Как найти сумму квадратов нечетных чисел - Avtoru.top

Здесь суммируются выражения вида $%(2k-1)^2$% по $%k$% от $%1$% до $%n$%. Если раскрыть скобки, то получится $%4k^2-4k+1$%, и можно просуммировать каждое слагаемое, пользуясь указанной выше формулой. Получится $%frac23n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)+n=frac23n(n+1)(2n+1)-n(2n+1)=frac{n(2n+1)}3(2n-1)$%, и получается $%frac{n(2n-1)(2n+1)}3$%, то есть эта формула даже лучше, чем для обычной суммы квадратов.

ссылка

отвечен
4 Дек ’14 18:34

falcao
294k●9●38●53

10|600
символов нужно
символов осталось

Источник

Improve Article

Save Article

Like Article

Read

Discuss

Improve Article

Save Article

Like Article

We know sum squares of first n natural numbers is $frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ .

How to compute sum of squares of first n even natural numbers?
We need to compute 2² + 4² + 6² + …. + (2n)²

EvenSum = 2² + 4² + 6² + .... + (2n)² 
        = 4 x (1² + 2² + 3² + .... + (n)²)
        = 4n(n+1)(2n+1)/6
        = 2n(n+1)(2n+1)/3

Example:

Sum of squares of first 3 even numbers =
                 2n(n+1)(2n+1)/3
               = 2*3(3+1)(2*3+1)/3
               = 56
22 + 42 + 62 = 4 + 16 + 36 = 56

How to compute sum of squares of first n odd natural numbers?
We need to compute 1² + 3² + 5² + …. + (2n-1)²

OddSum  = (Sum of Squares of all 2n numbers) - 
          (Sum of squares of first n even numbers)
        = 2n*(2n+1)*(2*2n + 1)/6 - 2n(n+1)(2n+1)/3
        = 2n(2n+1)/6 [4n+1 - 2(n+1)] 
        = n(2n+1)/3 * (2n-1)
        = n(2n+1)(2n-1)/3

Example:

Sum of squares of first 3 odd numbers = n(2n+1)(2n-1)/3
                                      = 3(2*3+1)(2*3-1)/3
                                      = 35
1² + 3² + 5² = 1 + 9 + 25 = 35

Please write comments if you find anything incorrect, or you want to share more information about the topic discussed above

Last Updated :
04 Apr, 2019

Like Article

Save Article

Источник

Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте

его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву

, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения

и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему

Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена

или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

	сумма квадратов первых 2n+1 нечётных чисел 13.07.2010, 14:00
21/01/10 146	Привет, у меня вопрос по простенькой задаче. Как из знания формулы суммы первых n квадратов: $1^2+2^3+3^2+...+n^2= frac {n(n+1)(2n+1)} 6$ получить формулу суммы первых 2n+1 нечётных чисел: $1^2+3^3+5^2+...+(2n+1)^2= frac {(n+1)(2n+1)(2n+3)} 3$ Подскажите пожалуйста первый шаг.

ewert

Re: сумма квадратов первых 2n+1 нечётных чисел

13.07.2010, 14:16

Заслуженный участник

11/05/08
32162

посчитать через первую формулу сумму квадратов всех чётных

чисел — и вычесть

mihailm	Re: сумма квадратов первых 2n+1 нечётных чисел 13.07.2010, 14:38
19/05/10 ∞ 3940 Россия

ean	Re: сумма квадратов первых 2n+1 нечётных чисел 13.07.2010, 15:42
21/01/10 146

mihailm	Re: сумма квадратов первых 2n+1 нечётных чисел 13.07.2010, 15:45
19/05/10 ∞ 3940 Россия

ean	Re: сумма квадратов первых 2n+1 нечётных чисел 13.07.2010, 15:50
21/01/10 146	ой, да, простите, имелось в виду $$1^2+2^2+3^2+...+n^2= frac {n(n+1)(2n+1)} 6$ и $$1^2+3^2+5^2+...+(2n+1)^2= frac {(n+1)(2n+1)(2n+3)} 3$

ean	Re: сумма квадратов первых 2n+1 нечётных чисел 15.07.2010, 15:45
21/01/10 146	посчитать через первую формулу сумму квадратов всех чётных чисел — и вычесть не понимаю как это можно сделать ну то есть ясно, что нужно посчитать сумму первых квадратов чётных чисел, должно получиться $frac {n(2n+1)(4n+1)} 3$ , а как из первой формулы это получить — непонятно.

ewert

Re: сумма квадратов первых 2n+1 нечётных чисел

15.07.2010, 16:05

Заслуженный участник

11/05/08
32162

worm2

Re: сумма квадратов первых 2n+1 нечётных чисел

15.07.2010, 16:05

Заслуженный участник

01/08/06
2954
Уфа

ean	Re: сумма квадратов первых 2n+1 нечётных чисел 15.07.2010, 16:10
21/01/10 146	Так…. Дано: (для любого ). Также задано p. Найти: . Неужели непонятно, как? Блин, после вашего «Неужели непонятно, как?» сразу стало понятно Мне это в голову приходило, но что-то я не додумал это. Спасибо.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Источник

FFPowerMan, во-первых, уменьшение точности и изменения типов.
int a = n; ... auto r = (a*a); // r — инт, вычислено точно. auto r1 = pow(a, 2); // r2 - double, вычислено приближённо
Во-вторых, да, вычисление pow внутри содержит десятки умножений, что точно хуже одного умножения по скорости, + вызов функции, что тоже медленно.
В-третьих, для вызова pow нужно #include <cmath>, что негативно отражается на скорости сборки, да и вообще лишняя зависимость.

Источник

Search
Дом	математика ↺
математика	Последовательность и серия ↺
Последовательность и серия	Общие серии ↺
Общие серии	Сумма площадей ↺

✖Значение N — это общее количество членов от начала ряда до места, где вычисляется сумма ряда.ⓘ Значение N [n]

+10%

-10%

✖Сумма квадратов первых N нечетных натуральных чисел — это сумма квадратов нечетных натуральных чисел, начиная с 1 и заканчивая n-м нечетным числом 2n-1.ⓘ Сумма квадратов первых N нечетных натуральных чисел [S_n2(Odd)]

⎘ копия

Сумма квадратов первых N нечетных натуральных чисел Решение

ШАГ 0: Сводка предварительного расчета

ШАГ 1. Преобразование входов в базовый блок

Значение N: 5 —> Конверсия не требуется

ШАГ 2: Оцените формулу

ШАГ 3: Преобразуйте результат в единицу вывода

165 —> Конверсия не требуется

3 Сумма площадей Калькуляторы

Сумма квадратов первых N нечетных натуральных чисел формула

Сумма квадратов первых N нечетных натуральных чисел = (Значение N*((2*Значение N)+1)*((2*Значение N)-1))/3

S_n2(Odd) = (n*((2*n)+1)*((2*n)-1))/3

Что такое общая серия?

Предположим, что a1, a2, a3, …, an — последовательность такая, что выражение a1 a2 a3 ,… an называется рядом, ассоциированным с данной последовательностью.

Где используются серии?

Ряды используются в большинстве областей математики, даже для изучения конечных структур (например, в комбинаторике) с помощью производящих функций. В дополнение к их повсеместному распространению в математике, бесконечные ряды также широко используются в других количественных дисциплинах, таких как физика, информатика, статистика и финансы.

Источник