Как по теореме пифагора найти сторону прямоугольника

Загрузить PDF

Теорема Пифагора связывает три стороны прямоугольного треугольника одной формулой, которой пользуются до сих пор. Теорема гласит, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: a² + b² = c², где a и b — катеты треугольника (стороны, пересекающиеся под прямым углом), с — гипотенуза треугольника. Теорема Пифагора применима во многих случаях, например, при помощи этой теоремы легко найти расстояние между двумя точками на координатной плоскости.

1
Убедитесь, что данный вам треугольник является прямоугольным, так как теорема Пифагора применима только к прямоугольным треугольникам. В прямоугольных треугольниках один из трех углов всегда равен 90 градусам.
- Прямой угол в прямоугольном треугольнике обозначается значком в виде квадрата, а не в виде кривой, которая обозначает непрямые углы.
2

Обозначьте стороны треугольника. Катеты обозначьте как «а» и «b» (катеты — стороны, пересекающиеся под прямым углом), а гипотенузу — как «с» (гипотенуза — самая большая сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла).
3
Определите, какую сторону треугольника требуется найти. Теорема Пифагора позволяет найти любую сторону прямоугольного треугольника (если известны две другие стороны). Определите, какую сторону (a, b, c) необходимо найти.
- Например, дана гипотенуза, равная 5, и дан катет, равный 3. В этом случае необходимо найти второй катет. Мы вернемся к этому примеру позднее.
- Если две другие стороны неизвестны, необходимо найти длину одной из неизвестных сторон, чтобы иметь возможность применить теорему Пифагора. Для этого используйте основные тригонометрические функции (если вам дано значение одного из непрямых углов).
4
Подставьте в формулу a² + b² = c² данные вам значения (или найденные вами значения). Помните, что a и b — это катеты, а с — гипотенуза.
- В нашем примере напишите: 3² + b² = 5².
5
Возведите в квадрат каждую известную сторону. Или же оставьте степени — вы можете возвести числа в квадрат позже.
- В нашем примере напишите: 9 + b² = 25.
6
Обособьте неизвестную сторону на одной стороне уравнения. Для этого перенесите известные значения на другую сторону уравнения. Если вы находите гипотенузу, то в теореме Пифагора она уже обособлена на одной стороне уравнения (поэтому делать ничего не нужно).
- В нашем примере перенесите 9 на правую сторону уравнения, чтобы обособить неизвестное b². Вы получите b² = 16.
7
Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения. На данном этапе на одной стороне уравнения присутствует неизвестное (в квадрате), а на другой стороне — свободный член (число).
- В нашем примере b² = 16. Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения и получите b = 4. Таким образом, второй катет равен 4.
8
Используйте теорему Пифагора в повседневной жизни, так как ее можно применять в большом числе практических ситуаций. Для этого научитесь распознавать прямоугольные треугольники в повседневной жизни — в любой ситуации, в которой два предмета (или линии) пересекаются под прямым углом, а третий предмет (или линия) соединяет (по диагонали) верхушки двух первых предметов (или линий), вы можете использовать теорему Пифагора, чтобы найти неизвестную сторону (если две другие стороны известны).
- Пример: дана лестница, прислоненная к зданию. Нижняя часть лестницы находится в 5 метрах от основания стены. Верхняя часть лестницы находится в 20 метрах от земли (вверх по стене). Какова длина лестницы?
  - «в 5 метрах от основания стены» означает, что а = 5; «находится в 20 метрах от земли» означает, что b = 20 (то есть вам даны два катета прямоугольного треугольника, так как стена здания и поверхность Земли пересекаются под прямым углом). Длина лестницы есть длина гипотенузы, которая неизвестна.
    - a² + b² = c²
    - (5)² + (20)² = c²
    - 25 + 400 = c²
    - 425 = c²
    - с = √425
    - с = 20,6. Таким образом, приблизительная длина лестницы равна 20,6 метров.
Реклама

1
Выберите две точки на координатной плоскости. По теореме Пифагора можно вычислить длину отрезка, соединяющего две точки на координатной прямой. Для этого необходимо знать координаты (х,у) каждой точки.
- Чтобы найти расстояние между двумя точками, вы будете рассматривать точки в качестве вершин треугольника, не прилежащих к прямому углу прямоугольного треугольника. Таким образом, вы сможете легко найти катеты треугольника, а затем вычислить гипотенузу, которая равна расстоянию между двумя точками.
2

Нанесите точки на координатную плоскость. Отложите координаты (х,у), где координата «х» откладывается по горизонтальной оси, а «у» — по вертикальной. Вы можете найти расстояние между точками без построения графика, но график позволяет визуально представить процесс ваших вычислений.
3
Найдите катеты треугольника. Вы можете сделать это, измерив длину катетов непосредственно на графике или с помощью формул: |x₁ — x₂| для вычисления длины горизонтального катета, и |y₁ — y₂| для вычисления длины вертикального катета, где (x₁,y₁) – координаты первой точки, а (x₂,y₂) – координаты второй точки.
- Пример: даны точки: А(6,1) и В(3,5). Длина горизонтального катета:
  - |x₁ — x₂|
  - |3 — 6|
  - | -3 | = 3
- Длины вертикального катета:
  - |y₁ — y₂|
  - |1 — 5|
  - | -4 | = 4
- Таким образом, в прямоугольном треугольнике а = 3 и b = 4.
4
Используйте теорему Пифагора для нахождения гипотенузы. Расстояние между двумя точками равно гипотенузе треугольника, две стороны которого вы только что нашли. Используйте теорему Пифагора, чтобы найти гипотенузу, подставив в формулу найденные значения катетов (a и b).
- В нашем примере а = 3 и b = 4. Гипотенуза вычисляется следующим образом:
  - (3)²+(4)²= c²
    
    c= √(9+16)
    
    c= √(25)
    
    c= 5. Расстояние между точками А(6,1) и В(3,5) равно 5.
Реклама

Советы

Гипотенуза всегда:
- лежит напротив прямого угла;
- является самой длинной стороной прямоугольного треугольника;
- обозначается как «с» в теореме Пифагора;
√(х) означает «квадратный корень из х».
Не забывайте проверять ответ. Если ответ кажется неправильным, проделайте вычисления снова.
Еще один момент — самая длинная сторона лежит напротив наибольшего угла, а самая короткая сторона — напротив наименьшего угла.
Выучите числа пифагоровой тройки, образующие стороны прямоугольного треугольника. Самая примитивная пифагорова тройка — это 3, 4, 5. Так, зная длину двух сторон, третью искать не придется.
- Помните, гипотенуза — всегда самая длинная сторона.
Если дан обычный треугольник (а не прямоугольный), то требуется больше информации, чем просто длины двух сторон.
Графики являются наглядным способом нанесения обозначений а, b и с. Если вы решаете задачу, то в первую очередь постройте график.
Если дана длина только одной стороны, то теорему Пифагора применять нельзя. Попробуйте использовать тригонометрию (sin, cos, tan).
Если речь идет о задаче из некого сюжета, можно смело предположить, что деревья, столбы, стены и так далее образуют прямой угол с землей, если не указано иное.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 140 209 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Download Article

Pythagoras’s Theorem is a formula you can use to find an unknown side length of a right triangle. It is one of the most basic geometric tools in mathematics.^[1] You will likely come across many problems in school and in real life that require using the theorem to solve. In these problems you might need to directly calculate the side length of a triangle, or use right triangles to calculate measurements of other types of polygons.

1
Find the right, or 90-degree, angle. Because this theorem only applies to right triangles, you need to determine which angle is the right angle. If the triangle does not have a right angle, you cannot use the theorem.
- Usually the right angle is denoted by a small box.
2

Determine that the missing length is the hypotenuse. The hypotenuse is the longest side of a right triangle, and will be opposite the right angle.^[2]

Advertisement
3

Write the formula for Pythagoras’s Theorem. The formula is $a^{{2}}+b^{{2}}=c^{{2}}$ , where is the length of the hypotenuse, and and are the lengths of the other sides of the triangle.^[3]
4
5

Square the length of the sides. Plug these new values into the formula.
6

Add the squared length of the sides. This sum is equal to the length of the hypotenuse squared ( $c^{{2}}$ ).
7

Find the square root of both sides of the equation. This will give you the length of your hypotenuse.
8

Use the theorem to find the sides of triangles. If you know the hypotenuse and one side of the triangle, you can still use the theorem by substituting for the appropriate values.

1
Ensure that you have the measurements for all three sides of the triangle. If you do not have all three side lengths, you cannot use the Pythagorean Theorem to determine whether the triangle is right.
- For example, you might be given a triangle with side lengths of 8, 9, and 12 cm, and you need to determine whether the triangle is right.
2

Write the formula for Pythagoras’s Theorem. The formula is $a^{{2}}+b^{{2}}=c^{{2}}$ , where is the length of the hypotenuse, and and are the lengths of the other sides of the triangle.^[4]
3
Plug the length of the potential hypotenuse into the formula. The hypotenuse is the longest side of a right triangle, so whatever measurement is largest will stand for the variable .
- For example, if the side lengths of a triangle are 8, 9, and 12 cm, you would use the measurement of 12 for the potential hypotenuse, because it’s the longest side. So, your formula will look like this: $a^{{2}}+b^{{2}}=12^{{2}}$ .
4
5

Square all of the numbers. Remember that squaring a number means to multiply it by itself.
6

Add the square of the two sides. If this sum is equal to the square of the hypotenuse, the triangle is right. If the two sides of the equation are not equal, the triangle is not right.^[5]

1

Ensure the polygon is a rectangle. A rectangle is a four-sided shape with four 90-degree angles.^[6]
2
Make sure you have the length and width of the rectangle. If you do not have these measurements, you cannot use this method.
- For example, you might be asked to use the Pythagorean Theorem to find the length of the diagonal of a 6-inch by 4-inch rectangle.
3
Locate or draw the diagonal of the rectangle. Since the diagonal of a rectangle divides the shape into two congruent right triangles, you can use Pythagoras’s Theorem to find its length.
- The length of the diagonal will equal the length of the hypotenuse of the right triangles.
4

Set up the formula for Pythagoras’s Theorem. The formula is $a^{{2}}+b^{{2}}=c^{{2}}$ , where is the length of the hypotenuse, and and are the lengths of the other sides of the triangle.^[7]
5
6

Square the length and width. Remember that squaring means to multiply a number by itself.
7

Add the squared side lengths. This sum will give you the value of the hypotenuse, or diagonal, squared.
8

Find the square root of both sides. This will give you the value of , which is the length of the right triangle’s hypotenuse, and also the length of the rectangle’s diagonal.

1

Find the shortest distance between two points. For instance, Luis walks through a park. He starts at the fountain and walks 80 feet south and 60 feet west. What is the shortest distance back to the fountain?
2

Find a missing length. For instance, find the length of , given a right triangle with a hypotenuse measuring 10 cm and one side measuring 6 cm.
3

Identify a right triangle. For instance, determine whether the triangle is right, given side lengths of 9, 12, and 15 cm.
4

Use the diagonal of a rectangle as the hypotenuse of a right triangle. For instance, Sherrie is buying a new computer screen. It needs to be less than 12 inches high to be able to fit under the shelf over her desk. She finds a computer screen with a 27-inch diagonal, and a width of 24 inches. Will this screen fit on her desk?

Add New Question

Question

How do I prove that angle A is equal to angle B?

There are many ways to prove two angles equal. Among them are: show that corresponding sides of the angles are parallel to each other; show that they are opposite angles in a rectangle, parallelogram, isosceles triangle or isosceles trapezoid; show that they are formed by two perpendicular lines; or show that they are corresponding angles of congruent or similar triangles. There are also several other ways to prove angles equal.
Question

What if I only know one side?

To use the Pythagorian Theorem you MUST know two sides. This may mean you have to use trigonometry to find another side. If you are still confused, ask your teacher.

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

To find the square root of a number, use a scientific calculator. Type in the number, then hit the square root button.
When doing word problems about traveling, if you are meant to find the shortest distance you will likely use the Pythagorean Theorem. The shortest distance will be the length of the hypotenuse of a triangle superimposed over the area.
Learn the most common Pythagorean triples by heart. Since they will occur in a lot of basic Pythagorean theorem problems, being able to instantly recognise them will save you a whole lot of time.
- The most common Pythagorean triples are (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17) and (7, 24, 25).

Thanks for submitting a tip for review!

References

About This Article

Thanks to all authors for creating a page that has been read 40,453 times.

Did this article help you?

Get all the best how-tos!

You’re all set!

Источник

Теорема пифагора

Определение теоремы пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Обозначив гипотенузу буквой — c, катеты буквами a и b получим следующее равенство

c²=a²+b²

Расчёт катета по теореме пифагора

Введите гипотенузу

c =

Введите катет

b =

Формула пифагора для катета

Где a, b — катеты прямоугольного треугольника,
с — гипотенуза прямоугольного треугольника

Расчёт гипотенузы по теореме пифагора

Введите первый катет

a =

Введите второй катет

b =

Формула пифагора для гипотенузы

Где a, b — катеты прямоугольного треугольника,
с — гипотенуза прямоугольного треугольника

Доказательство теоремы пифагора

Дано

Прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c.

Доказать

c²=a²+b²

Доказательство

Достроим треугольник HFG до квадрата со стороной a+b.

Запишем площадь получевшегося квадрата двумя способами

S=(a+b)²

S=4*0.5*a*b +c²

Приравняем площади

(a+b)²=4*0.5*a*b +c²

a²+2*a*b +b²=2*a*b +c²

a²+b²=c²

Теорема доказана

Источник

План урока:

Теорема Пифагора

Задачи на применение теоремы Пифагора

Пифагоровы тройки

Обратная теорема Пифагора

Формула Герона

Теорема Пифагора

Попытаемся установить связь между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника. Пусть в некотором прямоугольном треуг-ке катеты имеют длины а и b, а гипотенуза равна с. Пусть один из острых углов треуг-ка составляет α, тогда другой острый угол должен равняться 90 – α:

Далее возьмем 4 таких треуг-ка и расположим их следующим образом:

Здесь мы прикладываем треуг-ки так, чтобы их разные катеты образовали одну сторону четырехугольника. В результате получается большой квадрат со стороной a + b. Квадратом он является по определению, ведь все его стороны одинаковы, а углы – прямые.

Изучим центральную фигуру, чью площадь мы обозначили как S₂. Это четырехуг-к, причем все его стороны равны с, то есть длине гипотенузы треугольника. С другой стороны, каждый его угол можно найти, вычтя из 180° величины α и 90° – α:

Получается, что всего его углы прямые, то есть он является квадратом. Найдем его площадь:

Вернемся к большому квадрату. С одной стороны, его площадь можно записать как сумму площадей фигур, его составляющих:

Cдругой стороны, эту же площадь можно найти, просто возведя в квадрат его сторону:

Получили формулу, в которой и заключен смысл теоремы Пифагора:

Изучим несколько простейших примеров использования теоремы Пифагора.

Задание. Длины катетов прямоугольного треугольника составляют 5 и 12. Определите длину гипотенузы.

Решение. Запишем теорему Пифагора:

Задание. Длина катета треугольника составляет 3, а гипотенузы – 5. Какова длина другого катета?

Решение: На это раз нам известен один из катетов а = 3 и гипотенуза с = 5. Подставим в теорему Пифагора эти числа:

Теорема Пифагора имеет огромное значение для геометрии и смежных дисциплин. Приведенное здесь ее доказательство является одним из простейших, но отнюдь не единственным. Сегодня человечеству известно 367 различных доказательств теоремы Пифагора, что лишь показывает ее огромную значимость.

На самом деле Пифагор, известный древнегреческий математик, не был первым, кто обнаружил это равенство. Пифагор родился примерно в 570 г. до н. э., однако ещё египтяне знали про прямоугольный треуг-к со сторонами 3, 4 и 5. Поэтому его часто именуют египетским треугольником.

Также вычислять стороны прямоугольного треуг-ка умели и в Вавилоне уже за 1000 лет до рождения Пифагора. Вероятно, Пифагор узнал о формуле от вавилонян, а сам лишь вывел ее доказательство (вавилоняне не утруждали себя необходимостью доказывать теоремы геометрии). Утверждается, что Пифагор принес сделал жертвоприношение в размере 100 быков после того, как смог доказать теорему.

Задание. Вычислите гипотенузу равнобедренного прямоугольного треуг-ка, чьи катеты имеют единичную длину.

Решение. В теорему Пифагора вместо букв a и b подставим единицу:

Обратите внимание, что в данной задаче в качестве длины гипотенузы прямоугольного треугольника получилось иррациональное число. Исторически именно при решении подобной задачи люди (это были ученики Пифагора) впервые столкнулись с иррациональными числами. Перед дальнейшим изучением темы есть смысл вспомнить основные правила вычислений с квадратными корнями.

Задание. На рисунке построен произвольный квадрат. Предложите способ, как построить квадрат с вдвое большей площадью.

Решение. Проведем в исходном квадрате диагональ. Далее построим новый квадрат со стороной, равной этой гипотенузе:

Докажем, что получившийся квадрат (его стороны отмечены синим цветом) вдвое больше исходного квадрата. Пусть сторона изначального квадрата равна х.Тогда его площадь составляет х². Диагональ разбивает квадрат на два прямоугольных треуг-ка, в которых она является гипотенузой.

Запишем для одного из них теорему Пифагора:

Но площадь квадрата равна его стороне, возведенной во вторую степень, поэтому величина с²– это площадь большого (на рисунке – синего)квадрата, а х² – площадь маленького:

Подставим эти выражения в формулу, выведенную из теоремы Пифагора, и получим, что площадь большего квадрата ровно вдвое больше:

Задание. Найдите площадь равнобедренного прямоугольного треуг-ка, гипотенуза которого имеет длину 10.

Решение. Обозначим катеты переменной х, тогда теорема Пифагора будет выглядеть как уравнение:

Задание. Один из острых углов прямоугольного треугольника составляет 30°, а его гипотенуза равна 10. Найдите оба катета.

Решение. Мы знаем, что в прямоугольном треуг-ке с острым углом 30° гипотенуза вдвое длиннее меньшего катета (он как раз лежит против угла 30°), мы можем найти этот катет:

10:2 = 5

Другой катет находим с помощью теоремы Пифагора:

Задачи на применение теоремы Пифагора

Теорема Пифагора используется в огромном количестве геометрических задач. С ее помощью можно находить диагонали некоторых четырехуг-ков, длины высот, вычислять площади.

Задание. Стороны прямоуг-ка имеют длину 8 и 15 см. Найдите длину его диагонали.

Решение. Рассмотрим произвольный прямоугольник АВСD. Если в нем провести диагональ ВD, то получится прямоугольный треуг-к АВD. Пусть АВ = 15, АD = 8. Запишем теорему Пифагора для ∆АВD:

Задание. В равнобедренном треуг-ке основание имеет длину 16 см, а боковые стороны составляют 17 см. Найдите длину высоты, проведенной к основанию этого треуг-ка, а также площадь треуг-ка.

Решение. Напомним, что высота, опущенная к основанию равнобедренного треуг-ка, одновременно является и медианой, и биссектрисой. Это значит, что Н – середина АВ. Тогда можно найти длину отрезков АН и НВ:

Теперь можно рассмотреть ∆АСН. Он прямоугольный, и нам известно его гипотенуза (она является боковой стороной ∆АВС и по условию равна 17 см) и катет АН. Тогда можно найти и второй катет, то есть высоту СН:

Задание. Высота равностороннего треуг-ка составляет 4 см. Найдите его сторону.

Решение. Напомним, что в равностороннем треуг-ке все углы равны 60°. Также учтем, что высота в равностороннем треуг-ке является также и биссектрисой и медианой:

Рассмотрим ∆АСН. Он прямоугольный, и один из его углов составляет 60°. Значит, другой угол составляет 30°. Но в таком треуг-ке гипотенуза вдвое больше катета, лежащего против ∠30°:

Обратите внимание, мы специально домножили дробь на корень из 3, чтобы корень оказался в числителе, а не знаменателе. Т.к. в таком виде проще работать с квадратными корнями.

Итак, мы нашли АН. Теперь можно найти сторону АС, которая вдвое длиннее:

Задание. Составьте формулу для нахождения площади равностороннего треуг-ка, если известна только его сторона.

Решение. Обозначим сторону треуг-ка буквой а. Для вычисления площади необходимо найти высоту:

Как и в предыдущей задаче, отрезок АС вдвое длиннее АН:

Высоту мы нашли. Осталось найти площадь:

Задание. В прямоугольном треуг-ке, катеты которого имеют длину 60 и 80, проведена высота к гипотенузе. Найдите высоту гипотенузы, а также длину отрезков, на которые эта высота разбивает гипотенузу.

Решение. Найдем длину гипотенузы ВС:

Осталось найти длины отрезков СН и НВ. Для этого необходимо записать теорему Пифагора для ∆АСН и ∆АНВ, которые являются прямоугольными. Начнем с ∆АСН:

Аналогично работаем и с ∆АНВ:

Можно проверить себя. Отрезки НВ и СН вместе составляют отрезок СВ, поэтому должно выполняться равенство:

Задание. Диагонали ромба равны 10 и 24 см. Чему равна его сторона?

Пусть в ромбе АВСD диагонали пересекаются в точке О, причем АС = 24 см, а ВD = 10 см.Напомним, что диагонали ромба пересекаются под углом 90° и делятся при этом на одинаковые отрезки. Следовательно, ∆АВО прямоугольный. Найдем его катеты:

Задание. Основания равнобедренной трапеции имеют длину 20 и 10, а боковая сторона имеет длину 13. Найдите площадь трапеции.

Решение. Опустим на большее основание две высоты:

В итоге получили прямоуг-к АВКН. Его противоположные стороны одинаковы, поэтому

∆АНD и ∆ВКС равны друг другу, ведь это прямоугольные треуг-ки с одинаковой гипотенузой (АD = ВС, ведь это равнобедренная трапеция) и равным катетом (АН = ВК как стороны прямоуг-ка). Это значит, что DH = КС. Но эти отрезки вместе с НК составляют CD. Это позволяет найти DH и KC:

Зная высоту трапеции и ее основания, легко найдем и ее площадь:

Пифагоровы тройки

Возможно, вы уже заметили, что в большинстве школьных задач на применение теоремы Пифагора используются треуг-ки с одними и теми же сторонами. Это треуг-к, чьи стороны имеют длины

Их использование обусловлено тем, что все их стороны выражаются целыми числами. В задачах же, например, с равнобедренным прямоугольным треуг-ком хотя бы одна из сторон обязательно оказывается иррациональным числом.

Прямоугольные треуг-ки, у которых все стороны являются целыми, называют пифагоровыми треугольниками, а длины их сторон именуются пифагоровыми тройками. Получается, что пифагоровыми называются такие тройки натуральных чисел а, b и с, которые при подстановке в уравнение

обращают его в справедливое равенство.

Для удобства такие тройки иногда записывают в скобках.

Например, тройка чисел (3; 4; 5)– пифагорова, так как

Задание. Определите, какие из следующих троек чисел являются пифагоровыми:

Несложно догадаться, что пифагоровых троек существует бесконечно много. Действительно, возьмем тройку (3; 4; 5). Далее умножим все числа, составляющие ее, на два, и получим новую тройку (6; 8; 10), которая также пифагорова. Умножив исходную тройку на 3, получим тройку (9; 12; 15), и она снова пифагорова. Вообще, умножая числа пифагоровой тройки на любое натуральное число, всегда будем получать новую пифагорову тройку. А так как натуральных чисел бесконечно много, то и троек Пифагора также бесконечное количество.

Отдельно выделяют понятие примитивной пифагоровой тройки. Эта такая тройка, числа которой являются взаимно простыми, то есть не имеют общих делителей. Другими словами, примитивная тройка НЕ может быть получена из другой тройки простым умножением ее чисел на натуральное число. В частности, тройка (3; 4; 5)является примитивной, а «производные» от нее тройки (6; 8; 10) и (9; 12; 15) уже не примитивные.

Интересно, что примитивных троек также бесконечно много. Ещё Евклид предложил алгоритм для их поиска, который, однако, не изучается в рамках школьного курса геометрии.

Задание. Докажите, что у любого прямоугольного треуг-ка с целыми длинами сторон все эти длины не могут быть нечетными числами.

Предположим, что такой треуг-к существует. Пусть его стороны равны a, b и c, и эти числа нечетны. Тогда должно выполняться уравнение:

Заметим, что квадрат нечетного числа также является нечетным числом. Поэтому числа а², b²и с² – нечетные. Однако сумма нечетных чисел является уже четной. Поэтому выражение а² + b²четное. Таким образом, получается, что равенство

не может быть верным, ведь его левая часть четна, а правая – нечетна. Поэтому пифагоров треуг-к с тремя нечетными сторонами существовать не может.

Обратная теорема Пифагора

По теореме Пифагора из того факта, что в треуг-ке есть прямой угол, следует следующее соотношение между длинами его сторон:

Оказывается, верно и обратное: если в произвольном треуг-ке одна сторона (очевидно, большая из них) равна сумме квадратов двух других сторон, то из этого следует, что такой треуг-к является прямоугольным.

Это утверждение называют обратной теоремой Пифагора. Докажем её. Пусть есть некоторый ∆АВС, для сторон которого выполняется равенство

Так как ∆А₁В₁С₁ прямоугольный, то для него справедлива теорема Пифагора. Найдем с ее помощью гипотенузу:

а именно это мы и доказываем.

Уточним разницу между собственно теоремой Пифагора и только что доказанной обратной ей теореме. В каждой теореме есть две ключевые части:

1) некоторое условие, которое описывает какое-то геометрическое построение;

2) вывод (или заключение), который делается для условия.

В самой теореме Пифагора в качестве условия описывается прямоугольный треугольник. Для него делается вывод – катеты, возведенные в квадрат, в сумме дадут квадрат гипотенузы.

В обратной же теореме условие и вывод меняются местами. В роли условия описывается треугольник, у которого большая сторона, возведенная во 2-ую степень, равна сумме двух других сторон, также возведенная в квадрат. Для этого описания делается вывод – такой треугольник обязательно должен быть прямоугольным.

Заметим, что не всякая обратная теорема является справедливой. Например, одна из простейших теорем гласит – если углы вертикальные, то они равны. Сформулируем обратную теорему – если углы равны, то они вертикальные. Понятно, что это неверное утверждение.

Задание. Выясните, является ли треуг-к прямоугольным, если его стороны имеют длины:

Решение. Здесь надо просто проверить, являются ли эти числа пифагоровыми тройками. Если являются, то соответствующий треуг-к окажется прямоугольным.

Задание. В ∆КМР проведена биссектриса МН. Её длина 12. КМ = 13 и КН = 5. Найдите МР.

Решение. Рассмотрим ∆МНК. Его стороны равны 5, 12 и 13. Но это одна из пифагоровых троек:

Отсюда следует, что треуг-к прямоугольный, причем МК – гипотенуза (гипотенуза – это длиннейшая сторона). Тогда ∠Н = 90°. Но это означает, что биссектриса МН ещё и высота. Но если в треугольнике одна линия одновременно и медиана, и высота, то это равнобедренный треуг-к, причем КР – его основание. Тогда

Формула Герона

Невозможно построить два треугольника с тремя одинаковыми сторонами. Это значит, что теоретически знания трех сторон треугольника достаточно, чтобы найти его площадь. Но как это сделать? Здесь может помочь формула Герона, которая выводится с помощью теоремы Пифагора.

Пусть стороны треуг-ка равны а, b и с, причем с не меньше, чем а и b. В любом треуг-ке есть хотя бы два острых угла, а тупой угол, если он есть, лежит против большей стороны. Это значит, что оба прилегающих кс угла – острые. Отсюда следует, что высота, опущенная нас, будет лежать внутри треуг-ка. Обозначим длину этой высоты как h. Пусть она разобьет сторону сна два отрезка длиной х и у:

По рисунку можно записать три уравнения:

Левая часть одинакова в обоих уравнениях, значит, равны и правые:

С учетом этого выразим h²:

Мы уже выразили высоту (точнее, ее квадрат) через длины сторон. Однако обычно в этой формуле производят замену и вводят число р, равное полупериметру треуг-ка, то есть

Площадь треуг-ка вычисляется по формуле:

Запоминать вывод формулы Герона не надо. Саму формулу всегда можно найти в любом справочнике по геометрии или в Интернете. Достаточно запомнить, что площадь любого треуг-ка можно вычислить, если известны все его стороны.

Задание. Стороны треуг-ка имеют длину 9, 7 и 8 см. Какова его площадь?

Решение. Пусть а = 9; b = 8; с = 7. Для использования формулы Герона сначала вычислим половину периметра треуг-ка:

Итак, сегодня мы узнали о теореме Пифагора. Она представляет собой соотношение, которое связывает катеты и гипотенузу в прямоугольном треуг-ке. Это соотношение помогает в исследованиях других фигур – квадратов, параллелограммов, трапеций. Также с его помощью выведена формула Герона, которая позволяет вычислять площадь треуг-ка, зная только длины его сторон.

Источник

Теорема Пифагора

О важности теоремы Пифагора высказался Иоганн Кеплер: «Геометрия обладает двумя великими сокровищами: теоремой Пифагора и делением отрезка в крайнем и среднем отношении; первое можно сравнить с мерой золота, второе назвать драгоценным камнем»

Теорема Пифагора. Фото: Liza Summer, pixals.com

Теорема Пифагора актуальна в заданиях как базового, так и профильного ЕГЭ по математике. За верное решение задач базового уровня дается 1 балл, за задания повышенного уровня начисляется 3 балла. В статье мы рассмотрим доказательство теоремы и решим пару задач по теме. Благодаря качественному изучению этого материала экзаменуемый справится с рядом заданий и получит за них наивысший балл.

Что такое теорема Пифагора

Теорема Пифагора устанавливает соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Изображение: Наталия Юмагулова.

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Важно!

Сторону прямоугольного треугольника, противолежащую прямому углу, называют гипотенузой, а стороны, прилежащие к прямому углу, — катетами. Гипотенуза больше любого из катетов («Геометрия. 8 класс. Учебник», А. Г. Мерзляк).

Формула теоремы Пифагора

c² = a² + b²

Из этой формулы выводятся следующие:

с = √a² + b²

a = √c² — b²

b = √c² — a²

Доказательство теоремы Пифагора

В литературе есть около 400 доказательств теоремы Пифагора

Дано:
△АВС — прямоугольный;
＜АСВ = 90⁰.

Доказать:
АВ² = АС² + ВС².

Доказательство:
Проведем высоту СН.

АН, НВ — проекции катетов АС и ВС на гипотенузу. По теореме о метрических соотношениях в прямоугольном треугольнике, квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. Значит,

АС² = АВ × АН; ВС² = АВ × НВ.

Сложим почленно эти равенства:

АС² + ВС² = АВ × АН + АВ × НВ = АВ × (АН + НВ) = АВ ×АВ = АВ².

Что и требовалось доказать.

Задачи на теорему Пифагора

Переходим к решению задач с помощью теоремы Пифагора.

Задача №1
Центр окружности, описанной около треугольника КРH, лежит на стороне КН. Радиус окружности равен 10. Найдите КР, если РН равен 12

Дано:
Описанная окружность с центром в точке О.
О ∈ КН;
R = 10;
РН = 12.

Найти: КР.

Решение:
Так как окружность описанная, то все вершины треугольника лежат на ней. Следовательно, угол ＜КРН — вписанный.

По условию задачи центр окружности О ∈ КН, значит, хорда КН является диаметром.

КН = 2R = 2 ✕ 10 = 20.

Вписанный угол ＜КРН, опирающийся на диаметр, — прямой, значит, треугольник КРН — прямоугольный.

По теореме Пифагора:

КР = √КН² — РН²,
КР = √400-144 = √256 = 16

Ответ: КР = 16

Теорема о трех перпендикулярах

Доказательство и формулировка теоремы о трех перпендикулярах

подробнее

Задача №2

Дано:
Пирамида МАВС с высотой МА. Известно, что в основании лежит прямоугольный треугольник с прямым углом С.

Найти:
1) Угол между ребрами МС и ВС. Ответ дайте в градусах.
2) МВ, если МС = 12, ВС = 5.

Решение:
1) Так как по условию задачи МА — высота пирамиды, то МА ⟂ (АВС). АС — проекция наклонной МС на плоскость АВС. Так как АС ⟂ ВС, то, по теореме о трех перпендикулярах, МС ⟂ ВС, следовательно, угол между МС и ВС равен 90° (градусов).

Ответ: 90°.

2) Так как из пункта 1 МС ⟂ ВС ⇒ треугольник МСВ — прямоугольный ⇒ по теореме Пифагора: МВ = √МС² + ВС² ⇒ МВ = √144 + 25 = √169 = 13.

Ответ: МВ = 13.

Советы

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

References

About This Article

Did this article help you?

Теорема пифагора

Определение теоремы пифагора

Расчёт катета по теореме пифагора

Формула пифагора для катета

Расчёт гипотенузы по теореме пифагора

Формула пифагора для гипотенузы

Доказательство теоремы пифагора

Теорема Пифагора

Задачи на применение теоремы Пифагора

Пифагоровы тройки

Обратная теорема Пифагора

Формула Герона

Теорема Пифагора

Что такое теорема Пифагора

Формула теоремы Пифагора

Доказательство теоремы Пифагора

Задачи на теорему Пифагора

Популярные вопросы и ответы

Почему теорему Пифагора изучают на геометрии в 8 классе?

Где и когда возникла теорема Пифагора?

Где в жизни можно применить теорему Пифагора?

Как звучит обратная теорема Пифагора?

Не пропустите также: