В прямоугольном треугольнике катеты, являются высотами. Ортоцентр — точка пересечения высот, совпадает с вершиной прямого угла.
H — высота из прямого угла
a, b — катеты
с — гипотенуза
c1 , c2 — отрезки полученные от деления гипотенузы, высотой
α, β — углы при гипотенузе
Формула длины высоты через стороны, (H):
Формула длины высоты через гипотенузу и острые углы, (H):
Формула длины высоты через катет и угол, (H):
Формула длины высоты через составные отрезки гипотенузы , (H):
L— биссектриса, отрезок |OB|, который делит угол ABC пополам
a, b — стороны треугольника
с — сторона на которую опущена биссектриса
d, e — отрезки полученные делением биссектрисы
γ — угол ABC , разделенный биссектрисой пополам
p — полупериметр, p=(a+b+c)/2
Длина биссектрисы через две стороны и угол, (L):
Длина биссектрисы через полупериметр и стороны, (L):
Длина биссектрисы через три стороны, (L):
Длина биссектрисы через стороны и отрезки d, e, (L):
Точка пересечения всех трех биссектрис треугольника ABC, совпадает с центром О, вписанной окружности.
1. Найти по формулам длину биссектрисы из прямого угла на гипотенузу:
L — биссектриса, отрезок ME , исходящий из прямого угла (90 град)
a, b — катеты прямоугольного треугольника
с — гипотенуза
α — угол прилежащий к гипотенузе
Формула длины биссектрисы через катеты, ( L):
Формула длины биссектрисы через гипотенузу и угол, ( L):
2. Найти по формулам длину биссектрисы из острого угла на катет:
L — биссектриса, отрезок ME , исходящий из острого угла
a, b — катеты прямоугольного треугольника
с — гипотенуза
α, β — углы прилежащие к гипотенузе
Формулы длины биссектрисы через катет и угол, (L):
Формула длины биссектрисы через катет и гипотенузу, (L):
L — высота = биссектриса = медиана
a — одинаковые стороны треугольника
b — основание
α — равные углы при основании
β — угол образованный равными сторонами
Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L):
Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L):
Формула для вычисления высоты = биссектрисы = медианы.
В равностороннем треугольнике: все высоты, биссектрисы и медианы, равны. Точка их пересечения, является центром вписанной окружности.
L — высота=биссектриса=медиана
a — сторона треугольника
Формула длины высоты, биссектрисы и медианы равностороннего треугольника, (L):
Медиана — отрезок |AO|, который выходит из вершины A и делит противолежащею сторону c пополам.
Медиана делит треугольник ABC на два равных по площади треугольника AOC и ABO.
M — медиана, отрезок |AO|
c — сторона на которую ложится медиана
a, b — стороны треугольника
γ — угол CAB
Формула длины медианы через три стороны, (M):
Формула длины медианы через две стороны и угол между ними, (M):
Медиана, отрезок |CO|, исходящий из вершины прямого угла BCA и делящий гипотенузу c, пополам.
Медиана в прямоугольном треугольнике (M), равна, радиусу описанной окружности (R).
M — медиана
R — радиус описанной окружности
O — центр описанной окружности
с — гипотенуза
a, b — катеты
α — острый угол CAB
Медиана равна радиусу и половине гипотенузы, (M):
Формула длины через катеты, (M):
Формула длины через катет и острый угол, (M):
В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти высоту в различных видах треугольников, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.
-
Нахождение высоты треугольника
- Высота в разностороннем треугольнике
- Высота в равнобедренном треугольнике
- Высота в прямоугольном треугольнике
- Высота в равностороннем треугольнике
- Примеры задач
Нахождение высоты треугольника
Напомним, высота треугольника – это отрезок, проведенный перпендикулярно из вершины фигуры к противоположной стороне.
Высота в разностороннем треугольнике
Высоту треугольника abc, проведенного к стороне a, можно найти по формулам ниже:
1. Через площадь и длину стороны
где S – площадь треугольника.
2. Через длины всех сторон
где p – это полупериметр треугольника, который рассчитывается так:
3. Через длину прилежащей стороны и синус угла
4. Через стороны и радиус описанной окружности
где R – радиус описанной окружности.
Высота в равнобедренном треугольнике
Длина высоты ha, опущенной на основание a равнобедренного треугольника, рассчитывается по формуле:
Высота в прямоугольном треугольнике
Высота, проведенная к гипотенузе, может быть найдена:
1. Через длины отрезков, образованных на гипотенузе
2. Через стороны треугольника
Примечание: две остальные высоты в прямоугольном треугольнике являются его катетами.
Высота в равностороннем треугольнике
Для равностороннего треугольника со стороной a формула расчета высоты выглядит следующим образом:
Примеры задач
Задача 1
Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины B к стороне AC, если известно, что AB = 7 см, а угол BAC = 45°.
Решение
В данном случае нам поможет формула для нахождения высоты через сторону и синус прилежащего угла:
Задача 2
Найдите длину основания равнобедренного треугольника, если высота, проведенная к нему, равняется 3 см, а боковые стороны – 5 см.
Решение
Вывести формулу для нахождения длины основания можно из формулы расчета высоты в равнобедренном треугольнике:
Урок содержит описание свойств и формулы нахождения высоты треугольника, а также примеры решения задач. Если Вы не нашли решение подходящей задачи — пишите про это на форуме. Наверняка, курс будет дополнен.
ВЫСОТА ТРЕУГОЛЬНИКАВысота треугольника – опущенный из вершины треугольника перпендикуляр, проведенный на противолежащую вершине сторону или на ее продолжение. Свойства высоты треугольника:
Ортоцентр треугольникаВсе три высоты треугольника (проведенные из трех вершин) пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром. Для того, чтобы найти точку пересечения высот, достаточно провести две высоты (две прямые пересекаются только в одной точке). Расположение ортоцентра (точка О) определяется видом треугольника. У остроугольного треугольника точка пересечения высот находится в плоскости треугольника. (Рис.1). У прямоугольного треугольника точка пересечения высот совпадает с вершиной прямого угла (Рис.2). У тупоугольного треугольника точка пересечения высот находится за плоскостью треугольника (Рис.3). У равнобедренного треугольника медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию треугольника, совпадают. У равностороннего треугольника все три «замечательные» линии (высота, биссектриса и медиана) совпадают и три «замечательных» точки (точки ортоцентра, центра тяжести и центра вписанной и описанной окружностей) находятся в одной точке пересечения «замечательных» линий, т.е. тоже совпадают. |
ВИСОТА ТРИКУТНИКА Висота трикутника — опущений з вершини трикутника перпендикуляр, проведений на протилежну вершині бік або на її продовження. Всі три висоти трикутника (проведені з трьох вершин) перетинаються в одній точці, яка називається ортоцентром. Для того, щоб знайти точку перетину висот, досить провести дві висоти (дві прямі перетинаються тільки в одній точці). Розміщення ортоцентра (точка О) визначається видом трикутника. У гострокутного трикутника точка перетину висот знаходиться в площині трикутника. (Мал.1). У прямокутного трикутника точка перетину висот збігається з вершиною прямого кута (Мал.2). У тупоугольного трикутника точка перетину висот знаходиться за площиною трикутника (Мал.3). У рівнобедреного трикутника медіана, бісектриса і висота, проведені до основи трикутника, збігаються. У рівностороннього трикутника всі три «помітні» лінії (висота, бісектриса і медіана) збігаються і три «помітні» точки (точки ортоцентра, центру ваги і центру вписаного і описаного кіл) знаходяться в одній точці перетину «помітних» ліній, тобто теж збігаються. |
Формулы нахождения высоты треугольника
Рисунок приведен для облегчения восприятия формул нахождения высоты треугольника. Общее правило — длина стороны обозначена маленькой буквой, лежащей напротив соответствующего угла. То есть сторона a лежит напротив угла A.
Высота в формулах обозначается буквой h, нижний индекс которой соответствует стороне, на которую она опущена.
Другие обозначения:
a,b,c — длины сторон треугольника
ha — высота треугольника, проведенная к стороне a из противолежащего угла
hb — высота, проведенная к стороне b
hc — высота, проведенная к стороне c
R — радиус описанной окружности
r — радиус вписанной окружности
Пояснения к формулам.
Высота треугольника равна произведению длины стороны, прилежащей к углу, из которой опущена эта высота на синус угла между этой стороной и стороной, на которую такая высота опущена (Формула 1)
Высота треугольника равна частному от деления удвоенной величины площади треугольника на длину стороны, к которой опущена эта высота (Формула 2)
Высота треугольника равна частному от деления произведения сторон, прилежащих к углу, из которого опущена эта высота, на удвоенный радиус описанной вокруг него окружности (Формула 4).
Высоты сторон в треугольнике соотносятся между собой в той же самой пропорции, как соотносятся между собой обратные пропорции длин сторон этого же треугольника, а также в той же самой пропорции между собой относятся произведения пар сторон треугольника, которые имеют общий угол (Формула 5).
Сумма обратных значений высот треугольника равна обратному значению радиуса вписанной в такой треугольник окружности (Формула 6)
Площадь треугольника можно найти через длины высот этого треугольника (Формула 7)
Длину стороны треугольника, на которую опущена высота, можно найти через применение формул 7 и 2.
Задача на подобие треугольников.
В прямоугольном треугольнике ABC (угол C = 900) проведена высота CD. Определите CD, если AD = 9 см, BD = 16 см
Решение.
Треугольники ABC, ACD и CBD подобны между собой . Это непосредственно следует из второго признака подобия (равенство углов в этих треугольниках очевидно).
Прямоугольные треугольники — единственный вид треугольников, которые можно разрезать на два треугольника, подобных между собой и исходному треугольнику.
Обозначения этих трех треугольников в таком порядке следования вершин: ABC, ACD, CBD. Тем самым мы одновременно показываем и соответствие вершин. (Вершине A треугольника ABC соответствует также вершина A треугольника ACD и вершина C треугольника CBD и т. д.)
Треугольники ABC и CBD подобны. Значит:
AD/DC = DC/BD, то есть
DC2=AD*BD
DC2=9*16
DC=12 см
Задача на применение теоремы Пифагора.
Треугольник ABC является прямоугольным. При этом C-прямой угол. Из него проведена высота CD=6см. Разность отрезков BD-AD=5 см.
Найти: Стороны треугольника ABC.
Решение.
1.Составим систему уравнений согласно теореме Пифагора
CD2+BD2=BC2
CD2+AD2=AC2
поскольку CD=6
36+BD2=BC2
36+AD2=AC2
Поскольку BD-AD=5, то
BD = AD+5, тогда система уравнений принимает вид
36+(AD+5)2=BC2
36+AD2=AC2
Сложим первое и второе уравнение. Поскольку левая часть прибавляется к левой, а правая часть к правой — равенство не будет нарушено. Получим:
36+36+(AD+5)2+AD2=AC2+BC2
72+(AD+5)2+AD2=AC2+BC2
2. Теперь, взглянув на первоначальный чертеж треугольника, по той же самой теореме Пифагора, должно выполняться равенство:
AC2+BC2=AB2
Поскольку AB=BD+AD, уравнение примет вид:
AC2+BC2=(AD+BD)2
Поскольку BD-AD=5, то BD = AD+5, тогда
AC2+BC2=(AD+AD+5)2
3. Теперь взглянем на результаты, полученные нами при решении в первой и второй части решения. А именно:
72+(AD+5)2+AD2=AC2+BC2
AC2+BC2=(AD+AD+5)2
Они имеют общую часть AC2+BC2 . Таким образом, приравняем их друг к другу.
72+(AD+5)2+AD2=(AD+AD+5)2
72+AD2+10AD+25+AD2=4AD2+20AD+25
-2AD2-10AD+72=0
В полученном квадратном уравнении дискриминант равен D=676, соответственно, корни уравнения равны:
х1=-3,5
x2=4
Поскольку длина отрезка не может быть отрицательной, отбрасываем первый корень.
AD=4
Соответственно
BD = AD + 5 = 9
AB = BD + AD = 4 + 9 = 13
По теореме Пифагора находим остальные стороны треугольника:
AC = корень из (52)
BC = корень из (117).
0
Треугольник (Трикутник) |
Описание курса
| Сумма углов треугольника
В произвольном треугольнике (у которого все стороны разной длины), высоты, проведенные к сторонам , медианы и биссектрисы представляют собой совершенно разные линии. Чтобы найти длину высоты в треугольнике, нельзя будет использовать свойства медианы или биссектрисы, как для равнобедренных или равносторонних треугольников, поэтому придется использовать другие методы.
Один из подобных методов заключается в использовании общего параметра треугольника — площади. Алгоритм вычислений строится на том, что площадь разностороннего треугольника можно найти несколькими способами, в том числе и через высоту. Зная три стороны треугольника, можно найти его площадь по формуле Герона, а затем используя другую формулу площади, выразить через нее высоту.
Чтобы вычислить площадь треугольника по формуле Герона, нужно сначала рассчитать полупериметр треугольника. Как следует из названия, полупериметр — это периметр, то есть сумма длин всех трех сторон, деленный на два.
Сама формула площади представляет собой произведение полупериметра на его разности с каждой стороной, все это выражение будучи заключенным под квадратным корнем.
С другой стороны та же площадь треугольника через высоту равна половине произведения стороны треугольника на высоту, на нее опущенную. Отсюда высота будет равна отношению удвоенной площади к стороне треугольника. Из предыдущей формулы можно выразить площадь через три стороны треугольника и заменить ее в формуле высоты.
Данная формула высоты через стороны треугольника применима для любых треугольников, произвольных, равнобедренных или равносторонних за отсутствием других.
Вычисляя высоту треугольника, зная три стороны, приходится идти длинным путем, используя формулы площади. Высота треугольника, выраженная через площадь, связана только с той стороной, на которую она опущена, поэтому чрезвычайно важно правильно указать для калькулятора порядок сторон и в ручном расчете подставить соответствующую сторону в формулу высоты.
Формула высоты произвольного треугольника через площадь 
Вычисление высоты треугольника зависит от самой фигуры (равнобедренный, равносторонний, разносторонний, прямоугольный). В практической геометрии сложные формулы, как правило, не встречаются. Достаточно знать общий принцип вычислений для того, чтобы он мог быть универсально применим для всех треугольников. Сегодня мы познакомим вас с базовыми принципами вычисления высоты фигуры, расчетными формулами, основываясь на свойствах высот треугольников.
Что такое высота?
Высотой принято считать любой отрезок, опущенный из любого угла треугольника на противоположную сторону под прямым углом. Та сторона, на которую опускают прямую линию, будет называться основанием треугольника.
Высота имеет несколько отличительных свойств
-
Точка, где все высоты соединяются, называется ортоцентром. Если треугольник остроконечный, то ортоцентр находится внутри фигуры, если один из углов тупой, то ортоцентр, как правило, находится снаружи.
В треугольнике, где один угол равен 90°, ортоцентр и вершина совпадают.
-
Если р – это половина периметра, тогда a, b, c являются обозначением сторон требуемой фигуры, h – высота, то первая и самая простая формула будет выглядеть следующим образом: h = 2/a √p(p-a) (p-b) (p-c).
В школьных учебниках часто можно найти задачи, в которых известно значение одной из сторон треугольника и величина угла между данной стороной и основанием. Тогда формула расчета высоты будет выглядеть так: h = b ∙ sin γ + c ∙ sin β.
Когда дана площадь треугольника – S, а также длина основания – а, то вычисления будут максимально простыми. Высоту находят по формуле: h = 2S/a.
Как найти высоту равнобедренного треугольника?
Все стороны у данной фигуры равнозначны, их длины равны, поэтому и углы при основании тоже будут равными. Из этого следует, что высоты, которые проводим на основания, тоже будут равны, они же и медианы, и биссектрисы одновременно. Говоря простым языком, высота в равнобедренном треугольнике делит основание надвое. Треугольник с прямым углом, который получился после проведения высоты, будем рассматривать с помощью теоремы Пифагора. Обозначим боковую сторону как а, а основание как b, тогда высота h = ½ √4 a2 − b2.
Как найти высоту равностороннего треугольника?
Формула равностороннего треугольника (фигуры, где все стороны являются равновеликими), можно найти, исходя из предыдущих вычислений. Необходимо только измерить длину одной из сторон треугольника и обозначить её как а. Тогда высота выводится по формуле: h = √3/2 a.
Как найти высоту прямоугольного треугольника?
Как известно, угол в прямоугольном треугольнике равен 90°. Высота, опущенная на один катет, одновременно является и вторым катетом. На них и будут лежать высоты треугольника с прямым углом. Для получения данных о высоте, нужно немного преобразовать имеющуюся формулу Пифагора, обозначив катеты – а и b, а также измерив длину гипотенузы – с.
Найдем длину катета (сторона, которой будет перпендикулярна высота): a = √ (c2 − b2). Длина второго катета находится по точно такой же формуле: b =√ (c2 − b2). После чего можно приступать к вычислению высоты треугольника с прямым углом, предварительно сосчитав площадь фигуры – s. Значение высоты h = 2s/a.
Расчеты с разносторонним треугольником
Когда разносторонний треугольник имеет острые углы, то высота, опускаемая на основание, видна. Если же треугольник с тупым углом, то высота может находиться вне фигуры, и нужно мысленно её продолжить, чтобы получить точку соединения высоты и основания треугольника. Самым простым способом измерить высоту является вычисление её через одну из сторон и величины углов. Формула выглядит следующим образом: h = b sin y + c sin ß.
Онлайн калькулятор
Чтобы вычислить высоту равнобедренного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):
- длину двух равных сторон (a) и длину основания (b)
- длину двух равных сторон (a) и угол α
- длину двух равных сторон (a) и угол β
- длину основания (b) и угол α
- длину основания (b) и угол β
Введите их в соответствующие поля и получите результат.
Если известны длина стороны а и основания b
Чему равна высота h равнобедренного треугольника если длина сторон , а длина основания
Чему равна высота h у равнобедренного треугольника если известны длина стороны a и длина основания b?
Формула
h = √ a 2 — ( b /2) 2
Пример
Если сторона a = 10 см, а сторона b = 5 см, то:
h = √ 10 2 — ( 5 /2) 2 = √ 100 — 6.25 ≈ 9.68 см
Если известны длина стороны а и угол α
Чему равна высота h равнобедренного треугольника если длина сторон , а угол
Чему равна высота h у равнобедренного треугольника если известны длина стороны a и угол α?
Формула
Пример
Если сторона a = 5 см, а ∠α = 45°, то:
h = 5⋅sin 45 ≈ 3,53 см
Если известны длина стороны а и угол β
Чему равна высота h равнобедренного треугольника если длина сторон , а угол
Чему равна высота h у равнобедренного треугольника если известны длина стороны a и угол β?
Формула
Пример
Если сторона a = 5 см, а ∠β = 30°, то:
Если известны длина стороны b и угол α
Чему равна высота h равнобедренного треугольника если длина основания , а угол
Чему равна высота h у равнобедренного треугольника если известны длина стороны b и угол α?
Формула
Пример
Если сторона b = 20 см, а ∠α = 35°, то:
Если известны длина стороны b и угол β
Чему равна высота h равнобедренного треугольника если длина основания , а угол
Чему равна высота h у равнобедренного треугольника если известны длина стороны b и угол β?
С применением циркуля
Если нужно нарисовать высоту (перпендикуляр к противоположной стороне) в произвольном треугольнике и измерить её, то лучше всего воспользоваться классическим методом построения. Он предусматривает использование циркуля в качестве основной рабочей принадлежности. Кроме этого, для работы понадобится лист бумаги, небольшая линейка, ластик и простой карандаш.
Способ начертить искомый отрезок:
- На листе бумаги чертят треугольник (можно нарисовать заранее, чтобы сэкономить время).
- Рисунок располагают так, чтобы вершина угла, из которого нужно начертить высоту, находилась сверху, а противоположная ему сторона фигуры была расположена горизонтально (по отношению к ученику).
- Иглу циркуля ставят в вершине любого угла у основания.
- Ножку с грифелем ставят в верхнюю точку треугольника, из которой проводится высота.
- Циркулем рисуют окружность и делают пометку в месте её пересечения с основанием фигуры.
- Аналогичным способом чертят круг из другого угла при основании. При этом важно определить новый радиус, который будет равен длине второй стороны треугольника.
- Делают пометку в месте пересечения начерченных окружностей.
- Ластиком стирают лишние линии, оставляя лишь поставленную точку.
- С помощью карандаша и линейки из неё проводят отрезок к вершине, который и будет высотой треугольника.
- Стирают линии, находящиеся под основанием.
Таким же способом можно с помощью циркуля построить высоту треугольника из любого другого угла.
С помощью линейки
Начертить и обозначить высоту можно и без циркуля. Для этого следует воспользоваться чертёжным угольником, 2 стороны которого перпендикулярны друг другу. Альтернативой этой школьной принадлежности могут стать 2 прямые линейки, соединённые между собой под прямым углом.
В остроугольном треугольнике
Провести высоту в треугольнике, где все углы острые (менее 90 градусов), довольно просто.
Чтобы справиться с этой задачей, нужно подготовить все необходимое и заранее начертить на бумаге геометрическую фигуру.
Правильная последовательность действий:
- Находят вершину, из которой хотят провести перпендикуляр.
- Совмещают угольник с противоположной стороной фигуры.
- Перемещают чертёжную принадлежность до тех пор, пока её перпендикулярная сторона не пройдёт через вершину.
- Простым карандашом проводят линию, которая и будет искомым отрезком.
В тупоугольной фигуре
Трёхсторонняя фигура, у которой один из углов тупой (более 90 градусов) имеет только 1 внутреннюю высоту. Для её проведения используют то же, что и в предыдущем случае.
Порядок действий:
- Располагают чертёж так, чтобы тупой угол оказался у основания.
- Угольник прикладывают к наибольшей стороне фигуры.
- Совмещают перпендикулярную сторону линейки с вершиной тупого угла.
- Соединяют 2 точки простым карандашом, получая искомую линию.
В прямоугольном и равнобедренном
В прямоугольном треугольнике нужно находить только 1 высоту. Две другие будут совпадать с катетами.
Пошаговая инструкция:
- Прикладывают одну из перпендикулярных сторон угольника к гипотенузе.
- Вторую сторону линейки совмещают с вершиной прямого угла.
- Проводят линию, которая будет высотой.
Проще всего проводить перпендикуляр из верхней точки равнобедренного треугольника.
Он будет совпадать с биссектрисой и медианой фигуры. Начертить его можно таким же способом, что и для остроугольной фигуры. Более простой метод предусматривает выполнение следующих действий:
- Линейкой замеряют длину основания.
- Эту величину делят на 2.
- Полученное значение откладывают от вершины одного из углов при основании.
- Отмечают середину стороны и соединяют её с верхней точкой фигуры.
Проведение высоты в треугольнике — это простая задача, с которой легко справится каждый ученик.
Для этого достаточно сделать чертёж геометрической фигуры и воспользоваться одним из существующих способов построения. Такая работа потребует минимум времени и не отнимет у школьника много сил.
Определение
Одной из таких характеристик является высота треугольника. Высота – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к его противоположной стороне. Вершиной называют одну из трех точек, которые вместе с тремя отрезками составляют треугольник.
Определение высоты треугольника может звучать и так: высота – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
Это определение звучит сложнее, но оно точнее отражает ситуацию. Дело в том, что в тупоугольном треугольнике не получится провести высоту внутри треугольника. Как видно на рисунке 1, высота в этом случае получается внешней. Кроме того, нестандартной ситуацией является построение высоты в прямоугольном треугольнике. В этом случае, две из трех высот треугольника будут проходить через катеты, а третья от вершины к гипотенузе.
Рис. 1. Высота тупоугольного треугольника.
Как правило, высоту треугольника обозначают буквой h. Также обозначается высота и в других фигурах.
Как найти высоту треугольника?
Существует три стандартных способа нахождения высоты треугольника:
Через теорему Пифагора
Этот способ применяется для равносторонних и равнобедренных треугольников. Разберем решение для равнобедренного треугольника, а потом скажем, почему это же решение справедливо для равностороннего.
Дано: равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. АВ=5, АС=8. Найти высоту треугольника.
Рис. 2. Рисунок к задаче.
Для равнобедренного треугольника важно знать, какая именно сторона является основанием. Это определяет боковые стороны, которое должны быть равны, а так же высоту, на которую действую некоторые свойства.
Свойства высоты равнобедренного треугольника, проведенной к основанию:
- Высота совпадает с медианой и биссектрисой
- Делит основание на две равные части.
Высоту обозначим, как ВD. DС найдем как половину от основания, так как высота точкой D делит основание пополам. DС=4
Высота – это перпендикуляр, значит ВDС – прямоугольный треугольник, а высота ВD является катетом этого треугольника.
Найдем высоту по теореме Пифагора: $$BD=sqrt=sqrt<25-16>=3$$
Любой равносторонний треугольник является равнобедренным, только основание у него равно боковым сторонам. То есть, можно использовать тот же порядок действий.
Через площадь треугольника
Этим способом можно пользоваться для любого треугольника. Чтобы им воспользоваться, нужно знать значение площади треугольника и стороны, к которой проведена высота.
Высоты в треугольнике не равны, поэтому для соответствующей стороны получится вычислить соответствующую высоту.
Формула площади треугольника: $$S=<1over2>*bh$$, где b – это сторона треугольника ,а h – высота, проведенная к этой стороне. Выразим из формулы высоту:
Если площадь равна 15, сторона 5, то высота $$h=2*<15over5>=6$$
Через тригонометрическую функцию
Третий способ подойдет, если известна сторона и угол при основании. Для этого придется воспользоваться тригонометрической функцией.
Рис. 3. Рисунок к задаче.
Угол ВСН=30 градусам , а сторона BC=8. У нас все тот же прямоугольный треугольник BCH. Воспользуемся определением косинуса угла прямоугольного треугольника. Косинус острого угла – это отношение прилежащего катета к гипотенузе, значит: BH/BC=cos BCH, а угол BCH равен 60 градусам, так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.
Угол известен, как и сторона. Выразим высоту треугольника:
Значение косинуса в общем случае берется из таблиц Брадиса, но значения тригонометрических функций для 30,45 и 60 градусов – табличные числа.
Что мы узнали?
Мы узнали, что такое высота треугольника, какие бывают высоты и как они обозначаются. Разобрались в типовых задачах и записали три формулы для высоты треугольника.
Для решения многих геометрических задач требуется найти высоту заданной фигуры. Эти задачи имеют прикладное значение. При проведении строительных работ определение высоты помогает вычислить необходимое количество материалов, а также определить, насколько точно сделаны откосы и проемы. Часто для построения выкроек требуется иметь представление о свойствах геометрических фигур.
У многих людей, несмотря на хорошие оценки в школе, при построении обычных геометрических фигур возникает вопрос о том, как найти высоту треугольника или параллелограмма. Причем определение высоты треугольника является самым сложным. Это происходит потому, что треугольник может быть острым, тупым, равнобедренным или прямоугольным. Для каждого из видов треугольников существуют свои правила построения и расчета.
Как найти высоту треугольника, в котором все углы острые, графическим способом
Если все углы у треугольника острые (каждый угол в треугольнике меньше 90 градусов), то для нахождения высоты необходимо сделать следующее.
- По заданным параметрам выполняем построение треугольника.
- Введем обозначения. А, В и С будут вершинами фигуры. Углы, соответствующие каждой вершине – α, β, γ. Противолежащие этим углам стороны – a, b, c.
- Высотой называется перпендикуляр, опущенный из вершины угла к противоположной стороне треугольника. Для нахождения высот треугольника проводим построение перпендикуляров: из вершины угла α к стороне a, из вершины угла β к стороне b и так далее.
- Точку пересечения высоты и стороны a обозначим H1, а саму высоту h1. Точка пересечения высоты и стороны b будет H2, высота соответственно h2. Для стороны c высота будет h3, а точка пересечения H3.
Далее для каждого вида треугольника будем использовать те же обозначения сторон, углов, высот и вершин треугольников.
Высота в треугольнике с тупым углом
Теперь рассмотрим, как найти высоту треугольника, если один угол тупой (больше 90 градусов). В этом случае высота, проведенная из тупого угла, будет внутри треугольника. Остальные две высоты будут находиться за пределами треугольника.
Пусть в нашем треугольнике углы α и β будут острыми, а угол γ – тупой. Тогда для построения высот, выходящих из углов α и β, надо продолжить противоположные им стороны треугольника, чтобы провести перпендикуляры.
Как найти высоту равнобедренного треугольника
У такой фигуры есть две равные стороны и основание, при этом углы, находящиеся при основании, также являются равными между собой. Это равенство сторон и углов облегчает построение высот и их вычисление.
Сначала нарисуем сам треугольник. Пусть стороны b и c, а также углы β, γ будут соответственно равными.
Теперь проведем высоту из вершины угла α, обозначим ее h1. Для равнобедренного треугольника эта высота будет одновременно биссектрисой и медианой.
Далее построим две другие высоты: h2 для стороны b и угла β, h3 для стороны c и угла γ. Эти высоты будут равными по длине.
Для основания можно сделать только одно построение. Например, провести медиану – отрезок, соединяющий вершину равнобедренного треугольника и противоположную сторону, основание, для нахождения высоты и биссектрисы. А для вычисления длины высоты для двух других сторон можно построить только одну высоту. Таким образом, чтобы графически определить, как вычислить высоту равнобедренного треугольника, достаточно найти две высоты из трех.
Как найти высоту прямоугольного треугольника
У прямоугольного треугольника определить высоты намного проще, чем у других. Это происходит потому, что сами катеты составляют прямой угол, а значит, являются высотами.
Для построения третьей высоты, как обычно, проводится перпендикуляр, соединяющий вершину прямого угла и противоположную сторону. В итоге для того, чтобы узнать, как найти высоту треугольника в данном случае, требуется только одно построение.
В произвольном треугольнике (у которого все стороны разной длины), высоты, проведенные к сторонам , медианы и биссектрисы представляют собой совершенно разные линии. Чтобы найти длину высоты в треугольнике, нельзя будет использовать свойства медианы или биссектрисы, как для равнобедренных или равносторонних треугольников, поэтому придется использовать другие методы.
Один из подобных методов заключается в использовании общего параметра треугольника — площади. Алгоритм вычислений строится на том, что площадь разностороннего треугольника можно найти несколькими способами, в том числе и через высоту. Зная три стороны треугольника, можно найти его площадь по формуле Герона, а затем используя другую формулу площади, выразить через нее высоту.
Чтобы вычислить площадь треугольника по формуле Герона, нужно сначала рассчитать полупериметр треугольника. Как следует из названия, полупериметр — это периметр, то есть сумма длин всех трех сторон, деленный на два.
Сама формула площади представляет собой произведение полупериметра на его разности с каждой стороной, все это выражение будучи заключенным под квадратным корнем.
С другой стороны та же площадь треугольника через высоту равна половине произведения стороны треугольника на высоту, на нее опущенную. Отсюда высота будет равна отношению удвоенной площади к стороне треугольника. Из предыдущей формулы можно выразить площадь через три стороны треугольника и заменить ее в формуле высоты.
Данная формула высоты через стороны треугольника применима для любых треугольников, произвольных, равнобедренных или равносторонних за отсутствием других.
Вычисляя высоту треугольника, зная три стороны, приходится идти длинным путем, используя формулы площади. Высота треугольника, выраженная через площадь, связана только с той стороной, на которую она опущена, поэтому чрезвычайно важно правильно указать для калькулятора порядок сторон и в ручном расчете подставить соответствующую сторону в формулу высоты.
Формула высоты произвольного треугольника через площадь
Вспомним, что высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону.
В прямоугольном треугольнике катеты являются высотами друг к другу. Главный интерес представляет высота, проведённая к гипотенузе.
Один из типов экзаменационных задач банке заданий ФИПИ — такие, где в прямоугольном треугольнике высота проведена из вершины прямого угла. Посмотрим, что получается:
Высота проведена к гипотенузе . Она делит треугольник на два прямоугольных треугольника — и . Смотрим внимательно на рисунок и находим на нем равные углы. Это и есть ключ к задачам по геометрии, в которых высота опущена на гипотенузу.
Мы помним, что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна . Значит, , то есть угол равен углу . Аналогично, угол равен углу .
Иными словами, каждый из трех углов треугольника равен одному из углов треугольника (и треугольника ). Треугольники и называются подобными. Давайте нарисуем их рядом друг с другом.
Они отличаются только размерами. Стороны подобных треугольников пропорциональны. Что это значит?
Возьмем треугольники и . Стороны треугольника длиннее, чем стороны треугольника в раз:
При решении задач нам пригодится равенство углов треугольников и , а также пропорциональность их сторон. Обратите также внимание, что площадь треугольника можно записать двумя разными способами: как половину произведения катетов и как половину произведения гипотенузы на проведенную к ней высоту.
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
1. В треугольнике угол равен , — высота, , . Найдите .
Рассмотрим треугольник . В нем известны косинус угла и противолежащий катет . Зная синус угла , мы могли бы найти гипотенузу . Так давайте найдем :
(поскольку значение синуса острого угла положительно). Тогда:
Рассмотрим прямоугольный треугольник , . Поскольку
2. В треугольнике угол равен , , . Найдите высоту .
Сделайте чертеж и рассмотрите прямоугольный треугольник .
3. В треугольнике угол равен , , . К гипотенузе проведена высота . Найдите .
Это чуть более сложная задача. Ведь вам неизвестны катеты и .
Зато можно записать теорему Пифагора: .
Нам известно также, что:
Решая эту систему из двух уравнений, найдем:
Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:
Найти высоту, проведенную из вершины прямого угла, можно было и другим способом. Мы выбрали самый короткий путь — составили и решили систему уравнений.