Как составить каноническое уравнение эллипса по двум точкам - Avtoru.top

Каноническое уравнение эллипса по двум точкам

Две точки с координатами

Первая координата

Вторая координата

Каноническое уравнение эллипса

Большая полуось эллипса

Малая полуось эллипса

Эксцентриситет эллипса

Фокусное/фокальное расстояние

Коэффициент сжатия

Координаты первого фокуса F1(x1:y1)

Координаты второго фокуса F2(x2:y2)

Фокальный параметр

Перифокусное расстояние

Апофокусное расстояние

Уравнение эллипса в каноническом виде имеет вот такой вид.

$?frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$

Так как тут всего две переменных, то логично предположить, что по двум заданным точкам мы всегда сможем построить формулу эллипса.

Для расчета поставленной задачи воспользуемся материалом расчет кривой второго порядка на плоскости, который и позволит легко и быстро получить результат.

Кроме этого, на этой странице мы получим следующую информацию.

Фокальный параметр — половина длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной большой оси эллипса

$p=cfrac{1-e^2}{e}$

Значение полуосей — большая полуось и малая полуось ( Естественно это в том случае, когда эллипс вытянут вдоль оси абсцисс)

$a=frac{b}{sqrt{1-e^2}}$

Эксцентриситет — коэффициент, показывающий насколько его фигура отличается от окружности

$e=frac{c}{a}$

Фокальное расстояние

c=ae

Коэффициент сжатия — отношение длин малой и большой полуосей

Перифокусное расстояние

$Ra=cfrac{1+e}{e}$

Апофокусное расстояние

$Rb=cfrac{1-e}{e}$

Примеры задач

Cоставить каноническое уравнение эллипса по двум точкам $Ra=cfrac{1+e}{e}$

Ввводим данные в калькулятор, не забывая что квадратный корень у нас обозначается sqrt

и получаем результат

Каноническое уравнение эллипса

Большая полуось эллипса

8.48528137423857

Малая полуось эллипса

5.656854249492381

Эксцентриситет эллипса

0.8958064164776166

Фокусное/фокальное расстояние

32.2490309931942

Коэффициент сжатия

0.4444444444444444

Координаты первого фокуса F1(x1:y1)

-16.1245154965971 : 0

Координаты второго фокуса F2(x2:y2)

16.1245154965971 : 0

Фокальный параметр

3.5555555555555554

Перифокусное расстояние

1.875484503402901

Апофокусное расстояние

34.1245154965971

И еще один пример

Даны две точки с координатами (3:2) и (4:-9) построить каноническое уравнение эллипса.

Если мы введем данные в калькулятор получим

Большая полуось эллипса

5.877538136328849

Малая полуось эллипса

NaN

Как видно, одна из осей не может быть определена, так как нам придется брать корень квадратный из отрицательного числа, а следовательно одна из осей будет комплексным числом, что быть не может.

Таким образом по этим двум точкам, нельзя построить эллипс.

А что же можно построить? Перейдя по ссылке данной в начале статьи, мы можем увидеть что это каноническое уравнение гиперболы.

$frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1$

Более подробно, про гиперболу есть отдельный калькулятор Каноническое уравнение гиперболы по двум точкам

Удачных расчетов!

Источник

Таким образом по этим двум точкам, нельзя построить эллипс.

Более подробно, про гиперболу есть отдельный калькулятор Каноническое уравнение гиперболы по двум точкам

Кривые второго порядка. Эллипс: формулы и задачи

Понятие о кривых второго порядка

Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, определяемые уравнениями, в которых переменные координаты x и y содержатся во второй степени. К ним относятся эллипс, гипербола и парабола.

Общий вид уравнения кривой второго порядка следующий:

где A, B, C, D, E, F — числа и хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю.

При решении задач с кривыми второго порядка чаще всего рассматриваются канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. К ним легко перейти от общих уравнений, этому будет посвящён пример 1 задач с эллипсами.

Эллипс, заданный каноническим уравнением

Определение эллипса. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, таких, для которых сумма расстояний до точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и бОльшая, чем расстояние между фокусами.

Фокусы обозначены как и на рисунке ниже.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

где a и b (a > b) — длины полуосей, т. е. половины длин отрезков, отсекаемых эллипсом на осях координат.

Прямая, проходящая через фокусы эллипса, является его осью симметрии. Другой осью симметрии эллипса является прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно этому отрезку. Точка О пересечения этих прямых служит центром симметрии эллипса или просто центром эллипса.

Ось абсцисс эллипс пересекает в точках (a, О) и (- a, О), а ось ординат — в точках (b, О) и (- b, О). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок между вершинами эллипса на оси абсцисс называется его большой осью, а на оси ординат — малой осью. Их отрезки от вершины до центра эллипса называются полуосями.

Если a = b , то уравнение эллипса принимает вид . Это уравнение окружности радиуса a , а окружность — частный случай эллипса. Эллипс можно получить из окружности радиуса a , если сжать её в a/b раз вдоль оси Oy .

Пример 1. Проверить, является ли линия, заданная общим уравнением , эллипсом.

Решение. Производим преобразования общего уравнения. Применяем перенос свободного члена в правую часть, почленное деление уравнения на одно и то же число и сокращение дробей:

Ответ. Полученное в результате преобразований уравнение является каноническим уравнением эллипса. Следовательно, данная линия — эллипс.

Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса, если его полуоси соответственно равны 5 и 4.

Решение. Смотрим на формулу канонического уравения эллипса и подставляем: бОльшая полуось — это a = 5 , меньшая полуось — это b = 4 . Получаем каноническое уравнение эллипса:

Точки и , обозначенные зелёным на большей оси, где

называются фокусами.

называется эксцентриситетом эллипса.

Отношение b/a характеризует «сплюснутость» эллипса. Чем меньше это отношение, тем сильнее эллипс вытянут вдоль большой оси. Однако степень вытянутости эллипса чаще принято выражать через эксцентриситет, формула которого приведена выше. Для разных эллипсов эксцентриситет меняется в пределах от 0 до 1, оставаясь всегда меньше единицы.

Пример 3. Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 8 и бОльшая ось равна 10.

Решение. Делаем несложные умозаключения:

— если бОльшая ось равна 10, то её половина, т. е. полуось a = 5 ,

— если расстояние между фокусами равно 8, то число c из координат фокусов равно 4.

Подставляем и вычисляем:

Результат — каноническое уравнение эллипса:

Пример 4. Составить каноническое уравнение эллипса, если его бОльшая ось равна 26 и эксцентриситет .

Решение. Как следует и из размера большей оси, и из уравнения эксцентриситета, бОльшая полуось эллипса a = 13 . Из уравнения эсцентриситета выражаем число c, нужное для вычисления длины меньшей полуоси:

Вычисляем квадрат длины меньшей полуоси:

Составляем каноническое уравнение эллипса:

Пример 5. Определить фокусы эллипса, заданного каноническим уравнением .

Решение. Следует найти число c, определяющее первые координаты фокусов эллипса:

Получаем фокусы эллипса:

Решить задачи на эллипс самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:

1) расстояние между фокусами 30, а большая ось 34

2) малая ось 24, а один из фокусов находится в точке (-5; 0)

3) эксцентриситет , а один из фокусов находится в точке (6; 0)

Продолжаем решать задачи на эллипс вместе

Если — произвольная точка эллипса (на чертеже обозначена зелёным в верхней правой части эллипса) и — расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний — следующие:

Для каждой точки, принадлежащей эллипсу, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.

Прямые, определяемые уравнениями

называются директрисами эллипса (на чертеже — красные линии по краям).

Из двух вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки эллипса

где и — расстояния этой точки до директрис и .

Пример 7. Дан эллипс . Составить уравнение его директрис.

Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет эллипса, т. е. . Все данные для этого есть. Вычисляем:

Получаем уравнение директрис эллипса:

Пример 8. Составить каноническое уравнение эллипса, если его фокусами являются точки , а директрисами являются прямые .

Решение. Смотрим в уравнение директрис, видим, что в нём можем заменить символ эксцентриситета формулой эксцентриситета как отношение первой координаты фокуса к длине большей полуоси. Так сможем вычислить квадрат длины большей полуоси. Получаем:

Теперь можем получить и квадрат длины меньшей полуоси:

Уравнение эллипса готово:

Пример 9. Проверить, находится ли точка на эллипсе . Если находится, найти расстояние от этой точки до фокусов эллипса.

Решение. Подставляем координаты точки x и y в уравнение эллипса, на выходе должно либо получиться равенство левой части уравнения единице (точка находится на эллипсе), либо не получиться это равенство (точка не находится на эллипсе). Получаем:

Получили единицу, следовательно, точка находится на эллипсе.

Приступаем к нахождению расстояния. Для этого нужно вычислить: число c, определяющее первые координаты фокусов, число e — эксцентриситет и числа «эр» с подстрочными индексами 1 и 2 — искомые расстояния. Получаем:

Проведём проверку: сумма расстояний от любой точки на эллипсе до фокусов должна быть равна 2a.

так как из исходного уравнения эллипса .

Одним из самых замечательных свойств эллипса является его оптическое свойство, состоящее в том, что прямые, соединяющие точку эллипса с его фокусами, пересекают касательную к эллипсу под разными углами. Это значит, что луч, пущенный из одного фокуса, после отраэения попадёт в другой. Это свойство лежит в основе аккустического эффекта, наблюдаемого в некоторых пещерах и искусственных сооружениях, своды которых имеют эллиптическую форму: если находиться в одном из фокусов, то речь человека, стоящего в другом фокусе, слышна так хорошо, как будто он находится рядом, хотя на самом деле расстояние велико.

Эллипс — определение и вычисление с примерами решения

Эллипс:

Определение: Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух выделенных точек

Получим каноническое уравнение эллипса. Выберем декартову систему координат так, чтобы фокусы

Рис. 29. Вывод уравнения эллипса.

Расстояние между фокусами (фокусное расстояние) равно Согласно определению эллипса имеем Из треугольников и по теореме Пифагора найдем

соответственно. Следовательно, согласно определению имеем

Возведем обе части равенства в квадрат, получим

Перенося квадратный корень в левую часть, а все остальное в правую часть равенства, находим Раскроем разность квадратов Подставим найденное выражение в уравнение и сократим обе части равенства на 4, тогда оно перейдет в уравнение Вновь возведем обе части равенства в квадрат Раскрывая все скобки в правой части уравнения, получим Соберем не- известные в левой части, а все известные величины перенесем в правую часть уравнения, получим Введем обозначение для разности, стоящей в скобках Уравнение принимает вид Разделив все члены уравнения на получаем каноническое уравнение эллипса: Если то эллипс вытянут вдоль оси Ох, для противоположного неравенства — вдоль оси Оу (при этом фокусы тоже расположены на этой оси). Проанализируем полученное уравнение. Если точка М(х; у) принадлежит эллипсу, то ему принадлежат и точки следовательно, эллипс симметричен относительно координатных осей, которые в данном случае будут называться осями симметрии эллипса. Найдем координаты точек пересечения эллипса с декартовыми осями:

т.е. точками пересечения эллипса с осью абсцисс будут точки
т.е. точками пересечения эллипса с осью ординат будут точки (Рис. 30).

Определение: Найденные точки называются вершинами эллипса.

Рис. 30. Вершины, фокусы и параметры эллипса

Определение: Если то параметр а называется большой, а параметр b — малой полуосями эллипса.

Определение: Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного рас- стояния к большой полуоси эллипса

Из определения эксцентриситета эллипса следует, что он удовлетворяет двойному неравенству Кроме того, эта характеристика описывает форму эллипса. Для демонстрации этого факта рассмотрим квадрат отношения малой полуоси эллипса к большой полуоси

Если и эллипс вырождается в окружность. Если и эллипс вырождается в отрезок

Пример:

Составить уравнение эллипса, если его большая полуось а = 5, а его эксцентриситет

Решение:

Исходя из понятия эксцентриситета, найдем абсциссу фокуса, т.е. параметр Зная параметр с, можно вычислить малую полуось эллипса Следовательно, каноническое уравнение заданного эллипса имеет вид:

Пример:

Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса а третья вершина — в центре окружности

Решение:

Для определения координат фокусов эллипса и центра окружности преобразуем их уравнения к каноническому виду. Эллипс:

Следовательно, большая полуось эллипса а малая полуось Так как то эллипс вытянут вдоль оси ординат Оу. Определим расположение фокусов данного эллипса Итак, Окружность: Выделим полные квадраты по переменным Следовательно, центр окружности находится в точке О(-5; 1).

Построим в декартовой системе координат треугольник Согласно школьной формуле площадь треугольника равна Высота а основание Следовательно, площадь треугольника равна:

Эллипс в высшей математике

где и —заданные положительные числа. Решая его относительно , получим:

Отсюда видно, что уравнение (2) определяет две функции. Пока независимое переменное по абсолютной величине меньше , подкоренное выражение положительно, корень имеет два значения. Каждому значению , удовлетворяющему неравенству соответствуют два значения , равных по абсолютной величине. Значит, геометрическое место точек, определяемое уравнением (2), симметрично относительно оси . Так же можно убедиться в том, что оно симметрично и относительно оси . Поэтому ограничимся рассмотрением только первой четверти.

При , при . Кроме того, заметим, что если увеличивается, то разность уменьшается; стало быть, точка будет перемещаться от точки вправо вниз и попадет в точку . Из соображений симметрии изучаемое геометрическое место точек будет иметь вид, изображенный на рис. 34.

Полученная линия называется эллипсом. Число является длиной отрезка , число —длиной отрезка . Числа и называются полуосями эллипса. Число эксцентриситетом.

Пример:

Найти проекцию окружности на плоскость, не совпадающую с плоскостью окружности.

Решение:

Возьмем две плоскости, пересекающиеся под углом (рис. 35). В каждой из этих плоскостей возьмем систему координат, причем за ось примем прямую пересечения плоскостей, стало быть, ось будет общей для обеих систем. Оси ординат различны, начало координат общее для обеих систем. В плоскости возьмем окружность радиуса с центром в начале координат, ее уравнение .

Пусть точка лежит на этой окружности, тогда ее координаты удовлетворяют уравнению .

Обозначим проекцию точки на плоскость буквой , а координаты ее—через и . Опустим перпендикуляры из и на ось , это будут отрезки и . Треугольник прямоугольный, в нем , ,, следовательно, . Абсциссы точек и равны, т. е. . Подставим в уравнение значение , тогда cos

а это есть уравнение эллипса с полуосями и .

Таким образом, эллипс является проекцией окружности на плоскость, расположенную под углом к плоскости окружности.

Замечание. Окружность можно рассматривать как эллипс с равными полуосями.

Уравнение эллипсоида

Определение: Трехосным эллипсоидом называется поверхность, полученная в результате равномерной деформации (растяжения или сжатия) сферы по трем взаимно перпендикулярным направлениям.

Рассмотрим сферу радиуса R с центром в начале координат:

где Х, У, Z — текущие координаты точки сферы.

Пусть данная сфера подвергнута равномерной деформации в направлении координатных осей с коэффициентами деформации, равными

В результате сфера превратится в эллипсоид, а точка сферы М (X, У, Z) с текущими координатами Х, У, Z перейдет в точку эллипсоидам (х, у, z) с текущими координатами х, у, г, причем

Иными словами, линейные размеры сферы в направлении оси Ох уменьшаются в раз, если , и увеличиваются в раз, если и т. д.

Подставляя эти формулы в уравнение (1), будем иметь

где Уравнение (2) связывает текущие координаты точки М’ эллипсоида и, следовательно, является уравнением трехосного эллипсоида.

Величины называются полуосями эллипсоида; удвоенные величины называются осями эллипсоида и, очевидно, представляют линейные размеры его в направлениях деформации (в данном случае в направлениях осей координат).

Если две полуоси эллипсоида равны между собой, то эллипсоид называется эллипсоидом вращения, так как может быть получен в результате вращения эллипса вокруг одной из его осей. Например, в геодезии считают поверхность земного шара эллипсоидом вращения с полуосями

а = b = 6377 км и с = 6356 км.

Если а = b = с, то эллипсоид превращается в сферу.

Рекомендую подробно изучить предметы:

Геометрия
Аналитическая геометрия
Начертательная геометрия

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

Гипербола
Парабола
Многогранник
Решение задач на вычисление площадей
Шар в геометрии
Правильные многогранники в геометрии
Многогранники
Окружность

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

источники:

http://function-x.ru/curves_ellipse.html

http://www.evkova.org/ellips

Источник

A conic section can be defined as the set of points that describe the intersection of a right circular cone with a plane. The angle of intersection between the plane and the cone determines the shape of the conic section. When this angle is acute, that is, between 45° and 90°.

Alternatively, an ellipse can also be defined as such: a closed curve formed by a set of points whose sum of the distance from two fixed points is constant.

The standard equation of the ellipse whose center is (h, k) is,

$dfrac{(x-h)^2}{a^2} + dfrac{(y-k)^2}{b^2} = 1$

Question: Determine the equation of the standard form of the ellipse given: The coordinates of two points P (p, q) and M (m, n), and the coordinates of the center, O (h, k).

Solution:

It is known that the standard equation of the ellipse is,

$dfrac{(x-h)^2}{a^2} + dfrac{(y-k)^2}{b^2} = 1$

We have been provided the value of (h, k) in the question. Both P(p, q) and M(m, n) will satisfy the equation.

So, now we have two equations:

Equation 1: $dfrac{(p-h)^2}{a^2} + dfrac{(q-k)^2}{b^2} = 1$

Equation 2: $dfrac{(x-h)^2}{a^2} + dfrac{(y-k)^2}{b^2} = 1$

We can equate both the LHS of the equations (since the RHS is equal). Then, we get:

$dfrac{(p-h)^2}{a^2} + dfrac{(q-k)^2}{b^2} = dfrac{(m-h)^2}{a^2} + dfrac{(n-k)^2}{b^2}$

We can simplify this as:

$dfrac{(p-h)^2 -(m-h)^2}{a^2} = dfrac{(n-k)^2 - (q-k)^2}{b^2}$

Using the formula a² – b² = (a – b)×(a + b), we can simplify the equation further:

$dfrac {(p - m)times(p + m - 2h)}{a ^ 2} = dfrac {(n - q)times(n +q- 2k)}{b^ 2}$

From this, we can get the relation between a and b as:

$a = b times sqrt dfrac {(p - m)times(p + m - 2h)}{(n - q)times(n +q- 2k)}$

Now, we can plug this value in Equation 1 or Equation 2 to solve it finally.

Let us plug it into equation 1:

$dfrac{(x-h)^2}{a^2} + dfrac{(y-k)^2}{b^2} = 1$

$dfrac{(p-h)^2}{ b^2 timesdfrac {(p - m)×(p + m - 2h)}{(n - q)×(n +q- 2k)} } + dfrac{(q-k)^2}{b^2} = 1$

Finally, we can deduce that b is:

$b = sqrt {dfrac{(p-h)^2 times (n - q)times(n +q- 2k)}{(p - m)times(p + m - 2h)} + (q-k)^2 }$

And hence, a is:

$a = sqrt {dfrac{(p-h)^2 (n - q)(n +q- 2k)}{(p - m)(p + m - 2h)} + (q-k)^2 } times sqrt dfrac {(p - m)(p + m - 2h)}{(n - q)(n +q- 2k)}$

Given two points P (p, q) and M (m, n) of an ellipse with center (h, k), the equation of the ellipse in standard form is:

$dfrac{(x-h)^2}{a^2} + dfrac{(y-k)^2}{b^2} = 1$

where,

$a = sqrt {dfrac{(p-h)^2 times (n - q)times(n +q- 2k)}{(p - m)times(p + m - 2h)} + (q-k)^2 } times sqrt dfrac {(p - m)times(p + m - 2h)}{(n - q)times(n +q- 2k)}$

and

$b = sqrt {dfrac{(p-h)^2 times (n - q)times(n +q- 2k)}{(p - m)times(p + m - 2h)} + (q-k)^2 }$

Sample Problems

Problem 1: Given that the center of an ellipse is (5, 2) and the points A (3, 4) and B (5, 6) pass through the ellipse, form the standard equation of the ellipse.

Solution:

Given that center of the ellipse is (h, k) = (5, 2) and (p, q) = (3, 4) and (m, n) = (5, 6) are two points on the ellipse.

We can use the values of a and b from the above formula to create the standard equation as:

$dfrac{(x-h)^2}{a^2} + dfrac{(y-k)^2}{b^2} = 1$

We know that,

$a = sqrt {dfrac{(p-h)^2 times (n - q)times(n +q- 2k)}{(p - m)times(p + m - 2h)} + (q-k)^2 } times sqrt dfrac {(p - m)times(p + m - 2h)}{(n - q)times(n +q- 2k)}$

Substituting the values of p, q, h, k, m and n we get:

$sqrt {dfrac{(3-5)^2 times (6 - 4)times(6 +4- 22)}{(3 - 5)×(3 + 5 - 25)} + (4-2)^2 } times sqrt dfrac {(3 - 5)times(3 + 5 - 25)}{(6 - 4)×(6 +4- 22)}$

Solving, we get a ≈ 2.31.

Similarly, substituting the values of p, q, h, k, m and n in the formula for b, we get:

$sqrt {dfrac {(3-5)^2 times (6 - 4)times(6 +4- 22)}{(3 - 5)times(3 + 5 - 25)} + (4-2)^2 }$

Solving, we get b = 4.

Therefore, the equation of the ellipse is:

$dfrac{(x-5)^2}{5.33} + dfrac{(y-2)^2}{16} = 1$

Problem 2: A hypothetical ellipse has its center at (5, 8). The points A (9, 2) and B (7, 6) pass through the ellipse. Is it possible for such an ellipse to exist in the real plane? Explain your answer.

Solution:

Our hypothesis is that the ellipse exists.

Given that center of the ellipse is (h, k) = (5, and (p, q) = (9, 2) and (m, n) = (7, 6) are two points on the ellipse, we can use the values of a and b from the above formula to create the standard equation

$dfrac{(x-h)^2}{a^2} + dfrac{(y-k)^2}{b^2} = 1$

We know that,

$a = sqrt {dfrac{(p-h)^2 times (n - q)times(n +q- 2k)}{(p - m)times(p + m - 2h)} + (q-k)^2 } times sqrt dfrac {(p - m)times(p + m - 2h)}{(n - q)times(n +q- 2k)}$

Substituting the values of p, q, h, k, m and n we get:

$a = sqrt {dfrac{(9-5)^2 times (6 - 2)times(6 +2- 28)}{(9 - 7)times(9 + 7 - 25)} + (2-8)^2 } times sqrt dfrac {(9 - 7)times(9 + 7 - 25)}{(6 - 2)times(6 +2- 28)}$

We cannot solve this and get a real value of a.

Therefore, our hypothesis is False. An ellipse with the given conditions cannot exist.

Problem 3: Given that the center of an ellipse is (1, 4) and the points A (2, 9) and B (12, 5) pass through the ellipse, form the standard equation of the ellipse.

Solution:

Given that center of the ellipse is (h, k) = (1, 4) and (p, q) = (2, 9) and (m, n) = (12, 5) are two points on the ellipse, we can use the values of a and b from the above formula to create the standard equation:

$dfrac{(x-h)^2}{a^2} + dfrac{(y-k)^2}{b^2} = 1$

We know that,

$a=sqrt {dfrac{(p-h)^2 times (n - q)times(n +q- 2k)}{(p - m)times(p + m - 2h)} + (q-k)^2 } times sqrt dfrac {(p - m)times(p + m - 2h)}{(n - q)times(n +q- 2k)}$

Substituting the values of p, q, h, k, m and n we get:

$a = sqrt {dfrac{(2-1)^2 times (5 - 9)times(5 +9- 24)}{(2 - 12)times(2 + 12 - 21)} + (9-4)^2 } times sqrt dfrac {(2 - 12)times(2 + 12 - 21)}{(5 - 9)times(5+9-24)}$

Solving, we get a ≈ 11.22.

Similarly, substituting the values of p, q, h, k, m and n in the formula for b, we get:

$b = sqrt {dfrac{(2-1)^2 (5 - 9)(5+9-24)}{(2 - 12)(2 + 12 - 21)} + (9-4)^2 }$

Solving, we get b ≈ 5.02.

Therefore, the equation of the ellipse is:

$dfrac{(x-1)^2}{126} + dfrac{(y-4)^2}{25.2} = 1$

Problem 4: A hypothetical ellipse has its center at (1, 3). The points A (8, 2) and B (7, 5) pass through the ellipse. Is it possible for such an ellipse to exist in the real plane? Explain your answer.

Solution:

Our hypothesis is that the ellipse exists.

Given that center of the ellipse is (h, k) = (1, 3) and (p, q) = (8, 2) and (m, n) = (7, 5) are two points on the ellipse, we can use the values of a and b from the above formula to create the standard equation:

$dfrac{(x-h)^2}{a^2} + dfrac{(y-k)^2}{b^2} = 1$

We know that,

$a = sqrt {dfrac{(p-h)^2(n - q)(n +q- 2k)}{(p - m)(p + m - 2h)} + (q-k)^2 }times sqrt dfrac {(p - m)(p + m - 2h)}{(n - q)(n +q- 2k)}$

Substituting the values of p, q, h, k, m and n we get:

$a = sqrt {dfrac{(8-1)^2(5 - 2)(5 +2- 23)}{(8 - 7)(8 + 7 - 21)} + (2-3)^2 }sqrt frac {(8 - 7)(8 + 7 - 21)}{(5 - 2)(5 +2- 23)}$

Solving this, we get a ≈ 7.3.

Similarly, substituting the values of p, q, h, k, m, and n in the formula for b, we get:

$b = sqrt {dfrac{(8-1)^2 (5 - 2)(5+2- 23)}{(8 - 7)(8+7-21)} + (2-3)^2 }$

Solving this, we get b ≈ 3.51.

As the values of a and b are real, our hypothesis is True. An ellipse that satisfies the given conditions can exist.

Problem 5: The center of an ellipse is at the Origin. The point (1, 5) lies on the ellipse. Does the point (11, 2) also lie on the ellipse?

Solution:

Our hypothesis is that an ellipse with a center at Origin (0, 0) passing through the points (11, 2) and (1, 5) exists.

Now, we can use the values of a and b from the above formula to create the standard equation

$dfrac{(x-h)^2}{a^2} + dfrac{(y-k)^2}{b^2} = 1$

We know that,

$a = sqrt {dfrac{(p-h)^2 (n - q)(n +q- 2k)}{(p - m)(p + m - 2h)} + (q-k)^2 } sqrt dfrac {(p - m)(p + m - 2h)}{(n - q)(n +q- 2k)}$

Substituting the values of p, q, h, k, m and n we get:

$a = sqrt {dfrac{(11-0)^2 (5 - 2) (5 +2- 20)}{(11 - 1) (11 + 1 - 20)} + (2-0)^2 } times sqrt dfrac {(11 - 1)(11 + 1 - 20)}{(5 - 2)(5 +2- 20)}$

Solving this, we get a ≈ 11.99.

Similarly, substituting the values of p, q, h, k, m and n in the formula for b, we get:

$b = sqrt {dfrac{(11-0)^2 (5 - 2)(5 +2- 20)}{(11 - 1)(11 + 1 - 20)} + (2-0)^2 }$

Solving this, we get b ≈ 5.02.

As the values of a and b are real, our hypothesis is True. The point (11, 2) does lie on the ellipse.

Источник

Определение.
Пусть на плоскости заданы две точки F₁
и F₂,
расстояние между которыми равно 2c.
Пусть, кроме того, задано число a,
большее c.
Эллипсом
называется множество точек той же
плоскости, для каждой из которых сумма
расстояний до точек F₁
и F₂,
называемых фокусами
эллипса,
есть число постоянное, равное 2а.

Вывод канонического уравнения

Для вывода
канонического уравнения эллипса выберем
на плоскости следующую прямоугольную
декартову систему координат: ось

проведем через фокусы эллипса, а ось

–
перпендикулярно ей через середину
отрезка F₁F₂
(рис. 3.4). По определению эллипсу
удовлетворяют те, и только те точки М
плоскости, для которых

.
(1)

Чтобы
получить уравнение эллипса следует
записать равенство (1) в координатах. В
выбранной системе координат фокусы
эллипса имеют следующие координаты: F₁
(–c;
0); F₂
(c;
0). Произвольную (или текущую) точку
множества опять обозначаем M(x;
y).
Так как

то уравнение (1)
равносильно следующему:

,
(2)

которое, в свою
очередь, равносильно

Рис. 3.4
уравнению:

.
(3)

Оба эти уравнения
являются уравнениями эллипса, но мы
преобразуем их к более простому виду.
Проведем следующую цепочку преобразований:

(3)

Учитывая, что
,
разделив последнее уравнение на
,
получаем:

.
(4′)

Так как
,
то
,
поэтому найдется такое положительное
число
,
что
.
Теперь уравнение (4′) примет вид:

.
(4)

Мы доказали: если
точка принадлежит эллипсу, то её
координаты удовлетворяют уравнению
(3) или (4).

Докажем обратное:
если координаты точки удовлетворяют
уравнению (4) или (3), то она принадлежит
эллипсу. Итак,

{M
(x;
y)
удовлетворяет (4)}

.
(5)

Аналогично получаем:

.
(6)

Находим сумму
расстояний:

[(4)

]=.

Таким образом, (4)
– уравнение эллипса, которое и называется
его каноническим
уравнением.

Исследование формы эллипса по его каноническому уравнению

1. Из (4)
вытекает: если точка M(x;
y)
принадлежит эллипсу, то

,
т.е. эллипс полностью лежит внутри этого
прямоугольника.

2.
Так же как и гипербола, эллипс симметричен
относительно обеих координатных осей
и относительно начала координат. Оси
симметрии эллипса называются осями
эллипса,
центр симметрии – его центром.

. Если y
= 0, то из (1) следует, что x
= a,
если же x
= 0, то y
= b.
Таким образом, эллипс
пересекает обе координатные оси: ось

в точках A₁(–a;
0), A₂(a;
0), а ось

Рис. 3.5.
–
в точках B₁(0;
–b),
B₂(0;
b).
Эти точки называются вершинами эллипса
Числа а
и b
называются полуосями эллипса, большой
и малой соответственно.

. В силу симметрии эллипса его можно
вначале нарисовать только в первой
четверти, а затем продолжить по симметрии.
Если

,
то из (4) получаем:
.
Найдем производную:

при
,
поэтому функция убывает на отрезке
.
Так как

и
,
то в точке пересечения эллипса с осью

он имеет горизонтальную касательную,
а в точке пересечения с осью

– вертикальную. Так же, как и у гиперболы,
фокусы эллипса находятся в точках F₁
(–c;
0) F₂
(c;
0). Теперь уже можно эллипс изобразить
(см. рис. 3.5).

Замечание.
Уравнение (4) задаёт эллипс, фокусы
которого лежат на оси абсцисс при
,
и лежат на оси ординат при
.
Если же
,
то (4) – уравнение окружности радиуса

с центром в начале координат. В этом
случае c
= 0. Таким
образом, окружность –
это частный случай эллипса с совпадающими
фокусами.