Как найти тип дифференциального уравнения

Пример 1:

Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:

Решение от преподавателя:

Пример 2:

Определить тип дифференциального уравнения первого порядка и найти его общее решение:

Решение от преподавателя:

Пример 3:

Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:

Решение от преподавателя:

Пример 4:

Дано дифференциальное уравнение 1-го порядка. Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение.

Решение от преподавателя:

Это однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка, так как множители при dx и dy – одинаковой 2-й степени. Сделаем замену переменных

Пример 5:

Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:

Решение от преподавателя:

Пример 6:

Определить тип дифференциального уравнения первого порядка и найти его общее решение:

y» + 4y’  = 2sin 5x .

Решение от преподавателя:

Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: 
r2 +4 r + 0 = 0 
D=42 — 4*1*0=16 
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=r_%7b1%7d%20=%20frac%7b-4%2B4%7d%7b2cdot%201%7d%20=%200
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=r_%7b2%7d%20=%20frac%7b-4-4%7d%7b2cdot%201%7d%20=%20-4
Корни характеристического уравнения
r1 = 0 
r2 = -4 
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: 
y1 = e0x 
y2 = e-4x 
Общее решение однородного уравнения имеет вид: 
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=overline%7by%7d%20=%20C_%7b1%7d%20%2B%20C_%7b2%7de%5e%7b-4x%7d
Рассмотрим правую часть: 
f(x) = 2*sin(5*x) 
Поиск частного решения. 
Здесь P(x) = 0, Q(x) = 2, α = 0, β = 5. 
Следовательно, число α + βi = 5i не является корнем характеристического уравнения. 
Уравнение имеет частное решение вида: 
y = Acos(5x) + Bsin(5x) 
Вычисляем производные: 
y’ = -5Asin(5x)+5Bcos(5x) 
y» = -25(Acos(5x)+Bsin(5x)) 
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение: 
y» + 4y’ = (-25(Acos(5x)+Bsin(5x))) + 4(-5Asin(5x)+5Bcos(5x)) = 2sin(5x) 
или 
-20Asin(5x)-25Acos(5x)-25Bsin(5x)+20Bcos(5x) = 2sin(5x) 
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений: 
1: -20A -25B = 2 
1: -25A + 20B = 0 
Решая ее, находим: 
A = -8/205;B = -2/41
Частное решение имеет вид: 
y=-8/205cos(5x) —2/41sin(5x) 
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид: 
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=y%20=%20overline%7by%7d%20%2B%20y%5e%7bcdot%20%7d%20=%20C_%7b1%7d%20%2B%20C_%7b2%7de%5e%7b-4x%7d%20%20-%7b8%20over%20205%7dcos(5x)%20-%7b2%20over%2041%7dsin(5x)

Пример 7:

Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:

Решение от преподавателя:


Пример 8:

Определить тип и решить дифференциальное уравнения:

Решение от преподавателя:

Пример 9:

Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:

Решение от преподавателя:


Пример 10:

Дано дифференциальное уравнение 2-го порядка и начальные условия. Определить тип дифференциального уравнения инайти его частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Решение от преподавателя:

Это дифференциальное уравнение 2-го порядка, допускающее понижение порядка, так как в него не входит искомая функция у. Порядок уравнения понижаем, взяв за новую неизвестную функцию первую производную, т.е.

Тогда

частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Пример 11:

Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:

Решение от преподавателя:

Пример 12:

Определить тип и решить дифференциальное уравнения:

Решение от преподавателя:

Пример 13:

Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:

Решение от преподавателя:

Это неоднородное уравнение. Сделаем замену переменных:

y=u*v, y’ = u’v + uv’.
u*v/x+u*v’+u’v = ln(x)
или
u(v/x+v’) + u’v= ln(x)
Выберем переменную v так, чтобы выполнялись условия:
1. u(v/x+v’) = 0
2. u’v = ln(x)
1. Приравниваем u=0, находим решение для:
v/x+v’ = 0
Представим в виде:
v’ = -v/x
Преобразуем уравнение так, чтобы получить уравнение с разделяющимися переменными:

Интегрируя, получаем:

ln(v) = -ln(x)
v = 1/x
2. Зная v, Находим u из условия: u’*v = ln(x)
u’/x = ln(x)
u’ = x*ln(x)
Интегрируя, получаем:

Из условия y=u*v, получаем:
y = u*v = 1/x(C+x2/2ln(x)-x2/4)
или
y = C/x+x/2ln(x)-x/4

Пример 14:

Дано дифференциальное уравнение 2-го порядка. Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение, используя метод вариации произвольных постоянных.

Решение от преподавателя:

Составим  и решим характеристическое уравнение для однородного уравнения:

Пример 15:

Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:

Решение от преподавателя:

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r2 +0 r + 0 = 0
D=02 — 4*1*0=0


Корни характеристического уравнения:
Корень характеристического уравнения r1 = 0 кратности 2.
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y1 = e0x
y2 = xe0x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Поиск частного решения методом вариации произвольной постоянной.
Для нахождения производных C’i составляем систему уравнений:
C’1 + C’2 x = 0
C’1(0) + C’2(1) = x*sin(x)
Выразим C’1 из первого уравнения:
C’1 = -c2x
и подставим во второе. В итоге получаем:
C’1 = -x2sin(x)
C’2 = x*sin(x)
Интегрируем полученные функции C’i:
C1 = x2cos(x)-2x*sin(x)-2cos(x) + C1
C2 = -x*cos(x)+sin(x) + C2
Записываем полученные выражения в виде:
C1 = x2cos(x)-2x*sin(x)-2cos(x) + C11
C2 = x(-x*cos(x)+sin(x)) + C2x
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
y = C1 + C2 = C1 + C2 x -x*sin(x)-2cos(x)
Найдем частное решение при условии: y(0) = 1, y'(0) = 1
Поскольку y(0) = c1-2, то получаем первое уравнение:
c1-2 = 1
Находим первую производную:
y’ = c2-x*cos(x)+sin(x)
Поскольку y'(0) = c2, то получаем второе уравнение:
c2 = 1
В итоге получаем систему из двух уравнений:
c1-2 = 1
c2 = 1
т.е.:
c1 = 3, c2 = 1
Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде:

Пример 16:

Определить тип и решить дифференциальное уравнения:

Решение от преподавателя:

Пример 17:

Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:

Решение от преподавателя:

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r2 +0 r + 1 = 0
D=02 — 4*1*1=-4


Корни характеристического уравнения:
(комплексные корни):
r1 = i
r2 = — i
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:


Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Поиск частного решения методом вариации произвольной постоянной.
Для нахождения производных C’i составляем систему уравнений:
C’1cos(x) + C’2sin(x) = 0
C’1(-sin(x)) + C’2(cos(x)) = (x+2)*e-x
Выразим C’1 из первого уравнения:
C’1 = -c2tg(x)
и подставим во второе. В итоге получаем:
C’1 = -(x+2)*e-xsin(x)
C’2 = (x+2)*e-xcos(x)
Интегрируем полученные функции C’i:


Записываем полученные выражения в виде:
или


Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Пример 18:

Дано дифференциальное уравнение 2-го порядка. Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение, используя метод неопределенных коэффициентов.

Решение от преподавателя:

Пример 19:

Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:

Решение от преподавателя:

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r2 -4 r + 4 = 0
D=(-4)2 — 4*1*4=0


Корни характеристического уравнения:
Корень характеристического уравнения r1 = 2 кратности 2.
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y1 = e2x
y2 = xe2x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Поиск частного решения методом вариации произвольной постоянной.
Для нахождения производных C’i составляем систему уравнений:

C’1(2e2x) + C’2(2x*e2x+e2x) = cos(x)+10sin(x)
Выразим C’1 из первого уравнения:
C’1 = -c2x
и подставим во второе. В итоге получаем:
C’1 = -x(10sin(x)+cos(x))*e-2x
C’2 = (10sin(x)+cos(x))*e-2x
Интегрируем полученные функции C’i:
 = 

Записываем полученные выражения в виде:
 = 

или


Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Найдем частное решение при условии: y(0) = 0, y'(0) = 2
Поскольку y(0) = c1+43/25, то получаем первое уравнение:
c1+43/25 = 0
Находим первую производную:
y’ = 2c1e2x+2c2x*e2x+c2e2x-43/25sin(x)+26/25cos(x)
Поскольку y'(0) = 2*c1+c2+26/25, то получаем второе уравнение:
2c1+c2+26/25 = 2
В итоге получаем систему из двух уравнений:
c1+43/25 = 0
2c1+c2+26/25 = 2
т.е.:
c1 = -43/25, c2 = 22/5
Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде:

Пример 20:

Установить тип ДУ, найти его общее и частное решения.

Решение от преподавателя:

Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением (ЛДУ) первого порядка, так как его можно записать в виде y‘=p(x)y = q(x), где p(x) = , q(x)= .

Сделаем замену переменных: y=u*v, y’ = u’v + uv’.
-u*v*ctg(x)+u*v’+u’v = 2x*sin(x)
или
u(-v*ctg(x)+v’) + u’v= 2x*sin(x)
Выберем переменную v так, чтобы выполнялись условия:
1. u(-v*ctg(x)+v’) = 0
2. u’v = 2x*sin(x)
1. Приравниваем u=0, находим решение для:
-v*ctg(x)+v’ = 0
Представим в виде:
v’ = v*ctg(x)
Преобразуем уравнение так, чтобы получить уравнение с разделяющимися переменными:

Интегрируя, получаем:


ln(v) = ln(sin(x))
v = sin(x)
2. Зная v, Находим u из условия: u’*v = 2*x*sin(x)
u’sin(x) = 2x*sin(x)
u’ = 2x
Интегрируя, получаем:

Из условия y=u*v, получаем:
y = u*v = (C+x2)*sin(x)
или
y = C*sin(x)+x2sin(x)
Найдем частное решение при условии: y(π/2)=0
y(π/2)= C*sin(π /2)+ π /22sin(π /2) = 0
Откуда:
c1 = -π/4
Таким образом, частное решение имеет вид:
y(π/2)= -π/4sin(x)+x2sin(x)

Ответ:

Пример 21:

Установить тип ДУ первого порядка и найти его общее решение.

Решение от преподавателя:

Пример 22:

Установить тип ДУ первого порядка и найти его общее решение.

Решение от преподавателя:

Заказать задачи по любым предметам можно здесь от 10 минут

Как решать дифференциальные уравнения

СОДЕРЖАНИЕ ТЕКУЩЕЙ СТАТЬИ

  1. Основные понятия и определения
    1. Определения
    2. Типы уравнений
    3. Алгоритм решения
  2. Дифференциальные уравнения первого порядка
    1. ДУ с разделяющимися переменными
    2. Однородные ДУ
    3. Линейные неоднородные ДУ
    4. ДУ Бернулли
    5. ДУ в полных дифференциалах
  3. Дифференциальные уравнения второго порядка
    1. ДУ допускающие понижение порядка
    2. Линейные однородные ДУ с постоянными коэффицентами
    3. Линейные неоднородные ДУ с постоянными коэффициентами
    4. Метод Лагранжа

Введите уравнение

Условия к задаче (необязательно)

Пример 1 Пример 2 Правила ввода

Дифференциальные уравнения бывают обыкновенными и в частных производных. В этой статье мы будем говорить об обыкновенных уравнениях и о том, как их решать.

Основные понятия и определения

Определения

Обыкновенные дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие функцию $y(x)$ только от одной неизвестной переменной (например, $x$).

Рассмотрим это на следующих практических примерах. $$ y’ = xy $$ $$ y» = 1 $$

Итак, в первом диффуре присутствует независимая переменная $x$, неизвестная функция $y(x)$ и производная этой функции $y'(x)$. А во втором случае нет $x, y(x),y'(x)$, а есть только вторая производная функции $y»(x)$. Значит, для того, чтобы уравнение называлось дифференциальным необязательно иметь $y(x)$ и $x$, а должно быть производная $y(x)$ любого порядка.

Порядок дифференциального уравнения – это порядок старшей производной неизвестной функции $y(x)$ в уравнении.

В первом случае максимальная производная первого порядка, значит, и само ДУ первого порядка. А во втором случае уравнение имеет вторую производную $y»(x)$, поэтому это ДУ второго порядка. 

Общее решение дифференциального уравнения – это семейство функций $y = f(x,C)$, при подстановке которых в заданное исходное уравнение мы получаем равенство левой и правой части. Здесь $C$ произвольная константа. Процесс нахождения таких решений называется интегрированием дифференциального уравнения.

Частное решение дифференциального уравнения – это решение, полученное из общего решения, путем нахождения константы $C$ из дополнительных условий в задаче.

Типы уравнений

  1. ДУ первого порядка
    с разделяющимися переменными
    однородные
    линейные неоднородные
    уравнение Бернулли
  2. ДУ второго порядка
    уравнения допускающие понижение порядка
    однородные с постоянными коэффициентами
    неоднородные с постоянными коэффициентами 

Алгоритм решения

  1. По старшей производной функции $y(x)$ определить порядок ДУ
  2. Зная порядок, определить тип уравнения
  3. Узнав тип, подобрать подходящий метод решения
  4. Используя метод, найти общее решение
  5. Получить частное решение из общего путем вычисления неизвестной $C$

В некоторых случаях для решения дифференциальных уравнений удобно переписать производные в таком виде (например, это нужно для ДУ с разделяющимися переменными). $$y’ = frac{dy}{dx}$$

ОБЯЗАТЕЛЬНО! Чтобы успешно решать дифференциальные уравнения необходимо уметь находить интегралы. Поэтому, если вы забыли данную тему, то её нужно вспомнить!

Пример 1
Дана функция $y = Ce^{frac{x^2}{2}} $. Проверить является ли функция решением дифференциального уравнения $y’ = xy$
Решение

Для того, чтобы проверить является ли функция решением нужно подставить её в исходное ДУ. Найдем производную функции. $$y’ = (Ce^{frac{x^2}{2}})’ = Ce^{frac{x^2}{2}} cdot (frac{x^2}{2})’ = Ce^{frac{x^2}{2}} cdot x = Cxe^{frac{x^2}{2}}$$

Теперь подставим $y’$ и $y$ в исходное уравнение.

$$ Cxe^{frac{x^2}{2}} = x Ce^{frac{x^2}{2}} $$

Получили равенство левой и правой части, значит, функция $y = Ce^{frac{x^2}{2}} $ является общим решением ДУ.

Ответ
$$y = Ce^{frac{x^2}{2}} $$

Дифференциальные уравнения первого порядка

ДУ с разделяющимися переменными

Уравнения такого типа имеют следующий вид: $$ f_1(x)g_1(y)dy = f_2(x)g_2(y)dx$$ Общее решение такого ДУ нужно находить путем разделения переменных с иксами и с игреками: $$int frac{g_1(y)}{g_2(y)}dy = int frac{f_2(x)}{f_1(x)}dx$$

СОВЕТ: Если не удается определить тип диффура первого порядка, то рекомендуем мысленно попытаться разделить переменные иксы от игреков. Возможно перед вами хитрое дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Алгоритм нахождения общего решения:

  1. Переписываем производные через $y’ = frac{dy}{dx}$
  2. Разделяем все $y$ в левую часть уравнения, а все $x$ в правую
  3. Интегрируем обе части уравнения
Пример 2
Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными $y’ = xy$
Решение

Видим, что в условии задачи присутствует производная от неизвестной функции $y(x)$ первого порядка. Значит, перед нами диффур 1-го порядка.  Забегая вперед скажем, что данный диффур из задачи является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Что это означает? Это означает, что можно в уравнении перенести всё что содержит $y$ в левую часть равенства, а то, что содержит $x$ перенести в правую часть. То есть разделить «игрики» от «иксов» по разные стороны. Но прежде, чем это делать стоит переписать производную таким образом: $$y’ = frac{dy}{dx}$$

После замены производной игрека исходное уравнение приобретает такой формат:

$$frac{dy}{dx} = xy$$

Теперь, как сказали ранее, начинаем отделять игрики от иксов по разные стороны. Для этого обе части уравнения необходимо умножить на $dx$, а ещё разделить на $y$.

$$ frac{dy}{y} = xdx $$

Теперь необходимо проинтегрировать обе части уравнения, чтобы получить функцию $y$. Для этого навешиваем значок интеграла на обе части уравнения.

$$ int frac{dy}{y} = int xdx $$

Вспоминаем, что левый интеграл равен натуральному логарифму, а правый интеграл $frac{x^2}{2}$. А так как интеграл неопределенный, то необходимо прибавить константу $C$.

$$ ln|y| = frac{x^2}{2} + C $$

Теперь необходимо вытащить $y$ для того, чтобы записать окончательный ответ в виде общего решения. Для этого вспоминаем, что игрик в $ln|y| = x$ равен $y = e^x$. Поэтому продолжая решать наше уравнение получаем.

$$ y = e^{frac{x^2}{2} + C} $$

Далее вспоминаем свойство степеней $a^{x+y} = a^x cdot a^y$. Таким образом делаем преобразования нашего уравнения.
$$ y = e^{frac{x^2}{2}} cdot e^C $$

Так как $e^C$ это константа, то её можно переписать следующим видом $e^C = C$. И после этого получаем окончательный ответ исходного уравнения, называемый общим решением.

$$ y = Ce^{frac{x^2}{2}} $$

Ответ
$$ y = Ce^{frac{x^2}{2}} $$
Пример 3
Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными $y’ = frac{2x}{1+x^2}$, если $y(0) = 0$.
Решение

Начнем решать с того, что представим производную в исходном уравнении в виде $y’ = frac{dy}{dx}$:

$$ frac{dy}{dx} = frac{2x}{1+x^2} $$

Теперь разделяем переменные иксы от игреков по разные стороны равенства путем умножения обеих частей уравнения на $dx$:

$$ dy = frac{2x}{1+x^2} dx $$

Навешиваем знак интеграла на левую и правую часть, а затем решаем интегралы:

$$ int dy = int frac{2x}{1+x^2} dx $$

$$ y =  int frac{2x}{1+x^2} dx $$

Замечаем, что $(1+x^2)’ = 2x$. Поэтому $2x$ можно занести под знак дифференциала, чтобы решить интеграл:

$$ y = int frac{d(1+x^2)}{1+x^2} = ln (1+x^2) + C $$

Получили общее решение $y = ln (1+x^2) + C$. В условии задачи просят найти частное решение при условии $y(0) = 0$. Это означает, что нужно из последного условия найти константу $C$. Из $y(0) = 0$ видно, что $x = 0$, а $y = 0$. Подставляем их в общее решение дифференциального уравнения и вычисляем $C$:

$$ln(1+0^2)+C = 0$$ $$ln 1+C = 0$$ $$0 + C = 0$$ $$C=0$$

Теперь заменив в общем решении $C$ на ноль, получаем частное решение:

$$y = ln(1+x^2)$$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$y = ln(1+x^2)$$

Однородные ДУ

Чтобы проверить является ли предложенное уравнение однородным нужно заменить $x$ и $y$ на $lambda x$ и $lambda y$. Производную $y’$ заменять не нужно. Если все $lambda$ после элементарных преобразований удастся уничтожить, то перед вами однородное дифференциальное уравнение первого порядка.

Решается по следующему алгоритму:

  1. Проверить уравнение на однородность с помощью $lambda$
  2. Привести уравнение к виду $y’ = f(frac{y}{x})$
  3. Выполнить замену $frac{y}{x} = t$ и $y’ = t’x+t$
  4. Решить уравнение методом разделяющихся переменных
Пример 4
Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка $$y’ = frac{y}{x} — 1$$
Решение

Так как разделить переменные не получается, то проверим уравнение на однородность. Для этого вместо $x$ и $y$ выполним подстановку $lambda x$ и $lambda y$:

$$y’ = frac{lambda y}{lambda x} — 1$$

Выполняем сокращение $lambda$ в числителе и знаменателе:

$$y’ = frac{y}{x} — 1$$

После сокращения все $lambda$ уничтожились, значит перед нами однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Решим его с помощью замены $frac{y}{x} = t$ и $y’ = t’x + t$:

$$ t’x + t = t — 1$$

Переносим $t$ в одну сторону и тем самым уничтожаем его:

$$ t’x = -1 $$

Теперь это ДУ с разделяющимися переменными. Запишем его в привычном для него виде: $$ frac{dt}{dx} x = -1 $$

Разделим переменные домножением на $dx$ и делением на $x$ обеих частей равенства:

$$dt = -frac{dx}{x}$$

Интегрируем обе части:

$$int dt = — int frac{dx}{x}$$

$$t = -ln|x|+C$$

Выполняем назад замену $t = frac{y}{x}$:

$$frac{y}{x} = -ln|x|+C$$

Умножаем обе части на $x$, чтобы получить окончательный ответ общего решения:

$$y = -xln|x| +Cx$$

Ответ
$$y = -xln|x| +Cx$$
Пример 5
Решить дифференциальное уравнение первого порядка $xy+y^2=(2x^2+xy)y’$
Решение

Сперва проверим уравнение на однородность. Подставляем $lambda$ вместо $x$ и $y$.

$$lambda x cdot lambda y + (lambda y)^2 = (2 (lambda x)^2 + lambda xcdot lambda y)y’$$

После вынесения $lambda$ слева и справа за скобки получаем $$ lambda^2(xy+y^2) = lambda^2(2x^2+xy)y’,$$ где все $lambda$ сокращаются. А это подтвержает однородность уравнения.

Перед тем, как выполнить замену $t = frac{y}{x}$ нужно привести исходное уравнение к виду $y = f(frac{y}{x})$. Для этого разделим левую и правую часть равенства на $x^2$: $$frac{y}{x}+frac{y^2}{x^2} = (2+frac{y}{x})y’.$$

Теперь производим замену $t = frac{y}{x}$ и $y’ = t’x+t$ в преобразованном уравнении: $$t+t^2=(2+t)(t’x+t).$$ Раскрываем скобки и сокращаем одинаковые слагаемые $$t+t^2 = 2t’x+2t+t’xt+t^2$$ $$2t’x+t’xt=-t.$$

Далее в полученном уравнении разделяем переменные $t$ и $x$ по разные стороны знака равенства. Для этого выносим за скобку $t’x$ $$t’x(2+t)=-t.$$ Делим на $t$ обе части уравнения $$t’xfrac{2+t}{t}=-1.$$ Представляем производную $t’ = frac{dt}{dx}$ и переносим $dx$ и $x$ в правую часть равенства $$frac{2+t}{t}dt = -frac{dx}{x}.$$

Интегрируем обе части уравнения $$int frac{2+t}{t}dt = — int frac{dx}{x}$$ $$int frac{2}{t}dt+int dt = -int frac{dx}{x}$$ $$2ln|t|+t = -ln|x|+C.$$

Выполняем обратную замену $t = frac{y}{x}$: $$2ln|frac{y}{x}|+frac{y}{x}=-ln|x|+C.$$ Упрощаем полученное равенство с помощью элементарных преобразований и свойств натурального логарифма $$2ln|y|-2ln|x|+frac{y}{x} = -ln|x|+C$$ $$2ln|y|+frac{y}{x}=ln|x|+C$$ $$2ln|y|+frac{y}{x}=ln|x|+ln|C|$$ $$2ln|y|+frac{y}{x}=ln|Cx|$$ $$ln y^2+frac{y}{x}=ln|Cx|$$ $$ln y^2 = ln|Cx|-frac{y}{x}$$ $$y^2 = Cxe^frac{-y}{x}.$$

Привели решение к такому виду через $y^2$. Это называется общим интегралом дифференциального уравнения. Ответ в таком виде остается в таком формате.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$y^2 = Cxe^frac{-y}{x}$$

Линейные неоднородные ДУ

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение 1-го порядка имеет следующий вид $$y’+p(x)y=q(x).$$

Для его решения существует два способа: метод Бернулли и вариация произвольной постоянной. В первом методе нужно сделать замену на произведение двух функций $y = uv$, а во втором способе необходимо найти неизвестную функцию $C(x)$. 

Алгоритм метода Бернулли:

  1. Выполняем замену $y=uv$ и $y’ = u’v+uv’$
  2. Находим функции $u(x)$ и $v(x)$ с помощью решения системы двух уравнений
  3. Подставляем найденные $u(x)$ и $v(x)$ в уравнение $y=uv$, чтобы получить ответ

Алгоритм метода вариации произвольной постоянной:

  1. Решаем исходное уравнение в качестве однородного методом разделяющихся переменных
  2. В полученном общем решении заменяем константу $C$ на функцию $C(x)$
  3. Подставляем общее решение и его производную в исходное уравнение, чтобы найти $C(x)$
  4. Полученное $C(x)$ подставляем в общее решение однородного уравнения и записываем ответ
Пример 6
Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка методом Бернулли $xy’-2y=2x^4$, если $y(1)=0$.
Решение

Приводим уравнение к виду $y’+p(x)y=q(x)$ путем деления на $x$ обеих частей равенства $$y’-2frac{y}{x}=2x^3.$$

Делаем замену в полученном уравнении на $y=uv$ и $y’=u’v+uv’$ $$u’v+uv’-2frac{uv}{x}=2x^3.$$Выносим за скобку $u$, чтобы в дальнейшем составить систему уравнений: $$u’v+u(v’-2frac{v}{x})=2x^3.$$

Теперь приравниваем к нулю выражение в скобках и составляем систему уравнений $$begin{cases} v’ — 2frac{v}{x} = 0 \ u’v = 2x^3 end{cases},$$ в которой начнем сначала решать первое уравнение для нахождения функции $v(x)$. Разделяем в нём переменные $$begin{cases} frac{dv}{dx} = 2frac{v}{x} \ u’v = 2x^3 end{cases} Leftrightarrow begin{cases} frac{dv}{v} = 2frac{dx}{x} \ u’v = 2x^3 end{cases}.$$

Интегрируем первое уравнение в системе, чтобы получить функцию $v(x)$ $$begin{cases} ln|v| = 2ln|x| \ u’v = 2x^3 end{cases} Leftrightarrow begin{cases} v = x^2 \ u’v = 2x^3 end{cases}.$$

Теперь, зная, чему равно $v$ подставляем его во второе уравнение $$begin{cases} v=x^2 \ u’x^2 = 2x^3 end{cases} Leftrightarrow begin{cases} v=x^2 \ u = x^2+C end{cases}.$$

Записываем общее решение дифференциального уравнения $$y = uv Rightarrow y = x^4+Cx^2.$$

В условии задачи требуется найти частное решение из условия $y(1)=0$. Подставим в найденное общее решение $x=1$ и $y=0$, чтобы вычислить $C$ $$1^4+Ccdot 1^2 = 0 Rightarrow C = -1. $$

С учётом, что $C=-1$ записываем частное решение дифференциального уравнения $$y = x^4 — x^2.$$

Ответ
$$y = x^4 — x^2$$
Пример 7
Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка $y’sin x-ycos x = 1$ методом вариации произвольной постоянной $C$.
Решение

Перепишем уравнение в виде $$ y’ — y frac{cos x}{sin x} = frac{1}{sin x} .$$ Теперь записываем однородное дифференциальное уравнение $$y’ — y frac{cos x}{sin x} = 0,$$ решим его методом разделяющихся переменных: $$frac{dy}{dx} = y frac{cos x}{sin x}$$ $$int frac{dy}{y} = int frac{cos x}{sin x} dx.$$

Слева получается натуральный логарифм, а справа заносим косинус под знак дифференциала, чтобы получить логарифм синуса: $$ln|y| = ln|sin x| + C$$ $$y = Csin x.$$

Теперь заменяем константу $C$ на функцию $C(x)$ в полученном решении и находим производную $$y = C(x)sin x Rightarrow y’ = C'(x)sin x+ C(x)cos x.$$

Подставляем $y$ и $y’$ в неоднородное уравнение и решаем его относительно $C(x)$: $$C'(x)sin x+ C(x)cos x — C(x)sin x frac{cos x}{sin x} = frac{1}{sin x}$$ $$C'(x)sin x = frac{1}{sin x}$$ $$C'(x) = frac{1}{sin^2 x}.$$

В последнем уравнении можно разделить переменные, что и делаем, а затем интегрируем: $$ d(C(x)) = int frac{dx}{sin^2 x}$$ $$C(x) = -ctg x + C.$$

Берем решение $y = C(x)sin x$ и подставляем в него найденное $C(x) = -ctg x + C$ $$y = (-ctg x + C) sin x = Csin x — cos x.$$ Таким образом получили общее решение дифференциального уравнения $y = Csin x — cos x$.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$y = Csin x — cos x$$

ДУ Бернулли

Дифференциальное уравнение Бернулли имеет следующий вид $$y’ + g(x)y = f(x)y^alpha qquad (alpha neq 0), (alpha neq 1).$$

Алгоритм решения: 

  1. Выполняем подстановку $y = z^frac{1}{1-alpha}$
  2. После подстановки получаем линейное уравнение $z’+p(x)z=q(x)$
  3. Решив линейное уравнение делаем обратную замену $z = y^{1-alpha}$
Пример 8
Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка $y’+y=xy^2$.
Решение

Это уравнение Бернулли. Видим, что $alpha = 2$. Значит делаем замену на $y = z^frac{1}{1-alpha} = z^{-1}$. Отсюда $y’ = -frac{1}{z^2} cdot z’$. После подстановки в исходное уравнение имеем $$ -frac{z’}{z^2}+frac{1}{z}=frac{x}{z^2}.$$

Умножаем обе части равенства на $(-z^2)$, чтобы привести уравнение к линейному ДУ $$z’-z=-x, $$ которое можно решить методом Бернулли, либо вариацией произвольной постоянной. Выберем первый способ.

Применяем подстановку $y=uv$ и $y’=u’v+uv’$ для последнего уравнения $$u’v+uv’-uv=-x.$$ Выносим за скобку $u$, чтобы затем построить систему уравнений для нахождения функций $u(x)$ и $v(x)$ $$u’v+u(v’-v) = -x.$$ Приравниваем к нулю скобку и получаем систему $$begin{cases} v’-v = 0 \ u’v = -x end{cases}.$$

Начинаем решать её с первого уравнения. Разделяем в нем переменные и затем интегрируем $$begin{cases} int frac{dv}{v} = int dx \ u’v = -x end{cases} Leftrightarrow begin{cases} ln|v| = x \ u’v = -x end{cases} Leftrightarrow begin{cases} v = e^x \ u’v = -x end{cases}. $$

Зная, что $v = e^x$ подставляем его во второе уравнение системы и решаем $$begin{cases} v = e^x \ u’ = -frac{x}{e^x} end{cases} Leftrightarrow begin{cases} v = e^x \ u = int (-x)e^{-x} dx end{cases}.$$

Для взятия интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям $$u = int (-x)e^{-x} dx = begin{vmatrix} u = -x & du = -dx \ dv = e^{-x}dx & v = -e^{-x} end{vmatrix} = xe^{-x} — int e^{-x} dx = xe^{-x} +e^{-x} + C$$

Итак, получаем, что $$z = uv Rightarrow z = (xe^{-x} + e^{-x}+C) e^x = Ce^x +x + 1. $$ Вспоминаем, что была ещё одна замена в самом начале решения задачи $y = z^{-1}$, поэтому общее решение выглядит следующим образом $$y = frac{1}{Ce^x + x + 1}.$$

Ответ
$$y = frac{1}{Ce^x + x + 1}$$

ДУ в полных дифференциалах

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах имеют следующий вид $$P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0, $$ при выполнении условия $frac{partial P}{partial y} = frac{partial Q}{partial x} $.

Алгоритм решения заключается в том, чтобы найти функцию $U(x,y)=C$, полный дифференциал которой, есть исходное ДУ:

  1. Проверяем условие, подтверждающее, что перед нами ДУ в полных дифференциалах
  2. Получаем $U(x,y)$ интегрируя функцию $P(x,y)$ по переменной $x$. В результате этого появится неизвестная функция $varphi(y)$ 
  3. Дифференцируем $U(x,y)$ по $y$ и приравниваем к $Q(x,y)$, чтобы найти $varphi(y)$
Пример 9
Найти общий интеграл $U(x,y)=C$ дифференциального уравнения $$(2x+5y)dx+(5x+3y^2)dy=0.$$
Решение

Убедимся, что данное уравнение в полных дифференциалах. Для этого проверим условие $frac{partial P}{partial y} = frac{partial Q}{partial x} $. Находим производные $$ P’_y = (2x+5y)’_y = 5, Q’_x = (5x+3y^2)’_x = 5, $$ и видим, что условие выполняется $P’_y=P’_x=5$.

Находим функцию $U(x,y)$ беря интеграл по $x$ от функции $P(x,y)$ $$U(x,y) = int (2x+5y) dx = x^2 + 5yx + varphi(y).$$

Далее необходимо продифференцировать найденную $U(x,y)$ по $y$ $$U’_y = 5x + varphi'(y).$$

 Осталось найти неизвестную функцию $varphi(y)$ приравняв $U’_y$ к $Q(x,y)$: $$5x + varphi'(y) = 5x+3y^2$$ $$varphi'(y) = 3y^2$$ $$varphi(y) = int 3y^2 dy = y^3 + C.$$

Теперь зная чему равна $varphi(y)$ подставляем её в $U(x,y)$ $$U(x,y)=x^2+5xy+y^3+C.$$

Записываем ответ в таком виде $$x^2+5xy+y^3 = C.$$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$x^2+5xy+y^3 = C.$$

Дифференциальные уравнения второго порядка

ДУ допускающие понижение порядка

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка бывают двух видов:

  1. Без функции $y$: $F(x,y’,y»)=0$
  2. Без переменной $x$: $F(y,y’,y»)=0$

Для решения таких диффуров в первом случае делаем замену $y’ = p(x)$, а во втором $y’ = p(y)$.

Пример 10
Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка $xy»+y’=0$ при условиях $y(1) = 0$ и $y'(1)=1$.
Решение

Видим, что данный дифур попадает под первый случай, когда отсутствует в уравнении $y$, а есть только его производные. Значит, делаем замену $y’ = p(x)$ $$xp’+p=0.$$

Данное уравнение имеет разделяющиеся переменные. Начнем с того, что перепишем уравнение через $p’ = frac{dp}{dx}$ $$xfrac{dp}{dx} = -p.$$ Разделяем переменные налево и направо от знака равенства и затем интегрируем: $$ frac{dp}{p} = -frac{dx}{x}$$ $$ int frac{dp}{p} = -int frac{dx}{x}$$ $$ln|p| = -ln|x|+C_1.$$ Теперь избавимся от логарифмов, чтобы получить $p$: $$p = e^{-ln|x| + C_1}$$ $$p = frac{C_1}{x}.$$

Вспоминаем про ранее выполненную замену $$y’ = p(x) = frac{C_1}{x}.$$ Интегрируем для того, чтобы найти $y$ $$y = int frac{C_1}{x} dx = C_1 ln|x| + C_2.$$

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения $$y = C_1 ln|x| + C_2.$$

Займемся поиском частного решения. Для этого используем два дополнительных равенства из условия задачи: $$y(1) = 0 Rightarrow C_1 ln|1| + C_2 = 0 Rightarrow C_2 = 0$$ $$y'(1)=1 Rightarrow frac{C_1}{1} = 1 Rightarrow C_1 = 1.$$

Записываем частное решение дифференциального уравнения $$y = ln|x|.$$

Ответ
$$y = ln|x|$$
Пример 11
Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка $$yy»+y’^2 = 1, qquad y(0) = 1, y'(0) = 1.$$
Решение

Видим, что в диффуре отсутствует в явном виде переменная $x$, поэтому необходимо сделать замену $y’ = p(y)$ и отсюда $y» = p'(y)cdot y’ = p'(y)p$.

Делаем замену и получаем уравнение $$yp'(y)p + p^2 = 1,$$ которое решим методом разделения переменных: $$ypfrac{dp}{dy} = 1-p^2$$ $$frac{p}{1-p^2}dp = frac{1}{y}dy.$$ Далее по плану необходимо проинтегрировать обе части уравнения, чтобы получить $p$ $$int frac{p}{1-p^2}dp = int frac{1}{y}dy.$$

В первом интеграле заносим под знак дифференциала $1-p^2$, чтобы получился натуральный логарифм, а во втором, используя таблицу интегрирования можно сразу записать ответ: $$-frac{1}{2} int frac{d(1-p^2)}{1-p^2} = ln|y| + C $$ $$-frac{1}{2} ln|1-p^2| = ln|y| + C.$$ 

Необходимо избавиться от логарифмов. Умножим обе части равенства на $(-2)$, а затем занесем эту двойку над икреком: $$ln|1-p^2| = -2ln|y|+C$$ $$ln|1-p^2| = ln frac{1}{y^2} + C.$$

Итак, теперь убирая логарифмы получаем: $$1-p^2 = C frac{1}{y^2}$$ $$p^2 = 1 — Cfrac{1}{y^2}$$ $$(y’)^2 = 1 — Cfrac{1}{y^2}.$$

Теперь найдем значение константы $C$ благодаря дополнительным условиям задачи $y = 1$ и $y’ = 1$. Подставляем их в последнее уравнение $$1^2 = 1 — Cfrac{1}{1^2} Rightarrow C = 0.$$

Зная теперь, что $C=0$ подставляем его в уравнение $(y’)^2 = 1 — Cfrac{1}{y^2}$: $$(y’)^2 = 1$$ $$y’ = pm 1.$$ Из условия помним, что $y’ = 1 > 0$, значит, берем только решение $y’ = 1$ и продолжаем его решать интегрированием $$y = int 1 dx = x + C.$$

Осталось найти снова постоянную $C$ теперь уже из условия $y(0) = 1$ $$y(0) = 0 + C = 1 Rightarrow C = 1.$$ Вот теперь можно записать ответ в виде частного решения, которое требовалось найти по условию данной задачи $$y = x + 1.$$

Ответ
$$y = x + 1$$

Линейные однородные ДУ с постоянными коэффицентами

Линейность дифференциального уравнения заключается в том, что в уравнение входит неизвестная функция $y(x)$ и её производные только в первой степени, между собой не перемножаясь. Однородность определяется тем, что уравнение не содержит свободного члена. То есть он равен нулю.

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами выглядит следующим образом $$y»+py’+qy = 0.$$ Чтобы его решить необходимо составить характиристический многочлен и найти его корни. Для этого нужно заменить $y$ на $lambda$, степень которых будет соответствовать порядку производной $$y» Rightarrow lambda^2, qquad y’ Rightarrow lambda, qquad y Rightarrow 1.$$

В зависимости от получившихся корней имеем общее решение в различных видах:

  1. Действительные корни $lambda_1 neq lambda_2$, тогда $y = C_1e^{lambda_1 x}+C_2e^{lambda_2 x}$
  2. Действительные корни $lambda_1 = lambda_2$, тогда $y = C_1e^{lambda_1 x}+C_2xe^{lambda_1 x}$
  3. Комплексные корни $lambda_{1,2} = alphapmbeta i$, тогда $y = C_1e^{alpha x}cos beta x + C_2e^{alpha x}sin beta x$.
Пример 12
Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка $y»+y’-2y = 0$.
Решение

Первым делом составляем характеристический многочлен. Заменяем $y$ на $lambda$ со степенями соответствующими порядку производной $y$ $$lambda^2 + lambda -2 = 0.$$

Обратите внимание, что $y$ имеет производную нулевого порядка, поэтому он заменяется на $lambda^0 = 1$. Итак, перед нами квадратное уравнение, начинаем решать: $$lambda_{1,2} = frac{-1pm sqrt{1^2-4cdot 1 cdot (-2)}}{2cdot 1} = frac{-1pm 3}{2}$$ $$lambda_1 = -2, qquad lambda_2 = 1.$$

Так как получили отличающиеся действительные корни, то общее решение записывается следующим образом $$y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{x}.$$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{x}$$

Линейные неоднородные ДУ с постоянными коэффициентами

Линейное неоднородное ДУ с постоянными коэффициентами отличается от предыдущего типа уравнений наличием правой части от знака равенства $$y»+py’+q = f(x).$$

Общее решение такого диффура складывается из двух частей: общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения $$y_text{о.н.} = y_text{о.о.} + y_text{ч.н.}.$$

Частное решение неоднородного уравнения $y_text{ч.н.}$ подбирается исходя из вида правой части дифференциального уравнения. Затем в нём неизвестные постоянные находятся методом неопределенных коэффициентов.

Правая часть Корни характеристического многочлена Вид частного решения
1 $$P_n (x)$$ Число 0 не является корнем характеристического уравнения. $$tilde{P_n}(x)$$
Число 0 – корень характеристического уравнения кратности $S$. $$x^s tilde{P_n}(x)$$
2 $$P_n (x) e^{alpha x}$$ Число $alpha$ не является корнем характеристического уравнения. $$tilde{P_n} (x) e^{alpha x}$$
Число $alpha$ является корнем характеристического уравнения кратности $S$. $$x^s tilde{P_n} (x) e^{alpha x}$$
3 $$P_n (x) cos beta x + Q_m (x) sin beta x$$ Число $pm ibeta$ не является корнем характеристического уравнения. $$tilde {P_n} cos beta x + tilde{Q_m} sin beta x$$
Число $pm ibeta$ является корнем характеристического уравнения кратности $S$. $$x^s (tilde {P_n} cos beta x + tilde{Q_m} sin beta x)$$
4 $$e^{alpha x}[P_n (x) cos beta x + Q_m (x) sin beta x]$$ Число $alpha pm ibeta$ не является корнем характеристического уравнения. $$e^{alpha x}[P_n (x) cos beta x + Q_m (x) sin beta x]$$
Число $alpha pm ibeta$ является корнем характеристического уравнения. $$x^s e^{alpha x}[P_n (x) cos beta x + Q_m (x) sin beta x]$$
Пример 13
Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка $y»+y = 4xcos x$.
Решение

Сначала находим общее решение однородного уравнения $$y» + y = 0.$$ Строим характеристический многочлен $$lambda^2 + 1 = 0,$$ и находим его корни $$lambda_{1,2}=pm i.$$ Записываем получившееся общее решение однородного уравнения $$y_text{о.о.} = C_1 cos x + C_2 sin x.$$

Теперь необходимо подобрать частное решение неоднородного уравнения. Для этого смотрим на правую часть исходного уравнения и видим, что здесь многочлен первой степени умножается на косинус. Значит, необходимо выбрать из таблицы 3й случай. Причем корень характеристического уравнения совпадает с аргументом косинуса. Это значит, что требуется домножение на $x$ $$y_text{ч.н.} = x[(Ax+B)cos x + (Cx+D)sin x].$$Упростим последнее равенство и найдем от него вторую производную: $$y_text{ч.н.} = (Ax^2+Bx)cos x + (Cx^2 + Dx) sin x$$ $$y’_text{ч.н.} = (2Ax+B)cos x-(Ax^2+Bx)sin x + (2Cx+D)sin x + (Cx^2 + Dx) cos x.$$

Упростим $y’_text{ч.н}$ для удобства нахождения второй производной $$y’_text{ч.н.} = (2Ax+B+Cx^2+Dx)cos x + (2Cx+D-Ax^2-Bx)sin x.$$ Теперь можно найти вторую производную $$y»_text{ч.н.} = (2A+2Cx+D)cos x-(2Ax+B+Cx^2+Dx)sin x + (2C-2Ax-B)sin x + (2Cx+D-Ax^2-Bx)cos x.$$ Упрощаем последнее выражение $$y»_text{ч.н.} = (2A+4Cx+2D-Ax^2-Bx)cos x + (2C-4Ax-2B-Cx^2-Dx)sin x.$$

Подставляем найденные $y_text{ч.н.}$ и $y»_text{ч.н.}$ в исходный диффур из «дано» задачи $$(2A+4Cx+2D-Ax^2-Bx)cos x + (2C-4Ax-2B-Cx^2-Dx)sin x + (Ax^2+Bx)cos x + (Cx^2 + Dx) sin x = 4xcos x.$$ Упрощаем его $$(2A+4Cx+2D)cos x + (2C-4Ax-2B)sin x = 4xcos x.$$ Теперь подгоняем левую часть под правую, так чтобы можно было применить метод неопределенных коэффициентов и найти неизвестные $A,B,C,D$ $$(2A+2D)cos x+4Cxcos x + (2C-2B)sin x+(-4Ax)sin x = 4xcos x.$$ Смотрим на левую и правую часть и составляем систему $$begin{cases} 2A+2D = 0 \ 4C=4 \ 2C-2B=0 \ -4A = 0 end{cases} Leftrightarrow begin{cases} D=0 \ C= 1 \ B=1 \ A = 0end{cases}.$$

Подставляем полученные коэффициенты в частное решение неоднородного уравнения $$y_text{ч.н.} = xcos x + x^2sin x.$$ Теперь вспоминая, что $y_text{о.н.} = y_text{о.о.} + y_text{ч.н.}$ можем записать окончательный ответ $$y_text{о.н.} = C_1 cos x + C_2 sin x + xcos x + x^2sin x.$$

Ответ
$$y = C_1 cos x + C_2 sin x + xcos x + x^2sin x$$
Пример 14
Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка $y»+y’=5x+2e^x$.
Решение

Сначала найдем общее решение однородного дифференциального уравнения $$y»+y’=5x+2e^x.$$

Составляем характеристический многочлен однородного уравнения и находим его корни: $$lambda^2 + lambda = 0$$ $$lambda(lambda + 1) = 0$$ $$lambda_1 = 0, qquad lambda_2=-1.$$ Теперь можно записать общее решение $$y_text{о.о.} = C_1 + C_2e^{-x}.$$

Далее необходимо по правой части исходного неоднородного уравнения найти его частное решение путем подбора, используя данные таблицы. Первое слагаемое есть многочлен первой степени. И так как один из корней характеристического уравнения является нулем кратности 1, то решение ищем в виде $y = (Ax+B)x$. Второе слагаемое представляет собой произведение многочлена нулевой степени на экспоненту. Так как аргумент экспоненты не совпадает с одним из корней характеристического многочлена, то подбор будем делать в виде $y = Ce^x$. В итоге правую часть будем искать в виде суммы $$y_text{ч.н.} = (Ax+B)x+Ce^x.$$

Находим первую и вторую производную последней функции: $$y’ = 2Ax+B+Ce^x$$ $$y»=2A+Ce^x.$$ Подставляем полученные производные $y’$ и $y»$ в исходное дифференциальное уравнение: $$2A+Ce^x+2Ax+B+Ce^x = 5x+2e^x$$ $$2Ax+B+2A+2Ce^x=5x+2e^x.$$

Далее необходимо, используя метод неопределенных коэффициентов, найти значения $A,B,C$ составив систему уравнений $$begin{cases} 2A=5 \ 2C=2 \ B+2A = 0 end{cases} Leftrightarrow begin{cases} A=frac{5}{2} \ C=1 \ B=-5 end{cases}.$$

Подставляем найденные коэффициенты и получаем частное решение неоднородного уравнения $$y_text{ч.н.} = (frac{5}{2}x-5)x + e^x = frac{5}{2}x^2 — 5x + e^x.$$

Таким образом теперь можно записать общее решение неоднородного диффура $$y_text{о.н.} = y_text{о.о.} + y_text{ч.н.}=C_1 + C_2e^{-x} + frac{5}{2}x^2 — 5x + e^x.$$

Ответ
$$y = C_1 + C_2e^{-x} + frac{5}{2}x^2 — 5x + e^x$$

Метод Лагранжа

Данный метод позволяет решать линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами даже в тех, случаях, когда правая часть уравнения не подходит под табличный вид. В этом случае целесообразно применить данный метод решения.

  1. Находим общее решение однородного уравнения $y = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x)$
  2. Варьируем постоянные $C_1$ и $C_2$ на функции $C_1(x)$ и $C_2(x)$
  3. Решаем систему методом Крамера $begin{cases} C_1 ‘(x) y_1 (x) + C_2 ‘(x) y_2 (x) = 0 \ C_1 ‘(x) y_1 ‘(x) + C_2 ‘(x) y_2 ‘(x) = f(x) end{cases} $
  4. Получаем $C_1(x)$ и $C_2(x).$
Пример 15
Найти частное решение дифференциального уравнения $$y»-2y’+y=frac{e^x}{x}, text{ при } y(1)=e, y'(1)=3e.$$
Решение

Так как правая часть диффура не подходит под табличный формат, то не получится подбирать частное решение по правой части как делали это в предыдущем примере. Воспользуется методом Лагранжа или как его еще называют вариация произвольной постоянной. Для начала найдем общее решение однородного уравнения $$y»-2y’+y=0.$$

Составляем характеристический многочлен и находим его корни: $$lambda^2-2lambda+1=0$$ $$(lambda-1)^2 = 0 Rightarrow lambda = 1 text{ с кратностью 2}.$$ Так как корень кратный, то общее решение однородного уравнения записывается следующим образом $$y = C_1 e^x + C_2 xe^x.$$

Теперь необходимо варьировать постоянные $C_1$ и $C_2$ на соответствующие функции $C_1 (x)$ и $C_2 (x)$. Теперь получившееся решение следует записать в виде $y = C_1 (x) e^x + C_2 (x) xe^x$. Здесь заметим, что $y_1 = e^x$ и $y_2 = xe^x$. Это нужно для дальнейшего хода решения, а именно построения системы уравнений.

Составляем систему уравнений и решаем её методом Крамера $$begin{cases} C_1 ‘(x) e^x+C_2 ‘(x) xe^x = 0 \C_1 ‘(x) e^x + C_2 ‘(x) (e^x+xe^x) = frac{e^x}{x} end{cases}.$$ Находим главный определитель системы $$Delta = begin{vmatrix} e^x & xe^x \ e^x & e^x+xe^x end{vmatrix} = e^x(e^x+xe^x)-xe^{2x} = e^{2x}.$$ Вычисляем дополнительные определители: $$Delta_1 = begin{vmatrix} 0 & xe^x \ frac{e^x}{x} & e^x + xe^x end{vmatrix} = -xe^x frac{e^x}{x} = e^{2x}$$ $$Delta_2 = begin{vmatrix} e^x & 0 \ e^x & frac{e^x}{x} end{vmatrix} = e^x frac{e^x}{x} = frac{e^{2x}}{x}.$$

Итак, получаем решение системы уравнений $$C_1 ‘(x) = frac{Delta_1}{Delta} = frac{e^{2x}}{e^{2x}} = 1, qquad C_2 ‘(x) = frac{Delta_2}{Delta} = frac{e^{2x}}{x} frac{1}{e^{2x}} = frac{1}{x}.$$ Далее интегрируем полученные решения, чтобы избавиться от производной: $$C_1(x) = int 1 dx = x+tilde{C_1}$$ $$C_2(x)=int frac{dx}{x}=ln|x|+tilde{C_2}.$$

Подставляем полученные $C_1(x)$ и $C_2(x)$ в общее решение однородного уравнения и записываем общее решение неоднородного дифференциального уравнения $$y = (x+tilde{C_1}) e^x + (ln|x|+tilde{C_2}) xe^x.$$ По условию нам требуется найти частное решение при условиях $y(1)=e$ и $y'(1)=3e$. Поэтому находим сначала производную $$y’=e^x+(x+tilde{C_1})e^x+e^x+(ln|x|+tilde{C_2})(e^x+xe^x), $$ раскрываем скобки $$y’ = 2e^x+xe^x+tilde{C_1}e^x+e^xln|x|+xe^xln|x|+tilde{C_2}e^x+tilde{C_2}xe^x,$$ а затем составляем систему уравнений $$begin{cases} y'(1)=3e+tilde{C_1}e+2tilde{C_2}e = 3e \ y(1) = e+tilde{C_1}e + tilde{C_2}e = e end{cases} Rightarrow begin{cases} tilde{C_1}+2tilde{C_2}=0 \ tilde{C_1}+tilde{C_2}=0 end{cases} Rightarrow begin{cases} tilde{C_2} = 0 \ tilde{C_1}=0 end{cases}.$$

Теперь можно записать частное решение к задаче $$y = xe^x + xln|x|e^x = xe^x(1+ln|x|).$$

Ответ
$$y = xe^x(1+ln|x|)$$

Содержание

  • 1 Уравнение с разделенными переменными
  • 2 Уравнение с разделяемыми переменными
  • 3 Однородные уравнения
  • 4 Уравнения приводящиеся к однородным
  • 5 Линейное уравнение первого порядка
    • 5.1 Способ решения методом Бернулли
    • 5.2 Способ решения методом Лагранжа
  • 6 Уравнение в полных дифференциалах
  • 7 Уравнение, приводящееся к уравнению в полных дифференциалах
  • 8 Уравнение Бернулли
  • 9 Уравнение Риккати
  • 10 Уравнения 1-го порядка не разрешенные относительно 1-й производной
    • 10.1 x явно зависит от y’
    • 10.2 y явно зависит от y’
    • 10.3 уравнение Лагранжа
    • 10.4 Уравнение Клеро

Уравнение с разделенными переменными

Определение:
уравнение вида называется уравнением с разделенными переменными

Решение:
далее интегрируем правую и левую части

Уравнение с разделяемыми переменными

Определение:
уравнение вида называется уравнением с разделяемыми переменными

Решение: (2) разделим на и оно сведется к (1). в случае = 0 могут существовать особые решения.

Однородные уравнения

Определение:
уравнение вида , где M и N — однородные функции одного измерения, называется однородным уравнением
Определение:
однородная функция измерения n

Решение: произвести замену

Определение:
один из видов однородного уравнения.

Уравнения приводящиеся к однородным

Определение:
уравнение вида называется уравнением приводящимся к однородному
Утверждение:

Решением уравнения является:

1)

Тогда получаем однородное уравнение.

2) пусть

Тогда получаем уравнение с разделяющимися переменными.

Докажем 1), второй доказывается аналогично.
Подставим замену:

Получили однородное уравнение.

Линейное уравнение первого порядка

Определение:
уравнение вида называется линейным уравнением порядка
Определение:
Если , то уравнение называется однородным линейным уравнением порядка

Способ решения методом Бернулли

Пусть , тогда:

, назовем это уравнение

Пусть таково, что:

Тогда:

. Домножим на
. Отсюда получаем:

Пусть . Тогда из получаем:

. Тогда

Способ решения методом Лагранжа

Рассмотрим:

Рассмотрим общее однородное(O.O) и общее неоднородное решение(O.H):
(из док-ва Бернулли)

Пусть:

Уравнение в полных дифференциалах

Определение:
Уравнение вида: называется уравнением в полных дифференциалах, если

т.к. общий интеграл.

Теорема:

Пусть , где G — односвязная область, и ;
Тогда

Доказательство:
Рассмотрим первоначальное уравнение:

Перепишем его в виде:
Тогда видим, что
Т.к. — непрерывные на , то давайте рассмотрим и
Левые части в этих равенствах равны, а следовательно равны и правые. Необходимость доказана.
Докажем теперь достаточность.
Предположим, что равенство частных производных выполняется, тогда рассмотрим следующую функцию:

Найдем для нее частные производные по и :
, а дифференцируя по и учитывая условие , получаем :
, достаточность доказана, т.к. — общий интеграл .

Решение: Общее решение.

Уравнение, приводящееся к уравнению в полных дифференциалах

в условиях предыдущего определения, но . Домножим (6) на

Утверждение:

Пусть

только как решать все равно не понятно.
Но.
Если зависит только от x или только от y, можно выразить ее в явном виде:

Уравнение Бернулли

Определение:
уравнение вида , называется уравнением Бернулли.

Решение:

, пусть
линейное относительно z уравнение.

Уравнение Риккати

Определение:
Уравнение вида , где называется уравнением Риккати

Решение:
Пусть частное решение уравнения (9), тогда

уравнение (8)

Уравнения 1-го порядка не разрешенные относительно 1-й производной

x явно зависит от y’

Решение:
Пусть

Перейдем к параметрической системе:

y явно зависит от y’

Решение:
Пусть

Переходим к системе:

уравнение Лагранжа

Определение:
уравнение вида , называется уравнением Лагранжа

Решение:
Переходим к системе:

Уравнение Клеро

Определение:
уравнение вида , называется уравнением Клеро

Решение:
Пусть

Тогда либо , либо

— общее решение.

дифференциальные уравнения для чайников примеры

Часто одно лишь упоминание дифференциальных уравнений вызывает у студентов неприятное чувство. Почему так происходит? Чаще всего потому, что при изучении основ материала возникает пробел в знаниях, из-за которого дальнейшее изучение диффуров становиться просто пыткой. Ничего не понятно, что делать, как решать, с чего начать?

Однако мы постараемся вам показать, что диффуры – это не так сложно, как кажется.

Основные понятия теории дифференциальных уравнений

Со школы нам известны простейшие уравнения, в которых нужно найти неизвестную x. По сути дифференциальные уравнения лишь чуточку отличаются от них – вместо переменной х в них нужно найти функцию y(х), которая обратит уравнение в тождество.

Дифференциальные уравнения имеют огромное прикладное значение. Это не абстрактная математика, которая не имеет отношения к окружающему нас миру. С помощью дифференциальных  уравнений описываются многие реальные природные процессы. Например, колебания струны, движение гармонического осциллятора, посредством дифференциальных уравнений в задачах механики находят скорость и ускорение тела. Также ДУ находят широкое применение в биологии, химии, экономике и многих других науках.

Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение, содержащее производные функции y(х), саму функцию, независимые переменные и иные параметры в различных комбинациях.

Существует множество видов дифференциальных уравнений: обыкновенные дифференциальные уравнения, линейные и нелинейные, однородные и неоднородные, дифференциальные уравнения первого и высших порядков, дифуры в частных производных и так далее.

Решением дифференциального уравнения является функция, которая обращает его в тождество. Существуют общие и частные решения ДУ.

Общим решением ДУ является общее множество решений, обращающих уравнение в тождество. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, удовлетворяющее дополнительным условиям, заданным изначально.

Порядок дифференциального уравнения  определяется наивысшим порядком производных, входящих в него.

Решение уравнений

Решение уравнений

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие одну независимую переменную.

Рассмотрим простейшее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид:

дифференциальные уравнения 1 порядка для чайников

Решить такое уравнение можно, просто проинтегрировав его правую часть.

Примеры таких уравнений:

решение дифференциальных уравнений

Уравнения с разделяющимися переменными

В общем виде этот тип уравнений выглядит так:

как решать дифференциальные уравнения для чайников

Приведем пример:

высшая математика для чайников дифференциальные уравнения

Решая такое уравнение, нужно разделить переменные, приведя его к виду:

решение дифференциальных уравнений для чайников

После этого останется проинтегрировать обе части и получить решение.

Математика

Математика

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Такие уравнения имеют вид:

как решать дифференциальные уравнения для чайников

Здесь p(x) и q(x) – некоторые функции независимой переменной, а y=y(x) – искомая функция. Приведем пример такого уравнения:

дифференциальные уравнения 1 порядка для чайников

Решая такое уравнение, чаще всего используют метод вариации произвольной постоянной либо представляют искомую функцию в виде произведения двух других функций y(x)=u(x)v(x).

Для решения таких уравнений необходима определенная подготовка и  взять их “с наскока” будет довольно сложно.

Пример решения ДУ с разделяющимися переменными

Вот мы и рассмотрели простейшие типы ДУ. Теперь разберем решение одного из них. Пусть это будет уравнение с разделяющимися переменными.

дифференциальные уравнения для чайников примеры объяснение

Сначала  перепишем производную в более привычном виде:

дифференциальные уравнения для чайников примеры

Затем разделим переменные, то есть в одной части уравнения соберем все «игреки», а в другой – «иксы»:

дифференциальные уравнения первого порядка для чайников

Теперь осталось проинтегрировать обе части:

решение дифференциальных уравнений первого порядка для чайников

Интегрируем и получаем общее решение данного уравнения:

высшая математика для чайников дифференциальные уравнения

Конечно, решение дифференциальных уравнений – своего рода искусство. Нужно уметь понимать, к какому типу относится уравнение, а также научиться видеть, какие преобразования нужно с ним совершить, чтобы привести к тому или иному виду, не говоря уже просто об умении дифференцировать и интегрировать. И чтобы преуспеть в решении ДУ, нужна практика (как и во всем). А если у Вас в данный момент нет времени разбираться с тем, как решаются дифференциальные уравнения или задача Коши встала как кость в горле или вы не знаете, как правильно оформить презентацию, обратитесь к нашим авторам. В сжатые сроки мы предоставим Вам готовое и подробное решение, разобраться в подробностях которого Вы сможете в любое удобное для Вас время. А пока предлагаем посмотреть видео на тему «Как решать дифференциальные уравнения»:

Понравилась статья? Поделить с друзьями:

Не пропустите также:

  • Как найти коммерческую прибыль
  • Как найти самых лучших друзей
  • Как найти конечную скорость электрона
  • Как найти номер телефона если его поменяли
  • Как найти сумма налога на доходы

  • 0 0 голоса
    Рейтинг статьи
    Подписаться
    Уведомить о
    guest

    0 комментариев
    Старые
    Новые Популярные
    Межтекстовые Отзывы
    Посмотреть все комментарии