Как найти сторону призмы вписанной в цилиндр - Avtoru.top

ВИДЕОУРОК

Призма, вписанная в цилиндр.

Призму называют вписанною в цилиндр, если её основания
вписаны в основания цилиндра, а боковые рёбра касательные цилиндра.

При этом цилиндр называют описанным вокруг призмы. Понятно,
что если касательные цилиндра перпендикулярны к плоскости основания, то призма,
вписанная в цилиндр, будет прямою.

Из определения призмы, вписанной в цилиндр, вытекают её
свойства:

– цилиндр можно описать вокруг прямой призмы, если её
основанием является многогранник, вокруг которого можно описать окружность; при этом радиус цилиндра R равен радиусу этой
окружности;
– высота Н призмы, которая
соединяет центры окружностей, описанных вокруг основ, принадлежит оси цилиндра.

Формулы вычисления радиуса R описанной окружности.

Где a, b, с – стороны, h – высота, d – диагональ.

ПРИМЕР:

Можно или нет описать цилиндр вокруг
прямой призмы, в основании которой лежит треугольник ?

РЕШЕНИЕ:

Да, так как вокруг любого треугольника
можно описать окружность.

ПРИМЕР:

Можно или нет описать цилиндр вокруг
прямой призмы, в основании которой лежит ромб, если он не является квадратом ?

РЕШЕНИЕ:

Нет, так как вокруг ромба, который
не является квадратом, нельзя описать окружность.

Призма, описанная вокруг цилиндра.

Касательной плоскостью цилиндра называют плоскость, которая
проходит через касательную цилиндра и перпендикулярная к плоскости осевого сечения,
в котором находится касательная цилиндра.

Призму называют описанной вокруг цилиндра, если её
основания описаны вокруг оснований цилиндра, а боковые грани принадлежат плоскостям,
которые касаются цилиндра.

При этом цилиндр называют вписанным в призму, так как касательные
цилиндра перпендикулярные к плоскости оснований, и боковые грани призмы, в
которых находятся касательные, также перпендикулярные к плоскости оснований, то
есть призма, описанная вокруг цилиндра, будет прямой.

По определению призмы, описанной вокруг цилиндра, определим
её свойства:

– цилиндр можно вписать в прямую призму, если её основания
будут многогранники, в которые можно вписать окружности; при этом радиус цилиндра r равен радиусу этой
окружности;
– высота Н призмы, которая
соединяет центры окружностей, вписанных в основания, принадлежит оси цилиндра.

Формулы вычисления радиуса r описанной окружности.

Где h – высота, S – площадь, р – полупериметр, a – сторонa.

ЗАДАЧА:

Вокруг цилиндра, высота которого равна 5 см, описали четырёхугольную
призму, три стороны которой в порядке следования равны

3 см, 4 см и 7 см.

Найти площадь
боковой поверхности призмы.

РЕШЕНИЕ:

Обозначим неизвестную сторону четырёхугольника
основания х. Так как этот четырёхугольник описан вокруг окружности, то

3 + 7 = 4 + х,

откуда х = 6 см.

Площадь боковой поверхности призмы

S_бок = P × l
где, Р – периметр
основания,

l – боковое ребро, которое равно высоте цилиндра.

Имеем:

Р = 3 + 7 + 4 +
6 = 20 (см).

S_бок = 20 × 5 = 100 (см²).

ОТВЕТ: 100 см².

ЗАДАЧА:

В цилиндр вписана правильная
шестиугольная призма. Найдите угол между диагональю её боковой грани и осью
цилиндра, если радиус основания равен высоте цилиндра.

РЕШЕНИЕ:

Из условия задачи имеем:

В цилиндр вписана правильная
шестиугольная призма. Радиус основания цилиндра равен высоте призмы АО = АА₁.

Боковые грани – квадраты, так как сторона правильного шестиугольника,
вписанного в окружность, равна радиусу. Рёбра призмы параллельны оси цилиндра,
поэтому угол между диагональю грани и осью цилиндра равен углу между диагональю
и боковым ребром. А этот угол равен 45°, так как грани – квадраты.

ЗАДАЧА:

Правильная
четырёхугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого
равен 0,5. Площадь боковой
поверхности призмы равна 8. Найдите высоту цилиндра.

РЕШЕНИЕ:

Так как четырёхугольная призма правильная, то в
основании лежит квадрат.

Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен 0,5.
Следовательно, сторона квадрата равна диаметру окружности, то есть

2 ∙ 0,5 = 1.

Так как все боковые грани призмы равны, то площадь одной
грани равна

8 : 4 = 2.

Каждая грань представляет собой прямоугольник,
следовательно, её площадь равна произведению бокового ребра призмы на сторону
основания (квадрата). Следовательно, боковое ребро призмы равно:

2 : 1 = 2.

Высота цилиндра равна боковому ребру призмы,
следовательно, она равна 2.

ЗАДАЧА:

В цилиндр вписан правильный параллелепипед. Найдите
площадь полной поверхности этого параллелепипеда, если радиус цилиндра 10
см, а высота 20
см.

РЕШЕНИЕ:

Пусть О и О₁ – центры основ данного цилиндра,

ОО₁ – отрезок оси цилиндра, являющийся высотой. Поскольку параллелепипед
вписан в цилиндр, то его основания – параллелограммы. АВСD и А₁В₁С₁D₁, вписанные в основания цилиндра, следовательно, они прямоугольники или
квадраты, причем точки О и О₁ – центры этих четырехугольников – точки пересечения диагоналей. Тогда

АА₁ ∥ ВВ₁ ∥ СС₁ ∥ DD₁ ∥ ОО₁.

ОО₁ ⊥ (АВС),
ОО₁ ⊥ (А₁В₁С₁),

следовательно, параллелепипед является
прямоугольным. Диагонали четырехугольников являются диаметрами цилиндра,
боковые ребра – образующие цилиндра,

Поскольку параллелепипед
правильный, то АВСD – квадрат,

АО = ВО = СO = DО = R = 10 см,

тоді АВ = 10√͞͞͞͞͞2 см.

S_п
= S_б
+ 2S_осн = P∙
H + 2S_ABCD
=

= 4
∙ 10√͞͞͞͞͞2 ∙
20 +
2(10√͞͞͞͞͞2)² =

= 800√͞͞͞͞͞2 +
400 = 400(2√͞͞͞͞͞2 +
1)
(см²).

ОТВЕТ: 400(2√͞͞͞͞͞2 +
1) см²

ЗАДАЧА:

Вокруг цилиндра описана правильная четырёхугольная
призма, площадь боковой поверхности которой равна Q. Найдите площадь боковой поверхности
цилиндра.

РЕШЕНИЕ:

Если правильная четырехугольная призма описана вокруг
цилиндра, то круги основания цилиндра, вписанные в основания призмы, –
квадраты, центры оснований цилиндра – точки пересечения диагоналей квадратов,
боковое ребро призмы равно образующей цилиндра и является высотой призмы и
цилиндра. Отметим сторону квадрата а, радиус цилиндра r, высоту призмы и цилиндра Н.

По условию

S_б.пр. = Q,

S_б.пр. = P∙ H = 4a ∙ H = Q,

S_б.ц. = 2πrH, а = 2r.

Маємо:

4a ∙ H = Q, 4∙ 2rH = Q,

2rН = ^Q/₄,

тоді

S_б.ц. = π ∙ 2RH = π∙ ^Q/₄

ОТВЕТ: π∙ ^Q/₄

Решение задач с применением
тригонометрии.

ЗАДАЧА:

В цилиндр вписана треугольная призма, основанием которой
является прямоугольный треугольник с катетом
а и прилежащим к нему острым углом α.
Диагональ грани призмы, в которой находится эта сторона треугольника, наклонена
к плоскости основания под углом β.
Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

РЕШЕНИЕ:

Пусть на рисунке изображен данный цилиндр,

О и О₁ – центры оснований, ОО₁ –
отрезок оси цилиндра, являющийся высотой. В данный цилиндр вписана треугольная
призма (прямая).

АВСА₁В₁С₁, ∠ С = ∠ С₁ = 90°.

Тогда ∆ АВС и ∆
А₁В₁С₁ вписаны в круги оснований цилиндра, О и О₁ –
середины гипотенуз АВ и А₁В₁, боковые ребра призмы являются образующими цилиндра,

∠ ВАС = α, АС = а,

АА₁ ∥
ВВ₁ ∥ СС₁ ∥ DD₁,

АА₁ ⊥ (АВС),
А₁С –
наклонная, АС – проекция,

поэтому ∠ АСА₁ = β – угол между
А₁С и (АВС).

ОТВЕТ:

Задания к уроку 12

Источник

Призма вписана в цилиндр, если ее основания — многоугольники, вписанные в основания цилиндра, а боковые ребра являются образующими призмы.

Высоты вписанной призмы и цилиндра равны.

В школьном курсе изучается только прямой круговой цилиндр, соответственно, вписанная в цилиндр призма также должна быть прямой.

Призма может быть вписана в цилиндр, если около ее основания можно описать окружность. Отсюда следует, в цилиндр можно вписать любую правильную призму, прямую треугольную призму, прямоугольный параллелепипед.

В ходе решения задач на призму, вписанную в цилиндр, можно рассмотреть часть осевого сечения комбинации тел — прямоугольник, стороны которого равны радиусу описанной около основания призмы окружности ( радиусу цилиндра) и высоте призмы (и цилиндра). Например, в прямоугольнике AA1O1O OO1=H — высота призмы и цилиндра, AO=R — радиус описанной окружности.

Найдем отношение объема призмы к объему описанного около нее цилиндра:

$[frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = frac{{{S_{ocn}} cdot H}}{{pi {R^2}H}} = frac{{{S_{ocn}}}}{{pi {R^2}}}.]$

В частности, отношение объема правильной треугольной призмы к объему описанного цилиндра

$[frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = frac{{{S_{ocn}}}}{{pi {R^2}}} = frac{{frac{{{a^2}sqrt 3 }}{4}}}{{pi {{(frac{a}{{sqrt 3 }})}^2}}} = frac{{{a^2}sqrt 3 }}{{4pi cdot {{frac{a}{3}}^2}}} = frac{{3sqrt 3 }}{{4pi }}.]$

Отношение объема правильной четырехугольной призмы (то есть прямоугольного параллелепипеда, в основании которого лежит квадрат) к объему описанного около нее цилиндра равно

$[frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = frac{{{S_{ocn}}}}{{pi {R^2}}} = frac{{{a^2}}}{{pi {{(frac{a}{{sqrt 2 }})}^2}}} = frac{{{a^2}}}{{frac{{pi {a^2}}}{2}}} = frac{2}{pi },]$

Отношение объема правильной шестиугольной призмы к объему описанного около нее цилиндра

$[frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = frac{{{S_{ocn}}}}{{pi {R^2}}} = frac{{frac{{3{a^2}sqrt 3 }}{2}}}{{pi {a^2}}} = frac{{3sqrt 3 }}{{2pi }}.]$

(Как запомнить формулу для вычисления площади правильного шестиугольника, можно посмотреть здесь).

Отношение боковой поверхности вписанной призмы к объему описанного цилиндра:

$[frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = frac{{{P_{ocn}} cdot H}}{{2pi RH}} = frac{{{P_{ocn}}}}{{2pi R}}.]$

Для правильной треугольной призмы это отношение равно

$[frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = frac{{{P_{ocn}}}}{{2pi R}} = frac{{3a}}{{2pi cdot frac{a}{{sqrt 3 }}}} = frac{{3sqrt 3 }}{{2pi }},]$

для правильной четырехугольной —

$[frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = frac{{{P_{ocn}}}}{{2pi R}} = frac{{4a}}{{2pi cdot frac{a}{{sqrt 2 }}}} = frac{{2sqrt 2 }}{pi },]$

для правильной шестиугольной —

$[frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = frac{{{P_{ocn}}}}{{2pi R}} = frac{{6a}}{{2pi a}} = frac{3}{pi }.]$

Источник

Цилиндр называется описанным около призмы, если многоугольники оснований призмы вписаны в окружности оснований цилиндра, а образующие цилиндра являются боковыми рёбрами призмы.

Цилиндр можно описать только около такой прямой призмы, около основания которой можно описать окружность.

Например, цилиндр всегда можно описать около прямой треугольной призмы, около правильной призмы.

Рисунок составляется в зависимости от содержания задания, часто достаточно рисунка основания комбинаций этих тел, т. к. высота призмы равна высоте цилиндра.

Окружность основания цилиндра описана около многоугольника основания призмы.

Радиус цилиндра — это радиус окружности, описанной около многоугольника основания призмы.

Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Центр окружности, описанной около четырёхугольника, является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам четырёхугольника. Около четырёхугольника можно описать окружность, если суммы противоположных углов равны

180°

Формулы вычисления радиуса (R) описанной окружности

(a, b, c) — стороны, (h) — высота, (d) — диагональ.

Правильный треугольник	(R =) 23h; (R=) a33
Прямоугольный треугольник	(R=) 12 гипотенузы
Произвольный треугольник	R=abc4S;R=a2sinα
Квадрат	(R =) a22
Прямоугольник	(R =) d2
Правильный шестиугольник	(R = a)

Цилиндр вписан в призму, если окружности оснований цилиндра вписаны в многоугольники оснований призмы.

Цилиндр можно вписать только в такую прямую призму, в многоугольник основания которой можно вписать окружность.

Например, цилиндр всегда можно вписать в прямую треугольную призму, в правильную призму.

Рисунок создаётся в зависимости от содержания задачи, часто достаточно нарисовать основание комбинаций этих тел, т. к. высота цилиндра равна высоте призмы.

Окружность основания цилиндра вписана в многоугольник основания призмы.

Радиус цилиндра — радиус окружности, вписанной в многоугольник основания призмы.

Центр вписанной в треугольник окружности находится в точке пересечения биссектрис треугольника.

Центр окружности, вписанной в четырёхугольник, находится в точке пересечения биссектрис четырёхугольника. В четырёхугольник можно вписать окружность, если равны суммы длин противоположных сторон.

Формулы вычисления радиуса (r) вписанной окружности

Где (h) — высота, (S) — площадь, (p) — полупериметр, (a) — сторона.

Правильный треугольник	r=13h;r=a36
Произвольный (и прямоугольный) треугольник	(r =) Sp
Квадрат
Ромб	или
Правильный шестиугольник	(r =) a32

Источник

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 11 класс>>Математика:Вписанная и описанная призмы

Вписанная и описанная призмы

Призмой, вписанной в цилиндр, называется такая призма, у которой плоскостями оснований являются плоскости оснований цилиндра, а боковыми ребрами — образующие цилиндра (рис. 438).

Задача (7). В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма. Найдите угол между диагональю ее боковой грани и осью цилиндра, если радиус основания равен высоте цилиндра.

Решение. Боковые грани призмы — квадраты, так как сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу (ркс. 439). Ребра призмы параллельны оси цилиндра, поэтому угол между диагональю грани и осью цилиндра равен углу между диагональю и боковым ребром. А этот угол равен 45°, так как грани — квадраты.

Касательной плоскостью к цилиндру называется плоскость, проходящая через образующую цилиндра и перпендикулярная плоскости осевого сечения, содержащей эту образующую (рис. 440).

Призмой, описанной около цилиндра, называется призма, у которой плоскостями оснований являются плоскости оснований цилиндра, а боковые грани касаются цилиндра (рис. 441).

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

_{Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн, Математика в школе скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь — Образовательный форум.

При использовании материалов ресурса
ссылка на edufuture.biz обязательна (для интернет ресурсов —
гиперссылка).
edufuture.biz 2008-© Все права защищены.
Сайт edufuture.biz является порталом, в котором не предусмотрены темы политики, наркомании, алкоголизма, курения и других «взрослых» тем.

Разработка — Гипермаркет знаний 2008-

Ждем Ваши замечания и предложения на email:
По вопросам рекламы и спонсорства пишите на email:

Источник

§ 17. Цилиндр

17.1. Определение цилиндра и его элементов

Определение. Тело, которое образуется при вращении прямоугольника вокруг прямой, содержащей его сторону, называется цилиндром (рис. 141).

Круги, образованные вращением сторон прямоугольника, перпендикулярных оси вращения, называются основаниями цилиндра (верхним и нижним). Так как противоположные стороны прямоугольника равны, то основаниями цилиндра являются равные круги.

Рис. 141

Поверхность, образованная вращением стороны прямоугольника, параллельной оси вращения, называется боковой поверхностью цилиндра, а её площадь — площадью боковой поверхности цилиндра и обозначается Sбок. Объединение боковой поверхности цилиндра и двух его оснований называется полной поверхностью цилиндра, а её площадь обозначается Sполн. Таким образом,

Sполн = Sбок + 2Sосн.(1)

Высотой цилиндра называется перпендикуляр, проведённый из какой-либо точки одного основания цилиндра к плоскости другого. Длину этого перпендикуляра также называют высотой цилиндра. Отрезок, соединяющий точки окружностей оснований и перпендикулярный к их плоскостям, называется образующей цилиндра вращения. Отрезок оси вращения, заключённый внутри цилиндра, называется осью цилиндра.

Образующие цилиндра вращения перпендикулярны плоскостям его оснований, а в основании цилиндра — круг, поэтому такой цилиндр называется прямым круговым цилиндром (рис. 142, а).

Если основания прямого кругового цилиндра подвергнуть сжатию так, чтобы окружность основания преобразовалась в эллипс, то получим цилиндр, который называется эллиптическим цилиндром (рис. 142, б).

Так как окружность при параллельном проектировании изображается эллипсом, то изображения кругового и эллиптического цилиндров совпадают.

Цилиндр, образующие которого не перпендикулярны плоскостям его оснований, называется наклонным цилиндром (рис. 142, в).

Рис. 142

Рис. 143

Нам предстоит изучать лишь прямой круговой цилиндр, поэтому слова «прямой круговой» опускаем.

Поверхность, образованную вращением прямой, параллельной оси вращения, называют цилиндрической поверхностью вращения (рис. 143).

Уравнение x2 + y2 = r2 (r > 0) задаёт цилиндрическую поверхность вращения с осью вращения Oz и радиусом основания r. Из этого уравнения следует, что цилиндрическая поверхность является поверхностью второго порядка. (Подробнее о поверхностях второго порядка можно прочитать в «Дополнениях» в конце этой книги.)

17.2. Свойства цилиндра

а) Сечения цилиндра плоскостью. Так как цилиндр является телом вращения, то любое его перпендикулярное сечение есть круг, а перпендикулярное сечение боковой поверхности цилиндра — окружность; центры этих окружностей и кругов — точки пересечения секущих плоскостей и оси цилиндра (рис. 144).

Рис. 144

Рис. 145

Рис. 146

Рис. 147

Рис. 148

Если секущая плоскость пересекает ось цилиндра и не перпендикулярна ей, то в сечении может получиться эллипс (рис. 145) или его некоторая часть (рис. 146, 147). Это следует из того, что параллельной проекцией окружности на плоскость, не параллельную плоскости окружности, является эллипс. (Вспомните: наклонив цилиндрический стеклянный сосуд с водой, вы видите на поверхности воды эллипс или его часть.)

Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось, называется осевым сечением цилиндра. Так как поворот пространства вокруг прямой на угол 180° является осевой симметрией относительно оси вращения, то ось прямого кругового цилиндра является его осью симметрии. Значит, осевым сечением цилиндра вращения является прямоугольник, стороны которого равны диаметру основания и образующей цилиндра (рис. 148). При этом все осевые сечения цилиндра — равные между собой прямоугольники.

Цилиндр, осевое сечение которого — квадрат, называют равносторонним цилиндром (рис. 149).

Так как все образующие цилиндра равны и параллельны друг другу, то любое сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, есть прямоугольник, высота которого равна образующей цилиндра (рис. 150).

б) Изображение цилиндра. Чтобы построить изображение цилиндра, достаточно построить: 1) прямоугольник AВB1A1 и его ось OO1 (рис. 151); 2) два равных эллипса, центрами которых являются точки O и O1 и осями — отрезки АВ и A1В1. Выделив штрихами невидимые линии, получаем искомое изображение цилиндра.

Рис. 149

Рис. 150

Рис. 151

в) Касательная плоскость к цилиндру.

Определение. Плоскость, проходящая через образующую цилиндра перпендикулярно плоскости осевого сечения, проведённой через эту образующую, называется касательной плоскостью к цилиндру (рис. 152).

Рис. 152

Говорят, что плоскость α касается цилиндра (цилиндрической поверхности) по образующей DD1, каждая точка образующей DD1 является точкой касания плоскости α и данного цилиндра.

Через любую точку боковой поверхности цилиндра проходит только одна его образующая. Через эту образующую можно провести только одно осевое сечение и только одну плоскость, перпендикулярную плоскости этого осевого сечения. Следовательно, через каждую точку боковой поверхности цилиндра можно провести лишь одну плоскость, касательную к данному цилиндру в этой точке.

17.3. Развёртка и площадь поверхности цилиндра

Следует заметить, что развёртка поверхности вращения — понятие в определённой мере интуитивное. К тому же не для каждой поверхности тела вращения можно построить её развёртку. Иными словами, не каждую поверхность можно «развернуть» на плоскости. Например, не существует развёртки сферы (см. раздел «Дифференциальная геометрия» в конце этой книги).

Рис. 153

Развёртку цилиндра мы также введём на интуитивном уровне.

Пусть R — радиус основания, h — высота цилиндра.

Рис. 154

Рис. 155

Полная поверхность цилиндра состоит из его боковой поверхности и двух оснований — равных кругов. Если эту поверхность «разрезать» по образующей DD1 (рис. 153) и по окружностям оснований, затем боковую поверхность развернуть на плоскости, то получим развёртку полной поверхности цилиндра (рис. 154), состоящую из прямоугольника и двух равных кругов, касающихся противоположных сторон этого прямоугольника (рис. 155).

Попробуйте изготовить развёртку цилиндра и склеить из неё цилиндр.

За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь её развёртки, т. е. площадь боковой поверхности цилиндра равна площади прямоугольника, у которого одна сторона равна длине окружности основания цилиндра, а другая сторона — высоте цилиндра:

Sбок = 2πRh.

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 26. Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту. ▼

Площадь круга радиуса R равна πR2, поэтому Sосн = πR2. Тогда для нахождения площади полной поверхность цилиндра справедливо:

Sполн = Sбок + 2Sосн = 2πRh + 2πR2 = 2πR(R + h).

Следствие. Пусть цилиндр образован вращением прямоугольника ABCD вокруг его высоты AD (рис. 156). Тогда

Sбок = 2πDC•BC. (1)

Рис. 156

Если EF — серединный перпендикуляр к образующей BC, проведённый из точки F оси l цилиндра, то EF = CD. Учитывая, что ВС = AD, получаем: Sбок = 2πEF•AD, т. е. боковая поверхность цилиндра равна произведению высоты цилиндра на длину окружности, радиус которой равен длине серединного перпендикуляра его образующей, проведённого из точки оcu цилиндра.

Это следствие найдёт своё применение в п. 19.7.

17.4. Призмы, вписанные в цилиндр и описанные около цилиндра

Нам предстоит решать задачи, в которых рассматриваются многогранники, вписанные в фигуры вращения и описанные около них.

Для правильного и наглядного изображения конфигураций из таких многогранников и фигур вращения необходимо верно изображать правильные многоугольники, вписанные в окружность (круг) или описанные около неё.

Определение. Призма называется вписанной в цилиндр, если основания призмы вписаны в основания цилиндра (рис. 157).

Рис. 157

Цилиндр в этом случае называют описанным около призмы.

Боковые рёбра призмы соединяют соответственные вершины её оснований, вписанных в основания цилиндра. Эти вершины лежат на окружностях оснований цилиндра. Образующие цилиндра соединяют соответственные точки окружностей его оснований и параллельны боковым рёбрам призмы. Следовательно, боковые рёбра вписанной в цилиндр призмы — образующие цилиндра.

Определение. Призма называется описанной около цилиндра, если основания призмы описаны около оснований цилиндра.

Рис. 158

Цилиндр при этом называют вписанным в призму (рис. 158).

Так как соответственные стороны оснований призмы параллельны друг другу и перпендикулярны радиусам оснований цилиндра, проведённым в точки касания, то плоскости боковых граней призмы являются касательными плоскостями к цилиндру: эти плоскости касаются поверхности цилиндра по образующим, соединяющим точки, в которых стороны оснований призмы касаются окружностей оснований цилиндра.

При изображении правильных призм, вписанных в цилиндр, следует руководствоваться алгоритмами построений изображений правильных многоугольников, вписанных в окружность.

Итак, для построения изображения правильной призмы, вписанной в цилиндр: 1) строим изображение цилиндра; 2) строим изображение правильного многоугольника, вписанного в верхнее основание цилиндра; 3) через вершины построенного вписанного многоугольника проводим образующие цилиндра; 4) в нижнем основании цилиндра последовательно соединяем концы этих образующих; 5) выделяем видимые и невидимые линии (отрезки) изображаемых фигур.

Рис. 159

На рисунке 159 изображены вписанные в цилиндр: призма, в основании которой прямоугольный треугольник (рис. 159, а); правильная четырёхугольная призма (рис. 159, б); правильная треугольная призма (рис. 159, в); правильная шестиугольная призма (рис. 159, г).

 ЗАДАЧА (3.029). Диагональ осевого сечения равностороннего цилиндра равна a. Найти площади боковой и полной поверхностей правильной призмы, вписанной в этот цилиндр, если призма: а) треугольная; б) четырёхугольная; в) шестиугольная.

Рис. 160

Решение. Рассмотрим случай а). Пусть в равносторонний цилиндр вписана правильная призма ABCA1B1C1 (рис. 160); CDD1C1 — осевое сечение; OO1 = h — высота цилиндра; ОС = R — радиус основания цилиндра.

Так как цилиндр — равносторонний, то CDD1C1 — квадрат, значит, высота цилиндра равна диаметру его основания. Тогда в квадрате СDD1С1 находим CD = = a = h.

Далее, △ АВС — правильный, вписанный в основание, радиус которого R = = . Значит, сторона АВ и высота СЕ этого треугольника равны: АВ = R = , СЕ = R = a. Откуда

Sосн = = ;

бок = 3SABB1A1 = 3AB•BB1 = 3••a = .

Тогда

Sполн = Sбок + 2Sосн = + 2• = .

Ответ: a) ; .

Рис. 161

 ЗАДАЧА (3.032). В равносторонний цилиндр, высота которого равна a, вписана правильная призма. Найти расстояние и угол между диагональю боковой грани призмы и осью цилиндра, если призма: а) треугольная; б) четырёхугольная; в) шестиугольная.

Решение. Рассмотрим случай б). Пусть ABCDA1B1C1D1 — вписанная в цилиндр правильная призма (рис. 161). Найдём расстояние и угол между осью OO1 цилиндра и скрещивающейся с ней (почему?) диагональю АB1 боковой грани ABB1A1 данной призмы.

Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, проведёнными через эти прямые.

Если точка Е — середина отрезка AD, то расстояние между скрещивающимися прямыми AB1 и OO1 равно расстоянию между плоскостью грани ABB1A1 и параллельной ей (почему?) плоскостью сечения EFF1E1. Это расстояние равно длине отрезка ОK (где точка K — середина АВ), так как OK ⟂ (ABB1) и (ABB1) || (EFF1).

Поскольку данный цилиндр — равносторонний, то BDD1B1 — квадрат со стороной BD = ВВ1 = a. Тогда АВ = = . Значит, ОK = АЕ = = — искомое расстояние между прямыми ОО1 и АВ1.

Обозначим ∠ (OO1; AB1) = ϕ, M = AB1 ∩ A1B. Для нахождения угла ϕ проведём в грани ABB1A1 прямую KK1 || OO1. Тогда ϕ = ∠ (OO1; AB1) = ∠ (KK1; AB1). Так как KK1 || OO1, OO1 ⟂ (ABC), то MK ⟂ AB. Поэтому △ АKМ — прямоугольный. В этом треугольнике АK = , KМ = . Значит, tg ϕ = = , откуда ϕ = arctg .

Ответ: б) , arctg .

Во многих пособиях по геометрии за площадь боковой поверхности цилиндра принимают предел последовательности площадей боковых поверхностей правильных вписанных в цилиндр (или описанных около цилиндра) n-угольных призм при n → +∞.

Действительно, Sбок. пов. призм = h•Pосн. призм, где Росн. призм — периметр основания призмы, h — длина её высоты. Для правильных вписанных в цилиндр призм h — постоянная величина, равная длине высоты цилиндра, а предел последовательности периметров правильных многоугольников, вписанных в окружность (основание цилиндра), равен длине этой окружности. Таким образом, мы вновь получаем: Sбок = 2πRh.

17.5. Объём цилиндра

Напомним принятое нами соглашение, основанное на принципе Кавальери.

«Пусть даны два тела и плоскость. Если каждая плоскость, параллельная данной плоскости и пересекающая одно из данных тел, пересекает также и другое, причём площади сечений, образованных при пересечении обоих тел, относятся как m : n, то и объёмы этих тел относятся как m : n».

Рис. 162

Расположим цилиндр, имеющий высоту h и радиус основания R, и прямоугольный параллелепипед с рёбрами h, R, R так, чтобы их основания находились на двух параллельных плоскостях, расстояние между которыми равно h (рис. 162). Каждая плоскость, параллельная данным плоскостям и пересекающая цилиндр, пересекает также прямоугольный параллелепипед, причём площади образованных при пересечении обоих тел сечений относятся как π•R2 : R2 = π : 1. Тогда и для объёмов этих тел справедливо: Vцил : Vпарал = π : 1 или Vцил : (R2•h) = π : 1, откуда

Vцил = π•R2•h.

Если цилиндр высотой h пересечь плоскостью, параллельной его оси, то этот цилиндр разобьётся на два тела (рис. 163). Объёмы этих тел относятся как площади сегментов, образовавшихся в основании цилиндра (докажите это на основании принципа Кавальери). Следовательно, объём каждого из этих тел может быть вычислен по формуле

V = Sсегм•h.

Рис. 163

Рис. 164

Любая плоскость, проведённая через середину оси цилиндра, разбивает этот цилиндр на два равновеликих тела (рис. 164), объём V каждого из которых равен половине объёма данного цилиндра, т. е. V = π•R2•h.