Как найти сторону основания пирамиды через апофему

Периметр основания правильной пирамиды равен произведению длины стороны основания на их удвоенное количество, а площадь – отношению количества сторон, умноженных на квадрат стороны, к четырем тангенсам угла из 180 градусов, деленных на количество сторон в основании.
P=n(a+b)
S=(na^2)/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 )

Радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник, являющимся основанием правильной пирамиды, равен отношению стороны к двум тангенсам того же угла, а радиус окружности, описанной вокруг такого многоугольника, — отношению стороны к двум синусам. (рис.34.1,34.2)
r=a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 )
R=a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 )

Чтобы найти внутренний угол многоугольника в основании правильной пирамиды, нужно умножить 180 градусов на отношение разности количества сторон и двух единиц к самому количеству сторон такого многоугольника. (рис.34.3)
γ=180°(n-2)/n

Зная апофему и сторону основания правильной пирамиды, можно найти боковое ребро и высоту пирамиды из прямоугольных треугольников, образованных ими, через теорему Пифагора. (рис.34.4, 35.1)
h=√(l^2-r^2 )=√(l^2-(a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 ))^2 )
b=√(l^2+a^2/4)

Угол между апофемой и основанием легко вычислить, найдя его косинус, который равен отношению радиуса вписанной в основание окружности к апофеме, и воспользовавшись таблицами Брадиса. Угол между боковым ребром и основанием находится аналогично через косинус, как отношение радиуса окружности, описанной вокруг основания, к боковому ребру. (рис.34.4, 34.5)
cos⁡α=R/b=a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 √(l^2+a^2/4))
cos⁡β=r/l=a/(2l tan⁡〖(180°)/n〗 )

Чтобы найти площадь боковой поверхности пирамиды через апофему и сторону основания, необходимо сначала найти площадь одной ее грани-треугольника, и затем умножить ее на количество граней – сторон в основании. Площадь полной поверхности пирамиды будет равна сумме площади боковой поверхности и площади основания.
S_(б.п.)=lan/2
S_(п.п.)=an(l/2+a/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 ))

Объем правильной пирамиды равен произведению площади основания на высоту, деленному на три. Подставив необходимое выражение вместо площади основания и высоты, получим форму объема пирамиды через апофему и сторону основания.
V=1/3 S_(осн.) h=(na^2 √(l^2-(a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 ))^2 ))/(12 tan⁡〖(180°)/n〗 )

Чтобы вписать в правильную пирамиду сферу, ее радиус должен быть равен трем объемам, деленным на площадь полной поверхности пирамиды, а чтобы описать такую же сферу вокруг пирамиды, нужно чтобы ее радиус совпадал с отношением квадрата бокового ребра к двум высотам такой пирамиды. (рис.34.6, 34.7)
r_1=3V/S_(п.п.) =(na^2 √(l^2-(a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 ))^2 ))/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 (2l+a/tan⁡〖(180°)/n〗 ) )
R_1=b^2/2h=(4l^2+a^2)/(8√(l^2-(a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 ))^2 ))

Понятие пирамиды

В зависимости от количества углов в основании пирамиды ее можно назвать треугольной, четырехугольной и так далее (рис. 2).

Правильная пирамида

Введем и докажем свойство правильной пирамиды.

Доказательство.

Рассмотрим правильную $n-$угольную пирамиду с вершиной $S$ высотой $h=SO$. Опишем вокруг основания окружность (рис. 4).

Рассмотрим треугольник $SOA$. По теореме Пифагора, получим

Очевидно, что так будет определяться любое боковое ребро. Следовательно, все боковые ребра равны между собой, то есть все боковые грани — равнобедренные треугольники. Докажем, что они равны между собой. Так как основание — правильный многоугольник, то основания всех боковых граней равны между собой. Следовательно, все боковые грани равны по III признаку равенства треугольников.

Теорема доказана.

Введем теперь следующее определение, связанное с понятием правильной пирамиды.

Очевидно, что по теореме 1 все апофемы равны между собой.

Доказательство.

Обозначим сторону основания $n-$угольной пирамиды через $a$, а апофему через $d$. Следовательно, площадь боковой грани равна

Так как, по теореме 1, все боковые стороны равны, то

Теорема доказана.

Усеченная пирамида

Доказательство.

Обозначим стороны оснований $n-$угольной пирамиды через $a и b$ соответственно, а апофему через $d$. Следовательно, площадь боковой грани равна

Так как все боковые стороны равны, то

Теорема доказана.

Пример задачи

Так как высота правильной пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей квадрата (О), что, безусловно, является серединой данной фигуры, справедливым будет вывод — расстояние от О до какой либо стороны квадрата, будет равно половине этой стороны.

Нам дана апофема и высоты правильной четырехугольной пирамиды. Найдем расстояние между ними в плоскости квадрата по теореме Пифагора. Оно и будет являться расстоянием из центра до стороны фигуры.

15² — 12² = 3

Тогда сторона основания пирамид будет равна 3 * 2 = 6

Ответ: 6.

Для решения задач на обширную тему «Стереометрия» нужно выучить и разобрать очень много элементов и тонкостей, полностью изучить все свойства фигур, а также не забывать свойства всех фигур, которые включены в курс «Планиметрии».

Среди задач по объемным фигурам очень часто встречается правильная пирамида, чтобы легко решать их, нужно хорошо с ней познакомиться. Пирамида называется правильной, если в ее основании лежит правильный многоугольник, а ее вершина спроецирована в центр основания. Как раз при изучении этого многоугольника вы услышите об апофеме.

Как вы уже поняли, в геометрии понятие апофемы — это широко распространенное явление. Невозможно узнать некоторые измерения пирамиды без знания этого. Само слово «апофема» — это пришедшее к нам из греческого языка явление, и переводится оно как «откладываю».

Определение

В планиметрии апофема — перпендикуляр (как сам, так и его длина), который проведен к стороне правильного многоугольника из центра. В стереометрии апофема пирамиды — это высота в боковой грани, которая проведена к основанию. Используется только для правильных пирамид. Соответственно, апофема правильной треугольной пирамиды — это высота ее грани, которая представлена равнобедренным треугольником.

Какова роль апофемы

Апофема — это очень важный элемент пирамиды, потому что с ее помощью можно решить огромное количество задач. В частности, боковая поверхность правильной пирамиды равна полупроизведению периметра основания и апофемы грани.

S_бп = (P_осн*h)/2; h — апофема, это ее ключевая роль.

Не путайте с H (высота объемной фигуры в стереометрии).

Также, благодаря знанию апофемы, можно найти площадь грани как равнобедренного треугольника.

Свойства апофемы

Их мало, но все же их нужно помнить. В целом это следствия, вытекающие из определения. Итак, апофема в правильной пирамиде:

1. Опущена на сторону основания под углом 90 градусов.
2. Делит сторону, на которую опущена, пополам, так как является высотой в равнобедренном/равностороннем треугольнике и по совместительству — медианой.

В правильной пирамиде все апофемы равны, так как все ее боковые грани также одинаковые. При нахождении длины апофемы вам придется воспользоваться как свойствами многоугольника, так и свойствами многогранника. Как же найти числовое значение апофемы в правильной пирамиде?

Как найти апофему пирамиды

Ее можно найти, применяя все ранее полученные знания, вот всего лишь несколько примеров:

• Если известны боковое ребро и сторона основания. Так как апофема делит сторону основания пополам и образует с ней угол в 90 градусов, то найти ее из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора вам не составит труда. Также можно найти апофему, используя знания соотношений в прямоугольном треугольнике.
• Если известен радиус вписанной окружности в основание правильной пирамиды и высота всей фигуры. Радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной, и апофема перпендикулярна этой стороне основания (которая является касательной к вписанной окружности). Высота фигуры перпендикулярна основанию и попадает в центр окружности, вписанной в основание пирамиды. Следовательно, радиус и высота фигуры являются катетами и образуют прямой угол, а вместе с апофемой — прямоугольный треугольник. И опять же по теореме Пифагора или через соотношения в прямоугольном треугольнике вы легко найдете апофему.

• Также если дана площадь грани и известно основание.

В любом случае при нахождении апофемы вам придется вспоминать все основные законы и правила планиметрии. Если неизвестны какие-то элементы из этого списка, то вы можете оперировать данными параметрами, и, постепенно находя вышеописанные данные, найти апофему вам не составит труда. Надеемся, что наша статья помогла вам в освоении такой интересной темы.

Пирамидой в стереометрии называется объёмная фигура, образуемая многоугольником и расположенной вне
его плоскости точкой. Эта точка соединена с точками в вершинах многоугольника отрезками, которые
называются рёбрами пирамиды. Сам многоугольник — это основание пирамиды. При треугольном
основании пирамида будет носить название треугольной, при четырёхугольном – четырёхугольной, и так
далее.

Приведём варианты вычисления апофемы правильной четырёхугольной пирамиды в зависимости от исходных
данных пространственной фигуры. Заданная пирамида обозначена SABCD, где S – вершина, а ABCD –
вершины квадрата в основании.

Вычисление апофемы при известных значениях высоты пирамиды и ребра основания

Апофема пирамиды при известных значениях её высоты SO и стороны квадрата в основании AD=DC=BC=AB
вычисляется по формуле гипотенузы для прямоугольного треугольника SOK. В этом треугольнике одним из
катетов будет высота SO, вторым – половинное значение заданной стороны основания OK=1/2 AD.
Значит: SK²= OK²+ SO² или SK= (1/2 AD) ²+ SO²)
или

L = √ (H² + (a / 2 tan45º)²)

где H — высота, a — ребро основания.

Пример. Пусть высота SO = 4, а сторона основания AD = 6. Тогда апофема L находится
следующим образом: L = √ (( 6 / 2)² + 4²) = 5

Вычисление апофемы при известном значении бокового ребра и ребра основания

При известном значении бокового ребра SD и стороны основания CD для нахождения апофемы SK также
используется теорема Пифагора. В этом случае рассматривается прямоугольный треугольник SKD,
гипотенузой которого выступает боковое ребро SD, одним из катетов – отрезок стороны основания DK, а
вторым – апофема SK. Первый катет равен половине стороны квадрата в основании, поскольку апофема
равнобедренного треугольника, коим является боковая грань пирамиды, является для него и медианой,
делящей основание пополам: DK = 1/2 DC. Отсюда следует, что SD²= DK²+ SK², а SK²= SD²- DK² или, подставляя, получаем выражение:
SK² = SD² — (1/2 DC)², откуда SK = √(SD² — (1/2 DC )²)
или

L = √ (b² — (a / 2)²)

где a — ребро основания, b — боковое ребро.

Пример. Пусть боковое ребро SD равно 5, а сторона основания – 6. Тогда, подставляя
указанные числовые значения, вычисляем значение апофемы: SK =5² – (6 / 2)² ) = 4.

Нахождение апофемы при заданной площади боковых поверхностей и известном ребре основания

Апофема при известной суммарной площади боковых поверхностей Sбок и значении ребра основания CD
вычисляется по следующей схеме. Вначале следует определить площадь каждой из четырёх граней, что
легко сделать, зная, что все они для правильной пирамиды равны между собой. Поэтому общая площадь
делится на четыре равные части: Ssdc = Sбок /4. Затем, при известном
значении площади боковой грани и ребра основания, по формуле площади равнобедренного треугольника
находится его высота, то есть искомая апофема: Ssdc = ½ SK * CD откуда
SK = 2Ssdc / CD. Или, подставляя выведенную площадь грани, SK = 2(Sбок /4) / CD. Преобразив, получаем: SK = Sбок /2CD
или

L = Sбок / 2a

где Sбок — площадь боковых поверхностей, a — ребро основания.

Пример. Допустим, в задаче задана общая площадь боковой поверхности правильной
четырёхугольной пирамиды Sбок = 48 и ребро основания CD = 6. Найдём, используя выведенную формулу,
значение апофемы: SK = 48 / 2 * 6 = 4.

Вычисление апофемы при заданной площади боковых поверхностей и площади основания

Апофема при известных значениях суммарной площади боковых поверхностей Sбок и площади основания Sосн
вычисляется следующим образом. В первую очередь следует найти ребро основания. Площадь основания
пирамиды – квадрата – является произведением двух его сторон либо квадратом стороны. Значит,
значение стороны основания вычисляем по формуле Sосн = CD² или CD = √Sосн. Теперь, зная суммарную площадь боковой поверхности
четырёхугольной пирамиды, делением на 4 находим площадь боковой грани – равнобедренного треугольника
SCD: Ssdc = Sбок / 4. Его площадь также вычисляется, как произведение
основания на высоту, делённое на два: Ssdc =½CD * SK или Sбок/4 =½CD * SK отсюда SK = 2 (Sбок / 4) / CD
или, сократив и подставив выражение для CD: SK = Sбок / 2 Sосн, где SK –
высота грани и искомая апофема.

L = Sбок / (2 * √Sосн)

где Sбок — площадь боковых поверхностей, Sосн — площадь основания.

Пример. Возьмём для примера численные значения, Sбок = 48 и Sосн = 36. Подставляя,
получаем результат: SK = 48 / (2 * √36) = 4.

Вычисление апофемы при заданной площади боковых поверхностей и радиусе описанной вокруг основания
окружности

Найдём апофему при известной площади боковых поверхностей Sбок и радиусе R описанной вокруг основания
ABCD окружности. Рассмотрим прямоугольный треугольник COD, образованный половинами диагоналей этого
квадрата CO и OD, равными заданному радиусу, и гранью в основании CD. Эта сторона в данном
треугольнике выступает гипотенузой. Её можно вывести из теоремы Пифагора: CD² = OD² + OC²,
откуда CD = √(OD²+OC²) или CD = √2R²= R√2.
Теперь определим площадь каждой боковой грани. Она находится путём деления площади полной боковой
поверхности пирамиды на 4: Ssdc = Sбок / 4. По формуле, связывающей
площадь равнобедренного треугольника SDC с его высотой и основанием, выделяем высоту-апофему: Ssdc =½CD * SK Или, подставляя выведенное выше выражение: Sбок/4 = ½CD * SK. Далее преобразовываем для выделения SK: SK=(2 Sбок/4) / CD или, подставляя выведенное для CD выражение и
сокращая, получаем: SK= Sбок / 2R * √2.

L = Sбок / 2R * √2

где Sбок — площадь боковых поверхностей, R — радиус описанной окружности.

Пример. Подставляя для примера числовые значения R = 3√2 и Sбок = 48, получаем в
результате значение апофемы: SK=48 / 2 * (3√2 * √2)=4.

Способ вычисления апофемы при известной площади боковых поверхностей и диагональ основания

Поскольку стороны квадрата ABCD в основании равны и угол между смежными сторонами прямой, значения
этих сторон можно найти, рассматривая прямоугольный треугольник ADC, где заданная диагональ AC
является гипотенузой, а неизвестные стороны AD и CD – равными катетами. Вычисляем их значения по
теореме Пифагора: AC² = AD² + CD² = 2CD² откуда CD = √(AC² / 2)  = AC / √2. Найденное
значение стороны основания позволяет найти апофему — высоту боковой грани SK — при
известной площади этой грани. Суммарная площадь боковой поверхности заданной фигуры Sбок даёт
возможность найти площадь каждой её боковой плоскости. То есть Sscd = Sбок / 4. А теперь Sscd иначе выразим через высоту и основание
грани: Sscd = 1/2 * (SK * CD) или, подставляя ранее выведенную формулу для
CD: Sscd = 1/2 * (SK * ( AC / √2). Теперь все данные кроме искомой апофемы
SK у нас присутствуют, поэтому преобразуем выражение, заменяя SSCD и сокращая: SK= 2 * √2 * Sscd / AC = 2 * √2 (Sбок / 4) / AC = Sбок * √2 / 2АС.

L = Sбок / (2 * √(D² / 2))

где Sбок — площадь боковых поверхностей, D — диагональ основания.

Пример. Допустим, диагональ в основании равна 6√2, а суммарная площадь боковых
граней – 48. Тогда, подставляя числовые значения в полученное выше выражение, вычисляем: SK = 48√2 / 2 * (6√2) = 4

Нахождение апофемы при заданной площади боковых поверхностей и известном периметре основания

Исходными данными, на которые можно опереться при вычислении апофемы для этой задачи, являются Sбок и
Росн. Известное значение периметра квадрата ABCD в основании пирамиды Росн даёт возможность найти
значение его сторон, которые равны между собой как стороны квадрата и находятся путём деления
периметра на 4 равные части: AB = BC = CD = AD = Рabcd / 4. Теперь ребро
CD, одновременно являясь основанием боковой грани SCD, позволяет вычислить её высоту SK – искомую
апофему, при известном значении боковой площади пирамиды. Площадь каждой из 4-х граней найдём путём
деления общей площади на равные части: Sscd= Sбок/4. Далее из формулы
площади равнобедренного треугольника SCD через высоту и основание найдём апофему SK.  Sscd = 1/2 * (SK * CD) или SK = 2* Sscd / CD. Подставляя
выведенные выше через общую площадь и периметр основания значения площади грани и ребро её основания
соответственно, получаем: SK = 2 * (Sбок / 4) / (Рabcd / 4). Или SK = 2Sбок / Рabcd

L = Sбок / (P / 2)

где Sбок — площадь боковых поверхностей, P — периметр основания.

Пример. Предположим, что площадь боковой поверхности Sбок равно 48, периметр
основания – 24. Подставляя данные числовые значения, получаем следующий результат: SK= 2 * (48 / 4) / (24 / 4) = 4.

Вычисление апофемы при заданных значениях площади полной поверхности пирамиды и ребра её
основания

Полная площадь поверхности Sполн в этом случае представляет собой сумму полной площади боковой
поверхности Sбок фигуры и площади квадрата в её основании – Sabcd, сторона которого CD задана
условием задачи. Апофему удобнее всего найти через площадь боковой грани, имея значение её
основания: Sscd = 1/2 * (SK * CD). Преобразуя формулу, получаем: SK = 2* Sscd / CD. Вычтя из площади полной поверхности пирамиды площадь
основания, которую можно найти при его заданном ребре, получаем полную площадь боковой поверхности:
Sполн= Sбок + Sabcd, откуда Sбок= Sполн — Sabcd. Здесь площадь квадрата в основании легко
найти, зная его ребро: Sabcd = CD² и тогда, подставляя: Sбок = Sполн — CD². Разделив Sбок на 4 равные части, получим
площадь боковой грани: Sбок / 4 = (Sполн- CD²) / 4= Sscd. Теперь,
подставив в формулу для вычисления высоты боковой грани найденное выражение, получим: SK = 2* ((Sполн — CD²) /4) / CD или, выполнив сокращение: SK = (Sполн — CD²) /2CD.

L = (Sпол / a — a) / 2

где Sполн — площадь полной поверхности, a — ребро основания.

Пример. Допустим, нам задана общая площадь фигуры S = 84, а ребро её основания – CD
= 6. Тогда, подставляя значения в полученное выражение, находим:
SK = (84 — 62) / (2 * 6) = 4.

Правильной пирамидой называется такая фигура, в основании которой лежит многоугольник с равными
сторонами, то есть правильный. При этом проекция вершины на его плоскость является центром вписанной
в это многоугольное основание и описанной вокруг него окружностей. Отличительными признаками
правильной четырёхугольной пирамиды являются квадрат в основании и лежащая в точке пересечения его
диагоналей проекция вершины на этот квадрат.

Боковые плоскости (грани) правильной пирамиды – равнобедренные треугольники. Основание каждого из них
одновременно является и стороной основания пирамиды.
Проведенная к основанию высота боковых
граней, имеющая для каждой из них одинаковое значение, называется апофемой. Это понятие применяется
при решении множества геометрических задач, в которых фигурирует правильная пирамида с квадратом в
основании. В зависимости от других исходных данных, апофема даёт возможность вычислить площадь
боковой поверхности фигуры, её высоту, длину ребер и сторону основания.