотношения:

---

Свойство 7.

Функция распределения непрерывная слева, то есть:

Смежные темы решебника:

• Дискретная случайная величина
• Непрерывная случайная величина
• Математическое ожидание
• Дисперсия и среднее квадратическое отклонение

Примеры решения задач

---

Пример 1

Дан ряд
распределения случайной величины

:

	1	2	6	8
	0,2	0,3	0,1	0,4

Найти и изобразить ее функцию распределения.

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Будем задавать различные значения

 и находить для них

1. Если

,
то, очевидно,

в том числе и при

2. Пусть

 (например

)

Очевидно, что и

3. Пусть

 (например

);

Очевидно, что и

4. Пусть

Очевидно, что и

5. Пусть

Итак:

График функции распределения

---

Пример 2

Случайная
величина

 задана функцией распределения:

Найти
вероятность того, что в результате испытания

 примет значение:

а) меньше
0,2;

б) меньше
трех;

в) не
меньше трех;

г) не
меньше пяти.

Решение

а) Так
как при

 функция

, то

то есть
при

б)

в)
События

 и

 противоположны, поэтому

Отсюда:

г) сумма
вероятностей противоположных событий равна единице, поэтому

Отсюда, в
силу того что при

 функция

, получим:

---

Пример 3

Задана
непрерывная случайная величина X своей плотностью
распределения вероятностей f(x). Требуется:

1)
определить коэффициент A;

2) найти
функцию распределения F(x);

3)
схематично построить графики функций f(x) и F(x);

4)
вычислить математическое ожидание и дисперсию X;

5)
определить вероятность того, что X примет значение из
интервала (a,b).

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

1)
Постоянный параметр

 найдем из
свойства плотности вероятности:

В
нашем случае эта формула имеет вид:

Получаем:

2)
Функцию распределения

 найдем из
формулы:

Учитывая
свойства

,  сразу можем отметить,
что:

и

Остается
найти выражение для

, когда х принадлежит интервалу

:

Получаем:  

3) Построим графики функций:

График плотности распределения

График функции распределения

4) Вычислим
математическое ожидание:

В нашем случае:

Вычислим дисперсию:

Искомая дисперсия:

5) Вероятность того, что

 примет значение из интервала

:

Задачи контрольных и самостоятельных работ

---

Задача 1

Закон
распределения случайной величины X задан таблицей.

Найти ее
математическое ожидание, дисперсию и значение функции распределения в заданной
точке.

F(1)=

M[X]=

D[X]=

---

Задача 2

Случайная
величины X задана функцией распределения

Найти
плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию
случайной величины. Построить графики дифференциальной и интегральной функций.
Найти вероятность попадания случайной величины X в интервалы (1,2; 1,8),
(1,8; 2,3)

---

Задача 3

Дискретная
случайная величина X задана рядом распределения. Найти:

1)
функцию распределения F(x) и ее график;

2)
математическое ожидание M(X);

3)
дисперсию D(X).

	-5	5	25	45	65
	0.2	0.15	0.3	0.25	0.1

---

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Задача 4

В задаче
дискретная случайная величина задана рядом распределения.

Найти

; M(X), D(X), P(0≤X≤2); F(x).
Начертить график F(x)

---

Задача 5

В задаче
непрерывная случайная величина X задана функцией
распределения F(x).

Найти  a; f(x); M(X); D(X); P(X<0.2)

Начертить
графики функций f(x);F(x).

---

Задача 6

Функция
распределения непрерывной случайной величины X (времени безотказной работы
некоторого устройства) равна

 (

). Найти вероятность безотказной
работы устройства за время x больше либо равно T.

---

Задача 7

Функция
распределения непрерывной случайной величины задана выражением:

Найдите:

1)
параметр a;

2)
плотность вероятностей;

4) P(0<x<1)

Постройте
графики интегральной и дифференциальной функции распределения.

---

Задача 8

Дана
интегральная функция распределения. Найти: дифференциальную функцию f(x),M(X),σ(X),D(X).

---

Задача 9

Дана
функция распределения F(х) случайной величины Х.

Найти плотность
распределения вероятностей f(x), математическое ожидание M(X),
дисперсию D(X) и вероятность попадания X на
отрезок [a,b]. Построить графики
функций F(x) и f(x).

---

Задача 10

НСВ X имеет
плотность вероятности (закон Коши)

Найти:

а)
постоянную C=const;

б)
функцию распределения F(x);

в)
вероятность попадания в интервал -1<x<1

г)
построить графики f(x), F(x).

• Краткая теория
• Примеры решения задач
• Задачи контрольных и самостоятельных работ

xi	0	1	2	3	4	5
P(xi)= pi	0,1	0,2	0,3	0,2	0,1	0,1

Поскольку появление различных значений
случайной величины X –
несовместные события,
то вероятность того, что
число опрошенных на
уроке учеников равно 2
или 3, равна сумме
вероятностей этих значений СВ Х
(по теореме сложения вероятностей).
Тогда P(Х=2 или Х=3) = P(Х=2) + P(Х=3) = 0,3 + 0,2
= 0,5.

Вероятность того, что число
опрошенных на уроке учеников будет
находиться в пределах от 1 до 4 (включая
1 и 4), равна 0,8, т.к.P(1≤X≤4)=
P(Х=1)
+ P(Х=2)+
P(Х=3)
+ P(Х=4)
= 0,8. Вероятность того ни один
ученик не будет опрошенP(X= 0)
= 0,1.

Задание:

1. Построить многоугольник (или полигон)
   распределения СВ X– числа опрошенных
   учеников.

2. Построить функцию распределения СВ Xчисла опрошенных учеников.

3. Используя функцию распределения, найти
   вероятность того, что
   число опрошенных на
   уроке учеников будет не меньше одного,
   но меньше трех, т.е.
   Р(1 ≤Х< 3).

Решение.

1). Построение многоугольника (полигона)
распределения СВX – число
опрошенных на уроке учеников приведено
на рис.1.1..

Рис.1.1. Полигон
распределения для данных примера 1.1.

2). Построение F(х) — функции
распределения СВX – числа опрошенныхна уроке учеников.

По определению
.
Как следует из табл.1.2. случайная величинаХ не принимает значений, меньших
0. Следовательно, еслих < 0,
то событиеX < х невозможно,
а вероятность его равна нулю. Для всех
значенийх, удовлетворяющих двойному
неравенству 0 ≤ x < 1, функцияF(х) означает вероятность
событияX < 1. Но случайная
величинаX принимает значение меньшее
1 лишь в одном случае: значение 0 с
вероятностью 0,1.

Если значение х удовлетворяет
двойному неравенству, 0 ≤х < 2,
тоF(х) = P(Х=0) + P(Х=1) = 0,1 + 0,2
= 0,3.

Пусть, например, х
= 2. Тогда F(2)
есть вероятность
события X < 2.
Это событие возможно в двух случаях:
случайная величина X
принимает значение 0
(с вероятностью 0,1),
или 1
(с вероятностью 0,2). Применив теорему
сложения вероятностей, получим
F(2) = P(Х=0 и Х=1) = 0,1 + 0,2 = 0,3.
Аналогичные рассуждения позволяют
найти функцию распределения для данных
табл. 1.1. Результат приведен в табл. 1.3.

Функция распределения (интегральная
функция распределения) для примера 1.1
приведена в таблице 1.3.

Таблица
1.3

x
F(х)	0	0,1	0,3	0,6	0,8	0,9	1,0

На рис.1.2. представлен график функции
распределения F(x). Функция
распределенияF(x)– неубывающая
функция, её значение равно единице прих, большем наибольшего возможного
значения случайной величины или равном
ему (рис.1.2).

Рис.1.2. График
функции распределения F(x).

График F(x) имеет ступенчатый
вид. Функция распределения каждой
дискретной случайной величины постоянна
на интервалах и имеет скачки на границах,
соответствующих значениям СВ. Величина
скачков равна вероятностям конкретныxзначений СВ (табл. 1.3).

3). Как следует из таблиц 1.2. и 1.3, вероятность
того, что число опрошенных на уроке
учеников в определенный день будет
меньше трех, можно найти по формуле
Р(Х < 3) =F(3)= 0,6.
С другой стороны, эту же вероятность
можно найти. используяпо
теорему сложения вероятностей:

Р(Х < 3) =P(Х=0 или Х=1 или Х=2)
 = 0,1 + 0,2 + 0,3 = 0,6.

Вероятность того, что на уроке будет
опрошено не менее одного ученика, когда
вероятность события X  ≥ 1
вычисляется по формуле

P(X 
≥ 1)
= 1– P(X < 1) = 1 – 0,1 = 0,9

где P(X < 1)  вероятность
того, что на уроке будет опрошено менее
одного ученика, т.е. не будет опрошен ни
один ученик. Вероятность событияP(X 
≥ 1) также можно найти по формуле

P(X 
≥ 1) = 1– P(X < 1) = 1–F(1) = 1 – 0,1 = 0,9

Вероятность того, что число опрошенных
учеников в определенный день будет не
меньше одного, но меньше трех, можно
найти по формуле Р(1 ≤Х <3) =F(3)–F(1) = 0,6 – 0,1 = 0,5.

Этот же результат может быть получен
непосредственно по ряду распределения
СВ Х(табл.1.2):

Р(1 ≤Х <3)=P(X=1)+P(X=2)=0,2+0,3=0,5

Соседние файлы в папке Эконометрика 1 лекция

• #
• #
• #
• #
• #
• #