- Главная
- Справочники
- Справочник по математике 5-9 класс
- Алгебра
- Тождественно равные выражения. Тождества
Два выражения, значения которых равны при любых значениях переменных, называют тождественно равными.
Рассмотрим две пары выражений:
|
1) Найдем их значения при
Мы получили один и тот же результат. Из распределительного свойства следует, что вообще при любых значениях переменных |
2) Найдем их значения при
Мы получили один и тот же результат. Однако, можно указать такие значения
Мы получили разные результаты. |
и 
, при которых значения этих выражений не будут иметь равные значения. Например, если 
, то
Следовательно, выражения 
и 
являются тождественно равными, а выражения 
не являются тождественно равными.
Равенство, верное при любых значениях переменных, называется тождеством.
Равенство 
— тождество, т.к. оно верно при любых значениях 
и 
.
Также к тождествам можно отнести равенства, выражающие свойства сложения и умножения чисел:
Можно привести и другие примеры тождеств:
Тождествами считают и верные числовые равенства.
Очень часто при вычислении значений выражений, легче сначала упростить имеющееся выражение, а затем выполнять вычисления.
Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением, называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения.
К тождественным преобразованиям можно отнести приведение подобных слагаемых и раскрытие скобок.
Примеры:
1) 
, мы преобразовали выражение 
в выражение 
.
2) 
, мы преобразовали выражение 
в выражение 
.
Для того, чтобы доказать, что данное равенство является тождеством (или доказать тождество), используют следующие методы:
1) тождественно преобразуют одну из частей данного равенства, получая другую часть;
2) тождественно преобразуют каждую из частей данного равенства, получая одно и то же выражение;
3) доказывают, что разность левой и правой частей данного равенства тождественно равна нулю.
Также, чтобы доказать, что равенство не является тождеством, достаточно привести контрпример, т.е. указать такое значение переменной (или переменных, если их несколько), при котором данное равенство не выполняется.
Пример: Докажите, что равенство 
не является тождеством.
Решение: Приведем контрпример. Если 
, то
, следовательно, равенство не является тождеством.
Советуем посмотреть:
Введение в алгебру
Линейное уравнение с одной переменной
Решение задач с помощью уравнений
Степень с натуральным показателем
Свойства степени с натуральным показателем
Одночлены
Многочлены
Сложение и вычитание многочленов
Умножение одночлена на многочлен
Умножение многочлена на многочлен
Разложение многочленов на множители
Формулы сокращенного умножения
Функции
Системы линейных уравнений с двумя переменными
Алгебра
Правило встречается в следующих упражнениях:
7 класс
Номер 132,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 135,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 139,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 142,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 568,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 577,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 626,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 728,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 948,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1150,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
8 класс
Номер 22,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 23,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 25,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 27,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 93,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 168,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 288,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 434,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 467,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 487,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
доказать тождество:
2t−(17−(t−7))=3(t−8)
.
Решение:
выпишем отдельно левую часть равенства и преобразуем, т. е. попытаемся доказать, что она равна правой части.
При раскрытии скобок (обеих) знаки поменяем, т. к. перед скобками стоит знак минус.
2t−(17−(t−7))=2t−17+(t−7)==2t¯−17+t¯−7=3t−24=3(t−8).
.
Получили, что левая часть исходного равенства равна правой.
Значит, исходное равенство — тождество.
Понятие тождества
Тождеством принято считать любое равенство, которое будет верным, независимо от значений переменных. Исходя из определения, тождественным можно назвать любое выражение, имеющее вид числового равенства.
Существует несколько вариантов определения тождества. Еще один вариант можно дать, есть рассматривать его с точки зрения допустимых значений переменных. В этом случае оно будет звучать так:
Тождество это верное равенство, или равенство, которое будет правильным при любом возможном значении переменных в его составе.
Школьная программа предусматривает подробное изучение этой темы по алгебре в седьмом классе. Школьная программа для детей этого возраста предполагает работу только с целыми числами. Подобные выражения не теряют смысла только в том случае, если в качестве переменных целые числа.
Если для сравнения взять программу восьмого класса, то мы увидим, что она более объемная за счет разбора выражений, которые становятся верными только если переменные приобретают значение из ОДЗ. Это и становится причиной пере формулировки определения, согласно которой тождество становится одним из примеров равенства. Это определение дает понять, что не каждое равенство можно считать тождеством.
Знак тождества
В математике равенство записывается через знак «=». Он уместен в том случае, если по обе стороны от него расположены равные выражения. Тождество в математике обозначается знаком, похожим на знак равенства, только состоящим из трех поперечных полосок «≡». В математике он называется знаком тождества, или тождественного равенства.
Математические выражения тождества и равенства практически ничем не отличаются, и по сути своей одинаковы. Знак тождественного равенства ставится с той целью, чтобы подчеркнуть, что в данном случае перед нами тождество.
Примеры тождественных выражений
Пример
Равные по значению числа принято считать тождественными равенствами.
Например: 5=5; [sqrt{64} equiv sqrt{64}]
Если обратиться к определению тождественного равенства, которое приведено выше, то можно сказать, что любое численное верные равенства можно назвать тождественными. Записываются они через знак тождества таким образом, как в примере.
Примеры равенств можно записывать так:
8-4=4
3×3=16-7
Эти же примеры можно записать, как тождество:
8-4≡4
3×3≡16-7
В качестве составляющих могут быть не только цифры, но и переменные. Примером такого равенства может быть подобное выражение:
5×(x+4)=5×x+20
Такое выражение будет равным, независимо от того, какое значение будет иметь переменная x.
Доказывается это применением распределительного свойства умножения относительно суммирования. Это объясняет то, что приведенный пример можно назвать тождеством.
Еще один пример тождественного равенства с переменными выглядит так:
y+2=y-2
Есть множество значений, при которых написанное равенство может быть неверным.
Из вышеперечисленного, можно сделать следующие выводы:
- Тождество – это то же самое, что равенство. Это связано с тем, что два составляющих имеют равное значение.
- Если в выражении присутствуют только числа, оно в любом случае будет тождеством, так как они не прекратят быть равными и не изменят своего значения.
- Если в выражении есть переменные, оно не обязательно окажется тождеством. Это объясняется тем, что переменные могут принимать разные значения. В зависимости от того, какие значения примут переменные, равенство либо сохранится, либо нет. Если даже теоретически предположить, что принцип равенства нарушится, тождеством приведенный пример назвать уже нельзя.
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Как доказать тождество
Примеры
Чтобы доказать тождество, потребуется просто решить левую и правую его части.
Пример 1:
[3+5≡18-8]
В результате решения получим, 8≡8
Пример 2:
Возьмем равенство 3 · (x + 1) = 3 · x + 3 . Это равенство является верным при любом значении переменной x .
Подтверждает сей факт распределительное свойство умножения относительно сложения. Это значит, что
приведенное равенство является тождеством.
Тождественные преобразования выражений: правила
Если мы имеем дело с более сложными примерами, то уместно преобразование, которое производится в следующем порядке:
- Преобразовывать можно обе части выражения сразу.
- Преобразовывается либо одна, либо вторая часть.
- Перемножить обе составляющие на одну и ту же цифру.
- Перенести составляющие через знак равенства, изменив знак на противоположный.