Как найти жесткость пружины по графику колебаний

1. По результатам проведенных измерений
построить проходящий через начало
координат график зависимости квадрата
периода колебаний

от массыm,предварительно рассчитав,
для каждого значения m.Выбрав одну из полученных в эксперименте
точек, лежащую на усредненной прямой,
рассчитать коэффициент жесткости
пружины по формуле

.

2. Оценить погрешность полученного
результата. В предположении, что ошибка
в определении числа колебаний
отсутствовала, эту погрешность можно
рассчитать по формуле

Ошибка определения времени 10 колебаний
определяется как

.

Систематическую погрешность определения
времени
,
связанную с конечной скоростью реакции
человека, можно принять равной
0,1 с(приборной
ошибкой в нашем случае можно пренебречь
по сравнению с этой величиной).

Случайную ошибку
следует рассчитать по методу Стьюдента:

Для числа колебаний n=4и доверительной вероятностиP=0,95=3,2Окончательный
результат записать в таблицу 2. Сравнить
полученное значение коэффициента
жесткости пружины с результатом,
полученным ранее.

Контрольные вопросы

1. Какие деформации называются упругими?
Сформулируйте закон Гука.

2. Какие колебания называются свободными?

3. Какой функцией описываются гармонические
колебания?

4. Составьте дифференциальное уравнение
колебаний груза на пружине. Какой вид
имеет решение этого уравнения?

5. Получите формулу для периода колебаний
пружинного маятника.

6. Чем можно объяснить различие
в значениях
коэффициента жесткости, полученных
разными методами?

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики.—М.:
Высш. шк., 1989.

2. Савельев И.В. Курс физики.—М.:
Наука, 1989—Т. 2.

3. Большова К.М., Пустовалов Г.Е. Краткий
курс общей физики.-М: Изд.МГУ, 1982.

Работа 5

ИЗУЧЕНИЕ СВОБОДНЫХ
КОЛЕБАНИЙ

ФИЗИЧЕСКОГО
МАЯТНИКА

Цель работы. Определение момента
инерции физического маятника по периоду
его малых колебаний и приведенной длине.

Введение

Математическим маятником называется
идеализированная система, состоящая
из невесомой нерастяжимой нити, на
которой подвешена масса, сосредоточенная
в одной точке. Достаточно хорошим
приближением к математическому маятнику
служит небольшой тяжелый шарик,
подвешенный на длинной тонкой нити.

Если колеблющееся тело нельзя представить
как материальную точку, маятник называется
физическим. Всегда можно подобрать
математический маятник, синхронный
данному физическому, т. е. такой
математический маятник, период колебаний
которого равен периоду колебаний
физического маятника. Длина такого
математического маятника называется
приведенной длиной физического маятника.

Выведем формулу периода колебаний
физического маятника. На рис. 3 точка О—
след горизонтальной оси вращения, точка
В — центр масс физического маятника.
Следует отметить, что в однородном поле
сил тяжести центр инерции тела и его
центр масс совпадают.

При отклонении маятника от положения
равновесия на угол возникает вращательный момент, стремящийся
вернуть маятник в положение равновесия.
Этот момент равен

(1)

где m—масса
физического маятника,
d—расстояние
от оси вращения до центра масс маятника,—угловое
отклонение тела, отсчитываемое от
положения равновесия. Ограничимся
рассмотрением малых колебаний. При
малыхугловое перемещение можно рассматривать
как вектор, лежащий на оси вращения,
направление которого связано с
направлением поворота тела из положения
равновесия в заданное правилом правого
винта.

При малых углах можно принятьесливыражено в радианах, и записать формулу
(1) следующим образом

(1à)

Учитывая, что векторы
иантипараллельны, следует величинам
проекций вращающего момента и углового
перемещения на ось вращения приписать
противоположные знаки. Тогда формула
(1а) примет вид

(2)

Используем основной закон динамики
вращательного движения тела относительно
неподвижной оси, записав его в проекциях
на ось вращения:

(3)

где J — момент
инерции тела относительно оси вращения,
а—угловое
ускорение, причем

Подставляя
в формулу (3) момент силы из формулы (2),
получим уравнение движения маятника

(4)

Решение полученного дифференциального
уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами можно записать в виде

(5)

ãäå
àèпостоянные,
определяемые начальными условиями.

Величины
и
называют соответственно амплитудой и
фазой колебания, а₀
начальной фазой.
Уравнение (5) является уравнением
гармонического колебательного движения,
а величина₀циклической собственной частотой
колебания. По истечении времени
фаза получает приращение,
а тело возвращается в исходное положение
с сохранением направления движения.
ВеличинаTназывается
периодом колебания. Таким образом,
период колебания физического маятника
определяется формулой

(6)

Известно, что период колебаний
математического маятника записывается
в виде

Сравнивая эту формулу с формулой (6),
делаем вывод, что математический маятник
будет иметь тот же период колебаний,
что и данный физический, если длина
математического маятника

(7)

Это и есть формула приведенной длины
физического маятника.

Дано:

m=400 г=0.4 кг.m=400,г = 0.4,кг.

Найти:

k−?k-?

Решение:

По графику зависимости смещения от времени на рис. 18 найдём период колебаний заданного пружинного маятника:

T=1 с.T=1,с.

Период колебаний пружинного маятника вычислим по формуле:

T=2πmk,T=2pisqrt{dfrac{m}{k}},

где mm — масса груза маятника, kk — коэффициент упругости пружины.

Возведём в квадрат обе части последнего уравнения и найдём жёсткость пружины маятника k:k:

T2=4π2mk;T^2=4pi^2dfrac{m}{k};

k=4π2mT2.k=dfrac{4pi^2m}{T^2}.

Подставим численные значения физических величин и вычислим жёсткость пружины маятника k:k:

k=4⋅3.142⋅0.412=15.8Нм≈16Нм.k=dfrac{4cdot 3.14^2cdot 0.4}{1^2}=15.8dfrac{Н}{м}approx 16dfrac{Н}{м}.

Ответ: k=16Нм.k= 16dfrac{Н}{м}.

Цель урока: проверить справедливость закона Гука для пружины динамометра и измерить коэффициент жесткости этой пружины, рассчитать погрешность измерения величины.

Задачи урока:

1. образовательные: умение обрабатывать и объяснять результаты измерений и делать выводы Закрепление экспериментальных умений и навыков
2. воспитательные: вовлечение учащихся в активную практическую деятельность, совершенствование навыки общения.
3. развивающие: владение основными приемами, используемыми в физике – измерение, эксперимент

Тип урока: урок обучения умениям и навыкам

Оборудование: штатив с муфтой и зажимом, винтовая пружина, набор грузиков известной массы (по 100 г, погрешность Δm = 0,002 кг), линейка с миллиметровыми делениями.

Ход работы

I. Организационный момент.

II. Актуализация знаний.

• Что такое деформация?
• Сформулировать закон Гука
• Что такое жесткость и в каких единицах она измеряется.
• Дайте понятие об абсолютной и относительной погрешности.
• Причины, приводящие к появлению погрешностей.
• Погрешности, возникающие при измерениях.
• Как чертят графики результатов эксперимента.

Возможные ответы учащихся:

• Деформация – изменение взаимного положения частиц тела, связанное с их перемещением относительно друг друга. Деформация представляет собой результат изменения межатомных расстояний и перегруппировки блоков атомов. Деформации разделяют на обратимые (упругие) и необратимые (пластические, ползучести). Упругие деформации исчезают после окончания действия приложенных сил, а необратимые — остаются. В основе упругих деформаций лежат обратимые смещения атомов металлов от положения равновесия; в основе пластических — необратимые перемещения атомов на значительные расстояния от исходных положений равновесия.

• Закон Гука: «Сила упругости, возникающая при деформации тела, пропорциональна его удлинению и направлена противоположно направлению перемещения частиц тела при деформации».
  
  F_упр = –kx

• Жесткостью называют коэффициент пропорциональности между силой упругости и изменением длины пружины под действием приложенной к ней силы. Обозначают k. Единица измерения Н/м. Согласно третьему закону Ньютона, приложенная к пружине сила по модулю равна возникшей в ней силе упругости. Таким образом жесткость пружины можно выразить как:

  k = F_упр/x

• Абсолютной погрешностью приближенного значения называется модуль разности точного и приближенного значений.

  ∆х = |х – х_ср|

• Относительной погрешностью приближенного значения называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения.

  ε = ∆х/х

• Измерения никогда не могут быть выполнены абсолютно точно. Результат любого измерения приближенный и характеризуется погрешностью – отклонением измеренного значения физической величины от ее истинного значения. К причинам, приводящим к появлению погрешностей, относятся:
  – ограниченная точность изготовления средств измерения.
  – изменение внешних условий (изменение температуры, колебание напряжения)
  – действия экспериментатора (запаздывание с включением секундомера, различное положение глаза…).
  – приближенный характер законов, используемых для нахождения измеряемых Величин

• Погрешности, возникающие при измерениях, делятся на систематические и случайные. Систематические погрешности – это погрешности, соответствующие отклонению измеренного значения от истинного значения физической величины всегда в одну сторону (повышения или занижения). При повторных измерениях погрешность остается прежней. Причины возникновения систематических погрешностей:
  – несоответствие средств измерения эталону;
  – неправильная установка измерительных приборов (наклон, неуравновешенность);
  – несовпадение начальных показателей приборов с нулем и игнорирование поправок, которые в связи с этим возникают;
  – несоответствие измеряемого объекта с предположением о его свойствах.

Случайные погрешности – это погрешности, которые непредсказуемым образом меняют свое численное значение. Такие погрешности вызываются большим числом неконтролируемых причин, влияющих на процесс измерения (неровности на поверхности объекта, дуновение ветра, скачки напряжения и т.д.). Влияние случайных погрешностей может быть уменьшено при многократном повторении опыта.

Погрешности средств измерений. Эти погрешности называют еще инструментальными или приборными. Они обусловлены конструкцией измерительного прибора, точностью его изготовления и градуировки. 

При построении графика по результатам опыта экспериментальные точки могут не оказаться на прямой, которая соответствует формуле F_упр = kx

Это связано с погрешностями измерения. В этом случае график надо проводить так, чтобы примерно одинаковое число точек оказалось по разные стороны от прямой. После построения графика возьмите точку на прямой (в средней части графика), определите по нему соответствующие этой точке значения силы упругости и удлинения и вычислите жесткость k. Она и будет искомым средним значением жесткости пружины k_ср.

III. Порядок выполнения работы

1. Закрепите на штативе конец спиральной пружины (другой конец пружины снабжен стрелкой-указателем и крючком см. рис.).

2. Рядом с пружиной или за ней установите и закрепите линейку с миллиметровыми делениями.

3. Отметьте и запишите то деление линейки, против которого приходится стрелка-указатель пружины.

4. Подвесьте к пружине груз известной массы и измерьте вызванное им удлинение пружины.

5. К первому грузу добавьте второй, третий и т. д. грузы, записывая каждый раз удлинение |х| пружины.

По результатам измерений заполните таблицу:

6. По результатам измерений постройте график зависимости силы упругости от удлинения и, пользуясь им, определите среднее значение жесткости пружины k_cp.

Вычисление погрешностей прямых измерений.

Вариант 1. Расчет случайной погрешности.

1. Вычислите жесткость пружины в каждом из опытов:

2. k_ср = (k₁ + k₂ + k₃ + k₄)/4 ∆k = ׀‌k – k _ср׀‌, ∆k_ср = (∆k₁ + ∆k₂ + ∆k₃ + ∆k₄)/4

Результаты занести в таблицу.

3. Вычислить относительную погрешность ε = ∆k_ср/k_ср · 100%

4. Заполните таблицу:

5. Запишите ответ в виде: k = k_ср ± ∆k_ср, ε =…%, подставив в эту формулу числовые значения найденных величин.

Вариант 2. Расчет инструментальной погрешности.

1. k = mg/х Для вычисления относительной погрешности используем формулу 1 стр. 344 учебника.

ε = ∆А/А + ∆В/В + ∆С/С = ε_m + ε_g + ε_x.

 ∆m = 0,01 • 10^–3 кг; ∆g = 0,2 кг · м/с·с; ∆x =1 мм

2. Рассчитайте наибольшую относительную погрешность, с которой найдено значение k_ср (из опыта с одним грузом).

ε = ε_m + ε_g + ε_x = ∆m/m + ∆g/g + ∆x/x

3. Найдите ∆k_ср = k_ср • ε

4. Заполните таблицу:

5. Запишите ответ в виде: k = k_ср ± ∆k_ср, =…%,подставив в эту формулу числовые значения найденных величин.

Вариант 3. Расчет методом оценки погрешности косвенных измерений

1. Для вычисления погрешности следует использовать опыт, который мы получили во время проведения опыта № 4, потому что ему соответствует наименьшая относительная погрешность измерений. Вычислите пределы F_min и F_max, в которых находится истинное значение F, считая, что F_min = F – ΔF, F_max = F + ΔF.

2. Примите ΔF = 4Δm·g, где Δm – погрешность во время изготовления грузиков (для оценки можно считать, что Δm = 0,005 кг):

x_min = x – ∆x x_max = x + ∆x, где Δх = 0,5 мм.

3. Пользуясь методом оценки погрешности косвенных измерений, вычислите:

k_max = F_max/x_min k_min = F_min/x_max

4. Вычислите среднее значение kcp и абсолютную погрешность измерения Δk по формулам:

k_ср = (k_max + k_min)/2 Δk = (k_max – k_min)/2

5. Вычислите относительную погрешность измерений:

ε = ∆k_ср/k_ср · 100%

6. Заполните таблицу:

7. Запишите в тетради для лабораторных работ результат в виде k = k_cp ± Δk, ε = …% подставив в эту формулу числовые значения найденных величин.

Запишите в тетради для лабораторных вывод по проделанной работе.

IV. Рефлексия

Попробуйте составить синквейн о понятии «урок – практикум». Синквейн (в переводе с франц.– пять строк): Первая строка – одно существительное (суть, название темы);

Вторая строка – описание свойств-признаков темы в двух словах (двумя прилагательными);

Третья строка – описание действия (функций) в рамках темы тремя глаголами;

Четвертая строка – фраза (словосочетание) из четырех слов, показывающая отношение к теме;

Пятая строка – синоним из одного слова (существительное), который повторяет суть темы (к первому существительному).

V. Подведение итогов урока.

Лабораторная работа № 2 «Измерение жесткости пружины»

Цель работы: найти жесткость пружины из измерений удлинения пружины при различных значениях силы тяжести

уравновешивающей силу упругости на основе закона Гука:

В каждом из опытов жесткость определяется при разных значениях силы упругости и удлинения, т. е. условия опыта меняются. Поэтому для нахождения среднего значения жесткости нельзя вычислить среднее арифметическое результатов измерений. Воспользуемся графическим способом нахождения среднего значения, который может быть применен в таких случаях. По результатам нескольких опытов построим график зависимости модуля силы упругости F_упр от модуля удлинения |x|. При построении графика по результатам опыта экспериментальные точки могут не оказаться на прямой, которая соответствует формуле

Это связано с погрешностями измерения. В этом случае график надо проводить так, чтобы примерно одинаковое число точек оказалось по разные стороны от прямой. После построения графика возьмите точку на прямой (в средней части графика), определите по нему соответствующие этой точке значения силы упругости и удлинения и вычислите жесткость k. Она и будет искомым средним значением жесткости пружины k

ср.

Результат измерения обычно записывается в виде выражения k = = k_cp±Δk, где Δk — наибольшая абсолютная погрешность измерения. Из курса алгебры (VII класс) известно, что относительная погрешность (ε_k) равна отношению абсолютной погрешности Δk к значению величины k:

откуда Δk — ε_kk. Существует правило для расчета относительной погрешности: если определяемая в опыте величина находится в результате умножения и деления приближенных величин, входящих в расчетную формулу, то относительные погрешности складываются. В данной работе

Поэтому

Средства измерения: 1) набор грузов, масса каждого равна m₀ = 0,100 кг, а погрешность Δm₀ = 0,002 кг; 2) линейка с миллиметровыми делениями.

Материалы: 1) штатив с муфтами и лапкой; 2) спиральная пружина.

Порядок выполнения работы

1. Закрепите на штативе конец спиральной пружины (другой конец пружины снабжен стрелкой-указате-лем и крючком — рис. 176).

2. Рядом с пружиной или за ней установите и закрепите линейку с миллиметровыми делениями.

3. Отметьте и запишите то деление линейки, против которого приходится стрелка-указатель пружины.

4. Подвесьте к пружине груз известной массы и измерьте вызванное им удлинение пружины.

5. К первому грузу добавьте второй, третий и т. д. грузы, записывая каждый раз удлинение |х| пружины. По результатам измерений заполните таблицу:

6. По результатам измерений постройте график зависимости силы упругости от удлинения и, пользуясь им, определите среднее значение жесткости пружины k_cp.

7. Рассчитайте наибольшую относительную погрешность, с которой найдено значение k_ср (из опыта с одним грузом). В формуле (1)

так как погрешность при измерении удлинения Δx=1 мм, то

8. Найдите

и запишите ответ в виде:

¹ Принять g≈10 м/с².

Закон Гука: «Сила упругости, возникающая при деформации тела, пропорциональна его удлинению и направлена противоположно направлению перемещения частиц тела при деформации».

Закон Гука

Жесткостью называют коэффициент пропорциональности между силой упругости и изменением длины пружины под действием приложенной к ней силы. Согласно третьему закону Ньютона, приложенная к пружине сила по модулю равна возникшей в ней силе упругости. Таким образом жесткость пружины можно выразить как:

где F — приложенная к пружине сила, а х — изменение длины пружины под ее действием. Средства измерения: набор грузов, масса каждого равна m₀ = (0,1±0,002) кг.

Линейка с миллиметровыми делениями (Δх = ±0,5 мм). Порядок выполнения работы описан в учебнике и комментариев не требует.

* Ускорение свободного падения примем равным 10 м/с².

Вычисления:

Вычисление погрешности измерения:

ε_х максимально когда х — наименьшее, т.е., в нашем случае, для опыта с одним грузом

Можно записать результат измерений как:

или округляя:

т.к. в нашем случае отклонения вычисленных R₁; R₂; R₃; R₄ от R

ср велики из-за разности условий опытов принимаем

5terka.com

Лабораторная работа «Определение жесткости пружины»

Лабораторная работа