Как найти точку пересечения прямой с плоскостью

Определение точки пересечения прямой с плоскостью

Для
определения точки пересечения прямой
с плоскостью пользуемся следующим
алгоритмом: прямую заключаем во
вспомогательную плоскость, находим
линию пересечения этих двух плоскостей
(заданной и вспомогательной), и линия
пересечения плоскостей в пересечении
с заданной прямой даст искомую точку.
Последним этапом в построении является
определение видимости прямой при помощи
конкурирующих точек.

Пример1.
Плоскость задана следами (рис.70)

Рис.70

1.
Для построения точки пересечения прямой
_l
с плоскостью необходимо через прямую
провести вспомогательную плоскость
частного положения, например,
фронтально-проецирующую βπ₂,
_l»f_оβ,
f_оβ
– собирающий след, h_оβх
(рис.71).

Рис.71

2.
Строим линию пересечения MN
заданной и вспомогательной плоскости
М’=h_оα∩
h_оβ,
N»=
f_оβ∩
f_оα
(рис.72).

Рис.72

3.
Определяем точку пересечения К
заданной прямой l
с линией пересечения MN.
К’=М’N’∩l ‘, К»
– в пересечении линии проекционной
связи, проведенной из К’
и l ».

4.
Видимость прямой l
в случае задания плоскости следами не
определяем.

Пример
2. Пересечение прямой с проецирующей
плоскостью (рис.73).

При
построении точки пересечения прямой с
проецирующей плоскостью задача
упрощается, т.к. одна из проекций искомой
точки будет лежать на собирающем следе.
На рис.73 дана горизонтально-проецирующая
плоскость. Искомая точка К
будет одновременно принадлежать
плоскости α и прямой а.

Рис.73

Пример
3.
Плоскость
задана плоской фигурой (рис.74).

Рис.74

Через
прямую
l
проводим вспомогательную плоскость
частного положения, например,
горизонтально-проецирующую βπ₁.l‘
h_оβ,
h_оβ
– собирающий след, f_оβх
(рис.75).

Рис.75

2.
Строим линию пересечения MN
заданной и вспомогательной плоскостей.
М’=А’С’∩
hоβ М»А»С»
и N’=В’С’∩ hоβ N»В»С»
(рис. 76).

3.
Строим точку пересечения К
заданной прямой l
с линией пересечения МN.
К»= М»N»∩l». К’
находится в пересечении линии проекционной
связи, проведенной из К»
и М’N’.

4.
Определяем видимость прямой относительно
ΔАВС
с помощью конкурирующих точек.

Определяем
видимость относительно плоскости π₂
.Отметим фронтальную проекцию 1»
совпадающую с 2».
Горизонтальную проекцию 2′
отметим на А’С’,
а 1′
на l’.
Горизонтальная проекция 1′
лежит перед 2′,
следовательно, фронтальная проекция
2»
не видима относительно π₂.
Точка 1
лежит на прямой l, она видима на π₂,
следовательно, фронтальная проекция
l»
от 1″2» до К»
видима, в точке К»
видимость меняется на противоположную.

Определим
видимость прямой l
относительно плоскости π₁.
Отметим горизонтальную проекцию 3′,
совпадающую с горизонтальной проекцией
М’.
М»А»С»
уже отмечена, 3»l’‘.
Фронтальная проекция М»
лежит выше фронтальной проекции 3»,
следовательно, точка М
видима относительно π₁.
Точка 3
лежит на l,
следовательно, от М’≡3′
до
К’,
горизонтальная проекция l’
невидима. В горизонтальной проекции К’
видимость
меняется на противоположную. За границами
ΔАВС
прямая l
везде
видима.

Рис.76

Взаимное расположение прямых линий и плоскостей

Прямые
и плоскости могут быть параллельны или
перпендикулярны друг другу.

Параллельность
прямой и плоскости.

Прямая
параллельна плоскости, если она
параллельна прямой, лежащей в этой
плоскости.

Плоскость
задана ΔАВС.
Через (∙)D
провели прямую l
. Прямая l
|| ВС
(рис.77).

Рис.77

Параллельность
плоскостей

Две
плоскости параллельны между собой, если
две пересекающиеся прямые одной плоскости
параллельны двум пересекающимся прямым
другой плоскости.

Плоскость
задана двумя параллельными прямыми а
и b.
В этой плоскости проведем прямую 12.

Через
(∙)К
проведем две пересекающиеся прямые l
и n.
Прямая а
|| l,
прямая 12
|| n.
Эти две плоскости параллельны (рис.78).

Рис.78

Перпендикулярность
прямой и плоскости.

Прямая
перпендикулярна плоскости, если она
перпендикулярна двум пересекающимся
прямым, лежащим в этой плоскости. А так
как прямой угол, у которого одна из
сторон параллельна плоскости проекций,
проецируется ортогонально на эту
плоскость в прямой угол, то, следовательно,
горизонтальная проекция перпендикуляра
к плоскости перпендикулярна к
горизонтальной проекции горизонтали,
а фронтальная проекция — к фронтальной
проекции фронтали.

На
рис.79 показано построение прямой,
проведенной из точки D
(D’, D»)
перпендикулярно плоскости ΔАВС.
Прямая l перпендикулярна плоскости α,
если l’
┴ h ‘(h_0α),
l»┴ f» (f_0α).

Рис.79

На
рис.80 показано построение ┴ из (•) D
к плоскости, заданной следами.

Рис.80

Соседние файлы в папке Компьютерная графика

• #
• #

  15.03.20153.99 Mб11Геометрическое черчение учебно-методическое пособие.wbk

• #

Точка пересечения прямой и плоскости онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти точку пересечения прямой и плоскости. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения координат точки пересечения прямой и плоскости задайте вид уравнения прямой («канонический» или «параметрический» ), введите данные в уравнения прямой и плоскости и нажимайте на кнопку «Решить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Точка пересечения прямой и плоскости − теория, примеры и решения

1. Точка пересечения плоскости и прямой, заданной в каноническом виде

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямая L₁:

,

(1)

и плоскость α:

где M₁(x₁, y₁, z₁) − точка, лежащая на прямой L₁, q₁={m₁, p₁, l₁} − направляющий вектор прямой L₁, а n={A,B,C} − нормальный вектор плоскости α.

Найти точку пересечения прямой L₁ и плоскости α (Рис.1).

Запишем уравнение (1) в виде системы двух линейных уравнений:

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (3) и (4):

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

Решим систему линейных уравнений (2), (5), (6) с тремя неизвестными x, y, z. Для этого в уравнении (2) переведем свободный член в правую часть уравнения и запишем эту систему в матричном виде:

Как решить систему линейных уравнений (11)(или (2), (5), (6)) посмотрите на странице Метод Гаусса онлайн или на примерах ниже. Если система линейных уравнениий (7) несовместна, то прямая L₁ и плоскость α не пересекаются. Если система (7) имеет множество решений, то прямая L₁ лежит на плоскости α. Единственное решение системы линейных уравнений (7) указывает на то, что это решение определяет координаты точки пересечения прямой L₁ и плоскости α.

Замечание. Если прямая задана параметрическим уравнением, то уранение прямой нужно приводить к каноническому виду и применить метод, описанный выше, или же

2. Точка пересечения плоскости и прямой, заданной в параметрическом виде.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат задана прямая L₁ в параметрическом виде:

и плоскость α:

где M₁(x₁, y₁, z₁) − точка, лежащая на прямой L₁, q₁={m₁, p₁, l₁} − направляющий вектор прямой L₁, а n={A,B,C} − нормальный вектор плоскости α.

Задачу нахождения нахождения точки пересечения прямых L₁ и плоскости α можно решить разными методами.

Метод 1. Приведем уравнения прямой L₁ к каноническому виду.

Для приведения уравнения (8) к каноническому виду, выразим параметр t через остальные переменные:

Так как левые части уравнений (10) равны, то можем записать:

Далее, для нахождения точки пересечения прямой и плоскости нужно воспользоваться параграфом 1.

Метод 2. Для нахождения точки пересечения прямой L₁ и плоскости α решим совместно уравнения (8) и (9). Из уравнений (8) подставим x, y, z в (9):

Откроем скобки и найдем t:

Если числитель и знаменатель в уравнении (14) одновременно равны нулю, то это значит, что прямая L₁ лежит на полскости α. Если в уравнении (14) числитель отличен от нуля, а знаменатель равен нулю, то прямая и плоскость параллельны.

Если же числитель и знаменатель в уравнении (14) отличны от нуля, то прямая и плоскость пересекаются в одной точке. Для нахождения координат точки пересечения прямой L₁ и плоскости α подставим полученное значение t из (14) в (8).

3. Примеры нахождения точки пересечения прямой и плоскости.

Пример 1. Найти точку пересечения прямой L₁:

и плоскости α:

Представим уравнение (15) в виде двух уравнений:

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (17) и (18):

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

Упростим:

Для нахождения точки пересечения прямой L₁ и плосклсти α нужно решить совместно уравнения (2), (19) и (20). Для этого переведем в уравнении (2) свободный член на правую сторону уравнения и построим матричное уравнение для системы линейных уравнений (2), (19) и (20):

Решим систему линейных уравнений (21) отностительно x, y, z. Для решения системы, построим расширенную матрицу:

Обозначим через a_ij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Первый этап. Прямой ход Гаусса.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a_{1 1}. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на −7/3:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a₂₂. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на 4/3:

Второй этап. Обратный ход Гаусса.

Исключим элементы 3-го столбца матрицы выше элемента a₃₃. Для этого сложим строку 2 со строкой 3, умноженной на −3/2:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше элемента a₂₂. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на 1/2:

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

Запишем решение:

Ответ. Точка пересечения прямой L₁ и плоскости α имеет следующие координаты:

Пример 2. Найти точку пересечения прямой L₁:

и плоскости α:

Представим уравнение (22) в виде двух уравнений:

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (24) и (25):

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

Упростим:

Для нахождения точки пересечения прямой L₁ и плосклсти α нужно решить совместно уравнения (2), (26) и (27). Переведем в уравнении (2) свободный член на правую сторону уравнения и построим матричное уравнение для системы линейных уравнений (2), (26) и (27):

Решим систему линейных уравнений (21) отностительно x, y, z. Для этого построим расширенную матрицу:

Обозначим через a_ij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a₁₁. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на 6/5:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a₂₂. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на −1/5:

Из расширенной матрицы восстановим систему линейных уравнений:

Легко можно заметить, что последнее уравнение в (29) несовместна, так как несуществуют такие x, y, z чтобы выполнялось это равенство. Следовательно система линейных уравнений (2), (26) и (27) несовместна. Тогда прямая L₁ и плоскость α не пересекаются, т.е. они параллельны.

Ответ. Прямая L₁ и плоскость α параллельны, т.е. не имеют общую точку.

Пример 3. Найти точку пересечения прямой в параметрическом виде L₁:

и плоскости α:

Решение. Для нахождения точки пересечения прямой L₁ и плоскости α нужно найти такое значение t, при котором точка M(x, y, z) удовлетворяет уравнению (31). Поэтому подставим значения x, y, z из (30) в (31):

Откроем скобки:

Упростив уравнение, получим:

Как видим, любое значение t удовлетворяет уравнению (33), т.е. любая точка на прямой L₁ удовлетворяет уравнению плоскости α. Следовательно прямая L₁ лежит на плоскости α.

Ответ. Прямая L₁ лежит на плоскости α.

3.7. Пересечение прямой и плоскости

Линия пересечения двух плоскостей – прямая линия. Рассмотрим сначала частный случай (рис. 3.9), когда одна из пересекающихся плоскостей параллельна горизонтальной плоскости проекций (α π₁, f⁰_α Х). В этом случае линия пересечения а, принадлежащая плоскости α, будет также параллельна плоскости π₁, (рис. 3.9. а), т. е. будет совпадать с горизонталью пересекающихся плоскостей (а ≡ h).

Если одна из плоскостей параллельна фронтальной плоскости проекций (рис. 3.9. б), то линия пересечения а, принадлежащая этой плоскости, будет параллельна плоскости π₂ и будет совпадать с фронталью пересекающихся плоскостей (а ≡ f).

.

а

.

б

Рис. 3.9. Частный случай пересечения плоскости общего положения с плоскостями: а – горизонтального уровня; б – фронтального уровня

Пример построения точки пересечения (К) прямой а (АВ) с плоскостью α (DEF) показан на рис. 3.10. Для этого прямая а заключена в произвольную плоскость β и определена линия пересечения плоскостей α и β.

В рассматриваемом примере прямые АВ и MN принадлежат одной плоскости β и пересекаются в точке К, а так как прямая MN принадлежит заданной плоскости α (DEF), то точка К является и точкой пересечения прямой а (АВ) с плоскостью α. (рис. 3.11).

.

Рис. 3.10. Построение точки пересечения прямой с плоскостью

Для решения подобной задачи на комплексном чертеже необходимо уметь находить точку пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения.

Рассмотрим пример нахождения точки пересечения прямой АВ c плоскостью треугольника DEF представленный на рис. 3.11.

Для нахождения точки пересечения через фронтальную проекцию прямой А₂В₂ проведена фронтально-проецирующая плоскость β которая пересекла треугольник в точках M и N. На фронтальной плоскости проекций (π₂) эти точки представлены проекциями M₂, N₂. Из условия принадлежности прямой плоскости на горизонтальной плоскости проекций (π₁) находятся горизонтальные проекции полученных точек M₁ N₁. В пересечении горизонтальных проекций прямых А₁В₁ и M₁N₁ образуется горизонтальная проекция точки их пересечения (К₁). По линии связи и условиям принадлежности на фронтальной плоскости проекций находится фронтальная проекция точки пересечения (К₂).

.

Рис. 3.11. Пример определения точки пересечения прямой и плоскости

Видимость отрезка АВ относительно треугольника DEF определена методом конкурирующих точек.

На плоскости π₂ рассмотрены две точки NEF и 1АВ. По горизонтальным проекциям этих точек можно установить, что точка N расположена ближе к наблюдателю (Y_N>Y₁ ), чем точка 1 (направление луча зрения параллельно S). Следовательно, прямая АВ, т. е. часть прямой АВ (К₁) закрыта плоскостью DEF на плоскости π₂ (ее проекция К₂1₂ показана штриховой линии). Аналогично установлена видимость на плоскости π₁.

Вопросы для самоконтроля

1)    В чем заключается сущность метода конкурирующих точек?

2)    Какие свойства прямой вы знаете?

3)    Каков алгоритм определения точки пересечения прямой и плоскости?

4)    Какие задачи называются позиционными?

5)    Сформулируйте условия принадлежности прямой плоскости.