Как найти значение функции информатика

Двадцать первое задание из ЕГЭ по информатике — довольно серьёзно задание, которое требует понимания основ программирования и использования функций.

Все сегодняшние задачи из ЕГЭ по информатике будем рассматривать на языке программирования Паскаль.

Что такое Функция в языке программирования Паскаль ?

Функция – это подпрограмма, результатом работы которой является определенное значение.

Рассмотрим пример функции, которая суммируем два числа!

var a, b, summa: integer;

// Функция, которая суммирует два числа.
function F(x:integer; y:integer):integer;
begin
F := x + y;
end; 

BEGIN
Readln(a);
Readln(b);

summa := F(a, b);

WriteLn(summa);
END.

Здесь функция F, которая суммирует два числа.

В главной часте программы, которая заключена между BEGIN и END, запрашиваются два числа с клавиатуры: a и b! Эти два числа передаются в функцию F. В функции эти числа кладутся в локальные переменные x и y. Переменные x и y суммируются, и результатом работы функции будет сумма переменных a и b.

Результат работы функции будет помещён в переменную summa (В строке summa := F(a, b)).

Таким образом, в переменной summa будет сумма двух переменных a и b.

Значение, которое вернёт функция, указано в строчке F := x + y;

Функции позволяют сократить программный код для однотипных расчётов.

Отличие функций от процедур в языке программирования Паскаль заключается в том, что функция возвращает значение, которое можно присвоить переменной, а процедура — нет.

Функции так же могут попасться и в 11 задании из ЕГЭ по информатике, поэтому понимание функций очень важно на экзамене по информатике.

Тренировочные задачи 21 задания из ЕГЭ по информатике

Задача (стандартная)

Определите, при каком наименьшем значении b в результате выполнения следующего алгоритма будет напечатано число 100 (Для Вашего удобства алгоритм представлен на пяти языках):

DIM A, B AS INTEGER
INPUT B
A = 0
WHILE F(A) < B
    A = A + 1
WEND
PRINT A

FUNCTION F(x)
DIM I, S, AS INTEGER
    S = 0
    I = 1
    WHILE I <= x
       S = S + 5
       I = I + 1
    WEND
    F = S
END FUNCTION

var a, b :integer;
function F(x :integer): integer;
var i, s : integer;
begin
    s := 0; i := 1;
    while i <= x do
    begin
        s := s + 5;
        i := i + 1;
    end;
    F := s
end;
BEGIN
    readln(b);
    a := 0;
    while F(a) < b do
        a := a + 1;
    write(a);
END.

#include 
using namespace std;
long F(long x) {
    long i, s;
    s = 0;
    i = 1;
    while(i <= x) {
        s = s + 5;
        i = i + 1;
    }
    return s;
}
int main() {
    int a, b;
    cin >> b;
    a = 0;
    while (F(a) < b)
        a = a + 1;
    cout << a << endl;
    return 0;
}

алг
нач
  цел a, b
  ввод b
  a := 0
  нц пока F(a) < b
    a := a + 1
  кц
  вывод a
кон

алг цел F(цел x)
нач
  цел i, s
  s := 0
  i := 1
  нц пока i <= x
    s := s + 5
    i := i + 1
  кц
  знач := s
кон

def F(x)
    s = 0
    i = 1
    while i <= x:
        s = s + 5
        i = i + 1
    return s
b = int(input())
a = 0
while F(a) < b:
    a = a + 1
print(a)

Решение:

Чтобы программа напечатала число 100, в переменной a по окончанию программы должно быть число 100.

Переменная a увеличивается в цикле while, т.е. пока значение функции F(a) меньше того числа, которое пользователь ввёл с клавиатуры (переменной b), Цикл будет прибавлять к переменной a единицу.

В последний раз, когда Цикл while в основной части программы пройдёт проверку (F(a) < b), значение переменной a = 99. Ведь к переменной a прибавится 1 внутри цикла, и как раз, программа напечатает 100.

Найдём, чему будет равно значение функции при последнем проходе Цикла (при a = 99).

Переменная x внутри функции олицетворяет переменную a, которая передаётся в виде аргумента в функцию F.

Тогда и x = 99, следовательно, цикл while (внутри функции) будет повторятся 99 раз. После окончания цикла (внутри функции) в переменной s будет значение s = 0 + 99 * 5 = 495. Это число вернёт функция в виде значения, и это значение будет участвовать в условии цикла while в главной части программы.

Нужно найти наименьшее значение b, чтобы условие 495 < b выполнялось (это будет последний проход ЦИКЛА).

Понимаем, что b = 496.

Ответ: 496.

Потренируемся решать ещё примерные задачи 21 задания из ЕГЭ по информатике.

Задача (закрепление материала)

Определите при каком наименьшем значении b в результате выполнения следующего алгоритма будет напечатано число 20 (для Вашего удобства алгоритм представлен на пяти языках):

DIM A, B AS INTEGER
INPUT B
A = 0
WHILE F(A) < B
     A = A + 1
WEND
PRINT A

FUNCTION F(x)
    IF x = 0
       F = 0
    ELSE
       F = 7 + F(x-1)
    END IF
END FUNCTION

var a, b : integer;
function F(x:integer):integer;
begin
  if x = 0 then
    F := 0
  else
    F := 7 + F(x-1)
end;
BEGIN
  readln(b);
  a := 0;
  while F(a) < b do
    a := a + 1;
  write(a);
END.    

#include 
using namespace std;
long F(long x) {
  if(x == 0)
    return 0;
  else
    return 7 + F(x - 1);
}
int main() {
  int a, b;
  cin >> b;
  a = 0;
  while (F(a) < b)
    a = a + 1;
  cout << a << endl;
  return 0;
}

алг
нач
  цел a, b
  ввод b
  a := 0
  нц пока F(a) < b
    a := a + 1
  кц
  вывод a
кон

алг цел F(цел x)
нач
  если x > 0 то
    знач := 0
  иначе
    знач := 7 + F(x-1)
  все
кон

def F(x):
  if x == 0:
    return 0
  else:
    return 7 + F(x-1)
b = int(input())
a = 0
while F(a) < b:
  a = a + 1
print(a)

Решение:

Чтобы программа напечатала число 20, нужно, чтобы при последнем проходе цикла while в главной части программы условие F(a) < b было верно при a = 19.

Число 19 передаём в функцию, посмотрим какое значение вернёт функция.

Локальная переменная x после того, как будет запущена функция F, будет равна 19. Условие отработает по ветке else, т.к. 19 неравно 0. Значит функция F запускает ещё раз функцию F но с другим параметром 18 (19 — 1). И т.д., пока параметр передаваемый в функцию не будет равен нулю.

Получается такая картина:

F(19) = F(18) + 7
F(18) = F(17) + 7
F(17) = F(16) + 7
…
F(1) = F(0) + 7
F(0) = 0

При запуске F(19) функция возвращает сумму девятнадцати семёрок. F(19) = 19 * 7 = 133.

Т.е. последний раз, когда выполняется цикл в главной части программы должно выполнится условие 133 < b. Понимаем, что наименьшее значение b должно быть 134.

Ответ: 134

Важный пример для изучения 21 задания из ЕГЭ по информатике.

Задача (Минимум функции)

Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма (для Вашего удобства алгоритм представлен на пяти языках):

DIM A, B, T, M, R AS INTEGER
A = -20: B = 20
M = A : R = F(A)
FOR T = A TO B
    IF F(T) <= R THEN
        M = T
        R = F(T)
    END IF
NEXT T
PRINT M + 6

FUNCTION F(X)
    F = (x * x - 16) * (x * x - 16) + 3
END FUNCTION

var a, b, t, M, R :integer;
function F(x:integer):integer;
begin
    F := (x * x - 16) * (x * x - 16) + 3
end;
BEGIN
    a: = -20;  b := 20;
    M := a; R := F(a);
    for t := a to b do
        if F(t) <= R then
        begin
            M := t;
            R := F(t);
        end;
    write(M + 6);
END. 

#include 
using namespace std;
long F(long x) {
    return (x * x - 16) * (x * x - 16) + 3;
}
int main() {
    long a, b, t, M, R;
    a = -20; b = 20;
    M = a; R = F(a);
    for(t = a; t <= b; t++) {
        if(F(t) <= R) {
            M = t;
            R = F(t);
        }
    }
    cout << M + 6 << endl;
    return 0;
}

алг
нач
  цел a, b, t, M, R
  a := -20; b := 20
  M := a; R := F(a)
  нц для t от a до b
      если F(t) <= R то
        M := t
        R := F(t)
      все
  кц
  вывод M + 6
кон

алг цел F(цел x)
нач
    знач := (x*x - 16) * (x*x - 16) + 3
кон

def F(x):
    return (x * x - 16) * (x * x - 16) + 3
a = -20; b = 20
M = a; R = F(a)
for t in range(a, b+1):
    if (F(t) <= R):
        M = t; R = F(t)
print(M + 6)

Решение:

В главной части программы находится цикл FOR. В нём переменная t проходит целые числа от -20 до 20. И эта переменная t является аргументов в функции F.

В теле цикла идёт условие. Это условие ищет наименьшее значение для функции F. Если мы нашли меньшее значение для функции F, чем то значение, которое сейчас считается наименьшим и находится в переменной R, то это значение будет считаться наименьшим.

Таким образом, после прохождения всего цикла, в переменной R будет минимум всей функции F! А в переменной M значение переменной t, при котором этот минимум настаёт.

Чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо найти минимум функции F = (x² — 16) * (x² — 16) + 3.

Обозначим z = x² — 16. Тогда функция примет вид F = z² + 3. Минимум этой функции достигается при z = 0. Значит, x² — 16 = 0 => (x — 4)(x + 4) = 0. Т.е. минимум функции достигается при двух значениях x = 4, x = -4.

Примечание: Минимум можно искать любым способом, вплоть до нахождения производной!

Т.к. переменная t идёт в цикле FOR от минуса к плюсу, а неравенство внутри цикла нестрогое, то в переменной M будет второе значение (4!) после прохождения всего цикла!

Тогда ответ получается равен 10!

Ответ: 10

Задачи 21 задания из реального ЕГЭ по информатике

Рассмотрим задачи, которые были на реальном экзамене по информатике в 2019 и 2020 годах.

Задача (ЕГЭ по информатике, Москва, 2019)

Напишите в ответе число, которое будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма. Для Вашего удобства программа приведена на четырёх языках программирования.

DIM A, B, T, M, R AS LONG
A = -20 : B = 20
M = A : R = F(A)
FOR T = A TO B
    IF F(T) < R THEN
        M = T
        R = F(T)
    END IF
NEXT T
PRINT M + R

FUNCTION F(x)
    F = 2 * (x * x - 1) * (x * x - 1) + 5
END FUNCTION

def F(x):
    return 2 * (x * x - 1) * (x * x - 1) + 5
a = -20
b = 20
M = a
R = F(a)
for t in range(a, b + 1):
    if F(t) < R:
        M = t
        R = F(t)
print(M + 18)

var a, b, t, M, R :integer;
function F(x:integer):integer;
begin
    F := 2 * (x * x - 1) * (x * x - 1) + 5
end;

begin
    a := -20; b := 20;
    M := a ; R := F(a);
    for t := a to b do
        if (F(t) < R) then begin
            M := t; R := F(t)
        end;
    write(M + 18)
end.

#include 
using namespace std;
int F(int x) {
    return 2 * (x * x - 1) * (x * x - 1) + 5;
}
int main() {
    int a, b, M, R;
    a = -20;
    b = 20;
    M = a; R = F(a);
    for(int t = a; t <= b; t++)
        if(F(t) < R) {
            M = t;
            R = F(t);
        }
    cout << M + 18;
    return 0;
}

Решение:

Задача похоже на предыдущую. Снова по окончании цикла FOR в переменной R будет минимум функции F, а в переменной M значение, при котором функция F достигает минимума.

Найдём минимум для функции F = 2 * (x² — 1) * (x² — 1) + 5. Обозначим z = x² — 1. Тогда функция F = 2 * z² + 5 минимум принимаем в значении z = 0. Следовательно, минимум будет достигаться x² — 1 = 0. Т.е. при x = -1 и при x = 1 достигается минимум функции.

Переменная t в цикле FOR перебирает значение от минусовых значений к плюсовым значениям. Неравенство внутри тела цикла строгое! Значит, в переменной M будет минусовое значение.

В ответе напишем -1 + 18 = 17.

Ответ: 17

Задача (ЕГЭ по информатике, Москва, 2020)

Напишите в ответе число, которое будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма. Для Вашего удобства программа приведена на 4 языках программирования.

DIM A, B, T, M, R AS LONG
A = -20: B = 20
M = A: R = F(A)
FOR T = A TO B
    IF F(T) < R THEN
        M = T
        R = F(T)
    END IF
NEXT t
PRINT M + R

FUNCTION F(x)
    F = 2 * (x * x - 9) * (x * x - 9) + 5
END FUNCTION

def F(x):
    return 2 * (x * x - 9) * (x * x - 9) + 5
a = -20
b = 20
M = a
R = F(a)
for t in range(a, b+1):
    if F(t) < R :
        M = t
        R = F(t)
print(M + 18)

var a, b, t, M, R : integer;
function F(x:integer) : integer;
begin
    F := 2 * (x * x - 9) * (x * x - 9) + 5
end;
begin
    a := -20; b := 20;
    M := a ; R := F(a);
    for t := a to b do
        if (F(t) < R) then begin
            M := t; R := F(t)
        end;
    write(M + 18);
end.

#include 
using namespace std;
int F(int x) {
    return 2 * (x * x - 9) * (x * x - 9) + 5;
}
int main() {
    int a, b, M, R;
    a = -20;
    b = 20;
    M = a; R = F(a);
    for(int t = a; t <= b; t++)
        if(F(t) < R) {
            M = t;
            R = F(t);
        }
    cout << M + 18;
    return 0;
}

Решение:

Опять такая же ситуация, как в предыдущих двух задачах.

Найдём при каких значениях x достигается минимум функции F = 2 * (x² — 9) * (x² — 9) + 5.

Минимум функции F достигается при x = 3 и x = -3.

Переменная t перебирает целые числа от минусовых значений до плюсовых. Неравенство внутри цикла строгое, значит, после окончания цикла переменная M = -3.

Ответ будет -3 + 18 = 15.

Ответ: 15

На этом завершился урок по подготовке 21 задания из ЕГЭ по информатике. Удачи!

Цели урока:

• научить строить графики элементарных
  математических функций с помощью табличного
  процессора Excel;
• показать возможности использования программы
  Excel для решения задач по математике;
• закрепить навыки работы с Мастером диаграмм.

Задачи урока:

• образовательная – знакомство учащихся с
  основными приемами построения графиков функций
  в программе Excel;
• развивающие – формирование у учащихся
  логического и алгоритмического мышления;
  развитие познавательного интереса к предмету;
  развитие умения оперировать ранее полученными
  знаниями; развитие умения планировать свою
  деятельность;
• воспитательные – воспитание умения
  самостоятельно мыслить, ответственности за
  выполняемую работу, аккуратности при выполнении
  работы.

Тип урока:

• комбинированный

Учебники:

Информатика. Базовый курс 2-е издание/Под ред.
С.В. Симоновича. — СПб.: Питер, 2004.-640с.:ил.

Технические и программные средства:

• Персональные компьютеры;
• Приложение Windows – электронные таблицы Excel.
• Проектор

Раздаточный материал:

• Карточки с индивидуальными заданиями на
  построение графиков функций.

План урока.

1. Организационный момент – 3 мин.
2. Проверка домашнего задания –10 мин.
3. Объяснение нового материала –20 мин.
4. Применение полученных знаний –20 мин.
5. Самостоятельная работа. – 20 мин
6. Подведение итогов урока. Домашнее задание – 7
   мин.

Ход урока

Организационный момент

Проверка готовности учащихся к уроку, отметка
отсутствующих, объявление темы и цели урока

Проверка домашнего задания. (фронтальный
опрос)

Вопросы для проверки

1. Что представляет собой рабочая область
   программы Excel?
2. Как определяется адрес ячейки?
3. Как изменить ширину столбца, высоту строки?
4. Как ввести формулу в Excel?
5. Что такое маркер заполнения и для чего он нужен?
6. Что такое относительная адресация ячеек?
7. Что такое абсолютная адресация ячеек? Как она
   задается?
8. Что такое колонтитулы? Как они задаются?
9. Как задать поля печатного документа? Как
   изменить ориентацию бумаги?
10. Что такое функциональная зависимость у = f(х)?
    Какая переменная является зависимой, а какая
    независимой?
11. Как ввести функцию в Excel?
12. Что такое график функции у = f(х)?
13. Как построить диаграмму в Excel?

Объяснение нового материала.

При объяснении нового материала может быть
использован файл Excel с шаблонами задач (Приложение 1), который
выводится на экран с помощью проектора

Сегодня мы рассмотрим применение табличного
процессора Excel для графиков функций. На
предыдущих практических вы уже строили
диаграммы к различным задачам, используя Мастер
диаграмм. Графики функций, так же как и диаграммы
строятся с помощью Мастера диаграмм программы
Excel.

Рассмотрим построение графиков функций на
примере функции у = sin x.

Вид данного графика хорошо известен вам по
урокам математики, попробуем построить его
средствами Excel.

Программа будет строить график по точкам: точки
с известными значениями будут плавно
соединяться линией. Эти точки нужно указать
программе, поэтому, сначала создается таблица
значений функции у = f(х).

Чтобы создать таблицу, нужно определить

• отрезок оси ОХ, на котором будет строиться
  график.
• шаг переменной х, т.е. через какой промежуток
  будут вычисляться значения функции.

Задача 1.Построить график функции у = sin
x на отрезке [– 2; 2] с шагом h = 0,5.

1. Заполним таблицу значений функции. В ячейку С4
введем первое значение отрезка: – 2
2. В ячейку D4 введем формулу, которая будет
добавлять к лево-стоящей ячейки шаг: = В4 + $A$4
3. Маркером заполнения ячейки D4 заполним влево
ячейки строки 4, до тех пор, пока получим значение
другого конца отрезка: 2.
4. Выделим ячейку С5, вызовем Мастер функций, в
категории математические выберем функцию SIN, в
качестве аргумента функции выберем ячейку С4.
5. Маркером заполнения распространим эту формулу
в ячейках строки 5 до конца таблицы.

Таким образом, мы получили таблицу аргументов
(х) и значений (у) функции у = sin x на отрезке [-2;2] с
шагом h = 0,5 :

6. Следующий шаг. Выделим таблицу и вызовем
Мастер диаграмм. На первом шаге выберем во
вкладке Нестандартные Гладкие графики.
7. На втором шаге во вкладке Ряд выполним:

В поле Ряд необходимо выделить ряд х и нажать на
кнопку “Удалить” (график изменений х нам не
нужен. График функции – это график изменения
значений у)

В поле Подписи оси Х нажать на кнопку.
Выделить в таблице ячейки со значениями х и
нажмите на кнопку . Подписи по горизонтальной оси
станут такими, как у нас в таблице.

8. На третьем шаге заполним вкладку Заголовки.

9. Пример полученного графика.

На самом деле пока это мало похоже на график
функции в нашем привычном понимании.

Для форматирования графика:

• Вызовем контекстное меню оси ОУ. Затем, выберем
  пункт Формат оси…. Во вкладке Шкала установим:
  цена основного деления: 1. Во вкладке Шрифт
  установим размер шрифта 8пт.
• Вызовем контекстное меню оси ОХ. Выберем пункт
  Формат оси….

Во вкладке Шкала установим: пересечение с осью
ОУ установите номер категории 5 (чтобы ось ОУ
пересекала ось ОХ в категории с подписью 0, а это
пятая по счету категория).

Во вкладке шрифт установите размер шрифта 8пт.
Нажмите на кнопку ОК.

Остальные изменения выполняются аналогично.

Для закрепления рассмотрим еще одну задачу на
построение графика функций. Эту задачу
попробуйте решить самостоятельно, сверяясь с
экраном проектора.

Применение полученных знаний.

Пригласить к проектору студента и
сформулировать следующую задачу.

Задача 2. Построить график функции у = х³
на отрезке [– 3; 3] с шагом h = 0,5.

1. Создать следующую таблицу: Создать таблица
значений функции у = f(х).

2. В ячейку С4 ввести первое значение отрезка: –3
3. В ячейку D4 ввести формулу, которая будет
добавлять к лево-стоящей ячейки шаг: = В4 + $A$4
4. Маркером заполнения ячейки D3 заполнить влево
ячейки строки 3, до тех пор, пока не будет получено
значение другого конца отрезка: 3.
5. В ячейку С5 ввести формулу вычисления значения
функции: = С4^3
6. Маркером заполнения скопировать формулу в
ячейки строки 5 до конца таблицы.

Таким образом, должна получиться таблица
аргументов (х) и значений (у) функции у = х³ на
отрезке [–3;3] с шагом h = 0,5:

7. Выделить таблицу и вызвать мастер диаграмм.
На первом шаге выбрать во второй вкладке Гладкие
графики.
8. На втором шаге во вкладке Ряд выполнить:

9. На третьем шаге заполнить вкладку Заголовки.

10. Пример полученного графика:
11. Оформить график.
12. Установить параметры страницы и размеры
диаграмм таким образом, что бы все поместилось на
одном листе альбомной ориентации.
13. Создать колонтитулы для данного листа (Вид
Колонтитулы…):
14. Верхний колонтитул слева: график функции у = x³

Сохранить документ своей папке под именем
График.

Самостоятельная работа.

Работа по карточкам с индивидуальными
заданиями. (Приложение 2)

Пример карточки, с задачей в общем виде,
выводится на экран с помощью проектора.

1. Построить график функции y=f(x) на отрезке [a;b] с
шагом h=c
2. Установить параметры страницы и размеры
графика таким образом, что бы все поместилось на
одном листе альбомной ориентации.
3. Создать колонтитулы для данного листа (Вид
Колонтитулы…):

• Верхний колонтитул слева: график функции y=f(x)
• Нижний колонтитул в центре: ваши Ф.И.О. и дата

4. Сохранить в своей папке под именем “Зачетный
график”
5. Вывести документ на печать.

После выполнения задания правильность каждого
варианта проверяется с помощью проектора.

Подведение итогов.

Домашнее задание.

Оценки за урок.