Решить треугольник Онлайн по координатам
Данный онлайн-сервис вычисляет (показываются промежуточные расчёты) следующие параметры треугольника:
1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;
2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;
2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;
3) внутренние углы по теореме косинусов;
4) площадь треугольника;
5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;
10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.
Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).
Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
Уравнение высоты треугольника
Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.
Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:
- Найти уравнение стороны треугольника.
- Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.
Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).
Написать уравнения высот треугольника.
1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.
Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:
Таким образом, уравнение прямой BC —
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,
Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид
Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:
Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:
2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):
Уравнение прямой AB:
Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой
Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,
Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид
Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:
Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:
Высота треугольника онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти высоту треугольника. Для нахождения высоты треугольника введите известные элементы треугольника и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите ниже.
Открыть онлайн калькулятор
Высота треугольника. Определение
Определение 1. Отрезок, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.
Высота треугольника может содержаться внутри треугольника (Рис.1), совпадать со стороной треугольника (при прямоугольном треугольнике высота совпадает с катетом (Рис.2) ), проходить вне треугольника (при тупоугольном треугольнике(Рис.3)).
Теорема о пересечении высот треугольника
Теорема 1. Все три высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC (Рис.4). Докажем, что высоты ( small AA_1 ,) ( small BB_1 ,) ( small CC_1 ) пересекаются в одной точке. Из каждой вершины треугольника проведем прямую, параллельно противоположной стороне. Получим треугольник ( small A_2B_2C_2. ) Покажем, что точки ( small A, B, C ) являются серединами сторон треугольника ( small A_2B_2C_2. ) ( small AB=A_2C ) так как они являются противоположными сторонами параллелограмма ( small ABA_2C. ) ( small AB=CB_2 ) так как они являются противоположными сторонами параллелограмма ( small ABCB_2. ) Тогда ( small CB_2=CA_2, ) то есть точка ( small C ) является серединой стороны ( small A_2B_2 ) треугольника ( small A_2B_2C_2. ) Аналогично доказывается, что точки ( small A ) и ( small B ) являются серединами сторон ( small B_2C_2 ) и ( small A_2C_2, ) соответственно.
Далее из ( small AA_1⊥BC ) следует, что ( small AA_1⊥B_2C_2 ) поскольку ( small BC ǁ B_2C_2 ). Аналогично, ( small BB_1⊥A_2C_2, ) ( small CC_1⊥A_2B_2. ) Получили, что ( small AA_1,) ( small BB_1, ) ( small CC_1) являются серединными перпендикулярами сторон ( small B_2C_2, ) ( small A_2C_2, ) ( small A_2B_2, ) соответственно. Но серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке (см. статью Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника). Следовательно высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.
Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром.
Высота треугольника по основанию и площади
Пусть известны сторона треугольника и площадь. Найти высоту треугольника, отпущенная на известную сторону (Рис.5).
Решение. Площадь треугольника по основанию и высоте вычисляется из формулы:
.
(1) |
Пример 1. Сторона треугольника равна ( small a=5 ) а площадь ( small S=7. ) Найти высоту треугольника.
Применим формулу (1). Подставляя значения ( small a ) и ( small S ) в (1), получим:
Ответ:
Высота треугольника по трем сторонам
Формула площади треугольника по трем сторонам имеет следующий вид (см. статью на странице Площадь треугольника онлайн):
(2) |
где ( small a, b, c ) стороны треугольника а полупериод ( small p ) вычисляется из формулы:
(3) |
Высота треугольника, отпущенная на сторону ( small a) вычисляется из формулы (1). Подставляя (2) в (1), получим формулу вычисления высоты треугольника по трем сторонам:
(4) |
Пример 2. Известны стороны треугольника: ( small a=5, ) ( small b= 4, ) ( small c=7. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )
Решение: Найдем, сначала полупериод ( small p ) треугольника из формулы (3):
Подставляя значения ( small a , b, c ) и ( small p ) в (4), получим:
Ответ:
Высота треугольника по двум сторонам и радиусу описанной окружности
Рассмотрим треугольник на рисунке 6. Из теоремы синусов имеем:
(5) |
(6) |
Далее, из теоремы синусов имеем:
(7) |
Подставляя (6) в (7), получим:
(8) |
Отметим, что радиус описанной окружности должен удовлетворять следующему неравенству:
(small max (b,c) ≤2R Пример 3. Известны стороны треугольника: ( small b=7, ) ( small c= 3 ) и радиус описанной окружности ( small R=4. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )
Решение: Проверим сначала условие (9):
(small max (7,3) ≤2 cdot 4 Ответ: ( small 2frac<5><8>. )
Высота треугольника по стороне и прилежащему к ней углу
Найдем высоту ( small h_a ) треугольника на рисунке 7. Из теоремы синусов имеем:
( small frac<large h_a><large sin angle B>=frac<large c><large sin 90°>, )
( small h_a=c cdot sin angle B. ) | (11) |
Пример 4. Известны сторона ( small c=12 ) треугольника и прилежащий угол ( small angle B=30°. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )
Решение: Для нахождения высоты треугольника подставим значения ( small c=12 ) и ( small angle B=30° ) в (11). Имеем:
Уравнение высоты треугольника по координатам формула
Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.
Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:
- Найти уравнение стороны треугольника.
- Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.
Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).
Написать уравнения высот треугольника.
1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.
Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:
Таким образом, уравнение прямой BC —
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,
Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид
Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:
Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:
2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):
Уравнение прямой AB:
Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой
Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,
Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид
Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:
Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:
Даны координаты вершин треугольника .
1) Вычислить длину стороны .
2) Составить уравнение линии .
3) Составить уравнение высоты, проведенной из вершины А, и найти ее длину.
4) Найти точку пересечения медиан.
5) Найти косинус внутреннего угла при вершине В.
6) Найти координаты точки М, расположенной симметрично точке А, относительно прямой ВС.
А
1. Длина стороны ВС равна модулю вектора .
;
.
2. Уравнение прямой ВС: ;
;
.
3. Уравнение высоты АК запишем как уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору
:
. Длину высоты АК можно найти как расстояние от точки А до прямой ВС:
.
4. Найдем координаты точки N – середины стороны ВС:
;
;
.
Точка пересечения медиан О делит каждую медиану на отрезки в отношении .
Используем формулы деления отрезка в данном отношении :
.
5. Косинус угла при вершине В найдем как косинус угла между векторами и
;
.
6. Точка М, симметричная точке А относительно прямой ВС, расположена на прямой АК, перпендикулярной к прямой ВС, на таком же расстоянии от прямой, как и точка А. Координаты точки К найдем как решения системы Систему решим по формулам Крамера:
.
Точка К является серединой отрезка АМ.
.
Контрольные варианты к задаче 2
Даны координаты вершин треугольника АВС. Требуется:
1) вычислить длину стороны ВС;
2) составить уравнение линии ВС;
3) составить уравнение высоты, проведенной из вершины А;
4) вычислить длину высоты, проведенной из вершины А;
5) найти точку пересечения медиан;
6) вычислить внутренний угол при вершине В;
7) найти координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой ВС.
1. | 2. | ||
3. | 4. | ||
5. | 6. | ||
7. | 8. | ||
9. | 10. | ||
11. | 12. | ||
13. | 14. | ||
15. | 16. | ||
17. | 18. | ||
19. | 20. | ||
21. | 22. | ||
23. | 24. | ||
25. | 26. | ||
27. | 28. | ||
29. | 30. |
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:
Лучшие изречения: Учись учиться, не учась! 10637 – | 8008 –
или читать все.
Вы можете заказать решение работы
по адресу , вместо бульдога ставьте @
Нужны сторона AB, высота CD, медиана AE и площадь. Координаты вершин А(-8;-3) В(4;-12) С(8;10)
Уравнение прямой, проходящей через две точки (x1,y1) и (x2,y2), описывается уравнением:
Для прямой AB:
(x+8)·(-9)-(y+3)·12 = 0
-9x-72-12y-36 = 0
9x+12y+108 = 0
3x + 4y + 36 = 0
Для отыскания уравнения высоты CD найдем сначала уравнение прямой, которая ей перпендикулярна. Это прямая AB (уравнение у нас есть). Выразим y через x явно:
y = -(3/4)x-9
Если прямая задана уравнением y = kx+b, то перпендикулярная ей прямая будет иметь вид y = (-1/k)x + d. Поэтому искомая высота имеет уравнение:
y = (4/3)x + d. Постоянную d найдем из условия, что высота проходит через точку С.
10 = (32/3) + d,
d = -2/3
Таким образом, уравнение высоты CD: y = (4/3)x – 2/3, или, что то же, 4x-3y-2 = 0
Медиана AE проходит через две точки – точку А и середину отрезка BC. Найдем координаты середины BC по формуле:
X = (x1+x2)/2, Y = (y1+y2)/2. Искомые координаты: XE = 6, YE = -1
Теперь ищем уравнение прямой, идущей через две точки: A(-8;-3) и E(6;-1) по указанному выше уравнению.
(x+8)·2-(y+3)·14 = 0
x+8-7y-21 = 0
x-7y-13 = 0
Это уравнение медианы AE.
Площадь треугольника, заданного на плоскости координатами вершин (x1,y1) (x2,y2) (x3,y3) определяется выражением:
S = (1/2)·|(x3-x1)·(y2-y1) – (y3-y1)·(x2-x1)|
S = (1/2)·|16·(-9)-13·12| = 300/2 = 150 (кв. ед.)
http://matworld.ru/geometry/vysota-treugolnika.php
http://4apple.org/uravnenie-vysoty-treugolnika-po-koordinatam/
Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.
Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:
- Найти уравнение стороны треугольника.
- Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.
Пример.
Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).
Написать уравнения высот треугольника.
Решение:
1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.
Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:
Таким образом, уравнение прямой BC —
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,
Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид
Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:
Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:
2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):
Уравнение прямой AB:
Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой
Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,
Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид
Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:
Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:
Примеры решений по аналитической геометрии на плоскости
В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений задач по аналитической геометрии на плоскости об исследовании треугольника (заданного вершинами или сторонами): уравнения сторон, углы, площадь, уравнения и длины высот, медиан, биссектрис и т.п.
Другие решения по аналитической геометрии на плоскости
Полезная страница? Сохрани или расскажи друзьям
Решения задач о треугольнике онлайн
Задача 1. Даны вершины треугольника $A (-2, 1), B (3, 3), С (1, 0)$. Найти:
а) длину стороны $AB$;
б) уравнение медианы $BM$;
в) $cos$ угла $BCA$;
г) уравнение высоты $CD$;
д) длину высоты $СD$;
е) площадь треугольника $АВС$.
Задача 2. Найти длину высоты $AD$ в треугольнике с вершинами $A(3,2), B(2,-5), C(-6,-1)$ и написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на прямую $AB$.
Задача 3. Даны вершины $A(1,1), B(7,5), C(4,5)$ треугольника. Найти:
1) длину стороны $AB$;
2) внутренний угол $A$ в радианах с точностью до 0,01;
3) уравнение высоты, проведенной через вершину $C$;
4) уравнение медианы, проведенной через вершину $C$;
5) точку пересечения высот треугольника;
6) длину высоты, опущенной из вершины $C$;
7) систему линейных неравенств, определяющую внутреннюю область треугольника.
Сделать чертеж.
Задача 4. Даны уравнения двух сторон треугольника $4x-5y+9=0$ и $x+4y-3=0$. Найти уравнение третьей стороны, если известно, что медианы этого треугольника пересекаются в точке $P(3,1)$.
Задача 5. Даны две вершины $A(-3,3)$, $B(5,-1)$ и точка $D(4,3)$ пересечения высот треугольника. Составить уравнения его сторон.
Задача 6. Найти углы и площадь треугольника, образованного прямыми $у = 2х$, $y = -2х$ и $у = х + 6$.
Задача 7. Найти точку пересечения медиан и точку пересечения высот треугольника: $А(0, — 4)$, $В(3, 0)$ и $С(0, 6)$.
Задача 8. Вычислить координаты точек середины отрезков, являющихся медианами треугольника $ABC$, если $A(-6;1)$, $B(4;3)$, $C(10;8)$.
Не получаются задачи? Решим быстро и подробно!
Здесь рассмотрены все возможные способы нахождения высоты треугольников разных типов. Высота
треугольника – отрезок, проведенный из вершины треугольника перпендикулярно к противоположной
стороне. В задачах нахождение высоты часто является промежуточным звеном для поиска других значений.
Она и является катетом в треугольнике, который сама же образует, и участвует во многих формулах,
например, для нахождения площади.
- Высота разностороннего треугольника через площадь и длину
стороны - Высота разностороннего треугольника через длины всех
сторон - Высота разностороннего треугольника через длину прилежащей
стороны и синус угла - Высота разностороннего треугольника через стороны и радиус
описанной окружности - Высота равнобедренного треугольника через основание и
боковые стороны - Высота прямоугольного треугольника через длины отрезков,
образованных на гипотенузе - Высота прямоугольного треугольника через все стороны
треугольника - Высота равностороннего треугольника через сторону
треугольника
Через площадь и длину стороны разностороннего треугольника
Через площадь и длину высота находится по формуле:
h = 2S / a
где S – площадь треугольника, а – сторона треугольника.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Согласно этой формуле высота равна удвоенной площади, деленной на длину стороны, к которой она
проведена.
Пример. Найдите высоту разностороннего треугольника, проведенную к стороне а,
площадь которого равна 27 см, а длина стороны а составляет одну треть от площади. Решение: Найдем
сторону а. Так как известно, что она составляет треть от площади, а = 27 / 3 = 9 см.
Теперь воспользуемся формулой для нахождения высоты: h = 2S / a. Подставим
известные значения. h = 2 * 27 / 9 = 6 см. Ответ: 6 см
Через длины всех сторон разностороннего треугольника
Через длины всех сторон высота разностороннего треугольника ищется по формуле:
h = (2 √(p (p-a)(p-b)(p-c))) / 2
p = (a + b + c) / 2
где h – высота, а, b, c – стороны треугольника, p – полупериметр треугольника.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Полупериметр треугольника можно найти либо в два этапа через периметр, либо сразу по формуле. Этим
способом удобно пользоваться, когда треугольник разносторонний.
Пример. Периметр разностороннего треугольника равен 18 см. Длины сторон 6 см и 8 см. Найдите
высоту, проведенную к стороне а. Решение: P = a + b + c, значит с = P – a – b , то есть c = 18 – 8 – 6 = 4 см. Для
нахождения h будем использовать формулу h = (2 √(p (p-a)(p-b)(p-c))) / 2.
Сначала найдем полупериметр (p): p = p / 2 = 18 / 2 = 9 см. Подставим,
найденные значения в формулу высоты: h = (2 √(9 (9 — 6)(9 — 8)(9 — 4))) / 2 = √135 / 3 = 2,12 см
Через длину прилежащей стороны и синус угла разностороннего треугольника
Через длину прилежащей стороны и синус угла высота ищется по следующей формуле:
h = a * sin α
где а – длина стороны, sin α – синус прилежащей стороны.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. В разностороннем треугольнике высота проведена к стороне AB. Угол ACH равен
30˚, а длина стороны AB 12 см. Найдите длину высоты CH в треугольнике ABC. По теореме о сумме углов
в треугольнике найдем угол САН. ∠САН = 180 – (∠АСН + ∠АНС). ∠САН = 180 – 90 – 30 = 60˚ sin 60º = 1/2. СН = AB * sin ∠САН, СН = 12 * 1/2 = 6 см. Ответ:
6 см
Через стороны и радиус описанной окружности разностороннего треугольника
Через стороны и радиус описанной окружности высоту можно найти по следующей формуле:
h = bc / 2R
где r – радиус описанной около треугольника окружности, b,c – стороны треугольника
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Вокруг разностороннего треугольника описана окружность с радиусом 3 см. Из
вершины между сторонами b и с проведена высота. Стороны b и с соответственно равны 5 см и 6 см.
Найдите высоту. Решение: Найдем высоту, используя формулу h = 5 * 6 / 2 * 3 = 30 / 6 = 5 см. Ответ:
5 см.
Через длины отрезков прямоугольного треугольника, образованных на гипотенузе
Через длины отрезков образованных на гипотенузе высоту можно найти по следующей формуле:
h = √(C1 * C2)
где: C1, C2 — отрезки, образованные проведением высоты к гипотенузе.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. В прямоугольном треугольнике катеты равны 4 см и 3 см. Угол BAH равен 30˚.
Найдите высоту. По теореме Пифагора найдём сторону BC, которая является гипотенузой в треугольнике
ABC. BC² = AB² = AC², BC² = 4² + 3² = 16+9 = 25 см², BC = √25 = 5 см. Угол
АНВ равен 90˚, так как АН является высотой, то есть, проведена перпендикулярно к стороне ВС.
Следовательно, треугольник АНВ – прямоугольный. Сторона ВН лежит напротив угла 30˚ в прямоугольном
треугольнике, значит, ее длина равна половине длины гипотенузы. Найдем ВН. BH = 1/2 AB. BH = 1/2 × 4 = 2 см. BC = BH + HC,
значит, HC = BC – BH, HC = 5 – 2 = 3 см. По формуле найдем высоту
(АН). АН = √(2 * 3) = √6 = 2,4 см. Ответ: 2,4 см.
Через основание и боковые стороны равнобедренного треугольника
Через основание и боковые стороны высота равнобедренного треугольника находится по формуле:
h = √(b² — a²/4)
где а – основание треугольника, b – боковая сторона. Для равнобедренного треугольника.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. В равнобедренном треугольнике АВС боковая сторона равна 8 см. Из вершины В к
основанию АС проведена высота ВН. Отрезок АН равен 5 см. Найдите высоту. Решение: Так как по условию
треугольник АВС равнобедренный по условию, то АВ = ВС = 8 см высота ВН,
является и медианой, и биссектрисой. Значит, АН = НС, а АС = НС + АН, АС = 5 + 5 = 10 см. По
формуле найдем высоту ВН = √(АВ² — АС² / 4). ВН = √(8² — 10² / 4) = √(64 — 100 / 4) = √39 = 6 см.
Ответ: 6 см.
Высота прямоугольного треугольника через все стороны треугольника
Если известны все стороны прямоугольного треугольника, то можно найти его высоту по следующей
формуле:
h = ab / c
где a,b,c – стороны треугольника.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. В прямоугольном треугольнике угол между катетом и гипотенузой равен 45˚.
Длина стороны АС равна 6 см. Найти высоту АН. Решение: По теореме о сумме углов в треугольнике
найдем угол АСВ. ∠АСВ = 180˚ – (45˚ + 90˚) = 45˚. Так как АСВ = АСВ, то
треугольник АВС равнобедренный с основанием ВС. Таким образом, АС = АВ = 6 см. По теореме Пифагора найдем гипотенузу ВС. BC² = AB² + AC². BC² = 6² + 6² = 36 +36 = 72 см². ВС = √72 = 6√2 см. Найдем
высоту по формуле AH = AB * AC / BC. АН = 6 * 6 / 6√2= см. Домножим
полученное значение на √2: (6 * √2) / √2 * √2 = 6√2 / 2 = 3√2 см. Ответ:
3√2 см
Через сторону равностороннего треугольника
Высота равностороннего треугольника через сторону треугольника ищется по следующей формуле:
h = a√3 / 2
где a – сторона треугольника.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример: Найдите высоту в равностороннем треугольнике, если известно, что его сторона
равна 4√3 см. Решение: Для нахождения высоты воспользуемся формулой h = a√3 / 2 = √3 * 4 √3 / 2 = 4 * 3 / 2 = 6 см. Ответ:
6 см
В зависимости от типа треугольника высота может располагаться по-разному:
- Например, в треугольнике KGM высота GH, проведённая из вершины G к стороне находится внутри
треугольника, так как треугольник является остроугольным. Кроме того, треугольник в данном
примере равнобедренный, значит, она же является биссектрисой и медианой. Знание этого пригодится
при решении задач, например таким образом можно будет найти основание. - В тупоугольном треугольнике высота будет выходить за его пределы и для того чтобы её провести
понадобится сначала продлить сторону. Например, на рисунке сторона ВС продлена до НС. - В случае, когда треугольник имеет прямой угол – высота совпадёт с одним из катетов, либо будет
внутри треугольника (как в первом рассмотренном варианте) и проведена к гипотенузе.