Как найти закон изменения напряжения на конденсаторе - Avtoru.top

Занятие1

Цели занятия:

1. Ознакомиться с законами коммутации.

2. Научиться использовать классический метод расчета переходных процессов для нахождения мгновенных значений электрических величин, подчиняющихся законам коммутации, в цепях с одним реактивным элементом.

3.Научиться строить графики изменения искомых величин.

4.Научиться определять длительность переходного процесса.

Переходные процессы подчиняются законам коммутации. Согласно первому закону коммутации ток в индуктивной катушке не может измениться скачком. Согласно второму закону коммутации напряжение на емкостном элементе не может измениться скачком.

При рассмотрении переходных процессов продолжительность коммутации принимают равной нулю. Момент, предшествующий коммутации, обозначают t = 0 −, момент завершения – t = 0 +. Тогда законы коммутации можно записать в следующем виде:

iL (0+) =iL (0−) ,

uC (0+) =uC (0−).

Независимыми начальными условиями называют значения тока в индуктивной катушке и напряжения на конденсаторе в момент коммутации

(t =0+).

В классическом методе расчета переходных процессов расчет токов и напряжений производят при помощи уравнений, составленных по законам Кирхгофа для мгновенных значений. В общем случае получают систему неоднородных линейных дифференциальных уравнений. Общий интеграл дифференциального уравнения получают суммированием частного решения этого уравнения и общего решения уравнения без правой части.

Составляющие токов и напряжений, найденные как частное решение неоднородного уравнения, называют принужденными.

Составляющие, найденные как общее решение однородного уравнения, называют свободными. Свободные составляющие обусловлены изменением энергии электрического поля конденсатора и магнитного поля индуктивной катушки. Свободные составляющие стремятся к нулю, так как процессы в цепи, обладающей сопротивлением, при отсутствии источников энергии

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-238-

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

затухают. После переходного процесса остаются только принужденные составляющие, т. е. принужденный режим – это новый установившийся режим после окончания переходного процесса.

В классическом методе токи и напряжения вычисляют как сумму принужденной и свободной составляющих:

i = iпр + iсв, u = uпр + uсв .

Рассмотрим порядок расчета на конкретных задачах.

Задача1

Найти законы изменения напряжения на конденсаторе uC и тока i

(рис. 5.1), если U =100 В, R =1000 Ом, C =1 мкФ. Определить длительность переходного процесса.

Рис. 5.1

Решение

I. Составим систему уравнений электрического состояния. Так как схема одноконтурная, то можно написать только одно уравнение по второму закону Кирхгофа:

Ri +uС =U.

В этом уравнении во время переходного процесса происходит изменение двух величин: тока i и напряжения на емкостном элементе uС .

Напряжение uС подчиняется второму закону коммутации, поэтому рационально выразить ток по закону Ома i = iС = C ddutС .

Тогда уравнение примет вид

RC ddutС +uС =U.

2. Решение этого уравнения представим как сумму двух слагаемых:

uС = uСпр + uСсв.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-239-

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

3. Найдем uСпр .

Теоретически переходной процесс длится бесконечно долго, поэтому принужденный режим рассмотрим как новый установившийся режим при t = ∞ . Конденсатор постоянный ток не пропускает (iпр = 0 ), Riпр = 0. Отсюда

uСпр =U =100 В.

4. Вычислим uСсв . Из математики известно, что свободные составляющие меняются по экспоненциальному закону:

uСсв = Аеpt .

4.1. Определим показатель степени р, который является корнем характеристического уравнения.

Для получения характеристического уравнения в уравнении электрического состояния правую часть нужно приравнять к нулю, переменную величину заменить единицей, ее производную – р, вторую производную – р2 и т. д. Получим уравнение RCp +1 = 0.

	Решение			характеристического уравнения позволяет определить
1			1			3 −1
p = −		=					= −10с	.
RC	1000 1 10−6
	Величину	1			= RC обозначают τ и называют постоянной времени;
			p

τ=1013 = 0,001 с.

4.2.Определим постоянную интегрирования А.

Постоянные интегрирования определяют из начальных условий с использованием законов коммутации.

Уравнение, по которому проводим решение, справедливо для любого момента времени, следовательно, и для начального:

uС (0+) = uСпр(0+) +uСсв(0+).

По второму закону коммутации uС (0+) =uС(0−) . До коммутации схема не была подключена к источнику энергии, поэтому uС(0−) = 0.

Принужденная составляющая в данной задаче является постоянной величиной, значит, uСпр(0+) =U =100 В.

Свободная составляющая uСсв = Аерt при t = 0+ равна А.

После подстановки получим 0 =U + A. Отсюда A = −U = −100 В.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-240-

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Тогда закон изменения напряжения u

=U −Ue−

=100 −100e−103 t В.

Закон изменения тока можно получить как из уравнения по второму

закону Кирхгофа, так и из закона Ома.

Из уравнения по второму закону Кирхгофа

U −U +Ue−

U −u

−

= 0,1e−10

t А,

i =

либо

d u

−

= 0,1e−10

= C

А.

d t

Проиллюстрируем полученные уравнения графиками.

График напряжения uС (рис. 5.2) получаем суммированием графиков uСпр и uСсв. Составляющая uСпр =100 B = const . Свободная составляющая изменяется по закону экспоненты и стремится к нулю. В начальный момент uСсв(0+) = −100 В.

	uC	uC пр
	U

		uC
		t
		uC св
	–U	Рис. 5.2

График подтверждает, что напряжение на конденсаторе меняется плавно и принужденный режим – это новый установившийся режим после переходного процесса.

График изменения тока представлен на рис. 5.3.

При t = 0– тока не было, при t = 0+ ток iС = 0,1 А, далее он стремится к

нулю по закону экспоненты.

5. Вычислим длительность переходного процесса.

Теоретически переходный процесс длится бесконечно долго.

Практически переходный процесс заканчивается через (3−5)τ, т. е.	tпп = =
(0,003 −0,005) с.

 Теоретические основы электротехники. Практикум	-241-

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Рис. 5.3

Следующую задачу решите самостоятельно.

Задача2

Найти законы изменения напряжения на конденсаторе uC и тока i (рис. 5.1), если U = 25 В, R = 20 Ом, C = 5 мкФ, uC (0−) =50 В. Построить графики.

Пояснение к решению

Возможны два варианта решения, так как с резистором могут быть соединены разные обкладки конденсатора.

Ответ: 1) uC = 25 + 25e−104 t В; i = −1,25e−104 t А. 2) uC = 25 −75e−104 t В; i =3,75e−104 t А.

Задача3

Найти законы изменения напряжения на конденсаторе uC и тока i (рис. 5.4), если U = 200 В, R = 80 Ом, R1 = 20 Ом, С =1,25 мкФ. Определить длительность переходного процесса.

i R


U	uС	СС

Рис. 5.4

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-242-

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Решение

1. Составим систему уравнений электрического состояния. Коммутация заключается в размыкании рубильника. После коммутации схема становится одноконтурной, поэтому можно написать только одно уравнение по второму закону Кирхгофа: R i +uC =U .

После подстановки выражения тока по закону Ома i =iC =C duС dt

уравнение примет вид

RC ddutC +uC =U .

2. Решение этого уравнения представим как сумму двух слагаемых:

uC = uC пр +uC св .

3. Найдем uC пр.

Принужденный режим – это новый установившийся режим после окончания переходного процесса. Конденсатор постоянный ток не пропускает (iпр = 0) , R iпр = 0 . Отсюда uC пр =U = 200 В.

4. Вычислим uC св .

Свободные составляющие меняются по экспоненциальному закону:

uC св = Aep t .

4.1. Определим показатель степени р, который является корнем характеристического уравнения RC p +1 = 0 .

Отсюда p = −	1	= −	1	= −	106	= −10−4 с−1.
RC	80 1,25 10−6	100

4.2. Определим постоянную интегрирования А.

uC (0+) = uC пр(0+) +uC св(0+) .

По второму закону коммутации uC (0+) = uC (0−) . Схема до

коммутации приведена на рис. 5.5. Ключ замкнут. Конденсатор постоянный ток не пропускает, поэтому вместо него можно изобразить разрыв.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-243-

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

i(0-)	R
i(0–)
	uC(0(0–—))	R1
	С
		1
	Рис. 5.5
Схема является одноконтурной, ток в ней	i(0−) =	U	= 2 А.
			R + R
			1

Напряжение uC (0−) = R1 i(0−) = 20 2 = 40 В.

Принужденная составляющая в рассматриваемой задаче является

постоянной величиной, т. е. u	Cпр	(0+) =U = 200 В.

Свободная составляющая u	= Aep t		при t = 0 + равна А.
						C св
После подстановки получим: 40 = 200 + А.
Отсюда А= −160 В.
Тогда закон изменения напряжения u		= 200 −160e−104 t В.
Закон изменения тока				C

i =	U	−u		200 − 200 +160e−104 t	−104 t	А.
	C		=				= 2e

C		R				80

Графики напряжения	uC и тока iC	представлены соответственно на
рис. 5.6 и 5.7.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-244-

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

uC , B

uCпр	iC , A
200
uC	2				iC

40
	t				t
	uCсв
–
Рис. 5.6						Рис. 5.7

Переходный процесс длится (3 −5) τ = (3 −5)		1		= (0,0003 −0,0005) с.
		р


Задачи 4 и 5 решите для самоконтроля.
	Задача4
Вычислить начальное значение напряжения			uC (0+) , принужденную

составляющую uC пр и длительность переходного процесса в схеме рис. 5.1, если U =50 B , R = 5 Ом, C = 2 мкФ.

Ответ: uC (0+) = 0; uC пр = 50 В; tпп = (3 10−5 − 5 10−5 ) с.

Задача5

Вычислить начальное значение напряжения uC (0+) и принужденную

составляющую uC пр (рис. 5.4), если U = 40 В, R = R1 = 20 Ом, C =1 мкФ. Ответ: uC (0+) = 20 В; uC пр = 40 В.

Задача6

Найти законы изменения тока i , а также напряжений uR и uL (рис. 5.8), если U =100 В, R =10 Ом, L =1 Гн.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-245-

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Рис. 5.8

Решение

1. Составим уравнение электрического состояния в дифференциальной форме:

uL + uR =U .

После подстановки uL и uR , выраженных по закону Ома, получим уравнение с одной переменной:

L dditL + RiL =U .

2. Представим решение этого уравнения как сумму двух слагаемых:

iL = iLпр +iLсв.

3. Найдем iLпр в схеме при t = ∞ . Индуктивный элемент не оказывает

сопротивления постоянному току, вместо него будет «закоротка». Тогда

iLпр = UR =10010 =10 А.

4. Вычислим iLсв по закону экспоненты:

iLсв = Аеpt .

4.1. Составим характеристическое уравнение для определения p : Lp +

+ R = 0 .

Отсюда p = − RL = −101 = −10 с−1 .

Постоянная времени τ = 1p = RL = 0,1 с.

4.2.Определим постоянную интегрирования А из начальных условий

сиспользованием законов коммутации.

Вначальный момент времени

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-246-

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

iL (0+) = iLпр(0+) + iLсв(0+) .

По первому закону коммутации iL (0+) =iL (0−) . До коммутации схема не была подключена к источнику энергии, поэтому iL (0−) = 0 .

Принужденная составляющая iLпр =10 А – постоянная величина. Свободная составляющая в начальный момент iLсв(0+) = А.

После подстановки получим: 0 =10 + A. Отсюда A = −10 А.

Тогда закон изменения тока iL =10 −10e−10t А.

Закон изменения напряжения uR = RiL =100 −100e−10t В.

Закон изменения напряжения

uL = L	diL	=1	(−10)(−10)e−10t	=100e−10t В.

	dt
В любой момент времени uR +uL =U −Ue	−Rt	+Ue	−Rt	=U .
L	L

Проиллюстрируем полученные законы изменения электрических величин графиками.

График тока iL (рис. 5.9) получаем как сумму графиков iLпр и iLсв. Составляющая тока iLпр =10 А = const . Свободная составляющая меняется по закону экспоненты и стремится к нулю. В начальный момент iLсв (0+) = −10 А.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-247-

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Из графика видно, что ток в индуктивной катушке меняется плавно и

стремится к принужденной составляющей.

Графики изменения напряжений uR и uL приведены на рис. 5.10.

Рис. 5.10

График uR аналогичен графику тока iL , так как uR = RiL .

Напряжение uL в начальный момент возрастает скачком до величины

входного напряжения, а затем по экспоненциальному закону уменьшается до

нуля.

Задача7

Найти закон изменения тока iL (рис. 5.11), если u = 70sin(50t +120o ) В,

R = 20 Ом, L = 3 Гн. Построить график.

Рис. 5.11

Решение

1. Уравнение электрического состояния в дифференциальной форме:

L dditL + RiL =u .

2. Закон изменения тока iL ищем как сумму двух слагаемых:

iL = iLпр +iLсв .

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-248-

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

3. Ток iLпр меняется по синусоидальному закону:

iL пр = ILm пр sin(ωt + ψu − φ)= ILm пр sin(ωt + ψi пр).

Проведем расчет для комплексов максимальных значений:

	Um		70e j120	о	= 70e j120	о	= 0,46e j 38о
ILm пр =	=		о	А.
R + jLω	20 + j3 50
		151e j 82

Тогда закон изменения принужденной составляющей тока

iL пр = 0,46sin(50t +38о) А.

4.Составляющая тока iLсв меняется по закону экспоненты: iL св = Aept .

4.1.Характеристическое уравнение Lp + R =0 дает решение:

p = − RL = − 203 = −6,67с −1 .

4.2.Определим постоянную интегрирования А.

Вначальный момент времени iL (0+) =iLпр(0+) +iL св(0+).

По первому закону коммутации iL (0+) = iL (0−). До коммутации схема не была подключена к источнику энергии, поэтому iL (0−) = 0. Принужденная

составляющая в начальный момент iL пр (0+) = 0,46sin 38о = 0,28 А. Это конкретное значение тока. Свободная составляющая в начальный момент

iL св(0+) = A .

После подстановки получим

0 = 0,28 + A.

Отсюда А= 0,28 А, т. е. iL пр(0+) и iLсв(0+) равны и противоположны.

Тогда закон изменения тока

iL = 0,46sin(50t +38о) −0,28e−6,67t А.

График тока iL (рис. 5.12) получаем как сумму графиков iLпр и iLсв. Составляющая тока iLпр меняется по синусоидальному закону. На рис. 5.12 начальная фаза ψi пр > 0, поэтому синусоида смещена влево. Свободная

составляющая меняется по закону экспоненты и стремится к нулю. В начальный момент iL св(0+) = −iL пр(0+) .

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-249-

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

iL , А

0,46

0,28 iL iLпр

iLсв

38°

Рис. 5.12

График подтверждает плавное изменение тока в индуктивной катушке. Если ψi пр = 0 , свободная составляющая не возникнет и переходного

процесса не будет.

Следующую задачу решите самостоятельно.

		Задача8
Найти закон изменения тока iL (см. рис. 5.11), если u = 200sin (50t + 30о)В,
R = 30 Ом; L = 0,5 Гн.
Ответ: i	= 5,1sin (50t −9о)	+ 0,8e−60t А.
	L
		Задача9
Найти	закон изменения	тока iL (рис.	5.13), если U =100 В,
R = R1 = R2 =10 Ом, L = 2 Гн. Построить график.
	R	iL
	U		L

		R 2	R
		Рис. 5.13

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-250-

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Решение

1. Составим систему уравнений электрического состояния. После коммутации, которая заключается в размыкании ключа, схема становится одноконтурной, поэтому можно записать только одно уравнение по второму закону Кирхгофа

R1iL + L dditL + RiL =U .

2. Закон изменения тока iL ищем как сумму двух слагаемых:

iL = iL пр +iL св.

3. Току iL пр оказывают сопротивление два резистора внешнего контура, так как вместо индуктивного элемента – «закоротка». Поэтому

принужденная составляющая тока iL пр =	U	=	100	=5 А.
R + R	20
4. Составляющая тока i		1			= Aept .
меняется по закону экспоненты: i	L св
L св

4.1. Характеристическое уравнение R1 + Lp + R = 0 дает решение:

p= − R1 L+ R = −10 c−1 .

4.2.Определим постоянную интегрирования А.

В начальный момент времени iL (0+) = iL пр(0+) + iL св(0+) .

По первому закону коммутации iL (0+) = iL (0−) . Схема до коммутации представлена на рис. 5.14.

		R1
i		R1	i
(0(0–—)	(0–)
L			L	—

Рис. 5.14

Сделаем расчет методом эквивалентных преобразований. Эквивалентное сопротивление

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-251-

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

R	= R	+	R2 R	=15 Ом.

э	1		R2 + R

Ток в свернутой схеме

i1(0−) = U =100 ≈ 6,67 А. Rэ 15

Сопротивления R2 и R равны по величине, поэтому ток iL (0−) = 12 i1 (0−) = 3,335 A ≈ 3,34 А.

Составляющая тока iL пр(0+) = 5 А. Свободная составляющая в начальный момент iL св(0+) = A .

После подстановки получим

3,34 =5 + A.

Отсюда A = −1,66 A . Тогда закон изменения тока

iL = 5 −1,66e−10t А.

График тока iL получаем как сумму составляющих iLпр и iL св

(рис. 5.15).

	iL , A	iLпр
	5

	3,34

iLсв

–1,66

Рис. 5.15

Задачи 10–12 решите для самоконтроля.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-252-

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Задача10

Найти начальные значения тока iL (0+) , напряжений uR (0+) и uL (0+)

(рис. 5.8), если U = 25 В, R =10 Ом, L =1 Гн.

Ответ: iL (0+) = 0 ; uR (0+) = 0 ; uL (0+) = 25 В.

Задача11

Найти принужденные составляющие тока iLпр , напряжений uR пр и

uL пр (рис. 5.8), если U = 30 В; R =10 Ом; L =1 Гн. Ответ: iL пр = 3 А, uR пр = 30 В, uL пр = 0 .

Задача12

За какое время переходный процесс в цепи, схема замещения которой представлена на рис. 5.8, практически закончится, если U =100 В; R =1 Ом; L =1 Гн.

Ответ: tпп = (3 −5) с.

Занятие2

Цели занятия:

1.Ознакомиться с вариантами нахождения мгновенных значений электрических величин, не подчиняющихся законам коммутации.

2.Научиться вычислять корень характеристического уравнения в разветвленных цепях с одним реактивным элементом.

3.Научиться определять зависимые начальные условия (ЗНУ) в схемах, составленных с учетом нулевых независимых начальных условий

(ННУ).

4.Научиться определять ЗНУ в схемах, составленных с учетом ненулевых ННУ.

Возможны два варианта решения.

Вариант 1 Если в условии задачи требуется найти закон изменения величины, не

подчиняющейся законам коммутации, то сначала находим закон изменения величины, подчиняющейся законам коммутации, затем из системы уравнений электрического состояния в дифференциальной форме – требуемую величину. При составлении системы рекомендуется выбирать уравнения, связывающие искомые величины с величинами, подчиняющимися законам коммутации.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-253-

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Вариант 2 Сразу ищем закон изменения требуемой по условию величины как

сумму принужденной и свободной составляющих.

Преподавателями курса ТОЭ разработаны приемы, позволяющие упростить нахождение постоянных интегрирования.

Рассмотрим алгоритм нахождения ЗНУ для схемы с одним реактивным элементом.

1.В схеме при t =0– находим ННУ: iL (0−) и uÑ (0−) .

2.В схеме при t =0+ вычисляем ЗНУ. Схему составляем с учетом ННУ, которые могут быть нулевыми и ненулевыми.

Если	iL (0+) = iL (0−) = 0 , то	вместо	индуктивного элемента можно
изобразить	разрыв цепи (рис.	5.16, а).	Если uC (0+) = uC (0−) = 0 , то

емкостный элемент можно заменить «закороткой» (рис. 5.16, б).

Рис. 5.16

Если

iL (0+) = iL (0−) ≠ 0 ,

индуктивный

элемент

заменяем

то

источником

тока

с током iL (0−),

направления

которых

совпадают

(рис. 5.17, а).

Если

uC (0+) = uC (0−) ≠ 0,

то емкостный элемент

заменяют

источником ЭДС с ЭДС, равной uC (0−) .

Направления их противоположны

(рис. 5.17, б).

Условно-положительные направления uC и iC совпадают.

(0–)

Рис. 5.17

Для вычисления корня характеристического уравнения в схеме с одним реактивным элементом проще всего заменить разветвленную цепь эквивалентной ей одноконтурной. Для этого источники ЭДС закорачиваем, источники тока разрываем, разрываем также ветвь с реактивным элементом и заменяем все резисторы одним с эквивалентным сопротивлением. Схема превращается в последовательное соединение (рис. 5.18, а и б).

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-254-

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Рис. 5.18

Для схемы рис. 5.18, а корень p = − RLэкв , для схемы рис. 5.18, б –

p = −

экв

Задача1

Найти закон изменения тока i

(рис. 5.19), если U =100 В, R = 4 Ом,

L = 4 мГн.

Рис.5.19

Решение

Вариант 1 1. Составим систему уравнений электрического состояния в

дифференциальной форме. При этом рекомендуется выбирать уравнения, связывающие искомые величины с величинами, подчиняющимися законам коммутации:

i −i1 −i2 = 0,

Ri + L ddit2 =U,

Ri + Ri1 =U.

2.Найдем закон изменения тока iL = i2 = i2пп +i2сс .

3.Вычислим принужденную составляющую при t = ∞, так как теоретически переходный процесс длится бесконечно долго. Цепь подключена к источнику постоянного напряжения. Индуктивное

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-255-

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

сопротивление X L = = Lω = 0, поэтому в схеме вместо индуктивного элемента будет «закоротка» (рис. 5.20).

Ток i1пр = 0, ток iпр =i2пр = UR =1004 = 25 А.

iпр R

i1пр

Рис. 5.20

4. Свободные составляющие в схемах с одним реактивным элементом изменяются по закону экспоненты:

i2св = Аept .

4.1. Найдем показатель степени р – корень характеристического

уравнения. Разработаны разные способы составления характеристического уравнения. При наличии одного реактивного элемента проще всего перейти к схеме одноконтурной. Для этого источники ЭДС закорачиваем, источники тока разрываем и разрываем ветвь с реактивным элементом (рис. 5.21). Все

резисторы заменяем одним с эквивалентным сопротивлением Rэ = R2 = 2 Ом.

L R

Рис. 5.21

В неразветвленной RL-цепи

р = − RLэ = − 2 104 3 = −500 c−1 .

Cкорость протекания переходного процесса характеризуют постоянной времени τ = − 1p . Через промежуток времени, равный τ, свободные

составляющие уменьшаются в e раз. Практически переходный процесс в цепи можно считать законченным через время (3 −τ4) .

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-256-

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

4.2. Постоянную интегрирования А найдем из начальных условий с использованием законов коммутации.

При t =0+ iL (0+) = i2 (0+) = i2пп(0+) + i2сс (0+).

По первому закону коммутации ток в индуктивной катушке не может измениться скачком. До коммутации цепь была разомкнута. Следовательно,

i2 (0+) = i2 (0−) = 0.

Принужденная составляющая является постоянной величиной, поэтому i2пп(0+) = 25А. Свободная составляющая тока сразу после коммутации

i2сс(0+) = A. После подстановки получаем:

0 = 25 + A, откуда A = −25A.

Окончательное выражение закона изменения тока i2

имеет вид

= 25 − 25e−500t

А.

5. Ищем закон изменения тока i

из уравнения

Ri + L

di2

=U . Отсюда

U − L

di2

100 −4

10−3( −500 )(

− 25e−500t )

i =

=100 − 4 12,5e−500t = 25 −

12,5e−500 t А.

График изменения тока представлен на рис. 5.22.

i, А

iпр

12,5

iсв

-12,5

Рис. 5.22

Вариант 2

1. Ищем закон изменения тока i как сумму принужденной и свободной составляющих:

i = iпр + iсв.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-257-

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

2.Найдем iпр (см. вариант 1, п. 3): iпр = 25 А.

3.Свободная составляющая меняется по закону экспоненты:

iсв = Bept .

Вычислим показатель степени p (см. вариант 1, п. 4.1):

p = −500 c−1.

Постоянную интегрирования В найдем из начальных условий с

использованием	законов	коммутации: i(0+) = iпр(0+) + iсв(0+) .	Значение
тока i(0+) – зависимое начальное условие, которое ищем в два этапа.
Этап 1. В	схеме	при t =0– определяем независимые	начальные
условия:

iL (0−) = 0.

Этап 2. В схеме при t =0+, которую составляем с учетом независимых

начальных условий, определяем i(0+). Ток	i2 (0+) = i2 (0−) = 0 . Место, где
нет тока, можно изобразить как разрыв цепи (рис. 5.23).
		i(0+)	R

U				R

			Рис. 5.23
Ток	i( 0 + ) =	U	=12,5 А.
2R
При
t =0+ составляющие тока iпр(0+) = 25А,iсв(0+) = B .

После подстановки получаем: 12,5 = 25 + Â , откуда Â = −12,5 . Окончательное выражение закона изменения тока i :

i = 25 −12,5e−500t А.

Задача2

Найти закон изменения тока i в схеме (рис. 5.24), если U = 50 В, R = R1 = 2Ом, Ñ = 5 мкФ.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-258-

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

i	R		i2

U		R	С


		i1

Рис. 5.24

Решение

Вариант 1 1. Система уравнений электрического состояния в дифференциальной

форме:

i −i	−i	2	= 0,
	1		=U,
Ri + uC
				=U.
Ri + R1i1
2. Ищем закон изменения величины, подчиняющейся законам
коммутации:
					uC = uC пp + uC св.
3. Вычислим принужденную составляющую uСпр при t = ∞.
					i	R

				U				uС пр

						R

							1

Рис. 5.25

Конденсатор постоянный ток не пропускает, поэтому вместо емкостного элемента в схеме будет разрыв (рис. 5.25).

Схема одноконтурная, ток	в ней	i =	U	=	50	=12,5	А.
R + R	4
		пр
Напряжение uСпр = R1iпр = 2 12,5 = 25 В.		1

4. Свободная составляющая	меняется	по	закону	экспоненты:

uСсв = Aept .

4.1.Ищем корень характеристического уравнения р. Закорачиваем

источник ЭДС, учтенный входным напряжением, разрываем ветвь с емкостным элементом (рис. 5.26).

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-259-

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

R 1

Рис. 5.26

Резисторы заменяем одним, с эквивалентным сопротивлением

R =	R R1	=1 Ом.
R + R
э
	1

В неразветвленной RC-цепи

p = −	1	= −	106	= −2 105 с−1.
R С	5
	э

Постоянную интегрирования А ищем из начальных условий с использованием второго закона коммутации. При t =0+

uС (0+) = uСпр(0+) + uСсв(0+) ; uС (0+) = uC (0−) .

До коммутации схема не была подключена к источнику энергии, поэтому uС (0−) = 0 . Принужденная составляющая является постоянной

величиной, поэтому uСпр(0+) = 25 В. Свободная составляющая напряжения на конденсаторе сразу после коммутации uС св(0+) = A.

После подстановки получаем: 0 = 25 + А, отсюда А = −25 В.

Тогда закон изменения напряжения uС во время переходного процесса имеет вид

			u = 25 − 25e−2 105 t В.
			С
5.	Ищем закон изменения тока i	из уравнения Ri +uС =U .
Отсюда	i = U −uС	=	50 − 25 + 25e−2 105 t	=12,5 −12,5e−2 105 t А.
	R		2

График изменения тока представлен на рис. 5.27.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-260-

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

i, А

Рис. 5.27

Вариант 2

1.Ищем закон изменения тока как сумму принужденной и свободной составляющих:

i= iпр + iсв.

2.Найдем iпр (см. вариант 1, п. 3): iпр =12,5 А.

3.Свободная составляющая меняется по закону экспоненты:

iсв = Be pt .

3.1. Вычислим показатель степени p (см. вариант 1, п. 4.1):

p= −2 105 c−1.

3.2.Постоянную интегрирования ищем из начальных условий с использованием законов коммутации:

i(0+) = iпр(0+) +iсв(0+) .

Значение тока i(0+) – зависимое начальное условие, которое ищут

в два этапа.

Этап 1. В схеме при t =0– определим независимое начальное условие

(см. вариант 1, п. 4.2):

uС (0−) = 0 .

Этап 2. В схеме при t =0+, которую составляем с учетом независимых начальных условий, определяем i(0+). Напряжение uC (0+) = uC (0−) = 0 ,

поэтому вместо емкостного элемента будет «закоротка» (рис. 5.28).

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-261-

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
i(0+)	R
U		R1

	Рис.5.28
Ток от источника будет замыкаться по пути наименьшего
сопротивления, т. е. по «закоротке», следовательно, ток	i(0+) = U	=	50	= 25
			R		2
А. При t =0+ составляющие тока iпр(0+) =12,5 А, iсв(0+) = В.
После подстановки получаем: 25 =12,5 + В,	отсюда В =12,5 А.
Ток i меняется по закону:

i =12,5 +12,5e−2 105 t А.

Решите самостоятельно задачу 3.
Задача3
Найти закон изменения тока i1	в схеме (рис. 5.29), если U = 50 В,
R = R1 = 2 Ом, С = 2 мкФ.
R
U	R1	С
	i1

Рис. 5.29

Ответ: i1 =12,5 −12,5e−5 105 t А.

Задача4

Найти закон изменения тока i в схеме (рис. 5.30), если U = 50 В, R =10 Ом, С =1 мкФ.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-262-

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
			Решение
Вариант 1
1. Система уравнений электрического состояния в дифференциальной
форме:	R
i
U			С	R

			i1	i2
	Рис. 5.30
	i −i	−i	= 0,
		1	2
				=U,
	Ri +uC

				=U.
	Ri + Ri2


2. Ищем закон изменения величины, подчиняющейся законам
коммутации:
	uC = uC пp + uC св.

3. Вычислим принужденную составляющую uСпр при t = ∞.

Конденсатор постоянный ток не пропускает, поэтому вместо емкостного элемента в схеме будет разрыв (рис. 5.31).

Рис. 5.31

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-263-

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Схема одноконтурная, ток в ней	i	=	U	=	50	= 2,5 А.	Напряжение
2R	20
uСпр = Riпр =10 2,5 = 25 В.	пр

4. Свободная составляющая	меняется		по	закону	экспоненты:

uСсв = Aept .

4.1. Ищем корень характеристического уравнения р. Закорачиваем источник ЭДС, разрываем ветвь с емкостным элементом (рис. 5.32).

Рис. 5.32

		Резисторы заменяем	одним	с	эквивалентным	сопротивлением
R	=	R = 5 Ом.
э		2
		В неразветвленной RC-цепи
		p = −	1	= −	1		= −2 105	с−1 .
		RэС	5 10−6

Постоянная времени τ= RэС .

4.2. Постоянную интегрирования А ищем из начальных условий с использованием второго закона коммутации. При t =0+

uС (0+) = uСпр(0+) +uСсв(0+) .

До коммутации тока в цепи не было, так как конденсатор постоянный

ток не пропускает. Из уравнения	Ri(0−) +uС (0−) =U	получаем uС (0−) =
=U = 50 B. Конденсатор был заряжен до величины входного напряжения.
Принужденная составляющая является постоянной величиной, поэтому
uСпр(0+) = 25 В.	Свободная составляющая	напряжения на конденсаторе
сразу после коммутации	uС св(0+) = A.
После подстановки получаем: 50 = 25 + А, отсюда А = 25 В.
Тогда закон изменения напряжения uС во время переходного процесса
имеет вид	uС = 25 + 25e−2 105 t В.
5. Ищем закон изменения тока i из уравнения Ri +uС =U .
Отсюда i	=	U −uС	=	50	−25 −25e	−2 105 t	−2 105t	А.
R		10	= 2,5 − 2,5e


		Теоретические основы электротехники. Практикум	-264-

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

График изменения тока представлен на рис. 5.33.

i, А	iпр
2,5
	i
	iсв
–	t

	Рис. 5.33

Вариант 2

1.Ищем закон изменения тока как сумму принужденной и свободной составляющих:

i= iпр + iсв.

2.Найдем iпр (см. вариант 1, п. 3): iпр = 2,5 А.

3.Свободная составляющая меняется по закону экспоненты:

iсв = Be pt .

3.1. Вычислим показатель степени p (см. вариант 1, п. 4.1):

p= −2 105 c−1.

3.2.Постоянную интегрирования ищем из начальных условий с использованием законов коммутации:

i(0+) = iпр(0+) + iсв(0+).

Значение тока i(0+) – зависимое начальное условие, которое ищут в два этапа.

Этап 1. В схеме при t =0– определяем независимые начальные условия

(см. вариант 1, п. 4.2):

uС (0−) =50 В.

Этап 2. В схеме при t =0+, которую составляем с учетом независимых

начальных условий, определяем i(0+). Напряжение	uС(0+) =uС(0−) =50 B .

 Теоретические основы электротехники. Практикум	-265-

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Известное напряжение можно учесть источником ЭДС такого же напряжения, направленным противоположно (рис. 5.34).

i(0+)

uC (0+)

Рис. 5.34

Напряжение uаb(0+) =uС(0+) = E − Ri(0+) .

Отсюда

i(0+) =

E −uС (0+)

50 −50

= 0 . При t =

0+ составляющие тока

iпр(0+) = 2,5 A,

iсв(0+) = B .

После подстановки получаем: 0 = 2,5 + В, откуда B = −2,5 А.

Ток i меняется по закону:

i = 2,5 −2,5e−2 105 t А.

Задача5

Найти закон изменения тока i2

в схеме рис. 5.35, если U =100 В, R = 8

Ом, R1 = 20 Ом, R2 = 30 Ом, L = 2 Гн..

Рис. 5.35

Решение

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-266-

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Вариант 1 1. Составим систему уравнений электрического состояния в

дифференциальной форме, включая в нее уравнение, связывающее искомую величину (ток i2 ) с величиной, подчиняющейся закону

коммутации (током i1):

R1i1

i −i1 −i2 = 0;

+ L ddit1 − R2i2 = 0; Ri + R2i2 =U.

2.Ищем закон изменения тока i1 = i1пр +i1св.

3.Вычислим принужденную составляющую при t = ∞, так как теоретически переходный процесс длится бесконечно долго. Цепь подключена к источнику постоянного напряжения, поэтому вместо индуктивного элемента будет «закоротка» (рис. 5.36).

iпр	R
	i1пр	i 2пр
U	R 1	R2

Рис. 5.36

Воспользуемся методом эквивалентных преобразований. Эквивалентное сопротивление

R	= R +	R1 R2	=8 +	20 30	= 20 Ом.

э	R1	+ R2	20 +30

Ток iпр = U =100 =5 А.

Rэ 20

Ток i1пр можно вычислить по формуле для определения тока в одной из двух пассивных параллельных ветвей:

i1пр =		R2	iпр =	30	5 = 3 А.
R + R	50
	1	2

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-267-

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

По первому закону Кирхгофа ток i2пр = iпр −i1пр = 5 −3 = 2 А. 4. Свободная составляющая i1св = Аерt .

4.1. Для нахождения показателя степени р перейдем к одноконтурной схеме. Закоротим источник ЭДС, разорвем ветвь с индуктивным элементом

(рис. 5.37).

L R 1 R2

Рис. 5.37

Эквивалентное сопротивление этой схемы

R	= R +	R1 R2	= 20 +	8 30	= 26,32 Ом.
	8 +30
э	1	R	+ R
		1	2

Внеразветвленной RL-цепи

р= − RLэ = − 26,322 = −13,16 c−1 .

4.2. Постоянную интегрирования А	ищем из начальных условий
с использованием законов коммутации.
При t =0+ i1(0+) = i1пр(0+) +i1св(0+).
	i(0-)	R

	U		R1

i1(0-)

Рис. 5.38

По первому закону коммутации i1(0+) =iL (0+) =iL (0−) . Найдем ток i1(0−) в схеме при t = 0 − (рис. 5.38). Схема одноконтурная, поэтому

i1(0−) =i(0−) = R U+ R1 =10028 =3,57 А.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-268-

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Принужденная составляющая является постоянной величиной, поэтому i1пр(0+) = 3 А. Свободная составляющая тока i1св(0+) = А. После подстановки

получим уравнение

3,57 = 3 + А.

Отсюда А= 0,57 .

Ток i1 меняется по закону:

		i = 3 + 0,57e−13,16t	А.
		1
5. Ищем закон изменения тока i	из уравнения	R i + L	di1	− R i = 0.

		2				1 1	dt	2 2

	R i	+ L di1
Отсюда i =	1 1	dt	= 20(3 + 0,57e−13,16t ) + 2(−13,16)0,57e−13,16t	=

2		R2			30

= 60 +11,4e−13,16t −15e−13,16t	= 2	−0,12e−13,16t А.
		30

Вариант 2

1. Ищем закон изменения тока i2 как сумму принужденной и свободной составляющих:

i2 = i2 пр +i2 св .

2.Вычислим i2 пр (см. вариант 1, п. 3): i2 пр = 2 А.

3.Свободная составляющая меняется по закону:

i2св = Веpt .

3.1.Найдем показатель степени р (см. вариант 1, п. 4.1):

р= −13,16с−1 .

3.2.Постоянную интегрирования В найдем из начальных условий с использованием первого закона коммутации:

i2 (0+) = i2 пр(0+) +i2 св(0+).

Значение тока i2 (0+) – зависимое начальное условие, которое ищут в два этапа.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-269-

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Этап 1. В схеме при t =0– определим независимое начальное условие ток i1(0−) (см. вариант 1, п. 4.2):

i1(0−) =3,57 А.

Этап 2. В схеме при t =0+, составленной с учетом независимого начального условия, ищем ток i2 (0+) . В индуктивном элементе есть ток,

поэтому вместо него – источник тока, совпадающий по направлению с i1(0−) .

Известное напряжение можно учесть источником ЭДС такого же напряжения, направленным противоположно (рис. 5.39).

i1(0+) i2(0+)

Рис. 5.39

Наиболее рационально вычислить ток i2 (0+) методом напряжения между двумя узлами. Напряжение

Uab (0+) =

E −i

(0+)

100

−3,57

8,93 = 56,52 В.

0,158

Uab (0+)

Ток i

(0+) =

= 56,52 =

1,88 А.

Принужденная

составляющая

тока

i2 пр(0+) = 2А. Свободная

составляющая i2 св(0+) = В. После подстановки получим

Отсюда В = −0,12 .

1,88 = 2 + В.

имеет вид

Тогда закон изменения тока i2

i2 = 2 −0,12е−13,16t .

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-270-

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Задачи 6–13 решите для самоконтроля.
	Задача6
Вычислить начальные значения токов iL (0+) ,	i1 (0+) , i2 (0+)	в схеме
рис. 5.41, если U = 40 В, R1 = R2 = 20 Ом, L = 2 Гн.
Ответ: iL (0+) = 2 А, i1 (0+) =1 А, i2 (0+) =1 А.
	Задача7
Вычислить принужденные составляющие токов iL пр , i1пр , i2 пр	в схеме
рис. 5.40, если U = 40 В, R1 = R2 = 20 Ом, L = 2 Гн.
iL	L
U	R1	R
	i1	i2
	Рис. 5.40

Ответ: iL пр = 4 А, i1пр = 2 А, i2 пр = 2 А.

Задача8

Определить длительность переходного процесса в схеме задачи 6.

Ответ: tпп = (0,6 −1) с.

Задача9

Вычислить принужденные составляющие токов i пр , i1пр , iL пр и напряжения uL пр в схеме рис. 5.41, если U = 40 В, R = R1 =10 Ом, L = 5 Гн.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-271-

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
i	R
U	R1	L
	i1	iL
	Рис. 5.41
Ответ: i пр = 4 А, i1пр = 0, iL пр = 4 А, uL пр = 0 .

Задача10

Определить	начальные	значения	токов	i(0+),	i1(0+) ,	iL (0+)	и
напряжение uL (0+) для схемы задачи 9.
Ответ: i(0+) = 2 А, i1(0+) = 2 А, iL (0+) = 0,	uL (0+) = 20 В.
		Задача11
Найти принужденные составляющие токов iпр, i1пр ,	iСпр и напряжения
uC пр в схеме рис. 5.42, если U =100 В, R = R1 = 50 Ом, C = 4 мкФ.
	i	R

	U		R1	С
			i1	iС
		Рис. 5.42
Ответ: iпр =1 А, i1пр =1 А, iСпр = 0 , uC пр = 50 В.
		Задача12
Вычислить	начальные	значения	токов	i(0+),	iС (0+) ,	i1(0+)	и

напряжения uC (0+) в схеме рис. 5.43, если U = 40 В, R = R1 = 20 Ом, C =1 мкФ.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-272-

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

i	R

U	С	R1
	i	i1
	С

Рис. 5.43

Ответ: i(0+) = 0 , iС (0+) = −2 А, i1(0+) = 2 А, uC (0+) = 40 В.

Задача13

Определить практическую длительность переходного процесса для схемы на рис. 5.43.

Ответ: tпп = (3 10−5 −5 10−5 ) с.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-273-

ГЛАВА 6 НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

ПОСТОЯННОГО ТОКА

Занятие1

Цели занятия:

1.Научиться находить рабочую точку графическим методом в неразветвленной цепи с одним нелинейным элементом.

2.Научиться находить рабочую точку графическим методом в разветвленной цепи с одним нелинейным элементом.

3.Научиться находить рабочую точку графическим методом в разветвленной цепи с несколькими нелинейными элементами.

Для цепи с двумя последовательно соединенными элементами, один из которых – линейный (рис. 6.1), рационально отыскание рабочей точки на пересечении вольт-амперной характеристики (ВАХ) нелинейного элемента (НЭ) с зеркальным отображением ВАХ линейного элемента.

		I	НЭ1		R

		U	U 1	U 2




			Рис. 6.1
Решение этим методом поясняет рис.	6.2. Строим ВАХ НЭ I(U1). В
рабочей точке на основании	второго	закона Кирхгофа	напряжение
U1 =U −U2 . Построим график	I(U −U2 ),	который является	зеркальным

отображением графика I(U2 ) , смещенного вправо на величину входного

напряжения U . Так как ВАХ линейного элемента является прямой линией, то для построения графика I(U −UЛЭ) нужны только две точки, одна из

которых с координатами (U,0). Очевидно, что графики пересекаются в рабочей точке А. Находим соответствующие ей значения тока I и напряжений U1 и U2 .

Для разветвленной схемы с одним нелинейным элементом, ток в котором и надо найти, в решении как промежуточный можно использовать метод эквивалентного генератора. Делим схему на две части: НЭ и всю остальную часть схемы, которая является активным двухполюсником.

Активный двухполюсник заменим эквивалентным ему генератором. Активный двухполюсник является линейной цепью, расчет которой намного проще, чем нелинейной. ЭДС генератора Ег равна напряжению холостого

хода на зажимах активного двухполюсника. Сопротивление Rг – это

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-274-

ГЛАВА 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

эквивалентное сопротивление пассивного двухполюсника относительно входных зажимов. Пассивный двухполюсник получаем из активного, закорачивая источники ЭДС и разрывая источники тока. Полученная схема представляет собой последовательное соединение нелинейного и линейного элементов.

I		I(U1 )
I(U–U2)
	I(U-U2 )

I A

Рабочую точку рационально найти на пересечении ВАХ НЭ и зеркального изображения ВАХ линейного элемента (рис. 6.2). График I(Ег −URг ) является прямой линией, зеркально отображающей график

I (URг ), смещенный вправо на величину Ег. Для его построения нужны две

точки. Одна из них с координатами (Ег,0).

Для построения второй точки можно задаться произвольным значением тока I j . Соответствующее ему напряжение U R j = RгI j отложим от

значения Ег влево. Отыскав рабочую точку А, найдем соответствующее ей значение тока I.

Задача1

Вычислить сопротивление R линейного элемента в схеме рис. 6.3, если входное напряжение U =120 В, напряжение на лампочке Uл = 75 В, ВАХ

лампочки задана табл. 6.1.

I R

Рис. 6.3

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-275-

ГЛАВА 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

								Решение
	1. Построим ВАХ лампочки (рис. 6.4).
		I, А							ВАХлампочки
		0,7
		0,6
		0,5	2					2
						B
						A			К задаче 5
		0,4
		0,3
		0,2										К задаче 2

		0,1
										1				1
					40		80	120	160		200 U, В
								Рис. 6.4
	2. Сопротивление R = U R .
	3. По		второму	I	закону		Кирхгофа		напряжение

U R =U −Uл =120 −75 = 45 В.							Uл = 75 В	ток
	4. Найдем	ток		схемы	по	ВАХ	лампочки. При
I ≈ 0,425 А.
	Тогда R =	45		=106 Ом.
				0,425										Таблица 6.1

U,	0	1	20	40		60	80	10	120	14	160	18	200	220	240	260
B		0						0		0		0
I,	0	0,	0,	0,		0,3	0,4	0,5	0,5	0,6	0,6	0,	0,7	0,7	0,7	0,75
A		1	18	3		8	5		5		5	7	2	3	4

Задача2

Найти ток в схеме рис. 6.3, если U = 200 В, R = 400 Ом.

Решение

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-276-

ГЛАВА 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Отыщем рабочую точку на пересечении ВАХ лампочки и зеркального отображения ВАХ линейного элемента, которое можно построить по двум точкам. Первая из них с координатами (200 В; 0). Для построения второй точки зададимся произвольным значением тока, например I j = 0,5 А. Тогда

UR j = R I j = 400 0,5 = 200 В. Отложим напряжение UR j от U = 200 В

влево. Получим вторую точку с координатами (0; 0,5 А). Рабочая точка А находится на пересечении двух графиков (см. рис. 6.4). Ей соответствует значение тока I ≈ 0,38 А.

Задачи 3 и 4 решите самостоятельно.

Задача3

Вычислить входное напряжение в схеме рис. 6.5, если ток I = 0,18 А.

Рис. 6.5

Ответ: U = 40 В.

Задача4

Вычислить мощность, потребляемую лампочкой в схеме рис. 6.3 при входном напряжении U =180 В, если при входном напряжении U = 220 В напряжение на лампочке Uл =127 В.

Ответ: Рл = 50 Вт.

Задача5

Вычислить мощность, потребляемую лампочкой в схеме рис. 6.6, если U =150 В, R1 =100 Ом, R2 = 400 Ом, ВАХ лампочки приведена на рис. 6.4.

Рис. 6.6

Решение

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-277-

ГЛАВА 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА
1. Заменим схему эквивалентной ей одноконтурной с помощью метода
эквивалентного генератора. Разделим схему на две части: лампочку и всю
остальную схему – активный двухполюсник (рис. 6.7), который заменим
эквивалентным ему генератором. ЭДС генератора
				Eг =Uхх = R2 Iхх .
Ток Iхх =		U	= 0,3 А.
R + R
Тогда Ег	1	2
= 400 0,3 =120 В.
				Iхх	R1
						a	R2
				U		Uхх
						b
					Рис. 6.7
Схема пассивного двухполюсника приведена на рис. 6.8.
Сопротивление
		R = R	= R1 R2	= 100 400 = 80 Ом.
		г	ab	R1	+ R2	100 + 400

R1							I Л
		а		R2		Ег

	b					Rг

Рис. 6.8						Рис. 6.9

Получившаяся одноконтурная схема изображена на рис. 6.9.

2. Найдем рабочую точку на пересечении ВАХ лампочки с зеркальным отображением ВАХ линейного резистора. Одна точка для построения графика I (Eг −U Rг ) – с координатами (120 В; 0). Для построения второй

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-278-

ГЛАВА 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА
точки зададимся значением тока I j = 0,5 А. Тогда URj	= Rг I j = 0,5 80 = 40
В. Отложим 40 В от 120 В влево и получим точку с координатами (80 В; 0,5
А). Проведем прямую через эти две точки (см. рис. 6.4). Рабочая точка В
позволяет определить Uл ≈83 В и Iл ≈ 0,45 А.
Мощность, потребляемая лампочкой,
Pл =Uл Iл =83 0,45 ≈ 37,4 Вт.
Задачу 6 решите самостоятельно.
	Задача6
Найти все токи в схеме рис. 6.6,	если U = 380 В,	R1 =300 Ом, R2 = 600
Ом.
Ответ: I1 = 0,8 А; I2 = 0,22 А; Iл = 0,58 А.
	Задача7
Вычислить напряжение на входе схемы рис.	6.6,	если R1 =50 Ом,
R2 =100Ом, ток Iл = 0,2 А, ВАХ лампочки приведена на рис. 6.10.
II,, AА
0,30,3
0,2
0,2
0,1
0,1
50	100100	150150	200200	U, В
					U, В

РисРис. 6..106.10

Решение

1. По ВАХ лампочки найдем напряжение между двумя узлами, равное напряжению на лампочке:

U12 =Uл =100 В.

2. Вычислим ток I2 по закону Ома

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-279-

ГЛАВА 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

I2 = U12 =100 =1 А.

R2 100

3. Вычислим ток I1 по первому закону Кирхгофа

I1 = I2 + Iл =1+ 0,2 =1,2 А.

4. Вычислим входное напряжение по второму закону Кирхгофа

U = R1 I1 +U12 =50 1,2 +100 =160 В.

Задача8

Найти ток в неразветвленной части цепи схемы рис. 6.11, если U =100 В, все лампочки одинаковые. ВАХ лампочки приведена на рис. 6.12.

Рис. 6.11

Решение

1.По ВАХ лампочки найдем ток I2 = 0,6 А.

2.В ветви с последовательным соединением двух одинаковых

лампочек на каждой лампочке напряжение Uл = U2 = 50 В.

3.По ВАХ лампочки найдем ток I1 = 0,4 А.

4.По первому закону Кирхгофа найдем ток

I = I1 + I2 = 0,4 + 0,6 =1 А.

Задачи 9–11 решите самостоятельно.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-280-

ГЛАВА 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

I, А
0,8
0,6
0,4
0,2
50	100	150	U, B
	Рис. 6.12
	Задача9

Найти напряжение на входе схемы рис. 6.11, если ток I1 = 0,4 А и все

лампочки одинаковые. ВАХ лампочки приведена на рис. 6.12. Ответ: U =100 В.

Задача10

Вычислить ток в неразветвленной части схемы рис. 6.11, если ток I1 = 0,4 А и все лампочки одинаковые. ВАХ лампочки приведена нарис. 6.12.

Ответ: I =1 А.

Задача11

Найти напряжение на входе схемы рис. 6.13, если ток I1 = 0,2 А и все лампочки одинаковые. ВАХ лампочки приведена на рис. 6.14.

Рис. 6.13

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-281-

ГЛАВА 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

I, А
0,6
0,4
0,2
50	100	150	200 U, В
	Рис. 6.14

Ответ: U = 200 В.

Занятие2

Цели занятия:

1.Научиться вычислять ток в нелинейном элементе методом итерации (последовательных приближений).

2.Научиться численному решению нелинейных уравнений методом Ньютона – Рафсона.

Сущность метода итерации (последовательных приближений) заключается в аналитическом решении системы алгебраических нелинейных уравнений. Статическое сопротивление нелинейного элемента должно быть задано в функции от тока или напряжения.

Пусть в схеме один нелинейный элемент (НЭ), ток в котором и надо найти. Остальную часть схемы (активный двухполюсник) заменим эквивалентным ему генератором (рис. 6.15).

Графическая иллюстрация решения методом итерации приведена на рис. 6.16.

Напряжение на нелинейном элементе U = Eг − RгI . Ток зависит от

статического сопротивления НЭ, которое, в свою очередь, зависит от напряжения, поэтому это уравнение является нелинейным: U = F(U ) .






		Рис. 6.15
						Рис. 6.16

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-282-

ГЛАВА 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Пусть напряжение в нулевом приближении U0 = Eг. На ВАХ НЭ

находим соответствующую рабочую точку b. Так как ток в схеме один, то току I0 на графике I(Eг − RгI) соответствует точка с. Напряжение на НЭ

U = Eг − RгI , поэтому переходим из точки с в точку d. Повторяя этот

процесс, получаем рабочую точку А.

Итерационный процесс может быть организован различными методами. Наиболее эффективным считается метод Ньютона – Рафсона. Пусть нелинейное уравнение f (x) = 0 имеет единственный корень x = xk +1.

В окрестности этого корня функция f (xk +1) разлагается в ряд Тейлора: f (xk+1) = f (xk + ∆xk ) ≈ f (x k ) + ∆xk f ′(xk ) = 0

Отсюда следует xk +1 = xk + ∆xk , где ∆xk = h = −	f (xk)	– поправка
f ′(xk )

к предыдущему решению. Из приведенных соотношений следует алгоритм метода Ньютона – Рафсона:

1. Задаем начальное приближенное значение искомого решения x0

(k = 0).

2. Определяем поправку h0 . Для ее вычисления по выражению функции находим производную.

3.Определяем уточненное значение корня x1 = x0 + h0 .

4.Повторяем процесс на следующем шаге и уточняем предыдущее решение до необходимой точности.

Геометрическая интерпретация метода приведена на рис. 6.17. В

качестве начального приближения примем U0 = Eг . В точке a проводим касательную к ВАХ НЭ, по касательной переходим на график I(Eг − RгI) в

точку b, далее в точку c на ВАХ НЭ, снова проводим касательную и т. д. Из рисунка видно, что число шагов, необходимых для нахождения решения в случае применения метода Ньютона – Рафсона, значительно меньше, чем при обычном итерационном процессе (рис. 6.16).

I		a	ВАХ НЭ

	b
	d
c	A	I (Eг −U )

Eг U

Рис. 6.17

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-283-

ГЛАВА 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

						Задача1
Вычислить ток Iн (рис. 6.18) с точностью до	пятого знака после
запятой, если	J1 = J4 =1 А, E2 =10 В,	E3 = 20 В,	R1 = R2 = R3 = 5 Ом,
R = R = 4 Ом, U	н	= 2 I 2 .
4 5		н		RН
					а	IН b
	J 1			R	2	U н	J 4	R 5


	R 1			E 2	R 3	R 4


				E 3


						Рис. 6.18

Решение

1. Заменим схему эквивалентной ей одноконтурной с током Iн. Для

этого разделим схему на две части: нелинейный элемент и всю остальную схему, которая является активным двухполюсником (рис. 6.19). Активный двухполюсник заменим эквивалентным ему генератором. Активный двухполюсник содержит две одноконтурные схемы, токи в которых соответственно J1 и J4 . ЭДС эквивалентного генератора равно

Uхх = −R5 J4 − E3 + E2 + R2 J1 = − 4 1 − 20 +10 + 5 1 = −9 В.

Знак минус показывает, что напряжение Uхх , следовательно, и ток Iн направлены противоположно указанным на схемах рис. 6.18 и 6.19.

		а U хх	b
J 1	R	2	J 4	R 5

R 1	E 2	R 4

		R 3	E 3
		Рис. 6.19

Пассивный двухполюсник представлен на рис. 6.20. Очевидно, что

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-284-

ГЛАВА 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Rг = R2 + R3 + R5 =5 +5 + 4 =14 Ом.

аb

Рис. 6.20

Схема превратилась в одноконтурную, аналогичную представленной на рис. 6.15.

2. Найдем рабочую точку графическим методом на пересечении ВАХ нелинейного элемента с зеркальным отображением ВАХ линейного

резистора. ВАХ нелинейного элемента задана зависимостью Uн = 2Iн2 . При токе Iн =1 А напряжение Uн = 2 В. При токе Iн =1,5 А напряжение Uн = 4,5 В, при токе Iн = 2 А−Uн =8 В (рис. 6.21).

I, A ВАХ НЭ

2 1,5 1

Iн (E Г –UR )

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 U, В

Рис. 6.21

Зеркальное отображение ВАХ линейного резистора строим по двум точкам. Первая – с координатами (Eг; 0) , т. е. (9; 0). Чтобы получить вторую

точку, примем, например, ток I2 = 0,5	А. Тогда U R	= Rг I2 =14	0,5	= 7 В.
			2
Это напряжение надо отложить влево от точки 1.
Получаем рабочую точку А. Ток Iн ≈ 0,6 А.
3. Вычислим ток Iн методом итерации. По закону Ома ток
Ik +1 =		Ег	,
Rг + Rст(Ik )

где k – номер приближения.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-285-

ГЛАВА 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Примем	I	= 0,6 А. Сопротивление R		=	U	н	=	2I 2		.
0			н = 2I	н
			ст		Iн			Iн
Данные расчета сведем в табл. 6.2.
								Таблица 6.2


k			Ik, А		Rст(Ik), Ом				Ik+1, А
0			0,6			1,2						0,59210
1			0,59210			1,18421					0,59272
2			0,59272			1,18544					0,59267
3			0,59267			1,18534					0,59268
4			0,59268			1,18535					0,59268

Ток Iн = 0,59268 А.

4. Вычислим ток Iн

методом Ньютона – Рафсона.

представленной на рис. 6.15,

справедливо выражениеRг Iн

которого получим

f (I

) = 2 I 2

+ R

− E

= 0 , где

2I 2

Производная

f ′(Iн) = 4 Iн + Rг .

Выберем значение тока

тогда уточненное решение после первого шага будет

Iн

= Iн

−

(Iн

)

= 0,6 −

2 0,62 +14 0,6 −

= 0,59268

f ′(Iн0 )

4 0,6 +14

Для схемы,

+Uн = Eг , из

Iн0 = 0,6 А,

А.

Верное решение получилось сразу после первой итерации. В качестве

исходного приближения возьмем	ток Iн	0	= 0	А, тогда Iн = 0,64286 А,
			1
Iн2 = 0,59298 А, Iн3 = 0,59268 А.	Мы видим,	что итерационный процесс

сходится за три шага. Это дает возможность взять начальное приближение, не строя графически ВАХ.

Задача2

Вычислить ток Iн в схеме рис. 6.21 с точностью до пятого знака после запятой, если Е = 20 В, J = 2 А, R1 = 5 Ом, R2 = R3 = 6 Ом, Rн = 0,8 Iн .

Решение

1. Заменим схему эквивалентной ей одноконтурной. Для этого заменим активный двухполюсник (рис. 6.22) эквивалентным ему генератором.

Выявим узлы (c, d), ветви, направим токи. ЭДС эквивалентного генератора

Ег =Uхх = R1 I1х .

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-286-

ГЛАВА 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

E		R 2		R 3
R 1				J
a	R н	b

				I н
	Рис. 6.22
		с
E				R 3
I		R	2


		I 2х	J
	R 1

	а	b

U хх

Рис. 6.23

Вычислим ток I1х методом напряжения между двумя узлами. Напряжение

+ J

+ 2

Ucd =

=16,36 В.

+ 1

Для ветви с искомым током

Ucd = −R1 I1x + E .

Отсюда I1x

E −Ucd

= 20 −16,36

= 0,728 А.

Тогда Uxх =5 0,728 =3,64 B = Eг .

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-287-

ГЛАВА 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Пассивный двухполюсник представлен на рис. 6.24.

									R 2
						R 1
						а		b
						Рис. 6.24
Очевидно, что
				R = R1 R2	= 5 6 = 2,73 Ом.
				г	R1 + R2	5 + 6

2. Найдем рабочую точку графическим методом. ВАХ нелинейного
элемента U	н	= R I	н	= 0,8I 2	. При токе I	н	=1 А напряжение U	н	= 0,8 В, при
	н	н
токе Iн =1,5 А напряжение Uн =1,8 В, при токе 2 А – Uн = 3,2 В (рис. 6.25).
		I, A							ВАХ НЭ
		2

		1,5		А
		1		Iн (Eг -UR )

								2
									1
		0			1	2		3	4 U, В

					Рис. 6.25

Зеркальное отображение ВАХ линейного резистора строим по двум точкам. Точка 1 с координатами (Ег; 0) , т. е. (3,64; 0). Для построения

точки 2 примем I2 = 0,5 А. Тогда U R2 = Rг I2 =1,36 В. Напряжение

Ег −U R2 = 3,64 −1,36 = 2,28 В.

Получаем рабочую точку А. Ток Iн ≈1,1 А.

3. Вычислим ток Iн методом итерации. По закону Ома

Ik +1 =	Ег	,
Rг + Rст(Ik )

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-288-

ГЛАВА 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

где k – номер приближения.

Примем I0 =1 А.

Данные расчета сведем в табл. 6.3

			Таблица 6.3

k	Ik, А	Rст(Ik), Ом	Ik+1, А
0	1	0,8	1,03116
1	1,03116	0,82493	1,02393
2	1,02393	0,81914	1,02560
3	1,02560	0,82048	1,02521
4	1,02521	0,82017	1,02530
5	1,02530	0,82024	1,02528
6	1,02528	0,82023	1,02528

Ток Iн =1,02528 А.

Задача3

Вычислить ток в нелинейном элементе схемы на рис. 6.26 методом Ньютона – Рафсона, если J = 2 А, E = 10 В, R = 5 Ом, Uн = 2Iн2 +1,2Iн +5 .

J		R	Uн	Iн

		НЭ
	I

Рис. 6.26

Решение

1. Запишем уравнение по второму закону Кирхгофа:

R I +Uн = E ,

где I = Iн − J.

2. После подстановки выражений Uн и I получим нелинейное уравнение

f(Iн) = 2Iн2 +1,2Iн +5 + R Iн − R J − E = 2Iн2 +6,2Iн −15 = 0 .

3.Найдем производную

f ′(Iн) = 4 Iн + 6,2.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-289-

ГЛАВА 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

4. Выберем начальное приближение Iн0 = 3 А. Тогда значение тока после первого шага будет

Iн	= Iн		−	f (Iн	0	)	= 3 −	2 32 +6,2 3 −15	=1,81319	А.
	f ′(Iн0 )	4 3	+6,2
1		0

На втором и последующих шагах	Iн2 =1,60378 А, Iн3 =1,59683 А,
Iн4 =1,59682 А,	Iн5	=1,59682 А.

Занятие3

Цель занятия: научиться расчету нелинейных цепей методом напряжения между двумя узлами.

Цепи с двумя узлами часто встречаются на практике. Рассмотрим метод на примере конкретной задачи.

Задача1

Вычислить все токи в схеме на рис. 6.27, если Е1 = 4 В, Е2 = 6 В, Е3 =3 В. ВАХ нелинейных элементов НЭ1, НЭ2, НЭ3 для первой четверти

приведены соответственно в табл. 6.4, 6.5, 6.6. ВАХ всех НЭ являются симметричными.

Таблица 6.4

I1	,			0	0,3		0,75		1,25		1,5		2			2,25		2,5		2,7		2,75		2,85		2,9			3
А
U1	,			0	1		2		3		4		5			6		7			8		9			10		11		12
В
																															Таблица 6.5

I2 , А			0				0,5		1					1,5				2					2,25				3
U2 , В			0				2		4					6				6					6				6
																															Таблица 6.6

I3	,			0		0,25		0,35		0,5		0,75		1		1,5		2	2,25		2,5	2,75		3
А

U2		0		1			2			3			4		5		6			6,5	7			7,5	8		8

						Теоретические основы электротехники. Практикум										-290-

ГЛАВА 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

I1	а	I3
	I2
НЭ1	НЭ2	НЭ3
Е1	Е	Е3
	2

Рис. 6.27

Решение

1. Запишем уравнение на основании первого закона Кирхгофа:

I1 − I2 + I3 = 0 .

Для решения более удобна запись в виде I2 = I1 + I3 . Это уравнение

является условием для нахождения рабочей точки.

2. Приведем токи к зависимости от одного аргумента. В условии токи ветвей заданы в функции от разных переменных: I1(U1) , I2 (U2 ), I3 (U3 ) .

Общим для всех ветвей является напряжение между двумя узлами Uab . Запишем выражения напряжения Uab для всех трех ветвей схемы:

Uab = Е1 −U1 ; Uab = Е2 +U2 ;

Uab = −Е3 −U3 .

3. Построим графики токов I1(Uab ) , I2 (Uab ), I3 (Uab ) на основании полученных уравнений. График I1(Uab ) является зеркальным отображением

графика I1(U1) ,	смещенным по оси абсцисс вправо на величину ЭДС Е1 = 4
В (рис. 6.28).	График I2 (Uab ) представляет собой	график	I2 (U2 ),
смещенный вправо по оси абсцисс на величину ЭДС	Е2 = 6 В.	График

I3 (Uab ) является зеркальным отображением графика I3 (U3 ) , смещенным по оси абсцисс влево на величину ЭДС Е3 =3 В.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-291-

ГЛАВА 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

I, А

I3(Uab) I1(Uab)

2,5

1,5

0,5

–12 –10

–8

–6

–4

–2

–0,5

–1

–1,5

–2

–2,5

–3

I2(Uab)

(I1 + I3)(Uab)

Рис. 6.28

4. Найдем рабочую точку на пересечении графиков (I1 + I3 ) = f (Uab ) и I2 = f (Uab ). Для получения графика (I1 + I3 ) = f (Uab ) при ряде значений напряжения Uab суммируем токи I1 и I3.

5. Определим токи в ветвях и напряжение Uab . Для этого через

рабочую точку А проводим вертикаль. На ее пересечении с осью абсцисс получаем значение напряжения Uab ≈ 2,8 В, на пересечении с графиками

токов – токи I1 ≈ 0,48 А, I2 ≈ −0,8 А, I3 ≈ −1,28 А.

Токи I2 и I3 получились с отрицательными знаками, что

свидетельствует о неправильно выбранных направлениях этих токов. Покажем верные направления токов I2 и I3 на рис. 6.27 пунктирными

стрелками.

Задачи 2 и 3 решите самостоятельно. ВАХ нелинейных элементов такие же, что и в задаче 1.

Задача2

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-292-

ГЛАВА 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА
Вычислить все токи в схеме на рис. 6.29, если	Е1 =5 В,	Е2 = 2 В,
Е3 = 6 В.	а

I1	I	I3

	2
Е1	Е2	Е
		3
НЭ1	НЭ2	НЭ3

	b
	Рис. 6.29
Ответ: I1 = −1,75 А, I2 = 0,35 А, I3 = −2,1 А.
	Задача3
Вычислить все токи в схемерис. 6.30, если Е1 =5 В,	Е2 = 2 В,	Е3 = 6 В.
	а
I1	I	I3
	2
Е1	Е2	Е3
НЭ1	НЭ2	НЭ3

	b
	Рис. 6.30
Ответ: I1 = −2 А, I2 = 0,5 А,	I3 = −1,5 А.
 Теоретические основы электротехники. Практикум		-293-

Источник

Господа, в сегодняшней статье я хотел бы рассмотреть такой интересный вопрос, как конденсатор в цепи переменного тока. Эта тема весьма важна в электричестве, поскольку на практике конденсаторы повсеместно присутствуют в цепях с переменным током и, в связи с этим, весьма полезно иметь четкое представление, по каким законам изменяются в этом случае сигналы. Эти законы мы сегодня и рассмотрим, а в конце решим одну практическую задачу определения тока через конденсатор.

Господа, сейчас для нас наиболее интересным моментом является то, как связаны между собой напряжение на конденсаторе и ток через конденсатор для случая, когда конденсатор находится в цепи переменного сигнала.

Почему сразу переменного? Да просто потому, что конденсатор в цепи постоянного тока ничем не примечателен. Через него течет ток только в первый момент, пока конденсатор разряжен. Потом конденсатор заряжается и все, тока нет (да-да, слышу, уже начали кричать, что заряд конденсатора теоретически длится бесконечно долгое время, да еще у него может быть сопротивление утечки, но пока что мы этим пренебрегаем). Заряженный конденсатор для постоянного тока – это как разрыв цепи. Когда же у нас случай переменного тока – тут все намного интереснее. Оказывается, в этом случае через конденсатор может протекать ток и конденсатор в этом случае как бы эквивалентен резистору с некоторым вполне определенным сопротивлением (если пока забить забыть про всякие там сдвиги фазы, об этом ниже). Нам надо каким-нибудь образом получить связь между током и напряжением на конденсаторе.

Пока мы будем исходить из того, что в цепи переменного тока находится только конденсатор и все. Без каких-либо других компонентов типа резисторов или индуктивностей. Напомню, что в случае, когда у нас в цепи находится исключительно одни только резисторы, подобная задача решается очень просто: ток и напряжения оказываются связанными между собой через закон Ома. Мы про это уже не один раз говорили. Там все очень просто: делим напряжение на сопротивление и получаем ток. А как же быть в случае конденсатора? Ведь конденсатор-то это не резистор. Там совсем иная физика протекания процессов, поэтому вот так вот с наскока не получится просто связать между собой ток и напряжение. Тем не менее, сделать это надо, поэтому давайте попробуем порассуждать.

Сперва давайте вернемся назад. Далеко назад. Даже очень далеко. К самой-самой первой моей статье на этом сайте. Старожилы должно быть помнят, что это была статья про силу тока. Вот в этой самой статье было одно интересное выражение, которое связывало между собой силу тока и заряд, протекающий через сечение проводника. Вот это самое выражение

Кто-нибудь может возразить, что в той статье про силу тока запись была через Δq и Δt – некоторые весьма малые величины заряда и времени, за которое этот заряд проходит через сечение проводника. Однако здесь мы будем применять запись через dq и dt – через дифференциалы. Такое представление нам потребуется в дальнейшем. Если не лезть глубоко в дебри матана, то по сути dq и dt здесь особо ничем не отличаются от Δq и Δt. Безусловно, глубоко сведущие в высшей математике люди могут поспорить с этим утверждением, но да сейчас я не хочу концентрировать внимание на данных вещах.

Итак, выражение для силы тока мы вспомнили. Давайте теперь вспомним, как связаны между собой емкость конденсатора С, заряд q, который он в себе накопил, и напряжение U на конденсаторе, которое при этом образовалось. Ну, мы же помним, что если конденсатор накопил в себе какой-то заряд, то на его обкладках неизбежно возникнет напряжение. Про это все мы тоже говорили раньше, вот в этой вот статье. Нам будет нужна вот эта формула, которая как раз и связывает заряд с напряжением

Давайте-ка выразим из этой формулы заряд конденсатора:

А теперь есть очень большой соблазн подставить это выражение для заряда конденсатора в предыдущую формулу для силы тока. Приглядитесь-ка повнимательнее – у нас ведь тогда окажутся связанными между собой сила тока, емкость конденсатора и напряжение на конденсаторе! Сделаем эту подстановку без промедлений:

Емкость конденсатора у нас является величиной постоянной. Она определяется исключительно самим конденсатором, его внутренним устройством, типом диэлектрика и всем таким прочим. Про все это подробно мы говорили в одной из прошлых статей. Следовательно, емкость С конденсатора, поскольку это константа, можно смело вынести за знак дифференциала (такие вот правила работы с этими самыми дифференциалами). А вот с напряжением U нельзя так поступить! Напряжение на конденсаторе будет изменяться со временем. Почему это происходит? Ответ элементарный: по мере протекания тока на обкладках конденсатора, очевидно, заряд будет изменяться. А изменение заряда непременно приведет к изменению напряжения на конденсаторе. Поэтому напряжение можно рассматривать как некоторую функцию времени и его нельзя выносить из-под дифференциала. Итак, проведя оговоренные выше преобразования, получаем вот такую вот запись:

Господа, спешу вас поздравить – только что мы получили полезнейшее выражение, которое связывает между собой напряжение, приложенное к конденсатору, и ток, который течет через него. Таким образом, если мы знаем закон изменения напряжения, мы легко сможем найти закон изменения тока через конденсатор путем простого нахождения производной.

А как быть в обратном случае? Допустим, нам известен закон изменения тока через конденсатор и мы хотим найти закон изменения напряжения на нем. Читатели, сведущие в математике, наверняка уже догадались, что для решения этой задачи достаточно просто проинтегрировать написанное выше выражение. То есть, результат будет выглядеть как-то так:

По сути оба этих выражений про одно и тоже. Просто первое применяется в случае, когда нам известен закон изменения напряжения на конденсаторе и мы хотим найти закон изменения тока через него, а второе – когда нам известно, каким образом меняется ток через конденсатор и мы хотим найти закон изменения напряжения. Для лучшего запоминания всего этого дела, господа, я приготовил для вас поясняющую картинку. Она изображена на рисунке 1.

Рисунок 1 – Поясняющая картинка

На ней, по сути, в сжатой форме изображены выводы, которые хорошо бы запомнить.

Господа, обратите внимание – полученные выражения справедливы для любого закона изменения тока и напряжения. Здесь не обязательно должен быть синус, косинус, меандр или что-то другое. Если у вас есть какой-то совершенно произвольный, пусть даже совершенно дикий, не описанный ни в какой литературе, закон изменения напряжения U(t), поданного на конденсатор, вы, путем его дифференцирования можете определить закон изменения тока через конденсатор. И аналогично если вы знаете закон изменения тока через конденсатор I(t) то, найдя интеграл, сможете найти, каким же образом будет меняться напряжение.

Итак, мы выяснили как связать между собой ток и напряжение для абсолютно любых, даже самых безумных вариантов их изменения. Но не менее интересны и некоторые частные случаи. Например, случай успевшего уже нам всем полюбиться синусоидального тока. Давайте теперь разбираться с ним.

Пусть напряжение на конденсаторе емкостью C изменяется по закону синуса вот таким вот образом

Какая физическая величина стоит за каждой буковкой в этом выражении мы подробно разбирали чуть раньше. Как же в таком случае будет меняться ток? Используя уже полученные знания, давайте просто тупо подставим это выражение в нашу общую формулу и найдем производную

Или можно записать вот так

Господа, хочу вам напомнить, что синус ведь только тем и отличается от косинуса, что один сдвинут относительно другого по фазе на 90 градусов. Ну, или, если выражаться на языке математики, то . Не понятно, откуда взялось это выражение? Погуглите формулы приведения . Штука полезная, знать не помешает. А еще лучше, если вы хорошо знакомы с тригонометрическим кругом, на нем все это видно очень наглядно.

Господа, отмечу сразу один момент. В своих статьях я не буду рассказывать про правила нахождения производных и взятия интегралов. Надеюсь, хотя бы общее понимание этих моментов у вас есть. Однако даже если вы не знаете, как это делать, я буду стараться излагать материал таким образом, чтобы суть вещей была понятна и без этих промежуточных выкладок. Итак, сейчас мы получили немаловажный вывод – если напряжение на конденсаторе изменяется по закону синуса, то ток через него будет изменяться по закону косинуса. То есть ток и напряжение на конденсаторе сдвинуты друг относительно друга по фазе на 90 градусов. Кроме того, мы можем относительно легко найти и амплитудное значение тока (это множители, которые стоят перед синусом). Ну то есть тот пик, тот максимум, которого ток достигает. Как видим, оно зависит от емкости C конденсатора, амплитуды приложенного к нему напряжения U_m и частоты ω. То есть чем больше приложенное напряжение, чем больше емкость конденсатора и чем больше частота изменения напряжения, тем большей амплитуды достигает ток через конденсатор. Давайте построим график, изобразив на одном поле ток через конденсатор и напряжение на конденсаторе. Пока без конкретных цифр, просто покажем качественный характер. Этот график представлен на рисунке 2 (картинка кликабельна).

Рисунок 2 – Ток через конденсатор и напряжение на конденсаторе

На рисунке 2 синий график – это синусоидальный ток через конденсатор, а красный – синусоидальное напряжение на конденсаторе. По этому рисунку как раз очень хорошо видно, что ток опережает напряжение (пики синусоиды тока находятся левее соответствующих пиков синусоиды напряжения, то есть наступают раньше).

Давайте теперь проделаем работу наоборот. Пусть нам известен закон изменения тока I(t) через конденсатор емкостью C. И закон этот пусть тоже будет синусоидальным

Давайте определим, как в таком случае будет меняться напряжение на конденсаторе. Воспользуемся нашей общей формулой с интегральчиком:

По абсолютнейшей аналогии с уже написанными выкладками, напряжение можно представить вот таким вот образом

Здесь мы снова воспользовались интересными сведениями из тригонометрии, что . И снова формулы приведения придут вам на помощь, если не понятно, почему получилось именно так.

Какой же вывод мы можем сделать из данных расчетов? А вывод все тот же самый, какой уже был сделан: ток через конденсатор и напряжение на конденсаторе сдвинуты по фазе друг относительно друга на 90 градусов. Более того, они не просто так сдвинуты. Ток опережает напряжение. Почему это так? Какая за этим стоит физика процесса? Давайте разберемся.

Представим, что незаряженный конденсатор мы подсоединили к источнику напряжения. В первый момент никаких зарядов в конденсаторе вообще нет: он же разряжен. А раз нет зарядов, то нет и напряжения. Зато ток есть, он возникает сразу при подсоединении конденсатора к источнику. Замечаете, господа? Напряжения еще нет (оно не успело нарасти), а ток уже есть. И кроме того, в этот самый момент подключения ток в цепи максимален (разряженный конденсатор ведь по сути эквивалентен короткому замыканию цепи). Вот вам и отставание напряжения от тока. По мере протекания тока, на обкладках конденсатора начинает накапливаться заряд, то есть напряжение начинает расти а ток постепенно уменьшаться. И через некоторое время накопится столько заряда на обкладках, что напряжение на конденсаторе сравняется с напряжением источника и ток в цепи совсем прекратится.

Теперь давайте этот самый заряженный конденсатор отцепим от источника и закоротим накоротко. Что получим? А практически то же самое. В самый первый момент ток будет максимален, а напряжение на конденсаторе останется таким же, какое оно и было без изменений. То есть снова ток впереди, а напряжение изменяется вслед за ним. По мере протекания тока напряжение начнет постепенно уменьшаться и когда ток совсем прекратится, оно тоже станет равным нулю.

Для лучшего понимания физики протекающих процессов можно в который раз уже использовать водопроводную аналогию. Представим себе, что заряженный конденсатор – это некоторый бачок, полный воды. У этого бачка есть внизу краник, через который можно спустить воду. Давайте этот краник откроем. Как только мы его откроем, вода потечет сразу же. А давление в бачке будет падать постепенно, по мере того, как вода будет вытекать. То есть, грубо говоря, ручеек воды из краника опережает изменение давления, подобно тому, как ток в конденсаторе опережает изменение напряжения на нем.

Подобные рассуждения можно провести и для синусоидального сигнала, когда ток и напряжения меняются по закону синуса, да и вообще для любого. Суть, надеюсь, понятна.

Давайте проведем небольшой практический расчет переменного тока через конденсатор и построим графики.

Пусть у нас имеется источник синусоидального напряжения, действующее значение равно 220 В, а частота 50 Гц. Ну, то есть все ровно так же, как у нас в розетках. К этому напряжению подключают конденсатор емкостью 1 мкФ. Например, пленочный конденсатор К73-17, рассчитанный на максимальное напряжение 400 В (а на меньшее напряжение конденсаторы ни в коем случае нельзя подключать в сети 220 В), выпускается с емкостью 1 мкФ. Чтобы вы имели представление, с чем мы имеем дело, на рисунке 3 я разместил фотографию этого зверька (спасибо Diamond за фото )

Рисунок 3 – Ищем ток через этот конденсатор

Требуется определить, какая амплитуда тока будет протекать через этот конденсатор и построить графики тока и напряжения.

Сперва нам надо записать закон изменения напряжения в розетке. Если вы помните, амплитудное значение напряжения в этом случае равно около 311 В. Почему это так, откуда получилось, и как записать закон изменения напряжения в розетке, можно прочитать вот в этой статье. Мы же сразу приведем результат. Итак, напряжение в розетке будет изменяться по закону

Теперь мы можем воспользоваться полученной ранее формулой, которая свяжет напряжение в розетке с током через конденсатор. Выглядеть результат будет так

Мы просто подставили в общую формулу емкость конденсатора, заданную в условии, амплитудное значение напряжения и круговую частоту напряжения сети. В результате после перемножения всех множителей имеем вот такой вот закон изменения тока

Вот так вот, господа. Получается, что амплитудное значение тока через конденсатор чуть меньше 100 мА. Много это или мало? Вопрос нельзя назвать корректным. По меркам промышленной техники, где фигурируют сотни ампер тока, очень мало. Да и для бытовых приборов, где десятки ампер не редкость – тоже. Однако для человека даже такой ток представляет большую опасность! Отсюда следует вывод, что хвататься за такой конденсатор, подключенный к сети 220 В не следует . Однако на этом принципе возможно изготовление так называемых источников питания с гасящим конденсатором. Ну да это тема для отдельной статьи и здесь мы не будем ее затрагивать.

Все это хорошо, но мы чуть не забыли про графики, которые должны построить. Надо срочно исправляться! Итак, они представлены на рисунке 4 и рисунке 5. На рисунке 4 вы можете наблюдать график напряжения в розетке, а на рисунке 5 – закон изменения тока через конденсатор, включенный в такую розетку.

Рисунок 4 – График напряжения в розетке

Рисунок 5 – График тока через конденсатор

Как мы можем видеть из этих рисунков, ток и напряжение сдвинуты на 90 градусов, как и должно быть. И, возможно, у читателя возникла мысль – если через конденсатор течет ток и на нем падает какое-то напряжение, вероятно, на нем должна выделяться и некоторая мощность. Однако спешу предупредить вас – для конденсатора дело обстоит совершенно не так. Если рассматривать идеальный конденсатор, то мощность на нем не будет вообще выделяться, даже при протекании тока и падении на нем напряжения. Почему? Как же так? Об этом – в будущих статьях. А на сегодня все. Спасибо что читали, удачи, и до новых встреч!

Вступайте в нашу группу Вконтакте

Вопросы и предложения админу: This email address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it.

Источник

Содержание:

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами:

В предыдущих главах электрические цепи постоянного и переменного токов и их расчет рассмотрены в установившемся режиме, т. е. при установившихся напряжениях и токах.

В установившемся режиме напряжения и токи во всех участках электрической цепи остаются неизменными в течение сколь угодно большого промежутка времени. В понятие неизменных напряжений и токов в данном случае включаются не только постоянные, но и синусоидальные напряжения и токи с постоянными амплитудой и частотой.

По условиям эксплуатации и характеру работы электроустановок или по другим (в том числе случайным) причинам изменяются режимы в электрических цепях.

Для перехода от одного установившегося режима к другому требуется некоторый переходный период, в течение которого изменяются величины токов и напряжений в электрической цепи. С большей или меньшей скоростью эти величины приходят в соответствие с условиями нового режима.
В последующих параграфах для переходных периодов в некоторых простых цепях найдены зависимости тока и напряжения от времени, позволяющие определить их величины в любой момент.

Общие сведения о переходных процессах

Для изучения переходных процессов в простой или сложной цепи необходимо рассмотреть общие сведения о них. В числе таких сведений отметим причины возникновения переходных процессов, основные определения и два закона коммутации, на которых основаны исследования переходных процессов.

Причины возникновения переходных процессов

Переходные процессы возникают вследствие изменения э. д. с. в цепи, напряжения, приложенного к цепи, или в связи с изменением ее параметров — сопротивления, индуктивности или емкости.

Непосредственными причинами возникновения переходных процессов могут быть: коммутационные изменения режимов, т.е. включение и выключение источников питания, приемников энергии; короткие замыкания на участках электрических цепей; изменения механической нагрузки электродвигателей и др.

Электромагнитные процессы, происходящие в электрических целях при переходе от одного установившегося режима к другому, называют переходными процессами.

Электрические токи, напряжения в цепи во время переходного процесса называют переходными токами или напряжениями.

Продолжительность переходных процессов в электрических цепях (переходный период) чаще всего составляет десятые и сотые доли секунды. Однако знание характера их очень важно, так как и за малое время возможны резкие увеличения токов и напряжений, которые могут оказаться опасными для электрических установок.

В устройствах связи, автоматики, счетно-решающей техники, радиотехники с помощью переходных процессов формируются импульсы — сигналы, несущие определенную информацию.

Изучение переходных процессов в этих устройствах необходимо для оценки тех изменений, которые они могут внести в электрические сигналы.
Соотношение длительностей установившихся и переходных режимов может быть самым различным и зависит от условий эксплуатации и назначения электрических цепей. Одни из них по продолжительности практически все время работают в установившемся режиме (двигатели с длительной неменяющейся нагрузкой, лампы электрического освещения), другие, наоборот, непрерывно находятся в переходном режиме (двигатели с повторно-кратковременной нагрузкой, линии связи во время передачи информации, импульсные устройства автоматики, счетно-решающие машины в период работы).

Первый закон коммутации

Первый закон коммутации применяется к цепям, обладающим индуктивностью.

Ток в индуктивности не может измениться скачком. Поэтому мгновенный ток в ветви с индуктивностью в первый момент переходного периода остается таким, каким он был в последний момент предшествующего установившегося режима.

Справедливость первого закона коммутации следует из простых рассуждений, которые изложим применительно к случаю включения катушки индуктивности на постоянное напряжение U (рис. 25.1).
До замыкания рубильника Р установившийся режим характеризуется тем, что ток в цепи, напряжения активное u_R и индуктивное u_L равны нулю.

С момента замыкания рубильника возникает переходный процесс, в течение которого ток в катушке увеличивается до некоторой величины i = I, изменяются и напряжения u_R и u_L. Электрическое состояние цепи по схеме рис. 25.1 в любой момент переходного периода характеризуется уравнением

В установившемся режиме при замкнутом рубильнике Р ток в цепи постоянный, т. е. скорость изменения тока равна нулю: , поэтому и индуктивное напряжение u_L равно нулю. Напряжение источника полностью приложено к сопротивлению R, и ток в цепи определяется согласно закону Ома:

Предположим, что переходный период отсутствует и ток в катушке мгновенно () увеличился от 0 до конечной величины I. Тогда скорость изменения тока должна быть равна бесконечности ().
Но это противоречит уравнению (25.1), в котором напряжение источника U — конечная величина. Изменение тока скачком означало бы также, что энергия магнитного поля катушки увеличилась скачком от 0 до Для мгновенного изменения запаса энергии в магнитном поле цепи требуется источник бесконечно большой мощности , что лишено физического смысла.

Из первого закона коммутации следует, что в начальный момент после замыкания рубильника (при t = 0) ток в цепи равен нулю (i₀ = 0), падение напряжения в сопротивлении i₀R = 0, а индуктивное напряжение — напряжению источника u_0L = U и цепь как бы разомкнута индуктивностью.

Второй закон коммутации

Второй закон коммутации применяется к цепям, обладающим емкостью.

Напряжение на емкости не может измениться скачком. Поэтому напряжение на емкости в первый момент переходного периода остается таким, каким оно было в последний момент предшествующего установившегося режима.

Рассуждения, подтверждающие второй закон коммутации, приведем применительно к случаю зарядки конденсатора через резистор (включение цепи с R и С на постоянное напряжение, рис. 25.2). До замыкания рубильника Р установившийся режим характеризуется тем, что ток в цепи на резисторе и конденсаторе равны нулю.

Рис. 25.2. Ко второму закону коммутации

С момента замыкания рубильника возникает переходный процесс, в течение которого напряжение на конденсаторе увеличивается до напряжения источника U (конденсатор заряжается), изменяются ток в цепи и напряжение на резисторе.

Электрическое состояние цепи (рис. 25.2) в любой момент переходного периода характеризуется уравнением, составленным по второму закону Кирхгофа:

Ток в цепи пропорционален скорости изменения напряжения на конденсаторе:

Учитывая это, получаем

Приложенное к цепи напряжение (напряжение источника) делится на две части: одна из них () компенсирует падение напряжения в резисторе, а другая (u_C) равна напряжению в конденсаторе.

В установившемся режиме при замкнутом рубильнике Р напряжение на конденсаторе не изменяется, т. е. скорость изменения напряжения на конденсаторе равна нулю (), поэтому и ток в цепи равен нулю (i_у = 0). Напряжение на резисторе равно нулю, и, следовательно, напряжение источника полностью приложено к конденсатору: (т. е. цепь разомкнута конденсатором).

Доказательства существования переходного периода при зарядке конденсатора аналогичны тем, которые были ранее приведены для цепи с катушкой индуктивности.
Предположим, что в момент замыкания рубильника Р напряжение на конденсаторе изменилось скачком от 0 до U. Такое предположение означает конечное изменение напряжения за время, равное нулю, т. е. , что противоречит уравнению (25.4), в котором напряжение источника — конечная величина. Кроме того, при изменении напряжения на конденсаторе скачком энергия электрического поля должна увеличиться мгновенно от 0 до . Для такого скачкообразного изменения энергии требуется источник бесконечно большой мощности, чего в действительности быть не может. Из второго закона коммутации следует, что в начальный момент переходного периода (при t = 0) напряжение на конденсаторе равно нулю (u_C0 = 0) (конденсатор как бы замкнут накоротко). Напряжение на резисторе равно напряжению источника i₀R = U, а ток в цепи i₀ = U/R.

Включение катушки индуктивности на постоянное напряжение

После включения катушки к источнику постоянного напряжения ток в цепи рис. 25.1 увеличивается, но не мгновенно. Перейдем к более подробному анализу переходного процесса.

График переходного тока

Закон изменения тока в катушке после замыкания рубильника в схеме рис. 25.1 можно выяснить, используя уравнение (25.1) в преобразованном виде:

В первый момент переходного периода ток в цепи с R и L равен нулю (i₀ = 0).

Поэтому независимо от величины сопротивления R скорость изменения тока в начальный момент переходного периода выражается отношением величины напряжения к индуктивности:

Из этого выражения следует, что сразу после включения цепи ток начинает увеличиваться по линейному закону с наибольшей в данных условиях скоростью.

Но так происходит лишь в начальный момент переходного периода. Как только в цепи появился ток, хоть и малой величины, одновременно возникло падение напряжения iR [см. уравнение (25.1)], а индуктивное напряжение соответственно уменьшилось. Уменьшение индуктивного напряжения немедленно вызовет снижение скорости изменения тока.

Рис. 25.3. График переходного тока после включения цепи на постоянное напряжение

Таким образом, рассматриваемый переходный процесс в катушке (при постоянных величинах U, R, L) отличается тем, что с увеличением тока уменьшается скорость его изменения. По этой причине график тока (кривая i на рис. 25.3) с течением времени все более отклоняется от прямой i_L, которая соответствует начальной скорости переходного процесса. Прямая i_L, как нетрудно заметить, является касательной к кривой переходного тока i реальной цепи, а наклон ее к оси абсцисс характеризует наибольшую скорость изменения тока, возможную при заданных условиях.

Теоретически переходный процесс продолжается бесконечно долго, а ток в цепи асимптотически стремится к установившемуся I = U/R.

Постоянная времени электрической цепи

Если предположить, что при наличии в цепи сопротивления R ток изменялся бы по линейному закону с наибольшей скоростью (прямая i_L), то установившейся величины I он достиг бы за наименьшее время t = τ. Этот промежуток времени является важной характеристикой и называется постоянной времени электрической цепи.

Постоянную времени можно определить графически (рис. 25.3). Для этого нужно провести касательную Оа к кривой тока в начале координат; точку пересечения касательной с асимптотой спроектировать на ось времени. Отрезок Оа’ в масштабе времени выражает постоянную времени τ.
Такую же длину имеет отрезок , который можно получить, если провести касательную к кривой тока в любой точке , найти точку пересечения касательной с асимптотой и спроектировать точки и на ось времени.
Из рис. 25.3 можно получить аналитическое выражение для определения постоянной времени. Прямая представляет собой график изменения тока (i_L) в идеальной катушке без сопротивления.
Это следует из уравнения (25.5): при R = 0

Отсюда

По графику при t = τ i = I.
Так как U = IR, то постоянная времени

Постоянная времени, как видно из последней формулы, определяется только параметрами R, L данной цепи.

Уравнение кривой переходного тока

Уравнение кривой переходного тока в катушке после замыкания рубильника в схеме рис. 25.1 можно получить, используя уравнение (25.1) в таком виде:

Проинтегрируем обе части этого дифференциального уравнения:

В результате интегрирования получим

или

(постоянная интегрирования взята в форме для упрощения окончательного выражения переходного тока). Потенцируя, находим

Постоянная интегрирования К₂ определяется из начальных условий: согласно первому закону коммутации, в начальный момент переходного периода ток в цепи равен нулю, так как он был равен нулю в последний момент до включения рубильника.
Подставив в последнее равенство t = 0 и i = 0, найдем

Определив К₂ из начальных условий, получим окончательно уравнение для переходного тока

В этом уравнении τ = L/R — уже известная постоянная времени цепи.
Уравнению (25.8) соответствует график переходного тока (кривая i на рис. 25.3).
Как было отмечено, переходный процесс продолжается бесконечно долго. Это подтверждается уравнением (25.8), согласно которому ток устанавливается при t = ∞. В практике переходный период считается законченным по истечении времени, равном (4 ÷ 5)τ, когда ток отличается от установившегося примерно на 1%.

Принужденная и свободная составляющие переходного тока

Из уравнения (25.8) видно, что переходный ток можно рассматривать как алгебраическую сумму двух составляющих:

Первая составляющая представляет собой ток, установившийся в цепи по окончании переходного процесса (прямая i_пр на рис. 25.3):

Этот ток определяется непрерывным действием постоянного напряжения U в переходном и установившемся режимах. Его принято называть принужденным током.

Вторая составляющая возникает в начале переходного процесса и постепенно затухает до нуля, после чего переходный процесс считается законченным (кривая i_св на рис. 25.3). Эта составляющая переходного тока называется свободным током. Он изменяется по закону

Из уравнения (25.10) следует:
постоянная времени электрической цепи равна интервалу времени, в течение которого свободный ток в этой цепи убывает в е раз.

График переходного тока (рис. 25.3) можно получить, сложив графики принужденного и свободного токов. Однако нужно помнить, что физически реальным в течение переходного процесса является общий ток, постепенно нарастающий от начального (i = 0) до установившегося (i = I).
Одновременно с увеличением тока происходит процесс постепенного изменения (в данном случае накопления) энергии в магнитном поле.

Влияние величины напряжения и параметров цепи на переходный процесс

Переходный процесс при включении цепи с R и L на постоянное напряжение U характеризуют три показателя: установившийся ток, начальная скорость изменения тока и постоянная времени цепи [см. формулы (25.2), (25.6), (25.7)].
Используя эти выражения, можно проследить влияние величины напряжения источника и параметров цепи на переходный процесс (имеются в виду изменения напряжения или параметров цепи до начала переходного процесса).
Установившийся ток и начальная скорость изменения тока зависят от напряжения, а постоянная времени цепи, характеризующая продолжительность переходного процесса, не зависит.

Эти заключения отражены на рис. 25.4: графики установившегося тока проведены на разном уровне, а касательные к кривой тока наклонены к оси времени под разными углами. При этом постоянная времени не изменилась (τ₂ = τ₁).

Продолжительность переходного процесса в обоих случаях одинакова, несмотря на то что скорость изменения тока разная. Это обстоятельство не должно вызывать сомнения: при изменении напряжения ток увеличивается с другой скоростью, но и стремится к другой установившейся величине.

Рис. 25.4. Графики переходного тока при различных напряжениях на зажимах цепи

При изменении сопротивления R в цепи изменяются установившийся ток и постоянная времени. Начальная скорость изменения тока от сопротивления R не зависит.

В соответствии с этими выводами на рис. 25.5 проведены две асимптоты (I₁ и I₂) и одна общая касательная к графикам переходного тока в начале координат:

Касательная пересекает асимптоты в точках с разными координатами не только по оси токов, но и по оси времени, что подтверждает предыдущий вывод о зависимости постоянной времени от сопротивления R.

Рис. 25.5. Графики переходного тока при различных сопротивлениях цепи

Рис. 25.6. Графики переходного тока при различных индуктивностях цепи

Из этого нетрудно сделать заключение о том, как влияет сопротивление на продолжительность переходного процесса.
Изменение индуктивности не сказывается на величине установившегося тока, но начальная скорость изменения тока и постоянная времени изменяются. Поэтому на рис. 25.6 проведены одна (общая) асимптота и две касательные в начале координат к графикам переходного тока. Касательные пересекают асимптоту в двух точках и отмечают величины постоянных времени τ₁ и τ₂, соответствующих двум величинам индуктивности цепи.
В данном случае переходные токи стремятся к одинаковой установившейся величине с разной скоростью, поэтому продолжительность переходного процесса неодинакова.

Отключение катушки индуктивности от источника постоянного напряжения

Отключение приемников электрической энергии от источника или от сети осуществляется в большинстве случаев разрывом цепи в одной или нескольких точках. Встречаются случаи, когда элементы цепи, обладающие большой индуктивностью, при разрыве цепи одновременно замыкаются накоротко или на разрядное сопротивление.

Размыкание электрической цепи с катушкой индуктивности

При размыкании электрической цепи с катушкой индуктивности (рис. 25.7, а) в момент разрыва цепи напряжение между расходящимися контактами выключателя В резко увеличивается от нуля до U + u_L. Скорость изменения тока в момент разрыва цепи , поэтому величина — может быть весьма большой. Воздушный промежуток между контактами пробивается и образуется искра. Таким образом, ток в цепи сохраняется некоторое время после начала расхождения контактов. При большой мощности источника искровой разряд может перейти в дуговой. Для гашения электрической дуги отключающие аппараты, как правило, снабжаются дугогасительными приспособлениями, конструкция которых зависит от мощности цепи и рабочего напряжения установки.

Рис. 25.7. Схемы размыкания цепи с индуктивностью

В некоторых случаях (например, при выключении обмоток возбуждения электрических машин) напряжение может достигать величин, опасных для изоляции. Значительного повышения напряжения можно избежать, если одновременно с отключением индуктивной катушки от источника замкнуть ее на разрядное сопротивление (рис. 25.7, б). По подобной схеме работают, например, автоматы гашения поля (АГП) генераторов на электростанциях. При внутренних повреждениях в генераторе необходимо как можно скорее отключить его от сети и «погасить» магнитное поле. Для этого и служит АГП, с помощью которого обмотка возбуждения замыкается на разрядное сопротивление и отключается от возбудителя.

Изменение тока в катушке, замкнутой на разрядное сопротивление

Переходный процесс в замкнутом контуре катушка — разрядное сопротивление отличается от процесса в цепи рис. 25.7, а тем, что скорость изменения тока зависит от параметров цепи и L. Соответствующим подбором разрядного сопротивления величина ее может быть ограничена.
При включении катушки на постоянное напряжение по схемам рис. 25.1 или 25.7, б катушка является приемником энергии. Ток i и э. д. с. самоиндукции е_L имеют противоположные направления, что соответствует накоплению энергии в магнитном поле катушки за счет энергии источника.
После отключения цепи от источника энергии (рис. 25.7, б) в образовавшемся короткозамкнутом контуре ток не может уменьшиться мгновенно до нуля, а поддерживается в течение переходного периода, пока имеется энергия в магнитном поле катушки.

Запас энергии в магнитном поле непрерывно уменьшается, так как в активном сопротивлении цепи R совершается необратимый процесс превращения электрической энергии в тепловую.

Таким образом, во время переходного процесса катушка является источником электрической энергии с электродвижущей силой самоиндукции е_L, которая возникает и поддерживается в связи с уменьшением тока. Это подтверждается и изменением направления э. д. с. самоиндукции, которое теперь совпадает с направлением тока.

Закон изменения тока при выключении катушки (как и при ее включении) определяется параметрами R и L. Еще до подробного анализа уравнения тока, который приведен далее, можно отметить обстоятельства, позволяющие судить о характере уменьшения тока в катушке.

Рис. 25.8. График переходного тока в катушке индуктивности, замкнутой на сопротивление

В начальный момент переходного периода величина тока в катушке сохраняется в соответствии с первым законом коммутации. В дальнейшем после отключения источника энергии принужденная составляющая переходного тока отсутствует, поэтому переходный ток является свободным током. Возникновение свободного тока связано с изменением запаса энергии в магнитном поле, подобно тому как при увеличении тока в катушке изменением энергии в магнитном поле определяется свободная составляющая тока (см. рис. 25.3). Отличие заключается лишь в том, что при включении катушки энергия в магнитном поле накапливалась, а теперь она расходуется. С этим и связано изменение направления свободного тока, которое всегда совпадает с направлением э. д. с. самоиндукции.

Предположим, что сопротивление короткозамкнутого контура в схеме рис. 25.7, б равно сопротивлению цепи при включении катушки по схеме рис. 25.1 и индуктивности одинаковы. В этом случае график тока в цепи рис. 25.7, б после замыкания ее накоротко можно получить, повернув на 180° вокруг оси времени график i_1св свободного тока при включении катушки (ср. рис. 25.3 и 25.8, где показаны также графики установившегося i_1у и переходного i₁ токов при включении катушки).

Касательная к графику тока (рис. 25.8) в точке с координатами t = 0, i = I отсечет на оси времени отрезок τ, выражающий постоянную времени цепи, которая и в данном случае аналитически определяется формулой (25.7).

Уравнение переходного тока

Величину переходного тока в короткозамкнутой катушке можно определить из уравнения (25.1), если учесть, что U = 0:

После разделения переменных получим

а после интегрирования обеих частей уравнения —

где К₃ — постоянная интегрирования, отсюда

В установившемся режиме, предшествующем отключению катушки от источника, и в начальный момент переходного периода (t = 0) ток i₀ = I = U/R.
Учитывая это, из начальных условий найдем K₃:

а

Таким образом, уравнение тока в переходный период имеет вид

где — постоянная времени короткозамкнутой цепи.
В короткозамкнутой катушке ток уменьшается по экспоненциальному закону от i₀ = I до установившегося i_y = 0.
Сравнивая (25.11) с выражением свободного тока в катушке при ее включении на постоянное напряжение (25.10), убеждаемся, что они одинаковы, если не учитывать изменение знака.
Длительность переходного процесса, как и при включении катушки, теоретически равна бесконечности, а практически ток принимается равным нулю при t = (4 ÷ 5)τ.’
Вопрос о влиянии величины начального тока I и параметров цепи на продолжительность переходного процесса можно проанализировать аналогично тому, как это сделано для случая включения катушки.
Основными характеристиками переходного процесса являются:
начальный ток I = U/R; начальная скорость изменения тока

постоянная времени цепи τ = L/R.
Нетрудно заметить, что выражения этих характеристик совпадают соотвественно с формулами (25.2), (25.6) и (25.7). Изменился лишь знак в формуле начальной скорости изменения тока. Но это объясняется просто: ток теперь не увеличивается, а уменьшается, и касательная к кривой тока наклонена к оси времени под утлом, большим 90°.

Изменение сопротивления в цепи с индуктивностью

При включении катушки индуктивности, обладающей параметрами R, L, сопротивление цепи уменьшается скачком от ∞ до R, а при выключении оно увеличивается от R до ∞.

В соответствии с такими изменениями сопротивления ток в цепи за время переходного периода увеличивается от 0 до I или уменьшается от I до 0.
При скачкообразном изменении сопротивления цепи в конечных пределах тоже возникает переходный процесс, который в общих чертах подобен уже рассмотренным процессам.

Некоторые особенности его обусловлены тем, что при уменьшении сопротивления ток увеличивается начиная с некоторой конечной величины, а при увеличении сопротивления ток уменьшается не до нуля.

Уменьшение сопротивления в цепи

При разомкнутом рубильнике Р в цепи с последовательно соединенными сопротивлением R₁ и катушкой R₂, L (рис. 25.9) установившийся ток

После замыкания рубильника сопротивление в цепи внезапно уменьшается до R₂, а ток постепенно увеличивается до
Переходный процесс от первого режима ко второму отличается от рассмотренного тем, что ток в цепи увеличивается не от нуля, а от величины I₁. Однако закон изменения тока от I₁ до I₂ такой же.

25.9. Схема изменения скачком сопротивления в цепи

Рис. 25.10. График переходного тока после уменьшения сопротивления

Вследствие уменьшения сопротивления в цепи возникает добавочный свободный ток, начальная величина которого определяется в соответствии с первым законом коммутации:
Если к принужденному току прибавить свободный ток то получим переходный ток, который в начальный момент сохраняет свою предыдущую величину I₁:

Свободный ток уменьшается в течение переходного процесса до нуля по известному закону (рис. 25.10). По аналогии с формулой (25.11) имеем

или

где

Увеличение сопротивления в цепи

Обратный переход от второго режима к первому совершается после размыкания рубильника. Сопротивление цепи внезапно увеличивается, а ток от I₂ уменьшается по экспоненциальному закону, стремясь к установившейся величине I₁ (рис. 25.11).

Рис. 25.11. График переходного тока после увеличения сопротивления

Принужденная составляющая переходного тока i_пр = I₁.
Свободная составляющая, по аналогии с формулой (25.11),

где

Уравнение переходного тока

Зарядка конденсатора

Анализ процесса зарядки конденсатора от источника постоянного напряжения во многом совпадает с анализом переходного процесса после включения катушки на постоянное напряжение, так как исходные уравнения (25.1) и (25.4) по своей структуре аналогичны.

Уравнение кривых переходного тока и напряжения на конденсаторе

Закон изменения напряжения на конденсаторе и зарядного тока можно найти, решив дифференциальное уравнение (25.4). Путем разделения переменных это уравнение приводится к виду, удобному для интегрирования:

Интегрирование и последующие преобразования, выполненные в том же порядке, как для цепи с катушкой индуктивности, приводят к решению уравнения в виде

где К₄ — постоянная интегрирования.
Из начальных условий (t = 0, u_C0 — 0) находим
Уравнение кривой напряжения на конденсаторе принимает вид

Уравнение зарядного тока легко найти из предыдущего уравнения (25.14), если учесть выражение (25.3):

В дальнейшем для анализа переходных процессов при зарядке конденсаторов потребуется выражение скорости изменения напряжения на конденсаторе в начальный момент времени. Это выражение нетрудно получить, используя формулы (25.3) и (25.15):

Графики зависимости напряжения на конденсаторе u_C и зарядного тока i₃ от времени изображены на рис. 25.12.
Как видно из этих графиков, скорость увеличения напряжения на конденсаторе и скорость уменьшения зарядного тока непрерывно снижаются.

Рис. 25.12. Графики переходных тока и напряжения при зарядке конденсатора

Напряжение u_C и зарядный ток асимптотически стремятся к своим пределам: u_C— к величине напряжения источника U, а ток i — к нулю. Теоретически переходный процесс продолжается бесконечно долго, что подтверждают уравнения (25.14) и (25.15) (u_C = U и i = 0 при t = ∞). Однако практически считают, что переходный процесс заканчивается за время, равное (4 ÷ 5)τ. Величина τ в уравнениях (25.14) и (25.15) — постоянная времени цепи:

Постоянная времени, которая зависит от параметров цепи R, С, как и в цепи с индуктивностью, является показателем продолжительности переходного процесса.
В уравнении (25.14) можно выделить принужденную и свободную составляющие напряжения на конденсаторе:

Зарядный ток состоит только из свободной составляющей

а принужденная составляющая

Влияние величины напряжения источника и параметров цепи на переходный процесс

Переходный процесс при зарядке конденсатора от источника постоянного напряжения характеризуют три показателя: установившееся напряжение на конденсаторе; начальная скорость изменения напряжения; постоянная времени [см. формулы (25.18), (25.16), (25.17)].

Рис. 25.13. Графики переходного напряжения на конденсаторе при различных напряжениях источника

Рис. 25.14. Графики переходного напряжения на конденсаторе при различных сопротивлениях цепи

Используя их выражения, можно проследить влияние величины напряжения заряжающего источника и параметров цепи на переходный процесс (имеется в виду изменение напряжения или параметров цепи до начала переходного процесса).

При изменении напряжения источника изменяются установившееся напряжение на конденсаторе и начальная скорость изменения напряжения, а постоянная времени цепи, характеризующая длительность переходного процесса, от напряжения не зависит. На рис. 25.13 построены соответственно двум различным напряжениям источника U₁ и U₂ два графика изменения напряжения на конденсаторе 1 и 2 и две касательные к ним в начале координат, имеющие разные углы наклона к оси времени.
Продолжительность переходного периода в обоих случаях одинакова, так как напряжения на конденсаторе изменяются с разными скоростями, стремясь к разным установившимся величинам.

Рис. 25.15. Графики переходных напряжений и тока конденсатора при различных величинах емкости

Сопротивление входит в выражения начальной скорости изменения напряжения на конденсаторе (25.16) и постоянной времени цепи (25.17), а установившееся напряжение на конденсаторе от сопротивления не зависит. В соответствии с этим на рис. 25.14 проведены одна общая асимптота (U₁ = U₂) и две касательные в начале координат к графикам переходного напряжения на конденсаторе.

Касательные пересекают асимптоту в двух точках, при этом отмечают две величины постоянной времени: τ₁ и τ₂. На том же рисунке показаны кривые 1 и 2 изменения напряжения на конденсаторе u_C, соответствующие двум величинам сопротивления в цепи. По этим графикам нетрудно сделать заключение о влиянии сопротивления на переходный процесс заряда конденсатора. Изменение емкости влияет на продолжительность переходного процесса так же, как изменение сопротивления (рис. 25.15) К такому заключению можно прийти, применяя для анализа те же выражения (25.16), (25.17), (25.18). Однако имеется разница в энергетической характеристике процесса: при изменении емкости меняется конечный запас энергии в электрическом поле цепи, а при изменении сопротивления — количество электрической энергии, преобразованной в тепло.

Задача 25.13.

Конденсатор емкостью С = 10 мкФ заряжается через резистор, сопротивление которого R = 9 Ом, по схеме рис. 15.16 (переключатель П в положении 1) от источника электрической энергии с э. д. с. Е = 100 В и внутренним сопротивлением r = 1 Ом (на схеме не показано). Через промежуток времени, равный удвоенной величине постоянной времени цепи зарядки, переключатель П переведен в положение 2.
Определить энергию, израсходованную в резисторе за время зарядки конденсатора.
Решение. Закон изменения напряжения на конденсаторе в процессе зарядки

К моменту переключения рубильника напряжение u_C достигает величины

Закон изменения тока в процессе зарядки конденсатора

Энергия, израсходованная в сопротивлении R при зарядке конденсатора,

Разрядка конденсатора на сопротивление

Переходный процесс при разрядке конденсатора рассмотрим по схеме рис. 25.16, предполагая, что заряженный до напряжения u_СУ = U конденсатор емкостью С отключается от источника энергии и его обкладки замыкаются на сопротивление R (переключатель П в положении 2).

Рис. 25.16. Схема разрядки конденсатора

Переходный процесс при разрядке конденсатора

После переключения по схеме рис. 25.16 конденсатор не может разрядиться мгновенно, т. е. напряжение u_C не может уменьшиться скачком до нуля, а поддерживается в течение переходного периода за счет энергии, накопленной в электрическом поле конденсатора.

При этом в активном сопротивлении R совершается необратимый процесс превращения электрической энергии в тепловую. Запас энергии в электрическом поле непрерывно сокращается, а вместе с этим уменьшается и напряжение на конденсаторе. Во время переходного периода конденсатор является источником энергии.

Характер изменения напряжения на конденсаторе при его разрядке можно установить пока без математического анализа несложными рассуждениями, предположив, что конденсатор замкнут на то же сопротивление R, через которое он заряжается.

В начальный момент переходного периода величина напряжения на конденсаторе сохраняется, как и следует из второго закона коммутации. В дальнейшем закон уменьшения напряжения u_C будет определяться изменением энергии в электрическом поле конденсатора, подобно тому как при зарядке изменением энергии электрического поля определяется свободная составляющая напряжения на конденсаторе (см. рис. 25.12).

Отличие заключается лишь в том, что при зарядке энергия в электрическом поле накапливалась, а при разрядке она расходуется. Выражением этого отличия служит изменение направления разрядного тока в конденсаторе по сравнению с зарядным током (на рис. 25.16 направления тока, напряжений на конденсаторе и резисторе при разрядке показаны сплошными, а при зарядке — пунктирными стрелками).

График разрядного тока можно получить, повернув график зарядного тока на 180° вокруг оси времени (рис. 25.17).

Рис. 25.17. Графики переходных напряжений и тока при разрядке конденсатором

Так же можно получить график напряжения на конденсаторе, который по форме повторяет график свободной составляющей напряжения на конденсаторе при зарядке (на рис. 25.17 графики, относящиеся к процессу зарядки, показаны пунктиром, а графики при разрядке — сплошными линиями). Касательная к графику u_C в точке с координатами t = 0, u_C = U отсечет на оси времени отрезок τ, выражающий постоянную времени цепи, которая и при разрядке алгебраически определяется формулой (25.17).

Уравнение напряжения на конденсаторе и тока в цепи при разрядке конденсатора

Для математического анализа переходного процесса при разрядке конденсатора исходным является уравнение (25.4), в котором для этого случая напряжение источника нужно считать равным нулю:

отсюда

После разделения переменных получим

После интегрирования

Отсюда

где К₅ — постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий: при t = 0 и u_C0 = U.
Подставляя начальные условия в последнее уравнение, найдем
К₅ = U.
Следовательно, напряжение на конденсаторе при разрядке выражается уравнением

где τ = RC — постоянная времени цепи при разрядке конденсатора.
Итак, напряжение на конденсаторе при разрядке уменьшается по экспоненциальному закону от u_C0 = U до установившегося u_CУ = 0.
Сравнивая формулу (25.21) с выражением свободного напряжения на конденсаторе при зарядке [см. формулу (25.19)], убеждаемся в том, что они одинаковы, если не учитывать изменения знака.
Длительность переходного процесса, как и при зарядке, теоретически равна бесконечности, а практически разрядка считается законченной при t = (4 ÷ 5)τ.
Для разрядного тока выражение получается на основе закона Ома:

Вопрос о влиянии величины начального напряжения и параметров цепи на продолжительность переходного процесса можно проанализировать, используя три основные характеристики переходного процесса: начальное напряжение на емкости начальную скорость изменения u_C:

постоянную времени
Эти выражения совпадают соответственно с формулами (25.16), (25.17), (25.18). Только знак в формуле начальной скорости изменился на обратный. Объясняется это тем, что конденсатор теперь разряжается, а не заряжается, и напряжение u_C уменьшается, а не увеличивается, поэтому касательная к кривой u_C в начальный момент наклонена к оси времени под углом, большим 90°.

Задача 25.15.

Согласно условию задачи 25.13, после периода зарядки конденсатора переключатель П переведен из положения 1 в положение 2.
Определить энергию, израсходованную в цепи за время разрядки конденсатора.
Решение. При разрядке конденсатора энергия, израсходованная в элементе цепи с сопротивлением R, равна убыли энергии электрического поля конденсатора в одно и то же время.
Энергия электрического поля к концу зарядки конденсатора

Вся эта энергия выделяется в виде тепла в сопротивлении при разрядке конденсатора. Таким образом, общая энергия, выделенная в сопротивлении R при зарядке и разрядке, составляет

Включение катушки индуктивности на синусоидальное напряжение

Изменение напряжения источника во время переходного процесса влияет на характер переходного тока. При анализе переходного процесса в цепи переменного тока приходится, кроме того, учитывать сдвиг фаз между напряжением и установившимся током, начальную фазу напряжения или, иначе говоря, мгновенное напряжение источника в момент включения цепи.
Однако переходные процессы в цепях постоянного и переменного токов одинаковы: они возникают при переходе от одного установившегося режима к другому при несоответствии запасов энергии в электрическом и магнитном полях цепи условиям нового режима. В течение переходного режима это несоответствие устраняется изменением энергии полей.

Уравнение переходного тока

После включения участка электрической цепи с активным сопротивлением R и индуктивностью L на синусоидальное напряжение (рис. 25.18) начинается переходный период, к концу которого в цепи устанавливается синусоидальный ток.

Рис. 25.18. Схема катушки индуктивности, включенной на переменное напряжение

Момент включения цепи будем полагать началом отсчета времени (t = 0).
Пусть приложенное напряжение изменяется по закону

где ψ — начальная фаза.
В момент включения цепи напряжение имеет величину

Ток в цепи после ее включения представляется суммой принужденной и свободной составляющих:
В установившемся режиме синусоидальный ток в катушке сдвинут по фазе относительно напряжения на угол φ, определяемый соотношением активного и индуктивного сопротивлений катушки. Установившийся ток, как известно, является принужденной составляющей переходного тока:

где

Свободная составляющая переходного тока не зависит от формы приложенного напряжения и изменяется по такому же закону [см. формулу (25.10)], что и при включении катушки на постоянное напряжение, равное мгновенному напряжению источника (u₀) в момент включения цепи (t = 0):

где К₆ — постоянная интегрирования, равная свободной составляющей тока при t = 0, т. е. — постоянная времени цепи.
Таким образом, переходный ток

Постоянную К₆ находят с помощью первого закона коммутации: в начальный момент (t = 0) ток в цепи равен нулю, так как ранее цепь была разомкнута и ток в катушке скачком измениться не может.

Рис. 25.19. Графики переходного процесса в катушке индуктивности после включения на переменное напряжение

Поэтому

отсюда следует, что
Bp (25.25)

Следовательно,

Уравнение свободной составляющей

Переходный ток

Графики переходного тока и его составляющих показаны на рис. 25.19.

Влияние на переходный процесс начальной фазы приложенного напряжения

Рассматривая рис. 25.19, можно заметить, что изменения установившегося и переходного токов носят колебательный характер, причем колебания установившегося тока совершаются около оси ωt, а переходного тока — около кривой i_св(t). Обусловлено это тем, что свободная составляющая переходного тока, внося искажения, как бы смещает график синусоидального тока и искривляет его ось. Степень искажения зависит от того, в какой момент включена цепь, так как в выражение свободной составляющей (25.29) входит начальная фаза приложенного к цепи напряжения.

Рис. 25.20. Графики переходного процесса после включения катушки индуктивности (при ψ = φ)

Рис. 25.21. Графики переходного процесса после включения катушки индуктивности (при ψ = φ + 90°)

Если включение катушки произошло в момент, когда принужденная составляющая переходного тока равна нулю [т. е. при ψ = φ, см. формулу (25.27)], то свободная составляющая не возникает: согласно (25.27), при ψ = φ i_св = 0. Иначе говоря, в этом случае переходный период отсутствует и в цепи с первого момента после включения наступает установившийся режим (рис. 25.20).
Наибольшая величина свободного тока в начальный момент времени может быть равна амплитуде установившегося тока. Это имеет место при ψ = φ + 90°, когда в момент включения цепи принужденная составляющая тока равна амплитуде I_m (рис. 25.21):

В этом случае свободная составляющая переходного тока затухает быстрее или медленнее в зависимости от величины постоянной времени цепи, а переходный ток в соответствии с этим приближается к установившемуся.
В цепях с большой постоянной времени (с большой индуктивностью и малым сопротивлением) свободная составляющая переходного тока затухает медленно, поэтому переходный ток в течение первого полупериода достигает величины, равной почти удвоенной амплитуде установившегося тока:

Короткое замыкание в цепи переменного тока

При внезапном коротком замыкании скачком уменьшается сопротивление цепи Z. Переходный процесс, возникающий в результате изменения сопротивления, рассмотрим на схеме рис. 25.22, где электрическая нагрузка, представленная сопротивлением Z_н, подключена через сопротивление Z_л к источнику синусоидального напряжения с постоянной амплитудой и неизменной частотой. Такой схемой замещения можно представить реальную
цепь, в которой к шинам трансформаторной подстанции через линию (Z_л) подключена группа потребителей электрической энергии (Z_н).

Рис. 25.22. Схема короткого замыкания в цепи переменного тока

Уравнение кривой переходного тока

Предположим, что сопротивление цепи изменилось в результате короткого замыкания в конце линии, как показано на рис. 25.22. При этом будем считать, что синусоидальное напряжение источника остается неизменным по амплитуде (принятое условие неизменности амплитуды напряжения соответствует короткому замыканию на участке, отделенном от мощных источников питания большим сопротивлением).

До короткого замыкания установившийся режим характеризуется напряжением и током:

Уравнение напряжения, приложенного к цепи,

где ψ— фазовый угол, определяющий напряжение в начальный момент короткого замыкания (t = 0).
Установившийся ток до короткого замыкания отстает от напряжения на угол зависящий от параметров линии и нагрузки:

В этом случае уравнение тока

Установившийся режим после короткого замыкания характеризуется тем же напряжением U и током

Уравнение установившегося тока

где φ₂ — угол сдвига фаз напряжения и установившегося тока короткого замыкания, определяемый соотношением активного и реактивного сопротивлений короткозамкнутой цепи:

Переходный ток в короткозамкнутой линии представим суммой принужденной и свободной составляющих:
( — установившийся ток короткого замыкания).
Свободная составляющая тока изменяется по тому же закону, по которому она изменяется в цепи по схеме рис. 25.9 при уменьшении сопротивления:

где τ₂ — постоянная времени короткозамкнутой цепи:

K₇ — постоянная величина, определяемая из начальных условий.
В начальный момент переходного периода, согласно первому закону коммутации, следовательно,

Отсюда

Свободная составляющая переходного тока, согласно уравнению (25.34)

Переходный ток короткого замыкания выражается уравнением

На рис. 25.23 показаны графики напряжения и тока в цепи до и после короткого замыкания.

Влияние начальной фазы напряжения на переходный процесс короткого замыкания

Ток короткого замыкания, как уже отмечено, складывается из двух составляющих — принужденной составляющей, равной установившемуся току короткого замыкания, и свободной составляющей, затухающей благодаря наличию в цепи активного сопротивления.

Принужденная составляющая изменяется по синусоидальному закону, и поэтому ее называют периодической составляющей, а свободная составляющая не изменяет знака, и ее называют апериодической составляющей тока короткого замыкания.

Начальную величину свободной составляющей определяют из уравнения (25.36):

Она зависит от начальной фазы напряжения ψ, т. е. от момента возникновения короткого замыкания.

Рис. 25.23. Графики переходного процесса при коротком замыкании в цепи переменного тока (при )

Рис. 25.24. Графики переходного процесса при коротком замыкании в цепи переменного тока (при )

Наиболее тяжелым случаем является короткое замыкание в момент, когда мгновенное напряжение на зажимах цепи равно нулю (), а сопротивление цепи короткого замыкания чисто индуктивное (). Соответствующий график тока короткого замыкания показан на рис. 25.24.

В реальных электрических сетях индуктивное сопротивление цепи короткого замыкания во многих случаях значительно больше активного, поэтому при расчете токов короткого замыкания активное сопротивление часто не учитывают. При этом условии свободная составляющая переходного тока в момент t = 0 близка к наибольшей возможной величине, равной амплитуде периодической составляющей. Если активное сопротивление цепи короткого замыкания мало, свободная составляющая затухает медленно, поэтому в самом неблагоприятном случае за время, приблизительно равное полупериоду, ток короткого замыкания достигает своей наибольшей величины, близкой к удвоенной амплитуде установившегося тока короткого замыкания.
Наибольший мгновенный ток короткого замыкания называют ударным током (i_уд).

Свободная составляющая тока короткого замыкания затухает тем быстрее, чем меньше постоянная времени цепи короткого замыкания τ₂, т. е. чем больше активное сопротивление и меньше индуктивность.
Параметры цепей короткого замыкания в реальных электроустановках обычно такие, что свободная составляющая тока короткого замыкания заметно проявляется в течение 0,1—0,2 с.

Методы анализа переходных процессов в линейных цепях с сосредоточенными параметрами

Как отмечено ранее, в установившемся режиме токи и напряжения всех ветвей электрической цепи изменяются по периодическому закону или, в частном случае, сохраняют неизменные значения. Всякое изменение как топологии цепи, так и параметров входящих в нее элементов: подключение или отключение отдельных ветвей, изменение параметров пассивных элементов или параметров источников энергии, нарушает периодический характер изменения токов и напряжений ветвей, т. е. приводит к тому, что режим работы цепи становится неустановившимся. Любое скачкообразное изменение в цепи, приводящее к нарушению установившегося режима, будем называть коммутацией. Если внешнее воздействие на цепь и после коммутации имеет периодический характер, то с течением времени (теоретически через бесконечно большой промежуток времени) цепь перейдет в новый установившийся режим. Неустановившиеся процессы, которые имеют место в цепи при переходе от одного установившегося режима к друюму, называются переходными.

При анализе переходных процессов в цепи, как правило, можно пренебречь длительностью процесса коммутации, т. е. считать, что коммутация осуществляется практически мгновенно. Начало отсчета времени переходного процесса обычно совмещают с моментом коммутации, причем через t=0_ обозначают момент времени, непосредственно предшествующий коммутации, а через или — момент времени, следующий непосредственно за коммутацией (начальный момент времени после коммутации).

Переходные процессы, связанные с изменением топологии цепи или различными коммутациями пассивных элементов, присущи в основном устройствам производства, передачи и преобразования электрической энергии. Для радиотехнических устройств более характерен режим, когда топология цепи и параметры пассивных элементов неизменны, а внешнее воздействие на цепь изменяется по произвольному (чаще всего непериодическому) закону. Понятие коммутации в том виде, как оно было сформулировано ранее, по сути дела, теряет смысл, так как изменение параметров источников энергии происходит практически непрерывно. При анализе неустановившихся процессов в радиотехнических цепях начало отсчета времени выбирают исходя из постановки задачи, независимо от того, находилась ли цепь до этого момента времени в установившемся режиме или нет. Для единства терминологии начало отсчета времени неустановившихся процессов, имеющих место в радиотехнических цепях, обычно также называют моментом коммутации.

Законы коммутации

Переход реальной электрической цепи от одного установившегося режима к другому не может происходить мгновенно, скачком. Это объясняется тем, что каждому установившемуся состоянию соответствует определенное значение энергии, запасенной в электрическом и магнитном полях. Скачкообразный переход от одного установившегося режима к другому потребовал бы скачкообразного изменения запасенной энергии,- что, учитывая выражение (1.5), возможно только, если источники энергии обладают бесконечно большой мощностью, т. е. отдаваемые ими токи или напряжения могут принимать бесконечно большие значения. В связи с тем что любой реальный источник энергии может отдавать только конечную мощность, суммарная энергия, запасенная в цепи, может изменяться только плавно, т. е. представляет собой непрерывную функцию времени. Принимая во внимание, что запасенная в цепи энергия определяется суммарными зарядом всех конденсаторов и потокосцеплением всех индуктивных катушек, приходим к выводу, что суммарные потокосцепление и заряд цепи также являются непрерывными функциями времени, в частности после коммутации они равны суммарному потокосцеплению и суммарному заряду цепи в момент времени

Это положение известно под названием принципа непрерывности во времени суммарного потокосцепления и суммарного электрического заряда цепи. В реальных цепях в момент коммутации возможны коммутационные потери энергии, например потери энергии за счет искры или электрической дуги между контактами переключателей, поэтому суммарная энергия цепи после коммутации может быть несколько меньше суммарной энергии цепи до коммутации.

Если электрическая цепь не содержит энергоемких элементов, то процесс ее перехода от одного установившегося режима к другому должен происходить мгновенно. Такие безреактивные цепи можно рассматривать только в качестве весьма упрощенных моделей реальных цепей.

Если коммутация идеализированной электрической цепи не затрагивает ветвей, содержащих реактивные элементы, т. е. в процессе коммутации не производится подключения или отключения ветвей, содержащих емкости и индуктивности, и не происходит скачкообразного изменения их параметров, то из принципа непрерывности суммарных потокосцепления и заряда цепи следует непрерывность токов индуктивностей и напряжений емкостей. Вывод о непрерывности токов индуктивностей и напряжений емкостей формулируется в виде законов (правил) коммутации.

Первый закон коммутации: в начальный момент времени после коммутации ток индуктивности сохраняет такое же значение, как и непосредственно перед коммутацией:

а затем плавно изменяется, начиная с этого значения.

Второй закон коммутации: в начальный момент времени после коммутации напряжение на емкости сохраняет такое же значение, как и непосредственно перед коммутацией:

а затем плавно изменяется, начиная с этого значения.

Законы коммутации не накладывают ограничений на характер изменения токов емкостей, напряжений индуктивностей и токов или напряжений сопротивлений, которые могут изменяться произвольным образом, в том числе и скачкообразно.

Как известно, в теории цепей рассматриваются процессы, имеющие место в идеализированных цепях при идеализированных внешних воздействиях. Применение чрезмерно упрощенных моделей элементов цепей и внешних воздействий может привести к нарушению предпосылок, использованных при формулировании законов коммутации, и вследствие этого к нарушению самих законов. Так, представляют интерес случаи, когда идеализированные источники энергии в течение бесконечно короткого промежутка времени могут отдавать бесконечно большой ток или напряжение, т. е. развивать бесконечно большую мощность. При таких внешних воздействиях законы коммутации нарушаются и токи индуктивностей или напряжения емкостей изменяются скачкообразно.

Законы коммутации могут не выполняться и при некоторых коммутациях, затрагивающих ветви, содержащие реактивные элементы. Коммутации такого типа называются некорректными. Анализ процессов в цепях при некорректных коммутациях производят с использованием принципа непрерывности суммарных потокосцепления и электрического заряда цепи, который имеет более общий характер, чем законы коммутации.

Следует подчеркнуть, что некорректность коммутации возникает вследствие излишне упрощенного рассмотрения процесса коммутации или в результате применения чрезмерно упрощенных моделей элементов и может быть устранена при более строгом анализе.

Таким образом, термин «некорректная коммутация» является не вполне удачным: правильнее говорить не о некорректной коммутации, а о некорректной постановке задачи коммутации.

Пример 6.1.

Рассмотрим процесс зарядки конденсатора от гальванического элемента. Если использовать последовательные схемы замещения конденсатора и источника энергии (рис. 6.1, а), то переключение ключа S из положения 1 в положение 2 (или наоборот) является корректной коммутацией.

Действительно, пусть в исходном состоянии ключ находится в ,положении 1 и емкость С полностью разряжена, а в момент времени t = 0 ключ перебрасывается в положение 2. Если бы в результате коммутации напряжение та емкости возросло скачком, то в соответствии с компонентным уравнением емкости (1.13) ток цепи достиг бы бесконечно большого значения, что привело бы к .тому, что левая часть уравнения баланса напряжений для цепи, получающейся после коммутации не равнялась бы правой части.

Таким образом, предположение о том, что в рассматриваемой цепи нарушается второй закон коммутации, приводит к явно неправильному результату. Следовательно, в начальный момент времени после коммутации напряжение на емкости сохраняет то же значение, что и в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации: а затем плавно увеличивается, стремясь в пределе к новому установившемуся значению, роемому э.д.с. источника напряжения (в установившемся режиме ток через емкость равен нулю, и из уравнения баланса напряжений следует, что = Е).

Если в исходном состоянии ключ находится в положении 2, а емкость С заряжена до напряжения Е, то при перебросе ключа в положение 1 напряжение на емкости в начальный момент времени после коммутации сохраняет значение, которое было в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации, напряжение на сопротивлении скачком становится равным — (0+) = —Е, а ток сопротивления скачком возрастает до значения (0+)= Затем напряжение и ток емкости плавно уменьшаются, стремясь в пределе к нулю.

Если упростить схему замещения конденсатора и исключить из нее последовательное сопротивление (рис. 6.1, б), то перевод ключа из положения 1 в положение 2 будет по-прежнему оставаться корректной коммутацией в то время, как перевод ключа из положения 2 в положение 1 — станет некорректной коммутацией (некорректность коммутации объясняется тем, что рассматриваемая схема замещения цепи не учитывает потерь энергии в конденсаторе и соединительных проводах, а также энергию, выделяющуюся вместе с искрой между контактами ключа. В зависимости от требуемой точности анализа необходимо либо принять, что напряжение на емкости скачком изменилось от одного установившегося значения до другого, либо применить более сложную схему замещения цепи с учетом ключа и соединительных проводников).

Если упрощать и далее схему замещения цепи (исключив из нее внутреннее сопротивление источника (рис. 6.1, в), то перевод ключа из одного положения в другое всегда будет представлять собой некорректную коммутацию.

Пример 6.2.

Рассмотрим идеализированную цепь (рис. 6.2). Пусть в исходном состоянии ключ S находится в положении 1, через индуктивность протекает постоянный ток а ток индуктивности равен нулю:

Если в момент времени t=0 ключ S перебросить из положения 1 в положение 2, то индуктивности окажутся включенными последовательно и их токи должны мгновенно уравняться (для соблюдения уравнения баланса токов). Очевидно, что такая коммутация некорректна, причем начальное значение тока индуктивностей после коммутации может быть определено из принципа непрерывности потокосцепления: откуда

При анализе такой цепи обычно принимается, что токи индуктивностей скачком изменяются до уровня а затем плавно увеличиваются, начиная с этого уровня, до установившегося значения

Можно убедиться, что энергия данной цепи непосредственно после коммутации

меньше, чем энергия, запасенная в индуктивности до коммутации:

причем разность между этими величинами равна энергии коммутационных потерь. Рассмотренная коммутация может быть сделана корректной, если при анализе принять во внимание конечное время коммутации, применить более точные модели индуктивных катушек, содержащие не только сопротивления потерь, но и паразитные емкости, и учесть явления, имеющие место в искре или дуге между контактами. Разумеется, учет этих явлений существенно усложняет анализ.

Общий подход к анализу переходных процессов

Задача анализа переходных процессов заключается в общем случае в определении мгновенных значений токов и напряжений всех или части ветвей электрической цепи в произвольный момент времени после коммутации. Для этого необходимо найти общее решение основной системы уравнений электрического равновесия цепи или системы уравнений электрического равновесия, составленной любым другим способом, при t> 0. Исключая из системы уравнений все неизвестные величины, кроме одной, получают дифференциальное уравнение цепи, составленное относительно этой величины. Таким образом, задача анализа переходных процессов может быть сведена к решению дифференциального уравнения цепи при t > 0. В частности, задача анализа переходных процессов в линейной инвариантной во времени цепи с сосредоточенными параметрами -ro порядка сводится к нахождению об

щего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения -ro порядка вида (1.61).

Общее решение такого уравнения содержит v произвольных постоянных, для нахождения которых необходимо задать значения искомой функции у и ее — 1 первых производных в начальный момент времени после коммутации, т. е. при t = Эти величины определяют с помощью законов коммутации на основании анализа процессов, имеющих место в рассматриваемой цепи перед коммутацией. В результате анализа цепи до коммутации рассчитывают значения токов всех индуктивностей и напряжения всех емкостей в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации. Далее, используя законы коммутации (в более общем случае — принцип непрерывности потокосцепления и электрического заряда цепи), находят значения токов индуктивностей и напряжений емкостей в начальный момент времени после коммутации. Очевидно, что для определения v начальных условий требуется применить законы коммутации к v независимо включенным реактивным элементам, т. е. к реактивным элементам, включенным таким образом, что их энергетическое состояние может быть задано независимо. Следовательно, порядок сложности цепи, равный порядку дифференциального уравнения цепи определяется числом независимо включенных реактивных элементов. Совокупность начальных значений токов независимо включенных индуктивностей и напряжений независимо включенных емкостей представляет собой независимые начальные условия цепи. Используя независимые начальные условия и уравнения электрического равновесия цепи после коммутации, находят зависимые начальные условия, т. е. значения токов и напряжений любых ветвей и их производных в момент времени t =

Если энергия, запасенная в цепи в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации, равна нулю, то говорят, что цепь анализируется при нулевых начальных условиях. Если начальный запас энергии не равен нулю, то цепь анализируется при ненулевых начальных условиях (в первом случае все независимые начальные условия равны нулю, во втором случае хотя бы одно из них имеет ненулевое значение).

Следует обратить внимание на то, что независимые начальные условия, а следовательно, токи и напряжения ветвей цепи после коммутации определяются исходя из энергетического состояния цепи только в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации (t = 0_), и не зависят от характера процессов, имеющих место в рассматриваемой цепи до коммутации (при ).

Определение порядка сложности цепи

В некоторых случаях порядок сложности электрической цепи v бывает желательно выяснить еще до составления уравнений электрического равновесия. Очевидно, что значение не может превышать общего числа реактивных элементов цепи В связи с тем что последовательно или параллельно включенные реактивные элементы одного типа не являются энергетически независимыми, при подсчете необходимо объединять такие элементы и заменять их эквивалентным элементом соответствующего типа.

Если в цепи имеется так называемый емкостный контур, т е. контур, образованный только емкостями и, может быть, независимыми источниками напряжения, то напряжение любой из емкостей такого контура выражают через напряжения других емкостей с помощью уравнения баланса напряжений, составленного для данного емкостного контура. Таким образом, наличие в цепи емкостного контура уменьшает на единицу число независимо включенных емкостей и снижает порядок сложности цепи.

Число независимо включенных индуктивностей снижается при наличии в цепи так называемого индуктивного сечения, т. е. сечения, в которое входят только индуктивности, и, может быть, независимые источники тока. Частным случаем индуктивного сечения является индуктивный узел (узел, к которому подключены только индуктивности и независимые источники тока). Ток, а следовательно, и энергия любой из индуктивностей, входящей в индуктивное сечение, могут быть выражены через токи других индуктивностей на основании уравнений баланса токов, составленного для данного сечения.

Если в состав цепи входит несколько емкостных контуров или индуктивных сечений, то при оценке числа независимо включенных реактивных элементов учитывают только независимые емкостные контуры и независимые индуктивные сечения, т. е. такие контуры и сечения, уравнения баланса напряжений и токов которых независимы.

Таким образом, порядок сложности линейной цепи, составленной только из идеализированных пассивных элементов и независимых источников тока или напряжения:

Где — общее число реактивных элементов; — число независимых емкостных контуров; — число независимых индуктивных сечений.

Следует иметь в виду, что порядок сложности цепи зависит также от соотношений между параметрами входящих в нее элементов, поэтому выражение (6.4) позволяет оценить только максимально возможное значение порядка сложности цепи (в том числе и цепи с управляемыми источниками).

Пример 6.3.

Определим порядок сложности цепи, схема которой приведена на рис. 6.3, а.

Преобразуя участки цепи, содержащие последовательно и параллельно включенные однотипные реактивные элементы (рис. 6.3, б), определяем общее число реактивных элементов цепи = 6. Рассматриваемая цепь содержит один емкостной контур, образованный емкостями и источником напряжения е, и одно индуктивное сечение (индуктивности поэтому порядок сложности данной цепи не может превышать четырех.

Классический метод анализа переходных процессов

Свободные и принужденные составляющие токов и напряжений:

Классический метод анализа переходных процессов в линейных инвариантных во времени цепях с сосредоточенными параметрами основан на классическом методе решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Как известно, общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами [см. (1.61)]

равно сумме частного решения этого уравнения и общего решения однородного дифференциального уравнения

которое получается из (1.61) при f(t) = 0.

Общее решение однородного дифференциального уравнения (6.5) характеризует так называемые свободные процессы в цепи, т. е. процессы в цепи после коммутации в отсутствие внешних источников энергии (напомним, что функция f (t) обращается в нуль при выключении всех независимых источников тока и напряжения).

Таким образом, характер свободных процессов ие зависит от вида внешнего воздействия на цепь, а определяется только параметрами пассивных элементов и линейно управляемых источников, а также топологией цепи после коммутации.

Свободные процессы в цепи протекают за счет разности энергий, соответствующих установившимся режимам работы цепей до и после коммутации. В связи с тем что эта разность имеет конечное значение, свободные процессы в цепях с потерями с течением времени затухают (в идеализированных цепях без потерь свободные процессы имеют незатухающий характер).

Частное решение уравнения (1.61) определяет принужденный режим работы цепи, т.е. режим, задаваемый действующими в цепи независимыми источниками энергии.

Если внешнее воздействие иа цепь после коммутации изменяется по периодическому закону (сохраняет неизменное значение), то частное решение уравнения (1.61) характеризует установившийся режим цепи после коммутации.

Итак, при использовании классического метода анализа переходных процессов искомая реакция цепи у (ток или напряжение какойлибо ветви после коммутации) представляется в виде суммы свободной и принужденной составляющих:

Свободная составляющая реакции цепи с течением времени затухает поэтому принужденная составляющая реакции представляет собой установившееся значение искомого тока или напряжения после коммутации

Для определения принужденной составляющей реакции цепи можно воспользоваться рассмотренными ранее методами анализа линейных цепей в установившемся режиме. Если после коммутации токи всех независимых источников тока и напряжения всех независимых источников напряжения не изменяются, то с течением времени в цепи после коммутации установится режим постоянного тока. Очевидно, что принужденная составляющая реакции цепи в этом случае будет являться постоянным током или напряжением.

Если после коммутации цепь находится под гармоническим воздействием определенной частоты, то принужденная составляющая реакции цепи также будет гармонической функцией времени и для определения можно воспользоваться методом комплексных амплитуд.

Если цепь после коммутации находится под воздействием нескольких источников гармонических колебаний различной частоты, то, используя принцип наложения, мгновенное значение можно найти как сумму мгновенных значений частичных токов или напряжений, вызванных в установившемся после коммутации режиме каждым из источников в отдельности. Применяя принцип наложения, можно найти принужденную составляющую реакции цепи и тогда, когда внешнее воздействие на цепь х (t) описывается периодической функцией более сложного вида, удовлетворяющей условиям Дирихле, т. е. имеющей на конечном интервале конечное число максимумов и минимумов и конечное число разрывов первого рода. В этом случае Функция х (t) может быть разложена в ряд Фурье (представлена в виде суммы гармонических колебаний кратных частот), а мгновенное значение может быть найдено как сумма мгновенных значений частичных токов или напряжений, вызванных в установившемся после коммутации режиме каждой из гармонических составляющих внешнего воздействия в отдельности.

Для определения свободной составляющей реакции цепи необходимо найти корней характеристического уравнения

соответствующего однородному уравнению (6.5). Когда все корни уравнения (6.6) простые (различные), свободная составляющая реакции имеет вид

т. е. каждому простому корню соответствует слагаемое свободной составляющей вида

где —постоянная интегрирования.

Если какой-либо корень характеристического уравнения (6.6) имеет кратность n, то этому корню соответствует слагаемое свободной составляющей вида

Характеристическое уравнение (6.6) может иметь вещественные или комплексные корни, причем все корни характеристического уравнения линейной цепи, составленной из идеализированных пассивных элементов и независимых источников энергии, расположены в левой полуплоскости комплексного переменного р (включая и мнимую ось): так как только в этом случае свободные процессы в цепи имеют затухающий (точнее, ненарастающий) характер.

Общая схема применения классического метода анализа переходных процессов

Наметим основные этапы классического метода анализа переходных процессов в линейных инвариантных во времени цепях с сосредоточенными параметрами.

1. Анализ цепи до коммутации. В результате этого анализа определяют токи индуктивностей и напряжения емкостей в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации (t= 0_).

2. Определение независимых начальных условий. Независимые начальные условия представляют собой токи индуктивностей и напряжения емкостей в момент времени (t = ). Независимые начальные условия находят с помощью законов коммутации или принципа непрерывности потокосцепления и электрического заряда цепи.

3. Составление дифференциального уравнения цепи после коммутации (при Дифференциальное уравнение цепи получают из системы уравнений электрического равновесия цепи, составленной любым методом, путем исключения всех неизвестных величин, кроме одной, представляющей собой Ток или напряжение какой-либо ветви.

4. Анализ установившегося процесса в цепи после коммутации (при В результате анализа установившегося процесса в цепи после коммутации находят принужденную составляющую реакции цепи (частное решение дифференциального уравнения цепи).

5. Определение свободной составляющей реакции цепи. На этом этапе составляют характеристическое уравнение цепи, находят его корни и определяют общий вид свободной составляющей реакции цепи (общее решение однородного дифференциального уравнения, соответствующего дифференциальному уравнению цепи после коммутации).

6. Нахождение общего вида реакции цепи. Общий вид реакции цепи (общее решение дифференциального уравнения цепи) находят путем суммирования свободной и принужденных составляющих реакции цепи.

7. Определение постоянных интегрирования. Постоянные интегрирования находят по зависимым начальным условиям (значениям искомых токов или напряжений и их — 1 первых производных в начальный момент времени после коммутации). Для определения зависимых начальных условий используют независимые начальные условия и уравнения электрического равновесия цепи после коммутации.

8. Определение реакции цепи, соответствующей заданным начальным условиям. Подставляя постоянные интегрирования в общее решение дифференциального уравнения цепи после коммутации, находят частное решение дифференциального уравнения, соответствующее заданным начальным условиям, т. е. искомый ток или напряжение одной из ветвей при t>0.

Переходные процессы в последовательной RС-цепи при скачкообразном изменении э. д. с.

Рассмотрим переходные процессы в последователоной RС-цепи (рис. 6.4, а) при скачкообразном изменении э. д. с. идеализированного источника постоянного напряжения

Такое изменение э. д. с. источника напряжения происходит наприМеР, когда в цепи, схема которой приведена на рис. 6.4, б, ключ S в момент времени t = 0 перебрасывают из положения 1 в положение 2.

Очевидно, что в момент времени, непосредственно предшествовавший коммутации, напряжение на емкости равнялось напряжению на зажимах источника энергии при t<0 (предполагается, что до коммутации цепь находилась в установившемся режиме). Используя второй закон коммутации, находим единственное независимое начальное условие

Дифференциальное уравнение рассматриваемой цепи можно составить относительно любой из неизвестных величин (напряжения на сопротивлении напряжения на емкости тока сопротивления

тока емкости однако, учитывая, что для данной цепи известно начальное значение напряжения на емкости, целесообразно составить уравнение относительно этого напряжения.

Исключая из основной системы уравнений электрического равновесия цепи при

все неизвестные величины, кроме получаем

Напряжение на емкости при представим в виде суммы принужденной и свободной составляющих

Очевидно, что с течением времени после коммутации в цепи должен установиться режим постоянного тока, причем установившееся значение тока емкости будет равно нулю (сопротивление емкости постоянному току бесконечно велико), а установившееся значение напряжения на емкости — напряжению источника энергии после коммутации. Таким образом, принужденная составляющая напряжения на емкости

Характеристическое уравнение цепи

имеет единственный корень

где — постоянная времени последовательной RС-цепи, поэтому свободная составляющая напряжения на емкости содержит один экспоненциальный член

Используя выражения (6.10), (6.11) и (6.12), находим напряжение на емкости после коммутации при произвольных начальных условиях

Для определения постоянной интегрирования воспользуемся независимым начальным условием (6.9). Полагая в (6.13) получаем откуда

Таким образом, при заданных начальных условиях напряжение на емкости после коммутации определяется выражением

Зависимость напряжения на емкости от времени при различных соотношениях между показана на рис. 6.4, в— д. Здесь же показана зависимость от времени тока емкости которая при определяется путем дифференцирования выражения (6.14) по времени и умножения результата на С:

Как видно из рисунка, в начальный момент после коммутации напряжение на емкости сохраняет то же значение, что и до коммутации, а затем плавно изменяется, стремясь в пределе к новому установившемуся значению. Ток емкости в начальный момент скачком изменяется от нуля до начального значения:

а затем плавно уменьшается, стремясь в пределе к нулю. В связи с тем что установившееся значение тока емкости до и после коммутации равно нулю, ток рассматриваемой цепи содержит только свободную составляющую.

Анализ выражения (6.16) показывает, что значение тока емкости численно равно постоянному току, который протекал бы в цепи после коммутации, если бы емкость С была заменена идеальным источником напряжения э. д. с. Следовательно, в начальный момент времени после коммутации емкость ведет себя подобно источнику напряжения, э. д. с. которого равна начальному значению напряжения на емкости. Если начальное значение напряжения на емкости равно нулю, то в начальный момент после коммутации ветвь с емкостью можно считать короткозамкнутой, т. е. сопротивление емкости равно нулю.

Далее (см. пример 6.4) будет показано, что в начальный момент времени после коммутации индуктивность ведет себя подобно источнику тока, ток которого равен начальному значению тока через индуктивность. При ветвь с индуктивностью в начальный момент времени можно считать разомкнутой, т. е. сопротивление индуктивности при t = имеет бесконечно большое значение.

Как видно из выражений (6.12) и (6.15), скорость затухания свободных составляющих тока и напряжения емкости не зависит от значения э. д. с. идеализированного источника напряжения до и после коммутации, а определяется только постоянной времени цепи которая численно равна промежутку времени, в течение которого свободные составляющие тока и напряжения уменьшаются в 2,718 раз. Можно показать, что при любом

Таким образом, постоянная времени рассматриваемой цепи численно равна длине подкасательной к кривой или при любом значении т. е. длине отрезка временной оси, заключенного между какой-либо точкой и точкой пересечения временной оси касательной, проведенной к кривой или в точке или Для определения постоянной времени цепи касательную к кривым или наиболее удобно проводить при = 0. В этом случае она пересекает ось времени в точке t = (рис. 6.4, в—д).

Чем больше постоянная времени цепи, тем медленнее затухают свободные составляющие токов и напряжений и, следовательно, токи и напряжения цепи медленнее приближаются к установившимся значениям.

Теоретически процесс установления нового режима длится бесконечно долго, однако, учитывая, что к моменту времени, равному после коммутации, свободные составляющие уменьшаются до уровня менее 0,02 от начального значения, переходные процессы в цепи можно считать практически закончившимися через промежуток времени после коммутации.

Подключение к последовательной RL-цепи источника гармонического напряжения

Рассмотрим переходные процессы в последовательной RL-цепи, содержащей идеализированный источник, э. д. с. которого е (t) изменяется во времени по закону

Временная диаграмма е (t) при > 0 приведена на рис. 6.5, а. В этом случае ток индуктивности в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации, (0_) = 0.

Дифференциальное уравнение цепи, составленное относительно тока при имеет вид

Принужденная составляющая тока может быть найдена с помощью метода комплексных амплитуд

где —модуль и аргумент комплексного входного сопротивления рассматриваемой цепи. Характеристическое уравнение цепи

имеет единственный корень = —R/L, поэтому свободная составляющая тока содержит один экспоненциальный член

где = L/R — постоянная времени последовательной RL-цепи.

Суммируя свободную и принужденную составляющие, находим общее решение дифференциального уравнения цепи (6.18) после коммутации:

Для определения постоянной интегрирования воспользуемся первым законом коммутации, в соответствии с которым начальное значение тока рассматриваемой цепи должно равняться нулю:

Подставляя (6.20) в выражение (6.19), получаем откуда

С учетом (6.21) выражение для тока рассматриваемой цепи после коммутации принимает вид

Характер переходных процессов зависит от соотношения между начальной фазой э. д. с. идеализированного источника напряжения и аргументом входного сопротивления цепи. Если выбирают таким образом, что начальные значения принужденной и свободной составляющих равны нулю то свободная составляющая тока тождественно равна нулю. Переходные процессы в цени в этом случае отсутствуют, т. е. установившийся режим наступает сразу же после коммутации. При или начальные значения свободной и принужденной составляющих максимальны, и отличие в форме кривых выражено наиболее резко (рис. 6.5, б).

Как и для последовательной RC-цепи, скорость затухания свободной составляющей тока рассматриваемой цепи не зависит от характера внешнего воздействия, а определяется только постоянной времени За промежуток времени t = свободная составляющая тока уменьшается в е раз и к моменту времени после коммутации переходные процессы в цепи можно считать практически закончившимися.

Подключение к последовательной RLC-цепи источника постоянного напряжения

Последовательная RLС-цепь содержит два независимо включенных реактивных элемента, поэтому процессы в ней описываются дифференциальным уравнением второго порядка, а для определения постоянных интегрирования необходимо задать два независимых начальных условия. Если э. д. с. идеального источника напряжения изменяется во времени по закону

то независимые начальные условия цепи имеют нулевые значения

Составим уравнение электрического равновесия цепи по методу токов ветвей

Дифференцируя правую и левую части (6.23), получаем дифференциальное уравнение рассматриваемой цепи после коммутации

Для определения единственного решения этого уравнения, соответствующего заданному режиму работы цепи до коммутации, необходимо определить начальные значения тока цепи и его первой производной по времени. Начальное значение тока цепи совпадает с начальным значением тока индуктивности

а начальное значение первой производной тока цепи по времени может быть найдено с использованием независимых начальных условий (6.22) и уравнения электрического равновесия цепи (6.23) при

В связи с тем что установившееся значение тока этой цепи после коммутации равно нулю, ток при содержит только свободную составляющую:

Характеристическое уравнение последовательной RLC-цепи

имеет два корня

где — коэффициент затухания; — резонансная частота цепи. В зависимости от соотношения между величинами и или, что то же самое, в зависимости от добротности цепи,

корни характеристического уравнения (6.27) могут быть вещественными различными, комплексно-сопряженными или вещественными одинаковыми (кратными). Рассмотри каждый из этих случаев.

Вещественные различные корни. При малой добротности последовательной RLC-цепи (Q<12, т.е. R>2p) характеристическое уравнение (6.27) имеет два различных вещественных отрицательных корня, а выражение для тока цепи после коммутации содержит два экспоненциальных члена:

Дифференцируя правую и левую части выражения (6.29)

и используя зависимые начальные условия (6.25), (6.26), составляем уравнения для определения постоянных интегрирования и откуда

С учетом (6.30) выражение для тока цепи после коммутации принимает вид

Расположение корней характеристического уравнения в плоскости комплексного переменного р и зависимость нормированного тока рассматриваемой цепи от времени

приведены на рисунке 6.6,а. Переходный процесс в цепи носит апериодический (неколебательный) характер, причем вследствие того, что вторая составляющая нормированного тока цепи затухает быстрее, чем первая

Комплексно-сопряженные корни добротности последовательной RLС-цепи (Q> 1/2, т. е. R < 2р и характеристическое уравнение (6.27) имеет два комплексно-сопряженных корня

где — частота свободных колебаний в цепи (смысл этого понятия будет ясен из последующего изложения). Ток цепи после коммутации, как и в предыдущем случае, определяется выражением

(6.29), которое после нахождения постоянных интегрирования

может быть с учетом соотношения

преобразовано к виду

где

Таким образом, при включении в последовательную RLС-цепь с высокой добротностью идеального источника постоянного напряжения переходные процессы в ней имеют колебательный характер. Ток цепи представляет собой затухающую гармоническую функцию, амплитуда которой экспоненциально уменьшается во времени. Колебательный характер переходного процесса в цепи связан с периодическим обменом энергией между емкостью и индуктивностью, а затухание колебаний объясняется потерями энергии в сопротивлении.

Расположение корней характеристического уравнения в плоскости комплексного переменного р и зависимость тока цепи от времени показаны на рис. 6.6, б. Корни характеристического уравнения расположены симметрично относительно действительной оси в левой полуплоскости на полуокружности с радиусом, численно равным резонансной частоте последовательного колебательного контура

Чем меньше коэффициент затухания тем ближе к мнимой оси расположены корни уравнения, меньше различие между и медленнее затухание свободных процессов. В пределе, при корни характеристического уравнения располагаются на мнимой оси, частота свободных колебаний совпадает с резонансной частотой цепи, а колебательные процессы в цепи носят незатухающий характер (рис. 6.6, в). Таким образом, резонансная частота RLC-upna численно равна частоте свободных колебаний в цепи, когда коэффициент затухания равен нулю.

Пунктирными линиями на рис. 6.6, б показаны кривые которые характеризуют закон изменения амплитуды тока во времени. Эти кривые называются огибающими. Величина, численно равная длине подкасательной к огибающей тока, называется постоянной времени последовательной RLС-цепи. Очевидно, что за промежуток времени t = ордината огибающей тока уменьшается в е раз. Скорость затухания свободных процессов в рассматриваемой цепи может быть охарактеризована также логарифмическим декрементом колебаний который равен натуральному логарифму отношения двух максимальных значений тока, взятых через период свободных колебаний

Находя натуральный логарифм отношения ординат огибающих тока для можно прийти к выводу, что логарифмический декремент колебаний ие зависит от выбора а определяется только добротностью цепи Q:

Анализ выражения (6.31) показывает, что логарифмически^ декремент колебаний равен нулю при и обращается в бесконечность при

Кратные корни. При Q=12, т.е. при характеристическое уравнение последовательной RLС-цепи имеет два одинаковых вещественных корня расположенных на отрицательной вещественной полуоси в плоскости комплексного переменного р (рис. 6.6, г). Как следует из выражения (6.8), общее решение дифференциального уравнения (6.24) при в этом случае имеет вид

Определяя с помощью зависимых начальных условий (6.25) и (6.26) значения постоянных интегрирования и подставляя их в выражение (6.32), получаем окончательно

Как и для вещественных различных корней, переходный процесс в цепи при одинаковых вещественных корнях имеет апериодический характер (рис. 6.6, г), поэтому условие Q = 1/2 является предельным условием существования в цепи апериодических свободных процессов. Режим работы цепи на границе между колебательным и апериодическим характерами переходных процессов называется критическим.

Итак, характер переходных процессов в последовательной RLC-цепи полностью определяется расположением корней характеристического уравнения в плоскости комплексного переменного.

Зависимость характера переходных процессов от расположения корней характеристического уравнения в плоскости комплексного переменного присуща не только последовательной RLС-цепи, она является общим свойством линейных электрических цепей любого порядка сложности.

Подключение к последовательной RLС-цепи источника гармонического напряжения

Рассмотрим важный для практики случай включения источника гармонического напряжения в последовательную RLC-цепь с высокой добротностью Свободные процессы в такой цепи, как было установлено ранее, имеют колебательный характер. Пусть идеализированный источник напряжения включен в цепь в момент времени t =0, причем примем, что мгновенное значение э.д.с. этого источника при t = 0 равно нулю Уравнение электрического равновесия такой цепи после коммутации, составленное по методу токов ветвей, имеет вид

а дифференциальное уравнение цепи

Для решения уравнения (6.34) необходимо определить начальные значения тока цепи и его первой производной по времени Используя независимые начальные условия

и уравнение электрического равновесия (6.33), получаем

Далее, суммируя составляющие тока

находим общее решение уравнения (6.34) при

Здесь — амплитуда принужденной составляющей тока; — аргумент комплексного входного сопротивления рассматриваемой цепи.

Для определения постоянных интегрирования продифференцируем правую и левую части (6.38)

и подставим в выражения (6.38) и (6.39) зависимые начальные условия (6.35). Решая полученную таким образом систему уравнений относительно находим

С учетом соотношений (6.40) выражение (6.37) для свободной составляющей тока может быть преобразовано к виду

Предположим, что частота о> внешнего воздействия близка к частоте свободных колебаний, а добротность Q настолько велика, что практически совпадает с резонансной частотой цепи С учетом этих допущений, которые незначительно уменьшают общность получаемых результатов, выражение (6.41) существенно упрощается:

Таким образом, в последовательной 7?£С-цепи, удовлетворяющей принятым допущениям, свободная составляющая тока является затухающей гармонической функцией времени. В начальный момент времени амплитуда свободной составляющей тока равна амплитуде принужденной составляющей, а затем уменьшается по экспоненциальному закону. Через промежуток времени, равный после коммутации, амплитуда свободной составляющей становится пренебрежительно малой по сравнению с амплитудой принужденной составляющей, и переходной процесс в цепи можно считать практически закончившимся.

Ток цепи после коммутации равен сумме свободной и принужденной составляющих:

Если частота внешнего воздействия в точности совпадает с резонансной частотой цепи озо, то входное сопротивление цепи имеет чисто резистивный характер и выражение (6.42) принимает вид (рис. 6.7, а)

Как видно из рисунка, амплитуда тока цепи при плавно увеличивается во времени, стремясь в пределе к установившемуся значению Ни при каких значениях t амплитуда тока после коммутации не превышает этого значения.

При включении в последовательную RLС-цепь источника гармонического напряжения, частота которого близка к резонансной, но не равна ей, в цепи наблюдаются биения, заключающиеся в периодическом увеличении амплитуды тока или напряжения до значения, значительно превышающего амплитуду принужденной составляющей (рис. 6.7, б). Если пренебречь затуханием свободной составляющей тока то из выражения (6.42) получаем

Как видно из этого выражения, ток цепи имеет частоту, близкую к резонансной, а амплитуда тока медленно изменяется во времени:

причем максимальное значение тока в переходном режиме в два раза превышает амплитуду принужденной составляющей.

Возникновение биений при включении источника гармонического напряжения в последовательную RLC-цепь объясняется тем, что вследствие несовпадения частот внешнего воздействия и свободных колебаний фазовые соотношения между свободной и принужденной составляющими тока непрерывно изменяются, а разность мгновенных фаз этих колебаний линейно нарастает во времени. В те моменты времени, когда разность мгновенных фаз будет равна где k = 0,1, 2, …. сумма мгновенных значений будет максимальна, а в те моменты времени, когда разность фаз будет равна — минимальна. Частотой биений называют частоту повторения максимумов огибающей тока (6.45). Угловая частота биений, таким образом, равна абсолютному значению разности угловых частот свободной и принужденной составляющей

В реальных колебательных контурах коэффициент затухания имеет малое, но конечное значение. Свободная составляющая тока в таких контурах экспоненциально уменьшается во времени, а биения носят затухающий характер.

Операторный метод анализа переходных процессов

Преобразование Лапласа и его применение к решению дифференциальных уравнений:

Классический метод анализа переходных процессов применяют в основном тогда, когда исследуемая цепь имеет невысокий порядок сложности, а внешнее воздействие на нее после коммутации является гармонической функцией времени либо постоянно. Если внешнее воздействие на цепь после коммутации имеет более сложный характер, то определение принужденной составляющей реакции цепи существенно затруднено, а при повышении порядка цепи усложняется определение постоянных интегрирования. Значительно большие возможности представляет операторный метод анализа переходных процессов, основанный на применении преобразования Лапласа. Подобно ранее рассмотренному методу комплексных амплитуд, операторный метод относится к символическим методам, в которых операции над функциями времени заменяются операциями над их символами (изображениями). Взаимное соответствие между функцией времени a (t) и ее изображением А (р) в операторном методе устанавливается с помощью прямого

или обратного

преобразований Лапласа и указывается знаком соответствия

Функция А (р) называется операторным изображением функции а (t) или изображением функции р (t) по Лапласу. Исходная функция времени a (t) по отношению к своему операторному изображению является оригиналом. Комплексное число р будем называть оператором преобразования Лапласа или комплексной частотой (смысл последнего понятия будет пояснен в следующем параграфе).

Из курса высшей математики известно, что для функций а (t), равных нулю при t < 0, интегрируемых при t > 0 и удовлетворяющих неравенству

где К и — некоторые постоянные числа, интеграл (6.46) абсолютно сходится при Re (р) > . Изображение А (р) в полуплоскости Re (р) > является аналитической функцией р, которая стремится к нулю при Re(p) На практике к интегрированию по формулам (6.46), (6.47) приходится прибегать сравнительно редко, так как для большинства часто употребляемых функций разработаны таблицы прямого и обратного преобразований Лапласа [6, 7]. Операторные изображения некоторых функций приведены в приложении 1. Следует иметь в виду, что в ряде справочников, в частности в [6], приведены таблицы преобразовании Карсона—Хевисайда

которое отличается от преобразования Лапласа только наличием множителя р.

Напомним некоторые свойства преобразования Лапласа. Изображение по Лапласу постоянной величины К равно этой величине, деленной на р:

Умножение функции времени а (t) на постоянное число К соответствует умножению на это же число ее изображения:

Изображение суммы функций времени равно сумме изображений этих функций:

где

Если начальное значение функции a (t) равно нулю а = 0, то дифференцированию функции а (y) соответствует умножение изображения этой функции на р (теорема дифференцирования)

при

Повторным применением теоремы дифференцирования, можно выражения для производных высших порядков:

Интегрированию функции времени в пределах от 0 до t соответствует деление изображения этой функции на р (теорема интегрирования:

смещению функции времени на соответствует умножение изображения на (теорема запаздывания):

а смещению изображения А (р) в комплексной плоскости на комплексное число соответствует умножение оригинала на (теорема смещения):

Значения функции времени при t = 0 и t = могут быть найдены с помощью предельных соотношений

предполагается, что соответствующие пределы существуют).

Если изображение А (р) может быть представлено в виде отношения двух полиномов от р, не имеющих общих корней:

причем степень полинома М (р) выше, чем степень полинома N (р), а уравнение

не имеет кратных корней, то для перехода от изображения к оригиналу можно воспользоваться теоремой разложения

где — корни уравнения (6.56).

Теорема разложения может быть сформулирована также для случая, когда уравнение (6.56) имеет кратные корни, и может быть распространена на случай, когда А (р) является произвольной мероморфной функции р, т. е. функцией, не имеющей иных особых точек, кроме полюсов [7].

Как известно, преобразование Лапласа лежит в основе операторного метода решения линейных дифференциальных уравнений, разработанного в середине прошлого века русским математиком М. Е. Ващенко-Захарченко. Независимо, но значительно позднее известный английский ученый О. Хевисайд применил операторный метод к анализу переходных процессов в электрических цепях с сосредоточенными и распределенными параметрами. Значительный вклад в развитие и обоснование операторного метода внесли советские ученые К. А. Круг, В. С. Игнатовский, А. М. Эфрос, А. М. Данилевский, А. И. Лурье, М.И. Конторович и зарубежные ученые Д. Р. Карсон, Я. Минусинский, Б. ван дер Поль, П. Леви.

При использовании операторного метода решения дифференциальных уравнений неизвестные токи и напряжения ветвей электрической цепи, а также заданные токи и напряжения независимых источников заменяют их операторными изображениями. При этом система интегродифференциальных уравнений электрического равновесия, составленная относительно мгновенных значений токов и напряжений ветвей, преобразуется в систему алгебраических уравнений, составленных относительно операторных изображений соответствующих токов и напряжений. Решая эту систему уравнений, можно найти изображения искомых токов и напряжений ветвей электрической цепи после коммутации. Далее, применяя обратное преобразование Лапласа, можно перейти от изображений искомых токов и напряжений к оригиналам.

Уравнения электрического равновесия цепи в операторной форме. Операторные схемы замещения идеализированных двухполюсных элементов

Итак, используя преобразование Лапласа, каждому уравнению, входящему в систему уравнений электрического равновесия цепи, можно поставить в соответствие уравнение, составленное относительно операторных изображений токов и напряжений. Уравнениям баланса мгновенных значений токов и напряжений соответствуют уравнения баланса операторных изображений токов и напряжений, а компонентным уравнениям, описывающим соотношения между мгновенными значениями токов и напряжений отдельных ветвей, соответствуют уравнения, связывающие операторные изображения токов и напряжений тех же ветвей. Вследствие того что изображение суммы функций времени равно сумме изображений этих функций (6.50), для перехода от уравнений баланса мгновенных значений токов и напряжений ветвей к уравнениям баланса операторных изображений токов и напряжений достаточно в уравнениях (1.37), (1.40) заменить мгновенные значения токов и напряжений их операторными изображениями

Если уравнения баланса напряжений формировались относительно мгновенных значений напряжений отдельных элементов (1.42), то в операторной форме эти уравнения принимают вид

Уравнения (6.58) и (6.59) или (6.60) будем называть уравнениями баланса токов и напряжений в операторной форме, а операторные изображения токов и напряжений— операторными токами и напряжениями.

По аналогии с ранее рассмотренными понятиями комплексного входного сопротивления и комплексной входной проводимости введем понятия операторного входного сопротивления Z (р) и операторной входной проводимости Y (р).

Операторным входным сопротивлением пассивного линейного двухполюсника называется отношение операторного напряжения на входе двухполюсника к операторному току при нулевых начальных условиях

где — операторные изображения тока и напряжения на входе некоторого пассивного двухполюсника при и нулевых начальных условиях.

Величина, обратная Z (р), называется операторной входной проводимостью

Операторное входное сопротивление и операторная входная проводимость пассивного линейного двухполюсника, подобно его комплексному входному сопротивлению и комплексной входной проводимости, не зависят от интенсивности внешнего воздействия и определяются только параметрами входящих в двухполюсник идеализированных пассивных элементов и схемой их соединения.

Как следует из выражений (6 .61), (6.62), каждому пассивному линейному двухполюснику при нулевых начальных условиях может быть поставлена в соответствие операторная схема замещения, на которой рассматриваемый двухполюсник представляется своим операторным входным сопротивлением или операторной входной проводимостью, а токи и напряжения на его зажимах — их операторными изображениями. Если в рамках решаемой задачи двухполюсник не находится при нулевых начальных условиях, то его операторная эквивалентная схема должна содержать независимый источник тока или напряжения, характеризующий начальные запасы энергии в цепи.

Рассмотрим операторные компонентные уравнения и операторные схемы замещения идеализированных пассивных двухполюсников.

Сопротивление. Соотношения между мгновенными значениями тока и напряжения на зажимах сопротивления устанавливаются выражениями (1.9), (1.10):

Учитывая, что умножению функции времени на постоянное число соответствует умножение изображения функции на это же число (6.49), получения компонентных уравнений сопротивления в операторной форме достаточно в выражениях (1.9), (1.10) заменить мгновенные значения токов и напряжений их операторными изображениями

Подставляя соотношения (6.63), (6.64) в (6.61), (6.62), находим выражения для операторного входного сопротивления и операторной входной проводимости

Операторная эквивалентная схема сопротивления приведена на рис. 6.8.

Емкость. Напряжение и ток емкости связаны соотношениями (1.13), (1.16):

Используя теоремы дифференцирования (6.52) и интегрирования (6.53), получаем

Операторные компонентные уравнения емкости (6.66) и (6.67) являются равносильными и могут быть получены одно из другого. При нулевых начальных условиях они принимают вид

Таким образом, операторное входное сопротивление (p) и операторная входная проводимость емкости (р) определяются выражениями

Операторным компонентным уравнениям (6.66) и (6.67) соответствуют параллельная и последовательная схемы замещения емкости (рис. 6.9, а, б), содержащие независимый источник тока или напряжения . При нулевых начальных условиях независимые источники тока или напряжения, характеризующие начальный запас энергии в емкости, выключаются, и в операторной эквивалентной схеме емкости остается только один элемент — операторное входное сопротивление или операторная входная проводимость емкости (рис. 6.9 в).

Индуктивность. Мгновенные значения тока и напряжения индуктивности связаны между собой соотношениями (1.22) и (1.23):

Применяя к этим выражениям теоремы дифференцирования (6.52) и интегрирования (6.53), получаем компонентные уравнения индуктивности в операторной форме:

Уравнения (6.69), (6.70) равносильные и могут быть получены одно из другого с помощью элементарных преобразований. Используя их, определяем комплексное входное сопротивление и комплексную входную проводимость индуктивности

и строим ее последовательную и параллельную схемы замещения (рис. о. 10, а, б). Как и операторные схемы замещения емкости, операторные схемы замещения индуктивности содержат независимый источник напряжения или тока характеризующий начальный запас энергии в индуктивности. Операторная эквивалентная схема индуктивности при нулевых начальных условиях приведена на рис. 6.10, в.

Анализируя полученные результаты, нетрудно установить, что выражения для операторных входных сопротивлений (проводимостей) идеализированных пассивных элементов имеют такую же структуру, как и выражения для комплексных входных сопротивлений (проводимостей) этих же элементов, и могут быть получены одно из другого путем замены на р.

Аналогичным образом может быть получено выражение для операторного входного сопротивления (проводимости) произвольного линейного двухполюсника, составленного из идеализированных пассивных

элементов. Поэтому для преобразования операторных схем замещения линейных пассивных двухполюсников при нулевых начальных условиях можно использовать все рассмотренные ранее (см. гл. 2) правила преобразования линейных пассивных цепей при гармоническом воздействии, а для преобразования операторных схем замещения тех же участков цепей при ненулевых начальных условиях — правила преобразования активных двухполюсников. В частности, последовательная и параллельная схемы замещения емкости или индуктивности могут быть преобразованы одна в другую с помощью рассмотренных ранее (см. гл. 2) приемов преобразования активных двухполюсников.

Используя операторные эквивалентные схемы идеализированных пассивных элементов, можно получить операторную эквивалентную схему произвольного участка линейной цепи или всей цепи в целом. С этой целью каждый идеализированный пассивный элемент, изображенный на эквивалентной схеме цепи для мгновенных значений, должен быть заменен операторной эквивалентной схемой, а токи и напряжения идеализированных источников тока или напряжения — представлены операторными изображениями соответствующих функций.

Операторная эквивалентная схема цепи имеет такую же структуру, как и эквивалентная схема цепи для мгновенных значений, но содержит дополнительные независимые источники энергии, определяющие запасы энергии цепи в момент времени, непосредственно предшествовавший коммутации.

Используя операторную схему замещения цепи, можно с помощью любого из известных методов сформировать систему уравнений ее электричесхого равновесия в операторной форме, которая будет равносильна основной системе уравнений электрического равновесия цпи после коммутации.

В связи с тем что операторная схема замещения цепи может быть построена непосредственно по эквивалентной схеме цепи для мгновенью значении, этап формирования дифференциальных уравнений цепи может быть исключен. Метод анализа переходных процессов в линейных цепях, основанный на формировании операаторных уравнений электрического равновесия цепей по их операторным эквивалентным схемам, получил название операторного метода анализа переходных процессов. Этот метод представляет собой дальнейшее развитие операторного метода решения дифференциальных уравнений и позволяе анализировать процессы в цепи после коммутации, минуя этап формирования уравнений электрического равновесия цепи для мгновенных значений токов и напряжений.

Общая схема применения метода

Наметим основные этапы анализа переходных процессов в линейных цепях с помощью операторного метода.

Анализ цепи до коммутации и определение независимых начальных условий. Выполняются так же, как и при использовании классического метода анализа переходных процессов.
Составление операторной эквивалентной схемы цепи после коммутации. Составление операторной эквивалентной схемы цепи производится непосредственно по эквивалентной схеме цепи для мгновенных значений путем замены каждого идеализированного пассивного элемента его операторной схемой замещения и представления токов и напряжений идеализированных источников тока или напряжения их операторными изображениями.
Составление уравнений электрического равновесия цепи в операторной форме. Система уравнений электрического равновесия цепи в операторной форме может быть сформирована любым из рассмотренных в гл.4 методов непосредственно по операторной схеме замещения цепи.
Решение уравнений электрического равновесия цепи относительно изображений искомых токов и напряжений. Может производиться любым методом, в том числе путем использования рассмотренного ранее метода сигнальных графов.
Определение оригиналов искомых токов и напряжений. Как правило, производится путем применения таблиц обратного преобразования Лапласа [6] и использования основных свойств преобразования Лапласа. Если изображение интересующей функции представляет собой отношение двух полиномов р, для выполнения обратного преобразования Лапласа можно воспользоваться теоремой разложения.

Пример 6.4.

Для цепи, схема которой приведена на рис. 6.11, а, найдем зависимость тока и напряжения индуктивности от времени при Э.д.с. идеализированного источника постоянного напряжения е (t) при t = 0 скачком изменяется от

Анализируя процессы в цепи до коммутации, находим начальное значение тока индуктивности

Для построения операторной эквивалентной схемы цепи после коммутации (рис. 6.11, б) заменяем все идеализированные пассивные элементы их операторными схемами замещения, а э. д. с. идеализированного источника напряжения

— операторной э.д.с., Используя метод контурных токов, составляем систему уравнений электрического равновесия цепи в операторной форме

где

Решая эту систему уравнений, находим операторные изображения искомого тока

и напряжения

Преобразуем полученные выражения к такому виду, чтобы для выполнения обратного преобразования Лапласа можно было непосредственно воспользоваться таблицами, приведенными в приложении 1:

Учитывая, что получаем .выражения для искомых тока и напряжения индуктивности при

где — постоянная времени рассматриваемой цепи. Как видно из полученных соотношений, в начальный момент времени ток индуктивности сохраняет то же значение, что и до коммутации а затем плавно изменяется, стремясь в пределе к Напряжение индуктивности в начальный момент времени скачком изменяется от нуля до и а затем плавно уменьшается до нуля.

Нетрудно заметить, что в начальный момент времени (t = ток и напряжение индуктивности принимают такие значения, которые они имели бы в случае, если индуктивность была заменена идеализированным источником тока (рис. 6.11, в), ток которого равен

Таким образом, в начальный момент после коммутации индуктивность ведет себя подобно идеализированному источнику тока (при нулевых начальных условиях ток этого источника равен нулю, и, следовательно, ветвь, содержащую индуктивность, в начальный момент времени можно считать разомкнутой).

Операторные характеристики линейных цепей

Реакция цепи на экспоненциальное воздействие:

Выясним, какой физический смысл имеет оператор р, входящий в выражения для операторных сопротивлений и проводимостей. С этой целью найдем реакцию цепи на экспоненциальное внешнее воздействие

где — некоторые комплексные числа.

Коэффициент имеет размерность внешнего воздействия и называется обобщенной комплексной амплитудой, величина — имеет размерность и называется обобщенной (комплексной) частотой.

Заметим, что многие встречающиеся на практике внешние воздействия можно рассматривать как частный случай экспоненциального воздействия или как сумму некоторого их количества. Действительно, при выражение (6.72) описывает экспоненциально затухающее экспоненциально нарастающее или неизменное внешнее воздействие. Сумма экспоненциальных воздействий с комплексно-сопряженными амплитудами и комплексно-сопряженными частотами представляет собой гармоническое колебание

амплитуда которого нарастает , затухает или неизменна во времени . Как видно из выражения (6.73), мнимую часть комплексной частоты можно рассматривать как угловую частоту некоторого гармонического колебания, а вещественную часть— как коэффициент, определяющий характер изменения огибающей этого колебания. Вследствие того что интегрирование и дифференцирование экспоненциальной функции не изменяют ее вида, реакция линейной цепи на экспоненциальное внешнее воздействие определенной комплексной частоты является экспоненциальной функцией той же частоты, причем отношение реакции цепи к внешнему воздействию в этом случае не зависит от времени.

Пусть напряжение, приложенное к зажимам идеализированного пассивного элемента изменяется во времени по закону

В этом случае ток сопротивления

ток емкости

и ток индуктивности

Входным сопротивлением пассивного линейного двухполюсника при экспоненциальном внешнем воздействии называется отношение мгновенного значения напряжения на зажимах этого двухполюсника к мгновенному значению тока:

Используя выражения (6.74) — (6.78), найдем входные сопротивления идеализированных пассивных элементов при экспоненциальном внешнем воздействии

Полагая в выражениях (6.79) получаем рассмотренные ранее выражения для операторных входных сопротивлений идеализированных пассивных элементов, а полагая — выражения для комплексных входных сопротивлений тех же элементов при гармоническом внешнем воздействии. Таким образом, комплексные сопротивления идеализированных пассивных элементов при гармоническом внешнем воздействии численно равны входным сопротивлениям тех же элементов при экспоненциальном внешнем воздействии а операторные входные сопротивления рассматриваемых элементов — входному сопротивлению этих элементов при экспоненциальном внешнем воздействии

Следовательно, оператор преобразования Лапласа р, входящий в выражения для операторных входных сопротивлений и проводимостей идеализированных пассивных элементов, можно рассматривать как обобщенную (комплексную) частоту экспоненциального воздействия вида (6.80).

Переходя от идеализированных пассивных элементов к участкам цепей, составленным из таких элементов, и, далее, к произвольным линейным цепям, убеждаемся, что отношение двух любых токов или напряжений этих цепей при экспоненциальном внешнем воздействии вида (6.80) численно равно отношению операторных изображений соответствующих токов или напряжений при нулевых начальных условиях.

Понятие об операторных характеристиках

Рассмотрим идеализированную линейную цепь, не содержащую независимых источников тока и напряжения, у которой выделены пара входных v — v’ и пара выходных k — k’ зажимов.

Операторной, или обобщенной, частотной характеристикой линейной цепи называется отношение операторного изображения реакции цепи к операторному изображению внешнего воздействия при нулевых начальных условиях:

где

Учитывая, что отношение двух любых токов и напряжений линейной цепи, находящейся под экспоненциальным воздействием, численно равно отношению операторных изображений соответствующих величин при нулевых начальных условиях, устанавливаем, что операторная характеристика линейной цепи численно равна отношению реакции цепи к внешнему воздействию при внешнем воздействии вида (6.80)

Для перехода от операторной характеристики цепи к ее комплексной частотной характеристике достаточно в выражении (6.81) заменить р на Следовательно, комплексную частотную характеристику можно рассматривать как частный случай обобщенной частотной характеристики при

Подобно комплексной частотной характеристике, операторная характеристика линейной цепи не зависит от действующих в цепи токов и напряжений, а определяется только топологией цепи и параметрами входящих в нее элементов. В связи с тем что выражения для операторных сопротивлений и проводимостей идеализированных пассивных элементов (6.65), (6.68), (6.71) были получены безотносительно к виду внешнего воздействия, операторные характеристики описывают свойства линейных цепей при произвольных внешних воздействиях.

Как и комплексные частотные характеристики, операторные характеристики цепи делятся на входные и передаточные, причем каждой комплексной частотной характеристике соответствует операторная. В зависимости оттого, какая величина выступаете качестве внешнего воздействия на цепь, а какая рассматривается в качестве отклика цепи, различают:

операторное входное сопротивление

операторную входную проводимость

операторные коэффициенты передачи по напряжению

и току

операторное передаточное сопротивление

и операторную передаточную проводимость

Операторные коэффициенты передачи по напряжению и току являются безразмерными величинами, операторные входное и передаточное сопротивления имеют размерность сопротивления, а операторные входная и передаточная проводимости — размерность проводимости.

Определение операторных характеристик

Для определения операторной характеристики цепи с заданной комплексной частотной характеристикой достаточно в соответствующем аналитическом выражении заменить на р. В общем случае выражения для любых операторных характеристик сколь угодно сложной линейной цепи, не содержащей независимых источников энергии, могут быть получены из рассмотрения узловых или контурных уравнений цепи, составленных по ее операторной схеме замещения при нулевых начальных условиях.

Пусть необходимо найти операторные входное сопротивление и входную проводимость цепи со стороны зажимов v — v’. Подключим к этим зажимам идеализированный источник напряжения (t) и построим операторную схему замещения цепи при нулевых начальных условиях. Выбирая систему независимых контуров таким образом, чтобы ветвь, содержащая источник явилась главной ветвью v-гo контура, составим систему контурных уравнений цепи в операторной форме. Далее, используя формулы Крамера (4.14), найдем ток v-й ветви, совпадающий с током v-гo контура:

Здесь — определитель системы контурных уравнений, составленных в операторной форме; — алгебраическое дополнение элемента

Используя выражение (6.88), находим операторное входное сопротивление и операторную входную проводимость цепи со стороны зажимов v — v’:

Аналогичным образом можно найти и передаточные функции цепи. С этой целью, используя (4.14), определяем ток

и напряжение

ветви, содержащей сопротивление и являющейся главной ветвью k-го контура. Далее, подставляя выражения (6.88), (6.89), (6.90) в (6.84) — (6.87), находим операторный коэффициент передачи цепи по напряжению

операторный коэффициент передачи по току

операторную передаточную проводимость

и операторное передаточное сопротивление

В связи с тем что определитель представляют собой полиномы от собственных и взаимных операторных сопротивлений независимых контуров цепи, а сопротивления контуров являются рациональными функциями р с вещественными коэффициентами, любая операторная характеристика линейной электрической цепи не содержащей независимых источников энергии, также является рациональной функцией р с вещественными коэффициентами, т. е. может быть представлена в виде отношения двух полиномов

Здесь — вещественные коэффициенты, значения которых опре деляются параметрами идеализированных пассивных элементов и управляемых источников.

Напомним, что значения аргумента при которых N (р) = О, называются нулями, а значения аргумента при которых М (р) = 0, — полюсами функции Решая уравнения N (р) = 0; М (р) = 0 и разлагая полиномы N (р) и М (р) на множители, выражение (6.91) можно преобразовать к виду

Здесь — вещественное число, называемое масштабным коэффициентом.

Из выражения (6.92) следует, что нули и полюсы функции определяют значения этой функции с точностью до постоянного коэффициента K. Зная расположение нулей и полюсов операторной характеристики цепи в плоскости комплексной частоты р, можно получить полную информацию о свойствах этой цепи, в частности с точностью до постоянного множителя найти реакцию цепи на заданное воздействие. Графическое изображение расположения нулей и полюсов функции в плоскости комплексной частоты называется диаграммой нулей и полюсов или полюсно-нулевой диаграммой функции. При пoстроении полюсно-нулевых диаграмм мнимую и вещественную оси плоскости р обозначают соответственно нули изображают кружками, а полюсы — крестиками.

Пример 6.5.

Для цепи, схема которой приведена на рис. 3.12, а, найдем операторное входное сопротивление со стороны зажимов 1—1′ и операторный коэффициент передачи по напряжению от зажимов 1—1′ к зажимам 2—2′ в режиме холостого хода на зажимах 2—2′. Построим диаграммы нулей и полюсов функций

Ранее были получены выражения для комплексного входного сопротивления (3.12) и комплексного коэффициента передачи (3.16) данной цепи

Заменяя в этих выражениях на р, находим операторное входное сопротивление и операторный коэффициент передачи цепи по напряжению:

Можно убедиться, что аналогичные результаты получаются и при рассмотрении операторной схемы замещения цепи (рис. 6.12, а).

Полюсно-нулевые диаграммы функций изображены на рис. 6.12, б,в соответственно. Функция имеет один нуль = —RL, функция имеет один нуль = 0 и один полюс v = — R/L.

Пример 6.6.

Найдем операторное входное сопротивление последовательного колебательного контура (см. рис. 3.21, а) в режиме холостого хода на выходе. Построим полюсно-нулевую диаграмму функции .

Операторное входное сопротивление последовательного колебательного контура равно сумме операторных сопротивлений входящих в контур элементов

Используя введенные ранее обозначения запишем выражение для операторного входного сопротивления контура в виде

В зависимости от соотношения между величинами операторное входное сопротивление может иметь два различных вещественных нуля

два одинаковых вещественных нуля

или два комплексно-сопряженных нуля

Во всех случаях функция имеет один полюс

Диаграммы нулей и полюсов функции для изображены на рис. 6.13, а, б, в соответственно. Очевидно, что нули функции являются полюсами функции а полюсы — нулями

Из примеров 6.5 и 6.6 видно, что нули операторного входного сопротивления цепи (полюсы операторной входной проводимости) совпадают с корнями характеристического уравнения, определяющего характер свободных процессов в цепи. Этот результат имеет весьма общий характер и позволяет находить корни характеристического уравнения по выражению для входного сопротивления (входной проводимости) цепи, не прибегая к составлению дифференциального уравнения.

Временные характеристики линейных цепей

Единичные функции и их свойства:

Важное место в теории линейных цепей занимает исследование реакции этих цепей на идеализированные внешние воздействия, описываемые так называемыми единичными функциями.

Единичной ступенчатой функцией (функцией Хевисайда) называется функция

При = 0 для единичной ступенчатой функции используют обозначение l (t) (рис. 6.14, б). График функции l (t— ) имеет вид ступеньки или скачка, высота которого равна l (рис. 6.14, а). Скачок такого типа будем называть единичным. Функцию Хевисайда

l удобно использовать для аналитического представления различных внешних воздействий на цепь, значение которых скачкообразно изменяется в момент коммутации:

где f (t) — ограниченная функция времени.

При подключении цепи к источнику постоянного тока или напряжения значение внешнего воздействия на цепь

где — момент коммутации.

Внешнее воздействие такого вида называется неединичным скачком. Используя функцию Хевисайда, выражение (6.95) можно представить в виде

Если при t = в цепь включается источник гармонического тока или напряжения

то с использованием функции l (t — внешнее воздействие на цепь можно представить в форме

Если внешнее воздействие на цепь в момент времени t = скачкообразно изменяется от одного фиксированного значения до другого то

Внешнее воздействие на цепь, имеющее форму прямоугольного импульса высотой X и длительностью (рис. 6.15, а), можно представить в виде разности двух одинаковых скачков

сдвинутых во времени на (рис. 6.15, б, в):

Рассмотрим прямоугольный импульс длительностью и высотой 1/ (рис. 6.16, а). Очевидно,что площадь этого импульса равна 1 и не зависит от . При уменьшении длительности импульса его высота возрастает, причем при она стремится к бесконечности, но площадь остается равной 1. Импульс бесконечно малой длительности, бесконечно большой высоты, площадь которого равна 1 будем называть единичным импульсом. Функция, определяющая единичный импульс, обозначается и называется —функцией или функцией Дирака.

Итак,

причем

При = 0 для -функции используется обозначение (t). При построении временных диаграмм функции и (t) будем изображать в виде вертикальной стрелки со значком оо около острия (рис.6.16, б, в).

Для установления связи между -функцией и единичной ступенчатой функцией воспользуемся выражением (6.96). Полагая X = 1/ и устремляя к нулю, получаем

откуда

Таким образом, -функция представляет собой производную от единичной ступенчатой функции, а единичная ступенчатая функция — интеграл от -функции.

Строгое обоснование операций над единичными функциями, в том числе операции дифференцирования единичной ступенчатой функции, дано в теории обобщенных функций. Для качественного обоснования таких операций функции и 6 удобно рассматривать в качестве предельных значений некоторых более простых функций, для которых соответствующие операции являются определенными. Рассмотрим, например, функцию (t) (рис. 6.17, а), удовлетворяющую условиям

Производная функция (t) по времени (рис. 6.17, б) имеет вид прямоугольного импульса длительностью и высотой 1/:

При функция (t) вырождается в единичную ступенчатую функцию, а функция — в -функцию:

откуда непосредственно следует, что

При выполнении различных операций над единичными функциями момент коммутации удобно расчленять на три различных момента: _ момент времени, непосредственно предшествовавший коммутации

— собственно момент коммутации и —момент времени, следующий непосредственно после коммутации. С учетом этого интеграл (6.98) можно заменить на

В общем случае

Произведение произвольной ограниченной функции времени f(t) на 6

следовательно,

Из выражений (6.102) и (6.103) следует, что интеграл от произведения произвольной ограниченной функции f (t) на равен либо значению этой функции при (если точка принадлежит интервалу интегрирования), либо нулю (если не принадлежит интервалу интегрирования):

Таким образом, с помощью -функции можно выделять значения функции f (t) в произвольные моменты времени Эту особенность — функции обычно называют фильтрующим свойством.

Для определения реакции линейных электрических цепей на внешнее воздействие в виде единичного скачка или единичного импульса необходимо найти изображения единичных функций по Лапласу. Используя рассмотренные свойства единичных функций, получаем

При операторные изображения единичных функций имеют простой вид:

Переходная и импульсная характеристики линейных цепей

Рассмотрим линейную электрическую цепь, не содержащую независимых источников тока и напряжения. Пусть внешнее воздействие на Цепь представляет собой неединичный скачок а реакция цепи на это воздействие при нулевых начальных условиях

Переходной характеристикой линейной цепи, не содержащей независимых источников энергии, называется отношение реакции этой цепи на воздействие неединичного скачка тока или напряжения к высоте этого скачка при нулевых начальных условиях:

Из выражения (6.107) видно, что если X =1, следовательно, переходная характеристика цепи численно равна реакции цепи на воздействие единичного скачка тока или напряжения. Размерность переходной характеристики равна отношению размерности отклика к размерности внешнего воздействия, поэтому переходная характеристика может иметь размерность сопротивления, проводимости или быть безразмерной величиной.

Пусть внешнее воздействие на цепь имеет форму бесконечно короткого импульса бесконечно большой высоты и конечной площади

Реакцию цепи на это воздействие при нулевых начальных условиях обозначим

Импульсной характеристикой ) линейной цепи, не содержащей независимых источников энергии, называется отношение реакции этой цепи на воздействие бесконечно короткого импульса бесконечно большой высоты и конечной площади к площади этого импульса при нулевых начальных условиях:

Как следует из выражения (6.108), импульсная характеристика цепи численно равна реакции цепи на воздействие единичного импульса = 1), а размерность импульсной характеристики равна отношению размерности отклика цепи к произведению размерности внешнего воздействия на время.

Подобно комплексной частотной и операторной характеристикам цепи, переходная и импульсная характеристики устанавливают связь между внешним воздействием на цепь и ее реакцией, однако в отличие от первых характеристик аргументом последних является время t, а не угловая или комплексная р частота. Так как характеристики цепи, аргументом которых является время , называются временными, а аргументом которых является частота (в том числе и комплексная) — частотными характеристиками, то переходная и импульсная характеристики относятся к временным характеристикам цепи.

Каждой операторной характеристике цепи можно поставить в соответствие переходную и импульсную характеристики. Для установления связи между ними найдем операторные изображения переходной и импульсной характеристик. Используя выражения (6.107), (6.108), запишем

Здесь — операторные изображения реакции цепи на внешние воздействия соответственно. Выражая через операторные изображения внешних воздействий получаем

При = 0 операторные изображения переходной и импульсной характеристик имеют простой вид

Таким образом, импульсная характеристика цепи — это функция, изображение которой, по Лапласу, представляет собой операторную характеристику цепи а переходная характеристика цепи — функция, операторное изображение которой равно Выражения (6.109), (6.110) устанавливают связь между частотными и временнйми характеристиками цепи. Зная, например, им. пульсную характеристику можно с помощью прямого преобразования Лапласа найти соответствующую операторную характеристику цепи

а по известной операторной характеристике с помощью обратного преобразования Лапласа определить импульсную характеристику цепи

Используя выражения (6.109) и теорему дифференцирования (6.51), нетрудно установить связь между переходной и импульсной характеристиками

Следовательно, импульсная характеристика цепи равна первой производной переходной характеристики по времени. В связи с тем что переходная характеристика цепи численно равна реакции цепи на воздействие единичного скачка напряжения или тока, приложенного к цепи с нулевыми начальными условиями, значения функции при равны нулю. Поэтому, строго говоря, переходную характеристику цепи следует записывать как а не Заменяя в выражении (6.111) на и используя соотношение (6.103), получаем

Выражение (6.112) известно под названием формулы обобщенной производной. Первое слагаемое в этом выражении представляет собой производную переходной характеристики при t> а второе слагаемое содержит произведение -функции на значение переходной характеристики в точке . Если при функция изменяется скачкообразно, то импульсная характеристика цепи содержит -функцию, умноженную на высоту скачка переходной характеристики в точке Если функция не претерпевает разрыва при т. е. значение переходной характеристики в точке равно нулю, то выражение для обобщенной производной совпадает с выражением для обычной производной.

Определение временных характеристик линейных цепей

Для определения переходных (импульсных) характеристик линейной цепи в общем случае необходимо рассмотреть переходные процессы, имеющие место в данной цепи при воздействии на нее единичного скачка (единичного импульса) тока или напряжения. Это может быть выполнено с помощью классического или операторного методов анализа переходных процессов. На практике для нахождения временных характеристик линейных цепей удобно использовать другой путь, основанный на применении соотношений, устанавливающих связь между частотными и временными характеристиками. Определение временных характеристик в этом случае начинается с составления операторной схемы замещения цепи для нулевых начальных условий. Далее, используя эту схему, находят операторную характеристику соответствующую заданной паре: внешнее воздействие на цепь — реакция цепи Зная операторную характеристику цепи и применяя соотношения (6.109) или (6.110), определяют искомые временные характеристики.

При качественном рассмотрении реакции линейной цепи на воздействие единичного импульса тока или напряжения переходной процесс в цепи разделяют на два этапа. На первом этапе (при [цепь находится под воздействием единичного импульса, сообщающего цепи определенную энергию. Токи индуктивностей и напряжения емкостей, при этом скачком изменяются на значение, соответствующее поступившей в цепь энергии. На втором этапе (при ) действие приложенного к цепи внешнего воздействия закончилось (при этом соответствующие источники энергии выключены, т. е. представлены внутренними сопротивлениями), и в цепи возникают свободные процессы, протекающие за счет энергии, запасенной в реактивных элементах на первой стадии переходного процесса. Таким образом, импульсная характеристика цепи, численно равная реакции на воздействие единичного импульса тока или напряжения, характеризует свободные процессы в рассматриваемой цепи. Следовательно, при переходе цепи от исходного состояния к первой стадии переходного процесса, законы коммутации не выполняются, а при переходе от первой стадии переходного процесса ко второй — выполняются.

Пример 6.7.

Для цепи, схема которой приведена на рис. 3.12, а, найдем переходную и импульсную характеристики в режиме холостого хода на зажимах 2 —2′. Внешнее воздействие на цепь — напряжение на зажимах 1 —1′ х (t)= реакция цепи — напряжение на зажимах 2—2′ у (t) =

Операторная характеристика данной цепи, соответствующая указанной паре’ внешнее воздействие на цепь — реакция цепи, была получена в примере 6.5:

Следовательно, операторные изображения переходной и импульсной характеристик цепи имеют вид

Используя таблицы обратного преобразования Лапласа (см. приложение 1), переходим от изображения искомых временных характеристик к оригиналам (рис. 6.18, а, б):

Заменяя в полученных выражениях t на t — находим временные характеристики цепи при

Отметим, что выражение для импульсной характеристики рассматриваемой цепи (t) могло быть получено и другим путем с помощью формулы (6.112), примененной к выражению для переходной характеристики цепи

Для качественного объяснения вида переходной и импульсной характеристик цепи в рассматриваемом включении, подсоединим к зажимам независимый источник напряжения е (t) = (рис. 6.18, в). Переходная характеристика данной цепи численно равна напряжению на зажимах при воздействии на цепь единичного скачка напряжения е (t) = 1 (t), В, и нулевых начальных условиях.

В начальный момент времени после коммутации сопротивление индуктивности бесконечно велико, поэтому при t — = 0 напряжение на выходе цепи равно напряжению на зажимах 1—1′:

С течением времени напряжение на индуктивности уменьшается, стремясь к нулю при Все это объясняет, почему переходная характеристика начинается от значения и стремится к нулю при

Импульсная характеристика цепи численно равна напряжению на зажимах при приложении к входу цепи единичного импульса напряжения

е (t) =

При все входное напряжение оказывается приложенным к индуктивности, и ток индуктивности скачком увеличивается от нуля до

При источник напряжения может быть заменен короткозамыкаюшей перемычкой, а ток индуктивности плавно уменьшается от до нуля. Напряжение на индуктивности равно напряжению на сопротивлении R, поэтому при выходное напряжение цепи изменяется от ) — R/L до нуля.

Применение принципа наложения для анализа переходных процессов в линейных цепях

Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие:

Наиболее общий подход к анализу переходных процессов в линейных цепях основан на использовании принципа наложения. Внешнее воздействие на цепь х = х (t) в этом случае представляют в виде линейной комбинации однотипных элементарных составляющих

а реакцию цепи на такое воздействие ищут в виде линейной комбинации частичных реакций (t) на воздействие каждой из элементарных составляющих внешнего воздействия в отдельности:

В качестве элементарных составляющих (t) можно выбирать внешние воздействия, описываемые различными классами функций, реакция цепи на которые может быть найдена с помощью рассмотренных ранее методов. Наиболее широкое распространение получили элементарные (пробные) воздействия в виде гармонической функции времени, единичного скачка или единичного импульса.

Метод анализа переходных процессов в линейных цепях, основанный на представлении внешнего воздействия в виде конечной или бесконечной суммы гармонических функций времени, получил название спектрального.

Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие по ее переходной характеристике

Рассмотрим произвольную линейную электрическую цепь, не содержащую независимых источников энергии, переходная характеристика которой (t) известна. Пусть внешнее воздействие на цепь задается в виде произвольной функции х = х (t), равной нулю при t< и непрерывной при всех t, за исключением точки t = где х (t) может иметь конечный разрыв (рис. 6.19). Функцию х (t) можно приближенно представить в виде суммы неединичных скачков или, что то же самое, в виде линейной комбинации единичных скачков, смещенных один относительно другого на

Здесь — высота начального скачка функции х (t); — высота скачка, подаваемого в момент времени t = (на рис. 6.19 этот скачок заштрихован).

В соответствии с определением переходной характеристики (6.107) реакция цепи на воздействие неединичного скачка, приложенного в момент времени t = , равна произведению высоты скачка на переходную характеристику цепи Следовательно,реакция цепи на воздействие, представляемое суммой неединичных скачков (6.113), равна сумме произведений высот скачков на соответствующие переходные характеристики

Очевидно, что точность представления входного воздействия в виде суммы неединичных скачков, как и точность представления реакции цепи в видe (6.114), возрастает с уменьшением шага разбиения по времени При суммирование заменяется интегрированием:

Выражение (6.115) известно под названием интеграла Дюамеля (интеграла наложения). Используя это выражение, можно найти точное значение реакции цепи на заданное воздействие х = х (t) в любой момент времени t после коммутации. Интегрирование в (6.115) осуществляется на промежутке причем выражения для и получаются из выражений для х (t) и (t) путем замены t на и t — соответственно.

С помощью интеграла Дюамеля можно найти реакцию цепи на заданное воздействие и тогда, когда внешнее воздействие на цепь описывается кусочно-непрерывной функцией, т. е. функцией, которая имеет конечное число конечных разрывов. В этом случае необходимо разбить интервал интегрирования на несколько промежутков в соответствии с интервалами непрерывности функции х = х (t) и учесть реакцию цепи на конечные скачки функции х = х (t) в точках разрыва.

Пример 6.8.

Найдем реакцию цепи на внешнее воздействие, задаваемое функцией х = х (t) вида (рис. 6.20)

Разбиваем ось времени на четыре промежутка в соответствии с интервалами непрерывности функции х = х (t).

При t< 0 реакция цепи у = у (t) тождественно равна нулю (реакция цепи не может опережать по времени внешнее воздействие на цепь).

На участке функция х = х (t) непрерывна, поэтому реакция цепи находится непосредственно с помощью выражения (6.115)

При интервал интегрирования ]0, t[ содержит одну точку разрыва функции х (t). Разбивая интервал интегрирования на два промежутка и учитывая реакцию цепи на воздействие скачка функции х (t) в точке получаем

При интервал интегрирования содерРис. 6.20. д примеру о.б жит две точки разрыва функции х (t). Для определения реакции цепи в этом случае необходимо разбить интервал интегрирования на три промежутка и учесть реакцию цепи на скачки функции в точках Принимая во внимание, что при = 0, получаем

Пример 6.9. Найдем на зажимах цепи, схема которой приведена на рис. 3.12, а, если напряжение на зажимах этой цепи изменяется во времени по закону

Переходная характеристика данной цепи в рассматриваемом включении была определена в примере 6.7:

При t < 0 напряжение на зажимах 2—2′ тождественно равно нулю. При

При

Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие по ее импульсной характеристике

Пусть внешнее воздействие на линейную электрическую цепь, импульсная характеристика которой известна, описывается произвольной функцией х = х (t), равной нулю при и непрерывной при всех t, за исключением точки где функция х (t) может иметь конечный разрыв (рис. 6.21). Функция х (t) может быть приближенно представлена в виде суммы импульсов (t) длительностью сдвинутых один относительно другого на

Рассматривая элементарный импульс (на рис. 6.21 заштрихован) как разность двух неединичных скачков сдвинутых по времени на выражение (6.116) можно представить в форме

где — площадь элементарного импульса

Точность представления внешнего воздействия на цепь с помощью выражения (6.117) возрастает с уменьшением шага разбиения по времени

Учитывая, что

внешнее воздействие на цепь при достаточно малом шаге разбиения по времени можно представить в виде линейной комбинации единичных импульсов

В соответствии с определением импульсной характеристики (6.108) реакция цепи на воздействие одиночного импульса равна произведению площади импульса на импульсную характеристику цепи

Следовательно, реакция цепи на воздействие вида (6.118) равна сумме произведений площадей импульсов на соответствующие импульсные характеристики

Устремляя к нулю и переходя от суммирования к интегрированию, получаем окончательно

Выражение (6.119) представляет собой одну из форм записи интеграла Дюамеля и его можно получить непосредственно из (6.115), используя правило интегрирования по частям и учитывая соотношения между переходной и импульсной характеристиками цепи (6.112). Выражение (6.119) можно использовать для определения реакции цепи и в том случае, когда внешнее воздействие на цепь описывается кусочно-непрерывной функцией, при этом интервал интегрирования разбивается на несколько промежутков в соответствии с интервалами непрерывности функции x(t).

Пример 6.10.

Зная импульсную характеристику цепи найдем реакцию цепи на внешнее воздействие, описанное в примере 6.8.

Разбиваем ось времени на четыре промежутка в соответствии с интервалами непрерывности функции х = х (t) и, используя выражение (6.119), определяем реакцию цепи на заданное воздействие на каждом из промежутков:

Пример 6.11.

Используя данные примеров 6.7 и 6.9, найдем реакцию цепи на заданное внешнее воздействие по ее импульсной характеристике

Разбиваем ось времени на три интервала в соответствии с интервалами непрерывности функции х = х (t). При t<0 напряжение на зажимах 2—2’ тождественно равно нулю.

На участке функция не имеет разрывов, поэтому напряжение на зажимах 2—2′ находится непосредственно с помощью выражения (6.119):

поскольку

то, выполняя преобразования, получаем выражение для напряжения на зажимах при

При интервал интегрирования содержит точку разрыва функции Разбивая интервал интегрирования на два промежутка и принимая во внимание, что получаем выражение для напряжения на зажимах 2—2′ при

Как и следовало ожидать, полученные выражения для реакции рассматриваемой цепи на заданное воздействие, найденные с помощью импульсной характеристики цепи, совпадают с соответствующими выражениями, полученными с использованием переходной характеристики цепи (пример 6.9).

Функция f (t), определяемая соотношением

называется сверткой функций и Используя известное из математики [7] свойство свертки двух функций

из выражений (6.115) и (6.119) можно получить еще две формы записи интеграла Дюамеля

Все приведенные формы записи интеграла Дюамеля равноценны в смысле получаемых результатов, поэтому выбор того или иного выражения определяется только удобством вычислений и не носит принципиального характера.

Переходные процессы в колебательных контурах
Расчет переходных процессов
Классический метод расчета переходных процессов
Анализ переходных и установившихся процессов методом интеграла свертки
Нелинейные цепи переменного тока
Переходные процессы
Переходные процессы в линейных цепях
Переходные процессы в нелинейных цепях

Источник

Законы изменения тока и напряжения для участков цепи содержащих элементы: резистор, катушка индуктивности, конденсатор.

Кафедра Физики и математики, информационных технологий

Отчет по лабораторной работе №2.2

Цепи переменного тока. Реактивные сопротивления

Выполнила ст. группы СБ-13-15

ст. преподаватель Соболева В.В.

Дата	Подпись
Допуск
Результат
Отчет

Цель работы: Ознакомиться с основными элементами электрических цепей синусоидального тока. Освоить методы электрических измерений в цепях синусоидального тока. Получить экспериментальное подтверждение закона Ома для цепей переменного тока.

Требуемое оборудование:

Модульный учебный комплекс: МУК-ЭМ1(2).

1. Генератор звуковых частот ЗГ1 1 шт.

2. Амперметр-вольтметр АВ1 1 шт.

3. Стенд с объектами исследования С3-ЭМ01 1 шт.

4. Комплект проводников 1 шт.

Ответы на контрольные вопросы:

Переменный ток. Мгновенное значение тока. Периодические токи. Период, частота.

Переменным током называют ток, изменяющийся во времени. Значение тока i(t) в любой момент времени называют мгновенным. Токи, мгновенные значения которых повторяются через равные промежутки времени в той же самой последовательности, называют периодическими, а наименьший промежуток времени T, через который эти повторения наблюдаются, — периодом. Величина, обратная периоду, называется частотой ν=1/T. Частота измеряется в герцах [Гц]. Постоянный ток можно рассматривать как частный случай периодического тока, период изменения которого бесконечно велик, т. е. частота равна нулю.

Уравнения мгновенного значения силы тока и напряжения, определение величин, входящих в данные уравнения.

Пусть на некотором участке цепи мгновенные значения тока и напряжения меняются гармонически, т. е по синусоидальному закону (рис. 1)

где I_m – максимальное или амплитудное значение тока;

ψ_I – начальная фаза колебаний тока

ψ_U – начальная фаза колебаний напряжения.

Начальная фаза отсчитывается всегда от момента, соответствующего началу синусоиды (нулевое значение синусоидальной величины при переходе ее от отрицательных к положительным значениям), до момента начала отсчета времени t=0 (начало координат). Если начало синусоиды сдвинуто влево, то начальная фаза имеет положительное значение, а если вправо – отрицательное.

Найти численное значение начальной фазы, например тока (рис. 1), можно путем определения величины Δt_I :

Поскольку начало синусоиды смещено влево, то начальная фаза ψ_I имеет положительное значение.

Сдвиг фаз.

Если у нескольких синусоидальных функций, изменяющихся с одной частотой, начальные фазы не совпадают, то говорят, что они имеют сдвиг фаз (или разность фаз). Сдвиг фаз определяется как разность начальных фаз. Так, например, под разностью фаз ϕ напряжения и тока понимают разность начальных фаз напряжения ψ_U и тока ψ_I

Физические процессы, протекающие в цепях переменного тока, отличаются от процессов, протекающих в цепях постоянного тока. При переменном токе электрические и магнитные поля изменяются во времени. Изменяющееся магнитное поле наводит ЭДС, изменение электрического поля сопровождается изменением зарядов на проводниках.

Законы изменения тока и напряжения для участков цепи содержащих элементы: резистор, катушка индуктивности, конденсатор.

Основными элементами схем цепей переменного тока являются резисторы, конденсаторы и индуктивности. Рассмотрим законы изменения тока и напряжения для участков цепи содержащих эти элементы.

В резистивном элементе с сопротивлением R электромагнитная энергия преобразуется в тепло. Мгновенная мощность, с которой происходит преобразование энергии, определяется соотношением: . Резистивные (или их ещё называют активные) сопротивления вводятся в схемы замещения также для учета необратимого преобразования электромагнитной энергии в другие виды (например, механическую, энергию излучения и т. п.).

В резистивном элементе (рис. 2,а) напряжение связано с током законом Ома: . Если ток в резисторе , то и напряжение

имеет синусоидальную форму и такую же фазу, что и ток в резисторе (т. е. ψ_I=ψ_U). Говорят, что ток и напряжение совпадают по фазе или синфазны, т. е. ϕ=0 (рис. 2,б).

Если через катушку индуктивности (рис. 3,а) пропустить переменный синусоидальный ток , то он создаст переменный магнитный поток, пронизывающий витки катушки. По закону электромагнитной индукции на зажимах катушки этот переменный поток наведёт синусоидальное напряжение:

где n – число витков катушки;

xL=Lω= — реактивное индуктивное сопротивление.

В системе единиц СИ индуктивность L имеет размерность Генри (Гн), а индуктивное сопротивление – (Ом).

Индуктивность L учитывает энергию магнитного поля катушки

Из соотношения (4) видно, что ток через индуктивность i(t) отстаёт от напряжения на угол (рис. 4).

Переменный ток, протекая по виткам катушки, создаёт в проводниках тепловые потери мощности , где — активное сопротивление обмотки. На рис. 3,б показана низкочастотная схема замещения катушки индуктивности, состоящая из индуктивности L и активного сопротивления обмотки . Если сопротивлением обмотки можно пренебречь, то такую катушку считают идеальной индуктивностью (рис. 3,в). Для высоких частот в схеме замещения необходимо учитывать межвитковую ёмкость катушки.

Из (4) следует, что при заданном напряжении можно найти по соотношению

Конденсатор является элементом электрической цепи, имеющим две проводящие обкладки, между которыми находится слой диэлектрика (рис. 5,а). Если к зажимам конденсатора (рис. 5,а) подключить источник синусоидального напряжения то на его обкладках возникнет изменяющийся во времени электрический заряд q(t), т. е. через конденсатор будет протекать электрический ток

В (2) ёмкость конденсатора, которая определяет зависимость изменения величины заряда на обкладках конденсатора от изменения напряжения, приложенного к его обкладкам — реактивное ёмкостное сопротивление.

В системе единиц СИ ёмкость C имеет размерность Фарада (Ф), а ёмкостное сопротивление – (Ом).

Из соотношения (4) видно, что ток через конденсатор i(t) опережает напряжение на угол 90 (рис. 6).

Основной особенностью конденсатора является его способность запасать энергию электрического поля . Кроме того, в конденсаторе имеют место тепловые потери энергии в диэлектрике и обкладках, а также происходит запас энергии в магнитном поле. На рис. 5,б показана низкочастотная схема замещения конденсатора, состоящая из параллельного соединения ёмкости C и активного сопротивления с проводимостью – R_Д, учитывающей потери в диэлектрике и обкладках. Если потерями можно пренебречь, то конденсатор будет представлять собой идеальную ёмкость (рис. 5,в).

Переменный ток

Пока мы будем исходить из того, что в цепи переменного тока находится только конденсатор и все. Без каких-либо других компонентов типа резисторов или индуктивностей. Напомню, что в случае, когда у нас в цепи находится исключительно одни только резисторы, подобная задача решается очень просто: ток и напряжения оказываются связанными между собой через закон Ома . Мы про это уже не один раз говорили. Там все очень просто: делим напряжение на сопротивление и получаем ток. А как же быть в случае конденсатора? Ведь конденсатор-то это не резистор. Там совсем иная физика протекания процессов, поэтому вот так вот с наскока не получится просто связать между собой ток и напряжение. Тем не менее, сделать это надо, поэтому давайте попробуем порассуждать.

Сперва давайте вернемся назад. Далеко назад. Даже очень далеко. К самой-самой первой моей статье на этом сайте. Старожилы должно быть помнят, что это была статья про силу тока . Вот в этой самой статье было одно интересное выражение, которое связывало между собой силу тока и заряд, протекающий через сечение проводника. Вот это самое выражение

Итак, выражение для силы тока мы вспомнили. Давайте теперь вспомним, как связаны между собой емкость конденсатора С, заряд q, который он в себе накопил, и напряжение U на конденсаторе, которое при этом образовалось. Ну, мы же помним, что если конденсатор накопил в себе какой-то заряд, то на его обкладках неизбежно возникнет напряжение. Про это все мы тоже говорили раньше, вот в этой вот статье . Нам будет нужна вот эта формула, которая как раз и связывает заряд с напряжением

Давайте-ка выразим из этой формулы заряд конденсатора:

Емкость конденсатора у нас является величиной постоянной. Она определяется исключительно самим конденсатором, его внутренним устройством, типом диэлектрика и всем таким прочим. Про все это подробно мы говорили в одной из прошлых статей . Следовательно, емкость С конденсатора, поскольку это константа, можно смело вынести за знак дифференциала (такие вот правила работы с этими самыми дифференциалами). А вот с напряжением U нельзя так поступить! Напряжение на конденсаторе будет изменяться со временем. Почему это происходит? Ответ элементарный: по мере протекания тока на обкладках конденсатора, очевидно, заряд будет изменяться. А изменение заряда непременно приведет к изменению напряжения на конденсаторе. Поэтому напряжение можно рассматривать как некоторую функцию времени и его нельзя выносить из-под дифференциала. Итак, проведя оговоренные выше преобразования, получаем вот такую вот запись:

Рисунок 1 – Поясняющая картинка

На ней, по сути, в сжатой форме изображены выводы, которые хорошо бы запомнить.

Пусть напряжение на конденсаторе емкостью C изменяется по закону синуса вот таким вот образом

Какая физическая величина стоит за каждой буковкой в этом выражении мы подробно разбирали чуть раньше . Как же в таком случае будет меняться ток? Используя уже полученные знания, давайте просто тупо подставим это выражение в нашу общую формулу и найдем производную

Или можно записать вот так

Рисунок 2 – Ток через конденсатор и напряжение на конденсаторе

По абсолютнейшей аналогии с уже написанными выкладками, напряжение можно представить вот таким вот образом

Давайте проведем небольшой практический расчет переменного тока через конденсатор и построим графики.

Рисунок 3 – Ищем ток через этот конденсатор

Сперва нам надо записать закон изменения напряжения в розетке. Если вы помните, амплитудное значение напряжения в этом случае равно около 311 В. Почему это так, откуда получилось, и как записать закон изменения напряжения в розетке, можно прочитать вот в этой статье . Мы же сразу приведем результат. Итак, напряжение в розетке будет изменяться по закону

Рисунок 4 – График напряжения в розетке

Рисунок 5 – График тока через конденсатор

Как мы можем видеть из этих рисунков, ток и напряжение сдвинуты на 90 градусов, как и должно быть. И, возможно, у читателя возникла мысль – если через конденсатор течет ток и на нем падает какое-то напряжение, вероятно, на нем должна выделяться и некоторая мощность . Однако спешу предупредить вас – для конденсатора дело обстоит совершенно не так. Если рассматривать идеальный конденсатор, то мощность на нем не будет вообще выделяться, даже при протекании тока и падении на нем напряжения. Почему? Как же так? Об этом – в будущих статьях. А на сегодня все. Спасибо что читали, удачи, и до новых встреч!

Вступайте в нашу группу Вконтакте

Вопросы и предложения админу: This email address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it.

Как работает конденсатор и катушка в цепи переменного тока

Работа многих электрических схем строится на использовании конденсаторов. Основной особенностью этих радиоэлементов является то, что они хорошо проводят переменный ток, но не пропускают постоянный.

Особенности работы конденсатора

Радиодеталь представляет собой две пластины, к которым прикреплены металлические выводы. Пластины не соприкасаются между собой. Обычно между ними проложен слой изолятора. Постоянный электроток через конденсатор проходить не может, так как нет контакта между проводниками, но для переменного он не является препятствием.

Когда конденсатор включен в цепь переменного тока, частота напряжения меняется по закону синусоиды. Сначала электродвижущая сила растёт до своего максимума. После этого она уменьшается до нуля, а затем переходит в отрицательную область, где постепенно возрастает до амплитуды, взятой со знаком минус. Затем отрицательная ЭДС уменьшается по абсолютной величине до нуля и начинает возрастать в положительной области до наибольшего значения. Описанный цикл изменений повторяется снова и снова.

Когда конденсатор работает в цепи переменного тока, в нем циклически происходят следующие процессы:

При возрастании амплитуды от нулевого значения до максимального происходит накопление заряда. Пластины накапливают равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку заряды.
При уменьшении до нуля накопление прекращается, заряд уменьшается, так как начинает стекать с пластин конденсатора.
Когда напряжение меняется на противоположное, на пластины начинают поступать заряды, которые имеют знаки, противоположные тем, что были раньше.
Как только ЭДС достигнет максимального отрицательного значения и станет уменьшаться по абсолютной величине, начнётся разрядка конденсатора.

Описанный здесь цикл повторится с началом возрастания ЭДС. Он будет осуществляться до тех пор, пока переменный ток не будет отключён.

Формула ёмкости

Одна из самых важных характеристик конденсатора — ёмкость. Её обозначают символом C. Несмотря на то, что контакта между пластинами нет, ток будет идти через конденсатор в цепи переменного тока то к пластинам, то от них. Это обусловлено циклически происходящими процессами зарядки и разрядки конденсатора.

Величина ёмкости характеризует способность конденсатора накапливать заряд при поступлении на обкладки определённой разности потенциалов. Ее можно найти по формуле:

Используя эту формулу наряду с законом изменения напряжения, можно узнать силу тока, возникающего в процессе зарядки или разрядки пластин конденсатора в цепи переменного тока. Но для этого необходимо сделать соответствующие преобразования.

Сначала находим напряжение, возникающее на конденсаторе в цепи переменного тока, воспользовавшись формулами для определения ёмкости и разности потенциалов. После преобразований получаем выражение:

Из него находим величину заряда:

Теперь можно получить выражение для электротока в цепи с конденсатором:

Надо сказать, что при выводе формулы для нахождения силы электрического тока были использованы следующие приемы:

От выражения для заряда была взята производная по времени.
Затем было выполнено эквивалентное тригонометрическое преобразование.
U_m соответствует максимальному значению амплитуды колебаний электронапряжения.

Полученное выражение позволяет узнать ток зарядки и разрядки конденсатора в любой момент. Изменения тока опережают напряжение на половину «пи». Величина тока будет максимальной при нулевом напряжении. И, наоборот, значение тока станет нулевым, когда напряжение достигнет максимума.

Для определения ёмкости может быть использована еще такая формула:

Как видно из формулы, ёмкость конденсатора увеличивается при увеличении площади пластин и уменьшении расстояния между ними.

Емкостное сопротивление — ещё одна важная характеристика конденсатора. Его можно найти по формуле:

Если взять формулу для определения амплитуды электротока:

И подставить в нее значение Х_С, то получим:

После изучения данной формулы становится понятно, что емкостное и активное сопротивление из закона Ома играют одну и ту же роль. Поэтому емкостное можно считать сопротивлением конденсатора переменному электротоку.

Пример использования формул для решения простых задач по нахождению емкости конденсатора можно увидеть на изображении ниже:

Особенности электроцепи с емкостью и индуктивностью

Рассматривая ранее цепь переменного тока с включенным конденсатором, мы могли видеть, что частота колебаний электротока на конденсаторе опережает частоту колебаний электронапряжения на π/2. При включении катушки индуктивности наблюдается обратное явление, то есть, электроток отстает от электронапряжения на π/2. Его амплитуда определяется по формуле:

Знаменатель в данной формуле представляет собой выражение, используемое для определения индуктивного сопротивления:

В итоге получаем формулу для силы электротока:

Индуктивное сопротивление, как и емкостное, зависит от частоты электротока. Поэтому катушка, включенная в постоянную цепь, будет иметь нулевое индуктивное сопротивление.

Конденсатор и катушка индуктивности в цепи переменного тока образуют, так называемый, колебательный контур. Его колебания определяются по формуле:

При вынужденных колебаниях сила элетротока достигает максимума, если колебания электронапряжения и самого контура становятся равными:

Виды конденсаторов

На данный момент существует огромный выбор конденсаторов:

Наиболее распространены радиодетали с двумя обкладками, но их может быть и больше.
Плоский конденсатор состоит из двух пластин, между которыми расположен тонкий слой диэлектрика. Его толщина должна быть небольшой по сравнению с размерами пластин.
В цилиндрическом конденсаторе обе пластины имеют цилиндрическую форму. Одна из них находится внутри другой. Между цилиндрами имеется равномерный тонкий промежуток, который заполнен диэлектриком.
Существуют сферические конденсаторы, обкладки которых представляют собой сферы, одна из которых находится внутри другой.

Конденсаторы различаются в зависимости от вида диэлектрика. В частности, может использоваться не только твёрдый, но и жидкий или газообразный диэлектрик. Есть также вакуумные конденсаторы, в которых внутри между обкладками находится вакуум.

Существуют оксидно-полупроводниковые конденсаторы. Один из их электродов является анодом. Диэлектриком выступает покрывающий его оксид. Катодом является полупроводниковый слой, который наносится на слой оксида.

Для изолирующего слоя могут использоваться как органические, так и неорганические материалы. В первом случае применяются бумажные или плёночные материалы. Неорганический диэлектрик выполняется из керамики, стекла, слюды или неорганических синтетических плёнок. Есть и такие, внутри которых содержится электролитический раствор. Конденсаторы с подобным диэлектриком характеризуются относительно высокой ёмкостью.

Еще одна разновидность конденсаторов — подстроечные. Их использование предоставляет возможность изменять значение емкости в определенных пределах, чтобы деталь могла работать наиболее эффективно.

Наряду с конденсаторами общего назначения существуют и те, которые предназначены для специального применения. Примерами таких видов являются дозиметрические, высоковольтные, пусковые, импульсные, помехоподавляющие и некоторые другие радиоэлементы.

Различные характеристики конденсаторов

Основной характеристикой конденсатора является ёмкость. Но при выборе необходимо учитывать и другие.

Для каждого конденсатора существует номинальное напряжение. Если эксплуатация детали будет осуществляться исключительно при таком значении, производитель гарантирует качественную работу в течение всего срока службы.

При увеличении подаваемого на пластины напряжения заряд будет увеличиваться. Если разность потенциалов станет слишком большой, произойдёт пробой радиодетали. В результате между обкладками пройдёт искра, а сам конденсатор станет неисправной. Конденсатор в цепи переменного тока необходимо эксплуатировать в строго заданных параметрах. Иначе срок его эксплуатации существенно сокращается.

Ещё одна характеристика — удельная ёмкость. Она равна отношению ёмкости и массы используемого диэлектрика. С её повышением улучшаются характеристики, но возрастает вероятность пробоя.

В формуле для определения ёмкости используется понятие диэлектрической проницаемости диэлектрика, который находится между пластинами. Эта характеристика определяет то, насколько сильно данное вещество ослабляет влияние электрического поля между обкладками.

В диэлектриках электроны сильно привязаны к ядрам атомов, из-за чего они не перемещаются под действием электрического поля и не образуют электрический ток. Однако при воздействии электрического поля осуществляется поляризация атомов за счет смещения электронов внутри них. Следствием этого является ослабление электрического поля. Его величина зависит от того, какое вещество используется в качестве диэлектрика. Возмущение электрического поля, создаваемое диэлектриком, ослабляет то, которое было приложено к пластинам, и препятствует притоку заряда к пластинам.

Где используются конденсаторы

Радиодетали этого вида находят применение в разных сферах деятельности современного человека:

Конденсатор и катушка индуктивности в цепи переменного тока образуют колебательный контур, его используют во многих устройствах.
Конденсаторы меняют свои характеристики в зависимости от температуры или влажности окружающей среды, поэтому применяются в самых разных измерительных приборах.
Еще одна сфера применения— блоки питания.
Используются в цепях с преобразователями переменного тока в постоянный.
Применяются в частотных фильтрах.
Без конденсатора трудно представить усилитель.
Конденсатор является важным элементом для процессоров и других микросхем.

Здесь приведены только некоторые варианты использования. На самом деле их гораздо больше.

Видео по теме

Уравнения изменения мгновенного значения напряжения и силы тока на конденсаторе

Конденсаторы и расчеты

Конденсаторы, в отличие от проводников, не обладают стабильным сопротивлением. Однако, у них существует определенная математическая зависимость между напряжением и током:

Прописная буква «i» (мгновенный ток) характеризует величину тока через конденсатор в определенный момент времени. Этот ток резко контрастирует с постоянным током (заглавная буква «I»), величина которого не меняется с течением времени. Выражение «du/dt» обозначает мгновенную величину изменения напряжения во времени, или скорость изменения напряжения (вольт в секунду) в определенный момент времени.

В данном уравнении вы можете увидеть нечто новое — переменную времени. В резистивных цепях эта переменная не имеет никакого значения, так как все величины там постоянны. Для цепей, содержащих конденсаторы, переменная времени очень важна, потому что ток в них связан с изменением напряжения во времени. Чтобы понять эту связь в полной мере, давайте рассмотрим несколько иллюстраций. Предположим, что мы подключили конденсатор к источнику переменного напряжения, состоящему из потенциометра и батареи:

Пока механизм потенциометра находится в одном положении (ползунок неподвижен), вольтметр, подключенный к конденсатору, будет регистрировать постоянное (неизменное) напряжение, а амперметр будет показывать 0 ампер. Объяснить это можно следующим образом. Так как напряжение на конденсаторе постоянно, то и скорость изменения напряжения (dv/dt) на нем будет равна нулю. Посмотрев внимательно на вышеприведенное уравнение можно сделать вывод, что при нулевом значении dv/dt мгновенный ток через конденсатор так же будет равен нулю.

Если ползунок потенциометра медленно переместить вверх, то напряжение на конденсаторе постепенно возрастет. Данное повышение напряжения можно увидеть на индикаторе вольтметра:

Если предположить, что ползунок потенциометра перемещается таким образом, что скорость увеличения напряжения на конденсаторе имеет равномерный характер (например, напряжение растет с постоянной скоростью 2 вольта в секунду), то отношение dv/dt в формуле будет иметь фиксированное значение. В соответствии с уравнением, это фиксированное значение, умноженное на емкость конденсатора, даст нам постоянный ток некоторой величины. С точки зрения физики, увеличивающееся напряжение на конденсаторе приведет к увеличению заряда между его пластинами. Таким образом, для равномерного темпа увеличения напряжения необходим равномерный темп накопления заряда в конденсаторе, который приравнивается к равномерной (постоянной) скорости потока электронов, или к электрическому току. В этом случае конденсатор действует как нагрузка: электроны входят в его отрицательную пластину и выходят из положительной, накапливая энергию в электрическом поле.

Если ползунок потенциометра перемещать в том же направлении, но с большей скоростью, то скорость изменения напряжения (dv/dt) будет больше, а соответственно больше будет и ток через конденсатор:

Из всего выше сказанного можно сделать вывод, что ток через конденсатор является производной от напряжения на нем во времени. Если говорить проще, то ток через конденсатор прямопропорционален скорости изменения напряжения. Применительно к нашей схеме, в которой напряжение на конденсаторе устанавливается положением ручки потенциометра, можно сказать, что ток через конденсатор прямопропорционален скорости перемещения этой ручки.

Если бы мы могли двигать ползунок потенциометра в том же направлении, но с различной скоростью, то получили бы следующий график:

Обратите внимание: ток через конденсатор в любой момент времени пропорционален скорости изменения (наклону линии) напряжения. Когда линия напряжения на графике растёт быстро (крутой подъем), ток имеет большое значение. Когда линия напряжения растет медленно (пологий подъем), ток имеет маленькое значение. В одном месте графика можно увидеть строго горизонтальный отрезок линии напряжения (нулевой наклон, представляющий период времени, когда ползунок потенциометра не двигался вообще), при котором ток упал до нулевой отметки.

Если мы будем двигать ползунок потенциометра вниз, то напряжение на конденсаторе будет уменьшаться, порождая ток противоположного направления. Объяснить такое положение дел можно следующим образом. Уменьшение напряжения на конденсаторе приведет к уменьшению заряда между его пластинами. Единственным способом уменьшения заряда является изменение направления потока электронов (разрядка конденсатора). В этом состоянии (с электронами выходящими из отрицательной пластины конденсатора и входящими — в положительную) конденсатор будет выступать в качестве источника питания, высвобождая запасенную энергию в остальную часть схемы.

В обоих случаях величина тока через конденсатор прямопропорциональна скорости изменения напряжения. Единственной разницей между увеличением и уменьшением напряжения является направление потока электронов. Математически, уменьшение напряжения выразится в отрицательном значении выражения dv/dt, а следовательно, и в отрицательном значении мгновенного тока.

источники:

http://myelectronix.ru/peremennyy-tok/61-kondensator-v-tsepi-peremennogo-toka

http://profazu.ru/knowledge/electrical/kondensator-v-tsepi-peremennogo-toka.html

http://www.radiomexanik.spb.ru/12.-kondensatoryi/2.-kondensatoryi-i-raschetyi.html

Источник

Цепь переменного тока с конденсатором

При переменном напряжении на реальном конденсаторе кроме тока смещения имеются небольшие токи проводимости, через толщу диэлектрика (объемный ток) и по поверхности (поверхностный ток).Токи проводимости и поляризацию диэлектрика сопровождают потери энергии.

Таким образом, в реальном конденсаторе наряду с изменением энергии электрического поля (это характеризует реактивная мощность Q) из-за несовершенства диэлектрика идет необратимый процесс преобразования электрической энергии в тепло, скорость которого выражается активной мощностью Р. Поэтому в схеме замещения реальный конденсатор должен быть представлен активным и реактивным элементами.

Деление реального конденсатора на два элемента — это расчетный прием, так как конструктивно их выделить нельзя. Однако такую же схему замещения имеет реальная цепь из двух элементов, один из которых характеризуется только активной мощностью Р (Q = 0), другой — реактивной (емкостной) мощностью Q(P = 0).

Схема замещения конденсатора с параллельным соединением элементов

Реальный конденсатор (с потерями) можно представить эквивалентной схемой параллельного соединения активной G и емкостной B_с проводимостей (рис. 13.15), причем активная проводимость определяется мощностью потерь в конденсаторе G = Р/U_c 2 , а емкость — конструкцией конденсатора. Предположим, что проводимости G и В_с для такой цепи известны, а напряжение имеет уравнение

u = Umsinωt.

Требуется определить токи в цепи и мощность. Исследование цепи с активным сопротивлением и цепи с емкостью показало, что при синусоидальном напряжении токи в них так же синусоидальны. При параллельном соединении ветвей G и В_с , согласно первому закону Кирхгофа, общий ток i равен сумме токов в ветвях с активной и емкостной проводимостями:

i = i_G + i_c, (13.30)

Учитывая, что ток i_G совпадает по фазе с напряжением, а ток i_c опережает напряжение на четверть периода, уравнение общего тока можно записать в следующем виде:

Векторная диаграмма токов в цепи с конденсатором

Для определения действующей величины общего тока I методом векторного сложения построим векторную диаграмму согласно уравнению

Действующие величины составляющих тока:

Первым на векторной диаграмме изображается вектор напряжения U (рис. 13.16, а), его направление совпадает с положительным направлением оси, от которой отсчитываются фазовые углы (начальная фаза напряжения φ_a =0). Вектор I_G совпадает по направлению с вектором U, а вектор I_C направлен перпендикулярно вектору U с положительным углом. Из векторной диаграммы видно, что вектор общего напряжения отстает от вектора общего тока на угол φ, величина которого больше нуля, но меньше 90º. Вектор I является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого — составляющие его векторы I_G и I_C : При напряжении u = U_msinωt соответствии с векторной диаграммой уравнение тока

i = I_msin(ωt + φ)

Треугольник проводимостей для конденсатора

Стороны треугольников токов, выраженные в единицах тока, разделим на напряжение U. Получим подобный треугольник проводимостей (рис. 13.16, б), катетами которого являются активная G = I_G/U и емкостная В_с = I_с/U проводимости, а гипотенузой — полная проводимость цепи Y = I/U. Из треугольника проводимостей

Связь между действующими величинами напряжения и тока выражается формулами

I = UY

U = I/Y (13.35)

Из треугольников токов и проводимостей определяют величины

cosφ = I_G/I = G/Y; sinφ = I_c/I = B_c/Y; tgφ = I_C/I_G = B_c/G. (13.36)

Мощность цепи с конденсатором

Выражение мгновенной мощности реального конденсатора

p = ui = U_msinωt * I_msin(ωt+φ)

совпадает с выражением мгновенной мощности катушки. Рассуждения, аналогичные тем, которые сделаны при рассмотрении графика мгновенной мощности катушки (см. рис.13. 11), можно провести и для реального конденсатора на основе графика рис. 13.17. Величины активной, реактивной и полной мощностей выражаются теми же формулами, какие были получены для катушки [см. (13.19) — (13.22)]. Это нетрудно показать, если стороны треугольника токов, выраженные в единицах тока, умножить на напряжение U. В результате умножения получится подобный треугольник мощностей (рис. 13.16, в), катетами которого являются мощности; активная

P = UI_G = UIcosφ

реактивная

Q = UI_C = UIsinφ

полная

Схема замещения конденсатора с последовательным соединением элементов

Реальный конденсатор, так же как и катушка, на расчетной схеме может быть представлен последовательным соединением двух участков: с активным R и емкостным Х_с сопротивлениями. На рис. 13.18, а такая схема показана в сравнении со схемой параллельного соединения активной и емкостной проводимостей (рис.13. 18,6). Все выводы и формулы, полученные для катушки, остаются в силе и для конденсатора при условии замены индуктивного сопротивления емкостным. Конденсаторы, применяемые на практике, имеют относительно малые потери энергии. Поэтому в схемах замещения они представлены чаще всего только реактивной частью, т. е. емкостью С[B_C = ωC, X_c = 1/(ωC)] Участки цепи, где последовательно соединены отдельные элементы — резистор R и конденсатор С, имеют такую схему замещения, как показано на рис. 13.18, а. Если вам интересно прочитайте статью о настоящих конденсаторах которые применяются в промышленности.

Переменный ток

Пока мы будем исходить из того, что в цепи переменного тока находится только конденсатор и все. Без каких-либо других компонентов типа резисторов или индуктивностей. Напомню, что в случае, когда у нас в цепи находится исключительно одни только резисторы, подобная задача решается очень просто: ток и напряжения оказываются связанными между собой через закон Ома . Мы про это уже не один раз говорили. Там все очень просто: делим напряжение на сопротивление и получаем ток. А как же быть в случае конденсатора? Ведь конденсатор-то это не резистор. Там совсем иная физика протекания процессов, поэтому вот так вот с наскока не получится просто связать между собой ток и напряжение. Тем не менее, сделать это надо, поэтому давайте попробуем порассуждать.

Сперва давайте вернемся назад. Далеко назад. Даже очень далеко. К самой-самой первой моей статье на этом сайте. Старожилы должно быть помнят, что это была статья про силу тока . Вот в этой самой статье было одно интересное выражение, которое связывало между собой силу тока и заряд, протекающий через сечение проводника. Вот это самое выражение

Итак, выражение для силы тока мы вспомнили. Давайте теперь вспомним, как связаны между собой емкость конденсатора С, заряд q, который он в себе накопил, и напряжение U на конденсаторе, которое при этом образовалось. Ну, мы же помним, что если конденсатор накопил в себе какой-то заряд, то на его обкладках неизбежно возникнет напряжение. Про это все мы тоже говорили раньше, вот в этой вот статье . Нам будет нужна вот эта формула, которая как раз и связывает заряд с напряжением

Давайте-ка выразим из этой формулы заряд конденсатора:

Емкость конденсатора у нас является величиной постоянной. Она определяется исключительно самим конденсатором, его внутренним устройством, типом диэлектрика и всем таким прочим. Про все это подробно мы говорили в одной из прошлых статей . Следовательно, емкость С конденсатора, поскольку это константа, можно смело вынести за знак дифференциала (такие вот правила работы с этими самыми дифференциалами). А вот с напряжением U нельзя так поступить! Напряжение на конденсаторе будет изменяться со временем. Почему это происходит? Ответ элементарный: по мере протекания тока на обкладках конденсатора, очевидно, заряд будет изменяться. А изменение заряда непременно приведет к изменению напряжения на конденсаторе. Поэтому напряжение можно рассматривать как некоторую функцию времени и его нельзя выносить из-под дифференциала. Итак, проведя оговоренные выше преобразования, получаем вот такую вот запись:

Рисунок 1 – Поясняющая картинка

На ней, по сути, в сжатой форме изображены выводы, которые хорошо бы запомнить.

Пусть напряжение на конденсаторе емкостью C изменяется по закону синуса вот таким вот образом

Какая физическая величина стоит за каждой буковкой в этом выражении мы подробно разбирали чуть раньше . Как же в таком случае будет меняться ток? Используя уже полученные знания, давайте просто тупо подставим это выражение в нашу общую формулу и найдем производную

Или можно записать вот так

Рисунок 2 – Ток через конденсатор и напряжение на конденсаторе

По абсолютнейшей аналогии с уже написанными выкладками, напряжение можно представить вот таким вот образом

Давайте проведем небольшой практический расчет переменного тока через конденсатор и построим графики.

Рисунок 3 – Ищем ток через этот конденсатор

Сперва нам надо записать закон изменения напряжения в розетке. Если вы помните, амплитудное значение напряжения в этом случае равно около 311 В. Почему это так, откуда получилось, и как записать закон изменения напряжения в розетке, можно прочитать вот в этой статье . Мы же сразу приведем результат. Итак, напряжение в розетке будет изменяться по закону

Рисунок 4 – График напряжения в розетке

Рисунок 5 – График тока через конденсатор

Как мы можем видеть из этих рисунков, ток и напряжение сдвинуты на 90 градусов, как и должно быть. И, возможно, у читателя возникла мысль – если через конденсатор течет ток и на нем падает какое-то напряжение, вероятно, на нем должна выделяться и некоторая мощность . Однако спешу предупредить вас – для конденсатора дело обстоит совершенно не так. Если рассматривать идеальный конденсатор, то мощность на нем не будет вообще выделяться, даже при протекании тока и падении на нем напряжения. Почему? Как же так? Об этом – в будущих статьях. А на сегодня все. Спасибо что читали, удачи, и до новых встреч!

Вступайте в нашу группу Вконтакте

Вопросы и предложения админу: This email address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it.

Уравнение переменного тока в цепи с конденсатором

«Физика — 11 класс»

Постоянный ток не может идти по цепи, содержащей конденсатор, так как обкладки конденсатора разделены диэлектриком.
Переменный же ток может идти по цепи, содержащей конденсатор.

Есть источники постоянного и переменного напряжений, в которых постоянное напряжение на зажимах источника равно действующему значению переменного напряжения.
Цепь состоит из конденсатора и лампы накаливания, соединенных последовательно.
При включении постоянного напряжения (переключатель влево) лампа не светится.
При включении переменного напряжения (переключатель вправо) лампа загорается, если емкость конденсатора достаточно велика.

Под действием переменного напряжения происходит периодическая зарядка и разрядка конденсатора.
Ток, идущий в цепи при перезарядке конденсатора, нагревает нить лампы.

Если сопротивлением проводов и обкладок конденсатора можно пренебречь,

то напряжение на конденсаторе равно напряжению на концах цепи.

Заряд конденсатора меняется по гармоническому закону:

q = CU_m cos ωt

Сила тока, представляющая собой производную заряда по времени, равна:

Колебания силы тока опережают по фазе колебания напряжения на конденсаторе на .

Амплитуда силы тока равна:

Если ввести обозначение

и вместо амплитуд силы тока и напряжения использовать их действующие значения, то получим

Величину Х_с, обратную произведению ωС циклической частоты на электрическую емкость конденсатора, называют емкостным сопротивлением.
Роль этой величины аналогична роли активного сопротивления R в законе Ома.
Действующее значение силы тока связано с действующим значением напряжения на конденсаторе точно так же, как связаны согласно закону Ома сила тока и напряжение для участка цепи постоянного тока.
Это и позволяет рассматривать величину Х_с как сопротивление конденсатора переменному току (емкостное сопротивление).

Чем больше емкость конденсатора, тем больше ток перезарядки.
Это легко обнаружить по увеличению накала лампы при увеличении емкости конденсатора.
В то время как сопротивление конденсатора постоянному току бесконечно велико, его сопротивление переменному току имеет конечное значение Х_с.
С увеличением емкости оно уменьшается.
Уменьшается оно и с увеличением частоты ω.

На протяжении четверти периода, когда конденсатор заряжается до максимального напряжения, энергия поступает в цепь и запасается в конденсаторе в форме энергии электрического поля.
В следующую четверть периода, при разрядке конденсатора, эта энергия возвращается в сеть.

Итак,
сопротивление цепи с конденсатором обратно пропорционально произведению циклической частоты на электроемкость. Колебания силы тока опережают по фазе колебания напряжения на .

Источник: «Физика — 11 класс», учебник Мякишев, Буховцев, Чаругин

Электромагнитные колебания. Физика, учебник для 11 класса — Класс!ная физика

источники:

http://myelectronix.ru/peremennyy-tok/61-kondensator-v-tsepi-peremennogo-toka

http://class-fizika.ru/11_28.html

Источник

Общие сведения о переходных процессах

Причины возникновения переходных процессов

Первый закон коммутации

Второй закон коммутации

Включение катушки индуктивности на постоянное напряжение

График переходного тока

Постоянная времени электрической цепи

Уравнение кривой переходного тока

Принужденная и свободная составляющие переходного тока

Влияние величины напряжения и параметров цепи на переходный процесс

Отключение катушки индуктивности от источника постоянного напряжения

Размыкание электрической цепи с катушкой индуктивности

Изменение тока в катушке, замкнутой на разрядное сопротивление

Уравнение переходного тока

Изменение сопротивления в цепи с индуктивностью

Уменьшение сопротивления в цепи

Увеличение сопротивления в цепи

Зарядка конденсатора

Уравнение кривых переходного тока и напряжения на конденсаторе

Влияние величины напряжения источника и параметров цепи на переходный процесс

Разрядка конденсатора на сопротивление

Переходный процесс при разрядке конденсатора

Уравнение напряжения на конденсаторе и тока в цепи при разрядке конденсатора

Включение катушки индуктивности на синусоидальное напряжение

Уравнение переходного тока

Влияние на переходный процесс начальной фазы приложенного напряжения

Короткое замыкание в цепи переменного тока

Уравнение кривой переходного тока

Влияние начальной фазы напряжения на переходный процесс короткого замыкания

Методы анализа переходных процессов в линейных цепях с сосредоточенными параметрами

Законы коммутации

Общий подход к анализу переходных процессов

Определение порядка сложности цепи

Классический метод анализа переходных процессов

Общая схема применения классического метода анализа переходных процессов

Переходные процессы в последовательной RС-цепи при скачкообразном изменении э. д. с.

Подключение к последовательной RL-цепи источника гармонического напряжения

Подключение к последовательной RLC-цепи источника постоянного напряжения

Подключение к последовательной RLС-цепи источника гармонического напряжения

Операторный метод анализа переходных процессов

Общая схема применения метода

Операторные характеристики линейных цепей

Понятие об операторных характеристиках

Определение операторных характеристик

Временные характеристики линейных цепей

Переходная и импульсная характеристики линейных цепей

Определение временных характеристик линейных цепей

Применение принципа наложения для анализа переходных процессов в линейных цепях

Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие по ее переходной характеристике

Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие по ее импульсной характеристике

Законы изменения тока и напряжения для участков цепи содержащих элементы: резистор, катушка индуктивности, конденсатор.

Переменный ток

Как работает конденсатор и катушка в цепи переменного тока

Особенности работы конденсатора

Формула ёмкости

Особенности электроцепи с емкостью и индуктивностью

Виды конденсаторов

Различные характеристики конденсаторов

Где используются конденсаторы

Видео по теме

Уравнения изменения мгновенного значения напряжения и силы тока на конденсаторе

Цепь переменного тока с конденсатором

Схема замещения конденсатора с параллельным соединением элементов

Векторная диаграмма токов в цепи с конденсатором

Треугольник проводимостей для конденсатора

Мощность цепи с конденсатором

Схема замещения конденсатора с последовательным соединением элементов

Переменный ток

Уравнение переменного тока в цепи с конденсатором

Не пропустите также: