Как найти время полета тела под углом - Avtoru.top

1. Найти время полета тела на определенной высоте

h_в — высота на восходящем участке траектории

h_н — высота на нисходящем участке траектории

t — время в момент которого тело находится на высоте h_в или h_н

V_o — начальная скорость тела

α — угол под которым брошено тело

g ≈ 9,8 м/с² — ускорение свободного падения

Формула для определения значения времени, за которое тело поднялось на определенную высоту, на восходящем участке траектории

Формула для определения значения времени, за которое тело поднялось на определенную высоту, на нисходящем участке траектории

Таким образом, одному значению высоты будет соответствовать два значения времени, одно при подъеме, второе при падении.

2. Найти время полета тела пролетевшее определенное расстояние

S — расстояние пройденное по горизонтали

t — время за которое тело прошло расстояние S

V_o — начальная скорость тела

V_x — проекция начальной скорости на ось OX

V_y — проекция начальной скорости на ось OY

α — угол под которым брошено тело

g ≈ 9,8 м/с² — ускорение свободного падения

Формула для определения значения времени, за которое пройдено определенное расстояние

3. Значение времени при максимальных значениях высоты и дальности

S_max — максимальная дальность по горизонтали

h_max — максимальная высота

t_max — время всего полета

t_h — время за которое тело поднялось на максимальную высоту

V_o — начальная скорость тела

V_x — проекция начальной скорости на ось OX

V_y — проекция начальной скорости на ось OY

α — угол под которым брошено тело

g ≈ 9,8 м/с² — ускорение свободного падения

Формула для определения значения времени, затраченное на весь полет, если известна начальная скорость или ее проекции

Формула для определения значения времени, на максимальной высоте

Т. к. траектория движения тела симметрична относительно линии максимальной высоты, следовательно — время всего полета, в два раза больше времени затраченного при подъеме на максимальную высоту

Подробности

Опубликовано: 20 июля 2015

Обновлено: 13 августа 2021

Источник

Движение тела, брошенного горизонтально или под углом к горизонту.

Это движение в плоскости, поэтому для описания движения необходимо 2 координаты.
Считаем, что движение происходит вблизи поверхности Земли, поэтому ускорение тела – ускорение свободного падения (a = g).

Так как мы пренебрегаем сопротивлением воздуха, то ускорение направлено только к поверхности Земли (g) – вдоль вертикальной оси (y), вдоль оси х движение равномерное и прямолинейное.

Движение тела, брошенного горизонтально.

Выразим проекции скорости и координаты через модули векторов.

Для того чтобы получить уравнение траектории, выразим время tиз уравнения координаты x и подставим в уравнение для y:

— между координатами квадратичная зависимость, траектория – парабола!

Движение тела, брошенного под углом к горизонту.

Порядок решения задачи аналогичен предыдущей.

Решим задачу для случая х₀=0 и y₀=0.

Движение тела, брошенного под углом к горизонту.

Докажем, что траекторией движения и в этом случае будет парабола. Для этого выразим координату Y через X (получим уравнение траектории):

Мы получили квадратичную зависимость между координатами. Значит траектория — парабола.

Найдем время полета тела от начальной точки до точки падения. В точке падения координата по вертикальной оси у=0.

Время полета:

Следовательно, для решения этой задачи необходимо решить уравнение

Оно будет иметь решение при t=0 (начало движения) и

Зная время полета, найдем максимальное расстояние, которое пролетит тело:

Дальность полета:

Из этой формулы следует, что:

— максимальная дальность полета будет наблюдаться при бросании тела (при стрельбе, например) под углом 45⁰;

— на одно и то же расстояние можно бросить тело (с одинаковой начальной скоростью) двумя способами – т.н. навесная и настильная баллистические траектории.

Используя то, что парабола – это симметричная кривая, найдем максимальную высоту, которой может достичь тело.
Время, за которое тело долетит до середины, равно:

Время подъема:

Тогда:

Максимальная высота:

Скорость тела в любой момент времени направлена по касательной к траектории движения (параболе) и равна

Угол, под которым направлен вектор скорости в любой момент времени:

Источник

Движение тела, брошенного под углом к горизонту:

Если рассмотреть движение тела, брошенного под углом относительно горизонта, можно увидеть, что тело отдаляется горизонтально от точки броска и одновременно поднимается в вертикальном направлении. Значит, тело, брошенное под углом к горизонту, участвует в двух (горизонтальном и вертикальном) видах движения. В горизонтальном направлении тело движется равномерно. В вертикальном направлении до точки максимальной высоты тело будет двигаться равнозамедленно, затем вниз будет двигаться равноускоренно (рис. 1.11).

Траектория движения тела, брошенного под углом к горизонту, имеет вид параболы. Учитывая, что в процессе полета тело одновременно двигается в горизонтальном и вертикальном направлениях, разделим начальную скорость

Для упрощения расчетов пренебрежем сопротивлением воздуха. В произвольный момент времени перемещение тела в горизонтальном направлении находим из следующего уравнения:

В произвольный момент времени t скорость тела в горизонтальном и вертикальном направлениях можно найти из следующих уравнений:

На протяжении движения тела, брошенного под углом к горизонту, горизонтальная составляющая скорости не меняется, вертикальная составляющая при подъеме является равнозамедленной и на максимальной высоте подъема равняется нулю. Значит, тело, брошенное под углом к горизонту, имеет минимальную скорость в высшей точке траектории:

Затем из этой точки тело движется как тело, брошенное горизонтально со скоростью .
Из соотношения или на максимальной высоте траектории находим время подъема:

Максимальная высота подъема тела определяется следующим соотношением:

Время движения тела вниз (падение) равно времени подъема, т.е. . Отсюда, общее время полета:

Тело, брошенное под углом к горизонту, в горизонтальном направлении движется равномерно. По этой причине длина полета тела зависит только от горизонтальной составляющей скорости. Для определения дальности полета подставим выражение времени полета в выражение и получим:

или

Из этого выражения видно, что длина полета тела, брошенного под углом к горизонту, зависит от угла броска. На рис. 1.12 приведена зависимость длины полета и высоты подъема от угла броска. Из рисунка видно, что с увеличением угла броска увеличивается высота подъема.

Длина полета тела вначале растет с ростом угла броска и достигает максимального значения при 45⁰. Затем с дальнейшим увеличением угла броска длина полета уменьшается.
Выведем уравнение траектории движения тела, брошенного под углом к горизонту. Для этого в уравнение:

подставляем выражение для времени полета из уравнения (1.29) и получаем уравнение траектории в следующем виде:

Таким образом, тело, брошенное под углом к горизонту, движется по параболе, проходящей через начало координат при . В этом уравнении коэффициент перед отрицательный, значит, ветви параболы направлены вниз.
В реальных условиях сопротивление воздуха сильно влияет на дальность полета. К примеру, снаряд, пущенный со скоростью 100 км/ч, в вакууме пролетает расстояние в 1000 м, а в воздухе 700 м. Из экспериментов следует, что при угле броска 30-40⁰ тело пролетает наибольшее расстояние.

Образец решения задачи:

Мяч брошен со скоростью 10 м/с под углом 30° к горизонту. На какую высоту поднимется мяч?
Дано:

Найти:

Формула:

Решение:

Ответ: 1,27 м.

Основные понятия, правила и законы

Научное наблюдение	Метод научного исследования системный, активный, направленный на цель.
Гипотеза	Предположение о каком-либо процессе, явлении.
Опыт (эксперимент)	Проводится для проверки гипотезы в специальных условиях.
Модель	Упрощенная версия физического процесса, сохраняющая его главные черты.
Научная идеализация	Предсказание получаемого результата в идеальных условиях по ранее полученным результатам.
Научная теория	Набор законов, объясняющий широкую область явлений.
Принцип соответствия	В определенных рамках соответствие новой и старой теорий.
Криволинейное равномерное движение	Движение, траектория которого представляет собой кривую линию, величина скорости не меняется, а направление изменяется по касательной к траектории.
Принцип независимости или суперпозиция движения	Движения, в которых участвует тело, независимы друг от друга, и скорости (ускорение) их движения не зависят друг от друга.
Вертикальное движение вверх	Движение, противоположное силе притяжения Земли. Уравнение движения: .
Вертикальное движение вниз	Движение в направлении силы притяжения Земли. Уравнение движения: .
Переменное вращательное движение	Вращательное движение, при котором с течением времени меняется угловая скорость.
Угловое ускорение	Величина, определяемая отношением изменения угловой скорости ко времени этого изменения
Формула определения угловой скорости в произвольный момент времени при вращательном равнопеременном движении
Тангенциальное ускорение	Ускорение, получаемое в связи с изменением величины скорости .
Полное ускорение при криволинейном движении
Передача движения фрикционным способом	Движение, передаваемое с помощью действующих поверхностей двух колес с разными радиусами.
Ременная передача движения	Движение передается от одного колеса к другому через туго натянутый ремень.
Передача движения через зубчатые колеса	Передача вращательного движения путем объединения двух зубчатых колес с разными диаметрами.
Дальность полета и скорость при падении горизонтально брошенного тела.
Минимальная скорость тела, брошенного под углом к горизонту
Высота подъема тела, брошенного под углом к горизонту
Время полета тела, брошенного под углом к горизонту
Дальность полета тела, брошенного под углом к горизонту
Уравнение траектории движения тела, брошенного горизонтально
Уравнение траектории движения тела, брошенного под углом к горизонту

Принцип относительности Галилея
Движение в гравитационном поле
Зависимость веса тела от вида движения
Движение тел под воздействием нескольких сил
Неравномерное движение по окружности
Равномерное движение по окружности
Взаимная передача вращательного и поступательного движения
Движение горизонтально брошенного тела

Источник

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, — движение тела в двумерной системе координат (по двум осям) при изначальном направлении начальной скорости под углом к горизонту. Данное движение является сложным видом механического движения с криволинейной траекторией. Такие типы движений принято рассматривать в проекции на оси выбранной системы координат. В нашем конкретном случае возьмём декартову систему координат и запустим тело под углом displaystyle alpha к оси ОХ (рис. 1).

Рис. 1. Тело бросили под углом к горизонту

Классическая постановка задач на подобную тематику: тело бросили под углом $displaystyle {{upsilon }_{0}}$ к горизонту с начальной скоростью $displaystyle {{upsilon }_{0}}$ , найти различные параметры движения.

Первое, что мы сделаем, это попробуем данное сложное движение представить как сумму простых (рис. 2).

Рис. 2. Тело бросили под углом к горизонту (максимальная высота подъёма, путь по горизонтали, движение)

Рассмотрим само движение. После броска траектория движущегося тела представляет собой параболу (докажем позже). Выберем произвольную точку на параболе и укажем ускорение, с которым движется тело в данный момент (ускорение свободного падения). Направление данного ускорения — вертикально вниз. Проекции данного ускорения на ось ОХ ( $displaystyle {{c}^{2}}$ (м/ $displaystyle {{g}_{y}}=-10$ ), а на ось OY ( $displaystyle {{c}^{2}}$ (м/ $displaystyle {{c}^{2}}$ ).

Тогда, вдоль оси ОХ, тело движется равномерно (т.к. ускорение вдоль этой оси равно 0). Более сложным является движение тела вдоль оси OY: между точками A и B тело движется замедляясь, при этом движение равнозамедленное. Между точками B и C движение равноускоренное (рис.2, подписи). Исходя из установленного вида движения, можем решать задачу.

Рис. 3. Тело бросили под углом к горизонту (проекции скоростей)

Для рассмотрения движения тела вдоль осей, введём начальные скорости движения тела вдоль выбранных нами осей (рис. 3). На рисунке представлена часть траектории в самом начале движения. Начальные скорости движения вдоль осей обозначим $displaystyle {{upsilon }_{0y}}$ и $displaystyle left| {{{vec{upsilon }}}_{0}} right|$ . Исходя из треугольника, катетами которого являются наши проекции (можно построить параллельным переносом), а гипотенузой — модуль вектора начальной скорости ( $displaystyle left| {{{vec{upsilon }}}_{0}} right|$ ), можем найти значения необходимых нам проекций:

Вернёмся к рисунку 2. Попробуем найти полное время полёта ( $displaystyle {{t}_{max }}$ ). Для этого воспользуемся тем, что вдоль оси OY тело движется равнозамедленно, а в точке B движение вдоль этой оси и вовсе останавливается. Таким образом, конечная скорость в этой точке вдоль оси OY равна 0. Тогда, исходя из движения:

$displaystyle 0={{upsilon }_{0y}}-gfrac{{{t}_{max }}}{2}$ (3)

$displaystyle frac{{{t}_{max }}}{2}$ — т.к. время движения от точки А до B, и от B до C одинаково. Тогда:

$displaystyle {{t}_{max }}=frac{2{{upsilon }_{0y}}}{g}$ (4)

И, учитывая (2):

$displaystyle {{t}_{max }}=frac{2{{upsilon }_{0}}sin alpha }{g}$ (5)

Перейдём к вопросу о максимальной дальности броска в горизонтальном направлении ( $displaystyle {{S}_{max }}$ ).

Вдоль горизонта тело движется равномерно (рис. 2). Тогда путь, проделанный телом за время $displaystyle {{t}_{max }}$ :

$displaystyle {{S}_{max }}={{upsilon }_{0x}}{{t}_{max }}$ (6)

А с учётом (1) и (5):

$displaystyle frac{2upsilon _{0}^{2}sin alpha cos alpha }{g}$ = $displaystyle frac{upsilon _{0}^{2}sin (2alpha )}{g}$ = $displaystyle frac{upsilon _{0}^{2}sin (2alpha )}{g}$ (7)

Перейдём к максимальной высоте полёта ( $displaystyle {{H}_{max }}$ ). Данный параметр связан с движением тела вдоль оси OY, которое, как мы выяснили, является равноускоренным/равнозамедленным. Рассмотрим участок BC: для него вдоль соответствующей оси тело без начальной скорости движется с ускорением ( $displaystyle frac{{{t}_{max }}}{2}$ ) в течение времени $displaystyle frac{{{t}_{max }}}{2}$ , формируем уравнение:

$displaystyle {{H}_{max }}=frac{g{{left( {}^{{{t}_{max }}}!!diagup!!{}_{2}; right)}^{2}}}{2}=frac{g{{left( {{t}_{max }} right)}^{2}}}{8}$ (8)

С учётом (5):

$displaystyle frac{upsilon _{0}^{2}{{sin }^{2}}alpha }{2g}$ = $displaystyle frac{upsilon _{0}^{2}{{sin }^{2}}alpha }{2g}$ (9)

Таким образом, ряд параметров движения при броске под углом к горизонту можно вычислить, зная лишь начальные параметры броска.

Рис. 4. Тело бросили под углом к горизонту (конечная скорость)

Далее попробуем найти конечную скорость движения (при таких движениях, конечная скорость — скорость при подлёте к Земле). Рассмотрим конечную точку движения С (рис. 4). Скорость тела направлена под неким углом displaystyle beta . Построим проекции данного вектора на оси OX и OY. На основании построенного треугольника реализуем теорему Пифагора для поиска модуля полной конечной скорости:

$displaystyle left| {vec{upsilon }} right|=sqrt{upsilon _{x}^{2}+upsilon _{y}^{2}}$ (10)

Найдём компоненты вектора displaystyle left| {vec{upsilon }} right| . Т.к. движение вдоль оси OX равномерное, значит, $displaystyle {{upsilon }_{x}}={{upsilon }_{0x}}$ , используя (1):

$displaystyle {{upsilon }_{x}}={{upsilon }_{0}}cos alpha$ (11)

Движение вдоль оси OY от точки B в точку C равноускоренное, причём, без начальной скорости за время $displaystyle frac{{{t}_{max }}}{2}$ , тогда:

$displaystyle {{upsilon }_{y}}=gfrac{{{t}_{max }}}{2}$ (12)

Используя (5), получим:

$displaystyle {{upsilon }_{y}}=gfrac{2{{upsilon }_{0}}sin alpha }{2g}={{upsilon }_{0}}sin alpha$ (13)

Подставим (12) и (13) в (10):

$displaystyle {{upsilon }_{0}}sqrt{{{(cos alpha )}^{2}}+{{(sin alpha )}^{2}}}$ = $displaystyle {{upsilon }_{0}}$ = $displaystyle {{upsilon }_{0}}$ (14)

Для избавления от тригонометрических функций мы воспользовались основным тригонометрическим тождеством. Таким образом, доказано, что конечная скорость такого движения равна начальной, кроме того, из треугольника видно, что тело подлетело к земле под углом displaystyle beta =alpha .

Вывод:

для движения тела, брошенного под углом к горизонту, выведены добавочные формулы: (5), (7), (9), которые могут существенно упростить решение задачи.
представлен один из общих способов нахождения скорости при криволинейном движении (через теорему Пифагора и поиск компонент вектора).

Источник

Что такое движение тела брошенного под углом к горизонту

Определение

Движением тела под углом к горизонту в физике называют сложное криволинейное перемещение, которое состоит из двух независимых движений, включая равномерное прямолинейное движение в горизонтальном направлении и свободное падение по вертикали.

В процессе подбрасывания объекта вверх под углом к горизонту вначале наблюдают его равнозамедленный подъем, а затем равноускоренное падение. Скорость перемещения тела, относительно поверхности земли, остается постоянной.

Направление

На графике изображено схематичное движение тела, которое подбросили под углом к горизонту. В этом случае α является углом, под которым объект начал свое перемещение. Характеристики такого процесса будут следующими:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Направление вектора скорости тела, которое подбросили под определенным углом к горизонту, будет совпадать с касательной к траектории его перемещения.
Начальная скорость отличается от направления горизонтальной линии, а обе ее проекции не равны нулю.
Проекция скорости в начале движения на ось ОХ составляет (V_{ox}=V_{0}cos alpha).
Проекция начальной скорости на ось ОУ равна (V_{oy}=V_{0}sin alpha).
Проекция мгновенной скорости на ось ОХ следующая: (V_{x}=V_{0}cos alpha).
Проекция мгновенной скорости на ось ОУ обладает нулевым значением и рассчитывается следующим образом: (V_{x}=V_{0}sin alpha-gt).
Ускорение свободного падения на ось ОХ обладает нулевой проекцией, или (g_{x}=0).
Проекция ускорения свободного падения на ось ОУ равна (–g), или (g_{y}=-g).

К числу кинематических характеристик движения тела, которое подбросили под углом к горизонту, относят модуль мгновенной скорости в определенное время t. Данный показатель можно рассчитать с помощью теоремы Пифагора:

(V=sqrt{V^{2}_{x}+V^{2}_{y}})

Минимальная скорость тела будет замечена в самой верхней точке траектории, а максимальная величина данной характеристики будет достигнута, когда объект только начинает перемещаться, а также в точке падения на поверхность земли. Время подъема представляет собой время, необходимое для достижения телом верхней точки траектории. За полное время объект совершает полет, то есть перемещается от начальной точки к точке приземления.

Дальность полета является перемещением объекта по отношению к оси ОХ. Такую кинематическую характеристику обозначают буквой l. По отношению к оси ОХ тело перемещается, сохраняя постоянство скорости.

Определение

Горизонтальным смещением тела называют смещение данного объекта, относительно оси ОХ.

Расчет горизонтального смещения тела в какой-либо момент времени t выполняют с помощью уравнения координаты х:

(x=x_{0}+V_{0x}t+frac{gxt^{2}}{2})

Зная следующие условия:

(x_{0}=0);
проекция ускорения свободного падения, относительно оси ОХ, также имеет нулевое значение;
проекция начальной скорости на ось ОХ составляет (V_{0}cos alpha).

Записанная формула приобретает следующий вид:

(x=V_{0}cos alpha t)

Мгновенной высотой принято считать высоту, на которой находится объект в определенный момент времени t. Наибольшей высотой подъема является расстояние от поверхности земли до верхней точки траектории движения тела под углом к горизонту.

Вывод формулы, как найти угол и дальность полета

Перемещение объекта, который был брошен под углом к горизонту, необходимо изобразить с помощью суперпозиций, характерных для двух типов движений:

равномерное горизонтальное движение;
равноускоренное перемещение в вертикальном направлении с ускорением свободного падения.

Движение тела

Скорость тела будет рассчитываться таким образом:

(v_{0x}=v_{x}=v_{0} cos alpha =const)

(v_{0y}=v_{0}sin alpha)

(v_{y}=v_{0}sin alpha-gt)

Уравнение координаты записывают в следующем виде:

(x=v_{0}cos alpha times t)

(y=v_{0}sin alpha times t-frac{gt^{2}}{2})

В любое время значения скорости тела будут равны:

(v=sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}})

Определить угол между вектором скорости и осью ОХ можно таким образом:

(tan beta =frac{v_{y}}{v_{x}}=frac{v_{0}sin alpha -gt}{v_{0}cos alpha })

Время подъема на максимальную высоту составляет:

(t=frac{v_{0}sin alpha }{g})

Максимальная высота подъема будет рассчитана следующим образом:

(h_{max}=frac{v_{0}^{2}sin ^{2}alpha}{2g})

Полет тела будет длиться определенное время, которое можно рассчитать с помощью формулы:

(t=frac{2v_{0}sin alpha }{g})

Максимальная дальность полета составит:

(L_{max}=frac{v_{0}^{2}sin 2alpha }{g})

Примеры решения задач

В примерах, описывающих движение тела, на которое действует сила тяжести, следует учитывать, что а=g=9,8 м/с².

Задача 1

Небольшой камень был брошен с ровной горизонтальной поверхности под углом к горизонту. Необходимо определить, какова максимальная высота подъема камня при условии, что, спустя 1 секунду после его начала движения, скорость тела обладала горизонтальным направлением.

Решение

Направление скорости будет горизонтальным в верхней точке перемещения камня. Таким образом, время, за которое он поднимется, составляет 1 секунду. С помощью уравнения времени подъема можно представить формулу произведения скорости в начале полета на синус угла, под которым бросили камень:

(V_{0}sin alpha =gt)

Данное равенство следует подставить в уравнение для расчета максимальной высоты, на которую поднимется камень, и выполнить вычисления:

(h=frac{V_{0}sin ^{2}alpha }{2g}=frac{(gt)^{2}}{2g}=frac{gt^{2}}{2}=frac{10times 1}{2}=5)

Ответ: максимальная высота подъема камня, который бросили под углом к горизонту, составляет 5 метров.

Задача 2

Из орудия выпустили снаряд, начальная скорость которого составляет 490 м/с, под углом 30 градусов к горизонту. Нужно рассчитать, какова высота, дальность и время полета снаряда без учета его вращения и сопротивления воздуха.

Решение

Систему координат и движение тела можно представить схематично:

Задача

Составляющие скорости, относительно осей ОХ и ОУ, будут совпадать во время начала движения снаряда:

(V_{0x}=V_{0} cos alpha) сохраняет стабильность значения в любой промежуток времени во время всего перемещения тела.

(V_{0y}=V_{0}sin alpha) будет меняться, согласно формуле равнопеременного движения (V_{y}=V_{0}sin alpha-gt).

В максимальной точке, на которую поднимется снаряд:

(V_{y}=V_{0}sin alpha-gt_{1}=0)

Из этого равенства следует:

(t=frac{V_{0sin alpha }}{g})

Полное время полета тела будет рассчитано по формуле:

(t=2t_{1}=frac{2V_{0}sin alpha }{g}=50)

Высота, на которую поднимется снаряд, определяется с помощью уравнения равнозамедленного перемещения тела:

(h=V_{0y}t_{1}-frac{gt_{1}^{2}}{2}=frac{V_{0}^{2}sin ^{2}alpha }{2g}=3060)

Дальность полета снаряда будет рассчитана таким образом:

(S=V_{0x}t=frac{V_{0}^{2}sin 2alpha }{g}=21000)

Ответ: высота составляет 3060 метров, дальность полета равна 21000 метров, время движения составит 50 секунд.

Источник

Основные понятия, правила и законы

Что такое движение тела брошенного под углом к горизонту

Вывод формулы, как найти угол и дальность полета

Примеры решения задач

Не пропустите также: