Обычно в задачах требуется найти тангенс именно острого угла, как, допустим, на этом примере:
Для этого мы строим прямоугольный треугольник, проведя линию (перпендикуляр) BD:
Далее вспоминаем определение тангенса, это отношение противолежащего катета к прилежащему.
То есть tg(BOA) = DB / DO.
Чтобы найти DO и DB достаточно будет посчитать количество клеточек.
DO = 2.
DB = 5.
Значит, tg(BOA) = 5 / 2 = 2,5.
Зная тангенс, мы можем легко найти и котангенс:
ctg(BOA) = 1 / tg(BOA) = 1 / 2,5 = 0,4.
_
А вот задача на нахождение тангенса угла по клеточкам немного другого плана (ищем тангенс угла AOB):
Если соединить точки A и B, то угол ABO будет прямым.
И тангенс можно вычислить как отношение BA к BO.
Как же нам их найти?
И BO, и BA будут гипотенузами 2 совершенно равных прямоугольных треугольников (для наглядности я их выделил красным).
Длина катетов их равна 2 и 8, а квадрат гипотенузы, как известно, равен сумме квадратов катетов.
Таким образом, у нас получится следующее:
tg(BOA) = BA / BO = √(2² + 8²) / √(2² + 8²) = 1.
И нетрудно догадаться, что треугольник этот равнобедренный с равными углами BOA и BAO по 45 градусов.
Всего: 40 1–20 | 21–40
Добавить в вариант
Тип 18 № 40 
i
Найдите тангенс угла AOB, изображенного на рисунке.
Найдите тангенс угла AOB, изображённого на рисунке.
Найдите тангенс угла AOB.
Найдите тангенс угла AOB, в треугольнике, изображённом на рисунке.
Найдите тангенс угла AOB, изображённого на рисунке.
Найдите тангенс угла AOB.
Найдите тангенс угла AOB, изображённого на рисунке.
Найдите тангенс угла AOB.
Найдите тангенс угла AOB, изображённого на рисунке.
Найдите тангенс угла AOB. Размер клетки 1 × 1.
Найдите тангенс угла AOB.
Найдите тангенс угла AOB, изображённого на рисунке.
Найдите тангенс угла AOB, изображённого на рисунке.
Найдите тангенс угла AOB
Найдите тангенс угла AOB, изображённого на рисунке.
Найдите тангенс угла AOB, изображённого на рисунке.
Найдите тангенс угла AOB, изображённого на рисунке.
Найдите тангенс угла AOB
Найдите тангенс угла AOB, изображённого на рисунке.
Найдите тангенс AOB
Всего: 40 1–20 | 21–40
Как найти тангенс угла по клеточкам
Вычисление такой величины как тангенс может потребоваться как в ходе решения тригонометрических уравнений, так и при поиске ответа задачи по геометрии. Именно во втором случае хорошим подспорьем может оказаться наличие графического изображения угла, тангенс которого необходимо найти, на разлинованной в клеточку бумаге. Как это сделать – читайте в данной статье.
1
Работа с прямоугольными треугольниками
Прежде, чем приступить к нахождению такой величины как тангенс, необходимо определиться с терминологией. Так понятие “тангенс угла” характеризует отношение противолежащего данному угла катета к прилежащему. Т. о. работа ведется в пределах прямоугольного треугольника.
Суть описанного далее алгоритма заключается в работе с прямоугольными треугольниками в рамках непосредственно определения тангенса.
Задача – определить тангенс ∠AOB.
- Установите т. B на луче OB в месте его прохождения через вершину клетки.
- Из т. B опускаете перпендикуляр на луч OA. Место пересечения отмечаете как т. C.
- В результате получается прямоугольный ΔBOC, в котором находится угол ∠AOB (очевидно, что ∠BOC = ∠AOB), тангенс которого необходимо найти.
- Исходя из определения тангенса, tg∠AOB = BC / OC. Глядя на рисунок, несложно заметить что длина катета BC складывается из трех диагоналей клеток. При этом длина катета OC соответствует диагонали одной клетки. Следовательно, BC = 3OC.
- tg∠AOB = 3OC/OC = 3.
Задача – определить тангенс ∠AOB.
Расчет tg∠AOB будет основан на том, что tg(η – λ) = (tgη – tgλ) / (1 + tgη*tgλ).
- В одной из точек прохождения лучами OA и OB вершин клеток-квадратов отмечаете т. A и т. B соответственно.
- Опускаете из них перпендикуляры. В результате вы получаете 2 прямоугольных треугольника – ΔOMB и ΔOLA.
- “Расчетный” ∠AOB является разностью углов ∠AOL и ∠BOM: ∠AOB = ∠AOL – ∠BOM.
- tg∠AOB = tg(∠AOL – ∠BOM) = (tg∠AOL – tg∠BOM) / (1 + tg∠AOL*tg∠BOM). Т. о. нахождение искомой величины сводится к нахождению тангенсов углов в построенных прямоугольных треугольниках.
- tg∠AOL = AL / OL. Обратившись к рисунку заметно, что AL = 2OL. Поэтому tg∠AOL= 2OL / OL = 2.
- tg∠BOM = BM / OM. Обратившись к рисунку видно, что OM=6BM. Поэтому tg∠BOM = BM / 6BM = 1/6.
tg∠AOB = (2 – 1/6) / (1 + 2/6) = 11*3 / 6*4 = 11/8 ⇒ tg∠AOB = 1,375.
2
Использование теоремы косинусов
Задача – определить тангенс ∠AOB.
- т. A и т. B устанавливаете в точках прохождения лучей заданного угла через вершины клеток-квадратов. Опускаете из них перпендикуляры. Также отрезком соединяете между собой т. A и т. B.
- Ваша задача – вычислить длины сторон получившегося ΔAOB. Для этого обращаемся к теореме Пифагора.
- AO = √OK2 + AK2, установив длину стороны клетки как условную 1, получаем AO = √9 + 1=√10.
- OB = √BP2 + OP2, т. к. длина стороны клетки равна 1, получаем OB = √4 + 1 = √5.
- Согласно теореме косинусов, AB2 = AO2 + OB2 – 2AO*OB*cos∠AOB ⇒ cos∠AOB = (AO2 + OB2 – AB2) / 2AO*OB. Подставив числовые значения, получаем:
cos∠AOB = (10 + 5 – 25) / 2√5√10;
cos∠AOB = -10/2√5√10;
cos∠AOB = -1/√2.
- Далее воспользуемся основным тождеством тригонометрии: sinβ2 + cosβ2 = 1.
sin∠AOB = √1-1/2 = 1/√2.
- Известно, что tg∠AOB = sin∠AOB / cos∠AOB = -√2 / √2 ⇒ tg∠AOB = -1.
В зависимости от угла, тангенс которого необходимо найти, выбирайте наиболее подходящий, а главное “рабочий” алгоритм.
Подготовка
к ОГЭ: нахождение тангенса угла по клеткам.
1. Источник: МА-9 ДЕМО 2017
Найдите тангенс угла АОВ треугольника,
изображённого на рисунке.
Решение:
Тангенсом
угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к
прилежащему. Воспользовавшись клеточками, нетрудно найти нужные величины: АВ=4 АО=2
= 
= 2
Ответ: 2
2. Источник: Открытый банк заданий по математике
Прототип задания 12 (№
27450)
 |
На клетчатой бумаге с размером клетки 
изображён угол. Найдите тангенс этого угла
 |
Решение:
Находим прямоугольный треугольник
(как
показано на рисунке). Далее по п1.
Ответ: 2,5
3. Источник: Открытый банк
заданий по математике
Прототип задания 12 (№
27456)
 |
На клетчатой бумаге с размером клетки
изображён угол. Найдите тангенс этого угла
 |
Решение:
Находим прямоугольный треугольник
(как
показано на рисунке).
 |
Находим по т. Пифагора
противолежащий катет
(красный треугольник),
прилежащий катет
(жёлтый треугольник).
= 1
 |
Замечание: обучающиеся
обычно решают это
задание следующим образом: кладут
снизу
клетчатый лист, чтобы на просвет
задача
стала аналогичной п.1.
(как показано на рисунке).
Ответ:
1
№8. Найдите тангенс угла AOB, изображенного на рисунке.
Решение:
Опустим перпендикуляр AH на сторону OB.
Рассмотрим прямоугольный △ A O H :
Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему.
tg ∠ A O H = A H O H = 4 2 = 2
Ответ: 2
№9. Найдите тангенс угла A треугольника ABCб изображённого на рисунке.
Решение:
Тангенс угла – это отношение противолежащего катета к прилежащему.
tg ∠ B A C = B C A C = 2 5 = 0,4
Ответ: 0,4
№10. На рисунке изображена трапеция ABCD. Используя рисунок, найдите sin ∠ B A H .
Решение:
Рассмотрим прямоугольный △ A B H :
Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.
sin ∠ A = B H A B
Найдем AB по теореме Пифагора:
A B 2 = A H 2 + B H 2
A B 2 = 3 2 + 4 2
A B 2 = 9 + 16 = 25
A B = ± 25 = [ − 5 не подходит 5 подходит
A B = 5
sin ∠ A = B H A B = 4 5 = 0,8
Ответ: 0,8
№11. На рисунке изображен ромб ABCD. Используя рисунок, найдите tg ∠ O B C .
Решение:
Тангенс угла – это отношение противолежащего катета к прилежащему.
tg ∠ O B C = O C B O = 3 4 = 0,75
Ответ: 0,75
№12. На рисунке изображена трапеция ABCD. Используя рисунок, найдите cos ∠ H B A .
Решение:
Рассмотрим прямоугольный △ A B H :
Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.
cos ∠ A B H = B H A B
Найдем A B по теореме Пифагора:
A B 2 = A H 2 + B H 2
A B 2 = 6 2 + 8 2
A B 2 = 36 + 64 = 100
A B = ± 100 = [ − 10 не подходит 10 подходит
A B = 10
cos ∠ A B H = B H A B = 8 10 = 0,8
Ответ: 0,8
№13. Найдите тангенс угла, изображенного на рисунке.
Решение:
tg β = tg ( 180 ° − α ) = − tg α
Рассмотрим прямоугольный △ B C H .
Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему.
tg α = C H B H = 3 1
tg β = − tg α = − 3
Ответ: -3
№14. Найдите тангенс угла AOB.
Решение:
Опустим высоту BH на сторону OA.
Рассмотрим прямоугольный △ O B H :
tg ∠ O = B H O H
Найдем B H и O H по теореме Пифагора:
B H 2 = 2 2 + 8 2 = = 4 + 64 = 68
B H = ± 68 = ± 4 ⋅ 17 = ± 4 ⋅ 17 = ± 2 17 = [ − 2 17 не подходит 2 17 подходит
B H = 2 17
O H 2 = 1 2 + 4 2 = 1 + 16 = 17
O H = ± 17 = [ − 17 не подходит 17 подходит
O H = 17
tg ∠ O = B H O H = 2 17 17 = 2
Ответ: 2