Как найти сумму коэффициентов при нечетных степенях - Avtoru.top

��

�� ޣ�� , �� f(x) = (x³ – x + 1)¹⁰⁰ � �� .

��

�� , �� x = 1 � x = –1?

��

�� f(x) �� x = 1, �� x^k. �� x = –1, �� ޣ�� Σ�� . �� ޣ�� ½ (f(1) + f(–1)) = 1.

��

Источник

Разложение многочлена на множители. Часть 3. Теорема Безу и схема Горнера

Разложение многочлена на множители. Теорема Безу и схема Горнера

При решении уравнений и неравенств нередко возникает необходимость разложить на множители многочлен, степень которого равна трем или выше. В этой статье мы рассмотрим, каким образом это сделать проще всего.

Как обычно, обратимся за помощью к теории.

Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена на двучлен равен .

Но для нас важна не сама теорема, а следствие из нее:

Если число является корнем многочлена , то многочлен делится без остатка на двучлен .

Перед нами стоит задача каким-то способом найти хотя бы один корень многочлена, потом разделить многочлен на , где — корень многочлена. В результате мы получаем многочлен, степень которого на единицу меньше, чем степень исходного. А потом при необходимости можно повторить процесс.

Эта задача распадается на две: как найти корень многочлена , и как разделить многочлен на двучлен.

Остановимся подробнее на этих моментах.

1. Как найти корень многочлена.

Сначала проверяем, являются ли числа 1 и -1 корнями многочлена.

Здесь нам помогут такие факты:

Если сумма всех коэффициентов многочлена равна нулю, то число является корнем многочлена.

Например, в многочлене сумма коэффициентов равна нулю: . Легко проверить, что является корнем многочлена.

Если сумма коэффициентов многочлена при четных степенях равна сумме коэффициентов при нечетных степенях, то число является корнем многочлена. Свободный член считается коэффициентом при четной степени, поскольку , а — четное число.

Например, в многочлене сумма коэффициентов при четных степенях : , и сумма коэффициентов при нечетных степенях : . Легко проверить, что является корнем многочлена.

Если ни 1, ни -1 не являются корнями многочлена, то двигаемся дальше.

Для приведенного многочлена степени (то есть многочлена, в котором старший коэффициент — коэффициент при — равен единице) справедлива формула Виета:

, где — корни многочлена .

Если многочлен не является приведенным, то его можно сделать таковым, разделив на старший коэффициент.

Есть ещё формул Виета, касающихся остальных коэффициентов многочлена, но нас интересует именно эта.

Из этой формулы Виета следует, что если корни приведенного многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также является целым числом.

Исходя из этого, нам надо разложить свободный член многочлена на множители, и последовательно, от меньшего к большему, проверять, какой из множителей является корнем многочлена.

Рассмотрим, например, многочлен .

Для этого многочлена произведение корней равно

Делители числа : ; ;

Сумма всех коэффициентов многочлена равна , следовательно, число 1 не является корнем многочлена.

Сумма коэффициентов при четных степенях :

Сумма коэффициентов при нечетных степенях :

, следовательно, число -1 также не является корнем многочлена.

Проверим, является ли число 2 корнем многочлена: , следовательно, число 2 является корнем многочлена. Значит, по теореме Безу, многочлен делится без остатка на двучлен .

2. Как разделить многочлен на двучлен.

Многочлен можно разделить на двучлен столбиком.

Разделим многочлен на двучлен столбиком:

Есть и другой способ деления многочлена на двучлен — схема Горнера.

Посмотрите это видео, чтобы понять, как делить многочлен на двучлен столбиком, и с помощью схемы Горнера.

Замечу, что если при делении столбиком какая-то степень неизвестного в исходном многочлене отсутствует, на её месте пишем 0 — так же, как при составлении таблицы для схемы Горнера.

Итак, если нам нужно разделить многочлен на двучлен и в результате деления мы получаем многочлен , то коэффициенты многочлена мы можем найти по схеме Горнера:

Мы также можем использовать схему Горнера для того, чтобы проверить, является ли данное число корнем многочлена: если число является корнем многочлена , то остаток от деления многочлена на равен нулю, то есть в последнем столбце второй строки схемы Горнера мы получаем 0.

Используя схему Горнера, мы «убиваем двух зайцев»: одновременно проверяем, является ли число корнем многочлена и делим этот многочлен на двучлен .

Пример. Решить уравнение:

1. Выпишем делители свободного члена, и будем искать корни многочлена среди делителей свободного члена.

Делители числа 24:

2. Проверим, является ли число 1 корнем многочлена.

Сумма коэффициентов многочлена , следовательно, число 1 является корнем многочлена.

3. Разделим исходный многочлен на двучлен с помощью схемы Горнера.

А) Выпишем в первую строку таблицы коэффициенты исходного многочлена.

Так как член, содержащий отсутствует, в том столбце таблицы, в котором должен стоять коэффициент при пишем 0. Слева пишем найденный корень: число 1.

Б) Заполняем первую строку таблицы.

В последнем столбце, как и ожидалось, мы получили ноль, мы разделили исходный многочлен на двучлен без остатка. Коэффициенты многочлена, получившегося в результате деления изображены синим цветом во второй строке таблицы:

Будем делить дальше. Нам нужно найти корни многочлена . Корни также ищем среди делителей свободного члена, то есть теперь уже числа -24.

Легко проверить, что числа 1 и -1 не являются корнями многочлена

В) Продолжим таблицу. Проверим, является ли число 2 корнем многочлена :

Так степень многочлена, который получается в результате деления на единицу меньше степени исходного многочлена, следовательно и количество коэффициентов и количество столбцов на единицу меньше.

В последнем столбце мы получили -40 — число, не равное нулю, следовательно, многочлен делится на двучлен с остатком, и число 2 не является корнем многочлена.

Идем дальше.

В) Проверим, является ли число -2 корнем многочлена . Так как предыдущая попытка оказалась неудачной, чтобы не было путаницы с коэффициентами, я сотру строку, соответствующую этой попытке:

Отлично! В остатке мы получили ноль, следовательно, многочлен разделился на двучлен без остатка, следовательно, число -2 является корнем многочлена. Коэффициенты многочлена, который получается в результате деления многочлена на двучлен в таблице изображены зеленым цветом.

В результате деления мы получили квадратный трехчлен , корни которого легко находятся по теореме Виета:

Итак, корни исходного уравнения :

{}

Ответ: {}

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Источник

При решении уравнений и неравенств нередко возникает необходимость разложить на множители многочлен, степень которого равна трем или выше

Теорема Безу: остаток от деления многочлена P(x) на двучлен x — a равен P(a).

Следствие. Если число a является корнем многочлена P(x), то многочлен

P(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+..+a_n

делится без остатка на двучлен x — a.

Перед нами стоит задача каким-то способом найти хотя бы один корень многочлена, потом разделить многочлен на x — a, где a — корень многочлена. В результате мы получаем многочлен, степень которого на единицу меньше, чем степень исходного. А потом при необходимости можно повторить процесс.

Эта задача распадается на две: как найти корень многочлена, и как разделить многочлен на двучлен.

Как найти корень многочлена.

Сначала проверяем, являются ли числа 1 и -1 корнями многочлена.

Если сумма всех коэффициентов многочлена равна нулю, то число 1 является корнем многочлена.

Если сумма коэффициентов многочлена при четных степенях x равна сумме коэффициентов при нечетных степенях, то число -1 является корнем многочлена.

Например, в многочлене 3x⁵ -2x³ -7x+6 сумма коэффициентов равна нулю:

3 – 2 – 7 + 6 = 0. Следовательно х = 1 является корнем многочлена.

В многочлене 5x⁴ +3x³ +2x²+5x+1 сумма коэффициентов при четных степенях х: 5 + 2 + 1 = 8, и сумма коэффициентов при нечетных степенях х: 3 + 5 = 8. Следовательно

х = -1 является корнем многочлена. Если ни 1, ни -1 не являются корнями многочлена, то

из формулы Виета следует, что если корни многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также является целым числом.

Например, многочлен 2x³ -3x²+5x-14

Делители свободного члена:+1,-1,+2,-2,+7,-7,+14,-14.

Корень х =2,

2.Деление многочлена на многочлен производится по тому же принципу – столбиком (уголком) и функция представляется в виде суммы «целой части» и дробной части.

Источник

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте

его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву

, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения

и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему

Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена

или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

	Сумма коэффициентов полинома. 14.11.2006, 23:27
13/08/06 107	Здравствуйте, уважаемые участники форума! Я вернулся)) Меня интересует вопрос: В уравнении 3-ей степени (1-х^2-x^3)^2006 необходимо найти сумму четных и нечетных коэффициентов (имеется в виду сами коэффициенты четные или нечетные) … Как? (условия уточняются) Заранее спасибо.[/code]

maxal

14.11.2006, 23:34

Модератор

11/01/06
5613

незваный гость

14.11.2006, 23:43

Заслуженный участник

17/10/05
3709

:evil:

Mathematica это посчитает за 10-20 секунд. Полчите числа порядка 7.875008 10 ^849 для четных, и, соответственно -7.875008 10 ^849 для нечетных. Сумма, как и следует ожидать, равна 1. А зачем?

maxal

14.11.2006, 23:50

Модератор

11/01/06
5613

незваный гость писал(а):

Полчите числа порядка 7.875008 10 ^849 для четных, и, соответственно -7.875008 10 ^849 для нечетных.

Отнюдь. Ответом будет 1 и 0. См. формулы выше.

незваный гость

15.11.2006, 00:35

Заслуженный участник

17/10/05
3709

:evil:

maxal

, Вы подсчитали сумму четных по номеру

коэффициетнов. А я — по значению

AchilleS писал(а):

(имеется в виду сами коэффициенты четные или нечетные)

Добавлено спустя 41 минуту 44 секунды:

:evil:

Мне было лень, и я подсчитал точно. Просто, публиковать 897 цифр?!? как-то непонятно зачем. Задача выглядит искусственной.

maxal

15.11.2006, 00:50

Модератор

11/01/06
5613

Вообще, коэффициент при $x^t$ равен:

$sum_{k=0}^{lfloor t/2rfloor} (-1)^k {2006choose k} {kchoose t-2k}.$

Но вот определить аналитически его четность (даже с помощью теоремы Люка) не так-то просто. Гораздо проще пробежаться по численным значениям всех коэффициентов и просуммировать согласно четности.

AchilleS	15.11.2006, 15:07
13/08/06 107	maxal писал(а): Пусть $f(x)=( 1 - x^2 - x^3 )^{2006}$ . Тогда сумма четных коэффициентов равна $frac{f(1)+f(-1)}{2},$ а сумма нечетных $frac{f(1)-f(-1)}{2}.$ Простите, не могли бы вы более подробно объяснить это решение. Кстати, это задача с городской олимпиады по математике для 11-ых классов!

незваный гость

15.11.2006, 18:56

Заслуженный участник

17/10/05
3709

:evil:

AchilleS писал(а):

Кстати, это задача с городской олимпиады по математике для 11-ых классов!

AchilleS писал(а):

В уравнении 3-ей степени (1-х^2-x^3)^2006 необходимо найти сумму четных и нечетных коэффициентов (имеется в виду сами коэффициенты четные или нечетные)

1) Это не уравнение.

2) Этот полином не третьей степени.

3) Если это 11-класс, то это — не «сами коэффициенты», а их номера.

AchilleS	16.11.2006, 09:43
13/08/06 107	незваный гость писал(а): AchilleS писал(а): Кстати, это задача с городской олимпиады по математике для 11-ых классов! AchilleS писал(а): В уравнении 3-ей степени (1-х^2-x^3)^2006 необходимо найти сумму четных и нечетных коэффициентов (имеется в виду сами коэффициенты четные или нечетные) 1) Это не уравнение. 2) Этот полином не третьей степени. 3) Если это 11-класс, то это — не «сами коэффициенты», а их номера. Приму к сведению.

незваный гость

16.11.2006, 19:40

Заслуженный участник

17/10/05
3709

:evil:

AchilleS писал(а):

Простите, не могли бы вы более подробно объяснить это решение.

Пусть $f(x) = (1-x^2 - x^3)^{2006}$ . Тогда $f(x) = sum_{k=0}^{6018}a_k x^k$ — полином. $f(1) = sum_{k=0}^{6018}a_k$ , $f(-1) = sum_{k=0}^{6018}(-1)^k a_k$ , и следовательно: $frac{f(1)+f(-1)}{2} =$ $sum_{k=0}^{6018} frac{1+(-1)^k}{2} a_k =$ $sum_{k=0}^{3009}a_{2k}$ . Для нечетных аналогично (либо из суммы всех вычитаем сумму четных).

Larry	Полином 19.11.2006, 22:15
19/11/06 8	полином записан в каноническом виде. Найти сумму всех его коэффициентов.