запиши периодическую дробь (0,(8)) обыкновенной дробью.
Решение.
Достаточно очевидно, что (0,(8)=0,8+0,08+0,008+…) Слагаемые в правой части равенства образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, первый член которой равен (0,8), знаменатель равен (0,1). Найдём сумму по формуле:
.
Осталось выполнить нужные действия с десятичными дробями:
.
Таким образом, бесконечная периодическая десятичная дробь (0,(8)) обращается в обыкновенную дробь (8/9).
Ответ: (0,(8)=8/9).
Геометрическая прогрессия
- Понятие геометрической прогрессии
- Формула n-го члена геометрической прогрессии
- Свойства геометрической прогрессии
- Сумма первых n членов геометрической прогрессии
- Примеры
п.1. Понятие геометрической прогрессии
Геометрической прогрессией называют числовую последовательность, каждый член которой bn, начиная со второго, равен произведению предыдущего члена bn-1 и некоторого постоянного числа q: $$ mathrm{ b_n=b_{n-1}q, ninmathbb{N}, n ge 2, qne 0, qne 1, b_1ne 0 } $$ Число q называют знаменателем геометрической прогрессии.
Например:
1. Последовательность 1, 3, 9, 27, … является геометрической прогрессией с b1 = 1, q = 3.
2. Последовательность (mathrm{9, -3, 1, -frac13, frac19,…}) является геометрической прогрессией с b1 = 9, (mathrm{q=-frac13}).
п.2. Формула n-го члена геометрической прогрессии
По определению геометрической прогрессии мы получаем рекуррентную формулу для n-го члена: bn = bn-1q. Из неё можно вывести аналитическую формулу:
b2 = b1q, b3 = b2q = (b1q)q = b1q2, b4 = b3q = (b1q2)q = b1q3,…
Получаем:
bn = b1qn-1
Например:
Найдём b5, если известно, что (mathrm{b_1=frac12, q=2}).
По формуле n-го члена получаем: (mathrm{b_5=b_1q^4=frac12cdot 2^4=2^3=8})
п.3. Свойства геометрической прогрессии
Свойство 1. Экспоненциальный рост/падение
Геометрическая прогрессия с положительными первым членом и знаменателем b1 > 0, q > 0 является показательной функцией вида f(n) = kqn: $$ mathrm{ b_n=frac{b_1}{q}q^n } $$
При b1 > 0, q > 1 прогрессия экпоненциально растёт
При b1 > 0, 0 < q < 1 прогрессия экпоненциально падает
Свойство 2. Признак геометрической прогрессии
Для того чтобы числовая последовательность была геометрической прогрессией необходимо и достаточно, чтобы каждый её член, начиная со второго, был средним геометрическим предыдущего и последующего членов: $$ mathrm{ left{b_nright} — text{геометрическая прогрессия} Leftrightarrow b_n=sqrt{b_{n-1}b_{n+1}}, ninmathbb{N}, n geq 2 } $$ Следствие: аждый член прогрессии является средним геометрическим двух равноудалённых от него членов: $$ mathrm{ b_n=sqrt{b_{n-k}b_{n+k}}, ninmathbb{N}, kinmathbb{N}, n geq k+1 } $$
Например:
Найдём b9, если известно, что (mathrm{b_7=frac{1}{16}, b_{11}=4})
По следствию из признака геометрической прогрессии: (mathrm{b_9=sqrt{b_7b_{11}}=sqrt{frac{1}{16}cdot 4}=frac12})
Свойство 3. Равенство сумм индексов
Если {bn} – геометрическая прогрессия, то из равенства сумм индексов следует равенство произведений членов: $$ mathrm{ m+k=p+q Rightarrow b_mb_k=b_pb_q } $$ Следствие: произведение членов, равноудалённых от концов прогрессии, является постоянной величиной: $$ mathrm{ b_1b_n = b_2b_{n-1}=b_3b_{n-2}=… } $$
Например:
Найдём b6, если известно, что b2 = 5, b4 = 10, b8 = 40
По равенству сумм индексов b2b8 = b4b6
Откуда (mathrm{b_6=frac{b_2b_8}{b_4}=frac{5cdot 40}{10}=20})
п.4. Сумма первых n членов геометрической прогрессии
Сумма первых n членов геометрической прогрессии равна $$mathrm{ S_n=frac{b_nq-b_1}{q-1}, qne 1} $$
Если учесть, что bn = b1qn-1, получаем ещё одну формулу для суммы: $$mathrm{ S_n=b_1frac{q^n-1}{q-1}, qne 1} $$
Например:
Найдём сумму первых 10 степеней двойки: 2 + 22 + 23 + … + 210
В этом случае b1 = 2, q = 2, n = 10
Получаем: (mathrm{ S_{10}=2cdot frac{2^{10}-1}{2-1}=2cdot (1024-1)=2046})
п.5. Примеры
Пример 1. Найдите знаменатель геометрической прогрессии и сумму первых 10 членов, если:
а) b5 = 9, b8 = 243
Найдём отношение $$ mathrm{ frac{b_8}{b_5}=frac{b_1cdot q^7}{b_1cdot q^4}=q^3, frac{b_8}{b_5}=frac{243}{9}=27=3^3, q^3=3^3Rightarrow q = 3 } $$ Найдём 1-й член: $$ mathrm{ b_1=frac{b_5}{q^4}=frac{9}{3^4}=frac{3^2}{3^4}=frac{1}{3^2}=frac19 } $$ Сумма: $$ mathrm{ S_{10}=b_1frac{q^{10}-1}{q-1}=frac{3^{10}-1}{9cdot 2}=frac{29524}{9}=3280frac49 } $$ Ответ: q = 3, S10 = (mathrm{3280frac49})
б) b1 = 3, bn = 96, Sn = 189
По формуле суммы: $$ mathrm{ S_{n}=frac{b_nq-b_1}{q-1}Rightarrow 189 =frac{96q-3}{q-1}Rightarrow 189(q-1)=96q-3Rightarrow 93q=186Rightarrow q = 2 } $$ Сумма: $$ mathrm{ S_{10}=b_1frac{q^{10}-1}{q-1}=3cdot frac{2^{10}-1}{2-1}=3cdot 1023=3069 } $$ Ответ: q = 2, S10 = 3069
Пример 2. Между числами (mathrm{40frac12 text{и} 5frac13}) вставьте такие четыре числа, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию.
По условию (mathrm{b_1=40frac12, b_6=5frac13}) $$ mathrm{ frac{b_6}{b_1}=q^5, frac{b_6}{b_1}=5frac13 : 40frac12=frac{16}{3} : frac{81}{2}=frac{16}{3} cdot frac{2}{81}=frac{32}{243}=frac{2^5}{3^5}=left(frac23right)^5 } $$ Знаменатель (mathrm{q=frac23})
Находим промежуточные члены прогрессии: begin{gather*} mathrm{ b_2=b_1q=40frac12cdotfrac23=frac{81}{2}cdot frac23=27, b_3=b_2q=27cdotfrac23=18, }\ mathrm{ b_4=b_3q=18cdotfrac23=12, b_5=b_4q=12cdotfrac23=8 } end{gather*} Ответ: 27, 18, 12 и 8
Пример 3. Найдите первый и последний члены геометрической прогрессии, если: $$ left{ begin{array}{ l } mathrm{b_4-b_2=0,6} & \ mathrm{b_5-b_3=1,2} & \ mathrm{S_n=12,7} & end{array}right. $$ Заметим, что b4=b2q2, b5=b3q2. Для первых двух уравнений получаем: $$ left{ begin{array}{ l } mathrm{b_2q^2-b_2=0,6} & \ mathrm{b_3q^2-b-3=1,2} & end{array}right. Rightarrow left{ begin{array}{ l } mathrm{b_2(q^2-1)=0,6} & \ mathrm{b_3(q^2-1)=1,2} & end{array}right. $$ Делим второе уравнение на первое: $$ mathrm{ frac{b_3(q^2-1)}{b_2(q^2-1)}=frac{1,2}{0,6}Rightarrowfrac{b_3}{b_2}=q=2 } $$ Подставляем найденное значение знаменателя прогрессии в первое уравнение: $$ mathrm{ b_2(2^2-1)=0,6 Rightarrow b_2=frac{0,6}{3}=0,2 Rightarrow b_1=frac{b_2}{q}=frac{0,2}{2}=0,1 } $$ Для третьего уравнения можем записать: begin{gather*} mathrm{ S_n=b_1frac{q^n-1}{q-1}=0,1cdotfrac{2^n-1}{2-1}=frac{2^n-1}{10}=12,7 Rightarrow 2^n-1=127 Rightarrow }\ mathrm{ Rightarrow 2^n=128=2^7 Rightarrow n=7 } end{gather*} 7-й член b7 = b1q6 = 0,1 · 26 = 6,4
Ответ: b1 = 0,1; b7 = 6,4
Пример 4. В геометрической прогрессии, все члены которой положительны, сумма первого и второго членов равна 48, а сумма третьего и четвёртого членов равна 12. Найдите значение n, при котором Sn = 63. $$ text{По условию} left{ begin{array}{ l } mathrm{b_1+b_2=48} & \ mathrm{b_3+b_4=12} & \ mathrm{S_n=63} & end{array}right. $$ Заметим, что b3 = b1q2, b_4=b_2q2. Второе уравнение можно переписать в виде: $$ mathrm{ b_3+b_4=b_1q^2+b2q^2=underbrace{(b_1+b_2)}_{=48} q^2=12 Rightarrow q^2=frac{12}{48}=frac14 Rightarrow q=frac12 } $$ Берём положительное значение q, т.к. по условию все члены положительны.
Из первого уравнения $$ mathrm{ b_1+b_2=b_1(1+q)=48 Rightarrow b_1=frac{48}{1+frac12}=48cdotfrac23=32 } $$ Для третьего уравнения можем записать: begin{gather*} mathrm{ S_n=b_1frac{q^n-1}{q-1}=b_1frac{1-q^n}{1-q}=32cdotfrac{1-frac{1}{2^n}}{1-frac12}=64left(1-frac{1}{2^n}right)=63 }\ mathrm{ 64-frac{64}{2^n}=63 Rightarrow 1=frac{2^6}{2^n} Rightarrow n=6 } end{gather*} Ответ: 6
Пример 5. Бактерия, попав в организм, делится надвое каждые 20 мин. Сколько бактерий будет в организме через сутки?
Сутки – это 24 · 60 = 1440 мин, или n = 1440 : 20 = 72 цикла деления.
По условию необходимо найти
N = N0 · 2n, где N0 = 1
N = 272 = 4 722 366 482 869 645 213 696 ≈ 4,7 · 1021
Ответ: 4,7 · 1021 бактерий
16
Июл 2013
Категория: Справочные материалы
Геометрическая прогрессия
2013-07-16
2021-06-28
А вы знаете удивительную легенду о зернах на шахматной доске? + показать
Определение
Геометрическая прогрессия — последовательность чисел (членов прогрессии) 
, в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число 
(знаменатель прогрессии):
, где 
Например, последовательность 1, 2, 4, 8, 16, … – геометрическая (
)
Геометрическая прогрессия
Знаменатель геометрической прогрессии
, 
Характеристическое свойство геометрической прогрессии
для 
Последовательность 
является геометрической тогда и только тогда, когда для любого n > 1 выполняется указанное выше соотношение.
В частности, для геометрической прогрессии с положительными членами, верно: 
Формула n-го члена геометрической прогрессии
Сумма n первых членов геометрической прогрессии
, где 
(если же 
, то 
)
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
При 
, геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей. Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называется число 
и 
Посмотри это видео
Примеры
Пример 1. Последовательность {} –геометрическая прогрессия.
Найдите 
, если 
, 
Решение: + показать
Приметр 2. Найдите знаменатель геометрической прогрессии {}, в которой 
Решение: + показать
Пример 3. Найдите девятый член геометрической прогрессии, если ее десятый член равен 
, а одиннадцатый член равен 
Решение: + показать
Пример 4. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии
Решение: + показать
Пример 5. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии {}, в которой 
Решение: + показать
Пример 6. Представьте в виде обыкновенной дроби число 
Решение: + показать
Пример 7. Найдите 
, если известно, что числа 
являются последовательными членами геометрической прогрессии (в указанном порядке).
Решение: + показать
Пример 8. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, отношение суммы первых четырех членов которой, к сумме первых двух членов равно 
Решение: + показать
Пример 9. Между числами 
и вставьте три числа так, чтобы получилась геометрическая прогрессия 
Решение: + показать
Вы можете пройти тест по теме «Геометрическая прогрессия»
Автор: egeMax |
комментариев 5
Печать страницы
Геометрическая прогрессия
Кусочек теории.
Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, не равных нулю, в которой каждый следующий член, начиная со второго, в одно и то же количество раз больше (или меньше) предыдущего.
Последовательность чисел 2; 4; 8; 16; 32; 64; … будет являться геометрической прогрессией, причем возрастающей, т.к. каждое следующее число больше предыдущего в 2 раза. В данном случае число 2 является знаменателем этой прогрессии.
Также геометрической прогрессией будет являться последовательность чисел 12; 6; 3; 1,5; 0,75; 0,375; … , причем убывающей, т.к. в ней числа уменьшаются в 2 раза. Но геометрическую прогрессию прежде всего связывают с умножением, поэтому правильнее сказать, что в последовательности числа увеличиваются в 0,5 раз. Здесь знаменателем будет число 0,5.
Знаменатель геометрической прогрессии обозначают буквой q. Если знаменатель не дан, то найти его можно делением текущего члена прогрессии на предыдущий:
Найти любой по счету член геометрической прогрессии можно, зная ее первый член и знаменатель. Запишем формулу n-ого члена:
Но необязательно знать именно первый член прогрессии. Пригодится может любое по счету число. Только тогда формула чутка изменится:
И держи третью формулу для нахождения n-ого члена геометрической прогрессии через предыдущий и последующий члены (правда по модулю)!
Помимо этих трех формул пригодится еще формула суммы:
Практика.
Задание 1.
Это задание можно решить без формул. Но если уж так хочется, то можно и по формулам, но мне вот не хочется)
Откинем пока минусы…
Если разделить 125 на 100, то мы увидим во сколько раз следующее число меньше предыдущего: в 1,25 раз. То же самое число получится, если 100 разделить на 80.
Найдем 4-ое число в этой последовательности: 80 : 1,25 = 64.
И 5-ое: 64 : 1,25 = 51,2.
Но не забываем, что знаки у чисел чередуются: четвертое число будет отрицательным, а пятое — положительным.
Ответ: 51,2.
Задание 2.
Опять знаки у чисел чередуются, значит число, спрятанное под иксом, будет отрицательным.
Не будем морочить голову формулами, пойдем задом наперед: разделим 4-ое число на 3-ое (найдем знаменатель прогрессии):
96 : 24 = 4 (знаки у чисел мы откинули временно).
Значит, чтобы найти икс надо 24 разделить на знаменатель 4 и взять результат с минусом.
Ответ: -6.
Задание 3.
По данной нам в условии задаче формуле можно сразу понять, что 2 — знаменатель прогрессии. Если это не понятно — вот доказательство:
Здесь схитрить не получится, поэтому используем формулу и находим b6.
Ответ: -192.
Задание 4.
Каждое следующее число в 4 раза больше предыдущего, значит знаменатель q равен 4.
Зная первый член прогрессии и знаменатель можно найти сумму первых шести членов (n = 6).
Ответ: 682,5.
Задание 5.
Похожее условие уже встречалось в задании 3. Из данной формулы делаем вывод, что знаменатель q = 3.
Находим сумму:
Ответ: -847.
Вот и всё!
С наилучшими пожеланиями, твой персональный препод)
Геометрическая прогрессия — это новый вид числовой последовательности, с которым нам предстоит познакомиться. Для успешного знакомства не помешает хотя бы знать и понимать, что такое арифметическая прогрессия. Тогда и с геометрической прогрессией проблем не будет.)
Что такое геометрическая прогрессия? Понятие геометрической прогрессии.
Начинаем экскурсию, как обычно, с элементарщины. Пишу незаконченную последовательность чисел:
1, 10, 100, 1000, 10000, …
Сможете уловить закономерность и сказать, какие числа пойдут дальше? Ясен перец, дальше пойдут числа 100000, 1000000 и так далее. Даже без особого умственного напряжения всё ясно, правда ведь?)
Ладно. Ещё пример. Пишу вот такую последовательность:
1, 2, 4, 8, 16, …
Сможете сказать, какие числа пойдут дальше, вслед за числом 16 и назвать восьмой член последовательности? Если вы сообразили, что это будет число 128, то очень хорошо. Значит, полдела в понимании смысла и ключевых моментов геометрической прогрессии уже сделано. Можно расти дальше.)
А теперь снова переходим от ощущений к строгой математике.
Ключевые моменты геометрической прогрессии.
Ключевой момент №1
Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел. Как и арифметическая прогрессия. Ничего хитрого. Только устроена эта последовательность по-другому. Отсюда, естественно, и другое название носит, да…
Ключевой момент №2
Со вторым ключевым моментом вопрос похитрее будет. Давайте вернёмся чуть назад и вспомним ключевое свойство арифметической прогрессии. Вот оно: каждый член отличается от предыдущего на одну и ту же величину.
А можно ли похожее ключевое свойство сформулировать для геометрической прогрессии? Подумайте немного… Присмотритесь к приведённым примерам. Догадались? Да! В геометрической прогрессии (любой!) каждый её член отличается от предыдущего в одно и то же число раз. Всегда!
В первом примере это число — десятка. Какой член последовательности ни возьми, он больше предыдущего в десять раз.
Во втором примере это — двойка: каждый член больше предыдущего в два раза.
Именно этим ключевым моментом геометрическая прогрессия и отличается от арифметической. В арифметической прогрессии каждый следующий член получается прибавлением одной и той же величины к предыдущему члену. А здесь — умножением предыдущего члена на одну и ту же величину. Вот и вся разница.)
Ключевой момент №3
Этот ключевой момент полностью идентичен таковому для арифметической прогрессии. А именно: каждый член геометрической прогрессии стоит на своём месте. Всё точь-в-точь как и в арифметической прогрессии и комментарии, я думаю, излишни. Есть первый член, есть сто первый и т.д. Переставим местами хотя бы два члена — закономерность (а вместе с ней и геометрическая прогрессия) исчезнут. Останется просто последовательность чисел безо всякой логики.
Вот и всё. Вот и весь смысл геометрической прогрессии.
Термины и обозначения.
А вот теперь, разобравшись со смыслом и ключевыми моментами геометрической прогрессии, можно и к теории переходить. А иначе какая же теория без понимания смысла, правда?
Как обозначать геометрическую прогрессию?
Как записывается геометрическая прогрессия в общем виде? Никаких проблем! Каждый член прогрессии также записывается в виде буквы. Только для арифметической прогрессии, обычно, используется буква «а», для геометрической — буковка «b». Номер члена, как обычно, указывается индексом справа внизу. Сами члены прогрессии просто перечисляем через запятую или точку с запятой.
Вот так:
b1, b2, b3, b4, b5, b6, …
Коротко такую прогрессию записывают вот так: (bn).
Или вот так, для конечных прогрессий:
b1, b2, b3, b4, b5, b6.
b1, b2, …, b29, b30.
Или, в краткой записи:
(bn), n=30.
Вот, собственно, и все обозначения. Всё то же самое, только буква другая, да.) А теперь переходим непосредственно к определению.
Определение геометрической прогрессии.
Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый последующий член равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же ненулевое число.
Вот и всё определение. Большинство слов и фраз вам понятны и хорошо знакомы. Если, конечно, понимаете смысл геометрической прогрессии «на пальцах» и числовой последовательности вообще. Но есть и несколько новых фраз, на которые я хотел бы обратить особое внимание.
Во-первых, слова: «первый член которой отличен от нуля«.
Это ограничение на первый член введено не случайно. Как вы думаете, что произойдёт, если первый член b1 окажется равным нулю? Чему будет равен второй член, если каждый член больше предыдущего в одно и то же число раз? Допустим, в три раза? Посмотрим… Умножаем первый член (т.е. 0) на 3 и получаем… ноль! А третий член? Тоже ноль! И четвёртый член — тоже ноль! И так далее…
Получаем просто мешок баранок последовательность нулей:
0, 0, 0, 0, …
Конечно, такая последовательность имеет право на жизнь, но никакого практического интереса она не представляет. Всё и так понятно. Любой её член — ноль. Сумма любого количества членов — тоже ноль… Что с ней интересного можно делать? Ничего…
Следующие ключевые слова: «умноженному на одно и то же ненулевое число».
Это самое число тоже носит своё специальное название — знаменатель геометрической прогрессии. Начинаем знакомство.)
Знаменатель геометрической прогрессии.
Всё проще простого.
Знаменатель геометрической прогрессии — это ненулевое число (или величина), показывающее, во сколько раз каждый член прогрессии больше предыдущего.
Опять же, по аналогии с арифметической прогрессией, ключевым словом, на которое следует обратить внимание в этом определении, является слово «больше». Оно означает, что каждый член геометрической прогрессии получается умножением на этот самый знаменатель предыдущего члена.
Поясняю.
Для расчёта, скажем, второго члена, надо взять первый член и умножить его на знаменатель. Для расчёта десятого члена, надо взять девятый член и умножить его на знаменатель.
И так далее и тому подобное…
Сам знаменатель геометрической прогрессии может при этом быть каким угодно. Совершенно любым! Целым, дробным, положительным, отрицательным, иррациональным — всяким. Кроме нуля. Об этом и говорит нам слово «ненулевое» в определении. Зачем это слово тут нужно — об этом далее.
Знаменатель геометрической прогрессии обозначается, чаще всего, буковкой q.
Как найти это самое q ? Не вопрос! Надо взять любой член прогрессии и поделить на предыдущий член. Деление — это дробь. Отсюда и название — «знаменатель прогрессии». Знаменатель, он обычно в дроби сидит, да…) Хотя, по логике, величину q следовало бы называть частным геометрической прогрессии, по аналогии с разностью для прогрессии арифметической. Но договорились называть знаменателем. И мы тоже не будем изобретать велосипед.)
Определим, например, величину q для такой геометрической прогрессии:
2, 6, 18, 54, …
Всё элементарно. Берём любое число последовательности. Какое хотим, такое и берём. Кроме самого первого. Например, 18. И делим на предыдущее число. То есть, на 6.
Получаем:
q = 18/6 = 3
Вот и всё. Это верный ответ. Для данной геометрической прогрессии знаменатель равен трём.
Найдём теперь знаменатель q для другой геометрической прогрессии. Например, вот такой:
1, -2, 4, -8, 16, …
Всё то же самое. Какие бы знаки ни были у самих членов, всё равно берём любое число последовательности (например, 16) и делим на предыдущее число (т.е. -8).
Получим:
d = 16/(-8) = -2
И все дела.) В этот раз знаменатель прогрессии оказался отрицательным. Минус два. Бывает.)
Возьмём теперь вот такую прогрессию:
1, 1/3, 1/9, 1/27, …
И снова, вне зависимости от вида чисел, стоящих в последовательности (хоть целые, хоть дробные, хоть отрицательные, хоть иррациональные), берём любое число (например, 1/9) и делим на предыдущее число (1/3). По правилам действий с дробями, естественно.
Получим:
И всё.) Здесь знаменатель оказался дробным: q = 1/3.
А вот такая «прогрессия» как вам?
3, 3, 3, 3, 3, …
Очевидно, здесь q = 1. Формально это тоже геометрическая прогрессия, только с одинаковыми членами.) Но такие прогрессии для изучения и практического применения не интересны. Так же, как и прогрессии со сплошными нулями. Поэтому мы их рассматривать и не будем.
Как вы видите, знаменатель прогрессии может быть каким угодно — целым, дробным, положительным, отрицательным — всяким! Не может быть только нулём. Не догадались, почему?
Ну, давайте на каком-нибудь конкретном примере посмотрим, что будет, если взять в качестве знаменателя q нолик.) Пусть у нас, допустим, будет b1 = 2, а q = 0. Чему тогда будет равен второй член?
Считаем:
b2 = b1·q = 2·0 = 0
А третий член?
b3 = b2·q = 0·0 = 0
Ну что, стоит считать дальше или нет? Я думаю, уже каждому… эээ-э-э… В общем, каждому ясно, что все последующие члены (кроме, быть может, первого), будут нулями… И чем нам такая последовательность интересна? Ничем.) Вот и не рассматривают нулевой знаменатель в геометрической прогрессии. Так же, как и не рассматривают нулевой первый член, да.)
Виды и поведение геометрических прогрессий.
С арифметической прогрессией всё было более-менее ясно: если разность прогрессии d положительна, то прогрессия возрастает. Если же разность отрицательна, то прогрессия убывает. Всего два варианта. Третьего не дано.)
А вот с поведением геометрической прогрессии всё будет уже гораздо интереснее и разнообразнее!)
Как только себя тут члены ни ведут: и возрастают, и убывают, и неограниченно приближаются к нулю, и даже меняют знаки, попеременно бросаясь то в «плюс», то в «минус»! И во всём этом многообразии надо уметь хорошо разбираться, да…
Разбираемся?) Начинаем с самого простого случая.
Знаменатель положительный (q>0)
При положительном знаменателе, во-первых, члены геометрической прогрессии могут уходить в плюс бесконечность (т.е. неограниченно возрастать) и могут уходить в минус бесконечность (т.е. неограниченно убывать). К такому поведению прогрессий мы уже попривыкли.
Например:
(bn): 1, 2, 4, 8, 16, …
Здесь всё просто. Каждый член прогрессии получается больше предыдущего. Причём каждый член получается умножением предыдущего члена на положительное число +2 (т.е. q = 2). Поведение такой прогрессии очевидно: все члены прогрессии неограниченно растут, уходя в космос. В плюс бесконечность…
А теперь вот такая прогрессия:
(bn): -1, -2, -4, -8, -16, …
Здесь тоже каждый член прогрессии получается умножением предыдущего члена на положительное число +2. А вот поведение такой прогрессии уже прямо противоположное: каждый член прогрессии получается меньше предыдущего, и все её члены неограниченно убывают, уходя в минус бесконечность.
А теперь давайте подумаем: что общего у этих двух прогрессий? Правильно, знаменатель! И там и там q = +2. Положительное число. Двойка. А вот поведение этих двух прогрессий — принципиально разное! Не догадались, почему? Да! Всё дело в первом члене! Именно он, как говорится, и заказывает музыку.) Смотрите сами.
В первом случае первый член прогрессии положительный (+1) и, стало быть, все последующие члены, получаемые умножением на положительный знаменатель q = +2, также будут положительными.
А вот во втором случае первый член отрицательный (-1). Поэтому и все последующие члены прогрессии, получаемые умножением на положительное q = +2, также будут получаться отрицательными. Ибо «минус» на «плюс» всегда даёт «минус», да.)
Как вы видите, в отличие от арифметической прогрессии, геометрическая прогрессия может вести себя совершенно по-разному не только в зависимости от знаменателя q, но ещё и в зависимости от первого члена, да.)
Запоминаем: поведение геометрической прогрессии однозначно определяется её первым членом b1 и знаменателем q.
А теперь начинаем разбор менее привычных, но зато гораздо более интересных случаев!
Возьмём, например, вот такую последовательность:
(bn): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …
Эта последовательность — тоже геометрическая прогрессия! Каждый член этой прогрессии тоже получается умножением предыдущего члена, на одно и то же число. Только число это — дробное: q = +1/2. Или +0,5. Причём (важно!) число, меньшее единички: q = 1/2<1.
Чем интересна эта геометрическая прогрессия? Куда стремятся её члены? Давайте посмотрим:
1;
1/2 = 0,5;
1/4 = 0,25;
1/8 = 0,125;
1/16 = 0,0625;
…….
Что интересного здесь можно заметить? Во-первых, сразу бросается в глаза убывание членов прогрессии: каждый её член меньше предыдущего ровно в 2 раза. Или, в соответствии с определением геометрической прогрессии, каждый член больше предыдущего в 1/2 раза, т.к. знаменатель прогрессии q = 1/2. А от умножения на положительное число, меньшее единички, результат обычно уменьшается, да…
Что ещё можно заметить в поведении этой прогрессии? Убывают ли её члены неограниченно, уходя в минус бесконечность? Нет! Они убывают по-особенному. Сначала довольно быстро убывают, а потом всё медленнее и медленнее. Причём всё время оставаясь положительными. Пускай и очень-очень маленькими. А к чему же они сами при этом стремятся? Не догадались? Да! К нулю они стремятся!) Причём, обратите внимание, самого нуля члены нашей прогрессии никогда не достигают! Только лишь бесконечно близко к нему приближаются. Это очень важно.)
Похожая ситуация будет и в такой прогрессии:
(bn): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …
Здесь b1 = -1, а q = 1/2. Всё то же самое, только к нулю теперь члены будут приближаться уже с другой стороны, снизу. Всё время оставаясь отрицательными.)
Такая геометрическая прогрессия, члены которой неограниченно приближаются к нулю (неважно, с положительной или с отрицательной стороны), в математике носит особое название — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Прогрессия эта настолько интересная и необычная, что о ней даже будет отдельный урок.)
Итак, мы рассмотрели все возможные положительные знаменатели — и большие единички и меньшие единички. Саму единичку в качестве знаменателя мы не рассматриваем по причинам, изложенным выше (вспомните пример с последовательностью троек…)
Подытожим:
Если знаменатель геометрической прогрессии положителен и больше единицы (q>1), то члены прогрессии:
a) неограниченно возрастают (если b1>0);
б) неограниченно убывают (если b1<0).
Если знаменатель геометрической прогрессии положителен и меньше единицы (0<q<1), то члены прогрессии:
а) бесконечно близко приближаются к нулю сверху (если b1>0);
б) бесконечно близко приближаются к нулю снизу (если b1<0).
Осталось теперь рассмотреть случай отрицательного знаменателя.
Знаменатель отрицательный (q<0)
За примером далеко ходить не будем. Чего, собственно, лохматить бабушку?!) Пусть, например, первый член прогрессии будет b1 = 1, а знаменатель возьмём q = -2.
Получим вот такую последовательность:
(bn): 1, -2, 4, -8, 16, …
И так далее.) Каждый член прогрессии получается умножением предыдущего члена на отрицательное число -2. При этом все члены, стоящие на нечётных местах (первый, третий, пятый и т.д.) будут положительными, а на чётных местах (второй, четвёртый и т.д.) — отрицательными. Знаки строго чередуются. Плюс-минус-плюс-минус… Такая геометрическая прогрессия так и называется — возрастающей знакочередующейся.
Куда же стремятся её члены? А никуда.) Да, по абсолютной величине (т.е. по модулю) члены нашей прогрессии неограниченно возрастают (отсюда и название «возрастающая»). Но при этом каждый член прогрессии поочерёдно бросает то в жар, то в холод. То в «плюс», то в «минус». Колеблется наша прогрессия… Причём размах колебаний с каждым шагом стремительно растёт, да.) Стало быть, стремления членов прогрессии куда-то конкретно здесь нет. Ни к плюс бесконечности, ни к минус бесконечности, ни к нулю — никуда.
Рассмотрим теперь какой-нибудь дробный знаменатель между нулём и минус единичкой.
Например, пусть будет b1 = 1, а q = -1/2.
Тогда получим прогрессию:
(bn): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …
И снова имеем чередование знаков! Но, в отличие от предыдущего примера, здесь уже прослеживается чёткая тенденция приближения членов к нулю.) Только в этот раз наши члены приближаются к нулю не строго сверху или снизу, а снова колеблясь. Попеременно принимая то положительные, то отрицательные значения. Но при этом их модули становятся всё ближе и ближе к заветному нолику.)
Такая геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей знакочередующейся.
Чем интересны эти два примера? А тем, что в обоих случаях имеет место чередование знаков! Такая фишка характерна только для прогрессий с отрицательным знаменателем, да.) Стало быть, если в каком-то задании вы увидите геометрическую прогрессию со знакочередующимися членами, то уже твёрдо будете знать, что её знаменатель на 100% отрицательный и не ошибётесь в знаке.)
Кстати, в случае отрицательного знаменателя знак первого члена совершенно не влияет на поведение самой прогрессии. С каким бы знаком первый член прогрессии ни был, в любом случае будет наблюдаться знакочередование членов. Весь вопрос лишь в том, на каких местах (чётные или нечётные) будут стоять члены с конкретными знаками.
Запоминаем:
Если знаменатель геометрической прогрессии отрицательный, то знаки членов прогрессии всегда чередуются.
При этом сами члены:
а) неограниченно возрастают по модулю, если q<-1;
б) бесконечно приближаются к нулю, если -1<q<0 (прогрессия бесконечно убывающая).
Вот и всё. Все типовые случаи разобраны.)
В процессе разбора самых разных примеров геометрических прогрессий, я периодически употреблял слова: «стремится к нулю», «стремится к плюс бесконечности», «стремится к минус бесконечности»… Ничего страшного.) Эти речевые обороты (и конкретные примеры) — всего лишь начальное знакомство с поведением самых разных числовых последовательностей. На примере геометрической прогрессии.
Зачем нам вообще нужно знать поведение прогрессии? Какая разница, куда она там стремится? К нулю ли, к плюс бесконечности, к минус бесконечности… Нам-то что от этого?
Дело всё в том, что уже в ВУЗе, в курсе высшей математики, вам понадобится умение работать с самыми разными числовыми последовательностями (с любыми, а не только прогрессиями!) и умение представлять, как именно себя ведёт та или иная последовательность — возрастает ли она неограниченно, убывает ли, стремится ли к конкретному числу (причём не обязательно к нулю) или даже вообще ни к чему не стремится… Этой теме в курсе матанализа посвящён целый раздел — теория пределов. А чуть конкретнее — понятие предела числовой последовательности. Очень интересная тема! Имеет смысл поступить в институт и разобраться.)
Некоторые примеры из этого раздела (последовательности, имеющие предел) и в частности, бесконечно убывающая геометрическая прогрессия начинают осваиваться ещё в школе. Привыкаем.)
Более того, умение хорошо исследовать поведение последовательностей в дальнейшем здорово сыграет на руку и очень пригодится в исследовании функций. Самых разнообразных. А вот умение грамотно работать с функциями (вычислять производные, исследовать их по полной программе, строить их графики) уже резко повышает ваш математический уровень! Сомневаетесь? Не надо. Ещё вспомните мои слова.)
Посмотрим на геометрическую прогрессию в жизни?
В окружающей нас жизни с геометрической прогрессией мы сталкиваемся очень и очень часто. Даже сами того не подозревая.)
Например, различные микроорганизмы, которые окружают нас повсюду в огромных количествах и которых мы даже не видим без микроскопа, размножаются именно в геометрической прогрессии.
Скажем, одна бактерия размножается делением пополам, давая потомство в 2 бактерии. В свою очередь, каждая из них, размножаясь, тоже делится пополам, давая общее потомство в 4 бактерии. Следующее поколение даст уже 8 бактерий, потом 16 бактерий, 32, 64 и так далее. С каждым следующим поколением число бактерий удваивается. Типичный пример геометрической прогрессии.)
Также в геометрической прогрессии размножаются и некоторые насекомые — тля, мухи. И кролики иногда, кстати, тоже.)
Другой пример геометрической прогрессии, уже ближе к обыденной жизни, — это так называемые сложные проценты. Такое интересное явление часто встречается в банковских вкладах и называется капитализацией процентов. Что это такое?
Сами вы пока что ещё, конечно, юные. В школе учитесь, в банки не обращаетесь. А вот родители ваши — люди уже взрослые и самостоятельные. На работу ходят, денежки на хлеб насущный зарабатывают, а часть денег кладут в банк, делая сбережения.)
Скажем, ваш папа хочет поднакопить определённую денежную сумму на семейный отдых в Турции и положил в банк 50000 рублей под 10% годовых сроком на три года с ежегодной капитализацией процентов. Причём в течение всего этого срока делать со вкладом ничего нельзя. Нельзя ни пополнять вклад, ни снимать деньги со счёта. Какую прибыль он получит через эти три года?
Ну, во-первых, надо разобраться, что же такое 10% годовых. Это значит, что через год к первоначальной сумме вклада банком будут начислены 10%. От чего? Конечно же, от первоначальной суммы вклада.
Считаем размер счёта через год. Если первоначальная сумма вклада составляла 50000 рублей (т.е. 100%), то через год на счету будет сколько процентов? Правильно, 110%! От 50000 рублей.
Вот и считаем 110% от 50000 рублей:
50000·1,1 = 55000 рублей.
Надеюсь, вы понимаете, что найти 110% от величины означает помножить эту величину на число 1,1? Если не понимаете, почему это именно так, вспоминайте пятый и шестой классы. А именно – связь процентов с дробями и частями.)
Таким образом, прибавка за первый год составит 5000 рублей.
А сколько денег будет на счету через два года? 60000 рублей? К сожалению (а вернее, к счастью), всё не так просто. Весь фокус капитализации процентов состоит в том, что при каждом новом начислении процентов, эти самые проценты будут считаться уже от новой суммы! От той, которая уже лежит на счету в данный момент. А начисленные за предыдущий срок проценты прибавляются к изначальной сумме вклада и, таким образом, сами участвуют в начислении новых процентов! То есть, они становятся полноправной частью общего счёта. Или общего капитала. Отсюда и название — капитализация процентов.
Это в экономике. А в математике такие проценты называются сложными процентами. Или процентами от процентов.) Их фишка заключается в том, что при последовательном вычислении проценты каждый раз считаются от новой величины. А не от первоначальной…
Стало быть, для подсчёта суммы через два года, нам надо посчитать 110% от той суммы, которая будет на счету через год. То есть, уже от 55000 рублей.
Считаем 110% от 55000 рублей:
55000·1,1 = 60500 рублей.
Значит, процентная прибавка за второй год составит уже 5500 рублей, а за два года — 10500 рублей.
Теперь уже можно догадаться, что через три года сумма на счету будет составлять 110% от 60500 рублей. То есть снова 110% от предыдущей (прошлогодней) суммы.
Вот и считаем:
60500·1,1 = 66550 рублей.
А теперь выстраиваем наши денежные суммы по годам в последовательность:
50000;
55000 = 50000·1,1;
60500 = 55000·1,1 = (50000·1,1)·1,1;
66550 = 60500·1,1 = ((50000·1,1)·1,1)·1,1
Ну и как? Чем не геометрическая прогрессия? Первый член b1 = 50000, а знаменатель q = 1,1. Каждый член больше предыдущего строго в 1,1 раза. Всё в строгом соответствии с определением.)
И сколько же дополнительных процентных бонусов «накапает» вашему папе, пока его 50000 рублей три года лежали на банковском счету?
Считаем:
66550 — 50000 = 16550 рублей
Негусто, конечно. Но это если изначальная сумма вклада — маленькая. А если побольше? Скажем, не 50, а 200 тысяч рублей? Тогда прибавка за три года составит уже 66200 рублей (если посчитать). Что уже очень неплохо.) А если вклад ещё больше? Вот то-то и оно…
Вывод: чем выше изначальный вклад, тем выгоднее становится капитализация процентов. Именно поэтому вклады с капитализацией процентов предоставляются банками на длительные сроки. Скажем, на пять лет.
Также в геометрической прогрессии любят распространяться всякие нехорошие болезни типа гриппа, кори и даже более страшных заболеваний (той же атипичной пневмонии в начале 2000-х или чумы в Средневековье). Отсюда и такие масштабы эпидемий, да…) А всё из-за того, что геометрическая прогрессия с целым положительным знаменателем (q>1) — штука, возрастающая очень быстро! Вспомните размножение бактерий: из одной бактерии получаются две, из двух — четыре, из четырёх — восемь и так далее… С распространением всякой заразы всё то же самое.)
Простейшие задачи по геометрической прогрессии.
Начнём, как всегда, с несложной задачки. Чисто на понимание смысла.
1. Известно, что второй член геометрической прогрессии равен 6, а знаменатель равен -0,5. Найдите первый, третий и четвёртый её члены.
Итак, нам дана бесконечная геометрическая прогрессия, а известен второй член этой прогрессии:
b2 = 6
Кроме того, нам ещё известен знаменатель прогрессии:
q = -0,5
А найти нужно первый, третий и четвёртый члены этой прогрессии.
Вот и действуем. Записываем последовательность по условию задачки. Прямо в общем виде, где второй член — шестёрка:
b1, 6, b3, b4, …
А теперь приступаем к поискам. Начинаем, как всегда, с самого простого. Можно посчитать, например, третий член b3? Можно! Мы же с вами уже знаем (прямо по смыслу геометрической прогрессии), что третий член (b3) больше второго (b2) в «q» раз!
Так и пишем:
b3 = b2·q
Подставляем в это выражение шестёрку вместо b2 и -0,5 вместо q и считаем. И минус тоже не игнорируем, разумеется…
b3 = 6·(-0,5) = -3
Вот так. Третий член оказался с минусом. Неудивительно: наш знаменатель q — отрицательный. А плюс помножить на минус, будет, знамо дело, минус.)
Считаем теперь следующий, четвёртый член прогрессии:
b4 = b3·q
b4 = -3·(-0,5) = 1,5
Четвёртый член — снова с плюсом. Пятый член будет опять с минусом, шестой — с плюсом и так далее. Знаки — чередуются!
Так, третий и четвёртый члены нашли. Получилась вот такая последовательность:
b1; 6; -3; 1,5; …
Осталось теперь найти первый член b1 по известному второму. Для этого шагаем уже в другую сторону, влево. Это значит, что в данном случае второй член прогрессии нам надо не помножить на знаменатель, а поделить.
Делим и получаем:
Вот и всё.) Ответ к задачке будет такой:
-12; 6; -3; 1,5; …
Как вы видите, принцип решения тот же самый, что и в арифметической прогрессии. Знаем любой член и знаменатель геометрической прогрессии — можем найти и любой другой её член. Какой хотим, такой и отыщем.) С той лишь разницей, что сложение/вычитание заменяется на умножение/деление.
Запоминаем: если нам известен хотя бы один член и знаменатель геометрической прогрессии, то мы всегда можем найти любой другой член этой прогрессии.
Следующая задачка, по традиции, из реального варианта ОГЭ:
2. Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии:
…; 150; х; 6; 1,2; …
Найдите член прогрессии, обозначенный буквой х.
Ну и как? В этот раз ни первого члена нет, ни знаменателя q, задана просто последовательность чисел… Что-то знакомое уже, правда? Да! Похожая задачка уже разбиралась в первом уроке по арифметической прогрессии!
Вот и не пугаемся. Всё то же самое. Включаем голову и вспоминаем элементарный смысл геометрической прогрессии. Смотрим внимательно на нашу последовательность и соображаем, какие параметры геометрической прогрессии из трёх главных (первый член, знаменатель, номер члена) в ней спрятаны.
Номера членов? Номеров членов нету, да… Но зато есть четыре последовательных числа. Что означает это слово, объяснять на данном этапе смысла не вижу.) Есть ли в этой последовательности два соседних известных числа? Есть! Это 6 и 1,2. Значит, мы можем найти знаменатель прогрессии. Вот и берём число 1,2 и делим на предыдущее число. На шестёрку.
Получаем:
Всё. Дальше уже просто. Какое число будет предыдущим для икса? Сто пятьдесят! Значит, икс легко ищется простым умножением: 150 помножить на знаменатель геометрической прогрессии.
Получим:
x = 150·0,2 = 30
Ответ: x = 30.
Как вы видите, всё довольно просто. Основная трудность состоит лишь в вычислениях. Особенно тяжко бывает в случае отрицательных и дробных знаменателей. Так что те, у кого проблемы, повторите арифметику! Как работать с дробями, как работать с отрицательными числами и так далее… Иначе здесь будете тормозить нещадно.
А теперь немного видоизменим задачку. Сейчас интересно станет! Уберём в ней последнее число 1,2. Вот такую задачку теперь решим:
3. Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии:
…; 150; х; 6; …
Найдите член прогрессии, обозначенный буквой х.
Всё то же самое, только двух соседних известных членов прогрессии у нас теперь не стало. В этом и состоит основная проблема. Потому, что величину q через два соседних члена мы так просто определить уже не сможем. Есть у нас шанс справиться с задачей? Конечно!
Распишем неизвестный член «x» прямо по смыслу геометрической прогрессии! В общем виде.
Да-да! Прямо с неизвестным знаменателем!
С одной стороны, для икса мы можем записать вот такое соотношение:
x = 150·q
С другой стороны, этот же самый икс мы имеем полное право расписать и через следующий член, через шестёрку! Поделив шестёрку на знаменатель.
Вот так:
x = 6/q
Очевидно, теперь можно приравнять оба этих соотношения. Раз уж мы выражаем одну и ту же величину (икс), но двумя разными способами.
Получим уравнение:
Умножая всё на q, упрощая, сокращая, получим уравнение:
q2 = 1/25
Решаем и получаем:
q = ±1/5 = ±0,2
Опаньки! Знаменатель-то двойной получился! +0,2 и -0,2. И какой из них выбрать? Тупик?
Спокойствие! Да, задачка действительно имеет два решения! Ничего страшного в этом нет. Бывает.) Вы же не удивляетесь, когда, например, получаете два корня, решая обычное квадратное уравнение? Вот и здесь та же история.)
Для q = +0,2 мы получим:
x = 150·0,2 = 30
А для q = -0,2 будет:
x = 150·(-0,2) = -30
Получаем двойной ответ: x = 30; x = -30.
Что означает этот интересный факт? А то, что существует две прогрессии, удовлетворяющие условию задачи!
Вот такие:
…; 150; 30; 6; …
…; 150; -30; 6; …
Обе — подходят.) Как вы думаете, из-за чего у нас произошло раздвоение ответов? Как раз из-за ликвидации конкретного члена прогрессии (1,2), идущего после шестёрки. А зная только предыдущий (n-1)-й и последующий (n+1)-й члены геометрической прогрессии, мы уже ничего не можем однозначно сказать про n-й член, стоящий между ними. Возможны два варианта — с плюсом и с минусом.
Но не беда. Как правило, в заданиях на геометрическую прогрессию имеется дополнительная информация, дающая однозначный ответ. Скажем, слова: «знакочередующаяся прогрессия» или «прогрессия с положительным знаменателем» и так далее… Именно эти слова и должны служить зацепкой, какой знак, плюс или минус, следует выбрать при оформлении окончательного ответа. Если же такой информации нет, то тогда — да, задача будет иметь два решения.)
А теперь решаем самостоятельно.
4. Определите, будет ли число 20 членом геометрической прогрессии:
4; 6; 9; …
5. Задана знакочередующаяся геометрическая прогрессия:
…; 5; x; 45; …
Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x.
6. Найдите четвёртый положительный член геометрической прогрессии:
625; -250; 100; …
7. Второй член геометрической прогрессии равен -360, а пятый её член равен 23,04. Найдите первый член этой прогрессии.
Ответы (в беспорядке): -15; 900; нет; 2,56.
Поздравляю, если всё получилось!
Что-то не стыкуется? Где-то ответ двойной получился? Читаем внимательно условие задания!
Последняя задачка не выходит? Там ничего сложного.) Работаем прямо по смыслу геометрической прогрессии. Ну и картинку можно нарисовать. Это помогает.)
Как вы видите, всё элементарно. Если прогрессия — коротенькая. А если длинная? Или номер нужного члена очень большой? Хотелось бы, по аналогии с арифметической прогрессией, как-то получить удобную формулу, позволяющую легко находить любой член любой геометрической прогрессии по его номеру. Не помножая много-много раз на q. И такая формула есть!) Подробности — в следующем уроке.