Как известно из курса планиметрии, две прямые в плоскости могут пересекаться (имеют общую точку) или быть параллельными (не имеют общую точку).
В пространстве мы можем найти множество примеров ситуаций, когда две прямые не пересекаются, но они и не параллельны.
Рис. (1). Дороги на земле и на эстакадах не пересекаются.
Скрещивающиеся прямые — это прямые, которые не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.
Теорема «Признак скрещивающихся прямых»
Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся (не лежат в одной плоскости).
Доказательство
Рассмотрим прямую (AB), лежащую в плоскости, и прямую (CD), которая пересекает плоскoсть в точке (D), не лежащей на прямой (AB).
Рис. (2). Скрещивающиеся прямые.
1. Допустим, что прямые (AB) и (CD) всё-таки лежат в одной плоскости.
2. Значит, эта плоскость идёт через прямую (AB) и точку (D), то есть, она совпадает с плоскостью (α).
3. Это противоречит условиям теоремы, по которым прямая (CD) не находится в плоскости (α), а пересекает её.
Теорема доказана.
В пространстве прямые могут пересекаться, скрещиваться или быть параллельными. 
Рис. (3). Параллельные прямые.
Рис. (4). Пересекающиеся прямые.
Рис. (5). Скрещивающиеся прямые.
Теорема
Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.
Доказательство
Рассмотрим скрещивающиеся прямые (AB) и (CD). 
Рис. (6). Доказательство теоремы.
1. Через точку (D) можно провести прямую (DE), параллельную (AB).
2. Через пересекающиеся прямые (CD) и (DE) можно провести плоскость (α).
3. Так как прямая (AB) не лежит в этой плоскости и параллельна прямой (DE), то она параллельна плоскости.
4. Эта плоскость единственная, так как любая другая плоскость, проходящая через (CD), будет пересекаться с (DE) и (AB), которая ей параллельна.
Теорема доказана.
1. Если прямые параллельны, то угол между ними —
0°
.
2. Углом между двумя пересекающимися прямыми называют величину меньшего из углов, образованных этими прямыми. Если все углы равны, то эти прямые перпендикулярны (образуют угол
90°
).
3. Углом между двумя скрещивающимися прямыми называют угол между двумя пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся прямым.
Обрати внимание!
Провести соответственные прямые, параллельные данным скрещивающимся прямым, можно через любую точку. Иногда удобно выбрать эту точку на одной из данных скрещивающихся прямых и провести через эту точку прямую, параллельную другой из скрещивающихся прямых.
Пример:
Рис. (7). Куб.
Найти угол между
AB
и
B1D1
.
Выберем точку
B
на прямой
AB
и проведём через
B
прямую
BD
параллельно
B1D1
.
Рис. (8). Куб с дополнительными построениями.
Угол между
AB
и
BD
—
45°
, так как
ABCD
— квадрат.
Соотвeтственно, угол между
AB
и
B1D1
— тоже
45°
.
Скрещивающиеся прямые
Как определяется угол между скрещивающимися прямыми?
Ты можешь спросить, а чего тут определять? Угол, он и в Африке (то есть в пространстве) – угол!
И действительно, если прямые лежат в одной плоскости, то угол между ними ищется так же, как и на плоскости:
Наименьший из двух углов, образованных при пересечении.
Но что же делать, если прямые совсем не пересекаются?
Читай эту статью и всё узнаешь!
Скрещивающиеся прямые — коротко о главном
Если прямые лежат в разных плоскостях (т.е. не пересекаются), нужно через произвольную точку на одной прямой (например, прямая ????) провести прямую, параллельную другой прямой (например, прямую ????′, где ????′||????.
Скрещивающиеся прямые — подробнее
Как найти угол, если прямые не пересекаются?
Вот, например: прямые ( displaystyle a) и ( displaystyle b) скрещиваются. Какой угол между ними?
Чтобы это определить, делаем так: через произвольную точку одной прямой (например ( displaystyle b)), нужно провести прямую ( displaystyle {a}’||a).
И тогда угол между ( displaystyle a) и ( displaystyle b) будет равен (по определению!) углу между ( displaystyle {{a}’}) и ( displaystyle b).
Да, но как это применить в задачах? Давай посмотрим.
Решение задач на угол между скрещивающимися прямыми
В кубе ( displaystyle ABCD{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}) найти угол между ( displaystyle AC) и ( displaystyle D{{C}_{1}}).
Решаем:
Прямые ( displaystyle AC) и ( displaystyle D{{C}_{1}}) не пересекаются, но нужно как-то найти угол между ними.
Пользуемся правилом: через точку ( displaystyle {{C}_{1}}) проведем прямую ( displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}). Она будет параллельна ( displaystyle AC).
Значит, угол между ( displaystyle AC) и ( displaystyle D{{C}_{1}}) равен углу между ( displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}) и ( displaystyle D{{C}_{1}}). Осталось его найти.
Смотри: ( displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}), ( displaystyle {{A}_{1}}D) и ( displaystyle D{{C}_{1}}) – диагонали граней куба, поэтому ( displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}={{C}_{1}}D={{A}_{1}}D), то есть ( displaystyle Delta {{A}_{1}}{{C}_{1}}D) – равносторонний.
Поэтому ( displaystyle angle {{A}_{1}}{{C}_{1}}D=60{}^circ ).
Ответ: ( displaystyle 60{}^circ ).
Бонус: Вебинар из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике
Задачи на скрещивающиеся прямые и углы между ними попадаются сплошь и рядом в этом вебинаре.
ЕГЭ 8. Куб. Параллелепипед. Призма – расстояния и углы в пространстве
На этом уроке мы на примере самых простых объемных фигур научимся находить важнейшие вещи в стереометрии — расстояния и углы в пространстве.
Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+
Алексей Шевчук — ведущий мини-групп
математика, информатика, физика
+7 (905) 541-39-06 — WhatsApp/Телеграм для записи
alexei.shevchuk@youclever.org — email для записи
- тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
- автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
- закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
- репетиторский стаж — c 2003 года;
- в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов — как обычно дурацкая ошибка:);
- отзыв на Профи.ру: «Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами».
Угол между скрещивающимися прямыми и расстояние между ними. Расстояние от точки до плоскости и от прямой до параллельной ей плоскости
Скрещивающиеся прямые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях, и поместить их в одну плоскость невозможно.
Часто в задачах требуется найти угол между скрещивающимися прямыми. Как это сделать?
Угол между прямыми, лежащими в одной плоскости, найти нетрудно. Можно измерить его транспортиром. Можно найти из какого-нибудь треугольника по теореме синусов или косинусов.
Пусть скрещивающиеся прямые a и b лежат в параллельных плоскостях α и β . Проведем в плоскости β прямую с, параллельную прямой а. Угол между прямыми а и b равен углу между прямыми b и с.
Можно сказать, что угол между скрещивающимися прямыми — это угол между параллельными им прямыми, лежащими в одной плоскости.
Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра.
Другими словами, расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, в которых они лежат.
Дадим еще два полезных определения.
Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.
Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости — длина перпендикуляра, опущенного на плоскость из любой точки этой прямой.
Заметим, что расстояние от точки до плоскости или угол между скрещивающимися прямыми иногда проще найти с помощью координатно-векторного метода.
Читаем дальше: Теорема о трех перпендикулярах.
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Угол между скрещивающимися прямыми и расстояние между ними. Расстояние от точки до плоскости и от прямой до параллельной ей плоскости» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена:
07.05.2023