Как найти угол аос в треугольнике - Avtoru.top - решение различных проблем

1 Три угла любого треугольника дают в сумме 180°.

Значит, угол АОС равен 180° за вычетом суммы углов ОАС и ОСА.

Но эта сумма равна половине суммы углов ВАС и ВСА, так как ОА и ОВ биссектрисы, делящие эти углы пополам.

Сумма углов ВАС и ВСА равна 180° — 90° = 90°, так как по условию угол АВС = 90°.

Следовательно, суммы углов ОАС и ОСА равна 90°/2 = 45° и

искомый угол АОС = 180° — 45° = 135°.

Ответ: 135°.

2 Острые углы в прямоугольном треугольнике в сумме дают 90°. Значит, напротив меньшего катета лежит угол, равный 90° — 60° = 30°. И, следовательно, этот катет равен половине гипотенузы.

Пусть х — длина гипотенузы, тогда 0,5х — длина меньшего катета. По условию

х + 0,5х = 28, откуда

1,5х = 28,

х = 28/1,5 = 18,67 см.

Ответ: 18,67 см.

Примечание. Чтобы ответ был целочисленным, следует в условиях заменить 28 на 27.

Источник

Продолжаем рассматривать задачи на вычисление углов в треугольнике. Рекомендую посмотреть уже опубликованные на блоге статьи «Сумма углов треугольника. Часть 1» и «Вычисление углов в треугольнике. Часть 2». Теории здесь минимум. Необходимо знать теорему о сумме углов треугольника, признаки равенства треугольников, что такое биссектриса, свойства равнобедренного треугольника.

Каковы рекомендации? Если сходу не видите путь решения, то действуйте по принципу «Что я могу найти исходя из условия?». Если вам известны два угла в треугольнике, то найдите третий и смотрите, что можно найти далее. Не забывайте о свойствах биссектрисы угла и прочее.

Рассмотрим задачи:

В треугольнике ABC угол C равен 46⁰, AD и BE — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

Нам дан всего один угол в треугольнике и сказано, что из двух других углов проведены биссектрисы. Напомню, что биссектриса это отрезок, который делит угол пополам, то есть получается два равных угла. Понятно, что это свойство при решении задачи обязательно будет использовано.

Рассмотрим треугольник АОВ:

То есть для того, чтобы вычислить искомый угол нам достаточно найти сумму углов OAB и OBA. Используя свойство биссектрисы можем записать:

Сумму углов А и В найдём используя теорему о сумме углов треугольника:

Таким образом:

Ответ: 113

В треугольнике АВС СН — высота, AD — биссектриса, O — точка пересечения прямых CH и AD, угол BAD равен 22⁰. Найдите угол AOC. Ответ дайте в градусах.

Искомый угол мы можем найти если в треугольнике АОС будут известны углы ОАС и ОСА. Найдём их.

Рассмотрим треугольник ABC. Так как нам известно, что AD — биссектриса и угол BAD равен 22⁰, то мы можем определить угол DAC и найти угол А.

По определению биссектрисы угла:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH.

По свойству прямоугольного треугольника сумма его острых углов равна 90⁰, то есть:

Значит

Рассмотрим треугольник AOC. По теореме о сумме углов треугольника:

Ответ: 112

В треугольнике ABC угол A равен 42⁰, угол C равен 80⁰. На продолжении стороны AB отложен отрезок BD = BC. Найдите угол D треугольника BCD. Ответ дайте в градусах.

Если мы найдём угол CBD, то далее используя свойство равнобедренного треугольника мы без труда вычислим искомый угол.

Рассмотрим треугольник ABC. По теореме о сумме углов треугольника:

*На данном этапе можно сразу воспользоваться теоремой о внешнем угле треугольника. Кратко: внешний угол треугольника равны сумме его внутренних углов не смежных с ним, то есть:

Так как треугольник равнобедренный, то

Искомый угол найден.

Второй путь:

Углы ABC и CDB смежные, то есть их сумма равна 180⁰, значит:

Теперь рассмотрим равнобедренный треугольник BCD.

Так как BD = BC, то по свойству равнобедренного треугольника:

Далее используя теорему о сумме углов треугольника найдём эти углы:

Таким образом, искомый угол равен 29 градусам.

Ответ: 29

В треугольнике ABC угол В равен 50⁰, угол С равен 77⁰, — биссектриса, E — такая точка на АВ, при чём АЕ = АС. Найдите угол BDE. Ответ дайте в градусах.

На что в данной задаче сразу нужно обратить внимание? На треугольники ACD и AED. Они равны по первому признаку равенства треугольников – по двум сторонам и углу между ними:

Из равенства треугольников следует равенство элементов, нас интересуют прежде всего углы:

Теперь мы в треугольнике EBD можем найти угол BED и далее используя теорему о сумме углов треугольника вычислить искомый угол:

Рассмотрим треугольник BDE. По теореме о сумме углов треугольника:

Два угла нам известны, можем записать:

Таким образом искомый угол равен 27 градусам.

Второй путь решения:

Можно сразу же исходя из данных найти угол А.

Рассмотрим треугольник ABC:

По определению биссектрисы угла:

Рассмотрим треугольник ACD:

Треугольники ACD и AED равны по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства треугольника следует равенство соответствующих элементов, то есть:

Таким образом, мы можем найти искомый угол:

Ответ: 27

27764. В треугольнике АВС угол С равен 58^о, AD и BE — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

27767. В треугольнике ABC CH — высота, AD — биссектриса, O — точка пересечения прямых CH и AD, угол BAD равен 32⁰. Найдите угол AOC. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

27769. В треугольнике ABC угол A равен 44⁰, угол C равен 62⁰. На продолжении стороны AB отложен отрезок BD = BC. Найдите угол D треугольника BCD. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

27776. В треугольнике ABC угол В равен 45⁰, угол С равен 85⁰, AD — биссектриса, E — такая точка на AB, что AE = AC. Найдите угол BDE. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

В подобных задачах при решении на самом ЕГЭ нет необходимости подробно расписывать все преобразования, я делаю это только для того, что вы увидели логику рассуждений.

На экзамене поступайте так: нарисуйте крупный эскиз, и подписывайте величины данных и найденных углов. Не торопитесь, чтобы не ошибиться. Успеха Вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Источник

Элементы треугольника. Высоты, медианы, биссектрисы

Высоты, медианы и биссектрисы треугольника постоянно встречаются нам в задачах по геометрии. Мы начнем с таблицы, в которой показано, что такое высоты, медианы и биссектрисы, и какими свойствами они обладают. Затем — подробные объяснения и решение задач.

Высотой треугольника называется перпендикуляр,
опущенный из вершины треугольника
на противоположную сторону.

В тупоугольном треугольнике высота
опускается на продолжение стороны.

Три высоты треугольника всегда
пересекаются в одной точке.

В случае тупого угла пересекаются
продолжения высот.

Медианой треугольника называют отрезок,
соединяющий вершину треугольника с
серединой противоположной стороны.

Три медианы треугольника пересекаются в
одной точке и делятся в ней в отношении
2 : 1 , считая от вершины.

Биссектриса треугольника делит
угол треугольника пополам.

Три биссектрисы пересекаются в одной точке,
которая является центром окружности,
вписанной в треугольник.

Напомним, что высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону.

Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке. Вот как это выглядит в случае остроугольного треугольника.

Попробуйте провести три высоты в тупоугольном треугольнике. Получилось? Да, редкий выпускник справляется с этим заданием. Действительно, мы не можем опустить перпендикуляр из точки A на отрезок BC, зато можем опустить его на прямую BC — то есть на продолжение стороны BC.

В этом случае в одной точке пересекаются не сами высоты, а их продолжения.

В прямоугольном треугольнике каждый катет является высотой к другому катету. Три высоты прямоугольного треугольника пересекаются в вершине прямого угла.

Как доказать, что три высоты треугольника пересекаются в одной точке?
Доказательство здесь: Свойство высот треугольника.

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий его вершину с серединой противоположной стороны.

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Доказательство этой теоремы смотрите здесь: Свойства медиан треугольника.

Биссектриса треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и делящий угол треугольника пополам.

У биссектрисы угла есть замечательное свойство — точки, принадлежащие ей, равноудалены от сторон угла. Поэтому три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от всех сторон треугольника. Эта точка является центром окружности, вписанной в треугольник.

Читайте доказательство теоремы о том, что три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке:
Свойства биссектрис треугольника.

Еще одно свойство биссектрисы часто применяется при решении задач.

Теорема. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон:

$displaystyle frac{a}{b}=frac{m}{n}$

Доказательство этой теоремы здесь: Свойство биссектрисы треугольника.

Разберем несколько задач, в которых речь идет о высотах, медианах и биссектрисах треугольника. Все задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.

Задача 1. Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника.
Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть биссектрисы треугольник ABC (в котором угол C равен $90^{circ}$ ) пересекаются в точке M.

Рассмотрим треугольник ABM.

, тогда $angle AM mkern -3mu B=180^{circ} - angle M mkern -3mu AB - angle AB mkern -3mu M = 180^{circ} - 0,5 left( angle ABC + angle B mkern -3mu AC right)$ .

Острый угол между биссектрисами на рисунке обозначен varphi .

Угол varphi смежный с углом AMB , следовательно, .

Поскольку треугольник ABC — прямоугольный, то $angle ABC + angle B mkern -3mu AC = 90^{circ}$ .

Тогда $varphi = 0,5 left( angle ABC + angle B mkern -3mu AC right) = 90^{circ}:2=45^{circ}$ .

Ответ: 45.

Задача 2. Острые углы прямоугольного треугольника равны $29^{circ}$ и $61^{circ}$ . Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть CH — высота, проведенная из вершины прямого угла C, CK — биссектриса угла C.

Тогда $angle AC mkern -3mu H = angle ABC = 61^{circ}$ ;

$angle AC mkern -3mu K = 90^{circ}:2=45^{circ}$ .

Угол между высотой и биссектрисой — это угол .

$angle K mkern -2mu C mkern -2mu H = angle A mkern -1mu C mkern -2mu H - angle AC mkern -3mu K = 61^{circ}-45^{circ}=16^{circ}$ .

Ответ: 16.

Задача 3. Острые углы прямоугольного треугольника равны $24^{circ}$ и $66^{circ}$ . Найдите угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Рассмотрим треугольник АВС, в котором угол С – прямой, CD – высота, СМ – медиана.

$angle CAB=24^{circ }, angle ABC=66^{circ }.$ Требуется найти угол МСD.

Треугольник CMB – равнобедренный, т.к. медиана СМ равна половине гипотенузы АВ.

Следовательно, $angle MCB=angle MBC=66^{circ }.$

$angle BCD=angle BAC=24^{circ }.$

Искомый $angle MCD=angle MCB- angle BCD=66^{circ }-24^{circ }=42^{circ }.$

Ответ: 42.

Задача 4. Острые углы прямоугольного треугольника равны $27^{circ}$ и $63^{circ}$ . Найдите угол между биссектрисой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Рассмотрим треугольник АВС, в котором угол С – прямой, CL – биссектриса, СМ – медиана.

$angle CAB=23^{circ }, angle ABC=67^{circ }.$ . Требуется найти угол МСL.

Треугольник CMB – равнобедренный, т.к. медиана СМ равна половине гипотенузы АВ.

Следовательно, $angle MCB=angle MBC=67^{circ }.$

$angle BCL=angle ACL=90^{circ }:2=45^{circ },$ т.к. CL – биссектриса.

Искомый $angle MCL=angle MCB- angle BCL=67^{circ }-45^{circ }=22^{circ }.$

Ответ: 22.

Задача 5. Два угла треугольника равны $58^{circ}$ и $72^{circ}$ . Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Из треугольника ACH (угол H — прямой) найдем угол CAH. Он равен $18^{circ}$ .

Из треугольника ACK ( K — прямой) найдем угол ACK. Он равен $32^{circ}$ .

В треугольнике AOC известны два угла. Найдем третий, то есть угол AOC, который и является тупым углом между высотами треугольника ABC:

$angle AOC = 180^{circ} - 18^{circ} - 32^{circ} = 130^{circ}$ .

Ответ: 130.

Задача 6. В треугольнике ABC угол С равен $58^{circ}$ , AD и BE — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть в треугольнике ABC угол BAC равен A, угол ABC равен B.

Рассмотрим треугольник AOB.

, тогда $angle AO mkern -2mu B = 180^{circ} - left( angle A + angle B right)$ .

Из треугольника ABC получим, что $angle A + angle B = 180^{circ} - 58^{circ} = 122^{circ}$ .

Тогда $angle AO mkern -2mu B = 180^{circ} - left( angle A + angle B right) = 180^{circ}-61^{circ}= 119^{circ}$ .

Ответ: 119.

Задача 7. В треугольнике ABC угол A равен $60^{circ}$ , угол B равен $82^{circ}$ . AD, BD и CF — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Найдем угол ACB. Он равен $38^{circ}.$

Тогда $angle AC mkern -3mu F = angle AC mkern -3mu B = 19^{circ}.$

Из треугольника ACF найдем угол $angle AF mkern -2mu C = angle AC mkern -3mu B = 19^{circ}$ . Он равен $101^{circ}$ .

Рассмотрим треугольник AOF.

$angle AF mkern -2mu O = 101^{circ}$ , $angle F mkern -3mu AO = angle B mkern -3mu AC = 30^{circ}$ . Значит $angle AO mkern -3mu F = 49^{circ}$ .

Ответ: 49.

Задача 8. В треугольнике ABC, CD — медиана, угол ACB равен $90^{circ}$ , угол B равен $58^{circ}$ . Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В прямоугольном треугольнике медиана равна половине гипотенузы.

Поэтому

Треугольник ADC равнобедренный, следовательно, углы при основании равны:

Поскольку в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90 градусов, получим:

$angle CAD=90^{circ }-angle ABC=90^{circ }-58^{circ }=32^{circ }.$

$angle ACD=angle CAD=32^{circ }.$

Ответ: 32.

Задача 9. В треугольнике АВС АD — биссектриса, угол С равен $50^{circ}$ . Угол САD равен $28^{circ}$ . Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Поскольку AD – биссектриса, то $angle A=2cdot angle CAD=2cdot 28^{circ }=56^{circ }.$

Сумма углов треугольника равна $180^{circ}$ , следовательно,

$angle B=180^{circ }- angle A-angle C=180^{circ }-50^{circ }-56^{circ }=74^{circ }.$

Ответ: 74.

Задача 10. В треугольнике АВС CH – высота, AD – биссектриса, О – точка пересечения прямых CH и AD, угол BAD равен $26^{circ}$ . Найдите угол АОС. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Угол АОС – внешний в треугольнике АНО, следовательно,

$angle AOC=angle OAH+angle AHO=26^{circ }+90^{circ }=116^{circ }.$

Ответ: 116.

Задача 11. В треугольнике АВС проведена биссектриса AD и AB = AD = CD. Найдите меньший угол треугольника АВС. Ответ дайте в градусах.

Решение:

AD = CD, следовательно, треугольник ADC – равнобедренный и

AD — биссектриса, следовательно,

AB = AD, следовательно, треугольник ABD – равнобедренный и

– внешний в треугольнике ADC, следовательно,

Таким образом, наименьшим углом треугольника АВС является , два других угла – в два раза больше.

Воспользуемся тем, что сумма углов треугольника АВС равна $180^{circ}$ :

$angle A+angle B+angle C=2alpha +2alpha +alpha =5alpha =180^{circ }$ , откуда получаем: $alpha =180^{circ }:5=36^{circ }.$

Наименьший угол треугольника АВС равен $36^{circ}$ .

Ответ: 36.

Задача 12. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки 2,8 и 4,2. Периметр треугольника равен 22. Найдите стороны треугольника.

Решение:

Пусть стороны треугольника равны a, b и . Биссектриса делит сторону c на отрезки 2,8 и 4,2.
Значит,

В соответствии со свойством биссектрисы:

$displaystyle frac{a}{b}=frac{2,8}{4,2}=frac{28}{42}=frac{2}{3}.$

Или: $displaystyle a=frac{2}{3}b.$

Одновременно выполнено условие для периметра:

Тогда $displaystyle frac{5}{3}b=15, b=9, a=6.$

Ответ: 9, 6, 7.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Элементы треугольника. Высоты, медианы, биссектрисы» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Точка, равноудаленная от сторон треугольника — это точка пересечения биссектрис его углов ( по свойству биссектрис).

Следовательно, отрезки ВО, АО и СО — биссектрисы углов ∆ АВС.

∠ АВО — половина угла АВС.

∠ АВС=39º*2=78º

Сумма углов треугольника 180º

Тогда сумма ∠ ВАС+∠ВСА=180º-78º=102º

В треугольнике АОС сумма углов при основании АС равна половине суммы полных углов А и С, т.е. ∠АСО+∠САО=(∠ВАС+∠ВСА):2

∠АСО+∠САО=102º:2=51º

Третий угол треугольника ∠АОС=180º-51º=129º

Источник

Светило науки — 7309 ответов — 165986 раз оказано помощи

Ответ: ∠АОС=120°; Р=18

Объяснение: Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения его биссектрис.

Сумма углов треугольника 180° ⇒ ∠САВ+∠ВСА=180°-60°=120°. Биссектрисы АО и СО делят эти углы пополам, следовательно, 0,5∠ОАС+0,5∠ОСА=120°:2=60°.

Из суммы углов треугольника угол АОС=180°-60°=120°

Стороны треугольника — касательные для вписанной окружности. Отрезки касательных от точки вне окружности до точек касания равны (свойство). ⇒ АМ=AK=4, BN=BM=2, CN=CK=3. ⇒ Р=2•(2+3+4)=18 (ед. длины)

*****************

Примечание. Обозначения в решении даны согласно условию и рисунку к нему. Но, хотя ответ тот же, по данным в условии величинам не получится построить соразмерный рисунок. Должен быть при ∠В=60° отрезок СК=2, а ВМ=3. . (См. рисунок приложения).

Источник

Элементы треугольника. Высоты, медианы, биссектрисы

Не пропустите также: