Как найти значение выражения 7 класс при

Алгебра – одна из основных дисциплин, изучаемых в школе. В 7 классе ученики начинают изучение алгебры с более сложных тем, включающих в себя нахождение значения выражений. В этой статье мы рассмотрим, как найти значение выражения в 7 классе.

Определение выражения

Выражение – это математическое выражение, содержащее числа, переменные и знаки математических операций. К примеру, выражение 2x + 3 содержит переменную x, числа 2 и 3, а также знаки + и *.

Варианты выражений

В 7 классе ученики изучают различные виды выражений.

Арифметические выражения

Арифметические выражения включают в себя такие знаки, как +, -, * и /. Например, выражение 7 + 5 является арифметическим, так как содержит знак +.

Алгебраические выражения

Алгебраические выражения содержат переменные. Например, выражение 2x + 3 является алгебраическим, так как содержит переменную x.

Комбинированные выражения

Комбинированные выражения содержат как арифметические, так и алгебраические элементы. Например, выражение 3x + 7 / 2 является комбинированным.

Нахождение значения выражения

Нахождение значения выражения состоит в том, чтобы найти результат его вычисления. Для этого нужно выполнить различные арифметические операции, описанные в выражении, и подставить конкретные числовые значения для переменных.

Пример 1: Арфиметические выражения

Рассмотрим простой пример: 5 + 2 * 3.

Сначала нужно выполнить операцию умножения, так как она имеет более высокий приоритет, чем операция сложения.

5 + 2 * 3 = 5 + 6

Затем нужно выполнить операцию сложения:

5 + 6 = 11

Ответ: 11

Пример 2: Алгебраические выражения

Рассмотрим следующий пример: 3x + 7, где x = 4.

Сначала нужно подставить значение переменной:

3 * 4 + 7

Затем нужно выполнить операцию умножения:

12 + 7

И, наконец, выполнить операцию сложения:

19

Ответ: 19

Пример 3: Комбинированные выражения

Рассмотрим еще один пример: 2x + 5 * 3 - 4, где x = 2.

Сначала нужно подставить значение переменной:

2 * 2 + 5 * 3 - 4

Затем нужно выполнить операции умножения:

4 + 15 - 4

Затем сложить и вычесть:

15

Ответ: 15

Вывод

Вычисление значения выражения в алгебре является важной частью изучения этого предмета. Правильное выполнение арифметических операций и подстановка значений переменных являются ключевыми для правильного решения задач. Ознакомление с примерами в этой статье поможет начинающим ученикам разобраться в технике нахождения значения выражения.

Поиск значений выражений — основное математическое действие. Им сопровождается каждый пример, задача. Поэтому чтобы вам было проще работать с различными математическими выражениями, подробно разберем способы и правила их решения в данной статье. Правила представлены в порядке увеличения сложности: от простейших выражений до выражений с функциями. Для лучшего понимания каждый пункт сопровождается подробным пояснением и расписанными примерами.

Поиск значения числовых выражений

Числовые выражения представляют собой математические задачи, состоящие, преимущественно, из чисел. Они подразделяются на несколько групп в зависимости от своей сложности: простейшие, со скобками, корнями, дробями и т.д. Каждый тип выражений подразумевает свои правила нахождения значения, порядок действий. Рассмотрим каждый случай подробнее.

Простейшие числовые выражения. К простейшим числовым выражениям относятся примеры, состоящие из двух элементов:

• Числа (целые, дробные и т.д.);
• Знаки: «+», «—», «•» и «÷».

Чтобы найти значение выражения в данном случае, необходимо выполнить все арифметические действия (которые подразумевают конкретные знаки). В случае отсутствия скобок решение примера производится слева направо. Первыми выполняются действия деления и умножения. Вторыми — сложение и вычитание.

Пример 1. Решение числового выражения

Задача. Решить:

20 — 2 • 10 ÷ 5 — 4 = ?

Решение. Чтобы решить выражение, нам необходимо выполнить все арифметические действия в соответствии с установленными правилами. Поиск значения начинается с решения деления и умножения. В первую очередь находим произведение цифр 2 и 10 (если рассматривать с левой стороны, данное действие является первым по значимости). Получаем 20. Теперь это число делим на 5. Итог — 4. Когда известно значение основных действий, можем подставить его в наш пример:

20 — 4 — 4 = ?

Упрощенный пример также решаем слева направо: 20 — 4 = 16. Второе действие: 16 — 4 = 12. Ответ 12.

Решение без пояснений. 20 — 2 • 10 ÷ 5 — 4 = 20 — (2 • 10 ÷ 5) — 4 = 20 — 4 — 4 = 12.

Ответ. 12

Пример 2. Решение числового выражения

Задача. Решить:

0,2 — 5 • (— 4) + 1/2 • 5 • 4 = ?

Решение. Начинаем решение с умножения и деления. Умножая 5 на (— 4) получаем (— 20), т.к. производное сохраняет знак множителя. Далее умножаем 1/2 на 5. Для этого преобразуем дробь: 1/2 = 5/10 = 0,5. 0,5 умножаем на 5. Ответ — 2,5. Далее умножаем полученное число на 4. 2,5 • 4 = 10. Получаем следующее выражение:

0,2 — (— 20) + 10

Теперь нам остается решить сложение и вычитание. В первую очередь раскрываем скобку и получаем:

0,2 + 20 + 10 = 30,2

Решение без пояснений. 0,2 — 5 • (— 4) + 1/2 • 5 • 4 = 0,2 — (— 20) + 10 = 0,2 + 20 + 10 = 30,2

Ответ. 30,2

Находим значение выражения со скобками

Скобки определяют порядок действий при решении примера. Выражения, находящиеся внутри скобок «()» имеют первостепенную значимость, независимо от того, какое математическое действие в них выполняется.

Пример 3. Значение числового выражения со скобками

Задача. Решить:

5 + (7 — 2 • 3) • (6 — 4) ÷ 2 = ?

Решение. Начинаем нахождение значения выражения с решения скобок. Порядок действий определяется слева направо. При этом не забываем, что после раскрытия скобок в первую очередь решаем умножение и деление и лишь потом — вычитание и сложение:

• 7 — 2 • 3 = 7 — 6 = 1
• 6 — 4 = 2

Когда скобки решены, подставляем полученные значения в наш пример:

5 + 1 • 2 ÷ 2

Снова решаем все по порядку, не забывая о том, что деление и умножение выполняется в первую очередь:

• 1 • 2 = 2
• 2 ÷ 2 = 1

Упрощенное выражение выглядит следующим образом:

5 + 1 = 6

Решение без пояснений. 5 + (7 — 2 • 3) • (6 — 4) ÷ 2 = 5 + (7 — 6) • 2 ÷ 2 = 5+ 1 • 2 ÷ 2 = 5 + 1 = 6

Ответ. 6

Значение числового выражения со скобками

Задача. Решить:

4 + (3 + 1 + 4 • (2+3)) = ?

Решение. Подобные примеры решаются поэтапно. Помним, что поиск выражения со скобками начинается с решения скобок. Поэтому в первую очередь решаем:

3 + 1 + 4 • (2+3)

В уже упрощенном примере снова встречаются скобки. Их будем решать в первую очередь:

2 + 3 = 5

Теперь можем подставить определенное значение в общую скобку:

3 + 1 + 4 • 5

Начинаем решение с умножения и далее слева направо:

• 4 • 5 = 20
• 3 + 1 = 4
• 4 + 20 = 24

Далее подставляем полученный ответ вместо большой скобки и получаем:

4 + 24 = 28

Решение без пояснений. 4 + (3 + 1 + 4 • (2+3)) = 4 + (3 + 1 + 4 • 5) = 4 + (3 + 1 + 20) = 4 + 24 = 28

Ответ. 28

Важно: Чтобы правильно определить значение числового выражения с множественными скобками, необходимо выполнять все действия постепенно. Скобки читаются слева направо. Приоритет в решении внутри скобок остается за делением и умножением.

Поиск значения выражения с корнями

Часто алгебраические задания основываются на нахождении значений из-под корня. И если определить √4 несложно (напомним, это будет 2), то с примерами, которые полностью расположены под корнем, возникает ряд вопросов. На самом деле в таких заданиях нет ничего сложного. В данном случае порядок действий следующий:

• Решаем все выражение, которое находится под корнем (не забываем о правильной последовательности: сперва скобки, деление и умножение, а лишь потом — сложение и вычитание);
• Извлекаем корень из числа, которое получили в результате решения обычного примера.

Если же и под корнем имеется корень (например: √ 4 + 8 — √4), то начинаем решение примера с его извлечения (в нашем примере это будет: √ 4 + 8 — 2). Если подкоренные числа возведены во вторую степень, то их квадратный корень будет равняться модулю подкоренного выражения.

Значение числового выражения с корнями

Задача. Решить:

√ 2² • 2² • 3² = ?

Решение. Все действия под корнем одинаковы — умножение. Это дает нам право разделить выражение на множители. Получаем:

√2² • √2² • √3² = ?

Т.к. под квадратным корнем у нас числа, возведенные во вторую степень, получаем:

2 • 2 • 3 = 12

Решение без пояснений. √ 2² • 2² • 3² = √2² • √2² • √3² = 2 • 2 • 3 = 12

Ответ. 12

Находим значение числовых выражений со степенями

Следующий математический знак, который имеет приоритет в процессе решения, — степени. Они представляют собой результат многократного умножения числа на себя. Само число является основанием степени. А количество операций умножения — ее показателем. Причем выражен он может быть не только целым числом, но и дробью, полноценным числовым выражением.

Начинается решение выражения со степенями с вычисления самих степеней. Если они представляют собой полноценное выражение (например: [3^{3 cdot 4-10}]), то его необходимо решить в нашем примере это будет: [3^{12-10}=3^{2}=9].

Задача. Решите:

[ 3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=? ]

Решение. Чтобы решить это выражение со степенями, воспользуемся равенством:

[(a cdot b)^{r}=a^{r} cdot b^{r}]

Рассматривая пример слева направо, видим, что у первых двух множителей одинаковые степени. Это позволяет нам упростить выражение:

[ (3 cdot 7)^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=21^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3} ]

Зная, что при умножении степени с одинаковыми показателями складываются, получаем следующее выражение:

[ 21^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=21^{1 / 3+2 / 3}=21^{1}=21 ]

Решение без пояснений: [3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=(3 cdot 7)^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=21^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=21^{1 / 3+2 / 3}=21^{1}=21]

Ответ. 21

Интересно: Этот же пример можно решить и другим способом, преобразовав число 21 в степени ⅔ в два множителя. В данном случае решение будет выглядеть следующим образом:

[3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot(3 cdot 7)^{2 / 3}=3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot 3^{2 / 3} cdot 7^{2 / 3}=3^{1 / 3+2 / 3} cdot 7^{1 / 3+2 / 3}=3^{1}+7^{1}=21]

Ответ. 21

Задача. Решить:

[ 2^{-2 sqrt{5}} cdot 4^{sqrt{5}-1}+left((sqrt{3})^{1 / 3}right)^{6} ]

Решение. В данном случает получить точные числовые значения показателей степеней не удастся. Поэтому искать значение выражения с дробями в виде степени будем снова через упрощение:

Ответ. 3,25

Выражения с дробями

Поиск значения выражения дробей начинается с их приведения к общему виду. В большинстве случаев проще представить все значения в виде обыкновенной дроби с числителем и знаменателем. После преобразования всех чисел необходимо привести все дроби к общему знаменателю.

Важно: Прежде чем найти выражение дробей, необходимо провести вычисления в их знаменателе и числителе отдельно. В данном случае действуют стандартные правила решения.

Когда дроби приведены к единому знаменателю можно переходить к решению. Вычисление значений верхней строки (числителя) и нижней (знаменателя) производятся параллельно.

Задача. Решить:

[ 6 frac{2}{13}+4 frac{1}{13}=? ]

Решение. Действуя по главному правилу, прежде чем найти значение числового выражения, преобразуем всего его части в простую дробь. Получаем:

[ frac{6 cdot 13+2}{13}+frac{4 cdot 13+1}{13} ]

Теперь выполняем вычисления в знаменателе и числителе и находим ответ:

[ frac{6 cdot 13+2}{13}+frac{4 cdot 13+1}{13}=frac{80}{13}+frac{53}{13}=frac{133}{13}=10 frac{3}{13} ]

Ответ. [10 frac{3}{13}]

Примеры(2):

Задача. Решить:

[ frac{2}{sqrt{5}-1}-frac{2 sqrt{5}-7}{4}-3=? ]

Решение. В данном примере мы не можем извлечь корень из пятерки. Но мы можем воспользоваться формулой разложения корней:

[ frac{2}{sqrt{5}-1}=frac{2(sqrt{5}+1)}{(sqrt{5}-1)(sqrt{5}+1)}=frac{2(sqrt{5}+1)}{5-1}=frac{2 sqrt{5}+2}{4} ]

Теперь можем придать нашему первоначальному выражению следующий вид:

[ frac{2 sqrt{5}+2}{4} frac{2 sqrt{5}-7}{4}-3=frac{2 sqrt{5}+2-2 sqrt{5}+7}{4}-3=frac{9}{4} 3=-frac{3}{4} ]

Ответ. [-frac{3}{4}].

Выражения с логарифмами

Как и степени, логарифмы (log), имеющиеся в выражении, вычисляются (если это возможно) в первую очередь. К примеру, зная, что [log _{2} 4=2] мы можем сразу упростить выражение  [log _{2} 4+5 cdot 6] до простого и понятного 2 + 5*6 = 32.

Со степенями логарифмы объединяет и порядок выполнения действий. Прежде чем искать значение выражения логарифмов, необходимо вычислить его основание (если оно представлено математическим выражением).

В случаях, когда полное вычисление логарифма невозможно, производится упрощение примера.

Задача. Решить:

[log _{27} 81+log _{27} 9=?]

Решение. Чтобы найти логарифм выражения, воспользуемся свойствами логарифмов и представим значение логарифмов со степенями:

Это позволит нам решить пример следующим образом:

Ответ. 2

Решаем выражения с тригонометрической функцией

Часто в выражениях встречаются тригонометрические функции. Всего их в математике шесть:

• Синус;
• Косинус;
• Котангенс;
• Тангенс;
• Секанс;
• Косеканс.

Изучение тригонометрии начинается в 9-м классе, когда ученики уже подготовлены к сложным задачам. Большинство заданий представляются с sin и cos. Остальные функции встречаются значительно реже.

В математических примерах, которые содержат sin, cos, tg и др. функции, вычисление тригонометрической функции производится в первую очередь. Если это невозможно — осуществляется упрощение выражения до получения краткой формулы.

Задача. Решить:

[ frac{24}{sin ^{2} 127+1+sin ^{2} 217} ]

Решение. Разложим 217 на 90 и 127. Т.к. по формуле приведения sin(90 + a) = cosa, получаем:

sin217 — sin (90 + 127) = cos127

Теперь заменяем полученной формулой наше слагаемое в знаменателе дроби:

[ frac{24}{sin ^{2} 127+cos ^{2} 127+1} ]

Вспоминаем, что по тригонометрическому тождеству sin²a+ cos² a= 1 (независимо от значения угла a). Поэтому одну часть слагаемого знаменателя (sin²127+ cos²127) преобразуем в единицу и получаем:

[ frac{24}{sin ^{2} 127+cos ^{2} 127+1}=frac{24}{1+1}=frac{24}{2}=2 ]

Ответ. 2

Задача. Решить:

[ sqrt{4} 8-sqrt{1} 92 sin ^{2} frac{19 pi}{12}=? ]

Решение. Начинаем решение с разбора второй дроби. Обращаем внимание, что 192 = 48 • 2. А значит, корень этого числа можно представить в виде 2√48. Зная это и используя формулу косинуса двойного угла, преобразим наше выражение:

Теперь по формуле приведения решаем наш пример:

[ sqrt{4} 8 cos left(3 pi+frac{pi}{6}right)=sqrt{4} 8left(-cos frac{pi}{6}right)=-sqrt{4} 8 cdot frac{sqrt{3}}{2}=-4 sqrt{3} cdot frac{sqrt{3}}{2}=-6 ]

Ответ. — 6.

Общий случай: находим значения выражений с дробями, функциями, степенями и не только

Самым сложным считается поиск числовых выражений общих случаев. Они представляют собой тригонометрические примеры, которые могут содержать:

• Степени;
• Скобки;
• Корни;
• Функции и т.д.

Общие числовые выражения сложны только длительностью решения. В остальном же они ничуть не сложнее, чем решение каждого примера (со скобкой, степенями, функциями и т.д.) по отдельности.

Чтобы найти значение выражения с логарифмами, тригонометрическими функциями, скобками и/или другими действиями, необходимо помнить три основных правила:

• Упрощение. Прежде чем приступать к решению внимательно изучите выражение. Особенно — его степени, корни, логарифмы, функции. В большинстве случаев их можно сократить или заменить простым числовым значением еще до решения.
• Скобки. Независимо от типа выражения, действий, начинать решение всегда необходимо со скобок. Часто именно игнорирование этого правила приводит к получению неверного ответа или отсутствию решения в принципе.
• Общий вид. Старайтесь привести выражение к общему виду. Особенно это касается дробей. Смешанные и десятичные дроби преобразуйте в обычные.
• Последовательность. Действия в скобках и действия после их решения выполняются слева направо. В первую очередь необходимо совершать умножение и деление. Когда все произведения и частные найдены, можно переходить к сложению и вычитанию.

Для удобства решения и устранения возможных ошибок рекомендуем расставлять порядок действий непосредственно над математическими знаками.

Задача. Решить:

[ -frac{sqrt{2} sin left(frac{pi}{6}+2left(frac{2 pi}{5}+frac{3 pi}{5}right)right)+3}{operatorname{Ln} e^{2}}+left(1+3^{sqrt{9}}right)=? ]

Решение. Чтобы решить этот пример, сначала найдем значение выражения числителя дроби, а точнее — подкоренного выражения. Для этого необходимо вычислить значение sin и общего выражения. Начинаем с раскрытия скобок в числителе:

Полученное значение можем подставить в подкоренное выражение для вычисления числителя дроби:

[ sqrt{2} sin cdotleft(frac{pi}{6}+2left(frac{2 pi}{5}+frac{3 pi}{5}right)+3=sqrt{4}=2right. ]

Со знаменателем дела обстоят куда проще:

[ ln e^{2}=2 ]

Числитель и знаменатель у нас одинаковые, что позволяет нам их сократить:

Теперь остается решить следующее выражение:

Ответ. 27

Как видите, при последовательном решении примеров с большим количеством действий нет ничего сложного. Главное — верно обозначить последовательность шагов и четко ей следовать.

Как найти значение выражения числителя дроби, подкорневого значения рационально?

Независимо от типа выражения решать его необходимо последовательно, руководствуясь стандартными правилами (описаны ранее). Но не стоит забывать, что во многих случаях поиск ответа может быть значительно упрощен за счет рационального подхода к решению. Основывается он на нескольких правилах.

Правило 1. Когда произведение равно нулю

Производное равно нулю в том случае, если хотя бы один из его сомножителей равен нулю. Если вы решаете пример из нескольких сомножителей, одним из которых является «0», то проводить многочисленные вычислительные действия не стоит.

Например, выражение [3 cdotleft(451+4+frac{18}{3}right)left(1-sin left(frac{3 pi}{4}right)right) cdot 0] будет равняться нулю.

Правило 2. Группировка и вынесение чисел

Ускорить процесс поиска ответа можно за счет группировки множителей, слагаемых или вынесения единого множителя за скобки. Также не стоит забывать о возможности сокращения дроби.

Например, выражение [frac{left(451+4+frac{18}{3}right)}{4left(451+4+frac{18}{3}right)}] решать не надо. Достаточно сократить скобки, чтобы получить ответ [=frac{1}{4}]

Решение примеров с переменными

Примеры с переменными отличаются от числовых только формой предоставления. В данном случае значения предоставляются дополнительно к выражению.

Пример задания: Найдите значение выражения 2x — y, если x = 2,5, а y = 2. В данном случае решение будет выглядеть следующим образом:

2x — y = 2 • 2,5 — 2 = 3

При этом в таких примерах сохраняются все описанные выше правила. Касается это и советов по рациональному решению примеров. Так, решать дробь [frac{sqrt{y}}{sqrt{y}}] бессмысленно, т.к. при любых значениях «y» ответ будет одинаковым — 1.

План урока:

Множества

Подмножества

Числовые выражения

Буквенные выражения

Множества

Часто на практике мы встречаем несколько объектов, которые обладают схожими признаками. Условно их можно объединить в единую категорию, или класс. Например, футболистов, выходящих на поле играть за одну команду, называют составом. Апельсины, мандарины, лимоны входят в категорию цитрусовых, а черешня и вишня являются ягодами. В школьном классе по признаку успеваемости можно выделить группы отличников, хорошистов, троечников, а по месту рассадки – сидящих на 1-ом, 2-ом, 3-ем, последнем ряду. В математике для обозначения подобных категорий и объединений используется универсальный термин «множество».

Дадим определение понятию множества:

В качестве объектов могут выступать любые предметы и абстрактные понятия, в том числе точки, фигуры, уравнения, функции, числа и другие множества. Для обозначения множеств обычно используют большие латинские буквы. Объекты, входящие в состав множества, называются элементами множества. Пусть в множество А входят числа, большие 10, но меньшие 100. Тогда числа 15, 39, 85, 99.999, 27¾ будут являться элементами А, а числа 0, 5, 101, –10, 5.813 не будут его элементами. Если объект входит в множество, то для обозначения этого используется специальный символ ∈. Запись s∈R читается как «s– принадлежит множеству R».

Существует несколько способов описания множества. Простейший из них – это перечисление всех его элементов. Во множество футбольных команд, выигрывавших чемпионат мира по футболу в XX веке, входит всего 7 национальных сборных: Уругвай, Италия, Германия, Бразилия, Англия, Аргентина, Франция. Зададим перечислением множество, состоящее из двузначных чисел, делящихся без остатка на 11:

G={11; 22; 33; 44; 55; 66; 77; 88; 99}.

Этот способ не всегда удобен, так как во множество может входить и сто, и миллиард, и даже бесконечное число элементов. Поэтому существует и второй способ его задания, когда указывают так называемое характеристическое свойство элементов множества.

Если для множества указывают характеристическое свойство, то говорят, что оно задано описанием. Покажем на примере, как это записывается на языке математики:

А={а |а>2}.

До знака «равно» указывается обозначение множества. После в фигурных скобках ДО вертикальной черточки указывают обозначение элемента множества, а после – характеристическое свойство:

В этом примере во множество входят все числа, которые больше двух, например:

• 3;
• 100;
• 2,6;
• 61,82135;
• 5¾.

Если нам надо описать множество, в которое входят только натуральные числа, большие, 2, то следует указать два характеристических свойства:

• элементы множества больше 2;
• элементы множества – натуральные числа.

Делается это через запятую:

Большой буквой N обозначают множество натуральных чисел.

Теперь предположим, что мы хотим задать множество, состоящее из натуральных, чисел, которые больше 2, но меньше 500. Тогда с скобках надо указать три характеристических свойства:

Однако в данном случае можно было объединить первое и третье свойство в одно, используя такую запись:

А={а |2<а < 500, а∈N}.

Характеристические свойства можно указывать в любом порядке, это ни на что не влияет.

Итак, есть два способа, с помощью которых можно определять множество:

• перечисление;
• описание.

Для примера зададим множество H, состоящее из натуральных чисел, меньших 10, и перечислением, и описанием:

H={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} = {h | h∈N, h< 10}.

Выделяют конечные и бесконечные множества. Первые содержат ограниченное количество элементов и теоретически могут быть заданы перечислением. Вторые содержат бесконечное число элементов и могут быть заданы только описанием. В качестве примера можно привести бесконечные множества четных и нечетных чисел.

Бывают множества, состоящие из единственного элемента. Их называют одноэлементными, или синглетоном. Особый случай – множество, вовсе не содержащие элементов, так называемое пустое множество.

Можно привести следующие примеры пустых множеств из реальной жизни:

• множество людей, доживших до 200 лет (так как самый пожилой человек в истории, Жанна Кальман, прожила только 122 года);
• множество людей, видевших живыми и Николая II, и князя Ярослава Мудрого (так как Николай II родился 814 лет после смерти Ярослава Мудрого);
• множество африканских футбольных сборных, выигрывавших чемпионат мира (так как все его розыгрыши выигрывали либо европейские, либо южноамериканские команды);
• множество космонавтов, высадившихся на поверхность Венеры (так как ни одному человеку ещё не удалось побывать там).

Попробуйте сами придумать ещё несколько подобных примеров.

Для обозначения пустого множества используется значок ø. Приведем пример:

V={v| v< 10, v>1000}=ø.

Действительно, во множество V входят только числа, которые одновременно и больше 1000, и меньше 10. Но их не существует, поэтому V– пустое множество. Здесь мы использовали значок равенства между множествами.

Подмножество

Рассмотрим марафонский бег. Некоторые бегуны не смогут добежать до финиша и сойдут с дистанции. Всех остальных атлетов можно объединить в множество «финишировавших». Однако медали выдадут только трем спортсменам, показавшим наилучшее время. Эти счастливчики образуют множество «медалистов». Очевидно, что каждый медалист входит одновременно и в список добравшихся до финиша. На языке математики говорят, что множество «медалистов» является подмножеством множества «финишировавших». Дадим строгое определение понятию подмножество:

Для записи такого отношения используется специальный символ⊂. Записывается это так:

A⊂B.

Сразу отметим два важных замечания:

• множество является подмножеством самого себя;
• пустое множество является подмножеством любого другого множества.

Для графической иллюстрации отношений между множествами используют такой инструмент, как круги Эйлера.

Круги Эйлера – это условная схема, на которой каждое множество отображают кружочком или другой фигурой. При ее составлении соблюдается три правила:

• если у двух множеств есть общие элементы, то обозначающие их фигуры пересекаются;
• если у множеств нет общих элементов, то они не пересекаются на схеме;
• если одно множество является подмножеством другого, то фигура подмножества оказывается вложенной в фигуру своего множества.

Проще всего проиллюстрировать это на примере домашних питомцев:

Здесь показаны отношения 4 множеств:

• немецкие овчарки (желтый круг);
• собаки (зеленый круг);
• кошки (фиолетовый круг);
• домашние питомцы с кличкой «Лорд».

Всякая немецкая овчарка обязательно является собакой, поэтому желтый круг полностью входит в зеленый. С другой стороны, кошки и собаки – два разных биологических вида, и ни одно животное не может быть одновременно и кошкой, и собакой. Поэтому круги фиолетового и зеленого цвета не пересекаются. Наконец, некоторым (но не всем) домашним питомцам (и кошкам, и собакам, и, в частности, немецким овчаркам) хозяева дают кличку «Лорд». По этой причине голубой круг пересекает все остальные.

Над множествами можно совершать различные операции. Проиллюстрируем их с помощью кругов Эйлера. Пусть есть два множества, А и B, которые пересекаются:

Первая операция, которую над ними можно провести, называется объединением и обозначается значком ⋂.

M = A⋂B.

Следующая операция – пересечение, которая обозначается похожим, но перевернутым символом ⋃.

Р= A⋃B

Еще одна операция называется разностью множеств и обозначается дробной чертой .

K = АВ;

F = BA.

Хотя сегодня теория множеств лежит в основе большинства других разделов математики, сама она является довольно молодой дисциплиной. Долгое время главной проблемой при ее изучении были бесконечные множества. Дело в том, что известная математическая аксиома, «целое больше части», для бесконечных множеств не выполняется. Первым на это обратил внимание Галилей, который, сравнивая натуральные числа и их квадраты, вывел знаменитый парадокс Галилея.

В чём он заключается? Некоторые натуральные числа, но отнюдь не все, являются квадратами других натуральных чисел: 1, 4, 9, 16, 25, 36… По сути, есть «целое» – множество натуральных чисел, и его «часть» – множество целых квадратов. Значит, квадратов должно быть меньше, чем натуральных чисел.

С другой стороны, для натурального числа можно посчитать его квадрат. То есть на каждое одно натуральное число приходится ровно один квадрат. Значит, множества натуральных чисел и квадратов содержат одинаковое число элементов. Как же сам Галилей вышел из этого противоречия. Он сделал вывод: бесконечные множества просто нельзя сравнивать по количеству элементов в них.

(Этот фрагмент про парадокс Галилея не входит в школьную программу и вставлен просто как интересный факт про историю теории множеств).

Круги Эйлера были введены в математику в XVIII веке, а в 1881 году Джон Венн предложил схожую концепцию диаграмм Венна.

Лишь в 1873-1897 годах Георг Кантор при поддержке Рихарда Дедекинда формирует первую теорию множеств, которую со временем стали называть наивной. Дело в том, что в ней в 1901 году Бертраном Расселом был обнаружен парадокс, который породил настоящий кризис оснований математики. Для выхода из него была разработана новая, аксиоматическая теория множеств.

Числовые выражения

В младших классах вы уже сталкивались с числовыми выражениями.

Важно заметить, что числовое выражение определяет, какие арифметические операции и в каком порядке необходимо выполнить, поэтому не всякий набор чисел и арифметических знаков является числовым выражением. Запись 5+:7 – это не числовое выражение, а просто беспорядочный набор символов, так как она не определяет порядок сложения и деления чисел 5 и 7.

Числовое выражение задает строгий, однозначный алгоритм выполнения вычислительных операций. Если его выполнить, то в результате получится найти значение выражения.

Операции умножения и деления имеют приоритет перед операциями сложения и вычитания, также раньше выполняются действия в скобках. Рассмотрим пример:

13,2 – 5 • (9 – 12:3 + (6•2 – 10)).

В этом выражении 7 арифметических знаков, поэтому надо выполнить 7 операций. Сначала посмотрим на скобки. Первые скобки (подчеркнуто синей линией) начинаются после 9 и заканчиваются в самом конце. Однако внутри них есть ещё одни скобки (красная линия), поэтому операции в них имеют приоритет:

Теперь с учетом скобок определим последовательность операций:

Найдем значение выражения, последовательно выполнив все операции:

 13,2 – 5 • (9 – 12:3 + (6•2 – 10)) =

=13,2 – 5 • (9 – 12:3 + (12 – 10)) =

=13,2 – 5 • (9 – 12:3 + 2) =

=13,2 – 5 • (9 – 4 + 2) =

=13,2 – 5 • (5 + 2) =

=13,2 – 5 • 7 =

=13,2 – 35 =

=13,2 – 35 =

= –21,8.

Напомним, что знак умножения может выглядеть как точка, как крестик или вовсе опускаться:

12•(5+3)=12✕(5+3)=12(5+3)=96.

Вместо знака деления может использоваться дробная черта.

Возможны случаи, когда выражение записано корректно, но при этом не имеет смысла:

5 – 8:(4•5–2•10).

Попробуем высчитать его значение:

5 – 8:(4•5–2•10) =

= 5 – 8:(20–2•10) =

= 5 – 8:(20–20) =

= 5 – 8:0

Здесь в результате первых 3 действий получим выражение 5-8:0, а деление на ноль не имеет смысла.

Числовые выражения можно сравнивать друг с другом:

7,5•4 – 5> 80:4+2,

так как 7,5•4 – 5 = 27, 80:4+2 = 22, а 27> 22. Некоторые неравенства можно записать, даже не вычисляя значения выражения. Например, так как произведение двух положительных чисел больше нуля, а произведение двух чисел, меньших единицы, также меньше 1, верными будут неравенства:

• 0 < 0,5•0,2< 1;
• 0 < 0,9536•0,12687< 1;
• 0 < 0,646236635•(568/632)< 1.

Приведем ещё несколько примеров неравенств, верность которых можно проверить без вычислений:

• 0,95•0,64 < 0,95+0,01 (В левой части число 0,95 уменьшается, так как умножается на число, меньшее единицы (0,64). То же самое число 0,95 в правой части, наоборот, увеличивается, так как к нему прибавляется положительное число).
• –18,325/4,35 < (1+2+3+4+5+6)/53 (Левое выражение отрицательное, а правое – положительное).
• 145:1,125 < 145•1,53513 (Деление на число, большее единицы, уменьшает значение выражение, а умножение увеличивает).
• 0,2551+0,3961< 0,2552+0,3962 (И слева, и справа ровно по 2 слагаемых. Но для каждого левого слагаемого есть слагаемое справа, которое больше его: 0,2551< 0,2552; 0,3961 < 0,3962. Но сумма больших слагаемых всегда больше, чем сумма меньших слагаемых).

Выражения с переменными

Существуют и более сложные выражения, в которых помимо цифр содержатся и буквы, означающие какие-либо переменные. Рассмотрим пример. Пусть мебельный завод ежедневно производит 120 шкафов и 57 диванов, которые у него скупает магазин по цене 5000 и 6000 рублей соответственно. Какой доход получит завод за p дней?Его можно посчитать, вычислив значение выражения

p·(5000·120+6000·57)

Естественно, что при разных значениях р будет получаться разных доход. Выражение p·(5000·120+6000·57) называют выражением с переменной, а сама буква p называется переменной.

Для записи значения выражения в зависимости от значения переменной могут использоваться таблицы. Пусть дано выражение 2h+3. Для него можно составить таблицу:

Похожие таблицы использовались ещё за 2 тыс. лет до н. э. в Вавилоне. Жрецы записывали в них значения квадратов натуральных чисел. Сегодня такая табличка выглядела бы так:

Выражение может содержать и более одной переменной. Приведем примеры:

• G²+R²;
• d+8e;
• ws+2s;
• z/5+h/2.

Иногда переменная в выражении не может принимать любое значение. Рассмотри запись L/(L–10). При любом L≠ 10 мы сможем вычислить значение этого выражения. Однако при L = 10 получается дробь 10/0. Так как деление на ноль в алгебре не допускается, то говорят, что выражение L/(L–10) не имеет смысла при L = 10. При любом же другом значении Lоно имеет смысл.

Выражения с переменными помогают математикам записывать числа определенного вида. Так, любое четное число можно представить выражением 2k, где k– натуральное число (то есть k∈N). Нечетные числа можно представить выражением 2v+1, где v– натуральное число.

Докажем с помощью выражений следующее утверждение:

Пусть есть произвольное четное число, которое мы представим выражением 2k. Произвольное нечетное число запишем как 2v+1.

Далее запишем их сумму:

2k+(2v+1) =2k+2v+1 = 2(k+v)+1.

Так как k и v являются натуральными числами, то и их сумма k+v также является натуральным числом. Тогда выражение 2(k+v)+1 является нечетным числом.

Любое двузначное число можно представить в виде выражения

10a+b,

где a и b– это количество десятков и единиц. Например:

• 69 = 610+9;
• 17 = 110+7;
• 92 = 910+2.

По аналогичной логике трехзначные числа можно представлять выражением

100a+10b+c,

а четырехзначные суммой

1000a+100b+10c+d.

Проиллюстрируем это на примерах:

• 562 = 5100+6·10+2;
• 2684 = 21000+6·100+8·10+4.

Такие записи чисел помогают решать весьма заковыристые задачки. Рассмотрим одну из них:

К двузначному числу слева приписали цифру 6. В результате число увеличило на 672. Чему оно было равно?

Решение. Пусть неизвестное двухзначное число состоит из цифр a и b (ab). Тогда его можно представить суммой 10a+b. После того, как к нему подрисовали шестерку, оно превратилось в число ab6, которое также можно представить как сумму 100a+10b+6. Зная, что число увеличилось на 672, можно записать уравнение:

10a+b+672 = 100a+10b+6.

Перенесем слагаемые 10a и b вправо, а 6 – влево:

672–6 = 100a+10b–10a–b;

666 = 90a+9b.

Поделим обе части на 9:

74 = 10a+b.

В результате нам удалось найти сумму 10a+b, которая и является исходным двузначным числом. Ответ: 74.

Проверим это. Если исходное число равно 74, то после приписывания слева шестерки оно превращается в 746. Их разница равна:

746–74 = 672,

что подтверждает правильность ответа.

Вопросы
занятия:

· 
повторить
основные действия, которые можно выполнять над рациональными числами;

· 
ввести
понятия «числовое выражение» и «значение числового выражения»;

· 
привести
примеры нахождения значений числовых выражений;

· 
решить
задачу.

Материал
урока

Ранее
вы уже изучали различные действия над рациональными числами. Это действие сложение,
вычитание, умножение и деление.

Действия
сложение, вычитание и умножение можно выполнять для любых чисел, а вот деление
– нет.

Определение.

Арифметикой
(что с греческого означает «число») называется раздел математики, изучающий
числа, их отношения и свойства.

Давайте
решим следующую задачу.

На
сколько шагов больше сделает ребёнок, чем взрослый, на расстоянии 240 м, если
длина шага у ребёнка равна 0,3 м, а у взрослого – 0,8 м?

Решение.

Чтобы
найти количество шагов, которые сделал ребёнок, нужно 240 м разделить на длину
шага ребёнка – 0,3 м, а чтобы найти количество шагов, которые сделал взрослый,
нужно 240 м разделить на длину шага взрослого – нуль 0,8 м.

240 : 0,3 = 800

240 : 0,8 = 300

А
тогда, чтобы ответить на вопрос задачи, мы от количества шагов ребёнка отнимем
количество шагов взрослого, то есть:

800
– 300 = 500 шагов.

То
есть ребёнок сделал на 500 шагов больше взрослого.

Решая
задачу, мы получили числовое выражение, выполнив действия которого,
нашли значение этого выражения.

Таким
образом, сформулируем следующие определения.

Числовым
выражением называется запись, составленная из чисел, знаков
арифметических действий и скобок, указывающих на порядок выполнения действий.

Значением
числового выражения называется число, которое получается
при выполнении всех действий числового выражения.

Пример.

Найти
значение выражения.

Найдём
значение следующего выражения.

Пример.

Давайте
найдём значение следующего числового выражения.

Пример.

Пример.