Как найти знак числа cos 3

cos 3<0  т к 3 во второй четверти.
 cos8<0  т к 8 во второй четверти.
sin( -15)<0  т к -15 в третьей четверти
sin 5<0  т к 5 в четвертой четверти

На координатной плоскости единичная окружность с центром в начале координат. По окружности своя шкала — начало отсчета  в точке ее пересечения с осью Ох, против часовой стрелки откладываем положительные значения, по часовой — отрицательные. Эти значения я показала внутри круга.
1

 радиан ≈ 60°,  в точках пересечения с осями стоят числа 1,57; 3,14; 4,71; 6,28 и т д до бесконечности против часовой стрелки можно указать любое число.  По часовой стрелке я указала только -1; -1,57;  остальные можно найти по необходимости.

Знаки тригонометрических функций

5 ноября 2011

• Знаки триг. функций

Знак тригонометрической функции зависит исключительно от координатной четверти, в которой располагается числовой аргумент. В прошлый раз мы учились переводить аргументы из радианной меры в градусную (см. урок «Радианная и градусная мера угла»), а затем определять эту самую координатную четверть. Теперь займемся, собственно, определением знака синуса, косинуса и тангенса.

Синус угла α — это ордината (координата

y

) точки на тригонометрической окружности, которая возникает при повороте радиуса на угол α.

Косинус угла α — это абсцисса (координата

x

) точки на тригонометрической окружности, которая возникает при повороте радиуса на угол α.

Тангенс угла α — это отношение синуса к косинусу. Или, что то же самое, отношение координаты

y

к координате

x

.

Обозначение: sin α =

y

; cos α =

x

; tg α =

y

:

x

.

Все эти определения знакомы вам из курса алгебры старших классов. Однако нас интересуют не сами определения, а следствия, которые возникают на тригонометрической окружности. Взгляните:

Синим цветом обозначено положительное направление оси

OY

(ось ординат), красным — положительное направление оси

OX

(ось абсцисс). На этом «радаре» знаки тригонометрических функций становятся очевидными. В частности:

1. sin α > 0, если угол α лежит в

   I

   или

   II

   координатной четверти. Это происходит из-за того, что по определению синус — это ордината (координата

   y

   ). А координата

   y

   будет положительной именно в

   I

   и

   II

   координатных четвертях;

2. cos α > 0, если угол α лежит в

   I

   или

   IV

   координатной четверти. Потому что только там координата

   x

   (она же — абсцисса) будет больше нуля;

3. tg α > 0, если угол α лежит в

   I

   или

   III

   координатной четверти. Это следует из определения: ведь tg α =

   y

   :

   x

   , поэтому он положителен лишь там, где знаки

   x

   и

   y

   совпадают. Это происходит в

   I

   координатной четверти (здесь

   x

   > 0,

   y

   > 0) и

   III

   координатной четверти (

   x

   < 0,

   y

   < 0).

Для наглядности отметим знаки каждой тригонометрической функции — синуса, косинуса и тангенса — на отдельных «радарах». Получим следующую картинку:

Заметьте: в своих рассуждениях я ни разу не говорил о четвертой тригонометрической функции — котангенсе. Дело в том, что знаки котангенса совпадают со знаками тангенса — никаких специальных правил там нет.

Теперь предлагаю рассмотреть примеры, похожие на задачи B11 из пробного ЕГЭ по математике, который проходил 27 сентября 2011. Ведь лучший способ понять теорию — это практика. Желательно — много практики. Разумеется, условия задач были немного изменены.

Задача. Определите знаки тригонометрических функций и выражений (значения самих функций считать не надо):

1. sin (3π/4);
2. cos (7π/6);
3. tg (5π/3);
4. sin (3π/4) · cos (5π/6);
5. cos (2π/3) · tg (π/4);
6. sin (5π/6) · cos (7π/4);
7. tg (3π/4) · cos (5π/3);
8. ctg (4π/3) · tg (π/6).

План действий такой: сначала переводим все углы из радианной меры в градусную (π → 180°), а затем смотрим в какой координатной четверти лежит полученное число. Зная четверти, мы легко найдем знаки — по только что описанным правилам. Имеем:

1. sin (3π/4) = sin (3 · 180°/4) = sin 135°. Поскольку 135° ∈ [90°; 180°], это угол из

   II

   координатной четверти. Но синус во

   II

   четверти положителен, поэтому sin (3π/4) > 0;

2. cos (7π/6) = cos (7 · 180°/6) = cos 210°. Т.к. 210° ∈ [180°; 270°], это угол из

   III

   координатной четверти, в которой все косинусы отрицательны. Следовательно, cos (7π/6) < 0;

3. tg (5π/3) = tg (5 · 180°/3) = tg 300°. Поскольку 300° ∈ [270°; 360°], мы находимся в

   IV

   четверти, где тангенс принимает отрицательные значения. Поэтому tg (5π/3) < 0;

4. sin (3π/4) · cos (5π/6) = sin (3 · 180°/4) · cos (5 · 180°/6) = sin 135° · cos 150°. Разберемся с синусом: т.к. 135° ∈ [90°; 180°], это

   II

   четверть, в которой синусы положительны, т.е. sin (3π/4) > 0. Теперь работаем с косинусом: 150° ∈ [90°; 180°] — снова

   II

   четверть, косинусы там отрицательны. Поэтому cos (5π/6) < 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;

5. cos (2π/3) · tg (π/4) = cos (2 · 180°/3) · tg (180°/4) = cos 120° · tg 45°. Смотрим на косинус: 120° ∈ [90°; 180°] — это

   II

   координатная четверть, поэтому cos (2π/3) < 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ [0°; 90°] — это

   I

   четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) > 0. Опять получили произведение, в котором множители разных знаков. Поскольку «минус на плюс дает минус», имеем: cos (2π/3) · tg (π/4) < 0;

6. sin (5π/6) · cos (7π/4) = sin (5 · 180°/6) · cos (7 · 180°/4) = sin 150° · cos 315°. Работаем с синусом: поскольку 150° ∈ [90°; 180°], речь идет о

   II

   координатной четверти, где синусы положительны. Следовательно, sin (5π/6) > 0. Аналогично, 315° ∈ [270°; 360°] — это

   IV

   координатная четверть, косинусы там положительны. Поэтому cos (7π/4) > 0. Получили произведение двух положительных чисел — такое выражение всегда положительно. Заключаем: sin (5π/6) · cos (7π/4) > 0;

7. tg (3π/4) · cos (5π/3) = tg (3 · 180°/4) · cos (5 · 180°/3) = tg 135° · cos 300°. Но угол 135° ∈ [90°; 180°] — это

   II

   четверть, т.е. tg (3π/4) < 0. Аналогично, угол 300° ∈ [270°; 360°] — это

   IV

   четверть, т.е. cos (5π/3) > 0. Поскольку «минус на плюс дает знак минус», имеем: tg (3π/4) · cos (5π/3) < 0;

8. ctg (4π/3) · tg (π/6) = ctg (4 · 180°/3) · tg (180°/6) = ctg 240° · tg 30°. Смотрим на аргумент котангенса: 240° ∈ [180°; 270°] — это

   III

   координатная четверть, поэтому ctg (4π/3) > 0. Аналогично, для тангенса имеем: 30° ∈ [0; 90°] — это

   I

   координатная четверть, т.е. самый простой угол. Поэтому tg (π/6) > 0. Снова получили два положительных выражения — их произведение тоже будет положительным. Поэтому ctg (4π/3) · tg (π/6) > 0.

В заключение рассмотрим несколько более сложных задач. Помимо выяснения знака тригонометрической функции, здесь придется немного посчитать — именно так, как это делается в настоящих задачах B11. В принципе, это почти настоящие задачи, которые действительно встречается в ЕГЭ по математике.

Задача. Найдите sin α, если sin² α = 0,64 и α ∈ [π/2; π].

Поскольку sin² α = 0,64, имеем: sin α = ±0,8. Осталось решить: плюс или минус? По условию, угол α ∈ [π/2; π] — это

II

координатная четверть, где все синусы положительны. Следовательно, sin α = 0,8 — неопределенность со знаками устранена.

Задача. Найдите cos α, если cos² α = 0,04 и α ∈ [π; 3π/2].

Действуем аналогично, т.е. извлекаем квадратный корень: cos² α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. По условию, угол α ∈ [π; 3π/2], т.е. речь идет о

III

координатной четверти. Там все косинусы отрицательны, поэтому cos α = −0,2.

Задача. Найдите sin α, если sin² α = 0,25 и α ∈ [3π/2; 2π].

Имеем: sin² α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5. Снова смотрим на угол: α ∈ [3π/2; 2π] — это

IV

координатная четверть, в которой, как известно, синус будет отрицательным. Таким образом, заключаем: sin α = −0,5.

Задача. Найдите tg α, если tg² α = 9 и α ∈ [0; π/2].

Все то же самое, только для тангенса. Извлекаем квадратный корень: tg² α = 9 ⇒ tg α = ±3. Но по условию угол α ∈ [0; π/2] — это

I

координатная четверть. Все тригонометрические функции, в т.ч. тангенс, там положительны, поэтому tg α = 3. Все!

Смотрите также:

1. Радианная мера угла
2. Тест к уроку «Знаки тригонометрических функций» (1 вариант)
3. Тест к параграфу «Что такое логарифм» (легкий)
4. Сводный тест по задачам B12 (1 вариант)
5. Изюм и виноград (смеси и сплавы)
6. Задача B4: транзит нефти

Единичная окружность помогает разобраться, чему равны cos 1, cos 2, cos 3, cos 4, cos 5 и cos 6, без калькулятора и таблиц.

Чтобы найти углы в 1, 2, 3, 4 5 и 6 радиан на единичной окружности, можно вспомнить, что п приближенно равно 3,14, и привязать их местонахождение к п, п/2, 3п/2 и 2п. Можно пойти другим путем: угол в 1 радиан соответствует длине дуги, равной радиусу окружности. Соответственно, отмечаем 6 раз на окружности длину радиуса. Конечно, рисунок получается очень приблизительным, но наглядным.

Итак, косинус 1, косинус 2, косинус 3, косинус 4, косинус 5 и косинус 6 — это абсциссы (x) отмеченных точек. С помощью единичной окружности можно легко сравнивать косинусы. Мы видим, cos 1>0,  cos 5>0 и cos 6>0, а cos 2<0, cos 3<0, cos 4<0. Соответственно, вопрос сравнения косинусов с разными знаками решается элементарно: любое положительное число больше любого отрицательного: например, cos1 > cos3. При сравнении косинусов с одинаковыми знаками можно использовать геометрическую интерпретацию. Таким образом получаем, например: cos2 > cos4, cos5 < cos1.

Если нужны более точные значения cos 1, cos 2, cos 3, cos 4, cos 5 и cos 6, можно воспользоваться калькулятором либо таблицами:

При оценке приблизительных значений углов, больших 6 радиан, геометрическая интерпретация тоже работает, но с увеличением угла накапливается погрешность вычислений.

cos 3<0  т к 3 во второй четверти.<br> cos8<0  </span>т к 8 во второй четверти.

sin( -15)<0  </span>т к -15 в третьей четверти

sin 5<0  </span>т к 5 в четвертой четверти

На координатной плоскости единичная окружность с центром в начале координат. По окружности своя шкала — начало отсчета  в точке ее пересечения с осью Ох, против часовой стрелки откладываем положительные значения, по часовой — отрицательные. Эти значения я показала внутри круга.

1

 радиан ≈ 60°,  в точках пересечения с осями стоят числа 1,57; 3,14; 4,71; 6,28 и т д до бесконечности против часовой стрелки можно указать любое число.  По часовой стрелке я указала только -1; -1,57;  остальные можно найти по необходимости.