Как найти ускорение при торможении в физике

Перейти к содержимому

При кажущемся изобилии задач на прямолинейное равноускоренное движение все они могут быть сведены к задачам двух типов. Для этого необходимо выбрать ось X таким образом, чтобы ее положительное направление совпадало с направлением движения тела. В этом случае все задачи сводятся либо к задаче «разгон» (если a > 0), либо к задаче «торможение» (если a

Задача «Разгон»

Гоночный автомобиль трогается с места, набирая скорость 30 м/с (108 км/ч) за время t = 6 с. Определите пройденный автомобилем за это время путь, считая движение автомобиля равноускоренным.

Решение.

Используем известную нам схему решения кинематических задач.

Шаг 1. Свяжем координатную ось X с дорогой, по которой разгоняется автомобиль. Начало отсчета поместим в то место, откуда автомобиль начинает разгон. Ось X направим по ходу движения автомобиля, как показано на рис. 59. В качестве единицы выберем 1 м. Включим часы (секундомер) в момент начала разгона.

Шаг 2. Определим в выбранной нами системе отсчета начальную координату автомобиля – x₀ = 0.

Шаг 3. По условию начальная скорость автомобиля v₀ = 0. Так как направление ускорения совпадает с положительным направлением оси X, то значение ускорения a будет положительным.

Шаг 4. Запишем зависимость координаты от времени при прямолинейном равноускоренном движении автомобиля с учетом данных задачи:

x = x₀ + v₀ · t + (a · t²) / 2 = 0 + 0 + (a · t²) / 2 = (a · t²) / 2.

Шаг 4* (новый). Запишем зависимость значения скорости автомобиля от времени:

v = v₀ + a · t = 0 + a · t = a · t.

Из этого выражения видно, что при положительном значении ускорения скорость автомобиля увеличивается со временем. При этом за каждую секунду значение скорости возрастает на величину, равную a · 1 (м/с).

Шаг 5. Условие окончания разгона до скорости v_к имеет вид:

v = v_к.

Шаг 6. Объединим составленные уравнения, присвоив каждому номер и название:

x = (a · t²) / 2, (1) (закон движения автомобиля)
v = a · t, (2) (зависимость скорости от времени)
v = v_к. (3) (условие окончания разгона)

Шаг 7. Решение уравнений. Чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо решить уравнение (1), подставив в него время разгона 6 с и значение ускорения a. Однако значение ускорения нам пока не известно. Зато нам известны значения начальной и конечной скоростей автомобиля. Следовательно, мы можем найти значение ускорения. Для этого в условие окончания разгона (3) подставим из уравнения (2) значение скорости a · t в момент t = 6 с:

v_к = a · t,
a = v_к/t; a = 30/6 = 5 (м/с²).

Подставив полученное значение a в уравнение (1), находим:

x = (a · t²) / 2 = (5 · 6²) / 2 = 90 (м).

Ясно, что s = x — x₀ = 90 — 0 = 90 (м).

Как вы заметили, в отличие от задач о равномерном движении, в шаге 4 появилось дополнение, связанное с тем, что скорость равноускоренно движущегося тела изменяется со временем. В результате появилось новое уравнение – зависимость значения скорости от времени.

Задача «Торможение»

Автобус движется со скоростью, модуль которой равен 20 м/с (72 км/ч). Водитель автобуса замечает на дороге кошку и нажимает на педаль тормоза. Определите длину тормозного пути автобуса, если модуль ускорения при торможении |a| = 4 м/с².

Решение.

Шаг 1. Систему отсчета выберем так, как показано на рис. 60.

Шаг 2. Начальная координата автобуса x₀ = 0.

Шаг 3. Значение начальной скорости автобуса v₀ = 20 м/с.

Шаг 4. С учетом шагов 1, 2 и 3 зависимость координаты автобуса от времени будет иметь вид:

x = x₀ + v₀ · t + (a · t²) / 2 = 0 + 20 · t — (4 · t²) / 2.

Внимание! Значение скорости автобуса уменьшается. Значит, направление вектора ускорения автобуса противоположно положительному направлению оси X. Поэтому мы подставили в формулу отрицательное значение ускорения (a = -4 м/с²). При этом направление вектора начальной скорости совпадает с положительным направлением оси X. Поэтому значение скорости v0 положительно. Такие же знаки у величин v0 и a будут и в шаге 4*.

Шаг 4* (новый). Зависимость значения скорости от времени имеет вид:

v = v₀ + a · t = 20 — 4 · t.

Видно, что при отрицательном значении ускорения a = -4 м/с² скорость автобуса со временем уменьшается. При этом за каждую секунду значение скорости изменяется на величину -4 м/с, т. е. уменьшается на 4 м/с.

Шаг 5. Запишем условие окончания торможения: v = 0, так как в искомый момент времени t автобус должен остановиться.

Шаг 6. Объединим составленные уравнения, присвоив каждому номер и название:

x = 0 + 20 · t — (4 · t²) / 2, (1) (закон движения автобуса)
v = v₀ + a · t = 20 — 4 · t, (2) (зависимость скорости от времени)
v = 0. (3) (условие окончания торможения)

Шаг 7. Решение уравнений. Чтобы найти тормозной путь, необходимо подставить в уравнение (1) время торможения автобуса. Эта величина нам неизвестна, но ее можно найти из уравнений (2) и (3). Для этого необходимо подставить в зависимость скорости от времени значение скорости в момент окончания торможения v = 0, после чего решить полученное уравнение:

20 — 4 · t = 0, t = 5 c.

Таким образом, автобус остановится через время t = 5 с.

Подставим найденное время торможения t = 5 с в уравнение (1) и найдем тормозной путь:

x = 20 · 5 — (4 · 5²) / 2 = 50 (м).

Таким образом, длина тормозного пути автобуса равна 50 м.

Итоги
Если положительное направление оси X выбрать совпадающим с направлением движения тела, то все задачи на равноускоренное движение можно свести к двум типам:
1) задача «разгон» (a > 0, скорость тела увеличивается с течением времени);
2) задача «торможение» (a
Если тело меняет направление своего движения, то рассматриваемый промежуток времени нужно разделить на интервалы, в течение каждого из которых тело движется только в одном направлении. При этом задача разделяется на несколько задач.

Упражнения

1. Заполните таблицу для разгоняющегося автомобиля, используя условия задачи 1 («разгон»). Как изменяются со временем: значение скорости; координата разгоняющегося автомобиля?

2. Заполните таблицу для тормозящего автобуса, используя условия задачи 2 («торможение»). Ответьте на вопросы: как изменяются со временем: значение скорости; координата тормозящего автобуса?

3. Найдите координату x автомобиля (см. рис. 57) в моменты времени 3, 5 и 8 с, если его начальная координата x₀ = 30 м, значение начальной скорости v₀ = 10 м/с, а значение ускорения a = 3 м/с².

4. Решите задачу 2 («торможение») в общем виде. Представьте полученный ответ в виде
s = v₀² / (2 · a).
Проведите анализ полученного ответа. Определите тормозной путь автобуса, если: а) v₀ = 16 м/с; б) v₀ = 115,2 км/ч.

5. Найдите путь, пройденный автомобилем, движение которого задано в упражнении 3, за промежуток времени от t₁ = 2 с до t₂ =5 с.

6. Два мотоциклиста, двигавшиеся прямолинейно, начинают одновременно тормозить перед светофором и так же одновременно останавливаются, проехав расстояние s = 100 м. Первый мотоциклист перед торможением двигался со скоростью, имеющей значение v₁ = 72 км/ч, второй – со скоростью, имеющей значение v₂ = 108 км/ч. Найдите значения ускорений мотоциклистов.

Одним из самых распространенных видов перемещения объектов в пространстве, с которым человек встречается повседневно, является равноускоренное прямолинейное движение. В 9 классе общеобразовательных школ в курсе физики изучают подробно этот вид движения. Рассмотрим его в статье.

Кинематические характеристики движения

Прежде чем приводить формулы, описывающие равноускоренное прямолинейное движение в физике, рассмотрим величины, которые его характеризуют.

Вам будет интересно:Методика ШТУР: расшифровка аббревиатуры, особенности проведения теста, итоговый анализ и результаты

В первую очередь это пройденный путь. Будем его обозначать буквой S. Согласно определению, путь — это расстояние, которое тело прошло вдоль траектории перемещения. В случае прямолинейного движения траектория представляет собой прямую линию. Соответственно, путь S — это длина прямого отрезка на этой линии. Он в системе физических единиц СИ измеряется в метрах (м).

Вам будет интересно:«Рубаха-парень»: значение в прошлом и сейчас

Скорость или как часто ее называют линейная скорость — это быстрота изменения положения тела в пространстве вдоль его траектории перемещения. Обозначим скорость буквой v. Измеряется она в метрах в секунду (м/с).

Ускорение — третья важная величина для описания прямолинейного равноускоренного движения. Она показывает, как быстро во времени изменяется скорость тела. Обозначают ускорение символом a и определяют его в метрах в квадратную секунду (м/с2).

Путь S и скорость v являются переменными характеристиками при прямолинейном равноускоренном движении. Ускорение же является величиной постоянной.

Связь скорости и ускорения

Представим себе, что некоторый автомобиль движется по прямой дороге, не меняя свою скорость v0. Это движение называется равномерным. В какой-то момент времени водитель стал давить на педаль газа, и автомобиль начал увеличивать свою скорость, приобретя ускорение a. Если начинать отсчет времени с момента, когда автомобиль приобрел ненулевое ускорение, тогда уравнение зависимости скорости от времени примет вид:

v = v0 + a * t.

Здесь второе слагаемое описывает прирост скорости за каждый промежуток времени. Поскольку v0 и a являются постоянными величинами, а v и t — это переменные параметры, то графиком функции v будет прямая, пересекающая ось ординат в точке (0; v0), и имеющая некоторый угол наклона к оси абсцисс (тангенс этого угла равен величине ускорения a).

На рисунке показаны два графика. Отличие между ними заключается только в том, что верхний график соответствует скорости при наличии некоторого начального значения v0, а нижний описывает скорость равноускоренного прямолинейного движения, когда тело начало из состояния покоя ускоряться (например, стартующий автомобиль).

Отметим, если в примере выше водитель вместо педали газа нажал бы педаль тормоза, то движение торможения описывалось бы следующей формулой:

v = v0 — a * t.

Этот вид движения называется прямолинейным равнозамедленным.

Формулы пройденного пути

На практике часто важно знать не только ускорение, но и значение пути, который за данный период времени проходит тело. В случае прямолинейного равноускоренного движения эта формула имеет следующий общий вид:

S = v0 * t + a * t2 / 2.

Первый член соответствует равномерному движению без ускорения. Второй член — это вклад в пройденный путь чистого ускоренного движения.

В случае торможения движущегося объекта выражение для пути примет вид:

S = v0 * t — a * t2 / 2.

В отличие от предыдущего случая здесь ускорение направлено против скорости движения, что приводит к обращению в ноль последней через некоторое время после начала торможения.

Не сложно догадаться, что графиками функций S(t) будут ветви параболы. На рисунке ниже представлены эти графики в схематическом виде.

Параболы 1 и 3 соответствуют ускоренному перемещению тела, парабола 2 описывает процесс торможения. Видно, что пройденный путь для 1 и 3 постоянно увеличивается, в то время как для 2 он выходит на некоторую постоянную величину. Последнее означает, что тело прекратило свое движение.

Далее в статье решим три разные задачи на использование приведенных формул.

Задача на определение времени движения

Автомобиль должен отвести пассажира из пункта A в пункт B. Расстояние между ними 30 км. Известно, что авто в течение 20 секунд движется с ускорением 1 м/с2. Затем его скорость не меняется. За какое время авто доставит пассажира в пункт B?

Расстояние, которое авто за 20 секунд пройдет, будет равно:

S1 = a * t12 / 2.

При этом скорость, которую он наберет за 20 секунд, равна:

v = a * t1.

Тогда искомое время движения t можно вычислить по следующей формуле:

t = (S — S1) / v + t1 = (S — a * t12 / 2) / (a * t1) + t1.

Здесь S — расстояние между A и B.

Переведем все известные данные в систему СИ и подставим в записанное выражение. Получим ответ: t = 1510 секунд или приблизительно 25 минут.

Задача на расчет пути торможения

Теперь решим задачу на равнозамедленное движение. Предположим, что грузовой автомобиль двигался со скоростью 70 км/ч. Впереди водитель увидел красный сигнал светофора и начал останавливаться. Чему равен тормозной путь авто, если он остановился за 15 секунд.

Тормозной путь S можно рассчитать по следующей формуле:

S = v0 * t — a * t2 / 2.

Время торможения t и начальную скорость v0 мы знаем. Ускорение a можно найти из выражения для скорости, учитывая, что ее конечное значение равно нулю. Имеем:

v0 — a * t = 0;

a = v0 / t.

Подставляя полученное выражение в уравнение, приходим к конечной формуле для пути S:

S = v0 * t — v0 * t / 2 = v0 * t / 2.

Подставляем значения из условия и записываем ответ: S = 145,8 метра.

Задача на определение скорости при свободном падении

Пожалуй, самым распространенным в природе прямолинейным равноускоренным движением является свободное падение тел в поле гравитации планет. Решим следующую задачу: тело с высоты 30 метров отпустили. Какую скорость будет оно иметь в момент падения на поверхность земли?

Искомую скорость можно рассчитать по формуле:

v = g * t.

Где g = 9,81 м/с2.

Время падения тела определим из соответствующего выражения для пути S:

S = g * t2 / 2;

t = √(2 * S / g).

Подставляем время t в формулу для v, получаем:

v = g * √(2 * S / g) = √(2 * S * g).

Значение пройденного телом пути S известно из условия, подставляем его в равенство, получаем: v = 24,26 м/с или около 87 км/ч.

В этой главе. . .

• Изучаем скорость перемещения
• Разбираемся с разными видами скорости
• Замедляемся и разгоняемся
• Исследуем связь между ускорением, временем и перемещением
• Связываем скорость, ускорение и перемещение

Представьте себе, что вы участвуете в гонке “ Формула-1” и в гоночном автомобиле мчитесь навстречу славе. Скорость огромна, ветер свистит, а уверенность в победе высока, ведь отрыв от соперников значителен и осталось пройти последний поворот. Похоже, что ближайший преследователь, чемпион прошлого года, также прилагает значительные усилия — в зеркале заднего вида на мгновение показалась серебристая обшивка его болида. Необходимо что-то предпринять, поскольку преследователь очень быстро сокращает отставание.

Вам известно все или почти все о скорости и ускорении. С такими знаниями вы знаете, что нужно делать: жмете на педаль газа, и болид ускоряется. Знание законов изменения скорости позволило с легкостью пройти последний поворот. А вот и взмах клетчатого флага на финише, к которому вы пришли за рекордное время. Отлично! Безусловно, вам помогло знание именно тех тем, которые излагаются в этой главе: перемещение, скорость и ускорение.

Наверняка у вас уже есть интуитивное представление об этих понятиях, иначе вы не смогли бы управлять автомобилем или даже велосипедом. Перемещение описывает изменение места расположения, скорость характеризует быстроту перемещения, а ускорение знакомо всякому, кому приходилось перемещаться в автомобиле. С этими понятиями люди сталкиваются ежедневно, а физика поможет организовать их изучение. Знание этих физических понятий позволяет планировать дороги и транспортные развязки, строить и запускать космические корабли, отслеживать движение планет, предсказывать погоду, а также… приводит нас в бешенство в дорожной пробке.

Понимание законов физики включает понимание основ движения, и именно этой теме посвящена данная глава. Приступаем.

Передвигаемся и перемещаемся

С точки зрения физики перемещение возникает при переходе какого-то объекта из точки 1 в точку 2. Попросту говоря, перемещение — это пройденное объектом расстояние. Рассмотрим, например, движущийся вдоль линейки мячик для игры в гольф, который показан на рис. 3.1. Допустим, что сначала мячик находится возле отметки 0 (схема А).

Пока что все в порядке. Допустим, что мячик сместился на новое место, например на 3 метра вправо (схема Б). В таком случае говорят, что мячик переместился, или произошло перемещение. В данном случае перемещение равно 3 метрам. В исходном положении мячик находился на отметке 0 метров, а в конечном положении — на отметке +3 метра.

В физике перемещение часто обозначают символом ​( s )​, т.е. в данном случае ( s ) равно 3 метрам.

Как и любое другое измерение в физике, перемещение выражается в некоторых единицах, обычно в сантиметрах или метрах. Но часто можно встретить и другие единицы: километр, дюйм, фут, миля или даже световой год (расстояние, которое проходит свет за один год и которое тяжело измерить обычной линейкой; оно приблизительно равно 9 460 800 000 000 километрам или 9 460 800 000 000 000 метрам).

Ученые любят очень подробно описывать разные ситуации. Например, исходное положение часто обозначают символом( s_0 )(или, в англоязычной литературе,( s_i ) где ​( i )​ обозначает “initial”, т.е. исходный). А конечное положение часто обозначают символом ( s_1 ) (или, в англоязычной литературе, ( s_f ) где ​( f )​ обозначает “final”, т.е. конечный). Таким образом, положения на схеме А и схеме Б на рис. 3.1 выражаются символами ( s_0 ) и ( s_1 ) соответственно. А перемещение ( s ) между ними равно их разности, т.е. конечное положение минус исходное положение:

Перемещения не обязательно должны быть положительными: они могут быть нулевыми или даже отрицательными. На схеме В на рис. 3.1 показана ситуация, когда неугомонный мячик переместился в новое положение у отметки -4 метра. Чему равно перемещение в этом случае? Ответ зависит от выбранного исходного положения. Исходное положение также часто называют начальной точкой (в которой начинается действие), которую можно выбрать произвольным образом. Если в качестве исходного положения выбрать положение 0 на линейке, то получим следующее перемещение:

Обратите внимание, что ( s ) отрицательно!

В качестве начальной точки можно выбрать отличное от 0 положение. Например, для перехода между исходным положением на схеме А на рис. 3.1 и конечным положением на схеме В получим следующее перемещение:

Величина перемещения зависит от выбора начальной точки. В простых задачах выбор начальной точки очевиден, а как быть в более сложных случаях, например, когда движение происходит не вдоль линейки?

Разбираемся с осями

В реальном мире объекты редко движутся вдоль линеек, как мячик для гольфа на рис. 3.1. Часто движение происходит в двух или даже трех измерениях пространства. Чтобы измерить движение в двух пространственных измерениях, нужно иметь две пересекающиеся линейки, которые называются осями. Горизонтальную ось называют осью X, а вертикальную — осью Y, а при движении в трехмерном пространстве используют еще одну ось Z (если представить, что оси X и Y лежат в плоскости страницы, то ось Z как бы “торчит” из нее).

На рис. 3.2 показан пример движения мячика для гольфа в двумерном пространстве. Мячик движется из центра рисунка в верхний правый угол.

Используя оси, можно сказать, что мячик передвинулся на +4 метра по оси X и на +3 метра по оси Y. Новое положение мячика обозначается парой чисел (4; 3), где первое число относится к оси X, а второе — к оси Y, т.е. оно выражается в формате ( (x,y) ).

Чему равно перемещение? Изменение положения по оси X обозначается символом ​( Delta x )​ (греческий символ ​( Delta )​ произносится “дельта” и означает “изменение”) и равно: конечное положение минус исходное положение. Если мячик стартует из центра рисунка, т.е. из положения (0; 0), то изменение положения по оси X равно:

Аналогично, изменение положения по оси Y равно:

Допустим, что нужно вычислить величину суммарного перемещения по обеим осям X и Y. Иначе говоря, насколько далеко удалился мячик от исходного положения в центре рисунка? Это можно подсчитать на основе теоремы Пифагора, т.е. выполнить следующие вычисления:

Итак, величина перемещения мячика равна 5 метрам.

Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы.

Измеряем скорость

В предыдущих разделах рассматривалось движение в одном или двух пространственных измерениях. Однако реальные перемещения происходят за некоторый промежуток времени, т.е. с некоторой скоростью. Например, за какое время произошло перемещение на рис. 3.1 из исходного положения в конечное положение: за 12 лет или 12 секунд?

Остальная часть этой главы посвящена измерению скорости перемещений. Аналогично измерению перемещения в пространстве, можно измерять разницу во времени между началом и концом движения, которая обычно выражается следующим образом:

Здесь ​( t_1 )​ обозначает конечное время, ​( t_0 )​ — начальное время, а их разность — количество времени, необходимого для перемещения, например движения мячика от начального к конечному положению. Когда ученые хотят узнать, насколько быстро происходит это событие, то фактически это значит, что они хотят измерить скорость.

Подробнее о скорости: что же это такое

Наверняка вам известно из опыта, что скорость определяется следующим образом:

скорость = расстояние/время.

Например, если расстояние ​( s )​ пройдено за время ​( t )​, то скорость ​( v )​ равна:

Переменная ​( v )​ обозначает только величину скорости, но истинная скорость также имеет направление (более подробно это описывается в главе 4). Иначе говоря, скорость является вектором (векторы обычно обозначаются полужирным начертанием, например ( mathbf{v} )). Векторы обладают величиной и направлением, т.е., зная скорость, мы знаем не только быстроту, но и направление движения. Аналогично, перемещение в более общем смысле является вектором, т.е. характеризуется не только величиной, но и направлением смещения (более подробно векторы описываются в главе 4).

Достаточно просто, не так ли? Точнее говоря (физики очень любят точность), скорость равняется изменению положения, деленному на изменение времени. Потому скорость движения вдоль оси X можно выразить следующим образом:

В реальном мире скорость может принимать очень разные формы, некоторые из них описываются в следующих разделах.

Смотрим на спидометр: мгновенная скорость

Итак, у нас уже есть общее представление о скорости. Именно ее измеряет спидометр автомобиля, не так ли? Когда вы катите по прямолинейному шоссе, все, что нужно делать, — всего лишь следить за показаниями спидометра. “Уже 140 километров в час. Пожалуй, сбросим скорость до 120”. Именно так мы часто поступаем в жизни, а иначе говоря, так мы определяем мгновенную скорость.

Понятие мгновенной скорости играет важную роль в понимании физических процессов. В данный момент времени спидометр показывает 120 километров в час, значит, ваша мгновенная скорость равна именно этой величине. Если вы ускоритесь до 150 километров в час, то ваша мгновенная скорость станет равной этой новой величине. Мгновенная скорость — это скорость в данный момент времени. Спустя две секунды мгновенная скорость может стать совершенно другой.

Движемся постоянно: равномерная скорость

А что если долгое время автомобиль едет со скоростью 120 километров в час? В физике эта скорость называется равномерной (или постоянной), а в жизни она возможна только при движении на абсолютно ровных и прямолинейных дорогах, когда долгое время можно поддерживать движение без изменения скорости.

Равномерное движение с постоянной скоростью является простейшим видом движения, поскольку оно никак не меняется.

Движемся вперед и назад: неравномерное движение

Название этого типа движения говорит само за себя: неравномерное движение означает движение со скоростью, меняющейся со временем. Именно с такой скоростью мы чаще всего сталкиваемся в повседневной жизни. Вот как выглядит уравнение изменения скорости от исходной скорости ​( v_1 )​ до конечной скорости ​( v_0 )​:

Остальная часть этой главы посвящена ускорению, которое характеризует неравномерность движения.

Жмем на секундомер и определяем среднюю скорость

Выражение со скоростями не так уж неосязаемо, как может показаться. Измерения скорости можно сделать более конкретными. Допустим, что вам хочется совершить путешествие из Нью-Йорка в Лос-Анджелес, которые находятся на расстоянии около 2781 миль друг от друга. Если предположить, на это путешествие ушло 4 суток, то какой была ваша скорость?

Скорость можно найти, если поделить пройденное расстояние на затраченное на это время:

Итак, результат 695,3 получен, но в каких единицах он выражен?

В этом выражении мили делятся на сутки, т.е. результат равен 695,3 милям в сутки. Это не совсем стандартная единица измерений и вполне естественно было бы поинтересоваться: а сколько это миль в час? Для ответа на этот вопрос нужно перевести сутки в часы, как показано в главе 2. Поскольку в сутках 24 часа, то получим следующий результат:

Итак, получен более понятный результат 28,97 миль в час. Смущает лишь столь малая величина скорости, ведь обычно машины едут со скоростью в 2-3 раза быстрее, однако среднюю скорость для всего путешествия мы вычислили, разделив все расстояния на все время, включая время отдыха.

Среднюю скорость часто обозначают с помощью штриха над переменной: ​( overline{v} )​ .

Средняя скорость и неравномерное движение

Средняя скорость отличается от мгновенной, если только вы не движетесь равномерно, когда скорость вообще не меняется. А средняя скорость неравномерного движения, когда все расстояние делится на все время, может отличаться от мгновенной скорости.

Путешествуя из Нью-Йорка в Лос-Анджелес, вам наверняка придется провести несколько ночей в отелях, и во время вашего отдыха мгновенная скорость автомобиля равна 0 миль в час, а средняя скорость — 28,97 миль в час! Дело в том, что средняя скорость получена в результате деления всего расстояния на все время.

Средняя скорость может зависеть от фактически пройденного пути. Допустим, что, путешествуя по штату Огайо, вы решили подвезти попутчика в штат Индиана и погостить у вашей сестры в штате Мичиган. Все путешествие может иметь вид, показанный на рис. 3.3: первые 80 миль — в штат Индиана, а потом 30 миль — в штат Мичиган.

Если ехать со скоростью 55 миль в час, то для преодоления всего пути длиной 80 + 30 = 110 миль потребуется 2 часа. Но если взять расстояние по прямой между начальной и конечной точкой путешествия, которое равно 85,4 миль, то средняя скорость будет равна:

Таким образом, получена средняя скорость для расстояния от начальной до конечной точки путешествия вдоль пунктирной линии. Но если вам нужно определить скорость для каждого из двух отрезков фактически пройденного пути, то нужно измерить длину каждого из двух отрезков и разделить их на время их прохождения.

При движении с равномерной скоростью это можно сделать легко и просто, поскольку в таком случае средняя скорость равняется мгновенной скорости в любой точке пути.

Изучая движение, нужно учитывать не только скорость, но и направление движения. Именно по этой причине огромное значение имеет понятие вектора скорости. Более подробно векторы описываются в главе 4.

Ускоряемся и замедляемся

Как и в случае со скоростью, вам уже наверняка знакомо понятие ускорения. Ускорение характеризует быстроту изменения скорости. При выезде с подземной парковки порой приходится слышать визг шин — кто-то пытается ускориться, подрезать и обогнать вас на выезде. Вот он проскакивает перед вами буквально в нескольких сантиметрах и резко тормозит прямо перед вами, принуждая вас резко нажать на педаль тормоза. Именно в таких ситуациях очень полезно и важно знать основы физики.

Определяем ускорение

С точки зрения физики ускорение (​( a )​) — это изменение скорости (( Delta v )) за единицу времени (( Delta t )):

Это соотношение можно переписать иначе для известных начальной и конечной скоростей в начальный и конечный моменты времени соответственно:

Ускорение, как и скорость, является векторной величиной и часто обозначается полужирным начертанием: ​( mathbf{a} )​. Иначе говоря, ускорение, как и скорость, характеризуется направлением. Более подробно векторы описываются в главе 4.

Определяем единицу ускорения

Единицу ускорения можно легко определить, если проанализировать определение ускорения, в котором изменение скорости делится на изменение времени:

Подставляя единицы измерения, получим:

Итак, единица ускорения — это единица расстояния, деленная на единицу времени в квадрате. Иначе говоря, ускорение — это скорость изменения скорости.

Поскольку ускорение — это расстояние, деленное на время в квадрате, то среди единиц измерения можно встретить следующие: километр на секунду в квадрате, метр на секунду в квадрате, сантиметр на секунду в квадрате, миля на секунду в квадрате, фут на секунду в квадрате и т.д.

Шутки ради допустим, что вы едете со скоростью 75 миль в час и в зеркале заднего вида видите проблесковый маячок дорожного патруля. Жмете на тормоза и останавливаетесь спустя 20 секунд. Инспектор дорожного патруля подходит к вам и сообщает: “Выдвигались со скоростью 75 миль в час в зоне, где скорость движения ограничена величиной 30 миль в час”. Что можно ответить? Попробуйте поразить воображение инспектора своими познаниями физики.

Быстро подсчитайте величину своего замедления после сигнала инспектора, чтобы поразить его своим исключительным законопослушанием! Достаньте калькулятор и начните вводить в него данные. Преобразуйте величину скорости 75 миль в час в более впечатляющие единицы измерения, например в сантиметры в секунду. Для этого сначала преобразуйте единицу измерения скорости, т.е. выразите ее в милях в секунду:

Теперь попробуем преобразовать мили в секунду в более впечатляющие для инспектора единицы измерения, например в сантиметры в секунду. Как известно, 1 миля содержит 5280 футов, а 1 фут — 12 дюймов. Тогда пройденное расстояние в дюймах в секунду равно:

В главе 2 уже упоминалось, что 1 дюйм равен 2,54 сантиметрам, потому пройденное расстояние в сантиметрах в секунду равно:

Таким образом исходная скорость движения была равна 3,4⋅10³ сантиметров в секунду, а конечная — 0 сантиметров в секунду. Это изменение скорости произошло за 20 секунд. Так чему же равняется ускорение? Напомним еще раз формулу ускорения:

Подставляя числа, получим:

Итак, ускорение равно 170 см/с². Однако попробуем присмотреться к этому результату более внимательно и вспомнить точное определение ускорения:

Конечная скорость равна 0 см/с, а исходная — 3,4⋅10³ см/с, так что подставляя значения в эту формулу, получим:

Иначе говоря, мы получили -170 см/с², а не +170 см/с², что с точки зрения физики (и законов дорожного движения) имеет большое значение. Если бы ваше ускорение было равно +170 см/с², то конечная скорость через 20 секунд была бы равна 150 миль в час, а не 0 миль в час. Ни один инспектор дорожного движения не обрадовался бы такому конечному результату.

Теперь вам осталось только очаровательно улыбнуться и сказать инспектору: “Возможно, я ехал несколько быстрее, чем следовало, но я чрезвычайно законопослушный гражданин и, едва услышав вашу сирену, мгновенно затормозил с замедлением -170 см/с²”. Возможно, инспектор будет настолько впечатлен этим результатом и вашими познаниями физики, что отпустит вас без наказания.

Аналогично скорости, ускорение может принимать разный вид в разных физических задачах. Ускорение может быть положительным, отрицательным, средним, мгновенным, равномерным или неравномерным. В следующих разделах описываются некоторые такие ситуации.

Положительное и отрицательное ускорение

При решении физических задач всегда нужно внимательно следить за знаком используемой величины. Ускорение, как и скорость, может быть отрицательным или положительным. При торможении автомобиля его скорость меняется с положительной до 0, а потому ускорение имеет отрицательный знак.

Ускорение, как и скорость, обладает знаком.

Не следует думать, что отрицательное ускорение всегда означает замедление, а положительное ускорение всегда означает ускорение. На рис. 3.4 показан пример ситуации, когда мячик для игры в гольф движется с замедлением из начального положения (схема А на рис. 3.4) в конечное положение (схема Б на рис. 3.4), но с положительным ускорением.

Поскольку отрицательная величина скорости уменьшается, то в целом ускорение мячика имеет положительную величину. Иначе говоря, для уменьшения отрицательной скорости нужно сделать положительное приращение скорости, т.е. ускорение при этом будет положительным.

Знак ускорения сообщает нам о том, как меняется скорость. Положительное ускорение означает, что скорость увеличивается в положительном направлении и уменьшается в отрицательном направлении. И наоборот, отрицательное ускорение означает, что скорость увеличивается в отрицательном направлении и уменьшается в положительном направлении.

Среднее и мгновенное ускорение

Аналогично скорости, ускорение может иметь мгновенное или среднее значение. Среднее ускорение равно отношению изменения скорости к изменению времени. Среднее ускорение обозначается штрихом сверху, ​( overline{a} )​, и вычисляется аналогично средней скорости, т.е. от конечной скорости отнимается начальная скорость и полученная разность делится на все время (т.е. на разность конечного и начального времени):

Это соотношение дает нам среднее ускорение, но фактическое ускорение в произвольный момент времени не всегда равно среднему ускорению. Например, в предыдущем примере после того, как вы заметили сигнал инспектора, вы очень сильно нажимаете педаль тормоза, и автомобиль тормозит с очень большим ускорением. Но перед самой остановкой вы отпускаете педаль тормоза, и ваш автомобиль тормозит с уже меньшим ускорением. Оба эти мгновенные значения отличаются от величины среднего ускорения, вычисленного после деления всего изменения скорости на все время торможения.

Равномерное и неравномерное ускорение

Движение с неравномерным ускорением означает движение с изменением ускорения. Например, при движении в городе часто приходится тормозить перед знаками и сигналами остановки движения, а потом снова разгоняться.

Однако существуют ситуации, когда ускорение остается неизменным во время движения, например ускорение свободного падения под действием силы притяжения Земли. Это ускорение в общем случае равно 9,8 метров в секунду в квадрате, направлено к центру Земли и неизменно.

Связываем ускорение, время и перемещение

Итак, в этой главе вы познакомились с четырьмя параметрами движения: ускорением, скоростью, временем и перемещением. Перемещение и время связаны следующим простым соотношением для скорости:

Аналогично, скорость и время связаны следующим простым соотношением для ускорения:

Однако эти соотношения связывают только по два “уровня” переменных, т.е. скорость с перемещением и временем, а ускорение со скоростью и временем. А как связать три “уровня” переменных, т.е. ускорение со временем и перемещением?

Допустим, что вы участвуете в гонке и после пробного заезда хотели бы знать ускорение, которое способен обеспечить ваш автомобиль по известному пройденному пути 402 метра за 5,5 секунд. Таким образом, получается задача, в которой нужно связать ускорение с перемещением и временем.

Итак, для решения этой задачи нужно вывести уравнение связи ускорения с перемещением и временем.

Работу с уравнениями можно заметно упростить, если использовать алгебраические подстановки, например использовать переменную ​( v )​ вместо разности ​( v_1-v_0 )​ и переменную ​( t )​ вместо разности ​( t_1-t_0 )​. В случае необходимости после получения решения можно сделать обратную подстановку, заменяя переменную ( v ) разностью ( v_1-v_0 )​ и переменную ( t ) разностью ( t_1-t_0 ).

Не такие уж и далекие связи

Попробуем связать ускорение, перемещение и время, жонглируя разными переменными, пока не получим нужный результат. Перемещение равно средней скорости, умноженной на время:

Итак, у нас есть отправная точка. Какова средняя скорость автомобиля из предыдущего примера? Начальная скорость была равна 0, а конечная — очень большой. Поскольку ускорение было постоянным, то скорость росла линейно от нуля до конечного значения (рис. 3.5).

При постоянном ускорении средняя скорость равна половине суммы конечной и начальной скоростей:

Конечная скорость равна:

Тогда средняя скорость равна:

Теперь подставим это выражение для средней скорости в уравнение для перемещения ​( s=overline{v}t )​ и получим:

Теперь вместо переменной ​( t )​ можно подставить исходную разность конечного и начального моментов времени и получим:

Ура! Мы вывели одно из наиболее важных соотношений между ускорением, перемещением, временем и скоростью, которые используются в физических задачах.

Выводим более сложные соотношения

А что если движение началось не с нулевой начальной скоростью? Как в таком случае связать ускорение, время и перемещение? Как такое начальное значение скорости, например 100 миль в час, повлияет на величину пройденного расстояния? Поскольку расстояние равно скорости, умноженной на время, то искомое соотношение имеет следующий вид:

Такое выражение не так уж и легко запомнить, если, конечно, вы не обладаете фотографической памятью. Сложно даже запомнить более простую формулу связи между перемещением и временем для движения с постоянным ускорением, с нулевого начального момента и с нулевой начальной скоростью:

Если движение начинается не с нулевой скоростью, то к предыдущему выражению нужно добавить расстояние, которое было бы пройдено за то же время с начальной скоростью. Подобные соображения на основе здравого смысла значительно упрощают решение физических задач. Механическое запоминание формул без понимания их смысла не всегда поможет вам найти ошибку в вычислениях.

Так каким же было ускорение автомобиля в одном из предыдущих примеров? Теперь мы знаем, как связаны перемещение, ускорение и время, и для ответа на этот вопрос нужно применить алгебраические навыки. Итак, мы имеем:

После деления обеих частей на ( t^2 ) и умножения на 2 получим:

Великолепно! Подставляя числа, получим:

Итак, получилось, что ускорение автомобиля равно 27 метров в секунду в квадрате. Насколько велико это ускорение? Например, ускорение свободного падения в поле тяготения Земли, ​( g )​, равно около 9,8 метров в секунду в квадрате, т.е. ускорение автомобиля приблизительно равно ​( 2,7g )​.

Связываем скорость, ускорение и перемещение

До сих мы достаточно успешно справлялись со всеми предложенными задачами. А что если немножко усложнить их условия? Допустим, что в примере с автомобилем вам известно только ускорение 26,3 метров в секунду в квадрате и конечная скорость 146,3 метров в секунду, а нужно определить пройденное расстояние. Справитесь ли вы с таким заданием? Внимательный читатель уверенно ответит: “Никаких проблем, только дайте мне калькулятор”.

Прежняя задача в новой формулировке кажется более сложной, поскольку в прежних соотношениях всегда присутствовало время. Это значит, что, зная время движения, вы легко сможете решить задачу даже в новой более сложной формулировке. Чтобы определить время движения, достаточно знать ускорение, а также начальную и конечную скорости.

Поскольку:

то получим выражение для времени движения:

Теперь, зная время, можно определить пройденное расстояние по формуле:

Второй член можно исключить, потому что ​( v_0 )​ = 0. Итак, после подстановки чисел получим:

Как выглядит формула связи перемещения, ускорения и скорости? Для ее получения нужно найти выражение для времени движения:

Поскольку при движении с равномерным ускорением ( s=overline{v}t ), a ( overline{v}={}^1!/!_2(v_1-v_0) ), то получим:

Подставляя в эту формулу выражение для времени движения, получим:

После несложных алгебраических преобразований получим:

Перемещая член ​( 2a )​ в другую часть уравнения, получим еще одно важное соотношение, которое связывает скорость, ускорение и перемещение:

Уф, это выражение стоит запомнить!

После решения всех этих задач каждый читатель по праву может считать себя повелителем движения.