Как найти угол наклона боковой грани пирамиды - Avtoru.top

Задача

В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна а, высота равна 3а.
Найдите углы наклона боковых рёбер и боковых граней к плоскости основания.

Найдем угол наклона ребер к плоскости основания.
Поскольку в основании правильной пирамиды лежит правильный четырехугольник, то, в данном случае, это — квадрат. Поскольку высота пирамиды проецируется в центр основания, то это — точка пересечения диагоналей. Откуда KN = а/2

Треугольник OKN — прямоугольный, OK — высота, равная 3а.
Найдем тангенс угла KNO, обозначив его как α .

tg α = OK / KN
tg α = 3a / (a/2) = 6
α = arctg 6 ≈ 80.5377°

Найдем угол наклона ребра пирамиды.
Диагональ квадрата со стороной а равна а√2. Поскольку высота проецируется в центр основания, то в этой точке диагонали делятся пополам.

Таким образом, для прямоугольного треугольника OKC тангенс угла KCO (обозначим его как β ) равен

tg β = OK / KC
tg β = 3a / (а√2/2) = 6 / √2
β = arctg 6/√2 ≈ 76.7373°

Ответ: угол наклона граней arctg 6 ≈ 80.5377°; угол наклона ребер arctg 6/√2 ≈ 76.7373°

Двугранные углы пирамиды и методика их расчета

Типичными линейными параметрами любой пирамиды являются длины сторон ее основания, высота, боковые ребра и апофемы. Тем не менее существует еще одна характеристика, которая связана с отмеченными параметрами, — это двугранный угол. Рассмотрим в статье, что он собой представляет и как его находить.

Пространственная фигура пирамида

Каждый школьник хорошо представляет, о чем идет речь, когда слышит слово «пирамида». Геометрически построить ее можно так: выбрать некоторый многоугольник, затем зафиксировать точку в пространстве и соединить ее с каждым углом многоугольника. Получившаяся объемная фигура будет пирамидой произвольного типа. Многоугольник, который ее образует, называется основанием, а точка, с которой соединены все его углы, является вершиной фигуры. Ниже на рисунке схематически показана пятиугольная пирамида.

Вам будет интересно: Популяция людей: определение, виды, свойства и примеры

Видно, что ее поверхность образована не только пятиугольником, но и пятью треугольниками. В общем случае число этих треугольников будет равно количеству сторон многоугольного основания.

Двугранные углы фигуры

Вам будет интересно: «Дурачок» или «дурачек»: как не проспорить в Интернете из-за орфографии?

Когда рассматриваются геометрические задачи на плоскости, то любой угол образован двумя пересекающимися прямыми, или отрезками. В пространстве же к этим линейным углам добавляются двугранные, образованные пересечением двух плоскостей.

Если отмеченное определение угла в пространстве применить к рассматриваемой фигуре, то можно сказать, что существует два вида двугранных углов:

При основании пирамиды. Он образован плоскостью основания и любой из боковых граней (треугольником). Это означает, что углов при основании у пирамиды n, где n — число сторон многоугольника.
Между боковыми сторонами (треугольниками). Количество этих двугранных углов также составляет n штук.

Заметим, что первый тип рассматриваемых углов строится на ребрах основания, второй тип — на боковых ребрах.

Как рассчитать углы пирамиды?

Линейный угол двугранного угла является мерой последнего. Вычислить его непросто, поскольку грани пирамиды, в отличие от граней призмы, пересекаются не под прямыми углами в общем случае. Надежнее всего проводить расчет значений двугранных углов с использованием уравнений плоскости в общем виде.

В трехмерном пространстве плоскость задается следующим выражением:

A*x + B*y + C*z + D = 0

Где A, B, C, D — это некоторые действительные числа. Удобством этого уравнения является то, что первые три отмеченных числа являются координатами вектора, который перпендикулярен заданной плоскости, то есть:

Если известны координаты трех точек, принадлежащих плоскости, то, взяв векторное произведение двух векторов, построенных на этих точках, можно получить координаты n¯. Вектор n¯ называется направляющим для плоскости.

Согласно определению, двугранный угол, образованный пересечением двух плоскостей, равен линейному углу между их направляющими векторами. Предположим, что мы имеем две плоскости, нормальные векторы которых равны:

Для вычисления угла φ между ними можно воспользоваться свойством произведения скалярного, тогда соответствующая формула принимает вид:

Или в координатной форме:

φ = arccos(|A1*A2 + B1*B2 + C1*C2|/(√(A12 + B12+C12)*√(A22 + B22 + C22)))

Покажем, как использовать изложенную методику расчета двугранных углов при решении геометрических задач.

Углы правильной пирамиды четырехугольной

Предположим, что имеется правильная пирамида, в основании которой находится квадрат со стороной 10 см. Высота фигуры равна 12 см. Необходимо вычислить, чему равны двугранные углы при основании пирамиды и для ее боковых сторон.

Поскольку заданная в условии задачи фигура является правильной, то есть обладает высокой симметрией, то все углы при основании равны друг другу. Также являются одинаковыми углы, образованные боковыми гранями. Чтобы вычислить необходимые двугранные углы, найдем направляющие векторы для основания и двух боковых плоскостей. Обозначим длину стороны основания буквой a, а высоту h.

Рисунок выше показывает четырехугольную правильную пирамиду. Выпишем координаты точек A, B, C и D в соответствии с введенной системой координат:

Теперь найдем направляющие векторы для плоскостей основания ABC и двух боковых сторон ABD и BCD в соответствии с изложенной в пункте выше методикой:

Теперь остается применить соответствующую формулу для угла φ и подставить значения стороны и высоты из условия задачи:

Угол между ABC и ABD:

Угол между ABD и BDC:

φ = arccos(a4/(4*a2*(h2+a2/4)) = arccos(a2/(4*(h2+a2/4))) = 81,49o

Мы вычислили значения углов, которые требовалось найти по условию задачи. Полученные при решении задачи формулы можно использовать для определения двугранных углов четырехугольных правильных пирамид с любыми значениями a и h.

Углы треугольной правильной пирамиды

На рисунке ниже дана пирамида, основанием которой является правильный треугольник. Известно, что двугранный угол между боковыми сторонами является прямым. Необходимо вычислить площадь основания, если известно, что высота фигуры равна 15 см.

Двугранный угол, равный 90o, на рисунке обозначен как ABC. Решить задачу можно, применяя изложенную методику, однако в данном случае поступим проще. Обозначим сторону треугольника a, высоту фигуры — h, апофему — hb и боковое ребро — b. Теперь можно записать следующие формулы:

Поскольку два боковых треугольника в пирамиде являются одинаковыми, то стороны AB и CB равны и являются катетами треугольника ABC. Обозначим их длину x, тогда:

Приравнивая площади боковых треугольников и подставляя апофему в соответствующее выражение, имеем:

Площадь равностороннего треугольника рассчитывается так:

Подставляем значение высоты из условия задачи, получаем ответ: S = 584,567 см2.

Пирамида и ее элементы

Здесь собраны основные сведения о пирамидах и связанных с ней формулах и понятиях. Все они изучаются с репетитором по математике при подготовке к ЕГЭ.

Рассмотрим плоскость alpha , многоугольник , лежащий в ней и точку S, не лежащую в ней. Соединим S со всеми вершинами многоугольника. Полученный при этом многогранник называется пирамидой. Отрезки называются боковыми ребрами. Многоугольник называется основанием, а точка S — вершиной пирамиды. В зависимости от числа n пирамида называется треугольной (n=3), четырехугольной (n=4), птяиугольной (n=5) и так далее. Альтернативное название треугольной пирамиды – тетраэдр. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из ее вершины к плоскости основания.

Пирамида называется правильной, если правильный многоугольник, а основание высоты пирамиды (основание перпендикуляра) является его центром.

Комментарий репетитора:
Не путайте понятие «правильная пирамида» и «правильный тетраэдр». У правильной пирамиды боковые ребра совсем не обязательно равны ребрам основания, а в правильном тетраэдре все 6 ребер ребра равные. Это его определение. Легко доказать, что из равенства следует совпадение центра P многоугольника с основанием высоты, поэтому правильный тетраэдр является правильной пирамидой.

Что такое апофема?
Апофемой пирамиды называется высота ее боковой грани. Если пирамида правильная, то все ее апофемы равны. Обратное неверно.

Репетитор по математике о своей терминологии: работа с пирамидами на 80% строится через два вида треугольников:
1) Содержащий апофему SK и высоту SP
2) Содержащий боковое ребро SA и его проекцию PA

Чтобы упростить ссылки на эти треугольники репетитору по математике удобнее называть первый из них апофемным, а второй реберным. К сожалению, этой терминологии вы не встретите ни в одном из учебников, и преподавателю приходится вводить ее в одностороннем порядке.

Формула объема пирамиды:
1) $V=frac<1> <3>cdot S_ <OCH>cdot h» />, где <img decoding=$ -высота пирамиды
2) $V=frac<1> <3>cdot r cdot S_<0>» />, где <img decoding=$ – радиус вписанного шара, а S_0 – площадь полной поверхности пирамиды.
3) $V= frac<2> <3>cdot MN cdot S_0″ />, где MN – расстояние любыми двумя скрещивающимися ребрами, а <img decoding=$ – площадь параллелограмма, образованного серединами четырех оставшихся ребер.

Свойство основания высоты пирамиды:

Точка P (смотри рисунок) совпадает с центром вписанной окружности в основание пирамиды, если выполняется одно из следующих условий:
1) Все апофемы равны
2) Все боковые грани одинаково наклонены к основанию
3) Все апофемы одинаково наклонены к высоте пирамиды
4) Высота пирамиды одинаково наклонена ко всем боковым граням

Комментарий репетитора по математике: обратите внимание, что все пункты объединяет одно общее свойство: так или иначе везде участвуют боковые грани (апофемы — это их элементы). Поэтому репетитор может предложить менее точную, но более удобную для заучивания формулировку: точка P совпадает с центром вписанной окружности основание пирамиды, если имеется любая равная информация о ее боковых гранях. Для доказательства достаточно показать, что все апофемные треугольники равны.

Точка P совпадает с центром описанной около основания пирамиды окружностью, если верно одно их трех условий:
1) Все боковые ребра равны
2) Все боковые ребра одинаково наклонены к основанию
3) Все боковые ребра одинаково наклонены к высоте

Комментарий репетитора. Аналогично предыдущему пункту текст можно упростить и вместо этих условий произнести : «если имеется любая равная информация о боковых ребрах». При этом все апофемные треугольники будут равны implies все проекции боковых ребер будет равны implies P будет равноудалена от всех вершин основания и поэтому окажется центром описанной окружности.

Площадь полной поверхности пирамиды:
Полощадью поверности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней .
Если все апофемы равны (например в правильной пирамиде), то площадь ее боковой поверхности вычисляется по формуле , где p — полупериметр основания, а SK-апофема.

Правильная треугольная пирамида однозначно определяется двумя параметрами: один плоский, а другой пространственный: к плоскому я отношу любой элемент правильного треугольника (кроме угла), а к пространственному любой связующий параметр между основанием и точкой S: апофема, высота, углы наклона ребер, граней, объем, площадь поверхности и др. При наличие в условии задачи этих двух начальных данных репетитор с учеником может найти у такой пирамиды все что угодно.

Пирамида — обязательный пункт подготовки к ЕГЭ по математике. Програмный минимум по стереометрии включает в себя все вышеуказанные сведения, кроме третьей формулы вычисления объема пирамиды.

Колпаков Александр,
репетитор по математике в Москве. Строгино

Источник

Примечание. Это урок с решениями задачам по геометрии (раздел стереометрия, пирамида с четырехугольником в основании). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет — пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа «квадратный корень» применяется функция sqrt(), в которой sqrt — символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак «√».

Задача

В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна а, высота равна 3а.

Найдите углы наклона боковых рёбер и боковых граней к плоскости основания.

Решение.

Найдем угол наклона ребер к плоскости основания.

Поскольку в основании правильной пирамиды лежит правильный четырехугольник, то, в данном случае, это — квадрат. Поскольку высота пирамиды проецируется в центр основания, то это — точка пересечения диагоналей. Откуда KN = а/2

Треугольник OKN — прямоугольный, OK — высота, равная 3а.

Найдем тангенс угла KNO, обозначив его как

α.

α = OK / KN

tg α = 3a / (a/2) = 6

α = arctg 6 ≈ 80.5377°

Найдем угол наклона ребра пирамиды.

Диагональ квадрата со стороной а равна а√2. Поскольку высота проецируется в центр основания, то в этой точке диагонали делятся пополам.

Таким образом, для прямоугольного треугольника OKC тангенс угла KCO (обозначим его как

β ) равен

β = OK / KC

tg β = 3a / (а√2/2) = 6 / √2

β = arctg 6/√2 ≈ 76.7373°

Ответ: угол наклона граней arctg 6 ≈ 80.5377°; угол наклона ребер arctg 6/√2 ≈ 76.7373°

Правильная пирамида с четырехугольником в основании (часть 3) |

Описание курса

| Нахождение величины наклона боковых граней правильной прамиды

Источник

Скачать материал

Сейчас обучается 268 человек из 65 регионов

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

Правильная пирамида
Выполнила Петренко Наталья Викторовна,
Учитель математики МОУ СОШ №7,
Ст.Воронежской, Усть — Лабинского района,
Краснодарского края
3 слайд

В правильной четырехугольной пирамиде известны длина стороны основания 2 и длина высоты 2. Найдите:
а) объем пирамиды;
б) площадь боковой поверхности;
в) угол наклона бокового ребра к плоскости основания;
г) угол наклона боковой грани к плоскости основания;
д) радиус вписанного шара;
е) радиус описанного шара;
ж) расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания;
4 слайд

з) расстояние от вершины пирамиды до ребра основания;
и) расстояние от ребра основания до противоположной грани;
к) расстояние между боковым ребром и скрещивающейся с ним диагональю основания;
л) объем вписанного конуса;
м) площадь боковой поверхности описанного конуса.
Выход
5 слайд

а) КО – высота пирамиды

В
О
К
2
б) Проведем апофему КТ и найдем
ее длину из Δ КОТ:
В
2
6 слайд

А
С
D
2
В
В) Так как в правильной пирамиде все
углы наклона всех боковых ребер к
плоскости основания равны, то найдем
например, <КСО. Рассмотрим ΔКСО
КО=2, ОС=0,5 АС, где АС – диагональ
квадрата АВСD, значит
К
О
?
7 слайд

А
С
D
2
В
г) Так как в правильной пирамиде
углы наклона всех боковых граней
к плоскости основания равны, то
найдем, например, угол наклона
боковой грани KCD к плоскости АВС.
так как KT DC, то OT DC, поэтому
< КТО -линейный угол искомого
двугранного угла. Рассмотрим Δ КТО:
КО=2.
Т
К
О
?
8 слайд

А
С
D
2
В
д) Так как двугранные углы при основании
правильной пирамиды равны, то центр
вписанного шара (точка О1) принадлежит
высоте КО. Обозначим радиус вписанного
шара буквой r. Рассмотрим Δ КТО:
О1Р=О1О= r. Используя подобие треугольников Δ КТО и Δ КО1Р, имеем:
К
Т
О
О
Т
К
О1
Р
9 слайд

А
С
D
2
В
е) Так как боковые ребра правильной
пирамиды равны, то центр описанного
шара (точка О2) лежит на прямой КО.
Обозначим радиус описанного шара
через R. Рассмотрим Δ КСО.
По теореме Пифагора из Δ О2ОС:
Получаем, что центр описанного шара
совпадает с точкой О.
К
О
О2
О
К
С
ж) Расстояние от точки К до
плоскости АВС равно
длине отрезка КО и равно 2.
10 слайд

А
С
D
2
В
з) Так как в правильной пирамиде
расстояния от вершины до ребер
основания равны, то найдем,
например, расстояние от точки
К до ребра СD, Это расстояние
равно длине апофемы КТ и равно
K
O
T
и) Так как прямая DС параллельна
плоскости АВК (по признаку
параллельности прямой и плоскости),
то расстояние от прямой DС до
плоскости АВК равно расстоянию
от любой точки прямой DС до этой
плоскости. Рассмотрим на прямой
ВС точку Т. И из Δ ЕКТ (точка Е —
середина АВ) найдем искомое
расстояние. Это расстояние равно
длине высоты ТН. Найдем длину ТН,
выразив двумя способами площадь
Δ ЕКТ.
Е
Е
К
Т
О
Н
РЕШЕНИЕ
11 слайд

А
С
D
2
В
К
К) Найдем расстояние от ребра КС до диагонали
ВD.Проведем высоту OF в Δ КСО и докажем , что
OF- общий перпендикуляр к прямым КС и ВD.
1) OF┴ КС по построению
2) Так как ВD ┴(КСО) (По признаку
перпендикулярности прямой и
Плоскости), а OF (КСО), то ВD┴OF
3)Найдем длину OF, используя
площадь Δ КСО
О
F
12 слайд

А
С
D
2
В
1) Введем прямоугольную систему координат.
Пусть SN- общий перпендикуляр прямых KC
и BD. Найдем длину вектора SN
2)Так как SD коллинеарен BD, то
существует такое число х, что
Найдем координаты векторов:
Векторно-координатный метод
z
x
y
K
O
S
N
14 слайд

А
С
D
2
В
л) Высота вписанного конуса равна высоте
пирамиды, а радиус основания конуса
равен радиусу окружности, вписанной в
квадрат АВСD, поэтому
м) Образующая описанного конуса равна
боковому ребру пирамиды, а радиус
основания конуса равен радиусу
окружности, описанной около квадрата
АВСD, поэтому
K
O
15 слайд

Спасибо за внимание.

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 264 438 материалов в базе

Выберите категорию:
Выберите учебник и тему

Выберите класс:
Тип материала:
- Все материалы
- Статьи
- Научные работы
- Видеоуроки
- Презентации
- Конспекты
- Тесты
- Рабочие программы
- Другие методич. материалы

Найти материалы

Другие материалы

16.12.2020
189
0

02.12.2020
364
32

01.12.2020
179
0

25.11.2020
109
0

01.11.2020
130
0

19.08.2020
285
1

10.08.2020
139
0

27.07.2020
101
0

Вам будут интересны эти курсы:

Курс профессиональной переподготовки «Маркетинг: теория и методика обучения в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Методика написания учебной и научно-исследовательской работы в школе (доклад, реферат, эссе, статья) в процессе реализации метапредметных задач ФГОС ОО»
Курс повышения квалификации «Организация научно-исследовательской работы студентов в соответствии с требованиями ФГОС»
Курс повышения квалификации «Экономика и право: налоги и налогообложение»
Курс профессиональной переподготовки «Клиническая психология: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Правовое регулирование рекламной и PR-деятельности»
Курс профессиональной переподготовки «Организация менеджмента в туризме»
Курс повышения квалификации «Страхование и актуарные расчеты»
Курс повышения квалификации «Основы менеджмента в туризме»
Курс профессиональной переподготовки «Управление ресурсами информационных технологий»
Курс повышения квалификации «Психодинамический подход в консультировании»
Курс повышения квалификации «Мировая экономика и международные экономические отношения»
Курс профессиональной переподготовки «Управление качеством»

Источник

Пирамидой называют многогранник, одна грань которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники с общей вершиной. Многоугольник называют основанием пирамиды, а треугольники – боковыми гранями.

Высотой пирамиды называют перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости ее основания.

На рисунке 9.53 изображена четырехугольная пирамида с вершиной в точке . Четырехугольник – основание пирамиды, треугольники , , и – ее боковые грани. Отрезки , , и – боковые ребра пирамиды. Отрезок – высота пирамиды.

1. Если все боковые ребра пирамиды равны или наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, то основание высоты пирамиды, проведенной из ее вершины, совпадает с центром окружности, описанной около основания пирамиды.

2. Если боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом (двугранные углы при основании равны), то основание высоты пирамиды, проведенной из ее вершины, совпадает с центром окружности, вписанной в основание пирамиды.

3. Если две боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания, то боковое ребро, содержащее эти грани, является высотой пирамиды.

Объем пирамиды высоты находят по формуле:

$LaTeX formula: V=frac{1}{3}S_{o.} cdot h$ , (9.11)

Площадь поверхности пирамиды находят по формуле:

$LaTeX formula: S_{n.}=S_{o.}+S_{delta .}$ . (9.12)

Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а основание высоты пирамиды, проведенной из ее вершины, совпадает с центром окружности, вписанной в основание пирамиды (или описанной около основания пирамиды, так как центры этих окружностей совпадают).

На рисунке 9.54 изображена правильная четырехугольная пирамида, а на рисунке 9.55 – правильная треугольная.

Высоту боковой грани правильной пирамиды, проведенную из ее вершины, называют апофемой. На рисунке 9.54 отрезок – апофема правильной четырехугольной пирамиды.

Любую треугольную пирамиду называют тетраэдром.

Тетраэдр называется правильным, если все его ребра равны.

На рисунке 9.56 изображен правильный тетраэдр.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды находят по формуле:

$LaTeX formula: S_{delta .}=frac{1}{2}P_{o.} cdot h_{delta .}$ , (9.13)

где $LaTeX formula: h_{delta .}$ – апофема пирамиды.

Усеченной пирамидой называют многогранник, вершинами которого служат вершины основания пирамиды и вершины ее сечения плоскостью, параллельной основанию пирамиды.

Основания усеченной пирамиды – подобные многоугольники.

Высотой усеченной пирамиды называют перпендикуляр, заключенный между плоскостями ее оснований.

На рисунке 9.57 изображена треугольная усеченная пирамида, а на рисунке 9.58 – правильная четырехугольная усеченная пирамида.

Объем усеченной пирамиды находят по формуле:

$LaTeX formula: V=frac{1}{3}h(S_1+S_2+sqrt{S_1S_2})$ , (9.14)

где и – площади оснований, – высота усеченной пирамиды.

Пример 1. Основанием пирамиды является правильный треугольник со стороной дм, а две ее боковые грани перпендикулярны плоскости основания (рис. 9.59). Найдите объем пирамиды, зная, что ее высота равна дм.

Решение. Так как две боковые грани и пирамиды перпендикулярны плоскости ее основания, то их общее ребро является высотой пирамиды. Площадь основания пирамиды найдем по формуле $LaTeX formula: S=frac{sqrt{3}a^2}{4}$ . Получим: $LaTeX formula: S=frac{4sqrt{3}}{4}=sqrt{3}$ ( $LaTeX formula: _{partial M}\^3$ ).

Объем пирамиды найдем по формуле 9.11 . Получим: $LaTeX formula: V=frac{1}{3}cdot sqrt{3}cdot sqrt{3}=1$ ( $LaTeX formula: _{partial M}\^3$ ).

Ответ: $LaTeX formula: _{partial M}\^3$ .

Пример 2. Вычислите объем правильного тетраэдра с ребром, равным .

Решение. Так как тетраэдр правильный (рис. 9.60), то его высота опускается в центр треугольника : точку , точку пересечения высот, биссектрис и медиан этого треугольника.

Тогда $LaTeX formula: OA=frac{a }{sqrt{3}}$ – радиус окружности, описанной около ; – высота тетраэдра.

Найдем высоту тетраэдра. Рассмотрим треугольник . Из теоремы Пифагора: , , $LaTeX formula: h=sqrt{a^2-frac{a^2}{3}}=sqrt{frac{2a^2}{3}}=frac{sqrt{2}a}{sqrt{3}}$ .

Объем тетраэдра вычислим по формуле 9.11 , где $LaTeX formula: S_{o.}=frac{sqrt{3}a^2}{4}$ . Запишем: $LaTeX formula: V=frac{1}{3}cdot frac{sqrt{3}a^2}{4}cdot frac{sqrt{2}a}{sqrt{3}}=frac{sqrt{2}a^3}{12}$ .

Ответ: $LaTeX formula: frac{sqrt{2}a^3}{12}$ .

Пример 3. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной , и острым углом $LaTeX formula: 30^{circ}$ . Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом $LaTeX formula: 60^{circ}$ . Найдите объем пирамиды.

Решение. Основанием пирамиды является треугольник : $LaTeX formula: angle C=90^{circ}$ ; (рис. 9.61). Так как боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, то высота пирамиды опускается в центр окружности, описанной около этого треугольника (на рисунке 9.61 точка ). Тогда $LaTeX formula: AO=R=frac{c}{2}$ и высота пирамиды .

Рассмотрим прямоугольный треугольник . Угол является углом наклона бокового ребра к плоскости основания, так как отрезок – проекция ребра на плоскость основания и $LaTeX formula: angle SAO=60^{circ}$ . Тогда $LaTeX formula: tg60^{circ}=frac{SO}{AO}$ и $LaTeX formula: SO=frac{sqrt{3}c}{2}=h$ .

Рассмотрим прямоугольный треугольник : $LaTeX formula: CB=frac{c}{2}$ по свойству катета, лежащего против угла $LaTeX formula: 30^{circ}$ ; $LaTeX formula: angle B=60^{circ}$ .

Найдем площадь треугольника:

$LaTeX formula: S_{triangle ABC}=frac{1}{2}ABcdot CBcdot sinangle B$ , $LaTeX formula: S_{triangle ABC}=frac{1}{2}ccdot frac{c}{2}cdot frac{sqrt{3}}{2}$ , $LaTeX formula: S_{triangle ABC}=frac{sqrt{3}c^2}{8}$ .

По формуле 9.11 найдем объем пирамиды: $LaTeX formula: V=frac{1}{3}cdot frac{sqrt{3}c^2}{8}cdot frac{sqrt{3}c}{2}=frac{c^3}{16}$ .

Ответ: $LaTeX formula: frac{c^3}{16}$ .

Пример 4. Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами см, см и см. Боковые грани пирамиды образуют с ее основанием равные двугранные углы, содержащие по $LaTeX formula: 45^{circ}$ . Определите объем пирамиды.

Решение. Основанием пирамиды (рис. 9.62) служит равнобедренный треугольник : см, см. Так как боковые грани образуют с плоскостью основания равные двугранные углы, то высота пирамиды опускается в центр окружности, вписанной в треугольник , то есть в точку , лежащую на высоте этого треугольника.

Тогда см; , где – радиус окружности, вписанной в основание пирамиды и $LaTeX formula: r=frac{2S}{a+b+c}$ .

Площадь треугольника найдем по формуле Герона $LaTeX formula: S_{triangle ABC}=sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ , где $LaTeX formula: p=frac{5+6+6}{2}=8,5$ (см) и $LaTeX formula: S_{triangle ABC}=sqrt{8,5cdot (8,5-5)(8,5-6)^2}=frac{5sqrt{119}}{4}$ ( $LaTeX formula: _{CM}\^3$ ). Следовательно, $LaTeX formula: r=frac{5sqrt{119}}{2cdot 17}=frac{5sqrt{7}}{2sqrt{17}}$ (см).

Угол – линейный угол двугранного угла , так как и , и согласно условию задачи $LaTeX formula: angle SKB=45^{circ}$ . Значит, треугольник равнобедренный и $LaTeX formula: h=r=frac{5sqrt{7}}{2sqrt{17}}$ (см).

Согласно формуле 9.11 найдем объем пирамиды:

$LaTeX formula: V=frac{1}{3}cdot frac{5sqrt{119}}{4}cdot frac{5sqrt{7}}{2sqrt{17}}=frac{25cdot 7}{24}=frac{175}{24}$ ( $LaTeX formula: _{CM}\^3$ ).

Ответ: $LaTeX formula: frac{175}{24}$ $LaTeX formula: _{CM}\^3$ .

Пример 5. Апофема правильной четырехугольной пирамиды (рис. 9.63) равна и образует с высотой пирамиды угол $LaTeX formula: 30^{circ}$ . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение. Так как пирамида правильная, то четырехугольник – квадрат, а ее боковые грани – равнобедренные треугольники.

Точка – центр окружности, вписанной в основание пирамиды, следовательно, $LaTeX formula: OP=r=frac{DC}{2}$ .

Поскольку $LaTeX formula: angle SOP=90^{circ}$ , а $LaTeX formula: angle PSO=30^{circ}$ , то $LaTeX formula: OP=frac{sqrt{3}}{2}$ , тогда .

По формуле 9.13 найдем площадь боковой поверхности пирамиды: $LaTeX formula: S_{delta .}=frac{1}{2}cdot 4cdot sqrt{3}cdot sqrt{3}=6$ .

Ответ: .

Пример 6. Основание пирамиды – ромб с острым углом $LaTeX formula: 30^{circ}$ и стороной, равной . Найдите объем пирамиды, если известно, что ее вершина удалена от всех сторон основания на расстояние, равное .

Решение. Так как вершина пирамиды равноудалена от всех сторон ромба, то основание высоты пирамиды (точка ) совпадает с центром окружности, вписанной в ромб (рис. 9.64). По формуле найдем площадь ромба: $LaTeX formula: S=3^2sin30^{circ}=frac{9}{2}$ .

С другой стороны, площадь ромба можем найти и по формуле , откуда $LaTeX formula: h=frac{S}{a}$ , $LaTeX formula: h=frac{9}{2cdot 3}=frac{3}{2}$ .Тогда $LaTeX formula: OP=frac{h}{2}=frac{3}{4}$ .

Из теоремы Пифагора $LaTeX formula: OS=sqrt{SP^2-OP^2}$ , $LaTeX formula: OS=sqrt{3-frac{9}{16}}=frac{sqrt{39}}{4}$ .

По формуле 9.11 найдем объем пирамиды:

$LaTeX formula: V=frac{1}{3}cdot frac{9}{2}cdot frac{sqrt{39}}{4}=frac{3sqrt{39}}{8}$ .

Ответ: $LaTeX formula: frac{3sqrt{39}}{8}$ .

Пример 7. Боковое ребро правильной четырехугольной усеченной пирамиды наклонено к плоскости основания под углом $LaTeX formula: 45^{circ}$ , а длины ребер оснований соответственно равны см и см (рис. 9.65). Найдите объем пирамиды.

Решение. Так как основания усеченной пирамиды – квадраты со сторонами и см, то их площади соответственно равны:

$LaTeX formula: _{CM}\^2$ , $LaTeX formula: _{CM}\^2$ .

По теореме Пифагора найдем диагонали квадратов:

(см), (см).

Так как диагонали точкой пересечения делятся пополам, то см, а см.

Рассмотрим диагональное сечение пирамиды – трапецию . Так как , то имеем прямоугольник , в котором , а . Поскольку треугольник равнобедренный, то (см) и см. Следовательно, высота усеченной пирамиды см.

По формуле 9.14 найдем объем пирамиды:

$LaTeX formula: V=frac{1}{3}cdot sqrt{2}(16+4+sqrt{16cdot 4})=frac{sqrt{2}}{3}(20+4cdot 2)=frac{28sqrt{2}}{3}$ ( $LaTeX formula: _{CM}\^3$ ).

Ответ: $LaTeX formula: frac{28sqrt{2}}{3}$ $LaTeX formula: _{CM}\^3$ .

1. Решение задач, связанных с пирамидой, необходимо начинать с построения высоты пирамиды.

2. Различайте правильную треугольную пирамиду и правильный тетраэдр:

1) у правильной треугольной пирамиды основание – правильный треугольник, а боковые ребра хоть и равны между собой, но не обязательно, что они равны ребрам основания пирамиды;

2) правильный тетраэдр – это треугольная пирамида, у которой все ребра равны.

Источник

В правильной треугольной пирамиде вершина проектируется в точку пересечения медиан основания.

В правильной четырехугольной пирамиде вершина проектируется в точку пересечения диагоналей основания.

В правильной шестиугольной пирамиде вершина проектируется в точку пересечения диагоналей основания.

Высота пирамиды, две боковые грани которой перпендикулярны основе, проходит через вершину основания и является наименьшим боковым ребром пирамиды.

Высота пирамиды, одна боковая грань которой перпендикулярна основе, лежит в этой грани, а основа высоты лежит на стороне основания, через которую проходит данная грань.

Если в некоторой пирамиде все боковые ребра наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом или все боковые ребра равны между собой, то вершина пирамиды проецируется в центр круга, описанного вокруг основания пирамиды.

Если в некоторой пирамиде все боковые ребра наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом или все боковые ребра равны между собой, то расстояния от основания высоты пирамиды к боковых ребер равны между собой.

Если в некоторой пирамиде все боковые ребра наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом или все боковые ребра равны между собой и в основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, то основа высоты пирамиды является серединой гипотенузы треугольника основания боковая грань, проходящая через гипотенузу , перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

Если в некоторой пирамиде все боковые грани наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом или высоты всех боковых граней равны между собой, то вершина пирамиды проецируется в центр круга, вписанного в основание пирамиды.

Если в некоторой пирамиде все боковые грани наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, то площадь основания пирамиды равна площади боковой поверхности, умноженной на косинус угла наклона боковых граней к плоскости основания.

Если из основания высоты пирамиды проведено перпендикуляр на боковую грань, то основа этого перпендикуляра лежит на высоте данной боковой грани, проведенной из вершины пирамиды. Угол между этим перпендикуляром и плоскостью основания пирамиды равен углу между высотой пирамиды и высотой этой боковой грани.

Если боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, то перпендикуляры, проведенные из основы высоты пирамиды до боковых граней, равны между собой и образуют одинаковые углы с плоскостью основания. Расстояния от основания высоты пирамиды к всех боковых граней в таком случае равны между собой.

Источник

Задача

Двугранные углы пирамиды и методика их расчета

Пространственная фигура пирамида

Двугранные углы фигуры

Как рассчитать углы пирамиды?

Углы правильной пирамиды четырехугольной

Углы треугольной правильной пирамиды

Пирамида и ее элементы

Свойство основания высоты пирамиды:

Задача

Описание презентации по отдельным слайдам:

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Не пропустите также: