Содержание:
- Формула
- Примеры нахождения разности векторов
Формула
Чтобы найти разность векторов $bar{a}-bar{b}$, заданных на плоскости координатами $bar{a}=left(a_{x} ; a_{y}right)$ и $bar{b}=left(b_{x} ; b_{y}right)$, необходимо вычесть из
координат первого вектора соответствующие
координаты второго, то есть
$$bar{a}-bar{b}=left(a_{x}-b_{x} ; a_{y}-b_{y}right)$$
В случае если векторы заданы в пространстве, то есть $bar{a}=left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}right)$ и $bar{b}=left(b_{x} ; b_{y} ; b_{z}right)$, то их разность равна
$$bar{a}-bar{b}=left(a_{x}-b_{x} ; a_{y}-b_{y} ; a_{z}-b_{z}right)$$
Примеры нахождения разности векторов
Пример
Задание. Найти разность векторов $bar{a}-bar{b}$, где
$bar{a}=(3 ; 0)$ и $bar{b}=(1 ; 2)$
Решение. Для нахождения разности векторов
$bar{a}$ и
$bar{b}$, вычтем их соответствующие координаты:
$$bar{a}-bar{b}=(3 ; 0)-(1 ; 2)=(3-1 ; 0-2)=(2 ;-2)$$
Ответ. $bar{a}-bar{b}=(2 ;-2)$
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Найти разность векторов
$bar{a}-bar{b}-bar{c}$, заданных в трехмерном пространстве своими координатами $bar{a}=(2 ;-3 ; 1), bar{b}=(1 ; 0 ;-2)$ и $bar{c}=(-1 ; 2 ; 3)$
Решение. Для нахождения искомой разности векторов вычтем их соответствующие координаты:
$$begin{aligned} bar{a}-bar{b}-bar{c}=(2 ;-3 ; 1)-(1 ; 0 ;-2)-(-1 ; 2 ; 3)=& \=(2-1-(-1) ;-3-0-2 ; 1-(-2)-3)=(2 ;-5 ; 0) end{aligned}$$
Ответ. $begin{aligned} bar{a}-bar{b}-bar{c}=(2 ;-5 ; 0) end{aligned}$
Читать дальше: как найти проекцию вектора.
Для того, чтобы уяснить, что собой представляет разность векторов, введём понятие откладывания вектора от определённой точки и понятие суммы векторов.
Определение
Если некоторая точка A является началом вектора a, то говорят, что он является отложенным от точки A.
Теорема. От каждой точки можно отложить только один вектор, имеющий заданный модуль и направление. Докажем эту теорему.
Доказательство:
В случае, когда вектор нулевой, то теорема очевидна. Нулевые вектора в одной и той же точки совпадают между собой, т. е. являются одним и тем же вектором.
Сделаем построение. Точкой A обозначим начало вектора a, а точкой B его конец. Пусть у нас имеется некоторая точка K. Проведём через неё прямую b, которая параллельна вектору a. Отложим на данной прямой равные по своей абсолютной величине вектору a отрезки KL и KM. Из векторов, образованных этими отрезками искомым можно назвать только сонаправленный с a.
Единственность нашего вектора следует из того, что мы построили и видим.
Теорема доказана.
Определение
Суммой векторов a и b называется вектор с тем же началом, что вектор a и концом, как у вектора b. При этом вектор b должен начинаться в той же самой точке, в которой заканчивается вектор a.
Равные векторы, начинающиеся в разных точках, нередко обозначают одной и той же буквой. Иногда про подобные векторы говорят, как об одном и том же векторе, отложенном из разных мест.
Разность векторов
Определение
Разностью векторов a и b называется сумма вектора a c вектором, который противоположно направлен к вектору b.
По-другому это определение можно сформулировать следующим образом: разностью двух векторов a и b называется вектор c, который при сложении с вычитаемым b образует уменьшаемое, т. е. вектор a.
Формулами это записывается так:
b + c = a
a – b = c
Как найти разность векторов аналитическим способом
В двухмерном пространстве векторов a {x1, y1} и b {x2, y₂} разность векторов можно вычислить, как показано ниже:
c {x3, y3} = {x₁ — x2, y1 — y₂}.
Вычитание векторов в 3-мерном пространстве выглядит следующим образом:
c {x3; y3; z₃} = {x₁ — x2, y₂ — y₂, z1 — z2}.
Как найти разность векторов графическим способом
Нужно воспользоваться правилом треугольника. Последовательность действий следующая:
- Постройте по координатам векторы, для которых требуется найти разность;
- Совместите концы построенных векторов. Для этого нужно построить два равных заданным направленных отрезка, концы у которых будут в одной и той же точке;
- Соедините начала построенных отрезков и укажите их направление. Вектор c, называемый разностью векторов, будет иметь своё начало в той же точке, где начинается вектор, именуемый уменьшаемым и заканчивается в точке начала вычитаемого. Смотрите рисунок ниже.
Есть ещё один способ графического нахождения разности векторов. Он предусматривает следующий порядок действий:
- Постройте исходные направленные отрезки;
- Отразите вычитаемый отрезок. Для этого постройте противоположно направленный и равный ему отрезок и затем совместите начало этого отрезка с уменьшаемым;
- Постройте сумму, т. е. соедините начало первого отрезка и конец второго.
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Примеры вычисления разности векторов
Примеры
Вычислить вектор c, который представляет собой разность вектора a ={1;
2} и вектора b = {4; 8}.
Решение:
Действуем по выше указанному правилу
a — b = {1 — 4; 2 — 8} = {-3; -6}
Ответ: с{-3; -6}.
Вычислить вектор c, который является разностью векторов a = {1; 2; 5} и
b = {4; 8; 1}.
Решение:
Почти всё делается, как в уже рассмотренном примере, только добавляется третья координата.
a — b = {1 — 4; 2 — 8; 5 — 1} = {-3; -6; 4}
Ответ: c {-3; -6; 4}.
На рисунке векторы
Требуется построить разности: p — n, m —
n,m — n — p и найти ту из них, которая
имеет наименьший модуль.
Решение:
Для изображения p — n проще всего воспользоваться правилом треугольника. Параллельным переносом
отрезки
следует соединить таким образом, чтобы совпали их конечные точки. Далее нужно соединить начальные точки и
определить направление. В нашем случае вектор разности берёт своё начало там же, где и вычитаемый n.
Для изображения m — n правильнее будет воспользоваться вторым графическим способом нахождения разности
векторов. Сначала построим вектор противоположный n и найдём его суммы с вектором m.
Для нахождения разности m — n — p разобьём это выражение на два действия. Возможны следующие варианты:
- m — (n + p). Сначала нужно построить сумму,
затем уже вычесть её из m; - (m — n) — p. Сначала находим m — n,
осле этого от полученной разности отнимаем p; - (m— p) — n. Сначала определяем m — p, затем от
полученного результата отнимаем n.
Из вычислений выше нам известна разность m — n. Для получения решения нам нужно вычесть из неё
p.
Используя определение 3 построим разность векторов на рисунке. На нём изображён окончательный результат
и промежуточный.
Теперь нужно определить наименьший модуль. В нашем случае для этого можно лишь визуально оценить длины p — n,
m — n и m — n — p. Из построения сразу видно, что наименьшим модулем обладает вектор разности m — n —
p.
Эксперт по предмету «Математика»
Задать вопрос автору статьи
Откладывание вектора от данной точки
Для того, чтобы ввести разность векторов, сначала необходимо разобраться в таком понятии, как откладывание вектора от данной точки.
Определение 1
Если точка $A$ начала какого-либо вектора $overrightarrow{a}$, то говорят, что вектор $overrightarrow{a}$ отложен от точки $A$ (рис. 1).
Рисунок 1. $overrightarrow{a}$ отложенный от точки $A$
Введем следующую теорему:
От любой точки $K$ можно отложить вектор $overrightarrow{a}$ и притом только один.
Доказательство.
Существование: Здесь нужно рассмотреть два случая:
-
Вектор $overrightarrow{a}$ — нулевой.
В этом случае, очевидно, что искомый вектор — вектор $overrightarrow{KK}$.
-
Вектор $overrightarrow{a}$ — ненулевой.
Обозначим точкой $A$ — начало вектора $overrightarrow{a}$, а точкой $B$ — конец вектора $overrightarrow{a}$. Проведем через точку $K$ прямую $b$ параллельную вектору $overrightarrow{a}$. Отложим на этой прямой отрезки $left|KLright|=|AB|$ и $left|KMright|=|AB|$. Рассмотрим векторы $overrightarrow{KL}$ и $overrightarrow{KM}$. Из этих двух векторов искомым будет тот, который будет сонаправлен с вектором $overrightarrow{a}$ (рис. 2)
Сдай на права пока
учишься в ВУЗе
Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!
Получить скидку 3 000 ₽
Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1
Единственность: единственность сразу следует из построения, проведенного в пункте «существование».
Теорема доказана.
Вычитание векторов. Правило первое
Пусть нам даны векторы $overrightarrow{a}$ и $overrightarrow{b}$.
Определение 2
Разностью двух векторов $overrightarrow{a}$ и $overrightarrow{b}$ называется такой вектор $overrightarrow{c}$, который при сложении с вектором $overrightarrow{b}$ дает вектор $overrightarrow{a}$, то есть
[overrightarrow{b}+overrightarrow{c}=overrightarrow{a}]
Обозначение: $overrightarrow{a}-overrightarrow{b}=overrightarrow{c}$.
«Вычитание векторов. Как найти разность векторов» 👇
Построение разности двух векторов рассмотрим с помощью задачи.
Пример 1
Пусть даны векторы $overrightarrow{a}$ и $overrightarrow{b}$. Построить вектор $overrightarrow{a}-overrightarrow{b}$.
Решение.
Построим произвольную точку $O$ и отложим от нее векторы $overrightarrow{OA}=overrightarrow{a}$ и $overrightarrow{OB}=overrightarrow{b}$. Соединив точку $B$ с точкой $A$, получим вектор $overrightarrow{BA}$ (рис. 3).
Рисунок 3. Разность двух векторов
По правилу треугольника для построения суммы двух векторов видим, что
[overrightarrow{OB}+overrightarrow{BA}=overrightarrow{OA}]
То есть
[overrightarrow{b}+overrightarrow{BA}=overrightarrow{a}]
Из определения 2, получаем, что
[overrightarrow{a}-overrightarrow{b}=overrightarrow{BA}]
Ответ: $overrightarrow{a}-overrightarrow{b}=overrightarrow{BA}$.
Из этой задачи получаем следующее правило для нахождения разности двух векторов. Чтобы найти разность $overrightarrow{a}-overrightarrow{b}$ нужно от произвольной точки $O$ отложить векторы $overrightarrow{OA}=overrightarrow{a}$ и $overrightarrow{OB}=overrightarrow{b}$ и соединить конец второго вектор с концом первого вектора.
Вычитание векторов. Правило второе
Вспомним следующее необходимое нам понятие.
Определение 3
Вектор $overrightarrow{a_1}$ называется произвольным для вектора $overrightarrow{a}$, если эти векторы противоположно направлены и имеют равную длину.
Обозначение: Вектор $(-overrightarrow{a})$ противоположный для вектора $overrightarrow{a}$.
Для того чтобы ввести второе правило для разности двух векторов, нам необходимо в начале ввести и доказать следующую теорему.
Теорема 2
Для любых двух векторов $overrightarrow{a}$ и $overrightarrow{b}$ справедливо следующее равенство:
[overrightarrow{a}-overrightarrow{b}=overrightarrow{a}+(-overrightarrow{b})]
Доказательство.
По определению 2, имеем
Прибавим к обеим частям вектор $left(-overrightarrow{b}right)$, получим
Так как векторы $overrightarrow{b}$ и $left(-overrightarrow{b}right)$ противоположны, то $overrightarrow{b}+left(-overrightarrow{b}right)=overrightarrow{0}$. Имеем
Теорема доказана.
Из этой теоремы получаем следующее правило для разности двух векторов: Чтобы найти разность $overrightarrow{a}-overrightarrow{b}$ нужно от произвольной точки $O$ отложить вектор $overrightarrow{OA}=overrightarrow{a}$, затем от полученной точки $A$ отложить вектор $overrightarrow{AB}=-overrightarrow{b}$ и соединить начало первого вектора с концом второго вектора.
Пример задачи на понятие разности векторов
Пример 2
Пусть дан параллелограмм $ADCD$, диагонали которого пересекаются в точке $O$. $overrightarrow{AB}=overrightarrow{a}$, $overrightarrow{AD}=overrightarrow{b}$ (рис. 4). Выразить через векторы $overrightarrow{a}$ и $overrightarrow{b}$ следующие векторы:
а) $overrightarrow{DC}+overrightarrow{CB}$
б) $overrightarrow{BO}-overrightarrow{OC}$
Рисунок 4. Параллелограмм
Решение.
а) Произведем сложение по правилу треугольника, получим
[overrightarrow{DC}+overrightarrow{CB}=overrightarrow{DB}]
Из первого правила разности двух векторов, получаем
[overrightarrow{DB}=overrightarrow{a}-overrightarrow{b}]
б) Так как $overrightarrow{OC}=overrightarrow{AO}$, получим
[overrightarrow{BO}-overrightarrow{OC}=overrightarrow{BO}-overrightarrow{AO}]
По теореме 2, имеем
[overrightarrow{BO}-overrightarrow{AO}=overrightarrow{BO}+left(-overrightarrow{AO}right)=overrightarrow{BO}+overrightarrow{OA}]
Используя правило треугольника, окончательно имеем
[overrightarrow{BO}+overrightarrow{OA}=overrightarrow{BA}=-overrightarrow{AB}=-overrightarrow{a}]
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Определение разности двух векторов
В математике и физике студентам и школьникам зачастую попадаются задачи на векторные величины и на выполнение различных операций над ними. В чём же отличие векторных величин от привычных нам скалярных, единственная характеристика которых — это численное значение? В том, что они обладают направлением.
[block >
Определения векторной математики
Введём главные определения, используемые при выполнении линейных операций.
- Вектором называют направленный (имеющий точку начала и точку конца) отрезок.
- Длина (модуль) — это длина направленного отрезка.
- Коллинеарными называют такие два вектора, которые либо параллельны одной и той же прямой, либо одновременно лежат на ней.
- Противоположно направленными векторами называют коллинеарные и при этом направленные в разные стороны. Если же их направление совпадает, то они являются сонаправленными.
- Вектора являются равными, когда они сонаправлены и одинаковы по модулю.
- Суммой двух векторов a и b является такой вектор c, начало которого совпадает с началом первого, а конец — с концом второго при условии, что b начинается в той же точке, в которой заканчивается a.
- Разностью векторов a и b называют сумму a и (—b), где (—b) — противоположно направленный к вектору b. Также определение разности двух векторов может быть дано следующее: разностью c пары векторов a и b называют такой c, который при сложении с вычитаемым b образует уменьшаемое a.
Аналитический метод
Аналитический способ подразумевает получение координат разности по формуле без построения. Возможно выполнить вычисление для плоского (двухмерного), объёмного (трёхмерного) или же n-мерного пространства.
Для двухмерного пространства и векторных величин a <a₁; a₂> и b <b₁; b₂> расчёты будут иметь следующий вид: c <c₁; c₂> = <a₁ — b₁; a₂ — b₂>.
В случае с добавлением третьей координаты расчёт будет проводиться аналогично, и для a <a₁; a₂; a₃> и b <b₁; b₂; b₃> координаты разности будут также получены попарным вычитанием: c <c₁; c₂; c₃> = <a₁ — b₁; a₂ — b₂; a₃ — b₃>.
Вычисление разности графически
Для того чтобы построить разность графическим способом, следует воспользоваться правилом треугольника. Для этого необходимо выполнить следующую последовательность действий:
- По заданным координатам построить векторы, для которых нужно найти разность.
- Совместить их концы (т. е. построить два направленных отрезка, равных заданным, которые будут оканчиваться в одной и той же точке).
- Соединить начала обоих направленных отрезков и указать направление; результирующий будет начинаться в той же точке, где начинался вектор, являющийся уменьшаемым, и заканчиваться в точке начала вычитаемого.
[block > Результат операции вычитания показан на рисунке ниже.
Также существует метод построения разности, незначительно отличающийся от предыдущего. Его суть заключается в применении теоремы о разности векторов, которая формулируется следующим образом: для того чтобы найти разность пары направленных отрезков, достаточно найти сумму первого из них с отрезком, противоположно направленным ко второму. Алгоритм построения будет иметь следующий вид:
- Построить исходные направленные отрезки.
- Тот, что является вычитаемым, необходимо отразить, т. е. построить противоположно направленный и равный ему отрезок; затем совместить его начало с уменьшаемым.
- Построить сумму: соединить начало первого отрезка с концом второго.
Результат такого решения изображён на рисунке:
Решение задач
Для закрепления навыка разберём несколько заданий, в которых требуется рассчитать разность аналитически или графически.
Задача 1. На плоскости заданы 4 точки: A (1; —3), B (0; 4), C (5; 8), D (—3; 2). Определить координаты вектора q = AB — CD, а также рассчитать его длину.
Решение. Вначале следует найти координаты AB и CD. Для этого из координат конечных точек вычтем координаты начальных. Для AB началом является A (1; —3), а концом — B (0; 4). Рассчитаем координаты направленного отрезка:
Аналогичный расчёт выполняется для CD:
Теперь, зная координаты, можно найти разность векторов. Формула для аналитического решения плоских задач была рассмотрена ранее: для c = a — b координаты имеют вид <c₁; c₂> = <a₁ — b₁; a₂ — b₂>. Для конкретного случая можно записать:
Чтобы найти длину q, воспользуемся формулой | q | = √(q₁² + q₂²) = √((— 9)² + (— 1)²) = √(81 + 1) = √82 ≈ 9,06.
[block > Задача 2. На рисунке изображены векторы m, n и p.
Необходимо построить для них разности: p — n; m — n; m — n — p. Выяснить, какая из них обладает наименьшим модулем.
Решение. В задаче требуется выполнить три построения. Рассмотрим каждую часть задания более подробно.
Часть 1. Для того чтобы изобразить p — n, воспользуемся правилом треугольника. Для этого при помощи параллельного переноса соединим отрезки так, чтобы совпала их конечная точка. Теперь соединим начальные точки и определим направление. В нашем случае вектор разности начинается там же, где и вычитаемый n.
Часть 2. Изобразим m — n. Теперь для решения воспользуемся теоремой о разности векторов. Для этого следует построить вектор, противоположный n, а затем найти его сумму с m. Полученный результат будет выглядеть так:
[block > Часть 3. Для того чтобы найти разность m — n — p, следует разбить выражение на два действия. Поскольку в векторной алгебре действуют законы аналогичные законам арифметики, то возможны варианты:
- m — (n + p): в этом случае вначале строится сумма n + p, которая затем вычитается из m;
- (m — n) — p: здесь сначала нужно найти m — n, а затем отнять от этой разности p;
- (m — p) — n: первым действием определяется m — p, после чего из полученного результата нужно вычесть n.
Так как в предыдущей части задачи мы уже нашли разность m — n, нам остаётся лишь вычесть из неё p. Построим разность двух данных векторов при помощи теоремы о разности. Ответ показан на изображении ниже (красным цветом обозначен промежуточный результат, а зелёным — окончательный).
Остаётся определить, модуль какого из отрезков является наименьшим. Вспомним, что понятия длины и модуля в векторной математике являются идентичными. Оценим визуально длины p — n, m — n и m — n — p. Очевидно, что самым коротким и обладающим наименьшим модулем является ответ в последней части задачи, а именно m — n — p.
[block > [block >
Сложение и вычитание векторов
Теорема 1 От любой точки ( K ) можно отложить вектор единственный ( overrightarrow ) .
Существование: Имеем два следующих случая:
Здесь получаем, что искомый нами вектор совпадает с вектором ( overrightarrow ) .
Из данного выше построения сразу же будет следовать единственность данного вектора.
Сумма векторов. Сложение векторов. Правило треугольника
Сложение векторов выполняется по правилу треугольника или по правилу параллелограмма.
Суммой нескольких векторов ( vec ) , ( vec ) , ( vec,;ldots ) называется вектор ( vec ) , получающийся в результате последовательного сложения данных векторов.
Такая операция выполняется по правилу многоугольника.
Сумма векторов в координатах
При сложении двух векторов соответствующие координаты складываются.
( vec + vec = left( <+ , + , + > right) )
Отметим несколько свойств сложения двух векторов:
Для произвольного вектора ( overrightarrow ) выполняется равенство
Для произвольных точек ( A, B и C ) справедливо следующее равенство
Замечание Таким способом также можно строить сумму любого числа векторов. Тогда оно будет носить название правила многоугольника.
Разность векторов. Вычитание векторов
Разность двух одинаковых векторов равна нулевому вектору :
( vec — vec = vec <0>)
Длина нулевого вектора равна нулю:
( left| vec <0>right| = 0 )
Разность векторов в координатах
При вычитании двух векторов соответствующие координаты также вычитаются.
( vec — vec = left( <- , — , — > right) )
Умножение вектора на число
Пусть нам дан вектор ( overrightarrow ) и действительное число ( k ) .
Определение Произведением вектора ( overrightarrow ) на действительное число ( k ) называется вектор ( overrightarrow ) удовлетворяющий следующим условиям:
Длина вектора ( overrightarrow ) равна ( left|overrightarrowright|=left|kright||overrightarrow| ) ;
Векторы ( overrightarrow ) и ( overrightarrow ) сонаправлены, при ( kge 0 ) и противоположно направлены, если ( kle 0 )
Обозначение: ( overrightarrow=koverrightarrow ) .
Определение разности двух векторов
В математике и физике студентам и школьникам зачастую попадаются задачи на векторные величины и на выполнение различных операций над ними. В чём же отличие векторных величин от привычных нам скалярных, единственная характеристика которых — это численное значение? В том, что они обладают направлением.
- Определения векторной математики
- Аналитический метод
- Вычисление разности графически
- Решение задач
Максимально наглядно применение векторных величин объясняется в физике. Самыми простыми примерами являются силы (сила трения, сила упругости, вес), скорость и ускорение, поскольку помимо численных значений они также обладают направлением действия. Для сравнения приведём пример скалярных величин: это может быть расстояние между двумя точками или масса тела. Для чего же необходимо выполнять действия над векторными величинами такие как сложение или вычитание? Это нужно, чтобы было возможно определить результат действия системы векторов, состоящей из 2 или более элементов.
Определения векторной математики
Введём главные определения, используемые при выполнении линейных операций.
- Вектором называют направленный (имеющий точку начала и точку конца) отрезок.
- Длина (модуль) — это длина направленного отрезка.
- Коллинеарными называют такие два вектора, которые либо параллельны одной и той же прямой, либо одновременно лежат на ней.
- Противоположно направленными векторами называют коллинеарные и при этом направленные в разные стороны. Если же их направление совпадает, то они являются сонаправленными.
- Вектора являются равными, когда они сонаправлены и одинаковы по модулю.
- Суммой двух векторов a и b является такой вектор c, начало которого совпадает с началом первого, а конец — с концом второго при условии, что b начинается в той же точке, в которой заканчивается a.
- Разностью векторов a и b называют сумму a и (— b), где (— b) — противоположно направленный к вектору b. Также определение разности двух векторов может быть дано следующее: разностью c пары векторов a и b называют такой c, который при сложении с вычитаемым b образует уменьшаемое a.
Аналитический метод
Аналитический способ подразумевает получение координат разности по формуле без построения. Возможно выполнить вычисление для плоского (двухмерного), объёмного (трёхмерного) или же n-мерного пространства.
Для двухмерного пространства и векторных величин a и b расчёты будут иметь следующий вид: c = .
В случае с добавлением третьей координаты расчёт будет проводиться аналогично, и для a и b координаты разности будут также получены попарным вычитанием: c = .
Вычисление разности графически
Для того чтобы построить разность графическим способом, следует воспользоваться правилом треугольника. Для этого необходимо выполнить следующую последовательность действий:
- По заданным координатам построить векторы, для которых нужно найти разность.
- Совместить их концы (т. е. построить два направленных отрезка, равных заданным, которые будут оканчиваться в одной и той же точке).
- Соединить начала обоих направленных отрезков и указать направление, результирующий будет начинаться в той же точке, где начинался вектор, являющийся уменьшаемым, и заканчиваться в точке начала вычитаемого.
Результат операции вычитания показан на рисунке ниже.
Также существует метод построения разности, незначительно отличающийся от предыдущего. Его суть заключается в применении теоремы о разности векторов, которая формулируется следующим образом: для того чтобы найти разность пары направленных отрезков, достаточно найти сумму первого из них с отрезком, противоположно направленным ко второму. Алгоритм построения будет иметь следующий вид:
- Построить исходные направленные отрезки.
- Тот, что является вычитаемым, необходимо отразить, т. е. построить противоположно направленный и равный ему отрезок, затем совместить его начало с уменьшаемым.
- Построить сумму: соединить начало первого отрезка с концом второго.
Результат такого решения изображён на рисунке:
Решение задач
Для закрепления навыка разберём несколько заданий, в которых требуется рассчитать разность аналитически или графически.
Задача 1. На плоскости заданы 4 точки: A (1, —3), B (0, 4), C (5, 8), D (—3, 2). Определить координаты вектора q = AB — CD, а также рассчитать его длину.
Решение. Вначале следует найти координаты AB и CD. Для этого из координат конечных точек вычтем координаты начальных. Для AB началом является A (1, —3), а концом B (0, 4). Рассчитаем координаты направленного отрезка:
Аналогичный расчёт выполняется для CD:
Теперь, зная координаты, можно найти разность векторов. Формула для аналитического решения плоских задач была рассмотрена ранее: для c = a — b координаты имеют вид = . Для конкретного случая можно записать:
Чтобы найти длину q, воспользуемся формулой | q | = √(q₁² + q₂²) = √((— 9)² + (— 1)²) = √(81 + 1) = √82 ≈ 9,06.
Задача 2. На рисунке изображены векторы m, n и p.
Необходимо построить для них разности: p — n, m — n, m — n — p. Выяснить, какая из них обладает наименьшим модулем.
Решение. В задаче требуется выполнить три построения. Рассмотрим каждую часть задания более подробно.
Часть 1. Для того чтобы изобразить p — n, воспользуемся правилом треугольника. Для этого при помощи параллельного переноса соединим отрезки так, чтобы совпала их конечная точка. Теперь соединим начальные точки и определим направление. В нашем случае вектор разности начинается там же, где и вычитаемый n.
Часть 2. Изобразим m — n. Теперь для решения воспользуемся теоремой о разности векторов. Для этого следует построить вектор, противоположный n, а затем найти его сумму с m. Полученный результат будет выглядеть так:
Часть 3. Для того чтобы найти разность m — n — p, следует разбить выражение на два действия. Поскольку в векторной алгебре действуют законы аналогичные законам арифметики, то возможны варианты:
- m — (n + p): в этом случае вначале строится сумма n + p, которая затем вычитается из m,
- (m — n) — p: здесь сначала нужно найти m — n, а затем отнять от этой разности p,
- (m — p) — n: первым действием определяется m — p, после чего из полученного результата нужно вычесть n.
Так как в предыдущей части задачи мы уже нашли разность m — n, нам остаётся лишь вычесть из неё p. Построим разность двух данных векторов при помощи теоремы о разности. Ответ показан на изображении ниже (красным цветом обозначен промежуточный результат, а зелёным — окончательный).
Остаётся определить, модуль какого из отрезков является наименьшим. Вспомним, что понятия длины и модуля в векторной математике являются идентичными. Оценим визуально длины p — n, m — n и m — n — p. Очевидно, что самым коротким и обладающим наименьшим модулем является ответ в последней части задачи, а именно m — n — p.
http://calcsbox.com/post/slozenie-i-vycitanie-vektorov.html
http://tvercult.ru/nauka/opredelenie-raznosti-dvuh-vektorov
Чтобы лучше понять закон вычитания векторов, нужно вспомнить свойство математических действий: сложения и вычитания.
Такое же свойство справедливо и для действий с векторами.
Чтобы вычесть вектор
b→
из вектора
a→
, нужно найти такой вектор
c→
, сумма которого с вектором
b→
составляла бы вектор
a→
.
Обрати внимание!
Легче запомнить, как найти разность векторов
a→
и
b→
, следующим образом:
1) векторы нужно привести к общему началу (A);
2) соединить конечные точки (B) и (C);
3) отметить направление вектора разности от конечной точки уменьшителя к конечной точке уменьшаемого вектора.
Вспомним закон параллелограмма для сложения векторов. По этому закону вектор суммы двух векторов, лежащих на сторонах параллелограмма с общей вершиной, проходит по длинной диагонали параллелограмма. Очевидно, что вектор разности проходит по короткой диагонали параллелограмма.
Заметим, что при вычитании вектора
a→
из вектора
b→
вектор разности
d→
будет противоположен вектору
c→
, то есть
d→=−c→
.
