Главная » Образование » Школа » Как найти высоту в пирамиде: треугольной, четырехугольной, правильной
Как найти высоту в пирамиде: треугольной, четырехугольной, правильной
35881 Просмотров 0
Высота основания в пирамиде – тема, на которую часто попадаются задачи на экзаменах и в старших классах. Решать такие задачи просто, если понимать принцип решения и знать формулы.
В нашей статье, вы без лишних формул и теории сможете понять, как решать задачи на нахождение высоты в пирамиде. Обратите внимание, что в разделе «формулы» отсутствуют все формулы правильной пирамиды, так как наша цель – научить решать задачи на нахождение высоты.
Содержание этой статьи:
- Теория
- Часто задаваемые вопросы
- Типичные ошибки на ЕГЭ
- Полезные советы
Теория
Это интересно: Как оформлять реферат в школе по ГОСТу + образец титульного листа 2019
Правильная пирамида
Правильная пирамида имеет в основании многоугольник, а высота проходит через центр основания. Боковые грани – равнобедренные треугольники. Напомним, что в равнобедренном треугольнике две стороны равны, следовательно, боковые ребра в правильной пирамиде тоже равны. Многоугольник в основании правильный, т.е. его стороны равны.
Для решения задач понадобится знать теоремы равнобедренного треугольника:
Равнобедренный треугольник
Основные свойства
1В правильную пирамиду можно вписать и описать сферу, так как при пересечении диагоналей, основание делится на равные части. Сферу нельзя вписать в любую фигуру.
2Площадь боковой поверхности – половина произведения периметра основания на апофему. Апофема есть на каждой грани, а не только на одной.
Пирамида
Четырехугольная пирамида
В основании – многоугольник; остальные грани – треугольники, соединяющиеся в общей вершине.
Четырехугольная пирамида
Треугольная пирамида
Читайте также: Как решать задачи по математике 5 класс
В качестве основания можно рассматривать любую грань. Вся фигура состоит из треугольников.
Треугольная пирамида
Необходимые знания для нахождения высоты
1Нужно понимать, что из себя представляют треугольники: свойства, формулы, определение. Большинство задач решается через треугольники (боковые грани).
2Понимать, что такое сечение и как оно влияет на геометрическую фигуру.
3Что такое правильные многоугольники: виды, свойства, формулы.
Когда теория закреплена, можно переходить к формулам.
Формулы для нахождения высоты
Формулы
Запомните, что маленькая буква h – это апофема, а большая H – высота.
В некоторых задачах, высоту можно найти через объем:
Объем пирамиды
ВИДЕО: Примеры решения задач
Нахождение высоты в правильной пирамиде
Нахождение высоты в правильной пирамиде
Ниже будут представлены текстовые решения часто встречающихся задач.
Треугольная пирамида
Треугольная пирамида
Задача 1
В правильной треугольной пирамиде DBAC с вершиной D биссектрисы треугольника BAC пересекаются в точке N. Площадь треугольника BAC равна 4; объем пирамиды равен 12. Найдите длину отрезка DN.
DN – высота, следовательно, объем фигуры можно выразить по формуле:
DN = 3V/S основания = 3*12/4 = 9
Ответ: 9
Задача 2
DBAC – медианы основания BAC. Они пересекаются в точке N. Площадь ΔBAC равна 18, V = 20; найдите высоту.
Пользуясь формулой объема, получается:
DN = 3V/S ΔBAC = 3*36/18 = 108/18 = 6
Ответ: 6
Четырехугольная пирамида
Четырехугольная пирамида
Задача 1
Найдите высоту пирамиды, если ML = 10, а DC = 12. В основании квадрат.
ML – это апофема, сторона нам известна, следовательно, можно применить формулу для нахождения OL:
OL = ½*12 = 6
Известно, что MOL – прямоугольный угол. Применим теорему Пифагора:
MO ² = √ML ² — √OL ² = √100- √36 = √64
MO = 8
Задача 2
Известно, что диагональ AC = 20, ML = 10, а сторона DC = 12; найдите MO правильной четырехугольной пирамиды.
Найдем OL
В основании фигуры – квадрат, стороны и углы которого равны. Значит, половина диагонали = 10. Рассмотрим треугольник LOC, он – прямоугольный. Из исходных данный ясно, что LC = 6 (в равнобедренном треугольнике, высота, проведенная из вершины, делит основание на 2 равные части – это свойство р/б треугольника).
Пользуясь теоремой Пифагора, находим OL:
OL² = √OC² — √LC² = √100 – √36 = √64 = 8
Задача 3
Ищем MO
Пользуясь той же теоремой, находим высоту:
MO² = √ML² – √OL² = 100 – 64 = 36
Ответ: 36
Задача 4
Известно, что в основании ABCD, AB=CD=BC=AD. Треугольник DMC имеет площадь 36см, DC = 4, OL = 6. Определите тип фигуры и найдите высоту.
Исходя из информации про основание, мы сделали вывод, что перед нами правильная пирамида – стороны основания равны. Следовательно, перед нами четырехугольная правильная пирамида.
Из первого вывода следует, что боковые грани – равнобедренные треугольники, а высота и медиана этих треугольников – апофема. Пользуясь формулами, найдем высоту.
Площадь равнобедренного треугольника
36 = ½ * 4 *h
36 = 2h
H = 18
Теперь у нас есть апофема, а OL нам было уже давно. MOL – прямоугольный треугольник, 2 стороны которого, мы уже знаем. Следовательно, мы можем посчитать высоту.
MO = ML – OL = 18 – 6 = 12
Ответ: 12
Часто задаваемые вопросы
1Как понять, что пирамида правильная, если в условии это не указано?
Часто в задании не указывают какой тип фигуры, чтобы человек сам догадался и применил нужные формулы. Понять какой тип фигуры легко – начните решение задачи с рассмотрения основания и заучивания свойств фигуры.
Зная определения и свойства, определить тип фигуры очень легко.
2Могут ли быть указаны в задании лишние данные?
Чтобы решать задачи, человек должен включать логику, а не подставлять исходные числа в знакомые формулы. С этим расчетом, в некоторых задачах умышленно добавляют лишние данные, которые могут даже не использоваться при решении. Чаще такое встречается в задачах на ЕГЭ.
3Обязательно ли оформлять высоту большой буквой H? Нужно ли выделять апофему?
Для удобства, человек может не выделять отдельно высоту, а сразу писать, например, BE (если B – вершина, а E – основание). То же с апофемой. Важно, чтобы сам человек осознавал, что это за линия и как ее использовать в решении.
4Как можно быстро изучить стереометрию?
Ключ к пониманию стереометрии – умение визуализировать объекты в пространстве. Если в дополнение к этому умению, знать формулы, свойства и теорию – задачи будут решаться быстро и безошибочно.
4Как искать высоту, если известен объем?
Если выразить высоту через формулу объема, то получится следующее:
H = (3*V)/ S;
Пример: объем пирамиды равен 70 куб. см., а площадь боковых граней – 30см²
H = 3*70/30 = 7см
Типичные ошибки на ЕГЭ
Незнание темы
Когда человек не знает, где находится апофема и что для нее есть определенные формулы, задачу может и можно решить, но тогда необходимо выполнить в 2 раза большей действий.То же обстоит с теорией – если человек не знает свойства многоугольников, то и решить задание он не сможет. Для того, чтобы понимать геометрию, не нужно обладать особенными способностями. Даже при отсутствии способностей к математике, зная теорию, вы будете понимать геометрию.
Отсутствие проверки
Хотите потерять балл на ЕГЭ? – не перепроверяйте решения. Часто, задания решаются хаотично и на листе бумаге разные решения намешаны в кучу. Когда приходит время написать ответ, человек по невнимательности либо забывает выполнить последнее действие, либо вписывает не тот ответ.Решайте задачи по действиям, проставляйте пункты и делайте проверку ответа, каким бы он ни был.
Задачи под копирку
Решая сотни аналогичных задач, человек настолько привыкает, что теряет бдительность, игнорируя многие исходные данные. Придя на экзамен, в задании может быть вопрос с подвохом и человек ошибается в теме, которую он знал идеально. Помните, к каждой задаче нужен индивидуальный подход, как бы хорошо вы в ней не разбирались.
Запись
Структурируйте решения, прописывая каждое действие и каждый полученный вывод. Это необходимо для того, чтобы не запутаться. Решая задания хаотично, можно легко записать неправильное число, не тот ответ, подставить не те числа, и задача уже решена неверно. Обидно получать низкий балл из-за невнимательности.
Подсчеты в уме
На экзамене все нервничают и переживают, а потому зарабатывают баллы ниже, чем планировалось изначально. Когда человек нервничает, уровень концентрации и внимания резко снижается. Он может упустить что-то важное, не поставить запятую или запутаться в ходе размышлений.Считая примеры в столбик, вы обезопасите себя от глупых ошибок.
Незнание структуры экзамена
Очень обидные ошибки допускают люди, пересдающие ЕГЭ через несколько лет, либо обучающиеся в экстернате. Как правило, они плохо знакомы с процедурой заполнения бланков и внесения ответов.Заполнение бланков для части А и С – различно. Внимательно посмотрите, как необходимо их заполнять, так как неправильное внесение ответа (например, запятая и число в одной клетке) будет приравниваться к ошибке и ответ будет не засчитан.Также, если вы самостоятельно готовитесь к экзамену, учитесь рассчитывать время на каждое задание.
Поспешные решения
В случае, если ответ был записан с ошибкой, его можно внести в графе ниже, заменив неправильный ответ на правильный. Однако, клетки для внесения результатов ограничены в количестве, а заданий в общей сложности 19!Несколько раз перепроверьте ответы, прежде чем внести их в бланк ответов.
Незнание степеней числа
В теореме Пифагора будут использованы не только маленькие числа (до 10). В профильной математике, могут быть крупные числа, которые тяжело посчитать в столбик.Также, степени числа могут понадобиться для других заданий. Выучите значение чисел в квадрате и кубе от 1 до 20. Помните, что на профильном экзамене, пользовать методической таблицей нельзя!
Полезные советы
- Если в задаче указан объем – ищите высоту через него.
- Делите равнобедренные треугольники на прямоугольные – так быстрее и проще решить задачу.
- Учите квадратные корни чисел – так, вы будете быстрее справляться с теоремой Пифагора.
- Не кидайтесь сразу к решению – изучите исходные данные и сделайте правильные выводы.
- Если в заданиях получаются слишком крупные числа (от 1000), то перепроверьте решение – вероятно, вы допустили ошибку. В заданиях в учебнике и на экзамене практически не используются крупные числа.
6.5 Total Score
Чтобы успешно решить задачу для нахождения высоты пирамиды, достаточно знать теорию и формулы. Добавив к своим знаниям немного практики и внимательности, вы легко и быстро будете решать подобные задачи!
Если вы не согласны с рейтингом статьи, то просто поставьте свои оценки и аргументируйте их в комментариях. Ваше мнение очень важно для наших читателей. Спасибо!
Достоверность информации
8.5
Актуальность информации
7.5
ПЛЮСЫ
- Благодаря доступной информации можно легко научиться решать задачи по геометрии
МИНУСЫ
- Необходимы знания математики
Добавить отзыв
Высота правильной треугольной пирамиды.
Основание правильной пирамиды представляет собой правильный многоугольник. Так как мы имеем дело с треугольной пирамидой, то её основанием будет равносторонний треугольник.
Чтобы найти высоту пирамиды SO, достаточно вспомнить, что:
1) AO = BO = CO = R = a√3 / 3. (св-во равностороннего треугольника).
2) SB = AB. (боковое ребро равно длине стороны основания).
По теореме Пифагора высота SO равна:
SO = √(SB² — OB²) = √(a² — a²/3) = √(a²(1 — 1/3)) = √(a² * (2/3) = a√(2/3).
Итак, высота правильной треугольной пирамиды (H) равна произведению длины ребра (a) на корень из 2/3:
Высоту пирамиды также можно найти из формулы объёма:
V = 1 / 3 Sосн * H.
Так как основание пирамиды — это равносторонний треугольник, то Sосн = a² * √3 / 4.
Отсюда V = a² * √3 * H / 12 = a² * H / 4√3.
Остаётся выразить высоту:
V * 4√3 = a² * H.
H = V * (4√3 / a²).
Высота правильной треугольной пирамиды (H) равна дроби — в числителе произведение объёма пирамиды (V) на 4√3, в знаменателе — квадрат ребра (a).
Если же в условии задачи уже известна площадь основания, то высоту найти ещё проще:
H = 3 * V / Sосн.
Пример
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 4 см, объём равен 10√3.
Нужно найти высоту пирамиды.
Воспользуемся вышеприведённой формулой:
H = V * (4√3 / a²) = 10√3 * 4√3 / 16 = 120 / 16 = 7,5 см.
Как найти высоту в треугольной пирамиде
Треугольной называется пирамида, в основании которой лежит треугольник. Высотой такой пирамиды будет перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость ее основания. Для того, чтобы найти высоту правильной треугольной пирамиды, то есть такой пирамиды, все грани которой являются равносторонними треугольниками, необходимо знать длину ребра пирамиды (а).
Вам понадобится
В данном случае ребрами пирамиды будут стороны этих равносторонних треугольников. Высотой правильной треугольной пирамиды будет длина ребра пирамиды, помноженная на корень из двух третей : h=а√2/3.
Для вычисления высоты любой другой треугольной пирамиды можно воспользоваться формулой объема: V = 1/3Sh, где V — это объем пирамиды, S — это площадь основания, а h — это высота. Из формулы объема выводим формулу высоты: чтобы найти высоту треугольной пирамиды, необходимо умножить объем пирамиды на 3 и поделить полученное значение на площадь основания: h=3V/S.
Поскольку основанием треугольной пирамиды служит треугольник, воспользуемся формулой расчета площади треугольника. Если известна длина одной стороны этого треугольника (а) и высота (h), опущенная на эту сторону, то рассчитываем площадь, умножив длину стороны на длину высоты и поделив полученное значение на 2: S=1/2ah. Если известны две стороны треугольника (a и b) и угол между ними (C), то пользуемся формулой: S=1/2absinC. Значение синуса угла можно посмотреть в таблице синусов, которую легко найти в Интернете.
Как правило, если в задаче требуется найти высоту треугольной пирамиды, объем этой пирамиды известен. Поэтому, после того, как найдена площадь основания пирамиды, остается только умножить объем на 3 и поделить на площадь основания, чтобы получить высоту треугольной пирамиды.
Как найти высоту в пирамиде: треугольной, четырехугольной, правильной
Высота основания в пирамиде – тема, на которую часто попадаются задачи на экзаменах и в старших классах. Решать такие задачи просто, если понимать принцип решения и знать формулы.
В нашей статье, вы без лишних формул и теории сможете понять, как решать задачи на нахождение высоты в пирамиде. Обратите внимание, что в разделе «формулы» отсутствуют все формулы правильной пирамиды, так как наша цель – научить решать задачи на нахождение высоты.
Содержание этой статьи:
Теория
Правильная пирамида
Правильная пирамида имеет в основании многоугольник, а высота проходит через центр основания. Боковые грани – равнобедренные треугольники. Напомним, что в равнобедренном треугольнике две стороны равны, следовательно, боковые ребра в правильной пирамиде тоже равны. Многоугольник в основании правильный, т.е. его стороны равны.
Для решения задач понадобится знать теоремы равнобедренного треугольника:
Основные свойства
Четырехугольная пирамида
В основании – многоугольник; остальные грани – треугольники, соединяющиеся в общей вершине.
Треугольная пирамида
В качестве основания можно рассматривать любую грань. Вся фигура состоит из треугольников.
Необходимые знания для нахождения высоты
Когда теория закреплена, можно переходить к формулам.
Формулы для нахождения высоты
Запомните, что маленькая буква h – это апофема, а большая H – высота.
В некоторых задачах, высоту можно найти через объем:
ВИДЕО: Примеры решения задач
Нахождение высоты в правильной пирамиде
Нахождение высоты в правильной пирамиде
Ниже будут представлены текстовые решения часто встречающихся задач.
Треугольная пирамида
Задача 1
В правильной треугольной пирамиде DBAC с вершиной D биссектрисы треугольника BAC пересекаются в точке N. Площадь треугольника BAC равна 4; объем пирамиды равен 12. Найдите длину отрезка DN.
DN – высота, следовательно, объем фигуры можно выразить по формуле:
DN = 3V/S основания = 3*12/4 = 9
Задача 2
DBAC – медианы основания BAC. Они пересекаются в точке N. Площадь ΔBAC равна 18, V = 20; найдите высоту.
Пользуясь формулой объема, получается:
DN = 3V/S ΔBAC = 3*36/18 = 108/18 = 6
Четырехугольная пирамида
Задача 1
Найдите высоту пирамиды, если ML = 10, а DC = 12. В основании квадрат.
ML – это апофема, сторона нам известна, следовательно, можно применить формулу для нахождения OL:
Известно, что MOL – прямоугольный угол. Применим теорему Пифагора:
MO ² = √ML ² — √OL ² = √100- √36 = √64
Задача 2
Известно, что диагональ AC = 20, ML = 10, а сторона DC = 12; найдите MO правильной четырехугольной пирамиды.
Найдем OL
В основании фигуры – квадрат, стороны и углы которого равны. Значит, половина диагонали = 10. Рассмотрим треугольник LOC, он – прямоугольный. Из исходных данный ясно, что LC = 6 (в равнобедренном треугольнике, высота, проведенная из вершины, делит основание на 2 равные части – это свойство р/б треугольника).
Пользуясь теоремой Пифагора, находим OL:
OL² = √OC² — √LC² = √100 – √36 = √64 = 8
Задача 3
Ищем MO
Пользуясь той же теоремой, находим высоту:
MO² = √ML² – √OL² = 100 – 64 = 36
Задача 4
Известно, что в основании ABCD, AB=CD=BC=AD. Треугольник DMC имеет площадь 36см, DC = 4, OL = 6. Определите тип фигуры и найдите высоту.
Исходя из информации про основание, мы сделали вывод, что перед нами правильная пирамида – стороны основания равны. Следовательно, перед нами четырехугольная правильная пирамида.
Из первого вывода следует, что боковые грани – равнобедренные треугольники, а высота и медиана этих треугольников – апофема. Пользуясь формулами, найдем высоту.
Площадь равнобедренного треугольника
Теперь у нас есть апофема, а OL нам было уже давно. MOL – прямоугольный треугольник, 2 стороны которого, мы уже знаем. Следовательно, мы можем посчитать высоту.
MO = ML – OL = 18 – 6 = 12
Часто задаваемые вопросы
Часто в задании не указывают какой тип фигуры, чтобы человек сам догадался и применил нужные формулы. Понять какой тип фигуры легко – начните решение задачи с рассмотрения основания и заучивания свойств фигуры.
Зная определения и свойства, определить тип фигуры очень легко.
Чтобы решать задачи, человек должен включать логику, а не подставлять исходные числа в знакомые формулы. С этим расчетом, в некоторых задачах умышленно добавляют лишние данные, которые могут даже не использоваться при решении. Чаще такое встречается в задачах на ЕГЭ.
Для удобства, человек может не выделять отдельно высоту, а сразу писать, например, BE (если B – вершина, а E – основание). То же с апофемой. Важно, чтобы сам человек осознавал, что это за линия и как ее использовать в решении.
Ключ к пониманию стереометрии – умение визуализировать объекты в пространстве. Если в дополнение к этому умению, знать формулы, свойства и теорию – задачи будут решаться быстро и безошибочно.
Если выразить высоту через формулу объема, то получится следующее:
Пример: объем пирамиды равен 70 куб. см., а площадь боковых граней – 30см²
Типичные ошибки на ЕГЭ
Полезные советы
- Если в задаче указан объем – ищите высоту через него.
- Делите равнобедренные треугольники на прямоугольные – так быстрее и проще решить задачу.
- Учите квадратные корни чисел – так, вы будете быстрее справляться с теоремой Пифагора.
- Не кидайтесь сразу к решению – изучите исходные данные и сделайте правильные выводы.
- Если в заданиях получаются слишком крупные числа (от 1000), то перепроверьте решение – вероятно, вы допустили ошибку. В заданиях в учебнике и на экзамене практически не используются крупные числа.
Чтобы успешно решить задачу для нахождения высоты пирамиды, достаточно знать теорию и формулы. Добавив к своим знаниям немного практики и внимательности, вы легко и быстро будете решать подобные задачи! Если вы не согласны с рейтингом статьи, то просто поставьте свои оценки и аргументируйте их в комментариях. Ваше мнение очень важно для наших читателей. Спасибо!
Онлайн решение Пирамиды по координатам вершин
1) чертёж пирамиды по координатам её вершин;
2) длины и уравнения рёбер, медиан, апофем, высот;
3) площади и уравнения граней;
4) система линейных неравенств, определяющих пирамиду;
5) основания и точка пересечения медиан (центроид);
6) уравнения плоскостей, проходящих через вершины параллельно противолежащим граням;
7) объём пирамиды;
основания, площади и уравнения биссекторов;
9) углы между рёбрами, между рёбрами и гранями, двугранные (внутренние между гранями), телесные;
10) параметры и уравнения вписанной и описанной сфер;
Внимание! Этот сервис может не работать в браузере Internet Explorer.
Запишите координаты вершин пирамиды и нажмите кнопку.
Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.
источники:
http://mathhelpplanet.com/static.php?p=onlayn-resheniye-piramidy
http://dudom.ru/kompjutery/kak-najti-vysotu-piramidy-po-vektoram/
| A ( ; ; ), B ( ; ; ), C ( ; ; ), D ( ; ; ) |
Примечание: дробные числа записывайте Округлять до -го знака после запятой. Как найти высоту пирамиды по векторамИнструкция . Для решения подобных задач в онлайн режиме заполните координаты вершин, нажмите Далее . см. также по координатам треугольника найти.
Пример №1 . В пирамиде SABC : треугольник ABC – основание пирамиды, точка S – ее вершина. Даны координаты точек A, B, C, S . Сделать чертеж. Пример №2 . В тетраэдре ABCD вычислить:
A(2, 3, -2), B(3, 1, 0), C(-2, 2, 1), D(6, 1, -1) ОтветПроверено экспертом
Даны вершины пирамиды A(3;-2;3)B(-1;0;2)C(-3;1;-1)D(-3;-3;1) . Находим векторы АВ, АС и АД. Вектор АВ = (-4; 2; -1 ), модуль равен √(16+4+1) = √21 ≈ 4,58258. Определяем векторное произведение АВ х АС. -6 3 -4 | -6 3 = -8i + 6j – 12k – 16j + 3i + 12k = -5i – 10j = (-5; -10; 0). Далее находим смешанное произведение (АВ х АС) х АД. (АВ х АС) = (-5; -10; 0), (АВ х АС) х АД = 30 + 10 + 0 = 40. Объем пирамиды равен (1/6) этого произведения: V = (1/6)*40 = (20/3) куб.ед. Высота h пирамиды ABCD, опущенная из вершины D на плоскость основания ABC, равна: h = 3V/S(ABC). Площадь основания АВС равна половине модуля векторного произведения АВ х АС. S(ABC) = (1/2)*√((-5)² + (-10)² + 0²) = (1/2)√(25 + 100) = (5/2)√5 кв.ед. h = (3*20/3)/((5/2)√5) = 8/√5 = 8√5/5 ≈ 3,5777. 1) чертёж пирамиды по координатам её вершин; 2) длины и уравнения рёбер, медиан, апофем, высот; 3) площади и уравнения граней; 4) система линейных неравенств, определяющих пирамиду; 5) основания и точка пересечения медиан (центроид); 6) уравнения плоскостей, проходящих через вершины параллельно противолежащим граням; 7) объём пирамиды; 9) углы между рёбрами, между рёбрами и гранями, двугранные (внутренние между гранями), телесные; 10) параметры и уравнения вписанной и описанной сфер; Внимание! Этот сервис может не работать в браузере Internet Explorer. Запишите координаты вершин пирамиды и нажмите кнопку. |
A ( ; ; ), B ( ; ; ), C ( ; ; ), D ( ; ; ) |
Пирамида
В данном разделе приведены формулы нахождения высоты, площади, объема пирамиды (в том числе усеченной). Описаны названия ее элементов (вершина, апофема, ребро, грань, высота, диагональное сечение).
В подразделах можно посмотреть примеры решения задач про пирамиды.
Объем пирамиды
Объем любой пирамиды (в т.ч. треугольной) равен одной трети произведения площади ее основания на высоту
Объем усеченной пирамиды
H – высота усеченной пирамиды; S1 – площадь нижнего основания; S2 – площадь верхнего основания.
Свойства правильной пирамиды
Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.
Правильная пирамида имеет следующие свойства:
- боковые ребра правильной пирамиды равны;
- в правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники;
- в любую правильную пирамиду можно как вписать сферу
- около любой правильной пирамиды можно описать сферу;
- если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна π, а каждый из них соответственно , где n — количество сторон многоугольника основания;
- площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
Как найти площадь пирамиды
Площадь пирамиды (S) равна сумме площади ее основания (Sоснования) и боковой поверхности SБокПоверхности (Формула 1)
Соответственно, так как площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме поверхностей всех ее граней (S1,S2…Sn), то получаем формулу 2.
Если пирамида правильная, то площади всех ее боковых граней равны между собой. Тогда достаточно найти площадь основания пирамиды и прибавить к нему площадь боковой грани (SГрани), умноженной на их количество (n) (см. Формулу 3).
Поскольку мы знаем, что в правильной пирамиде все грани представляют собой равнобедренный треугольник, то, использовав формулу площади равнобедренного треугольника, получим Формулу 4 — где площадь боковой поверхности пирамиды будет равна произведению половины периметра основания (P) на апофему (a).
Для нахождения площади правильной треугольной пирамиды используем формулу площади равностороннего треугольника со стороной b, к которой прибавим площадь трех граней, представляющих собой равнобедренный треугольник с основанием b и высотой a (она же апофема правильной треугольной пирамиды). В итоге получаем Формулу 5.
Если же пирамида представляет собой тетраэдр, то все его грани равны между собой и площадь поверхности такой пирамиды равна квадрату стороны (b), умноженному на корень из трех (Формула 6).
Площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды находится по общему правилу — поскольку в основании лежит квадрат, то его площадь равна квадрату стороны основания (b), к которому прибавляется площадь четырех граней боковых сторон (Формула 7).
0
Ромб в основании призмы |
Описание курса
| С треугольником в основании