Как найти высоту конуса если известна образующая

Через образующую и высоту конуса можно найти радиус, построив прямоугольный треугольник, в котором образующая является гипотенузой, а высота и радиус – катетами. Из этого же треугольника становится возможным вычислить угол между образующей и основанием, а для того чтобы найти угол раствора конуса, необходимо вернуться к равнобедренному треугольнику из двух образующих и диаметра, в котором угол раствора будет равен разности двух углов при основании от 180 градусов. (рис.40.1, 40.2)
r=√(l^2-h^2 )
sin⁡β=h/l
α=180°-2β

Теперь, зная радиус конуса, можно найти диаметр, периметр и площадь основания круга, подставив в стандартные формулы квадратный корень, полученный по теореме Пифагора.
d=2r=2√(l^2-h^2 )
P=2πr=2π√(l^2-h^2 )
S_(осн.)=πr^2=π(l^2-h^2)

Площадь боковой поверхности конуса и площадь полной поверхности конуса, выраженные через высоту и образующую, также содержат в формулах вместо радиуса квадратный корень из разности квадратов образующей и высоты.
S_(б.п.)=πrl=πl√(l^2-h^2 )
S_(п.п.)=S_(б.п.)+S_(осн.)=πrl+πr^2=π(lr+r^2 )=π(l√(l^2-h^2 )+l^2-h^2)

Чтобы вычислить объем конуса через высоту и образующую, необходимо умножить треть числа π на высоту и разность квадратов образующей и высоты вместо квадрата радиуса.
V=1/3 S_(осн.) h=(πr^2 h)/3=(πh(l^2-h^2))/3

Радиус сферы, которая может быть вписана в конус, напрямую зависит не только от высоты и образующей, но и от радиуса, поэтому его формула существенно услояжняется наличием радикала, полученного через теорему Пифагора для радиуса конуса. В то же время радиус описанной вокруг конуса сферы зависит только от образующей и высоты, представляя собой отношение квадрата образующей к удвоенной высоте. (рис.40.3, 40.4)
r_1=hr/(l+r)=(h√(l^2-h^2 ))/(l+√(l^2-h^2 ))
R=l^2/2h

Задание.
Как найти высоту конуса, если диаметр его основания равен 10 см, а образующая равна 13 см.

Решение.
Для решения задачи выполним схематический рисунок, на котором обозначим все необходимые измерения конуса, т.е. его высоту, радиус основания и образующую. Поскольку образующая соединяет две точки конуса — его вершину и любую из точек окружности основания, то проведем образующую так, как показано на рисунке. Радиус также соединяет две точки — центр окружности и любую из точек окружности основания, следовательно, радиус также изобразим так, как будет удобно для решения задачи, т.е. его конец будет совпадать с концом образующей.

Такие построения были выполнены для того, чтобы получить прямоугольный треугольник, который образовался между высотой, радиусом и образующей конуса. Для такого треугольника можно использовать теорему Пифагора, из которой несложно будет вычислить искомую длину высоты:

Выразим высоту из данного уравнения:

По условию известен размер диаметра. Из следующего уравнения найдем необходимый нам размер радиуса и подставим в формулу:
(см).
Теперь достаточно подставить известные значения в выше записанное уравнение:

(см).

Ответ. 12 см.

Прочитав данную статью, вы узнаете, как найти высоту конуса. Приведенный в ней материал поможет глубже разобраться в вопросе, а формулы окажутся весьма полезными в решении задач. В тексте разобраны все необходимые базовые понятия и свойства, которые обязательно пригодятся на практике.

Фундаментальная теория

Перед тем, как найти высоту конуса, необходимо разобраться с теорией.

Конус — фигура, которая плавно сужается от плоского основания (часто, хотя и необязательно, кругового) до точки, называемой вершиной.

Конус формируется набором отрезков, лучей или прямых, соединяющих общую точку с основанием. Последнее может ограничиваться не только окружностью, но и эллипсом, параболой или гиперболой.

Ось — это прямая (если таковая имеется), вокруг которой фигура имеет круговую симметрию. Если угол между осью и основой составляет девяносто градусов, то конус принято называть прямым. Именно такая вариация чаще всего встречается в задачах.

Если в основе лежит многоугольник, то объект является пирамидой.

Отрезок, соединяющий вершину и линию, ограничивающую основание, называют образующей.

Как найти высоту конуса

Подойдем к вопросу с другой стороны. Для начала используем объем конуса. Чтобы его найти нужно вычислить произведение высоты с третьей частью площади.

V = 1/3 × S × h.

Очевидно, что из этого можно получить формулу высоты конуса. Достаточно лишь сделать правильные алгебраические преобразования. Разделим обе части равенства на S и умножим на тройку. Получим:

h = 3 × V × 1/S.

Теперь вы знаете, как найти высоту конуса. Однако для решения задач вам могут понадобиться и другие знания.

Важные формулы и свойства

Приведенный ниже материал однозначно поможет вам в решении конкретных задач.

Центр массы тела находится на четвертой части оси, начиная от основы.

В проективной геометрии цилиндр — это просто конус, вершина которого находится на бесконечности.

Следующие свойства работают только для прямого кругового конуса.

• Даны радиус основания r и высота h, тогда формула для площади будет выглядеть так: П × r². Соответственно изменится и окончательное уравнение. V = 1/3 × П × r² × h.
• Вычислить площадь боковой поверхности можно перемножив число «пи», радиус и длину образующей. S = П × r × l.
• Пересечение произвольной плоскости с фигурой является одним из конических сечений.

Часто встречаются задачи, где необходимо использовать формулу для объема усеченного конуса. Она выводится из обычной и имеет такой вид:

V = 1/3 × П × h × (R² + Rr + r²), где: r -радиус нижнего основания, R — верхнего.

Всего этого будет вполне достаточно для решения разнообразнейших примеров. Разве что могут понадобиться знания, не связанные с этой темой, например, свойства углов, теорема Пифагора и другое.

Как найти высоту конуса. Теория и формулы

Прочитав данную статью, вы узнаете, как найти высоту конуса. Приведенный в ней материал поможет глубже разобраться в вопросе, а формулы окажутся весьма полезными в решении задач. В тексте разобраны все необходимые базовые понятия и свойства, которые обязательно пригодятся на практике.

Фундаментальная теория

Перед тем, как найти высоту конуса, необходимо разобраться с теорией.

Конус — фигура, которая плавно сужается от плоского основания (часто, хотя и необязательно, кругового) до точки, называемой вершиной.

Конус формируется набором отрезков, лучей или прямых, соединяющих общую точку с основанием. Последнее может ограничиваться не только окружностью, но и эллипсом, параболой или гиперболой.

Ось — это прямая (если таковая имеется), вокруг которой фигура имеет круговую симметрию. Если угол между осью и основой составляет девяносто градусов, то конус принято называть прямым. Именно такая вариация чаще всего встречается в задачах.

Если в основе лежит многоугольник, то объект является пирамидой.

Отрезок, соединяющий вершину и линию, ограничивающую основание, называют образующей.

Как найти высоту конуса

Подойдем к вопросу с другой стороны. Для начала используем объем конуса. Чтобы его найти нужно вычислить произведение высоты с третьей частью площади.

Очевидно, что из этого можно получить формулу высоты конуса. Достаточно лишь сделать правильные алгебраические преобразования. Разделим обе части равенства на S и умножим на тройку. Получим:

Теперь вы знаете, как найти высоту конуса. Однако для решения задач вам могут понадобиться и другие знания.

Важные формулы и свойства

Приведенный ниже материал однозначно поможет вам в решении конкретных задач.

Центр массы тела находится на четвертой части оси, начиная от основы.

В проективной геометрии цилиндр — это просто конус, вершина которого находится на бесконечности.

Следующие свойства работают только для прямого кругового конуса.

• Даны радиус основания r и высота h, тогда формула для площади будет выглядеть так: П × r 2 . Соответственно изменится и окончательное уравнение. V = 1/3 × П × r 2 × h.
• Вычислить площадь боковой поверхности можно перемножив число «пи», радиус и длину образующей. S = П × r × l.
• Пересечение произвольной плоскости с фигурой является одним из конических сечений.

Часто встречаются задачи, где необходимо использовать формулу для объема усеченного конуса. Она выводится из обычной и имеет такой вид:

V = 1/3 × П × h × (R 2 + Rr + r 2 ), где: r -радиус нижнего основания, R — верхнего.

Всего этого будет вполне достаточно для решения разнообразнейших примеров. Разве что могут понадобиться знания, не связанные с этой темой, например, свойства углов, теорема Пифагора и другое.

Радиус и высота конуса

Свойства

Через радиус конуса можно найти все параметры конуса, связанные с основанием, а значение высоты позволяет вычислить площади, объемы и все остальные объемные параметры конуса. Так, диаметр конуса равен удвоенному радиусу, периметр окружности в основании вычисляется по стандартной формуле через радиус, равно как и площадь основания. d=2r P=2πr S_(осн.)=πr^2

Прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса, радиусом основания и образующей конуса, связывает эти три значения теоремой Пифагора, по которой можно вычислить неизвестную образующую, а также угол между образующей и основанием. Тем временем, угол α рассчитывается из равнобедренного треугольника, сформированного двумя образующими и диаметром из того принципа, что сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусам. (рис.40.1, 40.2) l=√(h^2+r^2 ) tan⁡β=h/r α=180°-2β

Чтобы найти площадь боковой поверхности конуса, необходимо умножить радиус и апофему на число π. Площадь полной поверхности конуса состоит из площади его основания и площади боковой поверхности. В обеих формулах вместо апофемы нужно подставить квадратный корень через высоту и радиус, полученный по теореме Пифагора. S_(б.п.)=πrl=πr√(h^2+r^2 ) S_(п.п.)=S_(б.п.)+S_(осн.)=πrl+πr^2=πr(l+r)=πr(√(h^2+r^2 )+r)

Чтобы найти объем конуса, достаточно знать значения радиуса и высоты, тогда формула объема выглядит как произведение числа π на квадрат радиуса и высоту, деленное на три. V=1/3 S_(осн.) h=(πr^2 h)/3

Радиус сферы, вписанной в конус, зависит не только от радиуса основания конуса и его высоты, но и от образующей, поэтому чтобы вычислить радиус вписанной сферы конуса через радиус конуса и высоту, нужно вместо образующей подставить полученное для нее выше выражение. Радиус описанной сферы может быть представлен сразу формулой только с переменными радиуса и высоты. (рис.40.3, 40.4) r_1=hr/(l+r)=rh/(√(h^2+r^2 )+r) R=(h^2+r^2)/2h

Как найти высоту конуса если известен объем

Прочитав данную статью, вы узнаете, как найти высоту конуса. Приведенный в ней материал поможет глубже разобраться в вопросе, а формулы окажутся весьма полезными в решении задач. В тексте разобраны все необходимые базовые понятия и свойства, которые обязательно пригодятся на практике.

Фундаментальная теория

Перед тем, как найти высоту конуса, необходимо разобраться с теорией.

Конус – фигура, которая плавно сужается от плоского основания (часто, хотя и необязательно, кругового) до точки, называемой вершиной.

Конус формируется набором отрезков, лучей или прямых, соединяющих общую точку с основанием. Последнее может ограничиваться не только окружностью, но и эллипсом, параболой или гиперболой.

Ось – это прямая (если таковая имеется), вокруг которой фигура имеет круговую симметрию. Если угол между осью и основой составляет девяносто градусов, то конус принято называть прямым. Именно такая вариация чаще всего встречается в задачах.

Если в основе лежит многоугольник, то объект является пирамидой.

Отрезок, соединяющий вершину и линию, ограничивающую основание, называют образующей.

Как найти высоту конуса

Подойдем к вопросу с другой стороны. Для начала используем объем конуса. Чтобы его найти нужно вычислить произведение высоты с третьей частью площади.

Очевидно, что из этого можно получить формулу высоты конуса. Достаточно лишь сделать правильные алгебраические преобразования. Разделим обе части равенства на S и умножим на тройку. Получим:

Теперь вы знаете, как найти высоту конуса. Однако для решения задач вам могут понадобиться и другие знания.

Важные формулы и свойства

Приведенный ниже материал однозначно поможет вам в решении конкретных задач.

Центр массы тела находится на четвертой части оси, начиная от основы.

В проективной геометрии цилиндр – это просто конус, вершина которого находится на бесконечности.

Следующие свойства работают только для прямого кругового конуса.

• Даны радиус основания r и высота h, тогда формула для площади будет выглядеть так: П × r 2 . Соответственно изменится и окончательное уравнение. V = 1/3 × П × r 2 × h.
• Вычислить площадь боковой поверхности можно перемножив число «пи», радиус и длину образующей. S = П × r × l.
• Пересечение произвольной плоскости с фигурой является одним из конических сечений.

Часто встречаются задачи, где необходимо использовать формулу для объема усеченного конуса. Она выводится из обычной и имеет такой вид:

V = 1/3 × П × h × (R 2 + Rr + r 2 ), где: r -радиус нижнего основания, R – верхнего.

Всего этого будет вполне достаточно для решения разнообразнейших примеров. Разве что могут понадобиться знания, не связанные с этой темой, например, свойства углов, теорема Пифагора и другое.

Конус — тело в евклидовом пространстве, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной

точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность.

Иногда конусом называют часть такого тела, имеющую ограниченный объём и полученную объединением

всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае

называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание).

Воспользуйтесь онлайн калькулятором для расчета объема пирамиды: объем конуса, онлайн расчет.

Для расчета объемов других тел воспользуйтесь этим калькулятором: калькулятор объемов фигур.

• Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса.

• Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса.

Образующая поверхность конуса является конической поверхностью.

• Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого

отрезка), называется высотой конуса.

• Угол раствора конуса — угол между двумя противоположными образующими (угол при вершине

конуса, внутри конуса).

• Если основание конуса имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и

ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром, то

конус называется прямым. При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется

осью конуса.

• Косой (наклонный) конус — конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не

совпадает с его центром симметрии.

• Круговой конус — конус, основание которого является кругом.

• Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением

прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет (эта прямая представляет собой ось

• Конус, опирающийся на эллипс, параболу или гиперболу, называют соответственно

эллиптическим, параболическим и гиперболическим конусом (последние два имеют бесконечный

• Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся

между вершиной и основанием, называется усечённым конусом, или коническим слоем.

Объем конуса вычисляется по формуле:

где R — радиус основания конуса,

Усеченный конус.

Усеченный конус получится, если в конусе провести сечение, параллельное основанию. Тело

ограниченное этим сечением, основанием и боковой поверхностью конуса называется усеченным конусом.

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:

h – высота конуса

r – радиус верхнего основания

R – радиус нижнего основания

или по формуле объема усечённого конуса (не обязательно прямого и кругового):

S1 и S2 — площади соответственно верхнего (ближнего к вершине) и нижнего оснований,

h и H — расстояния от плоскости соответственно верхнего и нижнего основания до вершины.

Конус — это трехмерная фигура, в основании которой лежит круг. Чтобы найти объем конуса достаточно знать два параметра — высоту (h) и радиус основания (r).

Если мы сравним формулу объема конуса с формулой объема цилиндра, то мы увидим, что объем конуса в 3 раза меньше объема цилиндра с той же высотой и радиусом основания.

Нахождение объема конуса, формула объема конуса

Подставив значения в формулу, можно легко найти объем: