Как найти угол с помощью котангенса - Avtoru.top

Как найти угол имея цифровое значение синуса, косинуса, тангенса,котангенса? например есть значение sin a=0,3452 какой угол этому соответствует?

Функции: синус (sin), косинус (cos), тангенс (tg), котангенс (ctg), называются тригонометрическими. Они выражают зависимости длин сторон от углов треугольника при гипотенузе. Определяются отношением какой-либо из сторон треугольника к другой. То есть, показывают, насколько одна сторона больше другой. Это отношение может быть характерно только для строго определенного угла. Выражаются тригонометрические функции в безразмерных единицах.

Если известно значение какой-либо тригонометрической функции (в данном случае, синуса — sin), а требуется найти соответствующий ему угол в градусах, то нужно:

найти обратную тригонометрическую функцию, так называемую «arc»: arcsin, arccos, arctg, arcctg.. Эти функции находятся: по таблицам Брадиса, в которых для каждого угла приведены свои — строго определенные значения тригонометрических функций (таблицами Брадиса пользовались в «докомпьютерный век»), с помощью «инженерных» калькуляторов или компьютерными программами, в частности — Excel. Для того, чтобы определить значение угла по таблицам Брадиса, нужно водить пальцем по их строкам (с тысячами значений), где найти нужную величину (то ли 5, то ли 6 знаков после запятой). И увидеть соответствующее ему значение угла. Так что, с помощью Excel это делается несравненно быстрее и точнее.
Однако функции arc показывают значение в радианах. Искомый угол равен 0,35245 радиан. Если нужно в градусах, то следуют применить еще и формулу перевода радиан в градусы.

asin

Определение значения arcsin угла (в радианах) и значения в градусах — с помощью функций Excel

Итак, ответ получен:

Синусу угла альфа со значением 0,3452 соответствует угол 20,194 градуса.

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим

RIOLIt
[176K]

6 лет назад

Данному значению синуса соответствует угол- немногим более 20 градусов, это- по таблице, а если есть значение гипотенузы, то- по отношению- можно найти катет и другие элементы треугольника и- возможно- все улы, здесь- главное- зацепка- кончик ниточки, чтобы размотать весь клубочек,( а имея в

хозяйстве инженерный калькулятор, можно сразу- по функции найти угол с точностью до н- ого знака после запятой…)

Можно без компьютера, без калькулятора, без таблиц Брадиса найти этот угол. Для этого нужен такой инструмент, как транспортир. Можно воспользоваться угломером. Если есть чертежный прибор, который еще называют кульман, то и им. Но сначала высисляют катет и гипотенузу. Чем больше длина, тем точгее. Допустим, гипотенуза 100 мм, тогда противолежащий катет будет равен 100*0,3452=34,52мм. Берем клетчатую бумагу, по вертикали откладываем 35 мм от горизонтальной линии вверх. Из верхней точки циркулем с разведенными ножками на 100 мм делаем засечку на глризонтальной линии. Соединяем три точки линиями и измеряем угол.

Если честно, то в повседневной жизни не припомню, чтобы приходилось определять углы по синусу или тагенсу. Вот строить углы приходится постоянно. Например, нужно обрезать плинтуса под углом 45 градусов. Никакой транспортир или угломер не нужен. На заводе плинтус обрезан под прямым углом, тогда просто отмеряешь два одинаковых катета и проводишь гипотенузу, угол получантся сам собой. Так же легко строить углы 30 и 60 градусов, так как гипотенуза равна двум противолежащим катетам.

Еще углы можно измерять смартфоном илитпланшетом, если в нем установлено приложение по измерению углов, очень удобная штука, не надо покупать строительный уровень.

bezdelnik
[34.1K]

6 лет назад

Найти угол имея цифровое значение синуса, косинуса, тангенса можно по таблицам Брадиса, на логарифмической линейке или на калькуляторе. Если sin a=0,3452, то a=20,194… градуса. Можно найти приближенное значение тригонометрических функций по их графикам, для синуса и косинуса это графики синусоиды и косинусоиды. Найдя значения синуса и косинуса значения тангенса и котангенса можно вычислить по формулам tg a = Sin a /Cos a, ctg a = Cos a/Sin a

DartFallen
[68.2K]

6 лет назад

Я открою Вам одну старую и великую тайну! Все эти величины давно вычислены и сведены в таблицу. Носит она название таблицы Браддиса.

Когда я учился в старших классах у каждого ученика была желтенькая такая брошюрка, в которой и представлены многие данные и не только для градусной меры углов. Величины эти постоянные и периодического пересчета не требуют.

Вот как-то так…

Blockphild
[0]

8 месяцев назад

Зачем так все сложно и это в век компьютеров? Иди сюда -> https://allcalc.ru/node/1039

вставляй величины катетов и гипотенуз —> жми на кнопку -> ВЫЧИСЛИТЬ и вот тебе результат в градусах и радианах.

Недостаток: нужно иметь интернет

Не надо никаких там EXCEL, таблиц Брадисов и прочей ерунды, мы в 21 веке живем, все делается очень быстро.

Успехов!

bezdelnik
[34.1K]

5 лет назад

Для некоторых значений тригонометрических функций соответствующие углы общеизвестны из учебников по математике. Например,для углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90° синус равен 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1 ,соответственно, а косинус такие же значения в обратном порядке. Это должны знать все получившие среднее школьное образование.

Знаете ответ?

Смотрите также:

В треугольнике АВС угол С равен 90°, АВ=10, АС=√51. Как найти sin A?

Как вычислить площадь параллелограма по формуле S=a·b·sin A с след.данными?

В треугольнике ABC угол C = 90°, sin A = 4/5, AC=9. Найти AB. Как решить?

Как доказать теорему о равенстве синусов острых углов?

Как построить угол, если известен синус?

Если синус X равен 1, чему равен косинус X(см)?

Как найти котангенс, тангенс, синус, косинус?

Как выучить таблицу значений синуса, косинуса, тангенса разных углов?

Перечислите все формулы, объединяющие синус, косинус, тангенс и котангенс?

Как записать две различные функции для синуса и косинуса?

Источник

Математика для блондинок

Математикой должны заниматься блондинки — они врать не умеют.

Страницы

вторник, 9 октября 2012 г.

Как найти угол по тангенсу

В комментариях к тригонометрической таблице меня спросили, как перевести в градусы tg@= 4,99237? В общем виде вопрос заключается в том, как найти угол по тангенсу? Для решения этой задачи мы будем использовать калькулятор. Поскольку математики никогда не ставили перед собой задачи навести порядок в математике, то углы и сегодня измеряются в самых разных единицах измерения. Наиболее популярны среди математиков градусная и радианная меры углов. Мы тоже найдем решение как в градусах, так и в радианах. Благо, на калькуляторе они есть.

Как включить калькулятор? Читайте в конце этой страницы.

Сначала мы найдем угол по тангенсу в градусах. Для этого в правом верхнем углу калькулятора нужно установить специальный пыптик в положение Deg 360, что соответствует градусам. Дальше кнопочками вводим число 4,99237. Вот что у нас должно получиться.

После этого нужно нажать кнопочку арктангенс. Именно эта математическая ерунда превращает значение тангенса в угол. На калькуляторе эта хитрая обратная тригонометрическая функция (как её величают математики) замаскирована под кнопочку tan в степени минус 1, то есть тангенс в минус первой степени. После нажатия этой кнопочки восторженный калькулятор на все лады расхваливает нашу мудрость и всеми возможными способами сообщает нам, что мы таки ковырнули арктангенс, а не что нибудь другое. Об этом свидетельствует название функции atan (4.99237) в окошке калькулятора. Для особо одаренных здесь же буковками написано Arc tangent. Правда, особо одаренным нужно ещё знать английский язык, для того, чтобы понять всю глубину восторга калькулятора.

«А где же угол?» — спросите вы и будете правы. Угла нет, не смотря на все наши старания. Для превращения восторга калькулятора в математический результат нужно ещё нажать здоровенную кнопку равно, обозначенную двумя горизонтальными палочками =. Вот теперь мы нашли угол по тангенсу в градусах. Он равняется 78,6732 (ну, и так далее) градусов.

Для полного счастья, можно пролить бальзам на душу математиков, разложив эту десятичную форму записи градусов на градусы, минуты и секунды. Для этого дробную часть числа умножаем на 60 и получаем количество минут в дробном хвосте градусов.

0,6732 * 60 = 40,392′

Подобную процедуру повторяем с минутами. Дробную часть минут умножаем на 60 и получаем секунды.

Процедуру можно повторять и дальше до бесконечности, но, к счастью, математики до этого ещё не додумались. По этому на секундах мы и остановимся. Ничего, что секунды у нас получились с дробным хвостиком. Математики к таким хвостам относятся терпимо. В итоге, полнометражная версия полученного нами угла в градусной мере углов выглядит следующим образом:

78 градусов 40′ 23,52″

В слух эта магическая надпись произносится так: «78 градусов, 40 минут, 23 целых и 52 сотых секунды». Аминь!

Нет, ещё не «Аминь!». Теперь нужно выковырять из калькулятора этот же угол, только в радианах. Процедура добывания угла точно такая же, как и для градусов, с той только разницей, что в самом начале мы на калькуляторе нажимаем соседний пыптик Rad 2п. Повинуясь нашей воле, калькулятор добросовестно выдаст нам результат в радианах. Вот как это будет выглядеть.

Как видите, в радианах мы получили всего-навсего 1,3731 радиан. И за что математики так любят радианы? Ведь, плюнуть не на что. Ну, да Бог с ними, с этими математиками.

Тетерь самый интересный вопрос из комментариев: «А как включить-то калькулятор. «

Теритически, на всех компьютерах и смартфонах калькулятор устанавливается по умолчанию. Просто его нужно найти.

Компьютер. Нажимаем кнопку «Пуск», затем нажимаем «Все программы». Ищем среди программ «Стандартные» и открываем эту папку. У меня именно в ней спрятана программа «Калькулятор». Открываем эту программу нажатием левой кнопки мыши, появляется калькулятор. Если вы не видите на калькуляторе тангансов, котангенсов и прочей математической ерунды, тогда в верхнем меню нажмите на слово «Вид» и включите пиптик «Инженерный». Ваш калькулятор готов к великим математическим свершениям. Кстати, по логике разработчиков калькуляторов, вся эта математическая ерунда типа тангенсы-котангенсы обычным людям и даром не нужна, о чем всидетельствует «Обычный» вид калькулятора.

Смартфон. У меня калькулятор расположен прямо на главном экране. Нажимай и пользуйся. Вот только вылезает калькулятор в обычном виде. Где найти математику? Никогда не задавался таким вопросом. Методом научного тыка выяснил, что в левом нижнем углу экрана есть красненький значек, изображающий два какдратика по диагонали и две стрелочки. После нажатия на этот символ появляются все математические фишки, заложенные разработкичами. Теперь вы становитесь повелителем тангенсов-котангенсов и прочих математических чудес.

Попробую сделать отдельную страницу, посвященную калькулятору, где будут картики и разные полезности. Метод научного тыка — не самый эффективный научный метод, гораздо разумнее пользоваться информацией, которую раздобыли другие пользователи.

Углы прямоугольного треугольника

Калькулятор расчёта углов прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками соединяющихся тремя точками, у которой все углы внутренние, при этом один из углов прямой (равен 90°).

Тангенс угла tg(α) — это тригонометрическая функция выражающая отношение противолежащего катета a к прилежащему катету b.

Формула тангенса

tg α — тангенс угла α
a — противолежащий катет
b — прилежащий катет

Арктангенс — это обратная тригонометрическая функция. Арктангенсом числа x называется такое значение угла α, выраженное в радианах, для которого tg α = x . Вычислить арктангенс, означает найти угол α, тангенс которого равен числу x.

Углы треугольника

Сумма углов треугольника всегда равна 180 градусов:

Так как у прямоугольного треугольника один из углов равен 90°, то сумма двух других углов равна 90°.

Поэтому, если известен один из острых углов треугольника, второй угол можно посчитать по формуле:

Острый угол — угол, значение которого меньше 90°.

У прямоугольного треугольника один угол прямой, а два других угла — острые.

Как с помощью тангенса найти сторону треугольника. Теорема Пифагора, чтобы найти катет прямоугольного треугольника

В жизни нам часто придется сталкиваться с математическими задачами: в школе, в университете, а затем помогая своему ребенку с выполнением домашнего задания. Люди определенных профессий будут сталкиваться с математикой ежедневно. Поэтому полезно запоминать или вспоминать математические правила. В этой статье мы разберем одно из них: нахождение катета прямоугольного треугольника.

Что такое прямоугольный треугольник

Для начала вспомним, что такое прямоугольный треугольник. Прямоугольный треугольник – это геометрическая фигура из трех отрезков, которые соединяют точки, не лежащие на одной прямой, и один из углов этой фигуры равен 90 градусам. Стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, которая лежит напротив прямого угла – гипотенузой.

Находим катет прямоугольного треугольника

Существует несколько способов, позволяющих узнать длину катета. Хотелось бы рассмотреть бы их подробнее.

Теорема Пифагора, чтобы найти катет прямоугольного треугольника

Если нам известны гипотенуза и катет, то мы можем найти длину неизвестного катета по теореме Пифагора. Звучит она так: “Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов”. Формула: c²=a²+b², где c – гипотенуза, a и b – катеты. Преобразовываем формулу и получаем: a²=c²-b².

Пример. Гипотенуза равна 5 см, а катет – 3 см. Преобразовываем формулу: c²=a²+b² → a²=c²-b². Далее решаем: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (см).

Тригонометрические соотношения, чтобы найти катет прямоугольного треугольника

Также можно найти неизвестный катет, если известны любая другая сторона и любой острый угол прямоугольного треугольника. Есть четыре варианта нахождения катета при помощи тригонометрических функций: по синусу, косинусу, тангенсу, котангенсу. Для решения задач нам поможет таблица, которая находится чуть ниже. Рассмотрим эти варианты.

Найти катет прямоугольного треугольника при помощи синуса

Синус угла (sin) – это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Формула: sin=a/c, где а – катет, лежащий против данного угла, а с – гипотенуза. Далее преобразуем формулу и получаем: a=sin*c.

Пример. Гипотенуза равна 10 см, угол А равен 30 градусов. По таблице вычисляем синус угла А, он равен 1/2. Затем по преобразованной формуле решаем: a=sin∠А*c; a=1/2*10; a=5 (см).

Найти катет прямоугольного треугольника при помощи косинуса

Косинус угла (cos) – это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Формула: cos=b/c, где b – катет, прилежащий к данному углу, а с – гипотенуза. Преобразуем формулу и получим: b=cos*c.

Пример. Угол А равен 60 градусов, гипотенуза равна 10 см. По таблице вычисляем косинус угла А, он равен 1/2. Далее решаем: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (см).

Найти катет прямоугольного треугольника при помощи тангенса

Тангенс угла (tg) – это отношение противолежащего катета к прилежащему. Формула: tg=a/b, где а – противолежащий к углу катет, а b – прилежащий. Преобразуем формулу и получаем: a=tg*b.

Пример. Угол А равен 45 градусов, гипотенуза равна 10 см. По таблице вычисляем тангенс угла А, он равен Решаем: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (см).

Найти катет прямоугольного треугольника при помощи котангенса

Котангенс угла (ctg) – это отношение прилежащего катета к противолежащему. Формула: ctg=b/a, где b – прилежащий к углу катет, а – противолежащий. Иначе говоря, котангенс – это “перевернутый тангенс”. Получаем: b=ctg*a.

Пример. Угол А равен 30 градусов, противолежащий катет равен 5 см. По таблице тангенс угла А равен √3. Вычисляем: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (см).

Итак, теперь вы знаете, как находить катет в прямоугольном треугольнике. Как видите, это не так уж и сложно, главное – запомнить формулы.

Сторону треугольника дозволено обнаружить не только по периметру и площади, но и по заданной стороне и углам. Для этого применяются тригонометрические функции – синус и косинус . Задачи с их применением встречаются в школьном курсе геометрии, а также в вузовском курсе аналитической геометрии и линейной алгебры.

Инструкция

1. Если знаменита одна из сторон треугольника и угол между ней и иной его стороной, воспользуйтесь тригонометрическими функциями – синус ом и косинус ом. Представьте себе прямоугольный треугольник НBC , у которого угол? равен 60 градусам. Треугольник НBC показан на рисунке. От того что синус , как знаменито, представляет собой отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинус – отношение прилежащего катета к гипотенузе, для решения поставленной задачи воспользуйтесь дальнейшим соотношением между этими параметрами:sin ?=НB/BCСоответственно, если вы хотите узнать катет прямоугольного треугольника, выразите его через гипотенузу дальнейшим образом:НB=BC*sin ?

2. Если в условии задачи, напротив, дан катет треугольника, обнаружьте его гипотенузу, руководствуясь дальнейшим соотношением между заданными величинами:BC=НB/sin ?По аналогии обнаружьте стороны треугольника и с применением косинус а, изменив предыдущее выражение дальнейшим образом:cos ?=НC/BC

3. В элементарной математике существует представление теоремы синус ов. Руководствуясь фактами, которые описывает данная теорема, также дозволено обнаружить стороны треугольника. Помимо этого, она разрешает обнаружить стороны треугольника, вписанного в окружность, если знаменит вестим радиус последней. Для этого воспользуйтесь соотношением, указанным ниже:a/sin ?=b/sin b=c/sin y=2RЭта теорема применима в том случае, когда знамениты две стороны и угол треугольника, либо дан один из углов треугольника и радиус описанной вокруг него окружности.

4. Помимо теоремы синус ов, существует и аналогичная ей по сути теорема косинус ов, которая, как и предыдущая, также применима к треугольникам всех 3 разновидностей: прямоугольному, остроугольному и тупоугольному. Руководствуясь фактами, которые доказывают эта теорема, дозволено находить неведомые величины, применяя следующие соотношения между ними:c^2=a^2+b^2-2ab*cos ?

Геометрическая фигура, состоящая из трёх точек, не принадлежащих одной прямой называемых вершинами, и трёх попарно соединяющих их отрезков, называемых сторонами, именуется треугольником. Существует уйма задач на нахождение сторон и углов треугольника по ограниченному числу начальных данных, одна из таких задач – нахождение стороны треугольника по одной из его сторон и двум углам .

Инструкция

1. Пускай построен треугольник?ABC и знамениты – сторона BC и углы?? и. Знаменито, что сумма углов всякого треугольника равна 180?, следственно в треугольнике?ABC угол?? будет равен?? = 180? – (?? + ??).Обнаружить стороны AC и AB дозволено применяя теорему синусов, которая гласитAB/sin?? = BC/sin?? = AC/sin?? = 2 * R, где R – радиус описанной около треугольника?ABC окружности,тогда получаемR = BC/sin. AB = 2 * R * sin. AC = 2 * R * sin. Теорему синусов дозволено использовать при всяких данных 2-х углах и стороне.

2. Стороны заданно треугольника дозволено обнаружить, вычислив его площадь по формулеS = 2 * R? * sin?? * sin?? * sin. где R вычисляется по формулеR = BC/sin. R – радиус описанной около треугольника?ABC отсюдаТогда сторону AB дозволено обнаружить, вычислив высоту, опущенную на неёh = BC * sin. отсель по формуле S = 1/2 * h * AB имеемAB = 2 * S/hАналогичным образом дозволено вычислить сторону AC.

3. Если в качестве углов даны внешние углы треугольника?? и. то обнаружить внутренние углы дозволено с поддержкой соответствующих соотношений?? = 180? – . = 180? – . = 180? – (?? + ??).Дальше действуем подобно первым двум пунктам.

Постижение треугольников ведется математиками на протяжении нескольких тысячелетий. Наука о треугольниках – тригонометрия – использует особые величины: синус и косинус.

Прямоугольный треугольник

Изначально синус и косинус появились из-за необходимости рассчитывать величины в прямоугольных треугольниках. Было подмечено, что если значение градусной меры углов в прямоугольном треугольнике не менять, то соотношение сторон, насколько бы эти стороны ни изменялись в длине, остается неизменно идентичным.Именно так и были введены представления синуса и косинуса. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинус – прилежащего к гипотенузе.

Теоремы косинусов и синусов

Но косинусы и синусы могут использоваться не только в прямоугольных треугольниках. Дабы обнаружить значение тупого либо острого угла, стороны всякого треугольника, довольно применить теорему косинусов и синусов.Теорема косинусов достаточно примитивна: «Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов 2-х других сторон за вычетом удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними». Существует две трактовки теоремы синусов: малая и расширенная. Согласно малой: «В треугольнике углы пропорциональны противолежащим сторонам». Данную теорему зачастую расширяют за счет свойства описанной около треугольника окружности: «В треугольнике углы пропорциональны противолежащим сторонам, а их отношение равно диаметру описанной окружности».

Производные

Производная – математический инструмент, показывающий, как стремительно меняется функция касательно метаморфозы ее довода. Производные применяются в алгебре, геометрии, экономике и физике, ряде технических дисциплин. При решении задач требуется знать табличные значения производных тригонометрических функций: синуса и косинуса. Производной синуса является косинус, а косинуса – синус, но со знаком «минус».

Применение в математике

Особенно зачастую синусы и косинусы применяются при решении прямоугольных треугольников и задач, связанных с ними. Удобство синусов и косинусов обнаружило свое отражение и в технике. Углы и стороны было примитивно оценивать по теоремам косинусов и синусов, разбивая трудные фигуры и объекты на «примитивные» треугольники. Инженеры и архитекторы, зачастую имеющие дело с расчетами соотношения сторон и градусных мер, тратили много времени и усилий для вычисления косинусов и синусов не табличных углов. Тогда «на подмогу» пришли таблицы Брадиса, содержащие тысячи значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов различных углов. В советское время некоторые преподаватели принуждали своих подопечных учить страницы таблиц Брадиса назубок.

Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними.

Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Пусть в нем сторона BC = a, сторона CA = b и S — площадь этого треугольника. Необходимо доказать, что S = (1/2)*a*b*sin(C) .

Для начала введем прямоугольную систему координат и поместим начало координат в точку С. Расположим нашу систему координат так, чтобы точка B лежала на положительном направлении оси Сх, а точка А имела бы положительную ординату.

Если все выполнить правильно, то должен получится следующий рисунок.

Площадь данного треугольника можно вычислить по следующей формуле: S = (1/2)*a*h , где h — это высота треугольника. В нашем случае высота треугольника h равна ординате точки А, то есть h = b*sin(C).

Учитывая полученные результат, формулу площади треугольника можно переписать следующим образом: S = (1/2)*a*b*sin(C). Что и требовалось доказать.

Решение задач

Задача 1. Найти площадь треугольника ABC, если а) AB = 6*√8 см, АС = 4 см, угол А = 60 градусов б) BC = 3 см, AB = 18*√2 см, угол B= 45 градусов в) AC = 14 см, CB = 7 см, угол C= 48 градусов.

По доказанной выше теореме площадь S треугольника ABC равна:

а) S = ((1/2) *6*√8*4*sin(60˚)) = 12*√6 см^2.

б) S = (1/2)*BC*BA*sin(B)=((1/2)* 3*18*√2 *(√2/2)) = 27 см^2.

в) S = (1/2)*CA*CB*sin(C) = ½*14*7*sin48˚ см^2.

Значение синуса угла считаем на калькуляторе либо используем значения из таблицы значений тригонометрических углов. Ответ:

в) приблизительно 36.41 см^2.

Задача 2. Площадь треугольника ABC равна 60 см^2. Найдите сторону AB, если AC = 15 см, угол А = 30˚.

Положим S — площадь треугольника ABC. По теореме о площади треугольника имеем:

Подставим в неё имеющиеся у нас значения:

60 = (1/2)*AB*15*sin30˚ = (1/2)*15*(1/2)*AB=(15/4)*AB.

Отсюда выражаем длину стороны AB: AB = (60*4)/15 = 16.

Синус является одной из основных тригонометрических функций, применение которой не ограничено одной лишь геометрией. Таблицы вычисления тригонометрических функций, как и инженерные калькуляторы, не всегда под рукой, а вычисление синуса порой нужно для решения различных задач. Вообще, вычисление синуса поможет закрепить чертёжные навыки и знание тригонометрических тождеств.

Игры с линейкой и карандашом

Простая задача: как найти синус угла, нарисованного на бумаге? Для решения понадобится обычная линейка, треугольник (или циркуль) и карандаш. Простейшим способом вычислить синус угла можно, разделив дальний катет треугольника с прямым углом на длинную сторону — гипотенузу. Таким образом, сначала нужно дополнить острый угол до фигуры прямоугольного треугольника, прочертив перпендикулярную одному из лучей линию на произвольном расстоянии от вершины угла. Потребуется соблюсти угол именно 90°, для чего нам и понадобится канцелярский треугольник.

Использование циркуля немного точнее, но займёт больше времени. На одном из лучей нужно отметить 2 точки на некотором расстоянии, настроить на циркуле радиус, примерно равный расстоянию между точками, и прочертить полуокружности с центрами в этих точках до получения пересечений этих линий. Соединив точки пересечения наших окружностей между собой, мы получим строгий перпендикуляр к лучу нашего угла, остаётся лишь продлить линию до пересечения с другим лучом.

В полученном треугольнике нужно линейкой измерить сторону напротив угла и длинную сторону на одном из лучей. Отношение первого измерения ко второму и будет искомой величиной синуса острого угла.

Найти синус для угла больше 90°

Для тупого угла задача не намного сложнее. Нужно прочертить луч из вершины в противоположную сторону с помощью линейки для образования прямой с одним из лучей интересующего нас угла. С полученным острым углом следует поступать как описано выше, синусы смежных углов, образующих вместе развёрнутый угол 180°, равны.

Вычисление синуса по другим тригонометрическим функциям

Также вычисление синуса возможно, если известны значения других тригонометрических функций угла или хотя бы длины сторон треугольника. В этом нам помогут тригонометрические тождества. Разберём распространённые примеры.

Как находить синус при известном косинусе угла? Первое тригонометрическое тождество, исходящее из теоремы Пифагора, гласит, что сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице.

Как находить синус при известном тангенсе угла? Тангенс получают делением дальнего катета на ближний или делением синуса на косинус. Таким образом, синусом будет произведение косинуса на тангенс, а квадратом синуса будет квадрат этого произведения. Заменяем косинус в квадрате на разность между единицей и квадратным синусом согласно первому тригонометрическому тождеству и путём нехитрых манипуляций приводим уравнение к вычислению квадратного синуса через тангенс, соответственно, для вычисления синуса придётся извлечь корень из полученного результата.

Как находить синус при известном котангенсе угла? Значение котангенса можно вычислить, разделив длину ближнего от угла катета на длину дальнего, а также поделив косинус на синус, то есть котангенс — функция, обратная тангенсу относительно числа 1. Для расчёта синуса можно вычислить тангенс по формуле tg α = 1 / ctg α и воспользоваться формулой во втором варианте. Также можно вывести прямую формулу по аналогии с тангенсом, которая будет выглядеть следующим образом.

Как находить синус по трём сторонам треугольника

Существует формула для нахождения длины неизвестной стороны любого треугольника, не только прямоугольного, по двум известным сторонам с использованием тригонометрической функции косинуса противолежащего угла. Выглядит она так.

Ну, а синус можно далее рассчитать по косинусу согласно формулам выше.

Если в задаче даны длины двух сторон треугольника и угол между ними, то можно применить формулу площади треугольника через синус.

Пример расчета площади треугольника через синус. Даны стороны a = 3, b = 4, и угол γ= 30°. По синус угла в 30° равен 0.5

Площадь треугольника будет равна 3 кв. см.

Также могут быть и другие условия. Если дана длина одной стороны и углы, то для начала нужно вычислить недостающий угол. Т.к. сумма всех углов треугольника равняется 180°, то:

Площадь будет равна половине квадрата стороны, умноженной на дробь. В ее числителе находится произведение синусов прилегающих углов, а в знаменателе синус противолежащего угла. Теперь рассчитываем площадь по следующим формулам:

Например, дан треугольник со стороной a=3 и углами γ=60°, β=60°. Вычисляем третий угол:
Подставляем данные в формулу
Получаем, что площадь треугольника равняется 3,87 кв. см.

II. Площадь треугольника через косинус

Чтобы найти площадь треугольника, нужно знать длины всех сторон. По теореме косинусов можно найти не известные стороны, а уже потом использовать .
По теореме косинусов квадрат неизвестной стороны треугольника равняется сумме квадратов остальных сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла, находящегося между ними.

Из теоремы выводим формулы для поиска длины неизвестной стороны:

Зная как найти недостающую сторону, имея две стороны и угол между ними можно легко посчитать площадь. Формула площади треугольника через косинус помогает легко и быстро найти решение различных задач.

Пример расчета формулы площади треугольника через косинус
Дан треугольник с известными сторонами a = 3, b = 4, и углом γ= 45°. Для начала найдем недостающую сторону с . По косинус 45°=0,7. Для этого подставим данные в уравнение, выведенное из теоремы косинусов.
Теперь используя формулу, найдем

Понравилось?

Нажмите на кнопку, если статья Вам понравилась, это поможет нам развивать проект. Спасибо!

источники:

http://kalk.top/sz/corners-pr-triangle

http://school10-mgn.ru/kak-s-pomoshchyu-tangensa-naiti-storonu-treugolnika-teorema-pifagora.html

Источник

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.

Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.

Острый угол — меньший 90 градусов.

Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин

Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается C. Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается .

Угол A обозначается соответствующей греческой буквой alpha .

Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.

Катет , лежащий напротив угла alpha , называется противолежащим (по отношению к углу alpha ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла alpha , называется прилежащим.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

sin A $=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle c}.$

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

cos A $=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle b}{displaystyle c}.$

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

tg A $=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle b}.$

Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

tg A $=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sin A}{displaystyle cos A}.$

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

ctg A $=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle cos A}{displaystyle sin A}.$

Обратите внимание на основные формулы для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.

sin $displaystyle alpha = frac{a}{c}$	sin ${}^2 alpha +$ cos $displaystyle {}^2 alpha =1$	$alpha + beta = 90 ^{circ}$
cos $displaystyle alpha = frac{b}{c}$	1+tg $displaystyle {}^2 alpha =frac{1}{cos ^2 alpha}$	cos = sin
tg $displaystyle alpha = frac{a}{b}$	1+ctg $displaystyle {}^2 alpha =frac{1}{sin ^2 alpha}$	sin = cos
ctg $displaystyle alpha = frac{b}{a}$		tg = ctg

Давайте докажем некоторые из них.

Сумма углов любого треугольника равна $180^{circ}$ . Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa $90^{circ}$ .
С одной стороны, $sin A =genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle c}$ как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, $cos B =genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle c}$ , поскольку для угла катет а будет прилежащим. Получаем, что . Иными словами, $cos left( 90^{circ}-A right) = sin A$ .
Возьмем теорему Пифагора: . Поделим обе части на получаем $displaystyle left ( frac{a}{c} right )^2+left ( frac{b}{c} right )^2=left ( frac{c}{c} right )^2 ,$ то есть
Мы получили основное тригонометрическое тождество.
Поделив обе части основного тригонометрического тождества на , получим: $1+tg ^2 A = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle cos ^2 A }.$ Это значит, что если нам дан тангенс острого угла , то мы сразу можем найти его косинус. Аналогично, $1+ctg ^2 A =genfrac{}{}{}{0}{1}{sin ^2 A }.$

Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?

Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна $180^{circ}$ .

Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: .

Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?

С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.

Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.

Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от $0^{circ}$ до $90^{circ}$ .

	0	$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 6}$	$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 4}$	$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 3}$	$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 2}$
sin	0	$displaystyle frac{1}{2}$	$displaystyle frac{sqrt{2}}{2}$	$displaystyle frac{sqrt{3}}{2}$
cos		$displaystyle frac{sqrt{3}}{2}$	$displaystyle frac{sqrt{2}}{2}$	$displaystyle frac{1}{2}$	0
tg	0	$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle sqrt{3}}$			−
ctg	−			$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle sqrt{3}}$	0

Обратите внимание на два прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.

Докажем теорему:

Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

В самом деле, пусть АВС и — два прямоугольных треугольника с прямыми углами С и C_1 и равными острыми углами А и A_1.

Треугольники АВС и подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому $displaystyle frac{AB}{A_1 B_1}=frac{BC}{B_1 C_1}=frac{AC}{A_1 C_1 } .$

Из этих равенств следует, что $displaystyle frac{BC}{AB}=frac{B_1 C_1}{A_1 B_1} ,$ т. е. sin А = sin A_1.

Аналогично, $displaystyle frac{AC}{AB}=frac{A_1C_1}{A_1 B_1},$ т. е. cos А = cos A_1, и $displaystyle frac{BC}{AC}=frac{B_1C_1}{A_1 C_1},$ т. е. tg A = tg A_1.

Это значит, что синус, косинус и тангенс зависят только от величины угла.

Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.

Задача 1. В треугольнике ABC угол C равен $90^{circ}$ , sin A = 0,1. Найдите cos B.

Задача решается за четыре секунды.

Поскольку $A+B = 90^{circ}$ , sin A = cos B = 0,1.

Задача 2. В треугольнике ABC угол равен $90^{circ}$ , AB=5 , $sin A = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 7}{displaystyle 25}$ .

Найдите .

Решение:

$sin A = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle c} = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle BC}{displaystyle AB} = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 7}{displaystyle 25}.$

Отсюда

$BC= genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 7}{displaystyle 25} cdot AB = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 7}{displaystyle 5}.$

Найдем AC по теореме Пифагора.

$AC=sqrt{AB^2-BC^2} = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 24}{displaystyle 5} = 4,8.$

Ответ: 4,8.

Задача 3. В треугольнике АВС угол С равен AВ = 13, ВС = 5. Найдите косинус и тангенс острого угла А. Ответ округлите до сотых.

Решение:

Для угла А противолежащий катет – это ВС,

АВ является гипотенузой треугольника, лежит против Значит, sin A $displaystyle = frac{BC}{AB}= frac{5}{13}.$

Катет, прилежащий к angle A – это катет АС, следовательно, cos⁡ А $displaystyle = frac{AC}{AB}=frac{AC}{13}.$

Длину катета АС найдем по теореме Пифагора:

Тогда $AC = sqrt{AB^2-BC^2}=sqrt{(13)^2-5^2}=sqrt{144}=12.$

cos⁡ А $displaystyle = frac{12}{13}=0,923 ... approx 0,92 ;$

tg A $displaystyle = frac{BC}{AC} = frac{5}{12}=0,416...approx 0,42.$

Ответ: 0,92; 0,42.

Заметим, что если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то гипотенуза равна 13. Это одна из так называемых Пифагоровых троек. О них мы расскажем в других статьях сайта.

Задача 4. В треугольнике АВС угол С равен AC = 2, sin A= $displaystyle frac{sqrt{17}}{17} .$

Найдите BC.
Решение:

AC = b = 2, BC = a, AB = c.

Так как sin A $displaystyle = frac{a}{c} = frac{BC}{AB} = frac{sqrt{17}}{17},$ $displaystyle frac{a}{c} = frac{sqrt{17}}{17} ,$ $displaystyle c = frac{17a}{sqrt{17}}=sqrt{17}a.$

По теореме Пифагора получим

$a^2+2^2=(sqrt{17} a)^2;$

$displaystyle a= frac{1}{2}=0,5;$

Ответ: 0,5.

Задача 5. В треугольнике АВС угол С равен AC = 4, tg A = $displaystyle frac{33}{4sqrt{33}} .$ Найдите AB.

Решение:

AC = b = 4, tg A $displaystyle = frac{a}{b}=frac{33}{4sqrt{33}},$

$displaystyle frac{a}{4}=frac{33}{4sqrt{33}},$ $displaystyle a=frac{4 cdot 33}{4 cdot sqrt{33}}=sqrt{33},$

$AB = c = sqrt{a^2+b^2}=sqrt{(sqrt{33})^2+4^2}=sqrt{33+16} =7.$

Ответ: 7.

Задача 6.

В треугольнике АВС угол С равен CH – высота, AB = 13, tg A = $displaystyle frac{1}{5} .$ Найдите AH.

Решение:

AВ = с = 13, tg A = $displaystyle frac{a}{b}=frac{1}{5} ,$ тогда b = 5a.

По теореме Пифагора ABC:

$displaystyle a=sqrt{frac{169}{26}}=frac{13}{sqrt{26}},$ тогда $displaystyle b = 5a=5cdot frac{13}{sqrt{26}}=frac{65}{sqrt{26}}.$

(по двум углам), следовательно $displaystyle frac{AH}{AC}=frac{AC}{AB} ,$ откуда

$displaystyle AH = frac{AC^2}{AB}=frac{b^2}{c}=left ( frac{65}{sqrt{26}}right )^2:13=12,5.$

Ответ: 12,5.

Задача 7. В треугольнике АВС угол С равен

CH – высота, BC = 3, sin A = $displaystyle frac{1}{6} .$

Найдите AH.

Решение:

Так как sin A = $displaystyle frac{a}{c} = frac{BC}{AB} = frac{1}{6},$ тогда $displaystyle frac{3}{c} = frac{1}{6} ,$ c = АВ = 18.

sin A = $displaystyle frac{a}{c}$ = cos⁡ B = $displaystyle frac{1}{6} .$

Рассмотрим BHC:

${cos B= }displaystyle frac{BH}{BC}$ = $displaystyle frac{1}{6} ,$ получим $displaystyle frac{BH}{3}=displaystyle frac{1}{6},$

тогда BH = $displaystyle frac{3}{6}=displaystyle frac{1}{2}$ = 0,5,

AH = AB — BH = 18 — 0,5 = 17,5.

Ответ: 17,5.

Задача 8. В треугольнике АВС угол С равен 90 ${}^circ,$ CH — высота, BC = 3, cos A = $displaystyle frac{sqrt{35}}{6}.$

Найдите АH.

Решение:

Так как для АВС: cos A = $displaystyle frac{AC}{AB}=$ sin В = $displaystyle frac{sqrt{35}}{6},$

а для ВНС: sin В = $displaystyle frac{CH}{BC}$ = $displaystyle frac{sqrt{35}}{6}$ , откуда СН = $displaystyle frac{BC cdot sqrt{35}}{6}=displaystyle frac{3 cdot sqrt{35}}{6}=displaystyle frac{sqrt{35}}{2},$

По теореме Пифагора найдем ВН:

$BH = sqrt{{BC}^2-{CH}^2}=sqrt{3^2-{left(displaystyle frac{sqrt{35}}{2}right)}^2}=$

$=sqrt{9-displaystyle frac{35}{4}}=sqrt{displaystyle frac{1}{4}}=displaystyle frac{1}{2}=0,5.$

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. Поэтому для АВС получим:

${CH}^2=AH cdot BH,$ тогда $AH= displaystyle frac{ {CH}^2}{BH}, ; AH= displaystyle frac{ {left(displaystyle frac{sqrt{35}}{2}right)}^2}{0,5}=displaystyle frac{35 cdot 2}{4}=17,5.$

Ответ: 17,5.

Задача 9. В треугольнике АВС угол С равен 90 ${}^circ,$ CH — высота, СН = 24 и BН = 7. Найдите sin A.

Решение:

По определению sin A= $displaystyle frac{a}{c}$ = $displaystyle frac{BC}{AB}$ =

Рассмотрим BHC : ${cos B= }displaystyle frac{BH}{BC}.$

ВС найдем по теореме Пифагора:

ВС= $sqrt{{BH}^2+{CH}^2}=sqrt{7^2+{24}^2}=sqrt{49+576}=sqrt{625}=25,$

тогда ${cos B= }displaystyle frac{BH}{BC}=displaystyle frac{7}{25}=0,28,$ а значит и sin A = = 0,28.

Ответ: 0,28.

Задача 10. В треугольнике АВС угол С равен 90 ${}^circ,$ CH — высота, СН = 8 и BН = 4. Найдите tg A.

Решение:

По определению sin A = $displaystyle frac{a}{c}$ = $displaystyle frac{BC}{AB}$ = cos A = $displaystyle frac{b}{c}$ = $displaystyle frac{AC}{AB}$ =

тогда tg A = $displaystyle frac{sin A}{{cos A }}=displaystyle frac{cosB}{sinB}=ctgB,$ который найдем из BHC:

$ctgB=displaystyle frac{BH}{CH}=displaystyle frac{4}{8}=0,5.$

Ответ: 0,5.

Задача 11. В треугольнике АВС угол С равен 90 ${}^circ,$ CH — высота, BН = 12, tg A = $displaystyle frac{2}{3}.$ Найдите АН.

Решение:

По определению tg A= $displaystyle frac{BC}{AC}=ctgB=displaystyle frac{2}{3}.$

Для BHC: $ctgB=displaystyle frac{BH}{CH}=displaystyle frac{2}{3}$ , значит $displaystyle frac{12}{CH}=displaystyle frac{2}{3},$ СН = $displaystyle frac{12 cdot 3}{2}=18.$

Для АHC: tg A= $displaystyle frac{CH}{AH}=displaystyle frac{2}{3},$ то $displaystyle frac{18}{AH}=displaystyle frac{2}{3},$ AH = $displaystyle frac{18 cdot 3}{2}=27.$

Ответ: 27.

Задача 12. В треугольнике АВС угол С равен 90 ${}^circ,$ CH — высота, BН = 12, sin A = $displaystyle frac{2}{3}.$ Найдите АВ.

Решение:

Так как cos В = $displaystyle frac{BC}{AB}$ = sin A = $displaystyle frac{2}{3}.$

Из СВН имеем cos В = $displaystyle frac{HB}{BC}$ = $displaystyle frac{2}{3},$ тогда ВС = $displaystyle frac{3 cdot HB}{2}=displaystyle frac{3 cdot 12}{2}=18.$

В АВС имеем sinA = $displaystyle frac{BC}{AB}$ = $displaystyle frac{2}{3},$ тогда AВ = $displaystyle frac{3 cdot BC}{2}=displaystyle frac{3 cdot 18}{2}=27.$

Ответ: 27.

Задача 13. В треугольнике АВС угол С равен 90 ${}^circ,$ из вершины прямого угла к гипотенузе проведена высота СН. Найдите cos A, AC и AB, если СН = 12, ВС = 20.

Решение:

Найдем НВ по теореме Пифагора из ВСН:

$HB = sqrt{BC^2-BH^2}=sqrt{20^2-12^2}=sqrt{(20-12)(20+12)}=$

sin В = $displaystyle frac{CH}{BC}$ = $displaystyle frac{12}{20}=displaystyle frac{3}{5}.$

Для АВС: cos A = $displaystyle frac{AC}{AB}=sin B=displaystyle frac{3}{5},$ получили cos A = 0,6.

Найдем АС и АВ несколькими способами.

1-й способ.

Так как cos A = $displaystyle frac{AC}{AB}=displaystyle frac{3}{5},$ то пусть АС = 3х, АВ = 5х,

тогда по теореме Пифагора ${AC}^2+{BC}^2= {AB}^2,$ получим ${(3x)}^2+{(20)}^2= {(5x)}^2$
${25x}^2-{9x}^2= {20}^2 ,$

${16x}^2= {20}^2,$

$x^2= {left(displaystyle frac{20}{4}right)}^2,$
х = 5 ( так как х0). Значит,

2-й способ.

(по двум углам), значит $displaystyle frac{HB}{CB}=frac{HC}{AC}=frac{BC}{AB}$ или $displaystyle frac{16}{20}={12}{AC}={20}{AB} = k,$

k = $displaystyle frac{16}{20}=displaystyle frac{4}{5} ,$ тогда $displaystyle frac{12}{AC}=displaystyle frac{4}{5},$ АС = $displaystyle frac{12 cdot 5}{4}=15$ ; $displaystyle frac{20}{AB}=displaystyle frac{4}{5},$ АВ = $displaystyle frac{20 cdot 5}{4}=25.$

3-й способ.

${CH}^2=AH cdot HB$ (высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой) , тогда ${12}^2=AH cdot 16,$ АН = 144:16 = 9.

АВ = АН + НВ = 9 + 16 = 25.

По теореме Пифагора найдем АС:

$AC = sqrt{{AB}^2-{BC}^2}=sqrt{{25}^2-{20}^2}=sqrt{(25-20)(25+20)}$ =

Ответ: cos A = 0,6; АС = 15, АВ = 25.

Задача 14.

Высота ВН прямоугольного треугольника АВС, проведенная из вершины прямого угла В, равна 24 и отсекает от гипотенузы АС отрезок НС, равный 18.

Найдите АВ и cos А.

Решение:

Из прямоугольного ВНС по теореме Пифагора найдем гипотенузу ВС и cos C:

ВС = $sqrt{{HC}^2+{BH}^2}=sqrt{{18}^2+{24}^2}=sqrt{324+576}$ =

cos C = $displaystyle frac{HC}{BC}=displaystyle frac{18}{30}=displaystyle frac{3}{5}.$

Для АВС: sin А = $displaystyle frac{BC}{AC}$ = cos C = $displaystyle frac{3}{5}.$

Для АНВ: sin А = $displaystyle frac{BH}{AB}$ = $displaystyle frac{3}{5},$ то $displaystyle frac{24}{AB}$ = $displaystyle frac{3}{5},$ АВ = $displaystyle frac{24 cdot 5}{3}=40.$

Из основного тригонометрического тождества найдем

cos A = $sqrt{1-{sin}^2A}=sqrt{1-0,36}=sqrt{0,64}=0,8.$

Ответ: АВ = 40, cos A = 0,8.

Задача 15.

Гипотенуза АС прямоугольного треугольника АСЕ равна 50, sin А = $displaystyle frac{7}{25}.$

Найдите площадь треугольника.

Решение:

В прямоугольном АСЕ sin А = $displaystyle frac{CE}{AC},$

значит $displaystyle frac{7}{25}$ = 14.

Второй катет найдем, используя теорему Пифагора: $AE= sqrt{{AC}^2-{CE}^2};$

$AE = sqrt{{50}^2-{14}^2}=sqrt{(50-14)(50+14)} =sqrt{36cdot 64}=6cdot8=48.$

Площадь прямоугольного треугольника равна S = $displaystyle frac{1}{2}ab,$

поэтому $S_{ACE}= displaystyle frac{1}{2} AEcdot CE=displaystyle frac{48cdot 14}{2}=336.$

Ответ: 336.

Задача 16.

В треугольнике АВС угол С — прямой, катеты АВ = 13 и ВС = 12, СК — высота.

Найдите sin Результат округлите до сотых.

Решение:

A-общий, $angle AKC=angle ACB=90{}^circ$ ),

значит sin $angle ACK=displaystyle frac{AK}{AC}=displaystyle frac{AC}{AB}.$

Найдем АС по теореме Пифагора из САВ:

$AC = sqrt{{AB}^2-{BC}^2}=sqrt{{13}^2-{12}^2}=$

Тогда sin $angle ACK=displaystyle frac{5}{13}=0,384..approx 0,38.$

Ответ: 0,38.

Задача 17. В треугольнике АВС АС = ВС, АВ = 72, cos A = $displaystyle frac{12}{13}.$ Найдите высоту СН.

Решение:

Так как АС = ВС, то АВС — равнобедренный с основанием АВ, тогда

высота СН является медианой, то есть АН = НВ = $displaystyle frac{1}{2}AB=36.$

Поскольку АСН — прямоугольный,

cos A = $displaystyle frac{AH}{AC}=$ $displaystyle frac{12}{13},$ то есть $displaystyle frac{36}{AC}=$ $displaystyle frac{12}{13}$ АС = $displaystyle frac{36 cdot 13}{12}=39.$

По теореме Пифагора ${AH}^2+{CH}^2={AC}^2,$ тогда

$CH = sqrt{{AC}^2-{AH}^2} = sqrt{{39}^2-{36}^2}=$

Ответ: 15.

Задача 18. В треугольнике АВС угол С равен 90 ${}^circ,$ sin A = $displaystyle frac{11}{14},$ AC = 10 Найдите АВ.

Решение:

1-й способ.

Поскольку sin A = $displaystyle frac{BC}{AB}=$ $displaystyle frac{11}{14},$ то можно обозначить

ВС = 11х, АВ = 14х.

По теореме Пифагора $AC^2+{BC}^2={AB}^2;$

${(10sqrt{3})}^2+{(11x)}^2={(14x)}^2;$

${(14x)}^2-{(11x)}^2 = 3 cdot 100;$

(14х- 11х)(14х + 11х) = 3 cdot 100;

x^2=4, учитывая, что длина стороны положительна, х = 2,

следовательно, АВ = 14 cdot 2 = 28.

2-й способ.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством ${sin}^2A+{cos}^2A=1;$

cos A = $sqrt{1-{sin}^2A}=sqrt{1-{left(displaystyle frac{11}{14}right)}^2}=sqrt{displaystyle frac{196-121}{196}}=sqrt{displaystyle frac{75}{196}}=displaystyle frac{5sqrt{3}}{14}.$

По определению cos A = $displaystyle frac{AC}{AB},$ значит $displaystyle frac{AC}{AB}= displaystyle frac{5sqrt{3}}{14}.$

Так как АС=10 то $displaystyle frac{10sqrt{3}}{AB}= displaystyle frac{5sqrt{3}}{14},$ откуда АВ = $displaystyle frac{10sqrt{3} cdot 14}{5sqrt{3}}$ = 28.

Ответ: 28.

Задача 19. Найдите углы ромба АВСD, если его диагонали АС и ВD равны 4 sqrt{3} и 4.

Решение:

Пусть angle ВАО = alpha .

Диагонали ромба делят его углы пополам, значит, = alpha .

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, следовательно, в прямоугольном треугольнике АВО катет АО = $displaystyle frac{1}{2} AC=2sqrt{3},$ а катет ВО = $displaystyle frac{1}{2}BD =2.$

Поэтому tg $alpha =displaystyle frac{BO}{AO}=displaystyle frac{2}{2sqrt{3}}=displaystyle frac{1}{sqrt{3}},$ откуда $alpha =30{}^circ .$

$angle BAD=2alpha =60{}^circ , ; angle ADC=angle ABC=180{}^circ -60{}^circ =120{}^circ .$

Ответ: ${60}^circ,$ ${120}^circ,$ ${60}^circ,$ ${120}^circ .$

Часто в задачах встречаются треугольники с углами $90^{circ},, 30^{circ}$ и $60^{circ}$ или с углами $90^{circ},, 45^{circ}$ и $45^{circ}$ . Основные соотношения для них запоминайте наизусть!

Для треугольника с углами $90^{circ},, 30^{circ}$ и $60^{circ}$ катет, лежащий напротив угла в $30^{circ}$ , равен половине гипотенузы.

Треугольник с углами $90^{circ},, 45^{circ}$ и $45^{circ}$ — равнобедренный. В нем гипотенуза в sqrt{2} раз больше катета.

Задача 20.

В треугольнике АВС угол С равен 90 ${}^circ,$ угол А равен 30 ${}^circ,$ АВ = 2

Найдите высоту CH.

Решение:

Рассмотрим АВС:

По свойству катета, лежащего против угла ${30}^circ,$ имеем ВС = $displaystyle frac{1}{2}$ АВ =

В BHC: $angle BHC=90{}^circ ,; angle B=60{}^circ ,$ то $angle HCB=30{}^circ ,$ следовательно, ВН = $displaystyle frac{1}{2}$ BC = $displaystyle frac{sqrt{3}}{2}.$

По теореме Пифагора найдем НС:

$HC = sqrt{{BC}^2-{BH}^2}=sqrt{{left(sqrt{3}right)}^2-{left(displaystyle frac{sqrt{3}}{2}right)}^2}=sqrt{3-displaystyle frac{3}{4}}=$

$=sqrt{2displaystyle frac{1}{4}}=sqrt{displaystyle frac{9}{4}}=displaystyle frac{3}{2}=1,5.$

Ответ: 1,5.

Задача 21.

В треугольнике АВС угол С равен 90 ${}^circ,$ CH — высота, АВ = 2, $angle A=30{}^circ .$ Найдите АH.

Решение:

Из АВС найдем ВС = $displaystyle frac{1}{2}$ АВ = 1 (по свойству катета, лежащего против угла 30 ${}^circ$ ),

$angle A=30{}^circ ,$ то $angle B=60{}^circ .$

Из ВСН: $angle BHC=90{}^circ , angle B=60{}^circ ,$ то $angle HCB=30{}^circ ,$ следовательно,

ВН = $displaystyle frac{1}{2}$ ВС = $displaystyle frac{1}{2}.$

АН = АВ — НВ = 2 — $displaystyle frac{1}{2}$ = 1,5.

Ответ: 1,5.

Еще раз повторим, что такое синус, косинус и тангенс угла в прямоугольном треугольнике.

Как запомнить эти соотношения? Лучший способ – решать много задач, и на уроках геометрии, и готовясь к ЕГЭ. Тогда все формулы, равенства, соотношения запомнятся сами собой.

Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников — то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника. Об этом — в следующей статье.

Если вам понравился разбор данной темы — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

ВИДЕО УРОК

Изменение
тригонометрических функций с изменением угла от
0° до
90°.

Рассмотрим окружность произвольного радиуса с
центром в точке А.

Пусть радиус
АВ составляет с радиусом АD острый
угол α:

∠ DАВ = α.

Опустим из точки
В
перпендикуляр ВС на АD. Из прямоугольного треугольника АВС имеем:

Будем вращать радиус АВ вокруг центра
А так, чтобы угол изменялся от 0° до 90°. На
чертеже зафиксировано несколько положений подвижного радиуса:

АВ₁, АВ₂, АВ₃, …

Построим соответствующие этим положениям радиуса
прямоугольные треугольники:

∆ АВ₁С₁, ∆ АВ₂С₂,
∆ АВ₃С₃ …

Гипотенузы всех этих треугольников, независимо от
величины угла α, равны радиусу взятой окружности, катеты же с
возрастанием угла α будут
изменяться. Катет, противолежащий углу α, будет увеличиваться с возрастанием угла α, а
катет прилежащий, – уменьшаться. Отсюда заключаем, что синус острого угла α с возрастанием угла α от 0° до
90° возрастает, а косинус – убывает.

Чтобы проследить за изменением тангенса острого
угла, возьмём прямоугольный треугольник АВС

с острым углом
α.

Пусть катет
АС остаётся неизменным, а угол α увеличивается от 0° до
90°. При возрастании угла
α противолежащий ему катет увеличивается

(АВ₁ < АВ₂ < АВ < АВ₃
…),

следовательно, возрастает и tg α так как
катет АС остаётся без изменения.

Значения функции
сtg α являются
числами обратными по отношению к соответствующим значениям функции tg α, и так
как последний с возрастанием угла α от 0° до
90° возрастает, то, следовательно, функция сtg α с возрастанием острого угла убывает.

Построение угла по данному значению его тригонометрической функции с
помощью острого угла.

Из определения sin α и cos α следует, что синус и косинус
острого угла α – положительные числа, меньшие единицы.

0 < sin α <
1,

0 < cos α <
1,

где α – острый угол.

Каково бы ни было положительное число у, меньшее единицы, существует, и притом только один,
острый угол α, синус которого равен у:

sin α = у.

ПРИМЕР:

Построить угол α,
синус которого равен ³/₄.

РЕШЕНИЕ:

На произвольной прямой отложим отрезок DЕ = 3.

Через точку Е проводим прямую ЕF ⊥ DЕ. Построим окружность радиуса 4 с центром в точке D.

Пусть К – точка пересечения этой окружности с
прямой ЕF. Тогда угол
ЕКD – искомый угол α, так как синус его
равен

Каково бы ни было положительное число x, меньшее единицы, существует, и притом
только один, острый угол α, косинус которого равен х:

соs α = х.

ПРИМЕР:

Построить угол α,
косинус которого равен ²/₅.

РЕШЕНИЕ:

На произвольной прямой отложим отрезок ВС = 2.

Через точку С проводим прямую СМ
⊥ ВС. Построим окружность
радиуса 5 с центром в точке В.

Пусть А – точка пересечения этой окружности с
прямой СМ. Тогда косинус угла АВС равен

Следовательно, угол АВС – искомый угол α.

Каково бы ни было положительное число р, существует, и притом только один, острый угол α, тангенс которого равен
р:

tg α = р.

ПРИМЕР:

Построить угол α,
тангенс которого равен ²/₃.

РЕШЕНИЕ:

На одной стороне прямого угла МОN,

например на ОМ,
откладываем от вершины О отрезок ОА
= 3, а на другой стороне – отрезок ОВ
= 2. Соединяем точки А и В.
Тангенс угла ОАВ равен ²/₃,
следовательно угол ОАВ
= α.

Каково бы ни было положительное число q, существует, и притом только один, острый
угол α, котангенс которого равен q:

ctg α = q.

ПРИМЕР:

Построить угол α,
котангенс которого равен 3.

РЕШЕНИЕ:

На сторонах прямого угла LKM,

откладываем отрезки КА и КС,
из которых, например, первый (КА) в три раза больше второго (КС).
Соединяем точки А и С.
Котангенс угла КАС равен 3,
следовательно угол КАС
= α.

Выражение тригонометрических функций через одну из них с помощью острого
угла.

ПРИМЕР:

Найдём значение синуса,
косинуса, тангенса и котангенса угла

^2π/₃.

РЕШЕНИЕ:

Координаты точки

нетрудно найти,
воспользовавшись свойством прямоугольного треугольника с углом 30°.

Поэтому

Аналогично находят значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов,
обозначенных в верхнем ряду следующей таблицы:

Значения синуса,
косинуса, тангенса та котангенса некоторых углов.

Покажем на примере, как находятся приближённые
численные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для какого-нибудь
угла.

ПРИМЕР:

Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла 48°.

РЕШЕНИЕ:

Построим
с помощью линейки и транспортира угол α,
равный 48°. На одной стороне этого угла от его
вершины А

отложим отрезок
АВ, равный, например, 67 мм. Из точки В на другую сторону угла α опустим перпендикуляр ВС. Мы получили прямоугольный треугольник
АВС, у которого ∠ ВАС = 48°.
Измерив катеты ВС и АС, найдём:

ВС ≈ 49 мм,

АС ≈ 45 мм.

Тогда имеем:

sin 48° ≈ ⁴⁹/₆₇ ≈ 0,73,

cos 48° ≈ ⁴⁵/₆₇ ≈ 0,67,

tg 48° ≈ ⁴⁹/₄₅ ≈ 1,09,

ctg 48° ≈ ⁴⁵/₄₉ ≈ 0,92.

Таким же путём можно найти приближённые значения
синуса, косинуса, тангенса и котангенса любого острого угла.

При этом степень приближения будет зависеть
только от точности наших измерений.

Построение углов по данному значению его тригонометрической функции с
помощью единичной окружности.

ЗАДАЧА:

Построить угол (дугу) α,
синус которого равен m.

РЕШЕНИЕ:

Рассмотрим три случая.

Пусть |m| < 1.

В координатной плоскости хОу строим единичную
окружность. На оси ординат находим точку, соответствующую числу m. Через эту точку проводимо прямую, параллельную
оси абсцисс, и точки пересечения её с единичной окружностью обозначим
через А и В.

Соединив точки А и В с началом координат, получим углы АОх и ВОх,
синусы которых равны m. Эти
углы определяются не однозначно. Обозначим наименьший положительный угол, определяемый
конечной стороной АО,
через ∠
АОх = а₁,
а наименьший положительный ∠ ВОх, определяемый
конечной стороной ОВ,
через а₂. Тогда искомый угол
α определится равенствами

α = α₁ + 2πn и α = α₂ +
2πn

где n = 0; ±1; ±2; …

Если |m| = 1.

То
есть m = ±1, тогда
прямые, проведённые через точки (0; 1) и (0; –1) перпендикулярно до оси ординат, касаются единичной
окружности в точках, соответствующих наименьшим положительным углам

а искомый угол
α определяется
формулами

где n = 0; ±1; ±2; …

Если |m| ˃ 1.

То
прямая, проведённая перпендикулярно оси ординат через точку (0; m), не пересекает
единичную окружность.

В этом
случае задача решений не имеет.

ПРИМЕР:

Построить углы α, для
которых соs α = ³/₄.

РЕШЕНИЕ:

На положительной оси
Ох откладываем от точки О отрезок, равный ³/₄ радиуса единичной окружности.

Для этого делим радиус ОЕ₁ на четыре равные части и откладываем на нём
от центра отрезок ОР, равный трём таким частям. Восстановим в точке Р перпендикуляр к оси Ох до пересечения его с единичной
окружностью в точках М и М‘. Искомые углы – это углы, составленные с
осью Ох любым из построенных подвижных
радиусов ОМ или ОМ‘. На чертеже отмечено лишь два угла, косинус каждого из которых равен ³/₄.

ПРИМЕР:

Построить углы α, для
которых соs α = –³/₄.

РЕШЕНИЕ:

Отрезок, равный ³/₄ радиуса единичной окружности, откладываем от
точки О на
отрицательной полуоси Ох, а далее поступаем, как в предыдущем примере. На чертеже

отмечены лишь два угла, косинус каждого из которых равен –³/₄.

ПРИМЕР:

Построить углы α, для
которых sin α = –³/₅.

РЕШЕНИЕ:

Введём на плоскости прямоугольную систему координат.

Делим радиус

единичной окружности на пять
равных частей, и откладываем на нём от центра отрезок ОК, равный трём таким
частям. Через точку К проводим
прямую, параллельную диаметру

до пересечения с единичной окружностью. Получим точки М и
М‘, ординаты которых равны –³/₅.

Соединяя эти точки с началом координат, получим
радиусы ОМ и ОМ‘. Синус любого из углов, составленных с осью Ох любым из радиусов ОМ или ОМ‘, равен –³/₅.
На чертеже

отмечены два таких угла.

ПРИМЕР:

Построить углы α, для
которых tg α = 1,5.

РЕШЕНИЕ:

На оси тангенсов от единичной точки Е₁ откладываем в положительном направлении
отрезок Е₁Т, в 1,5

больший радиуса круга. Если через точку Т и центр круга
О провести прямую, то она пересечёт единичную
окружность в точках М и М‘. Это – концы подвижных радиусов, образующих с
положительным направлением оси Ох углы,
тангенсы которых равны 1,5. На чертеже

отмечены два таких угла.

ПРИМЕР:

Построить углы α, для
которых сtg α = –¹/₂.

РЕШЕНИЕ:

На оси котангенсов от Е₂ откладываем в отрицательном направлении
отрезок Е₂К, равный половине
радиуса круга.

Через конец этого
отрезка К и центр
круга О проводим
прямую, пересекающую единичную окружность в точках М и М‘. Это – концы
подвижных радиусов, образующих с положительным направлением оси Ох углы, котангенсы которых равны –¹/₂.
На чертеже

отмечены два таких угла.

Геометрический вывод значений тригонометрических функций.

Его полезно запомнить, так как часто приходится находить значения sin α и соs α по значению
tg
α.

ПРИМЕР:

tg α =
²/_3.

Имеем:

Так же, геометрически, можно найти значения
sin α и
соs α по заданному
значению сtg α, где α – острый угол.

ПРИМЕР:

сtg α
= 3.

Имеем:

Задания к уроку 10

Задание 1

Задание 2

Задание 3

ДРУГИЕ УРОКИ

Урок 1. Градусное измерение угловых величин

Урок 2. Радианное измерение угловых величин

Урок 3. Основные тригонометрические функции

Урок 4. Натуральные тригонометрические таблицы

Урок 5. Периодичность тригонометрических функций

Урок 6. Область определения и область значения тригонометрических функций

Урок 7. Знаки тригонометрических функций

Урок 8. Чётность и нечётность тригонометрических функций

Урок 9. Тригонометрические функции некоторых углов

Урок 11. Основные тригонометрические тождества

Урок 12. Выражение всех тригонометрических функций через одну из них

Урок 13. Решение прямоугольных и равнобедренных треугольников с помощью тригонометрических функций

Урок 14. Теорема синусов

Урок 15. Теорема косинусов

Урок 16. Решение косоугольных треугольников

Урок 17. Примеры решения задач по планиметрии с применением тригонометрии

Урок 18. Решение практических задач с помощью тригонометрии

Урок 19. Формулы приведения (1)

Урок 20. Формулы приведения (2)

Урок 21. Формулы сложения и вычитания аргументов тригонометрических функций

Урок 22. Формулы двойных и тройных углов (аргументов)

Урок 23. Формулы половинного аргумента

Урок 24. Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение

Урок 25. Графики функций y = sin x и y = cos x

Урок 26. Графики функций y = tg x и y = ctg x

Урок 27. Обратные тригонометрические функции

Урок 28. Основные тождества обратных тригонометрических функций

Урок 29. Выражение одной из аркфункций через другие

Урок 30. Графики обратных тригонометрических функций

Урок 31. Построение графиков тригонометрических функций методом геометрических преобразований

Источник

Котангенс, также как и тангенс, является отношением катетов друг к другу. Функция котангенса отличается от своего брата-близнеца только тем, что тангенс – это отношение противолежащего катета к прилежащему относительно угла α, а котангенс – отношение прилежащего к противолежащему. Таким образом, котангенс является функцией, обратной от тангенса, и зная одну из них можно с легкостью найти другую.

Чаще всего в одном решении применяется только одно из данных отношений. В случае если дан котангенс угла α, можно определить значение угла, соответствующее заданным числам, в таблице, приведенной ниже.

Таблица котангенсов от 0° до 180°

ctg(1°)	57.29
ctg(2°)	28.6363
ctg(3°)	19.0811
ctg(4°)	14.3007
ctg(5°)	11.4301
ctg(6°)	9.5144
ctg(7°)	8.1443
ctg(8°)	7.1154
ctg(9°)	6.3138
ctg(10°)	5.6713
ctg(11°)	5.1446
ctg(12°)	4.7046
ctg(13°)	4.3315
ctg(14°)	4.0108
ctg(15°)	3.7321
ctg(16°)	3.4874
ctg(17°)	3.2709
ctg(18°)	3.0777
ctg(19°)	2.9042
ctg(20°)	2.7475
ctg(21°)	2.6051
ctg(22°)	2.4751
ctg(23°)	2.3559
ctg(24°)	2.246
ctg(25°)	2.1445
ctg(26°)	2.0503
ctg(27°)	1.9626
ctg(28°)	1.8807
ctg(29°)	1.804
ctg(30°)	1.7321
ctg(31°)	1.6643
ctg(32°)	1.6003
ctg(33°)	1.5399
ctg(34°)	1.4826
ctg(35°)	1.4281
ctg(36°)	1.3764

ctg(37°)	1.327
ctg(38°)	1.2799
ctg(39°)	1.2349
ctg(40°)	1.1918
ctg(41°)	1.1504
ctg(42°)	1.1106
ctg(43°)	1.0724
ctg(44°)	1.0355
ctg(45°)	1
ctg(46°)	0.9657
ctg(47°)	0.9325
ctg(48°)	0.9004
ctg(49°)	0.8693
ctg(50°)	0.8391
ctg(51°)	0.8098
ctg(52°)	0.7813
ctg(53°)	0.7536
ctg(54°)	0.7265
ctg(55°)	0.7002
ctg(56°)	0.6745
ctg(57°)	0.6494
ctg(58°)	0.6249
ctg(59°)	0.6009
ctg(60°)	0.5774
ctg(61°)	0.5543
ctg(62°)	0.5317
ctg(63°)	0.5095
ctg(64°)	0.4877
ctg(65°)	0.4663
ctg(66°)	0.4452
ctg(67°)	0.4245
ctg(68°)	0.404
ctg(69°)	0.3839
ctg(70°)	0.364
ctg(71°)	0.3443
ctg(72°)	0.3249

ctg(73°)	0.3057
ctg(74°)	0.2867
ctg(75°)	0.2679
ctg(76°)	0.2493
ctg(77°)	0.2309
ctg(78°)	0.2126
ctg(79°)	0.1944
ctg(80°)	0.1763
ctg(81°)	0.1584
ctg(82°)	0.1405
ctg(83°)	0.1228
ctg(84°)	0.1051
ctg(85°)	0.0875
ctg(86°)	0.0699
ctg(87°)	0.0524
ctg(88°)	0.0349
ctg(89°)	0.0175
ctg(90°)	0
ctg(91°)	-0.0175
ctg(92°)	-0.0349
ctg(93°)	-0.0524
ctg(94°)	-0.0699
ctg(95°)	-0.0875
ctg(96°)	-0.1051
ctg(97°)	-0.1228
ctg(98°)	-0.1405
ctg(99°)	-0.1584
ctg(100°)	-0.1763
ctg(101°)	-0.1944
ctg(102°)	-0.2126
ctg(103°)	-0.2309
ctg(104°)	-0.2493
ctg(105°)	-0.2679
ctg(106°)	-0.2867
ctg(107°)	-0.3057
ctg(108°)	-0.3249

ctg(109°)	-0.3443
ctg(110°)	-0.364
ctg(111°)	-0.3839
ctg(112°)	-0.404
ctg(113°)	-0.4245
ctg(114°)	-0.4452
ctg(115°)	-0.4663
ctg(116°)	-0.4877
ctg(117°)	-0.5095
ctg(118°)	-0.5317
ctg(119°)	-0.5543
ctg(120°)	-0.5774
ctg(121°)	-0.6009
ctg(122°)	-0.6249
ctg(123°)	-0.6494
ctg(124°)	-0.6745
ctg(125°)	-0.7002
ctg(126°)	-0.7265
ctg(127°)	-0.7536
ctg(128°)	-0.7813
ctg(129°)	-0.8098
ctg(130°)	-0.8391
ctg(131°)	-0.8693
ctg(132°)	-0.9004
ctg(133°)	-0.9325
ctg(134°)	-0.9657
ctg(135°)	-1
ctg(136°)	-1.0355
ctg(137°)	-1.0724
ctg(138°)	-1.1106
ctg(139°)	-1.1504
ctg(140°)	-1.1918
ctg(141°)	-1.2349
ctg(142°)	-1.2799
ctg(143°)	-1.327
ctg(144°)	-1.3764

ctg(145°)	-1.4281
ctg(146°)	-1.4826
ctg(147°)	-1.5399
ctg(148°)	-1.6003
ctg(149°)	-1.6643
ctg(150°)	-1.7321
ctg(151°)	-1.804
ctg(152°)	-1.8807
ctg(153°)	-1.9626
ctg(154°)	-2.0503
ctg(155°)	-2.1445
ctg(156°)	-2.246
ctg(157°)	-2.3559
ctg(158°)	-2.4751
ctg(159°)	-2.6051
ctg(160°)	-2.7475
ctg(161°)	-2.9042
ctg(162°)	-3.0777
ctg(163°)	-3.2709
ctg(164°)	-3.4874
ctg(165°)	-3.7321
ctg(166°)	-4.0108
ctg(167°)	-4.3315
ctg(168°)	-4.7046
ctg(169°)	-5.1446
ctg(170°)	-5.6713
ctg(171°)	-6.3138
ctg(172°)	-7.1154
ctg(173°)	-8.1443
ctg(174°)	-9.5144
ctg(175°)	-11.4301
ctg(176°)	-14.3007
ctg(177°)	-19.0811
ctg(178°)	-28.6363
ctg(179°)	-57.29
ctg(180°)	— ∞

Таблица котангенсов от 181° до 360°

ctg(181°)	57.29
ctg(182°)	28.6363
ctg(183°)	19.0811
ctg(184°)	14.3007
ctg(185°)	11.4301
ctg(186°)	9.5144
ctg(187°)	8.1443
ctg(188°)	7.1154
ctg(189°)	6.3138
ctg(190°)	5.6713
ctg(191°)	5.1446
ctg(192°)	4.7046
ctg(193°)	4.3315
ctg(194°)	4.0108
ctg(195°)	3.7321
ctg(196°)	3.4874
ctg(197°)	3.2709
ctg(198°)	3.0777
ctg(199°)	2.9042
ctg(200°)	2.7475
ctg(201°)	2.6051
ctg(202°)	2.4751
ctg(203°)	2.3559
ctg(204°)	2.246
ctg(205°)	2.1445
ctg(206°)	2.0503
ctg(207°)	1.9626
ctg(208°)	1.8807
ctg(209°)	1.804
ctg(210°)	1.7321
ctg(211°)	1.6643
ctg(212°)	1.6003
ctg(213°)	1.5399
ctg(214°)	1.4826
ctg(215°)	1.4281
ctg(216°)	1.3764

ctg(217°)	1.327
ctg(218°)	1.2799
ctg(219°)	1.2349
ctg(220°)	1.1918
ctg(221°)	1.1504
ctg(222°)	1.1106
ctg(223°)	1.0724
ctg(224°)	1.0355
ctg(225°)	1
ctg(226°)	0.9657
ctg(227°)	0.9325
ctg(228°)	0.9004
ctg(229°)	0.8693
ctg(230°)	0.8391
ctg(231°)	0.8098
ctg(232°)	0.7813
ctg(233°)	0.7536
ctg(234°)	0.7265
ctg(235°)	0.7002
ctg(236°)	0.6745
ctg(237°)	0.6494
ctg(238°)	0.6249
ctg(239°)	0.6009
ctg(240°)	0.5774
ctg(241°)	0.5543
ctg(242°)	0.5317
ctg(243°)	0.5095
ctg(244°)	0.4877
ctg(245°)	0.4663
ctg(246°)	0.4452
ctg(247°)	0.4245
ctg(248°)	0.404
ctg(249°)	0.3839
ctg(250°)	0.364
ctg(251°)	0.3443
ctg(252°)	0.3249

ctg(253°)	0.3057
ctg(254°)	0.2867
ctg(255°)	0.2679
ctg(256°)	0.2493
ctg(257°)	0.2309
ctg(258°)	0.2126
ctg(259°)	0.1944
ctg(260°)	0.1763
ctg(261°)	0.1584
ctg(262°)	0.1405
ctg(263°)	0.1228
ctg(264°)	0.1051
ctg(265°)	0.0875
ctg(266°)	0.0699
ctg(267°)	0.0524
ctg(268°)	0.0349
ctg(269°)	0.0175
ctg(270°)	0
ctg(271°)	-0.0175
ctg(272°)	-0.0349
ctg(273°)	-0.0524
ctg(274°)	-0.0699
ctg(275°)	-0.0875
ctg(276°)	-0.1051
ctg(277°)	-0.1228
ctg(278°)	-0.1405
ctg(279°)	-0.1584
ctg(280°)	-0.1763
ctg(281°)	-0.1944
ctg(282°)	-0.2126
ctg(283°)	-0.2309
ctg(284°)	-0.2493
ctg(285°)	-0.2679
ctg(286°)	-0.2867
ctg(287°)	-0.3057
ctg(288°)	-0.3249

ctg(289°)	-0.3443
ctg(290°)	-0.364
ctg(291°)	-0.3839
ctg(292°)	-0.404
ctg(293°)	-0.4245
ctg(294°)	-0.4452
ctg(295°)	-0.4663
ctg(296°)	-0.4877
ctg(297°)	-0.5095
ctg(298°)	-0.5317
ctg(299°)	-0.5543
ctg(300°)	-0.5774
ctg(301°)	-0.6009
ctg(302°)	-0.6249
ctg(303°)	-0.6494
ctg(304°)	-0.6745
ctg(305°)	-0.7002
ctg(306°)	-0.7265
ctg(307°)	-0.7536
ctg(308°)	-0.7813
ctg(309°)	-0.8098
ctg(310°)	-0.8391
ctg(311°)	-0.8693
ctg(312°)	-0.9004
ctg(313°)	-0.9325
ctg(314°)	-0.9657
ctg(315°)	-1
ctg(316°)	-1.0355
ctg(317°)	-1.0724
ctg(318°)	-1.1106
ctg(319°)	-1.1504
ctg(320°)	-1.1918
ctg(321°)	-1.2349
ctg(322°)	-1.2799
ctg(323°)	-1.327
ctg(324°)	-1.3764

ctg(325°)	-1.4281
ctg(326°)	-1.4826
ctg(327°)	-1.5399
ctg(328°)	-1.6003
ctg(329°)	-1.6643
ctg(330°)	-1.7321
ctg(331°)	-1.804
ctg(332°)	-1.8807
ctg(333°)	-1.9626
ctg(334°)	-2.0503
ctg(335°)	-2.1445
ctg(336°)	-2.246
ctg(337°)	-2.3559
ctg(338°)	-2.4751
ctg(339°)	-2.6051
ctg(340°)	-2.7475
ctg(341°)	-2.9042
ctg(342°)	-3.0777
ctg(343°)	-3.2709
ctg(344°)	-3.4874
ctg(345°)	-3.7321
ctg(346°)	-4.0108
ctg(347°)	-4.3315
ctg(348°)	-4.7046
ctg(349°)	-5.1446
ctg(350°)	-5.6713
ctg(351°)	-6.3138
ctg(352°)	-7.1154
ctg(353°)	-8.1443
ctg(354°)	-9.5144
ctg(355°)	-11.4301
ctg(356°)	-14.3007
ctg(357°)	-19.0811
ctg(358°)	-28.6363
ctg(359°)	-57.29
ctg(360°)	∞

Источник

Математика для блондинок

Страницы

вторник, 9 октября 2012 г.

Как найти угол по тангенсу

Углы прямоугольного треугольника

Калькулятор расчёта углов прямоугольного треугольника

Формула тангенса

Углы треугольника

Как с помощью тангенса найти сторону треугольника. Теорема Пифагора, чтобы найти катет прямоугольного треугольника

Что такое прямоугольный треугольник

Находим катет прямоугольного треугольника

Теорема Пифагора, чтобы найти катет прямоугольного треугольника

Тригонометрические соотношения, чтобы найти катет прямоугольного треугольника

Найти катет прямоугольного треугольника при помощи синуса

Найти катет прямоугольного треугольника при помощи косинуса

Найти катет прямоугольного треугольника при помощи тангенса

Найти катет прямоугольного треугольника при помощи котангенса

Инструкция

Инструкция

Прямоугольный треугольник

Теоремы косинусов и синусов

Производные

Применение в математике

Решение задач

Игры с линейкой и карандашом

Найти синус для угла больше 90°

Вычисление синуса по другим тригонометрическим функциям

Как находить синус по трём сторонам треугольника

II. Площадь треугольника через косинус

Понравилось?

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Таблица котангенсов от 0° до 180°

Таблица котангенсов от 181° до 360°

Не пропустите также: