Уравнение по трем точкам: как найти вершину параболы, формула
Многие технические, экономические и социальные вопросы прогнозируются при помощи кривых. Наиболее используемым типом среди них является парабола, а точнее, ее половина. Важной составляющей любой параболической кривой является ее вершина, определение точных координат которой иногда играет ключевую роль не только в самом отображении протекания процесса, но и для последующих выводов. О том, как найти ее точные координаты, и пойдет речь в данной статье….
Начало поиска
Перед тем как перейти к поиску координат вершины параболы, ознакомимся с самим определением и его свойствами. В классическом понимании параболой называется такое расположение точек, которые удалены на одинаковом расстоянии от конкретной точки (фокус, точка F), а также от прямой, которая не проходит через точку F. Рассмотрим данное определение более предметно на рисунке 1.
Рисунок 1. Классический вид параболы
На рисунке изображена классическая форма. Фокусом является точка F. Директрисой в данном случае будет считаться прямая параллельная оси Y (выделена красным цветом). Из определения можно удостовериться, что абсолютно любая точка кривой, не считая фокуса, имеет себе подобную с другой стороны, удаленную на таком же расстояние от оси симметрии, как и сама. Более того, расстояние от любой из точек на параболе равно расстоянию до директрисы. Забегая вперед, скажем, что центр функции не обязательно должен находиться в начале координат, а ветки могут быть направлены в разные стороны.
Парабола, как и любая другая функция, имеет свою запись в виде формулы:
(1).
В указанной формуле буква «s» обозначает параметр параболы, которая равна расстоянию от фокуса до директрисы. Также есть и другая форма записи, указано ГМТ, имеющая вид:
(2).
Такая формула используется при решении задач из области математического анализа и применяется чаще, чем традиционная (в силу удобства). В дальнейшем будем ориентироваться на вторую запись.
Это интересно! Первый признак равенства треугольников: доказательство
Расчет коэффициентов и основных точек параболы
К числу основных параметров принято относить расположение вершины на оси абсцисс, координаты вершины на оси ординат, параметр директрисы.
Численное значение координаты вершины на оси абсцисс
Если уравнение параболы задано в классическом виде (1), то значение абсциссы в искомой точке будет равняться половине значения параметра s (половине расстояния между директрисой и фокусом). В случае, если функция представлена в виде (2), то x нулевое рассчитывается по формуле:
(3).
Т.е., глядя на эту формулу, можно утверждать, что вершина будет находиться в правой половине относительно оси y в том случае, если один из параметров a или b будет меньше нуля.
Уравнение директрисы определяется следующим уравнением:
(4).
Это интересно! Что такое деление с остатком: примеры для ребенка в 3, 4 классе
Значение вершины на оси ординат
Численное значение местонахождения вершины для формулы (2) на оси ординат можно найти по такой формуле:
.
Отсюда можно сделать вывод, что в случае если а<,0, то вершина кривой будет находиться в верхней полуплоскости, в противном случае – в нижней. При этом точки параболы будут обладать теми же свойствами, что были упомянуты ранее.
Если дана классическая форма записи, то более рациональным будет вычисление значения расположения вершины на оси абсцисс, а через него и последующее значение ординаты. Отметим, что для формы записи (2), ось симметрии параболы, в классическом представлении, будет совпадать с осью ординат.
Важно! При решении заданий с использованием уравнения параболы прежде всего выделите основные значения, которые уже известны. Более того, нелишним будет, если будут определены недостающие параметры. Такой подход заранее даст большее «пространство для маневра» и более рациональное решение. На практике старайтесь использовать запись (2). Она более проста для восприятия (не придется «переворачивать координаты Декарта), к тому же подавляющее количество заданий приспособлено именно под такую форму записи.
Это интересно! Чему равна и как найти площадь равностороннего треугольника
Построение кривой параболического типа
Используя распространенную форму записи, перед тем как построить параболу, требуется найти ее вершину. Проще говоря, необходимо выполнить следующий алгоритм:
- Найти координату вершину на оси X.
- Найти координату расположения вершины на оси Y.
- Подставляя разные значения зависимой переменной X, найти соответствующие значения Y и построить кривую.
Т.е. алгоритм не представляет собой ничего сложного, основной акцент делается на том, как найти вершину параболы. Дальнейший процесс построения можно считать механическим.
При условии, что даны три точки, координаты которых известны, прежде всего необходимо составить уравнение самой параболы, а потом повторить порядок действий, который был описан ранее. Т.к. в уравнении (2) присутствуют 3 коэффициента, то, используя координаты точек, вычислим каждое из них:
(5.1).
(5.2).
(5.3).
В формулах (5.1), (5.2), (5.3) применяются соответственно тех точек, которые известны (к примеру А ( 
, B 
(, C ( 
. Таким путем находим уравнение параболы по 3 точкам. С практической стороны такой подход не является самым «приятным», однако он дает четкий результат, на основе которого впоследствии строится сама кривая.
При построении параболы всегда должна присутствовать ось симметрии. Формула оси симметрии для записи (2) будет иметь такой вид:
(6).
Т.е. найти ось симметрии, которой симметричны все точки кривой, не составляет труда. Точнее, она равна первой координате вершины.
Это интересно! Изучаем математику в игровой форме: как ребенку быстро выучить таблицу умножения
Наглядные примеры
Пример 1. Допустим, имеем уравнение параболы:
Требуется найти координаты вершины параболы, а также проверить, принадлежит ли точка D (10, 5) данной кривой.
Решение: Прежде всего проверим принадлежность упомянутой точки самой кривой
Откуда делаем вывод, что указанная точка не принадлежит заданной кривой. Найдем координаты вершины параболы. Из формул (4) и (5) получаем такую последовательность:
Получается, что координаты на вершине, в точке О, следующие (-1,25, -7,625). Это говорит о том, что наша парабола берет свое начало в 3-й четверти декартовой системы координат.
Пример 2. Найти вершину параболы, зная три точки, которые ей принадлежат: A (2,3), B (3,5), C (6,2). Используя формулы (5.1), (5.2), (5.3), найдем коэффициенты уравнения параболы. Получим следующее:
Используя полученные значения, получим следующие уравнение:
На рисунке заданная функция будет выглядеть следующим образом (рисунок 2):
Рисунок 2. График параболы, проходящий через 3 точки
Т.е. график параболы, который проходит по трем заданным точкам, будет иметь вершину в 1-й четверти. Однако ветки данной кривой направлены вниз, т.е. имеется смещение параболы от начала координат. Такое построение можно было предвидеть, обратив внимание на коэффициенты a, b, c.
В частности, если a<,0, то ветки» будут направлены вниз. При a>,1 кривая будет растянута, а если меньше 1 – сжата.
Константа c отвечает за «движение» кривой вдоль оси ординат. Если c>,0, то парабола «ползет» вверх, в противном случае – вниз. Относительно коэффициента b, то определить степень влияния можно лишь изменив форму записи уравнения, приведя ее к следующему виду:
Если коэффициент b>,0, то координаты вершины параболы будут смещены вправо на b единиц, если меньше – то на b единиц влево.
Важно! Использование приемов определения смещения параболы на координатной плоскости подчас помогает экономить время при решении задач либо узнать о возможном пересечении параболы с другой кривой еще до построения. Обычно смотрят только на коэффициент a, так как именно он дает четкий ответ на поставленный вопрос.
Полезное видео: как найти вершину параболы
Полезное видео: как легко составить уравнение параболы из графика
Вывод
Такой как алгебраический процесс, как определение вершин параболы, не является сложным, но при этом достаточно трудоемкий. На практике стараются использовать именно вторую форму записи с целью облегчения понимания графического решения и решения в целом. Поэтому настоятельно рекомендуем использовать именно такой подход, и если не помнить формулы координаты вершины, то хотя бы иметь шпаргалку.
Как найти уравнение параболы проходящей через точки
Глава 20. Парабола
Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой. Фокус параболы обозначается буквой F , расстояние от фокуса до директрисы — буквой р. Число р называется параметром параболы.
Пусть дана некоторая парабола. Введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокус данной параболы перпендикулярно к директрисе и была направлена от директрисы к фокусу; начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой (рис.). В этой системе координат данная парабола будет определяться уравнением
(1)
Уравнение (1) называется каноническим уравнением параболы. В этой же системе координат директриса данной параболы имеет уравнение
.
Фокальный радиус произвольной точки М( x; y ) параболы (то есть длина отрезка F(M ) может быть вычислен по формуле
.
Парабола имеет одну ось симметрии, называемую осью параболы, с которой она пересекается в единственной точке. Точка пересечения параболы с осью называется ее вершиной. При указанном выше выборе координатной системы ось параолы совмещена с осью абсцисс, вершина находится в начале координат, вся парабола лежит в правой полуплоскости.
Если координатная система выбрана так, что ось абсцисс совмещена с осью параболы, начало координат — с вершиной, но парабола лежит в левой полуплоскости (рис.), то ее уравнение будет иметь вид
(2)
В случае, когда начало координат находится в вершине, а с осью совмещена ось ординат, парабола будет иметь уравнение
(3)
если она лежит в верхней полуплоскости (рис.), и
(4)
если в нижней полуплоскости (рис.)
Каждое из уравнений параболы (2), (3), (4), как и уравнение (1), называется каноническим.
Как построить параболу? Что такое парабола? Как решаются квадратные уравнения?
Урок: как построить параболу или квадратичную функцию?
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Парабола — это график функции описанный формулой ax 2 +bx+c=0.
Чтобы построить параболу нужно следовать простому алгоритму действий:
1 ) Формула параболы y=ax 2 +bx+c,
если а>0 то ветви параболы направленны вверх,
а 2 +bx+c=0;
a) Полное квадратное уравнение имеет вид ax 2 +bx+c=0 и решается по дискриминанту;
b) Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0:
ax 2 +bx=0,
х(ax+b)=0,
х=0 и ax+b=0;
c)Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a);
4) Найти несколько дополнительных точек для построения функции.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
И так теперь на примере разберем все по действиям:
Пример №1:
y=x 2 +4x+3
c=3 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=3. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4-8+3=-1 вершина находится в точке (-2;-1)
Найдем корни уравнения x 2 +4x+3=0
По дискриминанту находим корни
a=1 b=4 c=3
D=b 2 -4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x1=(-4+2)/2=-1
x2=(-4-2)/2=-3 
Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=-2
х -4 -3 -1 0
у 3 0 0 3
Подставляем вместо х в уравнение y=x 2 +4x+3 значения
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=-2
Пример №2:
y=-x 2 +4x
c=0 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=0. Ветви параболы смотрят вниз так как а=-1 -1 2 +4*2=-4+8=4 вершина находится в точке (2;4)
Найдем корни уравнения -x 2 +4x=0
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0.
х(-x+4)=0, х=0 и x=4. 
Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=2
х 0 1 3 4
у 0 3 3 0
Подставляем вместо х в уравнение y=-x 2 +4x значения
y=0 2 +4*0=0
y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=2
Пример №3
y=x 2 -4
c=4 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=4. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 вершина находится в точке (0;-4)
Найдем корни уравнения x 2 -4=0
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a)
x 2 =4
x1=2
x2=-2
Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=0
х -2 -1 1 2
у 0 -3 -3 0
Подставляем вместо х в уравнение y= x 2 -4 значения
y=(-2) 2 -4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=0
Подписывайтесь на канал на YOUTUBE, чтобы быть в курсе всех новинок и готовится с нами к экзаменам.
http://a-geometry.narod.ru/problems/problems_20.htm
http://tutomath.ru/uroki/kak-postroit-parabolu.html
3. Аналитическая геометрия на плоскости
3.7 Парабола
Выпишем каноническое уравнение параболы, записанное в канонической системе координат,
begin{equation}
y^2=2px, quad p>0, (25)
label{par1}
end{equation}
Рис 7: Парабола и ее директриса.
Из уравнения следует, что для всех точек $x geq 0$. Далее, переменная $y$ входит в это уравнение во второй степени, так что если точка $(x,y)$ лежит на параболе, то и точка $(x,-y)$ лежит на параболе. Т.о., парабола симметрична при отражении относительно оси $x$.
Точка $(p/2, , 0)$ называется фокусом параболы. Директрисой параболы называется прямая $x=-p/2$.
Теорема. Для того, чтобы точка лежала на параболе, необходимо и достаточно, чтобы ее расстояния до фокуса и директрисы совпадали.
Доказательство.
Решение типовых задач.
Задачи.
Как легко составить уравнение параболы по графику
Среда, 3 августа, 2016
В данной статье репетитор по математике рассказывает о простом и эффективном способе составления уравнения параболы по её графику, которому вас не научат в школе. Дочитайте эту статью до конца или посмотрите видео с подробным объяснением, потому что эта информация может вам пригодиться на экзамене.
Задача состоит в том, чтобы по графику параболы (см. рисунок) определить коэффициенты a, b и c соответствующей квадратичной функции 
:
Существует стандартный и крайне неэффективный способ решения этой задачи. Он заключается в том, чтобы через координату 
вершины параболы связать коэффициенты a и b, используя формулу 
. Затем взять координаты двух точек, которые принадлежат параболе, составить систему уравнений и решить её относительно искомых коэффициентов. Считать придётся долго и муторно.
Мы не пойдём этим путём. Предлагаемый в данной статье способ намного более прост и изящен. Введём новую систему координат 
с центром в вершине параболы и осями, сонаправленными с исходной системой координат. В данной системе координат уравнение нашей параболы будет иметь вид: 
, где 
. Изобразим в новой системе координат график квадратичной функции 
(синяя пунктирная линия на рисунке):
Абсциссы точек C и B в новой системе координат равны. Ордината точки C в 2 раза больше ординаты точки B. Значит график исходной параболы в новой системе координат получен умножением на 
всех ординат точек графика функции 
. Откуда получаем, что 
. Значит исходная парабола может быть представлена в виде следующего выражения в новой системе координат: 
.
Осталось перейти в исходную систему координат. Поскольку новая система координат получена путём параллельного переноса исходной системы координат на 4 единичных отрезка вправо и 2 единичных отрезка вверх, то в исходной системе координат наша парабола может быть представлена в виде следующего выражения:
![[ y = frac{1}{2}(x-4)^2+2 = frac{1}{2}x^2-4x+10. ]](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e7cec75d95818cca2330023c1ec246b7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Как видите, данный способ требует минимум вычислений и фактически является полуустным. Запомните этот способ, он может пригодиться вам при решений задач из ЕГЭ, ОГЭ или вступительных экзаменов в вузы и школы с углубленным изучением математики.
Статья написана репетитором по математике в Москве, Сергеем Валерьевичем
Рассмотрим на плоскости прямую и точку, не лежащую на этой прямой. И эллипс, и гипербола могут быть определены единым образом как геометрическое место точек, для которых отношение расстояния до данной точки к расстоянию до данной прямой есть постоянная вели-
чина ε. При 0 < ε < 1 получается эллипс, а при ε > 1 — гипербола. Параметр ε является эксцентриситетом как эллипса, так и гиперболы. Из возможных положительных значений параметра ε одно, а именно ε = 1, оказывается незадействованным. Этому значению соответствует геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки и от данной прямой.
Определение 8.1. Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки и от фиксированной прямой, называют параболой.
Фиксированную точку называют фокусом параболы, а прямую — директрисой параболы. При этом полагают, что эксцентриситет параболы равен единице.
Из геометрических соображений вытекает, что парабола симметрична относительно прямой, перпендикулярной директрисе и проходящей через фокус параболы. Эту прямую называют осью симметрии параболы или просто осью параболы. Парабола пересекается со своей осью симметрии в единственной точке. Эту точку называют вершиной параболы. Она расположена в середине отрезка, соединяющего фокус параболы с точкой пересечения ее оси с директрисой (рис. 8.3).
Уравнение параболы. Для вывода уравнения параболы выберем на плоскости начало координат в вершине параболы, в качестве оси абсцисс — ось параболы, положительное направление на которой задается положением фокуса (см. рис. 8.3). Эту систему координат называют канонической для рассматриваемой параболы, а соответствующие переменные — каноническими.
Обозначим расстояние от фокуса до директрисы через p. Его называют фокальным параметром параболы.
Тогда фокус имеет координаты F(p/2; 0), а директриса d описывается уравнением x = — p/2. Геометрическое место точек M(x; y), равноудаленных от точки F и от прямой d, задается уравнением
Возведем уравнение (8.2) в квадрат и приведем подобные. Получим уравнение
y2 = 2px (8.3)
которое называют каноническим уравнением параболы.
Отметим, что возведение в квадрат в данном случае — эквивалентное преобразование урав-нения (8.2), так как обе части уравнения неотрицательны, как и выражение под радикалом.
Вид параболы. Если параболу у2 = x, вид которой считаем известным, сжать с коэффициентом 1/(2р) вдоль оси абсцисс, то получится парабола общего вида, которая описывается уравнением (8.3).
Пример 8.2. Найдем координаты фокуса и уравнение директрисы параболы, если она проходит через точку, канонические координаты которой (25; 10).
В канонических координатах уравнение параболы имеет вид у2 = 2px. Поскольку точка (25; 10) находится на параболе, то 100 = 50p и поэтому p = 2. Следовательно, у2 = 4x является каноническим уравнением параболы, x = — 1 — уравнением ее директрисы, а фокус находится в точке (1; 0).
Оптическое свойство параболы. Парабола имеет следующее оптическое свойство.
Если в фокус параболы поместить источник света, то все световые лучи после отражения от параболы будут параллельны оси параболы (рис. 8.4). Оптическое свойство означает, что в любой точке M параболы нормальный вектор касательной составляет с фокальным радиусом MF и осью абсцисс одинаковые углы.
Правила форума
В этом разделе нельзя создавать новые темы.
Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте
его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».
Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.
Не ищите на этом форуме халяву
, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения
и указать конкретные затруднения.
Обязательно просмотрите тему
Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена
или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.
|
|
Еще одно уравнение параболы
|
|
11/10/10 |
Есть задача с решением, но не могу понять как оно получается. Условие. Написать уравнение параболы, проходящей через точку (0, 1), для которой прямая x-2y=0 служит диаметром, а прямая x+y=0 — касательная в точке пересечения этого диаметра с параболой. Решение. 2. Дальше в решение написано касательная — ось, диаметр — ось, в первое уравнение подставили уравнения касательной и диаметра: Не могу понять пункты 2 и 3, почему надо подставлять уравнения прямых в уравнение кривой и откуда получается уравнение 3? Спасибо.
|
|
|
|
 |
31.01.2011, 10:45 
, правда нет члена с первой степенью x?).
|
paha |
Re: Еще одно уравнение параболы
|
||
03/02/10 |
Дальше в решение написано касательная — ось, диаметр — ось не может быть, чтобы так было написано, ибо у параболы «ось» — это ось симметрии:) Решение опирается на следующее (вероятно, доказанное ранее) утверждение: Если прямые
|
||
|
|
|||
|
и 
пересекаются, то
является уравнением параболы, для которой прямая |
dmitryf |
Re: Еще одно уравнение параболы
|
|
11/10/10 |
А где можно посмотреть на это доказательство ни в лекциях, ни в учебнике Александрова найти не могу?
|
|
|
|
|
|
paha |
Re: Еще одно уравнение параболы
|
||
03/02/10 |
|
||
|
|
|||
|
|
dmitryf |
Re: Еще одно уравнение параболы
|
|
11/10/10 |
Спасибо, в «лоб» все понятно, кроме пункта 3. Похоже я не знаю чего-то фундаментального, но почему уравнение параболы можно записать таким образом через уравнение осей? Интуитивно я догадываюсь, что осями теперь служат не уравнения x=0 и y=0, а уравнения прямых, но почему их можно просто подставить?
|
|
|
|
|
|
Алексей К. |
Re: Еще одно уравнение параболы
|
|
29/09/06 |
Спасибо, в «лоб» все понятно, кроме пункта 3… 3) Таким образом уравнение искомой параболы имеет вид Потому что уравнение параболы , не совсем расстояния, а величины, им пропорциональные, но это не меняет сути дела: всё равно у нас там фигурирует некий дополнительный коэффициент пропорциональности.
|
|
|
|
|
можно записать в виде 
и это теперь останется верным при любых поворотах параболы. Точнее, в формуле, написанной |
dmitryf |
Re: Еще одно уравнение параболы
|
|
11/10/10 |
Ага, была такая мысль, теперь понятно, используется просто формула расстояния от точки до прямой без нормализации. Спасибо.
|
|
|
|
|
Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы