22 августа 2015 в 14:14
Ответ для Мария Кузнецова
Петр Романов
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 2
Петр Романов
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 2
Прочтем еще раз условие задачи.
Саша любит решать трудные задачи. Он рассказал, что
за 4 дня смог решить 23 задачи.
В каждый следующий день он решал больше задач, чем в предыдущий,
и в четвёртый день решил
вчетверо больше чем в первый. Сколько задач решил Саша в каждый из четырёх дней?
По традиции, подчеркнём в условии задачи все важные данные.
Данная задача решается методом перебора и анализа условия, а не уравнением.
То есть, учитывая условия задачи, мы подставляем различные значения и выясняем,
соответствуют ли они истине.
Выпишем условия задачи, на которые мы будем опираться при её решении.
Условия:
- В каждый следующий день Саша решал больше задач, чем в предыдущий
- В четвёртый день решил вчетверо больше чем в первый.
- За 4 дня он смог решить 23 задачи.
Начнём перебирать и проверять возможные варианты.
1 вариант
Пусть Саша решил в первый день 1 задачу.
Тогда по второму условию в 4 день он решил
1 · 4 = 4 задачи.
Значит, во 2 и 3 день он решил:
.png)
Исходя из остальных условий задачи, узнаем количество задач,
решённых конкретно во 2 и 3 день.
Самое большое количество задач было решено в 4 день. Но также не забудем:
«В каждый следующий день Саша решал больше задач, чем в предыдущий».
Значит, в 3 день Саша мог решить только 3 задачи. Найдём, сколько задач
Саша решил во 2 день.
18 − 3 = 15 задач.
15 задач — решено во 2 день. А это не соответствует второму условию задачи.
Значит наше предположение не верно.
2 вариант
Пусть Саша решил в первый день 2 задачи.
Тогда по второму условию в 4 день он решил
2 · 4 = 8 задачи.
Значит, во 2 и 3 день он решил:
.png)
Исходя из остальных условий задачи, узнаем количество задач,
решённых конкретно во 2 и 3 день.
Самое большое количество задач было решено в 4 день. Но также не забудем:
«В каждый следующий день Саша решал больше задач, чем в предыдущий».
Значит, в 3 день Саша мог решить только 7 задач. Найдём, сколько задач
Саша решил во 2 день.
13 − 7 = 6 задач.
6 задач — решено во 2 день.
Убедимся, что наше решение удовлетворяет всем условиям задачи.
- В 1 день — 2 задачи
- Во 2 день — 6 задач
- В 3 день — 7 задач
- В 4 день — 8 задач
- 2 + 6 + 7 + 8 = 23 задачи — решено за 4 дня.
Всё верно. Но завершать решение задачи ещё рано. Необходимо убедиться, что
других решений нет.
3 вариант
Пусть Саша решил в первый день 3 задачи.
Тогда по второму условию в 4 день он решил
3 · 4 = 12 задач.
Значит, в 2 и 3 день он решил:
.png)
Исходя из остальных условий задачи, узнаем количество задач,
решённых конкретно во 2 и 3 день.
Самое большое количество задач было решено в 4 день. Но также не забудем:
«В каждый следующий день Саша решал больше задач, чем в предыдущий».
Значит, во 2 день Саша мог решить, например, 4 задачи (больше на 1 задачу чем в первый день).
Найдём тогда, сколько задач Саша решил в 3 день.
7 — 4 = 3 задачи.
Но 3 задачи, решённые в 3 день, это меньше, чем 4 задачи, решённые во 2 день. Это нарушает первое
условие.
Дальнейшее увеличение решённых задач в 1 день (перебор других вариантов)
нарушает условия задачи.
Таким образом, мы нашли и доказали, что полученное решение
в варианте 2 является единственным.
Ответ:
- В 1 день — 2 задачи
- Во 2 день — 6 задач
- В 3 день — 7 задач
- В 4 день — 8 задач
Обратными (или взаимно-обратными) называют пару чисел, которые при перемножении дают 1. В самом общем виде обратными являются числа:
Как найти обратное число?
Для нахождения обратного числа, нужно единицу поделить на это число. В случае обыкновенной дроби просто поменять числитель и знаменатель местами.
Обратное число обыкновенной дроби
Когда ищем обратное число для обыкновенной дроби, то делить ее на 1 не очень удобно, так как запись получается громоздкой. В этом случае гораздо проще поступать иначе: дробь просто переворачиваем, меняя местами числитель и знаменатель. Если дана правильная дробь, то после переворачивания получается дробь неправильная, то есть такая, из которой можно выделить целую часть. Делать это или нет, решать нужно в каждом конкретном случае особо. Так, если с полученной перевернутой дробью далее придется совершать какие-то действия (к примеру, умножение или деление), то выделять целую часть не стоит. Если же полученная дробь – это конечный результат, то, возможно, выделение целой части и желательно.
Обратное число десятичной дроби
Если требуется найти обратное число к десятичной дроби, то следует воспользоваться первым правилом (деление 1 на число). В этой ситуации можно действовать одним из двух способов. Первый – просто разделить 1 на это число в столбик. Второй – сформировать дробь из 1 в числителе и десятичной дроби в знаменателе, а затем домножить числитель и знаменатель на 10, 100 или другое число, состоящее из 1 и такого количества нулей, которое необходимо, чтобы избавиться от десятичной запятой в знаменателе. В результате будет получена обыкновенная дробь, которая и является результатом. При необходимости ее может понадобиться сократить, выделить из нее целую часть или перевести в десятичный вид.
Как найти обратное число?
Принцип проверки основан на определении обратных чисел. То есть для того, чтобы убедиться, что числа являются обратными друг другу, нужно перемножить их. Если в результате будет получена единица, значит, числа – взаимно обратные.
Свойства обратных чисел
Свойство №1
Обратное число существует для любого числа, кроме 0.
Ограничение связано с тем, что нельзя делить на 0, а при определении обратного числа для нуля его как раз придется переместить в знаменатель, то есть фактически делить на него.
Свойство №2
Сумма пары взаимно-обратных чисел всегда не меньше, чем 2. Математически это свойство можно выразить неравенством:
Свойство №3
Умножение числа на два взаимно-обратных числа равносильно умножению на единицу. Математически:
Свойство №4
Взаимно-обратными могут быть числовые выражения.
Свойство №5
Для числа, представленного в виде степени с показателем х, обратным будет число в виде степени с показателем –х. Обоснование:
Это свойство означает, что и для всякой степени тоже может быть подобрано обратное число.
Даниил Романович | Просмотров: 3.7k
Найти обратное число
Правила ввода
Вводить можно целые(1, 2, 3, -7), десятичные(0.25, -1.15), дробные(-1/8, 32/9). Если необходимо ввести смешанное число, то целую часть от дробной необходимо отделить пробелом(1 4/5)
Определение взаимно обратных чисел
Взаимно обратными числами называются числа, произведение которых равно единице.
Две дроби называются обратными дробями если их произведение равно единице.
Примеры взаимно обратных чисел
- 1/3 и 3
- 0.25 и 4
- 5 и 1/5
- 2/3 и 3/2
- 1 целая 2/5 и 5/7
При умножении этих чисел получится 1
Как найти число обратное обыкновенной дроби
Для этого необходимо числитель и знаменатель поменять местами. Для проверки можно перемножить исходную дробь и перевернутую, получится 1.
Например: 2/3 × 3/2 = 1
Как найти число обратное смешанному числу
Для начала необходимо смешанное число преобразовать в обыкновенную дробь. Затем числитель и знаменатель поменять местами.
Например: 2 7/8 = 23/8
23/8 × 8/23 = 1
Александр Мельник
Эксперт по предмету «Математика»
Задать вопрос автору статьи
Взаимно обратные числа
Определение 1
Числа $a$ и $b$ называются взаимно обратными, если результат их умножения равен $1$:
$a cdot b=1$.
Говорят: «число $a$ обратно числу $b$, число $b$ обратно числу $a$».
Пример 1
Например, взаимно обратными будут такие пары чисел:
$13$ и $frac{1}{13}$;
$frac{11}{17}$ и $frac{17}{11}$;
$1$ и $1$.
Несложно проверить, что произведение каждой из пар чисел равно $1$:
$13 cdot frac{1}{13}=frac{13 cdot 1}{13}=frac{1}{1}=1$;
$frac{11}{17} cdot frac{17}{11}=frac{11 cdot 17}{17 cdot 11}=frac{1}{1}=1$;
$1 cdot 1=1$.
Взаимно обратные числа существуют на множестве натуральных, целых, действительных и комплексных чисел.
Сдай на права пока
учишься в ВУЗе
Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!
Получить скидку 3 000 ₽
В общем виде число, обратное данному числу $a$, записывают в виде дроби $frac{1}{a}$ или $a^{-1}$, т.к. по определению:
$a cdot frac{1}{a}=1$ и $a cdot a^{-1}=1$.
Число, обратное данному, легко найти для натурального числа или для обыкновенной дроби.
Нахождение числа, обратного обыкновенной дроби
Замечание 1
Для нахождения числа, обратного обыкновенной дроби $frac{a}{b}$, нужно поменять местами числитель и знаменатель данной дроби, т.е. получить дробь $frac{b}{a}$. Т.к. $frac{a}{b} cdot frac{b}{a}=1$, то по определению взаимно обратных чисел дроби$ frac{a}{b}$ и $frac{b}{a}$ – взаимно обратные числа.
Пример 2
Например, обратным числом для дроби $frac{11}{27}$ будет дробь $frac{27}{11}$.
Нахождение числа, обратного натуральному числу
Замечание 2
Для нахождения числа, обратного натуральному числу $n$, нужно представить данное натуральное число в виде дроби со знаменателем $1: n=frac{n}{1}$. Далее поменять местами числитель и знаменатель дроби и получить дробь, обратную данному натуральному числу:
числа $n=frac{n}{1}$ и $frac{1}{n}$ – взаимно обратные.
«Взаимно обратные числа, деление дробей» 👇
Пример 3
Например, натуральное число 9 имеет взаимно обратное число $frac{1}{9}$, а число $frac{1}{6}$ является обратным натуральному числу $6$.
Замечание 3
Число $1$ взаимно обратно самому себе.
Деление обыкновенных дробей
Замечание 4
Делением является действие, обратное умножению.
Замечание 5
Правило деления обыкновенных дробей:
Чтобы разделить обыкновенную дробь $frac{a}{b}$ на дробь $frac{c}{d}$ необходимо выполнить умножение делимого на число, обратное делителю:
$frac{a}{b}:frac{c}{d}=frac{a}{b} cdot frac{d}{c}$.
Говорят: «чтобы разделить число на дробь, нужно это число умножить на перевернутую дробь».
Пример 4
Разделить дробь $frac{16}{3}$ на $frac{5}{7}$.
Решение.
Найдем число, обратное делителю $frac{5}{7}$, для чего поменяем местами ее числитель и знаменатель и получим $frac{7}{5}$.
Согласно правилу деления обыкновенных дробей получим:
$frac{a}{b}:frac{c}{d}=frac{a}{b} cdot frac{d}{c}$;
$frac{16}{3}:frac{5}{7}=frac{16}{3} cdot frac{7}{5}=frac{16 cdot 7}{3 cdot 5}=frac{112}{15}$.
Ответ: $frac{16}{3}:frac{5}{7}=frac{112}{15}$.
Замечание 6
Если в результате деления дробей получается сократимая или неправильная дробь, необходимо привести ее к несократимому виду или выделить целую часть.
Пример 5
Разделить дробь $frac{22}{5}$ на $frac{11}{3}$.
Решение.
Найдем число, обратное делителю $frac{11}{3}$, для чего поменяем местами ее числитель и знаменатель и получим $frac{3}{11}$.
Согласно правилу деления обыкновенных дробей, получим:
$frac{a}{b} div frac{c}{d}=frac{a}{b} cdot frac{d}{c}$;
$frac{22}{5} div frac{11}{3}=frac{22}{5} cdot frac{3}{11}=frac{22 cdot 3}{5 cdot 11}.$
Очевидно, что можно выполнить сокращение числителя и знаменателя на $11$:
$frac{22 cdot 3}{5 cdot 11}=frac{2 cdot 3}{5 cdot 1}=frac{6}{5}$.
Получили неправильную дробь, из которой необходимо выделить целую часть:
$frac{6}{5}=1 frac{1}{5}$.
Полная запись решения:
$frac{22}{5}:frac{11}{3}=frac{22}{5} cdot frac{3}{11}=frac{22 cdot 3}{5 cdot 11}=frac{2 cdot 3}{5 cdot 1}=frac{6}{5}=1 frac{1}{5}$.
Ответ: $frac{22}{5}:frac{11}{3}=1 frac{1}{5}$.
Деление дроби на число
Замечание 7
Правило деления дроби на число:
Для деления дроби $frac{a}{b}$ на число $n$ необходимо числитель оставить без изменений, а знаменатель умножить на $n$:
$frac{a}{b}:n=frac{a}{b cdot n}$.
Пример 6
Разделить дробь $frac{3}{7}$ на число $5$.
Решение.
Воспользуемся правилом деления дроби на число и получим:
$frac{a}{b}:n=frac{a}{b cdot n}$;
$frac{3}{7}:5=frac{3}{7 cdot 5}=frac{3}{35}$.
Ответ: $frac{3}{7}:5=frac{3}{35}$.
Замечание 8
Если в результате деления получается сократимая или неправильная дробь, необходимо привести ее к несократимому виду или выделить целую часть.
Пример 7
Разделить дробь $frac{52}{7}$ на число $13$.
Решение.
Воспользуемся правилом деления дроби на число и получим:
$frac{a}{b}:n=frac{a}{b cdot n}$;
$frac{52}{7}:13=frac{52}{7 cdot 13}$.
Выполним сокращение дроби, разложив ее числитель и знаменатель на простые множители:
$frac{52}{7 cdot 13}=frac{2 cdot 2 cdot 13}{7 cdot 13}=frac{4}{7}$.
Краткая запись решения:
$frac{52}{7}:13=frac{52}{7 cdot 13}=frac{4}{7}$.
Ответ: $frac{52}{7}:13=frac{4}{7}$.
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Обратные дроби определение
Обратные дроби определение:
Взаимно обратные дроби – это такие две дроби, произведение которых равно единице.
Например, числа 2/5 и 5/2 – это взаимно обратные дроби.
Дробь обратная данной
Обратной мы можем называть дробь по отношению к другой дроби.
Пусть дана дробь. По отношению к ней мы можем указать дробь, обратную к данной.
Как найти обратную дробь?
Чтоб найти дробь, обратную данной, нужно поменять местами числитель и знаменатель данной дроби.
Пример нахождения обратной дроби.
Дана дробь 2/3.
Для нахождения для неё обратной дроби меняем местами числитель и знаменатель:
3/2
Ответ: для дроби 2/3 обратная дробь 3/2.
Как найти обратную дробь десятичной?
Найдем обратную дробь для данной десятичной дроби.
Дана десятичная дробь 2,5.
Представим её в виде смешанного числа, т.е. в виде суммы целой и дробной части:
2,5 = 2 + 5/10
Смешанное число представим в виде неправильной дроби:
2 + 5/10 = 25/10
Меняем местами числитель и знаменатель:
10/25 = 0,4
Ответ: для десятичной дроби 2,5 обратная дробь 0,4.