Как найти значения уравнения с двумя переменными - Avtoru.top

В курсе математики 7 класса впервые встречаются с уравнениями с двумя переменными, но изучаются они лишь в контексте систем уравнений с двумя неизвестными. Именно поэтому из поля зрения выпадает целый ряд задач, в которых на коэффициенты уравнения введены некоторые условия, их ограничивающие. Кроме того, остаются без внимания и методы решения задач типа «Решить уравнение в натуральных или целых числах», хотя в материалах ЕГЭ и на вступительных экзаменах задачи такого рода встречаются все чаще и чаще.

Какое уравнение будет называться уравнением с двумя переменными?

Так, например, уравнения 5x + 2y = 10, x² + y² = 20 или xy = 12 являются уравнениями с двумя переменными.

Рассмотрим уравнение 2x – y = 1. Оно обращается в верное равенство при x = 2 и y = 3, поэтому эта пара значений переменных является решением рассматриваемого уравнения.

Таким образом, решением любого уравнения с двумя переменными является множество упорядоченных пар (x; y), значений переменных, которые это уравнение обращают в верное числовое равенство.

Уравнение с двумя неизвестными может:

а) иметь одно решение. Например, уравнение x² + 5y² = 0 имеет единственное решение (0; 0);

б) иметь несколько решений. Например, (5 -|x|) ² + (|y| – 2)² = 0 имеет 4 решения: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; -2);

в) не иметь решений. Например, уравнение x² + y² + 1 = 0 не имеет решений;

г) иметь бесконечно много решений. Например, x + y = 3. Решениями этого уравнения будут являться числа, сумма которых равна 3. Множество решений данного уравнения можно записать в виде (k; 3 – k), где k – любое действительное число.

Основными методами решения уравнений с двумя переменными являются методы, основанные на разложении выражений на множители, выделение полного квадрата, использование свойств квадратного уравнения, ограниченности выражений, оценочные методы. Уравнение, как правило, преобразовывают к виду, из которого можно получить систему для нахождения неизвестных.

Разложение на множители

Пример 1.

Решить уравнение: xy – 2 = 2x – y.

Решение.

Группируем слагаемые с целью разложения на множители:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Из каждой скобки вынесем общий множитель:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Имеем:

y = 2, x – любое действительное число или x = -1, y – любое действительное число.

Таким образом, ответом являются все пары вида (x; 2), x € R и (-1; y), y € R.

Равенство нулю неотрицательных чисел

Пример 2.

Решить уравнение: 9x² + 4y² + 13 = 12(x + y).

Решение.

Группируем:

(9x² – 12x + 4) + (4y² – 12y + 9) = 0. Теперь каждую скобку можно свернуть по формуле квадрата разности.

Получим:

(3x – 2)² + (2y – 3)² = 0.

Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю, только если 3x – 2 = 0 и 2y – 3 = 0.

А значит, x = 2/3 и y = 3/2.

Ответ: (2/3; 3/2).

Оценочный метод

Пример 3.

Решить уравнение: (x² + 2x + 2)(y² – 4y + 6) = 2.

Решение.

В каждой скобке выделим полный квадрат:

((x + 1)² + 1)((y – 2)² + 2) = 2. Оценим значение выражений, стоящих в скобках.

(x + 1)² + 1 ≥ 1 и (y – 2)² + 2 ≥ 2, тогда левая часть уравнения всегда не меньше 2. Равенство возможно, если:

(x + 1)² + 1 = 1 и (y – 2)² + 2 = 2, а значит x = -1, y = 2.

Ответ: (-1; 2).

Познакомимся с еще одним методом решения уравнений с двумя переменными второй степени. Этот метод заключается в том, что уравнение рассматривается как квадратное относительно какой-либо переменной.

Пример 4.

Решить уравнение: x² – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Решение.

Решим уравнение как квадратное относительно x. Найдем дискриминант:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2)². Уравнение будет иметь решение только при D = 0, т. е. в том случае, если y = 4. Подставляем значение y в исходное уравнение и находим, что x = 3.

Ответ: (3; 4).

Часто в уравнениях с двумя неизвестными указывают ограничения на переменные.

Пример 5.

Решить уравнение в целых числах: x² + 5y² = 20x + 2.

Решение.

Перепишем уравнение в виде x² = -5y² + 20x + 2. Правая часть полученного уравнения при делении на 5 дает в остатке 2. Следовательно, x² не делится на 5. Но квадрат числа, не делящегося на 5, дает в остатке 1 или 4. Таким образом, равенство невозможно и решений нет.

Ответ: нет корней.

Пример 6.

Решить уравнение: (x² – 4|x| + 5)(y² + 6y + 12) = 3.

Решение.

Выделим полные квадраты в каждой скобке:

((|x| – 2)² + 1)((y + 3)² + 3) = 3. Левая часть уравнения всегда больше или равна 3. Равенство возможно при условии |x| – 2 = 0 и y + 3 = 0. Таким образом, x = ± 2, y = -3.

Ответ: (2; -3) и (-2; -3).

Пример 7.

Для каждой пары целых отрицательных чисел (x; y), удовлетворяющих уравнению
x² – 2xy + 2y² + 4y = 33, вычислить сумму (x + y). В ответе указать наименьшую из сумм.

Решение.

Выделим полные квадраты:

(x² – 2xy + y²) + (y² + 4y + 4) = 37;

(x – y)² + (y + 2)² = 37. Так как x и y – целые числа, то их квадраты также целые числа. Сумму квадратов двух целых чисел, равную 37, получим, если складываем 1 + 36. Следовательно:

(x – y)² = 36 и (y + 2)² = 1

или

(x – y)² = 1 и (y + 2)² = 36.

Решая эти системы и учитывая, что x и y – отрицательные, находим решения: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Ответ: -17.

Не стоит отчаиваться, если при решении уравнений с двумя неизвестными у вас возникают трудности. Немного практики, и вы сможете справиться с любыми уравнениями.

Остались вопросы? Не знаете, как решать уравнения с двумя переменными?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!

Зарегистрироваться

Источник

Алгебра

Уравнение с двумя переменными и его график

Линейное уравнение

Определения

Уравнение вида , где a,b,c – это линейное уравнение с двумя переменными и .
Решением уравнения , называются всякую пару чисел (x;y) , которая удовлетворяет этому уравнению, т. е. обращает равенство с переменными в верное числовое равенство.
Если дано уравнение с двумя переменными и то принято в записи его решения на первое место ставить значение переменной а на второе — значение

Теорема 1

Если хотя бы один из коэффициентов a, b линейного уравнения отличен от нуля, то графиком уравнения служит прямая линия.

Доказательство:

1) Пусть Тогда уравнение принимает вид т.е. 0=0 при любых значениях x,y. Это значит, что любая пара чисел (x; y) является решением уравнения, а график уравнения — вся координатная плоскость.
2) Пусть Тогда уравнение принимает вид т.е. c=0 Это не выполняется ни при каких значениях x,y, т.е. уравнение не имеет решений.
3) Пусть Тогда уравнение принимает вид т.е. $y=-frac{c}{b}$ . Графиком служит прямая, параллельная оси .
4) Пусть Тогда уравнение принимает вид т.е. $y=-frac{c}{a}$ . Графиком служит прямая, параллельная оси .
5) Пусть В этом случае графиком является прямая, не параллельная ни одной из осей координат.

Теорема доказана.

Из теоремы следует, что если хотя бы один из коэффициентов и уравнения отличен от нуля, то уравнение имеет решение. Для отыскания решения удобно выразить одну переменную через другую, например через или через

Пример 1

Решить уравнение:
а)

Решение:
Выразим, например через Выбрав произвольное значение вычислим соответствующее значение Так, если y = 7, то значит, пара (31; 7) является решением уравнения. Но это одно из возможных решений уравнения. Все решения уравнения, или множество всех решений уравнений, можно записать так: Вместо y в ответе можно указывать любую букву для обозначения переменной, например, в ответе мы использовали букву

Ответ:

Пример 2

Решить уравнение:
а) 2x = 5; б) 2x = 0; в) 5y = 3; г) 5y = 0.

Решение:
а) Уравнение 2x = 5 имеет бесконечно множество решений. Переменная y может быть любым действительным числом, а переменная задается как что можно записать как
б) Уравнение 2x = 0 имеет бесконечно множество решений. Переменная может быть любым действительным числом, а переменная задается как x = 0, что можно записать как
в) Уравнение 5y = 3 имеет бесконечно множество решений. Переменная x может быть любым действительным числом, а переменная задается как что можно записать как
г) Уравнение 5y = 0 имеет бесконечно множество решений. Переменная может быть любым действительным числом, а переменная задается как y = 0, что можно записать как

Ответ:

а)
б)
в)
г)

Рациональные нелинейные уравнения

Определения

Рациональным уравнением с двумя переменными и называется уравнение вида где p(x; y) — рациональное выражение.
Решением уравнения является пара чисел (x;y), которая удовлетворяет этому уравнению, то есть при подстановке которых уравнение обращается в верное числовое равенство.
Понятие равносильности уравнений с двумя переменными формулируется так же, как и для уравнений с одной переменной.
Уравнение с двумя неизвестными может:
а) иметь одно решение.
Например, уравнение имеет единственное решение (0; 0);
б) иметь несколько решений.
Например, уравнение имеет решения: (-1; 0) и (1; 0) ;
в) не иметь решений.
Например, уравнение не имеет решений;
г) иметь бесконечно много решений.
Например, Множество решений данного уравнения (пример 1) можно записать в виде

Основными методами решения уравнений с двумя переменными являются методы, основанные на разложении выражений на множители, решения уравнения как квадратного относительно одной из переменных; выделение полного квадрата, использование свойств квадратного уравнения, ограниченности выражений, оценочные методы и другие. Есть также ряд уравнений, в которых задано дополнительное условие, использование которого позволяет найти корни уравнения. Познакомимся с этими методами на примерах. Некоторые из этих способов мы уже использовали при решении рациональных уравнений.

Решение уравнения как квадратного относительно одной из переменных

Пример 3

Решить уравнение:
$x^2 - 6x + y - 4sqrt{y} + 13 = 0.$

Решение:
Решим уравнение как квадратное относительно Найдем дискриминант: $D = 36- 4(y- 4sqrt{y}+ 13) = -4y + 16 sqrt{y} - 16 = -4(sqrt{y} - 2)^2.$ Уравнение будет иметь решение только при D = 0, т. е. в том случае, если y = 4. Подставляем значение в исходное уравнение и находим, что x = 3.

Ответ:

(3; 4).

Разложение на множители

Пример 4

Решить уравнение:

Решение:
Группируем слагаемые с целью разложения на множители:
откуда тогда
Важно теперь правильно записать решение. Произведение будет равно нулю, если каждая из скобок равна нулю, причем в скобке у нас только одна переменная. Получается, что если первая скобка обращается в нуль, вторая может принимать любые значения, и наоборот. Тогда решениями будут — любое действительное число или — любое действительное число.
Записываем этот ответ в виде множеств

Ответ:

Равенство нулю неотрицательных чисел

Пример 5

Решить уравнение:

Решение:
Группируем одночлены таким образом, чтобы составились полные квадраты:

Теперь каждую скобку можно свернуть по формуле квадрата разности:

Каждый квадрат не отрицателен, и сумма двух неотрицательных выражений равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю, то есть если и при этом
Отсюда $x = frac{2}{3}$ и $y = frac{3}{2}.$

Ответ:

$x = frac{2}{3}$ и $y = frac{3}{2}.$

Оценочный метод

Оценочный метод использует свойства функций, известные неравенства, сравнения чисел и подобные возможности.

Пример 6

Решить уравнение:

Решение:
В каждой скобке выделим полный квадрат: Оценим значение выражений, стоящих в скобках. и тогда левая часть уравнения всегда не меньше Равенство возможно, если: и при этом , а значит

Ответ:

Часто в уравнениях с двумя неизвестными указывают ограничения на переменные. Это могут быть уравнения, неравенства, но, в качестве ограничения, может быть указано множество чисел, среди которых следует его искать. Чаще всего ищут натуральные или целые корни. Эти задачи имеют, помимо общих, специфические методы, которые упрощают поиск решения.

Пример 7

Для каждой пары целых отрицательных чисел (x; y), удовлетворяющих уравнению вычислить сумму В ответе указать наименьшую из сумм.

Решение:
Выделим полные квадраты: откуда Так как и — целые числа, то их квадраты также целые числа. Сумму квадратов двух целых чисел, равную 37, получим, если складываем 1 + 36. Следовательно: и и, наоборот, и Решая эти системы и учитывая, что и –отрицательные, находим решения: Наименьшая сумма будет

Ответ:

-17.

Во многих случаях поиск решения облегчается, если представить геометрическую интерпретацию левой и правой частей уравнения. Тогда решение уравнения — точка пересечения графиков соответствующих функций. Кроме линейной функции, мы знакомы со свойствами и графиком квадратичной функции (парабола), и обратной пропорциональности $y =frac{a}{x}+ b$ (гипербола). Также мы упоминали окружность.

Теорема 2

Графиком уравнения является окружность с центром в точке O(a; b) и радиусом

Доказательство:

По определению окружность — множество точек, равноудаленных от одной точки, являющейся центром окружности. На расстояние r^2 от центра окружности точки по теореме Пифагора, будут удалены все точки, для которых Что и требовалось доказать.

Теорема доказана.

Решения уравнения с двумя переменными представляют часто в виде графика.

Определение

Графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек плоскости, координаты которых x,y являются решениями.

Пример 8

Найти все целочисленные решения уравнения

Решение:
Построим график, соответствующий уравнению (рис. 1).

Рис. 1

Для построения графика, кроме правил отображения графиков относительно осей координат в том случае, когда стоит модуль, можно рассмотреть по очереди все четыре четверти. Это квадрат с вершинами в точках Значения координат этих точек и будет, как видно из графика, целочисленным решением уравнения.

Ответ:

Пример 9

Построить графики функций, стоящих в левой и правой частях уравнения Найти решения.

Решение:
Построим в одной системе координат графики функций $y^{2}-x = 0$ и или графики y^2 = x и (рис. 2).

Рис. 2

График y^2 = x представляет собой параболу, направленную вдоль оси абсцисс. Графики пересекаются в двух точках.
Найдем координаты этих точек, которые будут решением уравнения. Можем записать, что и Приравнивая левые части, получаем уравнение или
Его корни:
$y_1=ds {frac{-1-sqrt{17}}{4} approx -1,3}$ , $x_1=ds {frac{-y_1+2}{2}=frac{frac{1+sqrt{17}}{4}+2}{2}}=ds {frac{9+sqrt{17}}{8} approx 1,6}$
и
$y_2=ds {frac{-1+sqrt{17}}{4} approx 0,8}$ , $x_2=ds {frac{-y_2+2}{2}}=ds{frac{frac{1-sqrt{17}}{4}+2}{2}}=ds {frac{9-sqrt{17}}{8} approx 0,7}.$
Вычисленные приближенные значения корней показывают, что соответствуют чертежу.

Ответ:

$(ds {frac{9+sqrt{17}}{8}};ds {frac{-1-sqrt{17}}{4})};$
$(ds {frac{9-sqrt{17}}{8}};ds {frac{-1+sqrt{17}}{4})}.$

Пример 10

Найти число решений уравнения

Решение:
Решаем задачу графически. Выделим полные квадраты: откуда Данное уравнение можем переписать в виде
Если рассмотреть два графика и то точки пересечения графиков будут являться решением уравнения. Построим графики функций и в одной системе координат (рис. 3).

Рис. 3

Графики пересекаются в трех точках.

Ответ:

Источник

Загрузить PDF

В простых алгебраических уравнениях переменная находится только на одной стороне уравнения, а вот в более сложных уравнениях переменные могут находиться на обеих сторонах уравнения. Решая такие уравнения, всегда помните, что любая операция, которая выполняется на одной стороне уравнения, должна быть выполнена и на другой стороне. С помощью этого правила переменные можно переносить с одной стороны уравнения на другую, чтобы изолировать их и вычислить их значения.

1

Примените распределительный закон (если нужно). Этот закон гласит, что .^[1] Распределительный закон позволяет раскрыть скобки с помощью умножения члена, стоящего за скобками, на каждый член, заключенный в скобки.^[2]
2

Избавьтесь от переменной на одной стороне уравнения. Для этого вычтите или прибавьте такой же член с переменной. Например, если член с переменной вычитается, прибавьте такой же член, чтобы избавится от него; если же член с переменной прибавляется, вычтите такой же член, чтобы избавится от него. Как правило, проще избавиться от переменной с меньшим коэффициентом.^[3]
3

Следите, чтобы равенство не нарушалось. Любая математическая операция, выполняемая на одной стороне уравнения, должна быть выполнена и на другой стороне. Поэтому если вы прибавляете или вычитаете какой-либо член, чтобы избавиться от переменной на одной стороне уравнения, прибавьте или вычтите тот же член на другой стороне уравнения.^[4]
4

Упростите уравнение за счет сложения или вычитания подобных членов. На данном этапе переменная должна находиться на одной стороне уравнения.
5

Перенесите свободные члены на одну сторону уравнения (если нужно). Необходимо сделать так, чтобы член с переменной находился на одной стороне, а свободный член – на другой. Чтобы перенести свободный член (и избавиться от него на одной стороне уравнения), прибавьте или вычтите его из обеих сторон уравнения.^[5]
6

Избавьтесь от коэффициента при переменной. Для этого выполните операцию, противоположную операции между коэффициентом и переменной. В большинстве случаев просто разделите обе стороны уравнения на коэффициент при переменной.^[6] Помните, что любая математическая операция, выполняемая на одной стороне уравнения, должна быть выполнена и на другой стороне.
7

Проверьте ответ. Для этого подставьте найденное значение в исходное уравнение. Если равенство соблюдается, ответ правильный.

Реклама

1

Изолируйте переменную в одном уравнении. Возможно, в одном из уравнений переменная уже будет изолирована; в противном случае воспользуйтесь математическими операциями, чтобы изолировать переменную на одной стороне уравнения. Помните, что любая математическая операция, выполняемая на одной стороне уравнения, должна быть выполнена и на другой стороне.
2

Подставьте значение (в виде выражения) изолированной переменной в другое уравнение. Убедитесь, что подставляете выражение целиком. Получится уравнение с одной переменной, которое легко решить.^[7]
3

Найдите значение переменной. Для этого перенесите переменную на одну сторону уравнения. Затем перенесите свободные члены на другую сторону уравнения. Потом изолируйте переменную с помощью операции умножения или деления.
4

Найдите значение другой переменной. Для этого найденное значение переменной подставьте в одно из уравнений. Получится уравнение с одной переменной, которое легко решить. Имейте в виду, что найденное значение переменной можно подставить в любое уравнение.
5

Проверьте ответ. Для этого подставьте значения обеих переменных в одно из уравнений. Если равенство соблюдается, ответ правильный.

Реклама

1

Решите следующее уравнение с одной переменной, используя распределительный закон: .
2

Решите следующее уравнение с дробью: $-7+3x={frac {7-x}{2}}$ .
3

Решите следующую систему уравнений:

Реклама

Что вам понадобится

Карандаш
Бумага
Калькулятор

Об этой статье

Эту страницу просматривали 179 757 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

to continue to Google Sites

Not your computer? Use Guest mode to sign in privately. Learn more

Источник

Уравнение с двумя переменными и его решение

Уравнение вида ax+by = c, где a,b,c — данные числа, называется линейным уравнением с двумя переменными x и y.

Например: 2x+5y = 6; -x+1,5y = 0; $frac{1}{2}$ x-8y = 7

Уравнение с двумя переменными может быть не только линейным, т.е. содержать не только первые степени переменных x и y.

Например: $2x^2+y^2 = 3, x-5y^2 = 1, 7x^3+y = 7$

Решением уравнения с двумя переменными называется упорядоченная пара значений переменных (x,y), обращающая это уравнение в тождество.

О тождествах – см. §3 данного справочника

Например: для уравнения 2x+5y=6 решениями являются пары

x = -2, y = 2; x = -1,y = 1,6; x = -3,y = 2,4 и т.д.

Уравнение имеет бесконечное множество решений.

Свойства уравнения с двумя переменными

Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называют равносильными. Уравнения с двумя переменными, не имеющие решений, также считают равносильными.

Уравнения с двумя переменными имеют такие же свойства, как и уравнения с одной переменной:

если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую и изменить его знак, получится уравнение, равносильное данному;
если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же, отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Например: $2x+5y = 6 ⟺5y = -2x+6 iff y = -0,4x+1,2$

Примеры

Пример 1. Из данного линейного уравнения выразите y через x и x через y:

Алгоритм: рассмотрим 3x+4y=10

1) оставим слагаемое с выражаемой переменной с одной стороны, остальные слагаемые перенесем в другую сторону: 4y=-3x+10

2) разделим полученное уравнение слева и справа на коэффициент при выражаемой переменной: y=-0,75x+2,5 — искомое выражение y(x).

Аналогично для x(y): $3x+4y = 10 iff 3x = -4y+10 iff x = -1 frac{1}{3} y+3 frac{1}{3}$

Линейное уравнение

y(x)

x(y)

а) 4x+5y = 20

$y = — frac{4}{5} x+4$

$x=-1 frac{1}{4} y+5$

б) 3x-2y = 11

y = 1,5x-5,5

$x = frac{2}{3} y+3 frac{2}{3}$

в) x+7y = 8

$ y = — frac{x}{7}+1 frac{1}{7}$

x = -7y+8

г) 2x-11y = 22

$y = frac{2}{11} x-2$

x = 5,5y+11

Пример 2. Составьте линейное уравнение с двумя переменными, решением которого является пара чисел:

Алгоритм: рассмотрим (1;5)

1) составим любой двучлен вида ax+by, например 2x+3y

2) подставим данные x = 1, y = 5 в двучлен и запишем результат 2x+3y = 17 — это искомое уравнение.

Пример 3. Составьте уравнение с двумя переменными, решениями которого являются две пары чисел:

а) (1;5) и (2;4)

Искомое уравнение имеет вид ax+by=c. Подставим обе пары:

$$ {left{ begin{array}{c} a+5b = c \ 2a+4b = c end{array} right.} Rightarrow a+5b = 2a+4b Rightarrow a = b $$

Пусть a = b = 1. Тогда x+y = 1+5 = 2+4 = 6

x+y = 6 — искомое уравнение.

б) (0;2) и (2;5)

Искомое уравнение имеет вид ax+by = c. Подставим обе пары:

$$ {left{ begin{array}{c} 0+2b = c \ 2a+5b = c end{array} right.} Rightarrow 2b = 2a+5b Rightarrow a = -1,5b $$

Пусть b = -2. Тогда a = 3 и уравнение:

$3x-2y = 3cdot0-2cdot2 = 3cdot2-2cdot5 = -4$

3x-2y = -4 — искомое уравнение.

Пример 4. Найдите двузначное число, которое в два раза больше суммы своих цифр.

Пусть a-цифра десятков (a = 1,2,…,9), b- цифра единиц (b = 0,1,…,9).

По условию: 10a+b = 2(a+b)

$$10a+b = 2a+2b Rightarrow 8a = b$$

Единственное возможное решение: a = 1, b = 8

Ответ:18

Пример 5. Найдите двузначное число, которое при умножении на сумму своих цифр даёт 370.

Пусть a-цифра десятков (a = 1,2,…,9), b- цифра единиц (b = 0,1,…,9).

По условию: (10a+b)(a+b) = 370

Разложим 370 на простые множители: $370 = 2cdot5cdot37$

Возможные значения для суммы a+b = {2;5;10}

Рассмотрим a+b = 2. Тогда 10a+b = $frac{370}{a+b} = frac{370}{2} = 185 — не quad двузначное quad число Rightarrow$

$a+b neq 2$

Рассмотрим a+b = 5. Тогда 10a+b = $frac{370}{5} = 74 Rightarrow a = 7, b = 4, a+b neq 5$.

Рассмотрим a+b = 10. Тогда 10a+b = $frac{370}{10} = 37 Rightarrow a = 3, b = 7, a+b = 10$.

Значит, искомое число 37.

Ответ: 37

Источник

Что вам понадобится

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Уравнение с двумя переменными и его решение

Свойства уравнения с двумя переменными

Примеры

Не пропустите также: