Как составить каноническое уравнение эллипса по координатам точек - Avtoru.top

Эллипс:

Определение: Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух выделенных точек

Получим каноническое уравнение эллипса. Выберем декартову систему координат так, чтобы фокусы

Рис. 29. Вывод уравнения эллипса.

Расстояние между фокусами (фокусное расстояние) равно Согласно определению эллипса имеем Из треугольников и по теореме Пифагора найдем

соответственно. Следовательно, согласно определению имеем

Возведем обе части равенства в квадрат, получим

Перенося квадратный корень в левую часть, а все остальное в правую часть равенства, находим Раскроем разность квадратов Подставим найденное выражение в уравнение и сократим обе части равенства на 4, тогда оно перейдет в уравнение Вновь возведем обе части равенства в квадрат Раскрывая все скобки в правой части уравнения, получим Соберем не- известные в левой части, а все известные величины перенесем в правую часть уравнения, получим Введем обозначение для разности, стоящей в скобках Уравнение принимает вид Разделив все члены уравнения на получаем каноническое уравнение эллипса: Если то эллипс вытянут вдоль оси Ох, для противоположного неравенства — вдоль оси Оу (при этом фокусы тоже расположены на этой оси). Проанализируем полученное уравнение. Если точка М(х; у) принадлежит эллипсу, то ему принадлежат и точки следовательно, эллипс симметричен относительно координатных осей, которые в данном случае будут называться осями симметрии эллипса. Найдем координаты точек пересечения эллипса с декартовыми осями:

Определение: Найденные точки называются вершинами эллипса.

Рис. 30. Вершины, фокусы и параметры эллипса

Определение: Если то параметр а называется большой, а параметр b — малой полуосями эллипса.

Определение: Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного рас- стояния к большой полуоси эллипса

Из определения эксцентриситета эллипса следует, что он удовлетворяет двойному неравенству Кроме того, эта характеристика описывает форму эллипса. Для демонстрации этого факта рассмотрим квадрат отношения малой полуоси эллипса к большой полуоси

Если и эллипс вырождается в окружность. Если и эллипс вырождается в отрезок

Пример:

Составить уравнение эллипса, если его большая полуось а = 5, а его эксцентриситет

Решение:

Исходя из понятия эксцентриситета, найдем абсциссу фокуса, т.е. параметр Зная параметр с, можно вычислить малую полуось эллипса Следовательно, каноническое уравнение заданного эллипса имеет вид:

Пример:

Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса а третья вершина — в центре окружности

Решение:

Для определения координат фокусов эллипса и центра окружности преобразуем их уравнения к каноническому виду. Эллипс:

Следовательно, большая полуось эллипса а малая полуось Так как то эллипс вытянут вдоль оси ординат Оу. Определим расположение фокусов данного эллипса Итак, Окружность: Выделим полные квадраты по переменным Следовательно, центр окружности находится в точке О(-5; 1).

Построим в декартовой системе координат треугольник Согласно школьной формуле площадь треугольника равна Высота а основание Следовательно, площадь треугольника равна:

Эллипс в высшей математике

Рассмотрим уравнение

где и —заданные положительные числа. Решая его относительно , получим:

Отсюда видно, что уравнение (2) определяет две функции. Пока независимое переменное по абсолютной величине меньше , подкоренное выражение положительно, корень имеет два значения. Каждому значению , удовлетворяющему неравенству соответствуют два значения , равных по абсолютной величине. Значит, геометрическое место точек, определяемое уравнением (2), симметрично относительно оси . Так же можно убедиться в том, что оно симметрично и относительно оси . Поэтому ограничимся рассмотрением только первой четверти.

При , при . Кроме того, заметим, что если увеличивается, то разность уменьшается; стало быть, точка будет перемещаться от точки вправо вниз и попадет в точку . Из соображений симметрии изучаемое геометрическое место точек будет иметь вид, изображенный на рис. 34.

Полученная линия называется эллипсом. Число является длиной отрезка , число —длиной отрезка . Числа и называются полуосями эллипса. Число эксцентриситетом.

Пример:

Найти проекцию окружности на плоскость, не совпадающую с плоскостью окружности.

Решение:

Возьмем две плоскости, пересекающиеся под углом (рис. 35). В каждой из этих плоскостей возьмем систему координат, причем за ось примем прямую пересечения плоскостей, стало быть, ось будет общей для обеих систем. Оси ординат различны, начало координат общее для обеих систем. В плоскости возьмем окружность радиуса с центром в начале координат, ее уравнение .

Пусть точка лежит на этой окружности, тогда ее координаты удовлетворяют уравнению .

Обозначим проекцию точки на плоскость буквой , а координаты ее—через и . Опустим перпендикуляры из и на ось , это будут отрезки и . Треугольник прямоугольный, в нем , ,, следовательно, . Абсциссы точек и равны, т. е. . Подставим в уравнение значение , тогда cos

или

а это есть уравнение эллипса с полуосями и .

Таким образом, эллипс является проекцией окружности на плоскость, расположенную под углом к плоскости окружности.

Замечание. Окружность можно рассматривать как эллипс с равными полуосями.

Уравнение эллипсоида

Определение: Трехосным эллипсоидом называется поверхность, полученная в результате равномерной деформации (растяжения или сжатия) сферы по трем взаимно перпендикулярным направлениям.

Рассмотрим сферу радиуса R с центром в начале координат:

где Х, У, Z — текущие координаты точки сферы.

Пусть данная сфера подвергнута равномерной деформации в направлении координатных осей с коэффициентами деформации, равными

В результате сфера превратится в эллипсоид, а точка сферы М (X, У, Z) с текущими координатами Х, У, Z перейдет в точку эллипсоидам (х, у, z) с текущими координатами х, у, г, причем

(рис. 206). Отсюда

Иными словами, линейные размеры сферы в направлении оси Ох уменьшаются в раз, если , и увеличиваются в раз, если и т. д.

Подставляя эти формулы в уравнение (1), будем иметь

где Уравнение (2) связывает текущие координаты точки М’ эллипсоида и, следовательно, является уравнением трехосного эллипсоида.

Величины называются полуосями эллипсоида; удвоенные величины называются осями эллипсоида и, очевидно, представляют линейные размеры его в направлениях деформации (в данном случае в направлениях осей координат).

Если две полуоси эллипсоида равны между собой, то эллипсоид называется эллипсоидом вращения, так как может быть получен в результате вращения эллипса вокруг одной из его осей. Например, в геодезии считают поверхность земного шара эллипсоидом вращения с полуосями

а = b = 6377 км и с = 6356 км.

Если а = b = с, то эллипсоид превращается в сферу.

Гипербола
Парабола
Многогранник
Решение задач на вычисление площадей
Шар в геометрии
Правильные многогранники в геометрии
Многогранники
Окружность

Источник

Определение эллипса.

Начать изучение
Фокусы, эксценриситет и директрисы эллипса.

Начать изучение
Уравнение касательной к эллипсу.

Начать изучение

Определение эллипса.

Напомним, что мы назвали эллипсом линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением
$$
frac{x^{2}}{a^{2}}+frac{y^{2}}{b^{2}}=1label{ref1}
$$
при условии (a geq b > 0).

Из уравнения eqref{ref1} следует, что для всех точек эллипса (|x| leq a) и (|y| leq b). Значит, эллипс лежит в прямоугольнике со сторонами (2a) и (2b).

Точки пересечения эллипса с осями канонической системы координат, имеющие координаты ((a, 0)), ((-a, 0)), ((0, b)) и ((0, -b)), называются вершинами эллипса. Числа (a) и (b) называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.

Рис. 8.1. Эллипс

В каноническое уравнение входят только квадраты координат. Поэтому, если координаты ((x, y)) какой-либо точки /(M) ему удовлетворяют, то ему удовлетворяют и координаты ((-x, y)), ((x, -y)) и ((-x, -y)) точек (M_{1}), (M_{2}) и (M_{3}) (рис. 8.1). Следовательно, справедливо следующее утверждение.

Утверждение 1.

Оси канонической системы координат являются осями симметрии эллипса, а начало канонической системы — его центром симметрии.

Внешний вид эллипса проще всего описать сравнением с окружностью радиуса (a) с центром в центре эллипса: (x^{2}+y^{2}=a^{2}). При каждом (x) таком, что (|x| < a), найдутся две точки эллипса с ординатами (pm b sqrt{1-x^{2}/a^{2}}) и две точки окружности с ординатами (pm a sqrt{1-x^{2}/a^{2}}). Пусть точке эллипса соответствует точка окружности с ординатой того же знака. Тогда отношение ординат соответствующих точек равно (b/a). Итак, эллипс получается из окружности таким сжатием ее к оси абсцисс, при котором ординаты всех точек уменьшаются в одном и том же отношении (b/a) (рис. 8.2).

Рис. 8.2. Сжатие окружности к эллипсу. Ординаты всех точек уменьшаются в отношении (b/a).

Фокусы, эксценриситет и директрисы эллипса.

У эллипса есть две замечательные точки, которые называются его фокусами.

Определение.

Пусть по определению
$$
c^{2}=a^{2}-b^{2}label{ref2}
$$
и (c geq 0).

Фокусами называются точки (F_{1}) и (F_{2}) с координатами ((c, 0)) и ((-c, 0)) в канонической системе координат (рис. 8.3).

Рис. 8.3. Фокусы эллипса.

Для окружности (c=0), и оба фокуса совпадают с центром. Ниже мы будем предполагать, что эллипс не является окружностью.

Определение.

Отношение
$$
varepsilon=frac{c}{a}label{ref3}
$$
называется эксцентриситетом эллипса.

Отметим, что (varepsilon < 1).

Утверждение 2.

Расстояние от произвольной точки (M(x, y)), лежащей на эллипсе, до каждого из фокусов (рис. 8.3) является линейной функцией от ее абсциссы (x):
$$
r_{1}=|F_{1}M|=a-varepsilon x, r_{2}=|F_{2}M|=a+varepsilon x.label{ref4}
$$

Доказательство.

Очевидно, что (r_{1}^{2}=(x-c)^{2}+y^{2}). Подставим сюда выражение для (y^{2}), найденное из уравнения эллипса. Мы получим
$$
r_{1}^{2}=x^{2}-2cx+c^{2}+b^{2}-frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}}.nonumber
$$

Учитывая равенство eqref{ref2}, это можно преобразовать к виду
$$
r_{1}^{2}=a^{2}-2cx+frac{c^{2}x^{2}}{a^{2}}=(a-varepsilon x)^{2}.nonumber
$$
Так как (x leq a) и (varepsilon < 1), отсюда следует, что справедливо первое из равенств eqref{ref4}: (r_{1}=a-varepsilon x). Второе равенство доказывается аналогично.

Утверждение 3.

Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы сумма ее расстояний до фокусов равнялась большой оси эллипса (2a).

Доказательство.

Необходимость. Если мы сложим равенства eqref{ref4} почленно, то увидим, что
$$
r_{1}+r_{2}=2a.label{ref5}
$$
Достаточность. Пусть для точки (M(x, y)) выполнено условие eqref{ref5}, то есть
$$
sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=2a-sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}.nonumber
$$
Возведем обе части равенства в квадрат и приведем подобные члены:
$$
xc+a^{2}=asqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}.label{ref6}
$$
Это равенство также возведем в квадрат и приведем подобные члены, используя соотношение eqref{ref2}. Мы придем к (b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}), равносильному уравнению эллипса eqref{ref1}.

С эллипсом связаны две замечательные прямые, называемые его директрисами. Их уравнения в канонической системе координат (рис. 8.4)
$$
x=frac{a}{varepsilon},\ x=-frac{a}{varepsilon}.label{ref7}
$$
Директрису и фокус, которые лежат по одну сторону от центра, будем считать соответствующими друг другу.

Рис. 8.4. Фокусы и директрисы эллипса.

Утверждение 4.

Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение ее расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету эллипса (varepsilon).

Доказательство.

Докажем это предложение для фокуса (F_{2}(-c, 0)). Пусть (M(x, y)) — произвольная точка эллипса. Расстояние от (M) до директрисы с уравнением (x=-a/varepsilon) по формуле (9) §3 гл. II равно
$$
d_{2}=|x+frac{a}{varepsilon}|=frac{1}{varepsilon}(varepsilon x+a).nonumber
$$
Из формулы eqref{ref4} мы видим теперь, что (r_{2}/d_{2}=varepsilon).

Обратно, пусть для какой-то точки плоскости (r_{2}/d_{2}=varepsilon), то есть
$$
sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=varepsilon left(x+frac{a}{varepsilon}right).nonumber
$$
Так как (varepsilon=c/a), это равенство легко приводится к виду eqref{ref6}, из которого, как мы знаем, следует уравнение эллипса.

Уравнение касательной к эллипсу.

Выведем уравнение касательной к эллипсу, заданному каноническим уравнением. Пусть (M_{0}(x_{0}, y_{0})) — точка на эллипсе и (y_{0} neq 0). Через (M_{0}) проходит график некоторой функции (y=f(x)), который целиком лежит на эллипсе. (Для (y_{0} > 0) это график (f_{1}(x)=bsqrt{1-x^{2}/a^{2}}), для (y_{0} < 0) — график (f_{2}(x)=-bsqrt{1-x^{2}/a^{2}}). Не уточняя знака (y_{0}), обозначим подходящую функцию (f(x)).) Для нее выполнено тождество
$$
frac{x^{2}}{a^{2}}+frac{(f(x))^{2}}{b^{2}}=1.nonumber
$$
Дифференцируем его по (x):
$$
frac{2x}{a^{2}}+frac{2ff’}{b^{2}}=0.nonumber
$$
Подставляя (x=x_{0}) и (f(x_{0}=y_{0})), находим производную от (f) в точке (x_{0}), равную угловому коэффициенту касательной:
$$
f'(x_{0})=frac{b^{2}}{a^{2}} frac{x_{0}}{y_{0}}.nonumber
$$
Теперь мы можем написать уравнение касательной:
$$
y-y_{0}=-frac{b^{2}}{a^{2}} frac{x_{0}}{y_{0}}(x-x_{0}).nonumber
$$
Упрощая это уравнение, учтем, что (b^{2}x_{0}^{2}+a^{2}y_{0}^{2}=a^{2}b^{2}), так как (M_{0}) лежит на эллипсе. Результату можно придать вид
$$
frac{xx_{0}}{a^{2}}+frac{yy_{0}}{b^{2}}=1.label{ref8}
$$

При выводе уравнения eqref{ref8} мы исключили вершины эллипса ((a, 0)) и ((-a, 0)), положив (y_{0} neq 0). Для этих точек оно превращается, соответственно, в уравнения (x=a) и (x=-a). Эти уравнения определяют касательные в вершинах. Проверить это можно, заметив, что в вершинах ж как функция от у достигает экстремума. Предоставим читателю проделать это подробно и показать тем самым, что уравнение eqref{ref8} определяет касательную для любой точки (M_{0}(x_{0}, y_{0})) на эллипсе.

Утверждение 5.

Касательная к эллипсу в точке (M_{0}(x_{0}, y_{0})) есть биссектриса угла, смежного с углом между отрезками, соединяющими эту точку с фокусами.

Доказательство.

Нам надо сравнить углы (varphi_{1}) и (varphi_{2}), составленные векторами (overrightarrow{F_{1}M_{0}}) и (overrightarrow{F_{2}M_{0}}) с вектором (boldsymbol{n}), перпендикулярным касательной (рис. 8.5). Из уравнения eqref{ref8} находим, что (boldsymbol{n}(x_{0}/a^{2}, y_{0}/b^{2})), и потому
$$
(overrightarrow{F_{1}M_{0}}, boldsymbol{n})=frac{x_{0}}{a^{2}}(x_{0}-c)+frac{y_{0}}{b^{2}}y_{0}=1-frac{x_{0}c}{a^{2}}=frac{a-varepsilon x_{0}}{a}.nonumber
$$
Используя eqref{ref4}, мы получаем отсюда, что (cos varphi_{1}=1/(a|boldsymbol{n}|)). Аналогично находим (cos varphi_{2}=1/(a|boldsymbol{n}|)). Утверждение доказано.

Рис. 8.5.

Источник

Определение.
Пусть на плоскости заданы две точки F₁
и F₂,
расстояние между которыми равно 2c.
Пусть, кроме того, задано число a,
большее c.
Эллипсом
называется множество точек той же
плоскости, для каждой из которых сумма
расстояний до точек F₁
и F₂,
называемых фокусами
эллипса,
есть число постоянное, равное 2а.

Вывод канонического уравнения

Для вывода
канонического уравнения эллипса выберем
на плоскости следующую прямоугольную
декартову систему координат: ось

проведем через фокусы эллипса, а ось

–
перпендикулярно ей через середину
отрезка F₁F₂
(рис. 3.4). По определению эллипсу
удовлетворяют те, и только те точки М
плоскости, для которых

.
(1)

Чтобы
получить уравнение эллипса следует
записать равенство (1) в координатах. В
выбранной системе координат фокусы
эллипса имеют следующие координаты: F₁
(–c;
0); F₂
(c;
0). Произвольную (или текущую) точку
множества опять обозначаем M(x;
y).
Так как

то уравнение (1)
равносильно следующему:

,
(2)

которое, в свою
очередь, равносильно

Рис. 3.4
уравнению:

.
(3)

Оба эти уравнения
являются уравнениями эллипса, но мы
преобразуем их к более простому виду.
Проведем следующую цепочку преобразований:

(3)

Учитывая, что
,
разделив последнее уравнение на
,
получаем:

.
(4′)

Так как
,
то
,
поэтому найдется такое положительное
число
,
что
.
Теперь уравнение (4′) примет вид:

.
(4)

Мы доказали: если
точка принадлежит эллипсу, то её
координаты удовлетворяют уравнению
(3) или (4).

Докажем обратное:
если координаты точки удовлетворяют
уравнению (4) или (3), то она принадлежит
эллипсу. Итак,

{M
(x;
y)
удовлетворяет (4)}

.
(5)

Аналогично получаем:

.
(6)

Находим сумму
расстояний:

[(4)

]=.

Таким образом, (4)
– уравнение эллипса, которое и называется
его каноническим
уравнением.

Исследование формы эллипса по его каноническому уравнению

1. Из (4)
вытекает: если точка M(x;
y)
принадлежит эллипсу, то

,
т.е. эллипс полностью лежит внутри этого
прямоугольника.

2.
Так же как и гипербола, эллипс симметричен
относительно обеих координатных осей
и относительно начала координат. Оси
симметрии эллипса называются осями
эллипса,
центр симметрии – его центром.

. Если y
= 0, то из (1) следует, что x
= a,
если же x
= 0, то y
= b.
Таким образом, эллипс
пересекает обе координатные оси: ось

в точках A₁(–a;
0), A₂(a;
0), а ось

Рис. 3.5.
–
в точках B₁(0;
–b),
B₂(0;
b).
Эти точки называются вершинами эллипса
Числа а
и b
называются полуосями эллипса, большой
и малой соответственно.

. В силу симметрии эллипса его можно
вначале нарисовать только в первой
четверти, а затем продолжить по симметрии.
Если

,
то из (4) получаем:
.
Найдем производную:

при
,
поэтому функция убывает на отрезке
.
Так как

и
,
то в точке пересечения эллипса с осью

он имеет горизонтальную касательную,
а в точке пересечения с осью

– вертикальную. Так же, как и у гиперболы,
фокусы эллипса находятся в точках F₁
(–c;
0) F₂
(c;
0). Теперь уже можно эллипс изобразить
(см. рис. 3.5).

Замечание.
Уравнение (4) задаёт эллипс, фокусы
которого лежат на оси абсцисс при
,
и лежат на оси ординат при
.
Если же
,
то (4) – уравнение окружности радиуса

с центром в начале координат. В этом
случае c
= 0. Таким
образом, окружность –
это частный случай эллипса с совпадающими
фокусами.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Эллипс: определение, свойства, построение

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек F_1 , и F_2 есть величина постоянная (2a) , бо́льшая расстояния (2c) между этими заданными точками (рис.3.36,а). Это геометрическое определение выражает фокальное свойство эллипса.

Фокальное свойство эллипса

Точки F_1 , и F_2 называются фокусами эллипса, расстояние между ними 2c=F_1F_2 — фокусным расстоянием, середина отрезка F_1F_2 — центром эллипса, число — длиной большой оси эллипса (соответственно, число — большой полуосью эллипса). Отрезки F_1M и F_2M , соединяющие произвольную точку эллипса с его фокусами, называются фокальными радиусами точки . Отрезок, соединяющий две точки эллипса, называется хордой эллипса.

Отношение $e=frac{c}{a}$ называется эксцентриситетом эллипса. Из определения (2a>2c) следует, что 0leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр совпадают, и эллипс является окружностью радиуса (рис.3.36,6).

Геометрическое определение эллипса, выражающее его фокальное свойство, эквивалентно его аналитическому определению — линии, задаваемой каноническим уравнением эллипса:

$frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1.$

(3.49)

Действительно, введем прямоугольную систему координат (рис.3.36,в). Центр эллипса примем за начало системы координат; прямую, проходящую через фокусы (фокальную ось или первую ось эллипса), примем за ось абсцисс (положительное направление на ней от точки F_1 к точке F_2 ); прямую, перпендикулярную фокальной оси и проходящую через центр эллипса (вторую ось эллипса), примем за ось ординат (направление на оси ординат выбирается так, чтобы прямоугольная система координат Oxy оказалась правой).

Эллипс и его фокальные свойства, эксцентриситет эллипса

Составим уравнение эллипса, пользуясь его геометрическим определением, выражающим фокальное свойство. В выбранной системе координат определяем координаты фокусов F_1(-c,0),~F_2(c,0) . Для произвольной точки M(x,y) , принадлежащей эллипсу, имеем:

$vline,overrightarrow{F_1M},vline,+vline,overrightarrow{F_2M},vline,=2a.$

Записывая это равенство в координатной форме, получаем:

$sqrt{(x+c)^2+y^2}+sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a.$

Переносим второй радикал в правую часть, возводим обе части уравнения в квадрат и приводим подобные члены:

$(x+c)^2+y^2=4a^2-4asqrt{(x-c)^2+y^2}+(x-c)^2+y^2~Leftrightarrow ~4asqrt{(x-c)^2+y^2}=4a^2-4cx.$

Разделив на 4, возводим обе части уравнения в квадрат:

a^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2).

Обозначив $b=sqrt{a^2-c^2}>0$ , получаем b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2 . Разделив обе части на a^2b^2ne0 , приходим к каноническому уравнению эллипса:

$frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1.$

Следовательно, выбранная система координат является канонической.

Если фокусы эллипса совпадают, то эллипс представляет собой окружность (рис.3.36,6), поскольку a=b . В этом случае канонической будет любая прямоугольная система координат с началом в точке Oequiv F_1equiv F_2 , a уравнение x^2+y^2=a^2 является уравнением окружности с центром в точке и радиусом, равным .

Проводя рассуждения в обратном порядке, можно показать, что все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (3.49), и только они, принадлежат геометрическому месту точек, называемому эллипсом. Другими словами, аналитическое определение эллипса эквивалентно его геометрическому определению, выражающему фокальное свойство эллипса.

Директориальное свойство эллипса

Директрисами эллипса называются две прямые, проходящие параллельно оси ординат канонической системы координат на одинаковом расстоянии $frac{a^2}{c}$ от нее. При c=0 , когда эллипс является окружностью, директрис нет (можно считать, что директрисы бесконечно удалены).

Эллипс с эксцентриситетом 0<e<1 можно определить, как геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до заданной точки (фокуса) к расстоянию до заданной прямой (директрисы), не проходящей через заданную точку, постоянно и равно эксцентриситету (директориальное свойство эллипса). Здесь и — один из фокусов эллипса и одна из его директрис, расположенные по одну сторону от оси ординат канонической системы координат, т.е. F_1,d_1 или F_2,d_2 .

В самом деле, например, для фокуса F_2 и директрисы d_2 (рис.3.37,6) условие $frac{r_2}{rho_2}=e$ можно записать в координатной форме:

$sqrt{(x-c)^2+y^2}=ecdot!left(frac{a^2}{c}-xright)$

Избавляясь от иррациональности и заменяя $e=frac{c}{a},~a^2-c^2=b^2$ , приходим к каноническому уравнению эллипса (3.49). Аналогичные рассуждения можно провести для фокуса F_1 и директрисы $d_1colonfrac{r_1}{rho_1}=e$ .

Эллипс и его директориальное свойство, эксцентриситет эллипса

Уравнение эллипса в полярной системе координат

Построение кривой эллипса по точкам в полярной системе координат

Уравнение эллипса в полярной системе координат F_1rvarphi (рис.3.37,в и 3.37(2)) имеет вид

$r=frac{p}{1-ecdotcosvarphi}$

где $p=frac{b^2}{a}$ фокальный параметр эллипса.

В самом деле, выберем в качестве полюса полярной системы координат левый фокус F_1 эллипса, а в качестве полярной оси — луч F_1F_2 (рис.3.37,в). Тогда для произвольной точки M(r,varphi) , согласно геометрическому определению (фокальному свойству) эллипса, имеем r+MF_2=2a . Выражаем расстояние между точками и F_2(2c,0) (см. пункт 2 замечаний 2.8):

$begin{aligned}F_2M&=sqrt{(2c)^2+r^2-2cdot(2c)cdot rcos(varphi-0)}=\[3pt] &=sqrt{r^2-4cdot ccdot rcdotcosvarphi+4cdot c^2}.end{aligned}$

Следовательно, в координатной форме уравнение эллипса F_1M+F_2M=2a имеет вид

$r+sqrt{r^2-4cdot ccdot rcdotcosvarphi+4cdot c^2}=2cdot a.$

Уединяем радикал, возводим обе части уравнения в квадрат, делим на 4 и приводим подобные члены:

$r^2-4cdot ccdot rcdotcosvarphi+4cdot c^2~Leftrightarrow~acdot!left(1-frac{c}{a}cdotcosvarphiright)!cdot r=a^2-c^2.$

Выражаем полярный радиус и делаем замену $e=frac{c}{a},~b^2=a^2-c^2,~p=frac{b^2}{a}$ :

$r=frac{a^2-c^2}{acdot(1-ecdotcosvarphi)} quad Leftrightarrow quad r=frac{b^2}{acdot(1-ecdotcosvarphi)} quad Leftrightarrow quad r=frac{p}{1-ecdotcosvarphi},$

что и требовалось доказать.

Геометрический смысл коэффициентов в уравнении эллипса

Найдем точки пересечения эллипса (см. рис.3.37,а) с координатными осями (вершины зллипса). Подставляя в уравнение y=0 , находим точки пересечения эллипса с осью абсцисс (с фокальной осью): x=pm a . Следовательно, длина отрезка фокальной оси, заключенного внутри эллипса, равна . Этот отрезок, как отмечено выше, называется большой осью эллипса, а число — большой полуосью эллипса. Подставляя x=0 , получаем y=pm b . Следовательно, длина отрезка второй оси эллипса, заключенного внутри эллипса, равна . Этот отрезок называется малой осью эллипса, а число — малой полуосью эллипса.

Действительно, $b=sqrt{a^2-c^2}leqslantsqrt{a^2}=a$ , причем равенство b=a получается только в случае c=0 , когда эллипс является окружностью. Отношение $k=frac{b}{a}leqslant1$ называется коэффициентом сжатия эллипса.

Замечания 3.9

1. Прямые x=pm a,~y=pm b ограничивают на координатной плоскости основной прямоугольник, внутри которого находится эллипс (см. рис.3.37,а).

2. Эллипс можно определить, как геометрическое место точек, получаемое в результате сжатия окружности к ее диаметру.

Действительно, пусть в прямоугольной системе координат Oxy уравнение окружности имеет вид x^2+y^2=a^2 . При сжатии к оси абсцисс с коэффициентом 0<kleqslant1 координаты произвольной точки M(x,y) , принадлежащей окружности, изменяются по закону

$begin{cases}x'=x,\y'=kcdot y.end{cases}$

Подставляя в уравнение окружности x=x' и $y=frac{1}{k}y'$ , получаем уравнение для координат образа M'(x',y') точки M(x,y) :

$(x')^2+{left(frac{1}{k}cdot y'right)!}^2=a^2 quad Leftrightarrow quad frac{(x')^2}{a^2}+frac{(y')^2}{k^2cdot a^2}=1 quad Leftrightarrow quad frac{(x')^2}{a^2}+frac{(y')^2}{b^2}=1,$

поскольку b=kcdot a . Это каноническое уравнение эллипса.

3. Координатные оси (канонической системы координат) являются осями симметрии эллипса (называются главными осями эллипса), а его центр — центром симметрии.

Действительно, если точка M(x,y) принадлежит эллипсу $frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$ . то и точки M'(x,-y) и M''(-x,y) , симметричные точке относительно координатных осей, также принадлежат тому же эллипсу.

4. Из уравнения эллипса в полярной системе координат $r=frac{p}{1-ecosvarphi}$ (см. рис.3.37,в), выясняется геометрический смысл фокального параметра — это половина длины хорды эллипса, проходящей через его фокус перпендикулярно фокальной оси ( r=p при $varphi=frac{pi}{2}$ ).

Эксцентриситет, коэффициент сжатия и фокусы эллипса

5. Эксцентриситет характеризует форму эллипса, а именно отличие эллипса от окружности. Чем больше , тем эллипс более вытянут, а чем ближе к нулю, тем ближе эллипс к окружности (рис.3.38,а). Действительно, учитывая, что $e=frac{c}{a}$ и c^2=a^2-b^2 , получаем

$e^2=frac{c^2}{a^2}=frac{a^2-b^2}{a^2}=1-{left(frac{a}{b}right)!}^2=1-k^2,$

где — коэффициент сжатия эллипса, 0<kleqslant1 . Следовательно, $e=sqrt{1-k^2}$ . Чем больше сжат эллипс по сравнению с окружностью, тем меньше коэффициент сжатия и больше эксцентриситет. Для окружности k=1 и e=0 .

6. Уравнение $frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$ при a<b определяет эллипс, фокусы которого расположены на оси (рис.3.38,6). Это уравнение сводится к каноническому при помощи переименования координатных осей (3.38).

7. Уравнение $frac{(x-x_0)^2}{a^2}+frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1,~ageqslant b$ определяет эллипс с центром в точке O'(x_0,y_0) , оси которого параллельны координатным осям (рис.3.38,в). Это уравнение сводится к каноническому при помощи параллельного переноса (3.36).

При a=b=R уравнение (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 описывает окружность радиуса с центром в точке O'(x_0,y_0) .

Параметрическое уравнение эллипса

Параметрическое уравнение эллипса в канонической системе координат имеет вид

$begin{cases}x=acdotcos{t},\ y=bcdotsin{t},end{cases}0leqslant t<2pi.$

Действительно, подставляя эти выражения в уравнение (3.49), приходим к основному тригонометрическому тождеству cos^2t+sin^2t=1 .

Пример построения эллипса в канонической системе координат

Пример 3.20. Изобразить эллипс $frac{x^2}{2^2}+frac{y^2}{1^2}=1$ в канонической системе координат Oxy . Найти полуоси, фокусное расстояние, эксцентриситет, коэффициент сжатия, фокальный параметр, уравнения директрис.

Решение. Сравнивая заданное уравнение с каноническим, определяем полуоси: a=2 — большая полуось, b=1 — малая полуось эллипса. Строим основной прямоугольник со сторонами 2a=4,~2b=2 с центром в начале координат (рис.3.39). Учитывая симметричность эллипса, вписываем его в основной прямоугольник. При необходимости определяем координаты некоторых точек эллипса. Например, подставляя x=1 в уравнение эллипса, получаем

$frac{1^2}{2^2}+frac{y^2}{1^2}=1 quad Leftrightarrow quad y^2=frac{3}{4} quad Leftrightarrow quad y=pmfrac{sqrt{3}}{2}.$

Следовательно, точки с координатами $left(1;,frac{sqrt{3}}{2}right)!,~left(1;,-frac{sqrt{3}}{2}right)$ — принадлежат эллипсу.

Вычисляем коэффициент сжатия $k=frac{b}{a}=frac{1}{2}$ ; фокусное расстояние $2c=2sqrt{a^2-b^2}=2sqrt{2^2-1^2}=2sqrt{3}$ ; эксцентриситет $e=frac{c}{a}=frac{sqrt{3}}{2}$ ; фокальный параметр $p=frac{b^2}{a}=frac{1^2}{2}=frac{1}{2}$ . Составляем уравнения директрис: $x=pmfrac{a^2}{c}~Leftrightarrow~x=pmfrac{4}{sqrt{3}}$ .

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Эллипс в высшей математике

Уравнение эллипсоида

Определение эллипса.

Фокусы, эксценриситет и директрисы эллипса.

Уравнение касательной к эллипсу.

Вывод канонического уравнения

Исследование формы эллипса по его каноническому уравнению

Эллипс: определение, свойства, построение

Фокальное свойство эллипса

Директориальное свойство эллипса

Уравнение эллипса в полярной системе координат

Геометрический смысл коэффициентов в уравнении эллипса

Параметрическое уравнение эллипса

Не пропустите также: