Как найти выборочную среднюю пример - Avtoru.top

3.1. Показатели центральной тенденции

Простейший пример такого показателя нам уже встречался – это среднее арифметическое значение. Но средней

дело не ограничивается, впрочем, обо всём по порядку:

3.1.1. Генеральная и выборочная средняя

Пусть исследуется некоторая генеральная совокупность объёма , а именно её числовая характеристика , не важно, дискретная или непрерывная.

Генеральной средней называют среднее арифметическое всех значений этой совокупности:

Если среди чисел есть одинаковые (что

характерно для дискретного ряда), то формулу можно записать в более компактном

виде:
, где:
варианта повторяется раз;
варианта – раз;
варианта – раз;
…
варианта – раз.

Живой пример вычисления генеральной средней встретился в Примере 2, но чтобы не занудничать, я даже не буду

напоминать его содержание. Далее.

Как мы помним, обработка всей генеральной совокупности часто затруднена либо невозможна, и поэтому из неё организуют представительную выборку объема , и на основании исследования этой выборки делают вывод обо всей совокупности.

Выборочной средней называется среднее арифметическое всех значений выборки:

и при наличии одинаковых вариант формула запишется компактнее:
– как сумма произведений вариант на соответствующие частоты , делённая на объём совокупности .

Выборочная средняя позволяет достаточно

точно оценить истинное значение , при этом, чем

больше выборка, тем точнее будет эта оценка.

Практику начнём с дискретного вариационного ряда и знакомого условия:

Пример 8

По результатам выборочного исследования рабочих цеха были установлены их квалификационные разряды: 4, 5, 6, 4, 4, 2, 3, 5, 4,

4, 5, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 2, 3, 6, 5, 4, 6, 4, 3.

Это числа из Примера 4, но теперь нам требуется: вычислить выборочную среднюю, и, не отходя от станка, найти моду

и медиану.

Как решать задачу? Если нам даны первичные данные (конкретные варианты ), то их можно тупо просуммировать и разделить результат на объём

выборки:
– средний квалификационный разряд рабочих

цеха.

Но здесь удобнее составить вариационный ряд:

и использовать «цивилизованную» формулу:

3.1.2. Мода

3. Основные показатели статистической совокупности

| Оглавление |

Источник

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Генеральная средняя

Пусть нам дана генеральная совокупность относительно случайной величины $X$. Для начала напомним следующее определение:

Определение 1

Генеральная совокупность — совокупность случайно отобранных объектов данного вида, над которыми проводят наблюдения с целью получения конкретных значений случайной величины, проводимых в неизменных условиях при изучении одной случайной величины данного вида.

Определение 2

Генеральная средняя — среднее арифметическое значений вариант генеральной совокупности.

Пусть значения вариант $x_1, x_2,dots ,x_k$ имеют, соответственно, частоты $n_1, n_2,dots ,n_k$. Тогда генеральная средняя вычисляется по формуле:

Сдай на права пока
учишься в ВУЗе

Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!

Получить скидку 3 000 ₽

Рассмотрим частный случай. Пусть все варианты $x_1, x_2,dots ,x_k$ различны. В этом случае $n_1, n_2,dots ,n_k=1$. Получаем, что в этом случае генеральная средняя вычисляется по формуле:

Выборочная средняя

Пусть нам дана выборочная совокупность относительно случайной величины $X$. Для начала напомним следующее определение:

Определение 3

Выборочная совокупность — часть отобранных объектов из генеральной совокупности.

Определение 4

Выборочная средняя — среднее арифметическое значений вариант выборочной совокупности.

Пусть значения вариант $x_1, x_2,dots ,x_k$ имеют, соответственно, частоты $n_1, n_2,dots ,n_k$. Тогда выборочная средняя вычисляется по формуле:

Рассмотрим частный случай. Пусть все варианты $x_1, x_2,dots ,x_k$ различны. В этом случае $n_1, n_2,dots ,n_k=1$. Получаем, что в этом случае выборочная средняя вычисляется по формуле:

«Средняя выборки: генеральная, выборочная» 👇

!!! В случае, когда значение вариант не являются дискретными, а представляют из себя интервалы, то в формулах для вычисления генеральной или выборочной средних значений за значение $x_i$ принимается значение середины интервала, которому принадлежит $x_i.$

Примеры задач на нахождение средней выборки

Пример 1

В магазин завезли 10 видов шоколадных конфет. По ним проведена следующая выборка по цене за килограмм: 70, 65, 97, 83, 120, 107, 77, 88, 100, 86. Построить ряд распределения данной генеральной совокупности и найти её генеральное среднее.

Решение.

Видим, что все значения вариант различны, поэтому частоты равны единице. Ряд распределения можно записать следующим образом, перечислив значения вариант в порядке возрастания:

Рисунок 1.

Так как наша совокупность является генеральной и все варианты различны, то мы будем пользоваться следующей формулой:

[overline{x_г}=frac{sumlimits^k_{i=1}{x_i}}{n}]

Получим:

[overline{x_г}=frac{65+70+77+83+86+88+97+100+107+120}{10}=89,3]

Ответ: 89,3.

Пример 2

Выборочная совокупность задана следующей таблицей распределения:

Рисунок 2.

Найти среднее выборочное данной совокупности.

Решение.

Для нахождения значения выборочной средней будем пользоваться следующей формулой:

[overline{x_в}=frac{sumlimits^k_{i=1}{x_in_i}}{n}]

Обычно, для наглядности и удобности вычислений составляется расчетная таблица, в которую входят необходимые промежуточные вычисления. В нашем случае составим таблицу со следующей «шапкой»:

Рисунок 3.

Внизу таблицы также добавляется строка «итог», в которой подсчитывается сумма по всем значениям столбцов. Проведя необходимые вычисления, получим следующую расчетную таблицу:

Рисунок 4.

Используя формулу, получим:

[overline{x_в}=frac{sumlimits^k_{i=1}{x_in_i}}{n}=frac{305}{20}=15,25]

Ответ: 15,25.

Пример 3

Проводится социальный опрос среди 100 пенсионеров об уровне их пенсии. Получена следующая таблица распределения результатов опроса (размер пенсии указан в тысячах рублей):

Рисунок 5.

Найти среднее выборочное данной совокупности.

Данная совокупность является выборочной, поэтому будем пользоваться следующей формулой:

[overline{x_в}=frac{sumlimits^k_{i=1}{x_in_i}}{n}]

Составим, для начала, расчетную таблицу.

Рисунок 6.

Получаем:

[overline{x_в}=frac{sumlimits^k_{i=1}{x_in_i}}{n}=frac{964}{100}=9,64]

Ответ: 9,64.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Источник

Сейчас Вы научитесь находить числовые характеристики статистического распределения выборки. Примеры подобраны на основании индивидуальных заданий по теории вероятностей, которые задавали студентам ЛНУ им. И. Франка. Ответы послужат для студентов математических дисциплин хорошей инструкцией на экзаменах и тестах. Подобные решения точно используют в обучении экономисты , поскольку именно им задавали все что приведено ниже. ВУЗы Киева, Одессы, Харькова и других городов Украины имеют подобную систему обучения поэтому много полезного для себя должен взять каждый студент. Задачи различной тематики связаны между собой линками в конце статьи, поэтому можете найти то, что Вам нужно.

Индивидуальное задание 1
Вариант 11

Задача 1. Построить статистическое распределение выборки, записать эмпирическую функцию распределения и вычислить такие числовые характеристики:

выборочное среднее;
выборочную дисперсию;;
подправленную дисперсию;
выборочное среднее квадратичное отклонение;
подправленное среднее квадратичное отклонение;
размах выборки;
медиану;
моду;
квантильное отклонение;
коэффициент вариации;
коэффициент асимметрии;
эксцесс для выборки:

Выборка задана рядом 11, 9, 8, 7, 8, 11, 10, 9, 12, 7, 6, 11, 8, 7, 10, 9, 11, 8, 13, 8.

Решение:
Запишем выборку в виде вариационного ряда (в порядке возрастания):
6; 7; 7; 7; 8; 8; 8; 8; 8; 9; 9; 9; 10; 10; 11; 11; 11; 11; 12; 13.
Далее записываем статистическое распределение выборки в виде дискретного статистического распределения частот:

Эмпирическую функцию распределения определим по формуле

Здесь n_x – количество элементов выборки которые меньше х. Используя таблицу и учитывая что объем выборки равен n = 20, запишем эмпирическую функцию распределения:

Далее вычислим числовые характеристики статистического распределения выборки.
Выборочное среднее вычисляем по формуле

Выборочную дисперсию находим по формуле

Выборочное среднее, что фигурирует в формуле дисперсии в квадрате найдено выше. Остается все подставить в формулу

Подправленную дисперсию вычисляем согласно формулы

Выборочное среднее квадратичное отклонение вычисляем по формуле

Подправленное среднее квадратичное отклонение вычисляем как корень из подправленной дисперсии

Размах выборки вычисляем как разность между наибольшим и наименьшим значениями вариант, то есть:

Медиану находим по 2 формулам:
если число n — четное;
если число n — нечетное.
Здесь берем индексы в x_i согласно нумерации варианта в вариационном ряду.
В нашем случае n = 20, поэтому

Мода – это варианта которая в вариационном ряду случается чаще всего, то есть

Квантильное отклонение находят по формуле

где – первый квантиль, – третий квантиль.
Квантили получаем при разбивке вариационного ряда на 4 равные части.
Для заданного статистического распределения квантильное отклонения примет значение

Коэффициент вариации равный процентному отношению подправленного среднего квадратичного к выборочному среднему

Коэффициент асимметрии находим по формуле

Здесь центральный эмпирический момент 3-го порядка,

Подставляем в формулу коэффициента асимметрии

Эксцессом статистического распределения выборки называется число, которое вычисляют по формуле:

Здесь m₄ центральный эмпирический момент 4-го порядка. Находим момент

а далее эксцесс
Теперь Вы имеете все необходимые формулы чтобы найти числовые характеристики статистического распределения. Как найти моду, медиану и дисперсию должен знать каждый студент, который изучает теорию вероятностей.