Как найти точки симметрии относительно начало координат

Выясним, как связаны между собой координаты симметричных точек и рассмотрим на примерах, как найти координаты точки, симметричной данной точке.

I. Две точки A(x_A;y_A) и B(x_B;y_B) симметричны относительно точки O(x_O;y_O), если точка O является серединой отрезка AB.

По формулам координаты середины отрезка получаем связь координат этих точек:

Координаты точек, симметричных относительно начала координат — точки O(0;0) — противоположные числа.

То есть координаты точки B, симметричной точке A относительно начала координат, отличаются от  координат точки A только знаками:

A(a;b) и B(-a;-b) — точки, симметричные относительно начала координат.

Примеры.

1) Найти точку, симметричную точке A(-3;7) относительно точки F(5; 11).

Решение:

Пусть B(x_B;y_B) — точка, симметричная точке A относительно точки F. Тогда

Ответ: (13;15).

2) Найти точку, симметричную точке C (9;-4) относительно начала координат.

Решение:

Точка D, симметричная точке C относительно начала координат, имеет координаты, противоположные координатам точки C: D(-9;4).

Ответ: (-9;4).

II. Две точки A(x_A;y_A) и B(x_B;y_B) симметричны относительно прямой g, если эта прямая проходит через середину отрезка AB и перпендикулярна к нему.

Таким образом, чтобы найти координаты точки B, симметричной данной точке A относительно прямой g, можно:

• Написать уравнение прямой f, перпендикулярной прямой g, проходящей через точку A.
• Найти точку O пересечения прямых f и g.
• Зная конец отрезка A и его середину O найти другой конец B.

Пример

Найти точку, симметричную точке A(-4;5) относительно прямой y=2x+4.

Решение:

Уравнение прямой, перпендикулярной данной прямой y=2x+4, ищем в виде y=-0,5x+b. Так как эта прямая проходит через точку A, координаты A удовлетворяют уравнению прямой:

5=-0,5·(-4)+b, откуда b=3.

Таким образом, y=-0,5x+3 — прямая, перпендикулярная прямой y=2x+4 и проходящая через точку A.

Найдём координаты точки пересечения прямых:

Значит точка B(3,2;1,4) симметрична точке A(-4;5) относительно прямой y=2x+4.

Ответ: (3,2;1,4).

Координаты точек, симметричных относительно осей координат и биссектрис координатных четвертей — прямых y=x и y=-x — находятся проще:

Глава
3. Геометрические преобразования

Пусть
дана прямоугольная система координат

на плоскости или

в пространстве. В теории геометрических
преобразований рассматриваются две
основные задачи, которые мы назовём
задачами А и Б. Сформулируем эти задачи
для случая плоскости, для пространства
они формулируются аналогично.

Задача
А. Пусть
система координат изменилась (например,
претерпела сдвиг или поворот на некоторый
угол) и

– новая система координат. Каждая точка

имеет определённые координаты

в старой (исходной) системе координат
и какие-то координаты

в новой системе координат

Требуется найти связь между новыми и
старыми координатами точки.

Задача
Б. Пусть
система координат

неизменна, а сама плоскость преобразуется,
т.е. точка

переходит в точку

Требуется установить связь между
координатами

и

В
каждом случае надо чётко представлять
себе, о какой задаче идёт речь. В задаче
А надо найти связь между координатами

и

одной и той
же точки в
разных
системах
координат, а в задаче Б – связь между
координатами

произвольной точки и координатами

её образа
при данном преобразовании. В обеих
задачах целью является получение формул,
выражающих

через

а также обратных
формул –

через

Позже средствами линейной алгебры эти
задачи будут разбираться в более общей
ситуации – для п-мерного
пространства.

Параллельный
перенос
системы координат

– преобразование, при котором начало
координат переходит в точку

а направления координатных осей
сохраняются. Связь между старыми и
новыми координатами произвольной точки
(решение задачи А) даётся формулами

(1)

Аналогичные формулы
справедливы для плоскости (см. рис. 1):

(2)

Рис.1.

Поворот
осей
координат
вокруг начала координат на угол

(решение задачи А) даётся формулами:

(3)

(см. рис. 2).

Рис.2.

Обратные
формулы получаются заменой

на

Приведём теперь
формулы для задачи Б.

Параллельный
перенос пространства
на вектор

задаётся формулами

(4)

Параллельный
перенос плоскости
(см. рис. 3) – формулами

(5)

Рис.3.

Поворот
плоскости
на угол

вокруг начала координат
– преобразование плоскости, при котором
каждая точка

переходит в такую точку

что угол между векторами

и

равен

(см. рис. 4).

Формулы поворота:

(6)

Примечание:
здесь речь идёт о направленном
угле, т.е. об
угле от

к

Поворот
плоскости на угол

вокруг точки

(7)

Симметрии
плоскости (или пространства) – это такие
преобразования плоскости (пространства),
при которых каждая точка

переходит в точку

симметричную точке

относительно точки, прямой или плоскости.
Разумеется, это является задачей Б.
Переход от системы координат к симметричной
системе (задача А) встречается весьма
редко и здесь рассматриваться не будет.

Формулы
симметрии плоскости: а) симметрия
относительно начала координат, б)
относительно оси

в) относительно точки

г) относительно прямой

а)

б)

в)

г)

формулы
симметрии пространства: а) относительно
начала координат, б) относительно оси

в) относительно плоскости

г) относительно плоскости

а)

б)

в)

г)

Для
симметрий относительно других осей
координат (координатных плоскостей) и
параллельных им прямых (соотв., плоскостей)
формулы пишутся аналогичным образом.
Приведём ещё формулу поворота пространства
на угол

вокруг оси

Симметрия
относительно прямой
(или
осевая
симметрия)
– преобразование плоскости, при котором
каждая точка

переходит в точку
,
расположенную симметрично

относительно
,
т.е.

и

лежат по разные стороны от

на одинаковом расстоянии от

на одном перпендикуляре к
.

Центральная
симметрия
(симметрия
относительно точки
):
если

то

Симметрия относительно точки

– это поворот плоскости на угол

вокруг точки
.

Решим две задачи
на преобразование координат.

Задача
1. Кривая
задана уравнением

Написать уравнение этой кривой в системе
координат: (а) параллельно перенесённой
на 2 единицы вправо и на 3 единицы вниз;
(б) повёрнутой относительно начала
координат на угол

Решение.
(а) Используя формулы (2), получим:


Напишем обратные формулы:


Подставим в уравнение кривой:

Это и будет уравнением кривой в новой
системе координат.

Задача
2. Написать
уравнение параболы

в системе координат, повёрнутой на

вокруг начала координат.

Решение.
Взяв в формулах


получим:


Подставим в уравнение

Отсюда получаем, что уравнение параболы

в новой системе координат таково:

Теперь
решим несколько задач на преобразование
плоскости или пространства.

Задача
3. Кривую

сдвинули на 4 единицы вправо, а затем на
4 единицы вверх. Написать уравнение
новой кривой.

Решение.
По формулам (5) получаем:


Отсюда получаем:

или

Таким образом, новая кривая имеет
уравнение

Задача
4. Найти образ
точки

при повороте плоскости на угол

вокруг начала координат.

Решение.
Пусть

– образ точки

Запишем формулы поворота (6) для угла

Подставим
в эти формулы


Получим:


Следовательно,

Задача
5. Дана прямая


Составить уравнение прямой, симметричной
прямой

а) относительно начала координат; б)
относительно оси

в) относительно прямой

г) относительно прямой

Решение.
Симметрия
относительно начала координат задаётся
формулами


(формулы (8а)). Подставим в уравнение
прямой

вместо

и

вместо

Получим:

Отсюда следует, что

Значит, уравнение симметричной прямой
таково:

б) Применяя формулы (8б), получим:

в) Симметрия относительно прямой

задаётся формулами


Поэтому следует подставить в уравнение
прямой

вместо

и

вместо

Мы получим:

Окончательно получаем:

г) Симметрия относительно прямой

определяется формулами


Отсюда нетрудно получить уравнение
симметричной прямой:

Задача
6. Найти образ
прямой

а) при повороте плоскости на угол

вокруг точки

б) при симметрии плоскости относительно
точки

в) при симметрии плоскости относительно
прямой

Решение.
а) Применяя формулы, обратные формулам
(7), получим:


Подставим в уравнение прямой:

Приводя
подобные члены и убирая штрихи, получим
окончательно:

б)
Используя формулы (8в), получим:


Подставим в уравнение прямой:

т.е.

Убирая штрихи, получим окончательно:

в) Заменим

на


на

получим:

После приведения подобных членов и
удаления штрихов получим:

Задача
7. Написать
формулы симметрии плоскости относительно
прямой

Решение.
Пусть

– произвольная точка плоскости,

– её образ при симметрии относительно
прямой

Тогда

Очевидно,

– направляющий вектор этой прямой.
Точку

можно найти из следующих условий: 1)
точка с координатами

(середина отрезка
)
принадлежит прямой

2)

Запишем эти условия в виде системы
уравнений:

Решив
эту систему, получим:


Это и есть формулы симметрии.

Задача
8. Дан центр
квадрата:

и уравнение
одной его стороны:

Составить уравнения других сторон
квадрата.

Решение.
Две стороны (смежные) получаются
поворотом плоскости вокруг точки

на

и
а
третья сторона (противоположная) –
поворотом на

или, что то же самое, – симметрией
относительно точки

Найдём сначала уравнения смежных сторон.
Запишем формулы поворота:

Отсюда
получаем:


т.е.

или

Подставим
оба варианта в уравнение прямой: а)

б)
Упростив и удалив штрихи, получим: а)
б)

Найдём
теперь уравнение противоположной
стороны. Запишем формулы симметрии
плоскости относительно точки



Подставим эти формулы в уравнение
прямой:

Упростив и удалив штрихи, получим:

Задача
9. Найти образ
точки

при повороте пространства на угол

вокруг оси ординат.

Решение.
Формулы поворота пространства вокруг
оси

на плоскости

совпадают с формулами поворота этой
плоскости вокруг начала координат, т.е.
мы имеем:

Добавив
уравнение

и подставив

получим:

Взяв



вычислим




Следовательно, точка

– образ точки

при повороте.

Задача
10. Поверхность
задана уравнением

Составить уравнение поверхности,
симметричной данной относительно
плоскости

Решение.
Симметрия относительно плоскости

задаётся формулами



Подставим в уравнение поверхности:

Убрав штрихи, получим искомое уравнение:

Задачи для
самостоятельного решения

1. Точка
   
   имеет координаты
   
   в одной системе координат и
   
   в другой, получающейся из первоначальной
   параллельным переносом. Написать
   формулы, выражающие новые координаты
   произвольной точки через старые. Ответ:
   
   

2. Система
   координат повернулась на угол
   
   вокруг начала координат. Написать
   формулы поворота и уравнение прямой
   
   в новой системе координат. Ответ:
   
   
   

3. Плоскость
   повернулась на
   
   вокруг точки
   
   Написать формулы поворота. Ответ:
   
   

4. Написать
   формулы параллельного переноса
   пространства, при котором точка
   
   переходит в точку
   
   Ответ:
   
   
   

5. Написать
   уравнение кривой, полученной из кривой
   
   а) параллельным переносом на 2 вправо
   и на 3 вниз; б) симметрией относительно
   точки
   
   в) симметрией относительно прямой
   
   г) симметрией относительно прямой
   
   Ответ: а)
   
   б)
   
   в)
   
   г)
   

6. Поверхность
   задана уравнением
   
   Написать уравнение поверхности,
   полученной из данной: а) симметрией
   относительно оси
   
   б)симметрией относительно плоскости
   
   в) симметрией относительно точки
   
   Ответ: а)
   
   б)
   
   в)

7. Преобразование
   плоскости задано формулами
   
   
   Доказать, что это поворот; найти центр
   и угол поворота. Ответ: центр:
   
   угол:
   

   1. Дан
      центр правильного треугольника:
      
      и уравнение
      одной его стороны:
      
      Составить уравнения двух других
      сторон. Ответ:
      

   2. Написать
      формулы симметрии плоскости относительно
      прямой
      
      Ответ:
      
      

   3. Какое
      преобразование плоскости получится,
      если сначала сделать поворот на
      
      вокруг начала координат, а затем на
      
      вокруг точки
      
      Ответ: параллельный перенос на вектор
      

Соседние файлы в папке СРС

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Что значит симметричная точка относительно начала координат

Построить точку, симметричную точке A(x, y) относительно:
а) оси Ox,
б) оси Oy,
в) начала координат.

Две точки M₁ и M₂ называются симметричными относительно прямой, если отрезок M₁M₂ перпендикулярен этой прямой, причем его середина лежит на этой прямой.

Две точки M₁ и M₂ называются симметричными относительно точки O, если точка O является серединой отрезка M₁M₂.

а) Точка B, симметричная с точкой A(x, y) относительно оси Ox, имеет абсциссу такую же, как и точка A, а ординату, равную по абсолютной величине ординате точки A, но противоположную ей по знаку. Значит, точка B имеет координаты x и —y: B(x, —y) (см. рисунок).

б) Точка C, симметричная с точкой A(x, y) относительно оси Oy, будет иметь ординату такую же, как и точка A, а абсцисса точки C будет по абсолютной величине равна абсциссе точки A, но противоположна ей по знаку. Значит, точка C имеет координаты —x и y: C(-x, y) (см. рисунок)

в) Точка D, симметричная точке A(x, y) относительно начала координат, будет иметь абсциссу и ординату, равные по абсолютной величине абсциссе и ординате точки A, но противоположные им по знаку, т. е. координаты точки D будут равны —x и —y: D(-x, —y) (см. рисунок).

Источник

Урок по теме «Симметрия на координатной плоскости»

Разделы: Математика

Основные цели урока: тренировать способность к определению координат точек и построению точек по их координатам; выявить взаимосвязь между координатами точек симметричных относительно начала координат и повторить взаимосвязь между координатами точек симметричных относительно координатных осей.

Перед началом урока учитель собирает творческое домашнее задание: на альбомных листах учащиеся оформляли свои рисунки по координатам.

Ход урока

1. Самоопределение к деятельности.

– Я вижу у вас хорошее настроение и боевой настрой. Они нам очень пригодятся. Сегодня у нас пройдёт необычный урок – Морское путешествие. Дело в том, что вчера на сайте нашей школы появился сигнал бедствия от Робинзона Крузо. Он просит помочь ему построить парусник, на котором он смог бы вернуться домой. Чтобы спасти его, нам надо преодолеть большое расстояние. Давайте посмотрим на карту нашего путешествия.

Маршрут: Бухта знаний – Залив Исторический – Остров сокровищ – Школа Робинзона Крузо – Мыс Настроения – Бухта знаний.

– Итак, мы отправляемся в путь, но чтобы не сбиться с маршрута, преодолеть все рифы и подводные течения, нам необходимо внимательно следить за координатами нашего корабля. Давайте вспомним, какую тему мы недавно начали изучать? (Координатная плоскость).

– Чтобы преодолеть залив Исторический и не разбиться о его скалистые берега, давайте вспомним как давно появилось понятие координатной плоскости, и кто впервые ввёл его? ( Рене Декарт.)

– Что вам о нём известно? Тогда давайте обратимся к нашей энциклопедии.

– Из чего же состоит координатная плоскость?

Вызвать ученика. (Весь класс помогает: две пересекающиеся под прямым углом прямые – оси абсцисс и ординат, точка их пересечения – начало отсчёта, стрелочки – указывают положительное направление осей, единичный отрезок.) Ученик заполняет маркером пустые места на координатной плоскости. Оценка.

– Сколько углов образовалось при построении координатной плоскости? (четыре) Как они называются? (координатные углы или координатные четверти). Покажите, как они расположены.

Ученик нумерует маркером углы и указывает координаты точек в этих углах схематично с помощью знаков “+” и “-”.

– Как с помощью неравенств записать знаки координат точек в каждом из углов? Ученики обсуждают в парах и предлагают свои варианты, из которых выбирается верный.

I. x>0, y>0
II. x 0
III. x 0, y 27.01.2012

Источник

Осевая и центральная симметрия

О чем эта статья:

Что такое симметрия

Симметрия — это соразмерность, пропорциональность частей чего-либо, расположенных по обе стороны от центра. Говоря проще, если обе части от центра одинаковы, то это симметрия.

Ось симметрии фигуры — это прямая, которая делит фигуру на две симметричные части. Чтобы наглядно понять, что такое ось симметрии, внимательно рассмотрите рисунок.

Центр симметрии — это точка, в которой пересекаются все оси симметрии.

Вернемся к рисунку: на нем мы видим фигуры, имеющие ось и центр симметрии.

Рассмотрите фигуры с осевой и центральной симметрией.

• Ось симметрии угла — биссектриса.
• Ось симметрии равностороннего треугольника — биссектриса, медиана, высота.
• Оси симметрии прямоугольника проходят через середины его сторон.
• У ромба две оси симметрии — прямые, содержащие его диагонали.
• У квадрата 4 оси симметрии, так как он сразу и квадрат, и ромб.
• Ось симметрии окружности — любая прямая, проведенная через ее центр.

Витрувианский человек да Винчи — хрестоматийный пример симметрии. Принято считать, что, чем предмет симметричнее, тем он красивее. Хотя, по секрету, в природе нет ничего абсолютно симметричного, так уж задумано. Вся идеальная симметрия — дело рук человека.

Осевая симметрия

Вот как звучит определение осевой симметрии:

Осевой симметрией называется симметрия, проведенная относительно прямой. При осевой симметрии любой точке, расположенной по одну сторону прямой, всегда соответствует другая точка на второй стороне этой прямой.

При этом отрезки, соединяющие эти точки, перпендикулярны оси симметрии.

Осевая симметрия часто встречается в повседневной жизни. К сожалению, не на фото в паспорте и не в стрелках на глазах. Но её вполне себе можно встретить в половинках авокадо, на морде кота или в зданиях вокруг. Осевая симметрия — неотъемлемая часть архитектуры. Оглядитесь и поищите примеры осевой симметрии вокруг вас.

В геометрии есть фигуры, обладающие осевой симметрией: квадрат, треугольник, ромб, прямоугольник.

Давайте разберемся, как построить фигуру, симметричную данной относительно прямой.

Пример 1. Постройте треугольник A₁B₁C₁ ,симметричный треугольнику ABC относительно прямой.

1. Проведем из вершин треугольника ABC три прямые, перпендикулярные оси симметрии, выведем эти прямые на другую сторону оси симметрии.
2. Найдем расстояние от вершин треугольника ABC до точек на оси симметрии.
3. С другой стороны прямой отложим такие же расстояния.
4. Соединяем точки отрезками и строим треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC.
5. Получаем два треугольника, симметричных относительно оси симметрии.

Пример 2. Постройте треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно прямой d.

1. Строим по уже известному алгоритму. Проводим прямые, перпендикулярные прямой d, из вершин треугольника ABC и выводим их на другую сторону оси симметрии.
2. Измеряем расстояние от вершин до точек на прямой.
3. Откладываем такие же расстояния на другой стороне оси симметрии.
4. Соединяем точки и строим треугольник A₁B₁C₁.

Пример 3. Построить отрезок A₁B₁, симметричный отрезку AB относительно прямой l.

1. Проводим через точку А прямую, перпендикулярную прямой l.
2. Проводим через точку В прямую, перпендикулярную прямой l.
3. Измеряем расстояния от точек А и В до прямой l.
4. Откладываем такое же расстояние на перпендикулярных прямых от прямой l по другую сторону и ставим точки A₁ и B₁.
5. Соединяем точки A₁ и B₁.

Больше примеров и увлекательных заданий — на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart!

Центральная симметрия

Теперь поговорим о центральной симметрии — вот ее определение:

Центральной симметрией называется симметрия относительно точки.

Фигуры с центральной симметрией, как и фигуры с осевой симметрией, окружают нас повсюду. Центральную симметрию можно заметить в живой природе, в разрезе фруктов и в цветах.

Давайте разберемся, как построить центральную симметрию и рассмотрим алгоритм построения фигур с центральной симметрией.

Пример 1: Постройте треугольник A₁B₁C₁ ,симметричный треугольнику ABC, относительно центра (точки О).

1. Соединяем точки ABC c центром и выводим эти прямые на другую сторону оси.
2. Измеряем отрезки AO, BO, CO и откладываем равные им отрезки с другой стороны от центра (точки О).
3. Получившиеся точки соединяем отрезками A₁B₁ A₁C₁ B₁C₁.
4. Получаем треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC, относительно центра.

Пример 2. Построить отрезок A₁B₁, симметричный отрезку AB относительно центра (точки О).

1. Измеряем расстояние от точки B до точки О и от точки А до точки О.
2. Проводим прямую из точки А через точку О и выводим ее на другую сторону.
3. Проводим прямую из точки B через точку О и выводим ее на другую сторону.
4. Чертим на противоположной стороне отрезки А₁О и B₁О, равные отрезкам АО и АB.
5. Соединяем точки A₁ и B₁ и получаем отрезок A₁B₁, симметричный данному.

Задачи на самопроверку

В 8 классе геометрия — сплошная симметрия: центральная, осевая, зеркальная да какая угодно. Чтобы во всем этом не поплыть, больше тренируйтесь. Чертите и приглядывайтесь, угадывайте вид симметрии и решайте больше задачек. Вот несколько упражнений для тренировки. Мы в вас очень верим!

Задачка 1. Рассмотрите симметричные геометрические рисунки и назовите вид симметрии.

Мы рассмотрели примеры осевой и центральной симметрии и знаем, что:

Симметрия относительно прямой — осевая
Симметрия относительно точки — центральная

Задачка 2. Пусть M и N какие-либо точки, l — ось симметрии. М₁ и N₁ — точки,
симметричные точкам M и N относительно прямой l. Докажите, что MN = М₁N₁.

Подсказка: опустите перпендикуляры из точек N и N₁ на прямую MМ₁.

Задачка 3. Постройте фигуру, симметричную данной относительно прямой a.

Источник

Координаты симметричных точек

Выясним, как связаны между собой координаты симметричных точек и рассмотрим на примерах, как найти координаты точки, симметричной данной точке.

По формулам координаты середины отрезка получаем связь координат этих точек:

Координаты точек, симметричных относительно начала координат — точки O(0;0) — противоположные числа.

То есть координаты точки B, симметричной точке A относительно начала координат, отличаются от координат точки A только знаками:

A(a;b) и B(-a;-b) — точки, симметричные относительно начала координат.

1) Найти точку, симметричную точке A(-3;7) относительно точки F(5; 11).

Пусть B(x_B;y_B) — точка, симметричная точке A относительно точки F. Тогда

2) Найти точку, симметричную точке C (9;-4) относительно начала координат.

Точка D, симметричная точке C относительно начала координат, имеет координаты, противоположные координатам точки C: D(-9;4).

II. Две точки A(x_A;y_A) и B(x_B;y_B) симметричны относительно прямой g, если эта прямая проходит через середину отрезка AB и перпендикулярна к нему.

Таким образом, чтобы найти координаты точки B, симметричной данной точке A относительно прямой g, можно:

• Написать уравнение прямой f, перпендикулярной прямой g, проходящей через точку A.
• Найти точку O пересечения прямых f и g.
• Зная конец отрезка A и его середину O найти другой конец B.

Найти точку, симметричную точке A(-4;5) относительно прямой y=2x+4.

Уравнение прямой, перпендикулярной данной прямой y=2x+4, ищем в виде y=-0,5x+b. Так как эта прямая проходит через точку A, координаты A удовлетворяют уравнению прямой:

Таким образом, y=-0,5x+3 — прямая, перпендикулярная прямой y=2x+4 и проходящая через точку A.

Значит точка B(3,2;1,4) симметрична точке A(-4;5) относительно прямой y=2x+4.

Координаты точек, симметричных относительно осей координат и биссектрис координатных четвертей — прямых y=x и y=-x — находятся проще:

Источник

Сегодня на уроке мы вспомним понятия отображения
плоскости на себя, движение плоскости, вспомним основные понятия центральной
симметрии. Введём понятия отображения пространства и движение пространства,
центральной симметрии в пространстве. Определим, будет ли центральная симметрия
в пространстве – движением пространства.

Мы уже с вами знакомы с таким понятием, как
движение. Давайте вспомним, что мы называли движением.

Движением
мы называли любое отображение плоскости, которое сохраняет расстояние между
точками.

Отображение
плоскости на себя определяли так: если каждой точке плоскости
ставится в соответствие какая-то точка этой же плоскости, причём любая точка
плоскости оказывается сопоставленной некоторой точке, то говорят, что дано отображение
плоскости на себя.

Эти определения мы давали для движения на плоскости.
Но в стереометрии мы говорим о пространстве, значит, надо определить, что
называется движением пространства.

Но сначала давайте определим, что такое отображение
пространства на себя.

Определение:

Пусть каждой точке  пространства
поставлена в соответствие некоторая точка ,
причем любая точка пространства
оказалась поставленной в соответствие какой-то точке .
Тогда говорят, что задано отображение пространства на себя. При
данном отображении точка  переходит
(отображается) в точку .

Определение:

Под движением пространства понимается
отображение пространства на себя, при котором любые две точки пространства  и
 отображаются
в какие-то точки  и
 так,
что .

По-другому можно сказать, что движение
пространства – это отображение пространства на себя, сохраняющее
расстояние между точками.

Теперь давайте вспомним, какие фигуры обладают центральной
симметрией.

Определение:

Фигура называется симметричной относительно
точки ,
если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки  также
принадлежит этой фигуре. Точка называется
центром симметрии фигуры.

Примерами
центрально симметричных фигур можно назвать некоторые цветы:

В геометрии яркими примерами центрально симметричных
фигур являются окружность (центр симметрии – центр окружности) и параллелограмм
(центром симметрии является точка пересечения диагоналей).

Ещё мы давали такое определение:

Точки  и
 называются
симметричными относительно точки ,
если  –
середина отрезка .

Точка  называется
центром симметрии.

Точка  считается
симметричной сама себе.

В курсе планиметрии мы доказывали, что центральная
симметрия является движением.

Напомним это доказательство.

Рассмотрим точки М и N
и точки М₁ и N
₁
симметричные точкам М и N
относительно точки О.

Рассмотрим треугольники М NО
и М₁ОN₁.

То есть при центральной симметрии сохраняется
расстояние между точками. Тогда по определению движения, получим, что и центральная
симметрия является движением.

Определение:

В пространстве центральной симметрией
мы назовём отображение пространства на себя, при котором любая точка  переходит
в симметричную ей точку  относительно
данного центра .

Теперь давайте докажем, что и в пространстве
центральная симметрия является движением.

Пусть О – центр симметрии. Введём прямоугольную
систему координат Оxyz с началом в
точке О. Теперь давайте попробуем установить связь между координатами двух
точек М (x, y,
z) и М₁(x₁,
y₁,
z₁),
симметричных относительно точки О.

Если точка М не совпадает с точкой О, то по
определению центральной симметрии О – середина отрезка ММ₁. Тогда
координаты точки О можно вычислить по формулам координат середины отрезка. С
другой стороны, поскольку О – начало координат, значит, точка О имеет
координаты 0, 0, 0. То есть получим, что ,
,
.

Если точки М и О совпадают, тогда точка М₁
также совпадает с точкой О, потому что точка О – центр симметрии, а, значит,
она отображается сама на себя. И в этом случае будут выполнятся равенства,
,
.

Теперь давайте рассмотрим две точки  и
.

По только что доказанным формулам для координат
симметричных точек получим, что точка .
Точка .

Теперь давайте найдём расстояние .
Получим, что расстояние между точками ,
 равно:

Теперь давайте найдём расстояние между точками  и
.

Очевидно, что оба эти выражения равны, то есть
получим, что .

Вывод: расстояние между
точками при центральной симметрии в пространстве сохраняется, значит,
центральная симметрия в пространстве также является движением, но
уже не плоскости, а пространства.

Рассмотрим несколько задач.

Задача:
найти координаты точек, в которые переходят точки ,
,
 при
центральной симметрии относительно начала координат.

Решение: воспользуемся
формулами для вычисления координат симметричных точек.

Если точка  симметрична
точке  то
справедливы формулы:

.

Тогда получим, что точка  отобразится
в точку .

Точка  отобразится
в точку .

Точка  отобразится
в точку .

Решим ещё одну задачу.

Задача:
доказать, что при центральной симметрии прямая, не проходящая через центр
симметрии, отображается на параллельную ей прямую.

Доказательство. Пусть
прямая  не
проходит через центр симметрии О. Построим точки симметричные точкам  и
 относительно
точки О.

Рассмотрим  и
.
По определению центральной симметрии точка О – середина отрезков АА₁
и ВВ₁, то есть  и
.

Углы  как вертикальные, то
есть треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.

Тогда получим, что .
Эти углы являются накрестлежащими для прямых  и
 при
секущей .
Тогда по признаку параллельности прямых получим, что прямые .
Что и требовалось доказать.

Итоги:

Сегодня на уроке мы вспомнили понятия отображения
плоскости на себя, движение плоскости, вспомнили основные понятия центральной
симметрии. Ввели понятия отображения пространства и движение пространства,
центральной симметрии в пространстве. Показали, что и в пространстве
центральная симметрия будет примером движения.