Умножение вектора на число
Навигация по странице:
- Геометрическая интерпретация умножения вектора на число.
- Алгебраическая интерпретация умножения вектора на число.
- Формулы умножения вектора на число
- для плоских задач
- для пространственных задач
- для n -мерного вектора
- Свойства вектора умноженного на число
- Примеры задач на умножение вектора и числа
- плоская задача
- пространственных задача
Геометрическая интерпретация.
Произведение ненулевого вектора на число — это вектор, коллинеарный данному (сонаправленный данному, если число положительное, имеющий противоположное направление, если число отрицательное), а его модуль равен модулю данного вектора, умноженному на модуль числа.
Алгебраическая интерпретация. Произведение ненулевого вектора на число — это вектор, координаты которого равны соответствующим координатам данного вектора, умноженным на число.
Формулы умножения вектора на число
Формула умножения вектора на число для плоских задач
В случае плоской задачи произведение вектора a = {ax ; ay} и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой:
k · a = {k · ax ; k · ay}
Формула умножения вектора на число для пространственных задач
В случае пространственной задачи произведение вектора a = {ax ; ay ; az} и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой:
k · a = {k · ax ; k · ay ; k · az}
Формула умножения n -мерного вектора
В случае n-мерного пространства произведение вектора a = {a1 ; a2; … ; an} и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой:
k · a = {k · a1; k · a2; … ; k · an}
Свойства вектора умноженного на число
Если вектор b равен произведению ненулевого числа k и ненулевого вектора a, то есть b = k · a, тогда:
-
b || a — вектора b и a параллельны
-
a↑↑b, если k > 0 — вектора b и a сонаправленные, если число k > 0
-
a↑↓b, если k < 0 — вектора b и a противоположно направленные, если число k < 0
-
|b| = |k| · |a| — модуль вектора b равен модулю вектора a умноженному на модуль числа k
Примеры задач на умножение вектора и числа
Пример умножения вектора на число для плоских задачи
Пример 1. Найти произведение вектора a = {1; 2} на 3.
Решение: 3 · a = {3 · 1; 3 · 2} = {3; 6}.
Пример умножения вектора на число для пространственных задачи
Пример 2. Найти произведение вектора a = {1; 2; -5} на -2.
Решение: (-2) · a = {(-2) · 1; (-2) · 2; (-2) · (-5)} = {-2; -4; 10}.
В данной публикации мы рассмотрим, каким образом вектор можно умножить на число (геометрическая интерпретация и алгебраическая формула). Также перечислим свойства этого действия и разберем примеры задач.
- Геометрическая интерпретация произведения
- Формула умножения вектора на число
- Свойства произведения вектора и числа
- Примеры задач
Геометрическая интерпретация произведения
Если вектор a умножить на число m, то получится вектор b, при этом:
- b || a
- |b| = |m| · |a|
- b ↑↑ a, если m > 0, b ↑↓ a, если m < 0
Таким образом, произведением ненулевого вектора на число является вектор:
- коллинеарный исходному;
- сонаправленный (если число больше нуля) или имеющий противоположное направление (если число меньше нуля);
- Длина равняется длине иходного вектора, умноженной на модуль числа.
Формула умножения вектора на число
Произведение ненулевого вектора на число – это вектор, координаты которого равняются соответствующим координатам исходного вектора, умноженным на заданное число.
| Для плоских задач | a · m = {ax · m; ay · m} |
| Для трехмерных задач | a · m = {ax · m; ay · m; az · m} |
| Для n-мерных векторов | a · m = {a1 · m; a2 · m; … an · m} |
Свойства произведения вектора и числа
Для любых произвольных векторов и чисел:
- (m ± n) · a = m · a ± n · a
- m · (a ± b) = m · a ± m · b
- m · (n · a) = (m · n) · a = n · (m · a)
- 1 · a = a
- 0 · a = 0
Примеры задач
Задание 1
Найдем произведение вектора a = {5; 11} и числа 4.
Решение:
4 · a = {4 · 5; 4 · 11} = {20; 44}
Задание 2
Умножим вектор b = {2; -4; 7} на число -6.
Решение:
-6 · b = {(-6) · 2; (-6) · (-4); (-6) · 7} = {-12; 24; -42}.
Произведением вектора
a→
на число (k) (
k≠0
) называется вектор
b→
, модуль которого равен
b→=k⋅a→
, при этом:
— векторы
a→
и
b→
сонаправлены, если (k > 0);
— векторы
a→
и
b→
противоположно направлены, если (k < 0).
При умножении вектора на число данный вектор и результат коллинеарны.
Справедливо следующее суждение:
два ненулевых вектора
a→
и
b→
коллинеарны тогда и только тогда, когда существует такое число (k), при котором выполняется равенство
a→=k⋅b→
.
Обрати внимание!
Если умножить вектор на число (1), получим равные векторы.
Если умножить вектор на число (-1), получим противоположные векторы.
Умножаем вектор на число
Вектор можно умножать на число (скалярную величину).
Что получится в результате? Легко запомнить так:
[ large boxed { text{вектор} cdot text{число} = text{вектор} } ]
То есть, умножив вектор на число, получим новый вектор.
Как умножить вектор на число
Умножая вектор на число, изменяем его длину.
Как изменится длина вектора
Длина вектора увеличивается, когда число превышает единицу (по модулю).
Если же, число меньше единицы (по модулю), длина вектора уменьшается.
Когда:
— число положительное, результат сонаправлен с начальным вектором.
— число отрицательное, результат развернется в противоположную сторону.
Рис. 1. Вектор и результаты умножения его на числа 2,5; -2,5; и 0,5; -0,5
Примечание:
Операция умножения вектора на число не поворачивает вектор на какой-либо угол относительно начального положения. То есть, начальный и конечный векторы останутся параллельными.
Когда известны координаты вектора
Зная координаты вектора, умножить его на число можно умножением каждой координаты на это число.
( vec{a} = { a_{x}; a_{y}} ) — координаты вектора ( vec{a})
[ large boxed { k cdot vec{a} = { k cdot a_{x}; k cdot a_{y} } }]
Пример из физики
Одним из примеров умножения вектора на число в физике может служить второй закон Ньютона.
Домножив обе части закона Ньютона на массу тела, получим формулу
[ m cdot vec{a} = vec{F} ]
Умножив массу этого тела – скаляр ( m ), на ускорение тела – вектор ( vec{a} ), мы получим новый вектор ( m cdot vec{a} ). Этот вектор обозначим символом ( vec{F} ) и назовем силой.
Сила, действующая на тело, придает ему ускорение.
Рис. 2. Вектор ускорения a и результат умножения его на число m
Формула ( m cdot vec{a} = vec{F} ) записана в векторном виде. Такая запись означает, что речь идет не только о модулях (длинах) векторов. Векторный вид позволяет передать информацию направлении вектора.
Как отмечено выше, мы не можем повернуть вектор на какой-либо угол относительно начального положения, умножая его на число. После умножения изменится лишь длина вектора.
Значит, векторы ( vec{F} ) и ( vec{a} ) сонаправлены, но имеют различную длину. Длина векторов отличается в ( m ) раз.
Оценка статьи:
Загрузка…
Умножение вектора на число
Сергей Евгеньевич Грамотинский
Эксперт по предмету «Математика»
Задать вопрос автору статьи
Откладывание вектора от данной точки
Для того чтобы ввести понятие умножения вектора на число, сначала необходимо разобраться в таком понятии, как откладывание вектора от данной точки.
Определение 1
Если точка $A$ начала какого-либо вектора $overrightarrow{a}$, то говорят, что вектор $overrightarrow{a}$ отложен от точки $A$ (рис. 1).
Рисунок 1. $overrightarrow{a}$ отложенный от точки $A$
Введем следующую теорему:
От любой точки $K$ можно отложить вектор $overrightarrow{a}$ и притом только один.
Доказательство.
Существование: Здесь нужно рассмотреть два случая:
-
Вектор $overrightarrow{a}$ — нулевой.
В этом случае, очевидно, что искомый вектор — вектор $overrightarrow{KK}$.
-
Вектор $overrightarrow{a}$ — ненулевой.
Обозначим точкой $A$ начало вектора $overrightarrow{a}$, а точкой $B$ — конец вектора $overrightarrow{a}$. Проведем через точку $K$ прямую $b$ параллельную вектору $overrightarrow{a}$. Отложим на этой прямой отрезки $left|KLright|=|AB|$ и $left|KMright|=|AB|$. Рассмотрим векторы $overrightarrow{KL}$ и $overrightarrow{KM}$. Из этих двух векторов искомым будет тот, который будет сонаправлен с вектором $overrightarrow{a}$ (рис. 2)
Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1
Единственность: единственность сразу следует из построения, проведенного в пункте «существование».
Теорема доказана.
Умножение вектора на число
Пусть нам дан вектор $overrightarrow{a }$ и действительное число $k$.
Определение 2
Произведением вектора $overrightarrow{a }$ на действительное число $k$ называется вектор $overrightarrow{b }$ удовлетворяющий следующим условиям:
-
Длина вектора $overrightarrow{b }$ равна $left|overrightarrow{b }right|=left|kright||overrightarrow{a }|$;
-
Векторы $overrightarrow{a }$ и $overrightarrow{b }$ сонаправлены, при $kge 0$ и противоположно направлены, если $k
Обозначение: $ overrightarrow{b }=koverrightarrow{a }$.
Замечание 1
Отметим, что в результате произведения вектора на число всегда получается векторная величина.
Свойства произведения вектора на число
-
Произведение любого вектора с числом ноль равняется нулевому вектору.
Доказательство.
По определению 2, имеем $left|overrightarrow{b }right|=left|kright|left|overrightarrow{a }right|=0cdot left|overrightarrow{a }right|=0$, следовательно,$overrightarrow{b }=koverrightarrow{a }=overrightarrow{0}$
-
Для любого вектора $overrightarrow{a }$ и любого действительного числа $k$ векторы $overrightarrow{a }$ и $koverrightarrow{a }$ коллинеарны.
Доказательство.
Так как по определению 2, векторы $overrightarrow{a }$ и $koverrightarrow{a }$ сонаправлены или противоположно направлены (в зависимости от значения $k$), то они будут коллинеарны.
-
Для любых действительных чисел $m$ и $n$ и вектора $overrightarrow{a }$ справедлив сочетательный закон:
[left(mnright)overrightarrow{a }=m(noverrightarrow{a })]
Доказательство этого закона иллюстрирует рисунок 3.
Рисунок 3. Сочетательный закон
-
Для любых действительных чисел $m$ и $n$ и вектора $overrightarrow{a }$ справедлив первый распределительный закон:
[left(m+nright)overrightarrow{a }=moverrightarrow{a }+noverrightarrow{a }]
Доказательство этого закона иллюстрирует рисунок 4.
Рисунок 4. Первый распределительный закон
-
Для любого действительного числа $m$ и векторов $overrightarrow{a }$ и $overrightarrow{b }$ справедлив второй распределительный закон:
[mleft(overrightarrow{a }+overrightarrow{b}right)=moverrightarrow{a }+moverrightarrow{b }]
Доказательство этого закона иллюстрирует рисунок 5.
Рисунок 5. Второй распределительный закон
«Умножение вектора на число» 👇
Пример задачи на использование понятия произведения вектора на число
Пример 1
Пусть $overrightarrow{x}=overrightarrow{a }+overrightarrow{b}$, $overrightarrow{y}=overrightarrow{a }-overrightarrow{b}$. Найти векторы:
-
$2overrightarrow{x}+2overrightarrow{y}$
-
$overrightarrow{x}+frac{1}{2}overrightarrow{y}$
-
$-overrightarrow{y}-overrightarrow{x}$
Решение.
-
$2overrightarrow{x}+2overrightarrow{y}=2left(overrightarrow{a }+overrightarrow{b}right)+2left(overrightarrow{a }-overrightarrow{b}right)=2overrightarrow{a }+2overrightarrow{b}+2overrightarrow{a }-2overrightarrow{b}=4overrightarrow{a }$
-
$overrightarrow{x}+frac{1}{2}overrightarrow{y}=overrightarrow{a }+overrightarrow{b}+frac{1}{2}left(overrightarrow{a }-overrightarrow{b}right)=overrightarrow{a }+overrightarrow{b}+frac{1}{2}overrightarrow{a }-frac{1}{2}overrightarrow{b}=frac{3}{2}overrightarrow{a }+frac{1}{2}overrightarrow{b}=frac{3overrightarrow{a }+overrightarrow{b}}{2}$
-
$-overrightarrow{y}-overrightarrow{x}=-left(overrightarrow{a }-overrightarrow{b}right)-left(overrightarrow{a }+overrightarrow{b}right)=-overrightarrow{a }+overrightarrow{b}-overrightarrow{a }-overrightarrow{b}=-2overrightarrow{a }$
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Дата последнего обновления статьи: 01.04.2023