Как найти вектор напряжения

Векторная диаграмма токов и напряжений

Процессы, протекающие в электроцепи переменного тока с активным сопротивлением и реактивной индуктивностью, можно наглядно выразить в графическом виде.

Векторная диаграмма

Статья даст описание, что такое векторные диаграммы, где и для чего они используются. Также будет описана временная диаграмма и ее назначение. В конце будет дан пример построения простой диаграммы для электроцепи с последовательным соединением элементов.

Определение

Векторная диаграмма токов и напряжений — это геометрическое изображение всех процессов, величин и амплитуд синусоидального тока. Все имеющиеся величины располагаются на плоскости в виде векторов.

Построение векторной диаграммы использует физика и электротехника. Благодаря созданию такой диаграммы можно значительно упростить выполняемые расчеты, а так же в наглядном и доступном виде отобразить происходящие процессы.

Метод векторных диаграмм позволяет также увидеть в цепи переменного тока возникающие короткие и межфазовые замыкания, а также вычислить возможные потери мощности.

векторная и временная диаграмма

Обычно такая диаграмма строится вместе с временной. Временная диаграмма — это графическое изображение входа и выхода в электрической цепи. Временные диаграммы помогают определить временной промежуток между началом, протеканием и окончанием сигнала. Например, при нажатии на кнопку возникает сигнал, который поступает к приемнику и запускает процесс его работы.

Временные диаграммы также применимы к синусоидальной электрической цепи, так как этот ток имеет начальную точку отсчета (включение питания) и время движения от источника тока к потребителю. Такие диаграммы представляют собой график, на котором изображается начальная точка отсчета, вектор времени и углы смещения фаз.

Разновидности

Разобравшись, что такое и для чего применяется векторная диаграмма, нужно узнать какие разновидности построения существуют. Они отличаются по характеру построения и типу. По характеру бывают:

  1. Точными. Векторная точная диаграмма — это отображение выполненного численного расчета в соответствующем масштабе. С помощью нее определяют параметры фаз и амплитудные значения строго геометрическим способом.
  2. Качественные. Такие гистограммы строят для наблюдения взаимосвязи между электровеличинами без использования числовых характеристик. Такой способ позволяет экспериментировать с различными параметрами и моделировать процессы в электроцепях.

Векторную диаграмму токов можно построить 2 разными способами:

  1. Круговым. В ее принципе лежит вектор, который описывает изменение характеристик путем образования круга или полукруга на плоскости. При таком варианте учитывается направление движения с учетом направления положения вектора.Круговая диаграмма
  2. Линейным. Такой векторной диаграмме при изменении характеристик направление изменяется строго прямолинейно.

Линейная диаграмма

Оба построения могут использоваться для расчета характеристик переменного тока в цепи с сопротивлением и индуктивностью.

Построение

Построение простых векторных диаграмм будет рассмотрено в данном разделе. Для примера можно взять простую цепь с несколькими элементами и их значениями. Такая схема подразумевает последовательное соединение элементов между собой. Цепь состоит из катушки индуктивности, конденсатора и активного сопротивления. Параметры каждого элемента цепи приведены ниже.

  1. Катушка индуктивности UL с напряжением 15 вольт. Ток в индуктивном сопротивлении имеет сдвиг фазы 90°.
  2. Конденсатор UC с напряжением 20 вольт и опережением на 90 градусов.
  3. Напряжение резистора UR 10 вольт, его направление совпадает с током I.
  4. Сила тока в цепи I равняется 3 ампера.

Далее можно сделать простую диаграмму, которая поможет определить напряжение для всей схемы.

  1. Отложить на плоскости I в виде горизонтальной линии с масштабом 1 A/см (масштаб может быть любым, главное — выполнять все элементы диаграммы одного типа в одном масштабе). Сам ток равен 3 ампера, поэтому его длина будет равна 3 см.Откладываем вектор тока I
  2. Теперь необходимо отложить вертикальный вектор UL в масштабе 5 В/см. Он отображает напряжение катушки индуктивности и равен 15 вольт. Его длина на плоскости составит в данном масштабе так же 3 см.Откладываем вектор катушки UL
  3. Далее нужно графически обозначить вектор напряжения активного сопротивления. Его точка отсчета располагается на окончании вертикального вектора UL. Для принятого масштаба 5 В/см ему соответствует вектор длиной 2 см. Линия должна быть строго параллельна горизонтальному вектору I.Откладываем вектор резистора UR
  4. Теперь нужно отобразить на данной диаграмме напряжение конденсатора UC. Его началом будет конечная точка вектора UR, а конец данного вектора будет расположен ниже горизонтального вектора I. В масштабе 5 В/см ему соответствует вектор длиной 4 см.Откладываем вектор конденсатора UC
  5. Чтобы определить соответствующее такой схеме общение напряжение U надо будет сделать следующее. Начало вектора расположено в принятой точке отсчета, а конец его будет расположен в конечной точке вектора UC.

Получаем общее напряжение U

Поэтому если есть схема с последовательным соединением элементов, то всегда можно довольно просто построить векторную диаграмму и рассчитать общее напряжение для такой схемы.

Способ 2

Построение векторных диаграмм с учетом всех известных значений для цепи переменного тока с последовательным соединением конденсатора, резистора и катушки индуктивности. При таком построении нам так же известно напряжение самой цепи. Цепь состоит из:

  • Резистора UR;
  • Конденсатора UC;
  • Катушки UL.

Далее надо:

  1. На плоскости Im откладывается вектор UR (резистор). Его направление точно совпадает с током, поэтому это будет горизонтальная линия.Вектор UR
  2. От точки отсчета откладывается вниз вектор UC (конденсатор). Вектор откладывается под углом 90 градусов вниз, так как он имеет указанное ранее опережение 90°.Вектор UС
  3. От этой же точки отсчета откладывается вектор UL (катушка индуктивности). Ее значение откладывается ровно на 90 градусов вертикально, так как есть сдвиг фазы на 90 градусов.

Общая диаграмма

Данная диаграмма может использоваться для контроля и расчета влияния всех известных параметров цепи и элементов, а также их взаимосвязи между собой.

  1. Показать результат сложения вектора UL и UC.Сложение двух значений
  2. При увеличении величины сопротивления определить разницу между напряжением и сопротивлением можно, используя новый вектор Um.Увеличение сопротивления
  3. Кроме того можно определить угол сдвига фазы φ в цепи.

Сдвиг фазы

Основное преимущество векторной диаграммы заключается в следующем — простое и быстрое сложение, вычитание двух параметров во время расчета электрических цепей.

Понятие о векторах и векторных диаграммах также подразумевает расчет цепи питания трехфазной сети, подключенной по методу звезды. Она строится с учетом сразу 3 отложенных векторов от 0 оси ординат. Такое построение определяет вектор от источника тока к приемнику. Строится вектор со следующими значениями:

  1. На оси ОХ откладываются настоящие значения величин, а на оси OY мнимые значения.
  2. Угловая величина обозначается как W.
  3. Также присутствует сам вектор Im и угол сдвига фаз φ.

Далее нужно сделать:

  1. На плоскости выбрать точку отсчета.
  2. От нее отложить вектор Im, учитывая угол сдвига фаз равный 90°.
  3. Длина вектора Im равна значению его напряжения и откладывается в выбранном масштабе.

Вектор трехфазной цепи

Таким же образом на плоскость накладываются еще две прямые линии. Общая диаграмма покажет симметричность фаз или их сдвиг при появлении короткого замыкания. Такая диаграмма может стать примером для расчета напряжения, тока или нагрузки на каждую фазу с моделированием различных параметров.

Заключение

Векторные диаграммы сложны в понимании при расчете сложных цепей, с большим количеством сопротивлений и индуктивностью. Также, при расчете стоит учитывать тип соединения всех элементов, симметрию цепи и основные ее значения.

Видео по теме

Векторные диаграммы и комплексное представление

Векторные диаграммы можно считать вариантом (и иллюстрацией) представления колебаний в виде комплексных чисел. При таком сопоставлении ось Ox соответствует оси действительных чисел, а ось Oy — оси чисто мнимых чисел (положительный единичный вектор вдоль которой есть мнимая единица).

Тогда вектор длиной A, вращающийся в комплексной плоскости с постоянной угловой скоростью ω с начальным углом φ0 запишется как комплексное число, а его действительная часть — есть гармоническое колебание с циклической частотой ω и начальной фазой φ0.

Хотя, как видно уже из вышесказанного, векторные диаграммы и комплексное представление колебаний теснейшим образом связаны и по сути представляют собой варианты или разные стороны одного и того же метода, они, тем не менее, обладают своими особенностями и могут применяться и по отдельности.

  • Метод векторных диаграмм может излагаться отдельно в курсах электротехники или элементарной физики, если по тем или иным причинам (обычно связанным с умеренным уровнем математической подготовки учащихся и недостатком времени) надо избежать использования комплексных чисел (в явном виде) вообще.
  • Метод комплексного представления (который при необходимости или желании может включать и графическое представление, что, правда, совершенно не обязательно и иногда излишне) вообще говоря более мощен, т.к. естественно включает в себя, например, составление и решение систем уравнений любой сложности, в то время как метод векторных диаграмм в чистом виде всё же ограничен задачами, подразумевающим суммирование, которое можно изобразить на одном чертеже.
  • Однако метод векторных диаграмм (в чистом виде или в качестве графической составляющей метода комплексного представления) — более нагляден, а значит в некоторых случаях потенциально более надежен (позволяет до некоторой степени избежать грубых случайных ошибок, которые могут встречаться при абстрактных алгебраических вычислениях) и позволяет в некоторых случаях достичь в каком-то смысле более глубокого понимания задачи.

Разновидности векторных диаграмм

Для корректного отображения переменных величин, которые определяют функциональность радиотехнических устройств, хорошо подходит векторная графика. Подразумевается соответствующее изменение основных параметров сигнала по стандартной синусоидальной (косинусоидальной) кривой. Для наглядного представления процесса гармоническое колебание представляют, как проекцию вектора на координатную ось.

С применением типовых формул несложно рассчитать длину, которая получится равной амплитуде в определенный момент времени. Угол наклона будет показывать фазу. Суммарные влияния и соответствующие изменения векторов подчиняются обычным правилам геометрии.

Различают качественные и точные диаграммы. Первые применяют для учета взаимных связей. Они помогают сделать предварительную оценку либо используются для полноценной замены вычислений. Другие создают с учетом полученных результатов, которые определяют размеры и направленность отдельных векторов.

Круговая диаграмма

Допустим, что надо изучить изменение параметров тока в цепи при разных значениях сопротивления резистора в диапазоне от нуля до бесконечности. В этой схеме напряжение на выходе (U) будет равно сумме значений (UR и UL) на каждом из элементов. Индуктивный характер второй величины подразумевает перпендикулярное взаимное расположение, что хорошо видно на части рисунка б). Образованные треугольники отлично вписываются в сегмент окружности 180 градусов. Эта кривая соответствует всем возможным точкам, через которые проходит конец вектора UR при соответствующем изменении электрического сопротивления. Вторая диаграмма в) демонстрирует отставание тока по фазе на угол 90°.

Линейная диаграмма

Здесь изображен двухполюсный элемент с активной и реактивной составляющими проводимости (G и jB, соответственно). Аналогичными параметрами обладает классический колебательный контур, созданный с применением параллельной схемы. Отмеченные выше параметры можно изобразить векторами, которые расположены постоянно под углом 90°. Изменение реактивной компоненты сопровождается перемещением вектора тока (I1…I3). Образованная линия располагается перпендикулярно U и на расстоянии Ia от нулевой точки оси координат.

Примеры применения

Механика; гармонический осциллятор

  • Гармонический осциллятор в механике и гармонический осциллятор любой природы формально представляют точную аналогию, поэтому рассмотрим их в одном параграфе на примере механического гармонического осциллятора.
  • Применение векторных диаграмм в механике сводится в основном к случаю гармонического осциллятора (в том числе имеется в виду и случай осциллятора с линейной по скорости силой трения); впрочем, векторные диаграммы могут быть до некоторой степени полезны и для исследования нескольких осцилляторов в том числе и в пределе бесконечного их количества (для колебаний или волн в распределенных системах).
  • С современной точки зрения применение векторных диаграмм к гармоническому осциллятору представляет скорее только исторический и педагогический интерес, однако тем не менее в принципе они здесь вполне применимы.
  • В механике применение векторных диаграмм (обычно подразумевается их применение к одномерному осциллятору) имеет ту особенность, что добавляющаяся вторая координата для превращения колебаний во вращение может иметь не только чисто формальный абстрактный смысл, но для одномерной механической системы такого сорта может быть указана механическая же двумерная система, для которой векторная диаграмма первой реализуется как вполне реальное двумерное механическое движение, и все векторы реально двумерны (а после проецирования всех их и движения точки двумерной системы на одну ось, мы получаем мгновенные значения соответствующих величин – в том числе положения – для соответствующей одномерной системы); таким образом, для механической одномерной системы возможна не только формальная математическая, но и реальная механическая модель, переводящая колебательное одномерное движение во вращательное движение в двумерном пространстве, реализующая в себе векторную диаграмму для одномерной системы.

Разберем два основных случая простого применения векторных диаграмм в механике (как замечено выше, также применимых к гармоническому осциллятору не только механической, но любой природы): осциллятор без затухания и без внешней силы и осциллятор с (линейным) затуханием (вязкостью), и внешней вынуждающей силой.

Векторная диаграмма – это удобный инструмент представления синусоидальных функций времени, коими являются, к примеру, напряжения и токи электрической цепи переменного тока.

Рассмотрим, например, произвольный ток, представленный в виде синусоидальной функции

i(t) = 10 sin(ωt + 30°).

Данный синусоидальный сигнал можно представить в виде комплексной величины

I = 10∠30°.

Для формирования комплексного числа используются модуль и фаза синусоидального сигнала.

Для построения векторных диаграмм сперва составляют уравнения по законам Кирхгофа для рассматриваемой электрической цепи.

Рассмотрим электрическую цепь, представленную на рис. 1, и нарисуем для неё векторную диаграмму напряжений. Обозначим падение напряжение на элементах.

Векторная диаграмма токов и напряжений
Последовательное соединение элементов цепи

Составим уравнение для данной цепи по второму закону Кирхгофа:

UR + UL + UC = E.

По закону Ома падение напряжений на элементах определяется по следующим выражениям:

UR = I ∙ R,

UL = I ∙ jXL,

UC = −I ∙ jXC.

Для построения векторной диаграммы необходимо отобразить приведённые в уравнении слагаемые на комплексной плоскости. Обычно вектора токов и напряжений отображаются в своих масштабах: отдельно для напряжений и отдельно для токов.

Из курса математики известно, что j = 1∠90°, −j = 1∠−90°. Отсюда при построении векторной диаграммы умножение какого-либо вектора на мнимую единицу j приводит к повороту этого вектора на 90 градусов против часовой стрелки, а умножение на −j приводит к повороту этого вектора на 90 градусов по часовой стрелке.

При построении векторной диаграммы напряжений на комплексной плоскости сперва отобразим вектор тока I, после чего относительного него будем отображать вектора падений напряжений (рис. 2) с учётом приведённых выше соотношений для мнимой единицы.

Падение напряжения на резисторе UR совпадает по направлению с током I (т.к. UR = I ∙ R, а R – чисто действительная величина или, простыми словами, нет умножения на мнимую единицу). Падение напряжения на индуктивном сопротивлении опережает вектор тока на 90° (т.к. UL = I ∙ jXL, а умножение на j приводит повороту этого вектора на 90° против часовой стрелки). Падение напряжения на ёмкостном сопротивлении отстаёт от вектора тока на 90° (т.к. UC = −I ∙ jXC, а умножение на −j приводит повороту этого вектора на 90° по часовой стрелке).

Векторная диаграмма токов и напряжений
Векторная диаграмма напряжений при последовательном соединении элементов цепи

Следует обратить внимание, что на одной векторной диаграмме изображают только векторы тех величин, у которых частота совпадает!

Рассмотрим электрическую цепь, представленную на рис. 3, и нарисуем для неё векторную диаграмму токов. Обозначим направление токов в ветвях.

Векторная диаграмма токов и напряжений
Параллельное соединение элементов цепи

Составим уравнение для данной цепи по первому закону Кирхгофа:

I­­ – IR – IL – IC = 0,

откуда

I­­ = IR + IL + IC.

Определим по закону Ома токи в ветвях по следующим выражениям, учитывая, что 1 / j = −j:

IR = E / R,

IL = E / (jXL) = −j ∙ E / XL,

IC = E / (−jXC) = j ∙ E / XC,

Для построения векторной диаграммы необходимо отобразить приведённые в уравнении слагаемые на комплексной плоскости.

При построении векторной диаграммы токов на комплексной плоскости сперва отобразим вектор ЭДС E, после чего относительного него будем отображать вектора токов токов (рис. 4) с учётом приведённых выше соотношений для мнимой единицы.

Ток в резисторе IR совпадает по направлению с ЭДС E (т.к. IR = E / R, а R – чисто действительная величина или, простыми словами, нет умножения на мнимую единицу). Ток в индуктивном сопротивлении отстаёт от вектора ЭДС на 90° (т.к. IL = −j ∙ E / XL, а умножение на −j приводит повороту этого вектора на 90° по часовой стрелки). Ток в ёмкостном сопротивлении опережает вектор ЭДС на 90° (т.к. IC = j ∙ E / XC, а умножение на j приводит повороту этого вектора на 90° против часовой стрелки). Результирующий вектор тока определяется после геометрического сложения всех векторов по правилу параллелограмма.

Векторная диаграмма токов и напряжений
Векторная диаграмма токов при параллельном соединении элементов цепи

Для произвольной цепи алгоритм построения векторных диаграмм аналогичен вышеизложенному с учётом протекаемых в ветвях токов и прикладываемых напряжений.

Обращаем ваше внимание, что на сайте представлен инструмент для построения векторных диаграмм онлайн для трёхфазных цепей.

Свободные гармонические колебания без затухания

Продолжая изучение темы на примерах механических процессов, можно отметить возможность построения двухмерной схемы. Скорость в этом случае на оси Х отображается так же, как и в одномерном варианте. Однако здесь можно учесть дополнительно фактор ускорения, которое направляют под углом 90° к предыдущему вектору.

Гармонический осциллятор с затуханием и внешней вынуждающей силой

В этом случае также можно воспользоваться для изучения взаимного влияния дополнительных факторов векторной графикой. Как и в предыдущем примере, скорость и другие величины представляют в двухмерном виде. Чтобы правильно моделировать процесс, проверяют суммарное воздействие внешних сил. Его направляют к центру системы (точке равновесия). С применением геометрических формул вычисляют амплитуду механических колебаний после начального воздействия с учетом коэффициента затухания и других значимых факторов.

Расчет электрических цепей

Векторную графику применяют для сравнительно несложных цепей, которые созданы из набора элементов линейной категории: конденсаторы, резисторы, катушки индуктивности. Для более сложных схем пользуются методикой расчета «Комплексных амплитуд», в которой реактивные компоненты определяют с помощью импедансов.

Векторная диаграмма в данном случае выполняет функцию вспомогательного чертежа, который упрощает решение геометрических задач. Для катушек и конденсаторов, чтобы не пользоваться комплексным исчислением, вводят специальный термин – реактивное сопротивление. При синусоидальном токе изменение напряжения на индуктивном элементе описывается формулой U=-L*w*I0sin(w*t+f0).

Несложно увидеть подобие с классическим законом Ома. Однако в данном примере изменяется фаза. По этому параметру на конденсаторе напряжение отстает от тока на 90°. В индуктивности – обратное распределение. Эти особенности учитывают при размещении векторов на рисунке. В формуле учитывается частота, которая оказывает влияние на величину этого элемента.

Дифракция

Для этого случая пользуются тем же отображением отдельных синусоид в виде векторов, как и в предыдущем примере. Суммарное значение также вписывается в окружность.

Как построить векторную диаграмму токов и напряжений

Расчеты в цепях с синусоидальными напряжениями и токами упрощаются, если вместо синусоид оперировать с их изображениями — вращающимися векторами (рис. 1).

Векторная диаграмма токов и напряжений

Проекция конца вектора на ось координат совершает синусоидальные колебания : каждое мгновенное значение тока, соответствующее моменту времени Векторная диаграмма токов и напряжений и фазовому углу Векторная диаграмма токов и напряжений, можно рассматривать как проекцию на ось ординат вектора, повернувшегося на фазовый угол относительно оси абсцисс.

Если что-то непонятно — вы всегда можете написать мне в WhatsApp и я вам помогу!

Таким образом, синусоидальная функция условно представляется вектором, длина которого определяется максимальным или действующим ее значением, а направление — ее начальной фазой; положительная начальная фаза откладывается от горизонтальной оси в сторону вращения векторов (против часовой стрелки). Векторы токов и напряжений, вращаясь с одной и той же

Векторная диаграмма токов и напряжений

угловой скоростью Векторная диаграмма токов и напряжений, неподвижны относительно друг друга. Условное изображение синусоидально изменяющихся во времени токов и напряжении при помощи векторов позволило записать в векторной форме первый и второй законы Кирхгофа.

Алгебраическому суммированию синусоид, т.е. суммированию их мгновенных значений, соответствуют геометрические действия над изображающими их векторами. Применение в этой форме законов Кирхгофа даст возможность путем построения векторных диаграмм достаточно просто и наглядно рассчитывать электрические цепи. Приступая к графическому расчету пеней переменного тока, следует помнить, что физические процессы на участках цепи с сопротивлением, индуктивностью, емкостью весьма различны.

Векторная диаграмма токов и напряжений

Соответственно вектор тока и вектор напряжения имеют одно направление.

Векторная диаграмма токов и напряжений

В индуктивном элементе ток отстает от напряжения на Векторная диаграмма токов и напряженийи соответственно располагаются векторы (рис.3). Закон Ома для участка цепи только с индуктивными сопротивлением записывается Векторная диаграмма токов и напряжений.

Векторная диаграмма токов и напряжений

В емкостном элементе в активном сопротивлении ток и напряжение совпадают по фазе (рис.2), ток опережает напряжение на Векторная диаграмма токов и напряжений( расположение вектора напряжения и тока показано на рис.4); закон Ома для участка цепи только с емкостным сопротивлением записывается Векторная диаграмма токов и напряжений
или Векторная диаграмма токов и напряжений.

Построение ВД напряжений и токов

В качестве примера построения ВД рассмотрим последовательную цепочку из сопротивления R, индуктивности L и конденсатора C. Схема приведена на рисунке ниже.

Напряжения на элементах схемы — UR, UL, UC. Ток в цепи — i.

Напряжение на выходе U = UR + UL + UC.

Пускай в цепи протекает синусоидальный ток с частотой ω и с нулевым сдвигом фазы. Для ненулевого сдвига фазы ВД просто повернётся на этот начальный угол, а общий её вид не изменится. Амплитуды напряжений на каждом элементе в форме закона Ома:

|U|R = R* |i|

|U|L = 1/ωC*|i|

|U|С = ωL* |i|

Соответствующие этим амплитудам длины векторов наносятся на ВД. При этом каждый вектор наносится с учетом своего фазового сдвига. Суммарный вектор оказался равен U = UR + UL + UC, но это теперь доказано геометрически на диаграмме.

Модуль суммарного вектора равен длине гипотенузы в прямоугольном треугольнике со сторонами |U|R, (|U|L – |U|С). Воспользовавшись теоремой Пифагора, можно вычислить |U|:

|U|2 = UR2 + (UL – UC)2

Применив формулы, указанные выше, получим:

|U|2 = (i0 * R)2 + (i0 * ωL – i0/ ωC)2

Можно вынести за скобки i0 (амплитуда тока — длина вектора i), тогда:

|U|2 = i02 * (R2 + (ωL – 1/ ωC)2

Пользуясь последней формулой, можно вычислять амплитуду синусоидального напряжения. Полученные формулы справедливы для случая обратной задачи, когда требуется найти ток в цепи с известным источником напряжения.

Алгоритм создания лучевой векторной диаграммы в Excel

Чтобы упростить наш урок, давайте предположим, что мы говорим об отношениях не между четырнадцатью как на графике, а пока только с 4-ма людьми по имени Антон, Алиса, Борис и Белла.

Наша матрица уровня отношений и связей между ними выглядит следующим образом:

  • 0 значит отсутствие отношений;
  • 1 означает слабые отношения (например: Антон и Алиса просто знают друг друга);
  • 2 означает крепкие отношения (например, Борис и Алиса друзья).

Как можно геометрически смоделировать визуализацию этих исходных данных? Если бы мы нарисовали отношения между этими четырьмя людьми (Антон, Алиса, Борис и Белла), это схематически выглядело бы так:

2 критерия, которые нам нужно определить:

  1. Расположение точек (где печатаются имена людей).
  2. Линии (начальная и конечная точка соединения линий).

Определение и построение точек

Сначала нам нужно построить наши точки таким образом, чтобы промежуток между каждой точкой был одинаковым. Это создаст сбалансированный график.

Какая геометрическая фигура максимально удовлетворяет нашу потребность в таких равных промежутках? Конечно же круг!

Вы можете возразить, что на готовой модели диаграммы нет фигуры круга. Да действительно нет –вот так. Нам не нужно рисовать круг. Нам просто нужно построить точки вокруг него.

Таким образом, у нас есть 4 заинтересованные стороны, нам нужно 4 точки:

  1. Если у нас 12 заинтересованных сторон, нам нужно 12 точек.
  2. Если у нас есть 20, нам нужно 20 точек.

Предполагая, что источником нашего круга является (x, y), радиус – это r, а тета – 360, деленная на количество нужных нам точек. Первая точка (x1, y1) на окружности будет в этой позиции:

  • x1 = x + r * COS (тета);
  • y1 = y + r * SIN (тета).

Как только все точки рассчитаны и подключены к XY-диаграмме (точечная диаграмма), давайте двигаться дальше.

Построение линий на лучевой диаграмме

Допустим, у нас в сети есть n человек. Это означает, что каждый человек может иметь максимум n-1 отношений.

Таким образом, общее количество возможных линий на нашем графике равно n * (n-1) / 2.

Нам нужно разделить его на 2, как будто A знает B, тогда B тоже знает A. Но нам нужно нарисовать только 1 линию.

Шаблон лучевой диаграммы для анализа сетевого графика настроен для работы с 20 людьми. Его можно скачать в конце статьи и использовать как готовый аналитический инструмент визуализации данных связей. Это означает, что максимальное количество строк, которое мы можем иметь, будет равно 190.

Каждая строка требует добавления отдельной серии на график. Это означает, что нам нужно добавить 190 серий данных только для 20 человек. И это удовлетворяет только одному типу линии (пунктирная или толстая). Если нам нужны разные линии в зависимости от типа отношений, нам нужно добавить еще 190 серий.

Это больно и смешно одновременно. К счастью, выход есть!

Мы можем использовать гораздо меньшее количество серий и по-прежнему строить один и тот же график.

Допустим, у нас есть 4 человека – A,B,C и D. Ради простоты, давайте предположим, что координаты этих 4-х участников следующие:

  • А – (0,0);
  • B – (0,1);
  • С – (1,1);
  • Д – (1,0).

И скажем, A имеет отношения с B, C и D.

Это означает, что нам нужно нарисовать 3 линии, от A до B, от A до C и A до D.

Теперь, вместо того, чтобы поставить 3 серии для диаграммы, что если мы поставим одну длинную серию, которая выглядит следующим образом:

(0,0), (0,1), (0,0), (1,1), (0,0), (1,0)

Это означает, что мы просто рисуем одну длинную линию от A до B, от A до C, от A до D. Договорились, что это не прямая линия, но точечные диаграммы Excel могут нарисовать любую линию, если вы предоставите ей набор координат.

Таким образом, вместо 190 рядов данных для диаграммы нам просто нужно 20 рядов.

На последнем графике мы имеем 40 + 2 + 1 ряд данных. Это потому что:

  • 20 линий для слабых отношений (пунктирные линии);
  • 20 линий для прочных отношений (толстые линии);
  • 1 строка для выделения синим цветом слабых отношений выделенного участника;
  • 1 строка для выделения зеленым цветом сильных отношений выделенного участника;
  • 1 комплект без линий, а просто точек для подписей данных на графике.

Как сгенерировать все 20 серий данных:

Это требует следующей логики:

  • Предполагая, что нам нужны линии для отношений человека n.
  • Точка этого человека будет (Xn, Yn) и уже рассчитана ранее (в точках на графике вокруг круга).
  • Нам нужно всего 40 строк данных.
  • Каждая нечетная строка будет иметь (Xn, Yn).
  • Для каждого четного ряда:
  • разделите номер строки на 2, чтобы получить номер человека (скажем, m
  • (Xn, Yn), если нет отношений между n и m
  • (Xm, Ym), если есть отношения.

Нам нужны формулы MOD и INDEX для выражения этой логики в Excel.

Как только все координаты линии будут рассчитаны, добавьте их к нашему точечному графику как новые ряды используя инструмент из дополнительного меню: «РАБОТА С ДИАГРАММАМИ»-«КОНСТРУКТОР»-«Выбрать данные» в окне «Выбор источника данных» используйте кнопку «Добавить» для добавления всех 43-х рядов.

Реализовывать создание такой лучевой диаграммы связей будем в 3 этапа:

  1. Подготовка исходных данных.
  2. Обработка данных.
  3. Визуализация.

Подготовка данных для лучевой диаграммы

Как уже упоминалось выше данный шаблон будет обладать возможностью визуального построения связей до 20-ти участников (компаний, филиалов, контрагентов и т.п.). На листе книги шаблона «Данные» предоставленная таблица для заполнения входящих значений. Например, заполним ее для 14-ти участников рынка:

На этом же листе создадим дополнительную таблицу, которая представляет собой матрицу связей всех возможных участников, сгенерированную формулой:

С подготовкой данных мы закончили переходим к обработке.

Как вычислить сумму векторов?

Вектора и матрицы в электронной таблице хранятся в виде массивов.

Известно, что сумма векторов – это вектор, координаты которого равны суммам соответствующих координат исходных векторов:

Для вычисления суммы векторов нужно выполнить следующую последовательность действий:

– В диапазоны ячеек одинаковой размерности ввести значения числовых элементов каждого вектора.

– Выделить диапазон ячеек для вычисляемого результата такой же размерности, что и исходные векторы.

– Ввести в выделенный диапазон формулу перемножения диапазонов

– = Адрес_Вектора_1 + Адрес_Адрес_Вектора_2

– Нажать комбинацию клавиш [Ctrl] + [Shift] +[Enter].

Пример.

Даны два вектора:

Требуется вычислить сумму этих векторов.

Решение:

– В ячейки диапазона А2:A4 введем значения координат вектора a1, а в ячейки диапазона С2:С4 – координаты вектора a2.

– Выделим ячейки диапазона, в которых будет вычисляться результирующий вектор С (E2:E4) и введем в выделенный диапазон формулу:

=A2:A4+C2:C4

– Нажмем комбинацию клавиш [Ctrl] + [Shift] +[Enter]. В ячейках диапазона E2:E4 будут вычислены соответствующие координаты результирующего вектора.

Сложение и вычитание векторов

Главным достоинством векторных — это возможность простого сложения и вычитания двух величин. Например: требуется сложить, два тока, заданных уравнениями

Сложим два заданных тока i1 и i2 по известному правилу сложения векторов (рис. 12.12, а). Для этого изобразим токи в виде векторов из общего начала 0. Результирующий вектор найдем как диагональ параллелограмма, построенного на слагаемых векторах:

Im = Im1 + Im2

Сложение векторов, особенно трех и более, удобнее вести в таком порядке: один вектор остается на месте, другие переносятся параллель
но самим себе так, чтобы начало последующего вектора совпало с концом предыдущего.

Вектор Im, проведенный из начала первого вектора в конец последнего, представляет собой сумму всех векторов (рис. 12.12, б).

Вычитание одного вектора из другого выполняют сложением прямого вектора (уменьшаемого) и обратного (вычитаемого) (рис. 12.13):

При сложении синусоидальных величин в отдельных случаях можно применить аналитическое решение: применительно к рис. 12.12, а — по теореме косинусов; к рис. 12.14, а — сложение модулей векторов; б — вычитание модулей векторов, в — по теореме Пифагора.

Заключение

Векторные диаграммы сложны в понимании при расчете сложных цепей, с большим количеством сопротивлений и индуктивностью. Также, при расчете стоит учитывать тип соединения всех элементов, симметрию цепи и основные ее значения.

Источники

  • https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/271027
  • https://amperof.ru/elektroenergia/vektornaya-diagramma-tokov-napryazhenij.html
  • https://ElectroInfo.net/raznoe/vektornaja-diagramma-tokov-i-naprjazhenij-vektornye-diagrammy-jelektricheskih-cepej.html
  • https://lfirmal.com/postroenie-vektornyh-diagramm/
  • https://exceltut.ru/vektornye-diagrammy/
  • https://electrikam.com/vektornye-diagrammy-postroenie-vektornyx-diagramm/
  • https://plastep.ru/dayte-obyasnenie-kachestvennoy-diagrammy-napryazheniy/

[свернуть]

Определение

Векторная диаграмма токов и напряжений — это геометрическое изображение всех процессов, величин и амплитуд синусоидального тока. Все имеющиеся величины располагаются на плоскости в виде векторов.

Построение векторной диаграммы использует физика и электротехника. Благодаря созданию такой диаграммы можно значительно упростить выполняемые расчеты, а так же в наглядном и доступном виде отобразить происходящие процессы.

Метод векторных диаграмм позволяет также увидеть в цепи переменного тока возникающие короткие и межфазовые замыкания, а также вычислить возможные потери мощности.

векторная и временная диаграмма

Обычно такая диаграмма строится вместе с временной. Временная диаграмма — это графическое изображение входа и выхода в электрической цепи. Временные диаграммы помогают определить временной промежуток между началом, протеканием и окончанием сигнала. Например, при нажатии на кнопку возникает сигнал, который поступает к приемнику и запускает процесс его работы.

Временные диаграммы также применимы к синусоидальной электрической цепи, так как этот ток имеет начальную точку отсчета (включение питания) и время движения от источника тока к потребителю. Такие диаграммы представляют собой график, на котором изображается начальная точка отсчета, вектор времени и углы смещения фаз.

Векторные диаграммы и комплексное представление

Векторные диаграммы можно считать вариантом (и иллюстрацией) представления колебаний в виде комплексных чисел. При таком сопоставлении ось Ox соответствует оси действительных чисел, а ось Oy – оси чисто мнимых чисел (положительный единичный вектор вдоль которой есть мнимая единица).

Тогда вектор длиной A, вращающийся в комплексной плоскости с постоянной угловой скоростью ω с начальным углом φ0 запишется как комплексное число

а его действительная часть-есть гармоническое колебание с циклической частотой ω и начальной фазой φ0.

Хотя, как видно уже из вышесказанного, векторные диаграммы и комплексное представление колебаний теснейшим образом связаны и по сути представляют собой варианты или разные стороны одного и того же метода, они, тем не менее, обладают своими особенностями и могут применяться и по отдельности.

  • Метод векторных диаграмм может излагаться отдельно в курсах электротехники или элементарной физики, если по тем или иным причинам (обычно связанным с умеренным уровнем математической подготовки учащихся и недостатком времени) надо избежать использования комплексных чисел (в явном виде) вообще.
  • Метод комплексного представления (который при необходимости или желании может включать и графическое представление, что, правда, совершенно не обязательно и иногда излишне) вообще говоря более мощен, т.к. естественно включает в себя, например, составление и решение систем уравнений любой сложности, в то время как метод векторных диаграмм в чистом виде всё же ограничен задачами, подразумевающим суммирование, которое можно изобразить на одном чертеже.
  • Однако метод векторных диаграмм (в чистом виде или в качестве графической составляющей метода комплексного представления) – более нагляден, а значит в некоторых случаях потенциально более надежен (позволяет до некоторой степени избежать грубых случайных ошибок, которые могут встречаться при абстрактных алгебраических вычислениях) и позволяет в некоторых случаях достичь в каком-то смысле более глубокого понимания задачи.

Разновидности векторных диаграмм

Для корректного отображения переменных величин, которые определяют функциональность радиотехнических устройств, хорошо подходит векторная графика. Подразумевается соответствующее изменение основных параметров сигнала по стандартной синусоидальной (косинусоидальной) кривой. Для наглядного представления процесса гармоническое колебание представляют, как проекцию вектора на координатную ось.

С применением типовых формул несложно рассчитать длину, которая получится равной амплитуде в определенный момент времени. Угол наклона будет показывать фазу. Суммарные влияния и соответствующие изменения векторов подчиняются обычным правилам геометрии.

Различают качественные и точные диаграммы. Первые применяют для учета взаимных связей. Они помогают сделать предварительную оценку либо используются для полноценной замены вычислений. Другие создают с учетом полученных результатов, которые определяют размеры и направленность отдельных векторов.

Векторная диаграмма токов и напряжений
Круговая диаграмма

Допустим, что надо изучить изменение параметров тока в цепи при разных значениях сопротивления резистора в диапазоне от нуля до бесконечности. В этой схеме напряжение на выходе (U) будет равно сумме значений (UR и UL) на каждом из элементов. Индуктивный характер второй величины подразумевает перпендикулярное взаимное расположение, что хорошо видно на части рисунка б). Образованные треугольники отлично вписываются в сегмент окружности 180 градусов. Эта кривая соответствует всем возможным точкам, через которые проходит конец вектора UR при соответствующем изменении электрического сопротивления. Вторая диаграмма в) демонстрирует отставание тока по фазе на угол 90°.

Векторная диаграмма токов и напряжений
Линейная диаграмма

Здесь изображен двухполюсный элемент с активной и реактивной составляющими проводимости (G и jB, соответственно). Аналогичными параметрами обладает классический колебательный контур, созданный с применением параллельной схемы. Отмеченные выше параметры можно изобразить векторами, которые расположены постоянно под углом 90°. Изменение реактивной компоненты сопровождается перемещением вектора тока (I1…I3). Образованная линия располагается перпендикулярно U и на расстоянии Ia от нулевой точки оси координат.

Примеры применения

В следующих разделах приведены описания задач, которые решают с помощью представленной методики. Следует подчеркнуть, что применение комплексных чисел пригодно для сложных расчетов с высокой точностью. Однако на практике достаточно часто сравнительно простой векторной графики с наглядным отображением исходной информации на одном рисунке.

Механика, гармонический осциллятор

Таким термином обозначают устройство, которое можно вывести из равновесного состояния. После этого система возвращается в сторону исходного положения, причем сила (F) соответствующего воздействия зависит от дальности первичного перемещения (d) прямо пропорционально. Величину ее можно уточнить с помощью постоянного корректирующего коэффициента (k). Отмеченные определения связаны формулой F=-d*k

К сведению. Аналогичные процессы происходят в системах иной природы. Пример – создание аналога на основе электротехнического колебательного контура (последовательного или параллельного). Формулы остаются теми же с заменой соответствующих параметров.

Свободные гармонические колебания без затухания

Продолжая изучение темы на примерах механических процессов, можно отметить возможность построения двухмерной схемы. Скорость в этом случае на оси Х отображается так же, как и в одномерном варианте. Однако здесь можно учесть дополнительно фактор ускорения, которое направляют под углом 90° к предыдущему вектору.

Гармонический осциллятор с затуханием и внешней вынуждающей силой

В этом случае также можно воспользоваться для изучения взаимного влияния дополнительных факторов векторной графикой. Как и в предыдущем примере, скорость и другие величины представляют в двухмерном виде. Чтобы правильно моделировать процесс, проверяют суммарное воздействие внешних сил. Его направляют к центру системы (точке равновесия). С применением геометрических формул вычисляют амплитуду механических колебаний после начального воздействия с учетом коэффициента затухания и других значимых факторов.

Расчет электрических цепей

Векторную графику применяют для сравнительно несложных цепей, которые созданы из набора элементов линейной категории: конденсаторы, резисторы, катушки индуктивности. Для более сложных схем пользуются методикой расчета «Комплексных амплитуд», в которой реактивные компоненты определяют с помощью импедансов.

Векторная диаграмма в данном случае выполняет функцию вспомогательного чертежа, который упрощает решение геометрических задач. Для катушек и конденсаторов, чтобы не пользоваться комплексным исчислением, вводят специальный термин – реактивное сопротивление. При синусоидальном токе изменение напряжения на индуктивном элементе описывается формулой U=-L*w*I0sin(w*t+f0).

Несложно увидеть подобие с классическим законом Ома. Однако в данном примере изменяется фаза. По этому параметру на конденсаторе напряжение отстает от тока на 90°. В индуктивности – обратное распределение. Эти особенности учитывают при размещении векторов на рисунке. В формуле учитывается частота, которая оказывает влияние на величину этого элемента.

Преобразование Фурье

Векторные технологии применяют для анализа спектров радиосигналов в определенном диапазоне. Несмотря на простоту методики, она вполне подходит для получения достаточно точных результатов.

Сложение двух синусоидальных колебаний

В ходе изучения таких источников сигналов рекомендуется работать со сравнительно небольшой разницей частот. Это поможет создать график в удобном для пользователя масштабе.

Фурье-образ прямоугольного сигнала

В этом примере оперируют суммой синусоидальных сигналов. Последовательное сложение векторов образует многоугольник, вращающийся вокруг единой точки. Для правильных расчетов следует учитывать отличия непрерывного и дискретного распределения спектра.

Для этого случая пользуются тем же отображением отдельных синусоид в виде векторов, как и в предыдущем примере. Суммарное значение также вписывается в окружность.

Дифракция

Для этого случая пользуются тем же отображением отдельных синусоид в виде векторов, как и в предыдущем примере. Суммарное значение также вписывается в окружность.

Как построить векторную диаграмму токов и напряжений

Расчеты в цепях с синусоидальными напряжениями и токами упрощаются, если вместо синусоид оперировать с их изображениями — вращающимися векторами (рис. 1).

Векторная диаграмма токов и напряжений

Проекция конца вектора на ось координат совершает синусоидальные колебания : каждое мгновенное значение тока, соответствующее моменту времени Векторная диаграмма токов и напряжений
и фазовому углу Векторная диаграмма токов и напряжений
, можно рассматривать как проекцию на ось ординат вектора, повернувшегося на фазовый угол относительно оси абсцисс.

Если что-то непонятно — вы всегда можете написать мне в WhatsApp и я вам помогу!

Таким образом, синусоидальная функция условно представляется вектором, длина которого определяется максимальным или действующим ее значением, а направление — ее начальной фазой; положительная начальная фаза откладывается от горизонтальной оси в сторону вращения векторов (против часовой стрелки). Векторы токов и напряжений, вращаясь с одной и той же

Векторная диаграмма токов и напряжений

угловой скоростью Векторная диаграмма токов и напряжений
,. неподвижны относительно друг друга. Условное изображение синусоидально изменяющихся во времени токов и напряжении при помощи векторов позволило записать в векторной форме первый и второй законы Кирхгофа.

Алгебраическому суммированию синусоид, т.е. суммированию их мгновенных значений, соответствуют геометрические действия над изображающими их векторами. Применение в этой форме законов Кирхгофа даст возможность путем построения векторных диаграмм достаточно просто и наглядно рассчитывать электрические цепи. Приступая к графическому расчету пеней переменного тока, следует помнить, что физические процессы на участках цепи с сопротивлением, индуктивностью, емкостью весьма различны.

Векторная диаграмма токов и напряжений

Соответственно вектор тока и вектор напряжения имеют одно направление.

Векторная диаграмма токов и напряжений

В индуктивном элементе ток отстает от напряжения на Векторная диаграмма токов и напряжений
и соответственно располагаются векторы (рис.3). Закон Ома для участка цепи только с индуктивными сопротивлением записывается Векторная диаграмма токов и напряжений
.

Векторная диаграмма токов и напряжений

В емкостном элементе в активном сопротивлении ток и напряжение совпадают по фазе (рис.2), ток опережает напряжение на Векторная диаграмма токов и напряжений
( расположение вектора напряжения и тока показано на рис.4); закон Ома для участка цепи только с емкостным сопротивлением записывается Векторная диаграмма токов и напряжений
или Векторная диаграмма токов и напряжений
.

Рассмотрим расчет разветвленных электрических цепей с помощью векторных диаграмм.

Графоаналитический метод расчета

Графоаналитический метод расчета — это совокупность графического метода и метода пропорционального пересчета. Метод основан на том, что в линейной цепи токи пропорциональны напряжениям, векторная диаграмма напряжений и токов, рассчитанная и построенная для одного значения питающего цепь напряжения, сохранит свой вид при изменении величины этого напряжения, на диаграмме при этом изменятся лишь масштабы напряжений и токов.

Для цепи (рис.5) известны параметры

Векторная диаграмма токов и напряжений
Векторная диаграмма токов и напряжений

Требуется определить действующее значение токов ветвей, напряжений на участках цепи, начальные фазы токов и напряжений.

Построение векторной диаграммы начинается с наиболее удаленного источника элемента цепи, как говорят, с «конца» схемы. Принимаем масштабы для тока Векторная диаграмма токов и напряжений
и для напряжения Векторная диаграмма токов и напряжений . Задаем значение тока в ветви Векторная диаграмма токов и напряжений , определяем и строим на диаграмме напряжения на участках ветви Векторная диаграмма токов и напряжений .

Падение напряжения на емкостном сопротивлении равно по величине Векторная диаграмма токов и напряжений и отстает по фазе от тока на 90° (вектор Векторная диаграмма токов и напряжений на диаграмме).

Падение напряжения на Векторная диаграмма токов и напряжений по величине равно Векторная диаграмма токов и напряжений  и совпадает по фазе с током . Вектор напряжения ориентируем на диаграмме относительно тока . Сумма векторов Векторная диаграмма токов и напряжений  и Векторная диаграмма токов и напряжений  определяет напряжение на участке Векторная диаграмма токов и напряжений . Из диаграммы но масштабу Векторная диаграмма токов и напряжений  определяем величину напряжения Векторная диаграмма токов и напряжений . Далее используем закон Ома для участка цепи с сопротивлением, находим ток , так как Векторная диаграмма токов и напряжений то Векторная диаграмма токов и напряжений
Векторная диаграмма токов и напряжений . Для узла Векторная диаграмма токов и напряжений  уравнение по первому закону Кирхгофа запишется Векторная диаграмма токов и напряжений . Определив величину тока , построим вектор , приняв за начало построения коней вектора тока. Вектор тока строится под углом к вектору напряжения — в сторону отставания, так как ток — ток через индуктивный элемент, он оттает от напряжения . Сумма векторов токов и дает вектор — ток в общей ветви цепи, он равен Векторная диаграмма токов и напряжений  (взят в масштабе с диаграммы).

Векторная диаграмма токов и напряжений

Запишем и графически решим уравнение по второму закону Кирхгофа для контура Векторная диаграмма токов и напряжений . Перейдем к построению этого уравнения. Примем конец вектора за начало построения вектора напряжения Векторная диаграмма токов и напряжений  — падение напряжения на индуктивном сопротивлении. Вектор этого напряжения опережает по фазе ток на, строим его. Принимаем конец вектора Векторная диаграмма токов и напряжений за начало построения вектора напряжения на активном сопротивлении. Величина напряжения Векторная диаграмма токов и напряжений
Векторная диаграмма токов и напряжений , вектор напряжения совпадает по фазе с током, строим его параллельно вектору тока. Принимаем конец вектора за начало построения вектора — напряжения на емкостном сопротивлении , вектор отстает от вектора тока . Если теперь соединим начало координат точку с концом вектора (точка «а» диаграммы напряжений), получим вектор приложенного к цепи напряжения, равный 15В (с масштаба напряжений). Если напряжение, приложенное к цепи имеет другую величину, например, 90 В. то в силу линейности законов Кирхгофа все токи и падения напряжения увеличатся в Векторная диаграмма токов и напряжений  раз, где Векторная диаграмма токов и напряжений , но взаимное расположение вектором на диаграмме не изменится. Входное напряжение имеет начальную фазу Векторная диаграмма токов и напряжений , учтем что и построим ось отсчета углов начальных фаз. К вектору напряжения проведем луч из начала построения под углом Векторная диаграмма токов и напряжений , луч будет осью отсчета углов начальных фаз всех токов и напряжений.

Пользуясь векторной диаграммой, можно записать мгновенные значения всех рассчитанных величин. Например, ток во второй ветви:

Векторная диаграмма токов и напряжений

Напряжение участка Векторная диаграмма токов и напряжений  и т.д.

Построенная в такой последовательности векторная диаграмма напряжений носит название топографической.

Топографическая диаграмма

Топографические диаграммы представляют собой диаграммы комплексных потенциалов, причем каждой точке схемы соответствует определенная точка на топографической диаграмме.

Топографическая диаграмма позволяет измерить величину и начальную фазу напряжения любого участка цепи, не участвующею в расчете. Например,

Векторная диаграмма токов и напряжений

В действующее значение напряжения между точками Векторная диаграмма токов и напряжений  и схемы Векторная диаграмма токов и напряжений и начальная фаза Векторная диаграмма токов и напряжений . тогда

Рассмотрим пример построения топографической диаграммы на комплексной плоскости.

Дана цепь (рис.7), её параметры:

Векторная диаграмма токов и напряжений
Векторная диаграмма токов и напряжений

Комплексным методом рассчитаем токи цепи:

Векторная диаграмма токов и напряжений

Строим на векторной плоскости диаграмму токов в масштабе Векторная диаграмма токов и напряжений
(рис.8). Для построения топографической диаграммы напряжений принимаем потенциал узла
равным нулю, Векторная диаграмма токов и напряжений . Тогда точка будет находиться в начале координат комплексной плоскости. Вычислим комплексы напряжении на каждом из элементов цепи, обходя из точки цепь против направления тока Векторная диаграмма токов и напряжений . При таком направлении обхода напряжение на сопротивлении Векторная диаграмма токов и напряжений Векторная диаграмма токов и напряжений

Строим вектор на комплексной плоскости (рис.8).

Из точки под углом Векторная диаграмма токов и напряжений к действительной полуоси +1 откладываем модуль Векторная диаграмма токов и напряжений
в масштабе Векторная диаграмма токов и напряжений . Вершина построенного вектора соответствует точке. Стрелку вектора следует направить к точке т.е противоположно направлению стрелки напряжения на схеме цепи, топографической диаграмме вектор должен опережать но фазе вектор тока Векторная диаграмма токов и напряжений на 90°. Находим напряжение на сопротивлении Векторная диаграмма токов и напряжений :

Векторная диаграмма токов и напряжений

По полученному выражению из точки строим вектор. Вершиной вектора является точка .

Контроль построения: вектор должен совпадать по фазе с вектором тока Векторная диаграмма токов и напряжений .Теперь находим напряжение на индуктивности Векторная диаграмма токов и напряжений :

Векторная диаграмма токов и напряжений

Из точки строим вектор. Вершиной построенного вектора является точка.

Контроль построения: вектор должен опережать по фазе вектор тока на. Переходя по контуру в выбранном направлении, находим последовательно положение точек Векторная диаграмма токов и напряжений на комплексной плоскости. Вектор, соединяющий начало координат и точку. представляет собой ЭДС источника Векторная диаграмма токов и напряжений .

Пользуясь топографической диаграммой, легко определить напряжения между любыми точками цепи. Например, комплекс напряжения определяется вектором, соединяющим точки и и направленным к точке (показан на рис.8 пунктиром). Измеряя на диаграмме модуль и начальную фазу вектора находим Векторная диаграмма токов и напряжений .

ПримсрЗ. Рассмотрим расчет цепи на рис.7 графоаналитическим методом

Зададимся условным значением тока, пусть Векторная диаграмма токов и напряжений . В масштабе Векторная диаграмма токов и напряжений Векторная диаграмма токов и напряжений
строим значение тока , полагая, что точка находится в начале координат. Выбранному условному значению тока однозначно соответствуют условные значения всех остальных токов и напряжений в цепи. Эти напряжения и токи снабжаем меткой «штрих». Находим напряжение
Векторная диаграмма токов и напряжений

В масштабе Векторная диаграмма токов и напряжений  строим вектор напряжения, совпадающий по фазе с вектором тока ( рис.9).

Вычислив напряжение Векторная диаграмма токов и напряжений , строим вектор напряжения Векторная диаграмма токов и напряжений , опережающий по фазе вектор тока на 90′. Соединив точки и, получаем вектор Векторная диаграмма токов и напряжений . Измеряя линейкой его длину с учетом масштаба напряжений, находим Векторная диаграмма токов и напряжений . По закону Ома находим ток Векторная диаграмма токов и напряжений   Векторная диаграмма токов и напряжений

Из конца вектора тока строим вектор тока, опережающий по фазе вектор напряжения Векторная диаграмма токов и напряжений  на. Векторно суммируя токи и находим ток . Измеряя линейкой длину вектора тока находим Векторная диаграмма токов и напряжений . Зная токи вычисляем напряжения Векторная диаграмма токов и напряжений .

Векторная диаграмма токов и напряжений
Векторная диаграмма токов и напряжений

Рис.9

Из точки строим вектор напряжения Векторная диаграмма токов и напряжений , отстающего но фазе от тока на и вектор напряжения Векторная диаграмма токов и напряжений  совпадающего по фазе с током. Чтобы определить токи Векторная диаграмма токов и напряжений  и Векторная диаграмма токов и напряжений  для участка цепи, построим дополнительную векторную диаграмму Векторная диаграмма токов и напряжений . Пусть Векторная диаграмма токов и напряжений  Тогда

Векторная диаграмма токов и напряжений
Векторная диаграмма токов и напряжений

С учетом фазовых соотношений между током и напряжениями Векторная диаграмма токов и напряжений  строим диаграмму (рис. 10). Измеряя длину вектора Векторная диаграмма токов и напряжений , с учетом масштаба напряжений находим его величину Векторная диаграмма токов и напряжений . Тогда величина тока определяется следующим образом Векторная диаграмма токов и напряжений .

Построив вектор и суммируя векторы токов и, из диаграммы на рис. 10 находим Векторная диаграмма токов и напряжений .

Чтобы привести диаграмму на рис.10 в соответствие с найденными ранее значениями тока, находим коэффициент пересчета

Векторная диаграмма токов и напряжений

Умножая длины всех векторов на рис.10 на коэффициент Векторная диаграмма токов и напряжений
и сохраняя неизменными фазовые углы, получим векторную диаграмму участка, соответствующую току.

Векторная диаграмма токов и напряжений

Измеряем угол Векторная диаграмма токов и напряжений  на диаграмме рис.10:

Под углом по отношению к вектору на рис.9 из точки Векторная диаграмма токов и напряжений строим вектор Векторная диаграмма токов и напряжений . Найдем теперь напряжение Векторная диаграмма токов и напряжений :

Векторная диаграмма токов и напряжений

Поскольку напряжение, опережает по фазе ток на 90°. то вектор строится так, как показано на Рис.9. Соединяя точки и Векторная диаграмма токов и напряжений
получаем вектор Векторная диаграмма токов и напряжений . Измеряя его длину находим

Векторная диаграмма токов и напряжений

Векторная диаграмма на рис.9 является также и топографической диаграммой. ЭДС превышает ЭДС Векторная диаграмма токов и напряжений :

Векторная диаграмма токов и напряжений

Поскольку рассчитываемая цепь линейна, то напряжения и токи, вызываемые ЭДС, превышают условные напряжения Векторная диаграмма токов и напряжений и токи Векторная диаграмма токов и напряжений
также в = 3.4 раза.

Таким образом

Векторная диаграмма токов и напряжений

Чтобы измерить начальные фазы токов и напряжений, следует на рис.9 выбрать такую систему координат, в которой ЭДС Векторная диаграмма токов и напряжений
имеет соответствующую заданию начальную фазу. Так как Векторная диаграмма токов и напряжений , то поместив начало координат в точку, действительную полуось совмещаем с направлением ЭДС, а полуось Векторная диаграмма токов и напряжений
строим ортогонально оси 4 1, как показано на рис.9.

Рассмотрим пример построения векторной диаграммы по известным токам и напряжениям (действующие значения напряжений и токов получены экспериментально). В этом случае при помощи векторной диаграммы можно решить обратную задачу расчета цепи: но токам и напряжениям цепи определить эквивалентные параметры двухполюсников, составляющих цепь.

Векторная диаграмма сложной электрической цепи

Векторная диаграмма для сложной электрической цепи может быть построена только после расчета этой цепи; строится она на комплексной плоскости по известным комплексам токов всех ветвей и комплексам напряжений на каждом элементе цепи. Пример 5. Заданы источники энергии, сопротивления схемы Векторная диаграмма токов и напряжений

Векторная диаграмма токов и напряжений

Векторная диаграмма токов и напряжений

В результате расчета определены токи в ветвях:

Векторная диаграмма токов и напряжений

и падения напряжений на каждом элементе схемы:

Векторная диаграмма токов и напряжений
Векторная диаграмма токов и напряжений

Для построения векторной диаграммы составим уравнение по первому и второму законам Кирхгофа в общем виде и в численном выражении:

Векторная диаграмма токов и напряжений

Векторная диаграмма токов и напряжений
— напряжение на участке с источником тока.

Векторная диаграмма токов и напряжений

Приступим к построению уравнения (4). В выбранном масштабе токов Векторная диаграмма токов и напряжений
на комплексной плоскости (Рис.14) строим ток Векторная диаграмма токов и напряжений , из его конца — ток Векторная диаграмма токов и напряжений . Соединяем начало координат с концом вектора тока Векторная диаграмма токов и напряжений , получим вектор тока Векторная диаграмма токов и напряжений
(построение можно вести по модулю комплекса тока и аргументу, можно строить действительные и мнимые составляющие токов).

Построена векторная диаграмма токов, отображающая уравнение (4). Для узла 2 графически решаем уравнение (5); из начала координат строим комплекс тока Векторная диаграмма токов и напряжений , к току Векторная диаграмма токов и напряжений  прибавляя ток источника тока J, сумма этих токов по уравнению (5) равна сумме комплексов токов Векторная диаграмма токов и напряжений
и Векторная диаграмма токов и напряжений , из начала координат строим ток Векторная диаграмма токов и напряжений , из его конца — ток Векторная диаграмма токов и напряжений . Получаем замкнутый многоугольник. Гак как по 1 закону Кирхгофа независимых уравнений может быть составлено два, ограничиваемся построенными на диаграмме двумя уравнениями.

  • Перейдем к построению двух независимых уравнений второго закона Кирхгофа (7 и 8).

Из начала координат строим комплекс напряжения Векторная диаграмма токов и напряжений
— напряжение на участке с активным сопротивлением совпадает по направлению с током Векторная диаграмма токов и напряжений . Из конца Векторная диаграмма токов и напряжений  строим Векторная диаграмма токов и напряжений
— напряжение на емкости (это паление напряжения отстает от тока Векторная диаграмма токов и напряжений  на 90°), сумма этих комплексов напряжений равна комплексу ЭДС Векторная диаграмма токов и напряжений , действующей в цепи — соединяем начало построения т. О с концом комплекса напряжения Векторная диаграмма токов и напряжений .

Комплекс ЭДС Векторная диаграмма токов и напряжений  был задан действительным числом , так мы и получили на диаграмме: вектор напряжения

Векторная диаграмма токов и напряжений
направлен по действительной оси.

Для контура 1-3-2-1 строится комплекс напряжения Векторная диаграмма токов и напряжений . Вектор Векторная диаграмма токов и напряжений  из конца Векторная диаграмма токов и напряжений  строим напряжение — Векторная диаграмма токов и напряжений , замыкающим вектором будет напряжение — Векторная диаграмма токов и напряжений
(алгебраическая сумма комплексов напряжений в этом контуре равна 0). Используя векторную диаграмму, моно графически определить напряжение источника тока Векторная диаграмма токов и напряжений , обозначим его Векторная диаграмма токов и напряжений . Для контура 1-3- Векторная диаграмма токов и напряжений -2-1 уравнение но второму закону Кирхгофа Векторная диаграмма токов и напряжений . На диаграмме вычтем из комплекса Векторная диаграмма токов и напряжений  напряжение Векторная диаграмма токов и напряжений , получим . Векторная диаграмма токов и напряжений .

Алгоритм создания лучевой векторной диаграммы в Excel

Чтобы упростить наш урок, давайте предположим, что мы говорим об отношениях не между четырнадцатью как на графике, а пока только с 4-ма людьми по имени Антон, Алиса, Борис и Белла.

Наша матрица уровня отношений и связей между ними выглядит следующим образом:

  • 0 значит отсутствие отношений;
  • 1 означает слабые отношения (например: Антон и Алиса просто знают друг друга);
  • 2 означает крепкие отношения (например, Борис и Алиса друзья).

Как можно геометрически смоделировать визуализацию этих исходных данных? Если бы мы нарисовали отношения между этими четырьмя людьми (Антон, Алиса, Борис и Белла), это схематически выглядело бы так:

2 критерия, которые нам нужно определить:

  1. Расположение точек (где печатаются имена людей).
  2. Линии (начальная и конечная точка соединения линий).

Определение и построение точек

Сначала нам нужно построить наши точки таким образом, чтобы промежуток между каждой точкой был одинаковым. Это создаст сбалансированный график.

Какая геометрическая фигура максимально удовлетворяет нашу потребность в таких равных промежутках? Конечно же круг!

Вы можете возразить, что на готовой модели диаграммы нет фигуры круга. Да действительно нет –вот так. Нам не нужно рисовать круг. Нам просто нужно построить точки вокруг него.

Таким образом, у нас есть 4 заинтересованные стороны, нам нужно 4 точки:

  1. Если у нас 12 заинтересованных сторон, нам нужно 12 точек.
  2. Если у нас есть 20, нам нужно 20 точек.

Предполагая, что источником нашего круга является (x, y), радиус – это r, а тета – 360, деленная на количество нужных нам точек. Первая точка (x1, y1) на окружности будет в этой позиции:

  • x1 = x + r * COS (тета);
  • y1 = y + r * SIN (тета).

Как только все точки рассчитаны и подключены к XY-диаграмме (точечная диаграмма), давайте двигаться дальше.

Построение линий на лучевой диаграмме

Допустим, у нас в сети есть n человек. Это означает, что каждый человек может иметь максимум n-1 отношений.

Таким образом, общее количество возможных линий на нашем графике равно n * (n-1) / 2.

Нам нужно разделить его на 2, как будто A знает B, тогда B тоже знает A. Но нам нужно нарисовать только 1 линию.

Шаблон лучевой диаграммы для анализа сетевого графика настроен для работы с 20 людьми. Его можно скачать в конце статьи и использовать как готовый аналитический инструмент визуализации данных связей. Это означает, что максимальное количество строк, которое мы можем иметь, будет равно 190.

Каждая строка требует добавления отдельной серии на график. Это означает, что нам нужно добавить 190 серий данных только для 20 человек. И это удовлетворяет только одному типу линии (пунктирная или толстая). Если нам нужны разные линии в зависимости от типа отношений, нам нужно добавить еще 190 серий.

Это больно и смешно одновременно. К счастью, выход есть!

Мы можем использовать гораздо меньшее количество серий и по-прежнему строить один и тот же график.

Допустим, у нас есть 4 человека – A,B,C и D. Ради простоты, давайте предположим, что координаты этих 4-х участников следующие:

  • А – (0,0);
  • B – (0,1);
  • С – (1,1);
  • Д – (1,0).

И скажем, A имеет отношения с B, C и D.

Это означает, что нам нужно нарисовать 3 линии, от A до B, от A до C и A до D.

Теперь, вместо того, чтобы поставить 3 серии для диаграммы, что если мы поставим одну длинную серию, которая выглядит следующим образом:

(0,0), (0,1), (0,0), (1,1), (0,0), (1,0)

Это означает, что мы просто рисуем одну длинную линию от A до B, от A до C, от A до D. Договорились, что это не прямая линия, но точечные диаграммы Excel могут нарисовать любую линию, если вы предоставите ей набор координат.

Таким образом, вместо 190 рядов данных для диаграммы нам просто нужно 20 рядов.

На последнем графике мы имеем 40 + 2 + 1 ряд данных. Это потому что:

  • 20 линий для слабых отношений (пунктирные линии);
  • 20 линий для прочных отношений (толстые линии);
  • 1 строка для выделения синим цветом слабых отношений выделенного участника;
  • 1 строка для выделения зеленым цветом сильных отношений выделенного участника;
  • 1 комплект без линий, а просто точек для подписей данных на графике.

Как сгенерировать все 20 серий данных:

Это требует следующей логики:

  • Предполагая, что нам нужны линии для отношений человека n.
  • Точка этого человека будет (Xn, Yn) и уже рассчитана ранее (в точках на графике вокруг круга).
  • Нам нужно всего 40 строк данных.
  • Каждая нечетная строка будет иметь (Xn, Yn).
  • Для каждого четного ряда:
  • разделите номер строки на 2, чтобы получить номер человека (скажем, m
  • (Xn, Yn), если нет отношений между n и m
  • (Xm, Ym), если есть отношения.

Нам нужны формулы MOD и INDEX для выражения этой логики в Excel.

Как только все координаты линии будут рассчитаны, добавьте их к нашему точечному графику как новые ряды используя инструмент из дополнительного меню: «РАБОТА С ДИАГРАММАМИ»-«КОНСТРУКТОР»-«Выбрать данные» в окне «Выбор источника данных» используйте кнопку «Добавить» для добавления всех 43-х рядов.

Реализовывать создание такой лучевой диаграммы связей будем в 3 этапа:

  1. Подготовка исходных данных.
  2. Обработка данных.
  3. Визуализация.

Сложение и вычитание векторов

Главным достоинством векторных — это возможность простого сложения и вычитания двух величин. Например: требуется сложить, два тока, заданных уравнениями

Сложим два заданных тока i1 и i2 по известному правилу сложения векторов (рис. 12.12, а). Для этого изобразим токи в виде векторов из общего начала 0. Результирующий вектор найдем как диагональ параллелограмма, построенного на слагаемых векторах:

Im = Im1 + Im2

Сложение векторов, особенно трех и более, удобнее вести в таком порядке: один вектор остается на месте, другие переносятся параллель
но самим себе так, чтобы начало последующего вектора совпало с концом предыдущего.

Вектор Im, проведенный из начала первого вектора в конец последнего, представляет собой сумму всех векторов (рис. 12.12, б).

Вычитание одного вектора из другого выполняют сложением прямого вектора (уменьшаемого) и обратного (вычитаемого) (рис. 12.13):

При сложении синусоидальных величин в отдельных случаях можно применить аналитическое решение: применительно к рис. 12.12, а — по теореме косинусов; к рис. 12.14, а — сложение модулей векторов; б — вычитание модулей векторов, в — по теореме Пифагора.

Предыдущая

ТеорияЭлектрический шок

Следующая

ТеорияКуда течет ток и как определить его направление?

Для написания закона Ома для более сложных цепей, содержащих различные активные и реактивные сопротивления, удобно пользоваться методом векторных диаграмм.
Например, нарисуем векторную диаграмму для цепи с последовательно включёнными резистором, конденсатором и катушкой (рис. (1)), источник тока в которой создаёт переменное напряжение с максимальным значением (U_{0}).

Frame 535.png

Рис. (1). Цепь переменного тока

В этом случае ток в цепи будет описываться законом:
(I=I_{m} cos(omega t)),  ((1))
а изменение напряжения — законом:
(U=U_m cos(omega t +varphi_0)),  ((2))
где (varphi_0) — сдвиг фаз между током и напряжением.

Мгновенная сила тока (I) на всех элементах цепи одинакова, поскольку соединение — последовательное. Отложим вектор, условно изображающий величину силы тока (I_m) по горизонтальной оси (рис. (2)).

Frame 536.png

Рис. (2). Инфографика к методу векторных диаграмм

Для активного сопротивления (R) закон изменения тока во времени имеет вид:
(I=frac{U_{m}}{R} cos(omega t)).

Поскольку напряжение на активном сопротивлении совпадает по фазе с силой тока, отложим вектор, характеризующий максимальное напряжение на активном сопротивлении (vec{U}_R) длины (I_m cdot R) по горизонтальной оси.
Напряжение на конденсаторе (U_C) отстаёт по фазе от тока на (frac{pi}{2}), а напряжение на катушке (U_L) опережает ток по фазе на (frac{pi}{2}). Это просто запомнить с помощью фразы: «Ток запутался в катушке».
Таким образом, угол между вектором (I_m) и вектором (vec{U}_L) c длиной ( I_m cdot X_L) составляет (+frac{pi}{2}), а угол между вектором (I_m) и вектором (vec{U}_C) длиной (I_m cdot X_L) составляет (-frac{pi}{2}) (рис. (2)).
Теперь найдём вектор напряжения на всей цепи:
(vec{U}_m=vec{U}_R+vec{U}_C+vec{U}_L)
и нарисуем его на векторной диаграмме (зелёная стрелка на рис. (2)). Отношение длины вектора (U_m), которую можно найти по теореме Пифагора, к длине вектора (I_m) определяет полное сопротивление цепи переменного тока (Z):
(boxed{Z=sqrt{R^2+left(X_L-X_Cright)}}).  ((3))
Сдвиг фаз (varphi_0) определяется как:
(boxed{tg (varphi_0)=frac{X_L-X_C}{R}}).  ((4))

Средняя мощность, выделяемая на активном сопротивлении (R), может быть вычислена по формуле:
(boxed{P_R=I_m^2 R cos (varphi_0)}).  ((5))
Параметр (cos(varphi_0)) называется коэффициентом мощности. Он показывает, какая часть потребляемой от источника мощности может быть использована полезно (например, для нагревания), а какая часть мощности бесполезно расходуется на создание электрического поля в конденсаторе и магнитного поля в катушке. На практике стремятся увеличить коэффициент мощности, специальным образом добавляя в цепи реактивные компенсаторы — дополнительные конденсаторы и катушки индуктивности.
В ситуации, когда (X_L=X_C), наступает явление резонанса и вся мощность выделяется на активном сопротивлении.

Источники:

Рис. 1. Цепь переменного тока. © ЯКласс.

Рис. 2. Инфографика к методу векторных диаграмм. © ЯКласс.

Как построить векторную диаграмму токов и напряжений

Расчеты в цепях с синусоидальными напряжениями и токами упрощаются, если вместо синусоид оперировать с их изображениями — вращающимися векторами (рис. 1).

Векторная диаграмма токов и напряжений

Проекция конца вектора на ось координат совершает синусоидальные колебания : каждое мгновенное значение тока, соответствующее моменту времени Векторная диаграмма токов и напряжений и фазовому углу Векторная диаграмма токов и напряжений, можно рассматривать как проекцию на ось ординат вектора, повернувшегося на фазовый угол относительно оси абсцисс.

Если что-то непонятно — вы всегда можете написать мне в WhatsApp и я вам помогу!

Таким образом, синусоидальная функция условно представляется вектором, длина которого определяется максимальным или действующим ее значением, а направление — ее начальной фазой; положительная начальная фаза откладывается от горизонтальной оси в сторону вращения векторов (против часовой стрелки). Векторы токов и напряжений, вращаясь с одной и той же

Векторная диаграмма токов и напряжений

угловой скоростью Векторная диаграмма токов и напряжений,. неподвижны относительно друг друга. Условное изображение синусоидально изменяющихся во времени токов и напряжении при помощи векторов позволило записать в векторной форме первый и второй законы Кирхгофа.

Алгебраическому суммированию синусоид, т.е. суммированию их мгновенных значений, соответствуют геометрические действия над изображающими их векторами. Применение в этой форме законов Кирхгофа даст возможность путем построения векторных диаграмм достаточно просто и наглядно рассчитывать электрические цепи. Приступая к графическому расчету пеней переменного тока, следует помнить, что физические процессы на участках цепи с сопротивлением, индуктивностью, емкостью весьма различны.

Векторная диаграмма токов и напряжений

Соответственно вектор тока и вектор напряжения имеют одно направление.

Векторная диаграмма токов и напряжений

В индуктивном элементе ток отстает от напряжения на Векторная диаграмма токов и напряжений и соответственно располагаются векторы (рис.3). Закон Ома для участка цепи только с индуктивными сопротивлением записывается Векторная диаграмма токов и напряжений.

Векторная диаграмма токов и напряжений

В емкостном элементе в активном сопротивлении ток и напряжение совпадают по фазе (рис.2), ток опережает напряжение на Векторная диаграмма токов и напряжений ( расположение вектора напряжения и тока показано на рис.4); закон Ома для участка цепи только с емкостным сопротивлением записывается Векторная диаграмма токов и напряжений или Векторная диаграмма токов и напряжений.

Рассмотрим расчет разветвленных электрических цепей с помощью векторных диаграмм.

Графоаналитический метод расчета

К оглавлению…

Графоаналитический метод расчета — это совокупность графического метода и метода пропорционального пересчета. Метод основан на том, что в линейной цепи токи пропорциональны напряжениям, векторная диаграмма напряжений и токов, рассчитанная и построенная для одного значения питающего цепь напряжения, сохранит свой вид при изменении величины этого напряжения, на диаграмме при этом изменятся лишь масштабы напряжений и токов.

Пример №1.

Для цепи (рис.5) известны параметры

Векторная диаграмма токов и напряжений
Векторная диаграмма токов и напряжений

Требуется определить действующее значение токов ветвей, напряжений на участках цепи, начальные фазы токов и напряжений.

Построение векторной диаграммы начинается с наиболее удаленного источника элемента цепи, как говорят, с «конца» схемы. Принимаем масштабы для тока Векторная диаграмма токов и напряжений и для напряжения Векторная диаграмма токов и напряжений. Задаем значение тока в ветви Векторная диаграмма токов и напряжений, определяем и строим на диаграмме напряжения на участках ветви Векторная диаграмма токов и напряжений.

Падение напряжения на емкостном сопротивлении равно по величине Векторная диаграмма токов и напряжений и отстает по фазе от тока Векторная диаграмма токов и напряженийна 90° (вектор Векторная диаграмма токов и напряженийна диаграмме).

Падение напряжения на Векторная диаграмма токов и напряжений по величине равно Векторная диаграмма токов и напряжений и совпадает по фазе с током Векторная диаграмма токов и напряжений. Вектор напряжения ориентируем на диаграмме относительно тока Векторная диаграмма токов и напряжений. Сумма векторов Векторная диаграмма токов и напряжений и Векторная диаграмма токов и напряжений определяет напряжение на участке Векторная диаграмма токов и напряжений. Из диаграммы но масштабу Векторная диаграмма токов и напряжений определяем величину напряжения Векторная диаграмма токов и напряжений. Далее используем закон Ома для участка цепи с сопротивлением Векторная диаграмма токов и напряжений, находим ток Векторная диаграмма токов и напряжений, так как Векторная диаграмма токов и напряжений то Векторная диаграмма токов и напряженийВекторная диаграмма токов и напряжений.

Для узла Векторная диаграмма токов и напряжений уравнение по первому закону Кирхгофа запишется Векторная диаграмма токов и напряжений.

Определив величину тока Векторная диаграмма токов и напряжений, построим вектор Векторная диаграмма токов и напряжений, приняв за начало построения коней вектора тока Векторная диаграмма токов и напряжений. Вектор тока Векторная диаграмма токов и напряжений строится под углом Векторная диаграмма токов и напряжений к вектору напряжения Векторная диаграмма токов и напряжений— в сторону отставания, так как ток Векторная диаграмма токов и напряжений — ток через индуктивный элемент, он оттает от напряжения на Векторная диаграмма токов и напряжений. Сумма векторов токов Векторная диаграмма токов и напряжений и Векторная диаграмма токов и напряжений дает вектор Векторная диаграмма токов и напряжений— ток в общей ветви цепи, он равен Векторная диаграмма токов и напряжений (взят в масштабе с диаграммы).

Векторная диаграмма токов и напряжений

Запишем и графически решим уравнение по второму закону Кирхгофа для контура Векторная диаграмма токов и напряжений.

Перейдем к построению этого уравнения. Примем конец вектора Векторная диаграмма токов и напряжений за начало построения вектора напряжения Векторная диаграмма токов и напряжений — падение напряжения на индуктивном сопротивлении. Вектор этого напряжения опережает по фазе ток Векторная диаграмма токов и напряжений на Векторная диаграмма токов и напряжений, строим его.

Принимаем конец вектора Векторная диаграмма токов и напряжений за начало построения вектора напряжения Векторная диаграмма токов и напряжений на активном сопротивлении. Величина напряжения Векторная диаграмма токов и напряженийВекторная диаграмма токов и напряжений, вектор напряжения совпадает по фазе с током Векторная диаграмма токов и напряжений, строим его параллельно вектору тока Векторная диаграмма токов и напряжений. Принимаем конец вектора Векторная диаграмма токов и напряжений за начало построения вектора Векторная диаграмма токов и напряжений — напряжения на емкостном сопротивлении Векторная диаграмма токов и напряжений, вектор Векторная диаграмма токов и напряжений отстает на Векторная диаграмма токов и напряжений от вектора тока Векторная диаграмма токов и напряжений.

Если теперь соединим начало координат (точку Векторная диаграмма токов и напряжений с концом вектора Векторная диаграмма токов и напряжений (точка «а» диаграммы напряжений), получим вектор приложенного к цепи напряжения Векторная диаграмма токов и напряжений, равный 15В (с масштаба напряжений). Если напряжение, приложенное к цепи имеет другую величину, например, 90 В. то в силу линейности законов Кирхгофа все токи и падения напряжения увеличатся в Векторная диаграмма токов и напряжений раз, где Векторная диаграмма токов и напряжений, но взаимное расположение вектором на диаграмме не изменится.

Входное напряжение имеет начальную фазу Векторная диаграмма токов и напряжений, учтем что и построим ось отсчета углов начальных фаз. К вектору напряжения Векторная диаграмма токов и напряжений проведем луч Векторная диаграмма токов и напряжений из начала построения (точка Векторная диаграмма токов и напряжений под углом Векторная диаграмма токов и напряжений, луч Векторная диаграмма токов и напряжений будет осью отсчета углов начальных фаз всех токов и напряжений.

Пользуясь векторной диаграммой, можно записать мгновенные значения всех рассчитанных величин. Например, ток во второй ветви:

Векторная диаграмма токов и напряжений

Напряжение участка Векторная диаграмма токов и напряжений и т.д.

Построенная в такой последовательности векторная диаграмма напряжений носит название топографической.

Топографическая диаграмма

Топографические диаграммы представляют собой диаграммы комплексных потенциалов, причем каждой точке схемы соответствует определенная точка на топографической диаграмме.

Топографическая диаграмма позволяет измерить величину и начальную фазу напряжения любого участка цепи, не участвующею в расчете. Например,

Векторная диаграмма токов и напряжений

В действующее значение напряжения между точками Векторная диаграмма токов и напряжений и Векторная диаграмма токов и напряжений схемы Векторная диаграмма токов и напряжений и начальная фаза Векторная диаграмма токов и напряжений. тогда

Рассмотрим пример построения топографической диаграммы на комплексной плоскости.

Пример №2.

Дана цепь (рис.7), её параметры:

Векторная диаграмма токов и напряжений
Векторная диаграмма токов и напряжений

Комплексным методом рассчитаем токи цепи:

Векторная диаграмма токов и напряжений

Строим на векторной плоскости диаграмму токов в масштабе Векторная диаграмма токов и напряжений (рис.8). Для построения топографической диаграммы напряжений принимаем потенциал узла Векторная диаграмма токов и напряжений равным нулю, Векторная диаграмма токов и напряжений.

Тогда точка Векторная диаграмма токов и напряжений будет находиться в начале координат комплексной плоскости. Вычислим комплексы напряжении на каждом из элементов цепи, обходя из точки Векторная диаграмма токов и напряжений цепь против направления тока Векторная диаграмма токов и напряжений. При таком направлении обхода напряжение Векторная диаграмма токов и напряжений на сопротивлении Векторная диаграмма токов и напряжений

Векторная диаграмма токов и напряжений

Строим вектор Векторная диаграмма токов и напряжений на комплексной плоскости (рис.8).

Из точки Векторная диаграмма токов и напряжений под углом Векторная диаграмма токов и напряжений к действительной полуоси +1 откладываем модуль Векторная диаграмма токов и напряжений в масштабе Векторная диаграмма токов и напряжений. Вершина построенного вектора соответствует точке Векторная диаграмма токов и напряжений. Стрелку вектора Векторная диаграмма токов и напряжений следует направить к точке Векторная диаграмма токов и напряжений т.е противоположно направлению стрелки напряжения Векторная диаграмма токов и напряжений на схеме цепи, топографической диаграмме вектор Векторная диаграмма токов и напряжений должен опережать но фазе вектор тока Векторная диаграмма токов и напряжений на 90°. Находим напряжение на сопротивлении Векторная диаграмма токов и напряжений:

Векторная диаграмма токов и напряжений

По полученному выражению из точки Векторная диаграмма токов и напряжений строим вектор Векторная диаграмма токов и напряжений Вершиной вектора Векторная диаграмма токов и напряжений является точка Векторная диаграмма токов и напряжений.

Контроль построения: вектор Векторная диаграмма токов и напряжений должен совпадать по фазе с вектором тока Векторная диаграмма токов и напряжений.Теперь находим напряжение на индуктивности Векторная диаграмма токов и напряжений:

Векторная диаграмма токов и напряжений

Из точки Векторная диаграмма токов и напряжений строим вектор Векторная диаграмма токов и напряжений. Вершиной построенного вектора является точка Векторная диаграмма токов и напряжений.

Контроль построения: вектор Векторная диаграмма токов и напряжений должен опережать по фазе вектор тока Векторная диаграмма токов и напряжений на Векторная диаграмма токов и напряжений. Переходя по контуру в выбранном направлении, находим последовательно положение точек Векторная диаграмма токов и напряжений на комплексной плоскости. Вектор, соединяющий начало координат и точку Векторная диаграмма токов и напряжений. представляет собой ЭДС источника Векторная диаграмма токов и напряжений.

Пользуясь топографической диаграммой, легко определить напряжения между любыми точками цепи. Например, комплекс напряжения Векторная диаграмма токов и напряжений определяется вектором, соединяющим точки Векторная диаграмма токов и напряжений и Векторная диаграмма токов и напряжений и направленным к точке Векторная диаграмма токов и напряжений (показан на рис.8 пунктиром). Измеряя на диаграмме модуль и начальную фазу вектора Векторная диаграмма токов и напряжений находим Векторная диаграмма токов и напряжений.

ПримсрЗ. Рассмотрим расчет цепи на рис.7 графоаналитическим методом

Зададимся условным значением тока Векторная диаграмма токов и напряжений, пусть Векторная диаграмма токов и напряжений. В масштабе Векторная диаграмма токов и напряженийВекторная диаграмма токов и напряжений строим значение тока Векторная диаграмма токов и напряжений, полагая, что точка Векторная диаграмма токов и напряжений находится в начале координат. Выбранному условному значению тока Векторная диаграмма токов и напряжений однозначно соответствуют условные значения всех остальных токов и напряжений в цепи. Эти напряжения и токи снабжаем меткой «штрих». Находим напряжение Векторная диаграмма токов и напряжений Векторная диаграмма токов и напряжений

В масштабе Векторная диаграмма токов и напряжений строим вектор напряжения Векторная диаграмма токов и напряжений, совпадающий по фазе с вектором тока Векторная диаграмма токов и напряжений( рис.9).

Вычислив напряжение Векторная диаграмма токов и напряжений, строим вектор напряжения Векторная диаграмма токов и напряжений, опережающий по фазе вектор тока Векторная диаграмма токов и напряжений на 90′. Соединив точки Векторная диаграмма токов и напряжений и Векторная диаграмма токов и напряжений, получаем вектор Векторная диаграмма токов и напряжений. Измеряя линейкой его длину с учетом масштаба напряжений, находим Векторная диаграмма токов и напряжений. По закону Ома находим ток Векторная диаграмма токов и напряженийВекторная диаграмма токов и напряжений

Из конца вектора тока Векторная диаграмма токов и напряжений строим вектор тока Векторная диаграмма токов и напряжений, опережающий по фазе вектор напряжения Векторная диаграмма токов и напряжений на Векторная диаграмма токов и напряжений. Векторно суммируя токи Векторная диаграмма токов и напряжений и Векторная диаграмма токов и напряжений находим ток Векторная диаграмма токов и напряжений. Измеряя линейкой длину вектора тока Векторная диаграмма токов и напряжений находим Векторная диаграмма токов и напряжений. Зная токи Векторная диаграмма токов и напряжений вычисляем напряжения Векторная диаграмма токов и напряжений.

Векторная диаграмма токов и напряжений
Векторная диаграмма токов и напряжений

Рис.9

Из точки Векторная диаграмма токов и напряжений строим вектор напряжения Векторная диаграмма токов и напряжений, отстающего но фазе от тока Векторная диаграмма токов и напряжений на Векторная диаграмма токов и напряжений и вектор напряжения Векторная диаграмма токов и напряжений совпадающего по фазе с током Векторная диаграмма токов и напряжений. Чтобы определить токи Векторная диаграмма токов и напряжений и Векторная диаграмма токов и напряжений для участка Векторная диаграмма токов и напряжений цепи, построим дополнительную векторную диаграмму Векторная диаграмма токов и напряжений. Пусть

Векторная диаграмма токов и напряжений

Тогда

Векторная диаграмма токов и напряжений
Векторная диаграмма токов и напряжений

С учетом фазовых соотношений между током Векторная диаграмма токов и напряжений и напряжениями Векторная диаграмма токов и напряжений строим диаграмму (рис. 10). Измеряя длину вектора Векторная диаграмма токов и напряжений, с учетом масштаба напряжений находим его величину Векторная диаграмма токов и напряжений. Тогда величина тока Векторная диаграмма токов и напряжений определяется следующим образом Векторная диаграмма токов и напряжений.

Построив вектор Векторная диаграмма токов и напряжений и суммируя векторы токов Векторная диаграмма токов и напряжений и Векторная диаграмма токов и напряжений, из диаграммы на рис. 10 находим Векторная диаграмма токов и напряжений.

Чтобы привести диаграмму на рис.10 в соответствие с найденными ранее значениями тока Векторная диаграмма токов и напряжений, находим коэффициент пересчета

Векторная диаграмма токов и напряжений

Умножая длины всех векторов на рис.10 на коэффициент Векторная диаграмма токов и напряжений и сохраняя неизменными фазовые углы, получим векторную диаграмму участка Векторная диаграмма токов и напряжений, соответствующую току Векторная диаграмма токов и напряжений.

Векторная диаграмма токов и напряжений

Измеряем угол Векторная диаграмма токов и напряжений на диаграмме рис.10: Векторная диаграмма токов и напряжений

Под углом Векторная диаграмма токов и напряжений по отношению к вектору Векторная диаграмма токов и напряжений на рис.9 из точки Векторная диаграмма токов и напряжений строим вектор Векторная диаграмма токов и напряжений. Найдем теперь напряжение Векторная диаграмма токов и напряжений:

Векторная диаграмма токов и напряжений

Поскольку напряжение Векторная диаграмма токов и напряжений, опережает по фазе ток Векторная диаграмма токов и напряжений на 90°. то вектор Векторная диаграмма токов и напряжений строится так, как показано на Рис.9. Соединяя точки Векторная диаграмма токов и напряжений и Векторная диаграмма токов и напряжений получаем вектор Векторная диаграмма токов и напряжений. Измеряя его длину находим

Векторная диаграмма токов и напряжений

Векторная диаграмма на рис.9 является также и топографической диаграммой. ЭДС Векторная диаграмма токов и напряжений превышает ЭДС Векторная диаграмма токов и напряжений в Векторная диаграмма токов и напряжений раз:

Векторная диаграмма токов и напряжений

Поскольку рассчитываемая цепь линейна, то напряжения и токи, вызываемые ЭДС Векторная диаграмма токов и напряжений, превышают условные напряжения Векторная диаграмма токов и напряжений и токи Векторная диаграмма токов и напряжений также в Векторная диаграмма токов и напряжений = 3.4 раза.

Таким образом

Векторная диаграмма токов и напряжений

Чтобы измерить начальные фазы токов и напряжений, следует на рис.9 выбрать такую систему координат, в которой ЭДС Векторная диаграмма токов и напряжений имеет соответствующую заданию начальную фазу. Так как Векторная диаграмма токов и напряжений, то поместив начало координат в точку Векторная диаграмма токов и напряжений, действительную полуось совмещаем с направлением ЭДС Векторная диаграмма токов и напряжений, а полуось Векторная диаграмма токов и напряжений строим ортогонально оси 4 1, как показано на рис.9.

Рассмотрим пример построения векторной диаграммы по известным токам и напряжениям (действующие значения напряжений и токов получены экспериментально). В этом случае при помощи векторной диаграммы можно решить обратную задачу расчета цепи: но токам и напряжениям цепи определить эквивалентные параметры двухполюсников, составляющих цепь.

Пример №3.

Дана цепь (рис.11), известны показания измерительных приборов. Найдем параметры двухполюсника, эквивалентного данной схеме.

Векторная диаграмма токов и напряжений
Векторная диаграмма токов и напряжений

Для данной схемы можно составить три уравнения по законам Кирхгофа:

Векторная диаграмма токов и напряжений

Решим эти уравнения графически. Построение диаграммы следует начать с построения вектора Векторная диаграмма токов и напряжений, для этой ветви известно взаимное расположение вектора тока и напряжения, участок с активным сопротивлением. В масштабе токов Векторная диаграмма токов и напряжений в произвольном направлении строится вектор Векторная диаграмма токов и напряжений. Так как Векторная диаграмма токов и напряжений — падение напряжения па активном элементе, оно совпадает но направлению с вектором тока Векторная диаграмма токов и напряжений, в масштабе напряжений Векторная диаграмма токов и напряжений, строим этот вектор. Ток Векторная диаграмма токов и напряжений в ветви с индуктивной катушкой отстает от напряжений Векторная диаграмма токов и напряжений, на некоторый угол Векторная диаграмма токов и напряжений, который неизвестен.

Векторная диаграмма токов и напряжений

Используя показания амперметров Векторная диаграмма токов и напряжений и Векторная диаграмма токов и напряжений, решаем графически первый закон Кирхгофа (1) методом засечек: из конца вектора тока Векторная диаграмма токов и напряжений делаем засечку радиусом, равным величине тока Векторная диаграмма токов и напряжений в сторону отставания от напряжения Векторная диаграмма токов и напряжений, а из начала построения т.О вектора Векторная диаграмма токов и напряжений делаем засечку радиусом, равным току Векторная диаграмма токов и напряжений. Получаем векторную диаграмму токов заданной схемы. Из построения теперь можно определить Векторная диаграмма токов и напряжений — угол сдвига по фазе между током и напряжением на катушке.

Далее достраивается диаграмма напряжений: напряжения Векторная диаграмма токов и напряжений и Векторная диаграмма токов и напряжений известны. падение напряжения на емкости отстает от вектора тока ветви Векторная диаграмма токов и напряжений на 90°, строим его из конца вектора Векторная диаграмма токов и напряжений,Векторная диаграмма токов и напряжений — падение напряжения на активном элементе совпадает с током ветви, строим из конца Векторная диаграмма токов и напряжений в направлении, параллельном току Векторная диаграмма токов и напряжений.

Замыкающий вектор на диаграмме напряжений соединяет начало построения и конец вектора Векторная диаграмма токов и напряжений, определяет в масштабе напряжение Векторная диаграмма токов и напряжений на входе схемы, он равен Векторная диаграмма токов и напряжений.

Теперь с помощью треугольников напряжений (сопротивлений), токов (проводимостсй), построенных для какого-либо участка цепи или для всей цепи можно найти сопротивления, проводимости и параметры двухполюсника.

Определим эквивалентные параметры всей цени заданной схемы (см. рис.11) Векторная диаграмма токов и напряжений. Сначала строится треугольник напряжений Векторная диаграмма токов и напряжений: из конца вектора Векторная диаграмма токов и напряжений опускается перпендикуляр па направление вектора тока Векторная диаграмма токов и напряжений и определяется активная и реактивная составляющие напряжения — Векторная диаграмма токов и напряжений. С учетом масштаба Векторная диаграмма токов и напряжений.

Векторная диаграмма сложной электрической цепи

Векторная диаграмма для сложной электрической цепи может быть построена только после расчета этой цепи; строится она на комплексной плоскости по известным комплексам токов всех ветвей и комплексам напряжений на каждом элементе цепи. Пример 5. Заданы источники энергии, сопротивления схемы Векторная диаграмма токов и напряжений

Векторная диаграмма токов и напряжений

Векторная диаграмма токов и напряжений

В результате расчета определены токи в ветвях:

Векторная диаграмма токов и напряжений

и падения напряжений на каждом элементе схемы:

Векторная диаграмма токов и напряжений
Векторная диаграмма токов и напряжений

Для построения векторной диаграммы составим уравнение по первому и второму законам Кирхгофа в общем виде и в численном выражении:

Векторная диаграмма токов и напряжений

Векторная диаграмма токов и напряжений — напряжение на участке с источником тока.

Векторная диаграмма токов и напряжений

Приступим к построению уравнения (4). В выбранном масштабе токов Векторная диаграмма токов и напряжений на комплексной плоскости (Рис.14) строим ток Векторная диаграмма токов и напряжений, из его конца — ток Векторная диаграмма токов и напряжений. Соединяем начало координат с концом вектора тока Векторная диаграмма токов и напряжений, получим вектор тока Векторная диаграмма токов и напряжений (построение можно вести по модулю комплекса тока и аргументу, можно строить действительные и мнимые составляющие токов).

Построена векторная диаграмма токов, отображающая уравнение (4). Для узла 2 графически решаем уравнение (5); из начала координат строим комплекс тока Векторная диаграмма токов и напряжений, к току Векторная диаграмма токов и напряжений прибавляя ток источника тока J, сумма этих токов по уравнению (5) равна сумме комплексов токов Векторная диаграмма токов и напряжений и Векторная диаграмма токов и напряжений, из начала координат строим ток Векторная диаграмма токов и напряжений, из его конца — ток Векторная диаграмма токов и напряжений. Получаем замкнутый многоугольник. Гак как по 1 закону Кирхгофа независимых уравнений может быть составлено два, ограничиваемся построенными на диаграмме двумя уравнениями.

  • Перейдем к построению двух независимых уравнений второго закона Кирхгофа (7 и 8).

Из начала координат строим комплекс напряжения Векторная диаграмма токов и напряжений — напряжение на участке с активным сопротивлением совпадает по направлению с током Векторная диаграмма токов и напряжений. Из конца Векторная диаграмма токов и напряжений строим Векторная диаграмма токов и напряжений — напряжение на емкости (это паление напряжения отстает от тока Векторная диаграмма токов и напряжений на 90°), сумма этих комплексов напряжений равна комплексу ЭДС Векторная диаграмма токов и напряжений, действующей в цепи — соединяем начало построения т. О с концом комплекса напряжения Векторная диаграмма токов и напряжений.

Комплекс ЭДС Векторная диаграмма токов и напряжений был задан действительным числом , так мы и получили на диаграмме: вектор напряжения Векторная диаграмма токов и напряжений направлен по действительной оси.

Для контура 1-3-2-1 строится комплекс напряжения Векторная диаграмма токов и напряжений. Вектор Векторная диаграмма токов и напряжений из конца Векторная диаграмма токов и напряжений строим напряжение —Векторная диаграмма токов и напряжений, замыкающим вектором будет напряжение —Векторная диаграмма токов и напряжений (алгебраическая сумма комплексов напряжений в этом контуре равна 0). Используя векторную диаграмму, моно графически определить напряжение источника тока Векторная диаграмма токов и напряжений, обозначим его Векторная диаграмма токов и напряжений. Для контура 1-3-Векторная диаграмма токов и напряжений-2-1 уравнение но второму закону Кирхгофа Векторная диаграмма токов и напряжений. На диаграмме вычтем из комплекса Векторная диаграмма токов и напряжений напряжение Векторная диаграмма токов и напряжений, получим .Векторная диаграмма токов и напряжений.

Возможно эти дополнительные страницы вам будут полезны:

  • Предмет электротехника
  • Решение задач по электротехнике
  • Помощь по электротехнике
  • Заказать работу по электротехнике
  • Контрольная работа по электротехнике

Понравилась статья? Поделить с друзьями:

Не пропустите также:

  • Как найти скрытую картинку в экселе
  • Щенячий патруль серия как нашли гонщика
  • Как составить график выхода на работу сотрудников
  • Как найти периметр параллелограмма если известны диагонали
  • Как найти такое же изображение в интернете

  • 0 0 голоса
    Рейтинг статьи
    Подписаться
    Уведомить о
    guest

    0 комментариев
    Старые
    Новые Популярные
    Межтекстовые Отзывы
    Посмотреть все комментарии