Как найти сопротивление звезды цепи

Какую тут можно провести аналогию?

Несколько одинаковых дырок. Через них протечёт воды в столько раз больше, чем через одну дырку, сколько дырок имеется.

Так если сопротивление больше, то проводимость что?

меньше

Сформулируйте своими словами формулу сопротивления участка из нескольких параллельных сопротивлений, чтобы лучше её запомнить.

Надо умножить все сопротивления, и разделить на сумму произведений этих сопротивлений, но в каждом этом произведнии одного сопротивления не хватает. Вы, может быть, и получше сформулируете.

Смотрим на «звезду» на рис. 3. Допустим, мы знаем сопротивления между точками

A и B, то есть (R_a+R_b);

A и C, то есть (R_a+R_c);

B и C, то есть (R_b+R_c).

Чему будут равны сопротивления R_a,   R_b,   R_c ?

Сформулируйте своими словами формулу из рисунка 3-4, чтобы лучше её запомнить.

Чтобы найти сопротивление луча «звезды», надо умножить сопротивления сторон «треугольника», которые «прилегают» («имеют ту же букву»), и разделить на сумму сопротивлений всех сторон «треугольника».

Сформулируйте своими словами формулу из рисунка 4-3, чтобы лучше её запомнить.

Чтобы найти сопротивление стороны «треугольника», надо сложить сопротивления соответствующих сторон «звезды» (у которых «те же буквы»), и ещё прибавить произведение тех же сторон «звезды», делёное на оставшуюся сторону.

Методы расчета резисторных схем постоянного тока

3. Преобразование и расчет цепей с помощью перехода «звезда» — «треугольник»

Рассматриваемый метод основан на том, что сложную схему, имеющую три вывода (узла), можно заменить другой, с тем же числом выводов (узлов). Замену следует произвести так, чтобы сопротивление участка между двумя любыми выводами новой схемы было таким же, как у прежней. В результате получится цепь, сопротивление которой эквивалентно сопротивлению данной по условию. Общее сопротивление обеих цепей будет одинаковым. Однако, поскольку в результате такого преобразования изменяются токи внутри цепи, такую замену можно проводить только в тех случаях, когда не надо находить распределение токов.

Подобные преобразования широко известны для случая двух выводов. Так, например, два резистора сопротивлениями R₁ и R₂, включенные последовательно, можно заменить одним резистором сопротивлением R₁ + R₂. Если резисторы включены параллельно, то их можно заменить одним резистором сопротивлением

$frac{R_1R_2}{R_1 + R_2}$

И в этих случаях распределение токов в цепи (или в части цепи) претерпевает изменения. Рассмотрим более сложное преобразование схем, имеющих три вывода (трехполюсников). Иначе это называется преобразованием «звезды» (рис. а) в «треугольник» (рис. б), и наоборот.

Сопротивления резисторов в схеме «звезда» обозначаются с индексом точки, с которой соединен этот резистор, например, резистор r₁ соединен с точкой 1. В «треугольнике» индексы резисторов соответствуют точкам, между которыми они включены, например, резистор R₁₃ подключен к точкам 1 и 3. Как отмечено выше, чтобы заменить одну из этих схем другой, нужно получить такие соотношения между их сопротивлениями, чтобы эквивалентные сопротивления между любыми точками были одинаковы для обеих схем (при условии сохранения числа этих точек). Так, в «звезде» сопротивление между точками 1 и 2 равно r₁ + r₂, в «треугольнике»

$frac{R_{12}(R_{13} + R_{23})}{R_{12} + R_{13} + R_{23}}$,

следовательно, для того чтобы сопротивления между точками 1 и 2 были одинаковы для обеих схем, необходимо, чтобы выполнялось следующее равенство:

$r_1 + r_2 = frac{R_{12}(R_{13} + R_{23})}{R_{12} + R_{13} + R_{23}}$.

Аналогично для точек 2 и 3 и для точек 1 и 3:

$r_2 + r_3 = frac{R_{23}(R_{12} + R_{13})}{R_{12} + R_{13} + R_{23}}$,

$r_1 + r_3 = frac{R_{13}(R_{12} + R_{23})}{R_{12} + R_{13} + R_{23}}$.

Сложим все эти уравнения и, поделив обе части на 2, получим:

$r_1 + r_2 + r_3 = frac{R_{12}R_{13} + R_{12}R_{23} + R_{13}R_{23}}{R_{12} + R_{13} + R_{23}}$.

Вычитая из этого уравнения поочередно предыдущие, получим:

$r_1 = frac{R_{12}R_{13}}{R_{12} + R_{13} + R_{23}}$,

$r_2 = frac{R_{12}R_{23}}{R_{12} + R_{13} + R_{23}}$,

$r_3 = frac{R_{13}R_{23}}{R_{12} + R_{13} + R_{23}}$.

Эти выражения легко запомнить:

знаменатель в каждой формуле есть сумма сопротивлений всех резисторов «треугольника», а в числителе дважды повторяется индекс, стоящий слева:

$r_1 rightarrow R_{12}R_{13}, r_2 rightarrow R_{12}R_{23}, r_3 rightarrow R_{13}R_{23}$.

Аналогично получают и формулы обратного преобразования:

$R_{12} = frac{r_1r_2 + r_1r_3 + r_2r_3}{r_3}$,

$R_{13} = frac{r_1r_2 + r_1r_3 + r_2r_3}{r_2}$,

$R_{23} = frac{r_1r_2 + r_1r_3 + r_2r_3}{r_1}$.

Последние выражения также легко запомнить и проверить:

числитель у всех уравнений один и тот же, а в знаменателе стоит сопротивление резистора с индексом, которого не достает в левой части выражения.

Этот метод представляет собой наиболее универсальный подход к решению практически всех типов задач на разветвленные цепи.

Задача 27. Определите сопротивление цепи АВ (рис.), если R₁ = R₅ = 1 Ом, R₂ = R₆ = 2 Ом, R₃ = R₇ = 3 Ом, R₄ = R₈ = 4 Ом.

Решение. Преобразуем «треугольники» R₁R₂R₈ и R₄R₅R₆ в эквивалентные «звезды». Схема примет иной вид (рис.).

Сопротивления $r_1, r_2, …, r_6$ найдем по формулам:

$r_1 = frac{R_1R_8}{R_1 + R_2 + R_8} = frac{4}{7}$ Ом;

$r_2 = frac{R_1R_2}{R_1 + R_2 + R_8} = frac{2}{7}$ Ом;

$r_3 = frac{R_2R_8}{R_1 + R_2 + R_8} = frac{8}{7}$ Ом;

$r_4 = frac{R_4R_6}{R_4 + R_5 + R_6} = frac{8}{7}$ Ом;

$r_5 = frac{R_5R_6}{R_4 + R_5 + R_6} = frac{2}{7}$ Ом;

$r_6 = frac{R_4R_5}{R_4 + R_5 + R_6} = frac{4}{7}$ Ом.

Теперь нет никаких препятствий для расчета схемы, которая состоит из последовательно и параллельно соединенных резисторов (рис.). После простых расчетов получим

$R_{AB} = frac{47}{14}$ Ом

1.1. Шаговый (рекуррентный) метод

1.2. Метод преобразования

1.3. Метод равнопотенциальных узлов

1.3.1. Метод исключения «пассивных» участков цепи

1.3.2. Метод объединения равнопотенциальных узлов

1.3.3. Метод разделения узлов

1.3.4. Метод расщепления ветвей

1.4.1 Расчет эквивалентных сопротивлений линейных бесконечных цепей

1.4.2. Расчет эквивалентных сопротивлений плоскостных бесконечных цепей

1.4.3. Расчет эквивалентных сопротивлений объемных бесконечных цепей

2. Расчет цепей по правилам Кирхгофа

3. Преобразование и расчет цепей с помощью перехода «звезда» — «треугольник»

Так как в схеме есть нейтральный провод,
то напряжение на фазах нагрузки равно
соответствующему фазному напряжению
источника питания (обмотки генератора
считаем соединенными звездой, а
сопротивлением нейтрального провода
пренебрегаем):

Рисунок 9 – Схема
трёхфазной цепи при соединении
потребителей звездой

_,
,
;

в численном
виде:

Определим реактивные сопротивления, принимая частоту сети переменного тока равной 50 Гц, а угловую частоту

ω = 2πf
=
2 ∙ 3,14 ∙ 50
= 314 1/с .

Реактивное
индуктивное
сопротивление

x_L3 =
ω L₃ = 314 ∙ 31,8 ∙ 10^–3 = 10 Ом.

Реактивное
емкостное
сопротивление

x_С2 =1/(ω С₂) = 1/(314 ∙ 159 ∙ 10^–6) = 20 Ом.

В общем случае
полное сопротивление
каждой из
фаз в комплексной форме определяют с
помощью выражения, которое использовалось
в однофазных цепях,

.

Применяем эту формулу для нашего
конкретного случая и получаем полные
сопротивления фаз в следующем виде:

Комплексные
сопротивления фаз различны, следовательно,
нагрузка несимметричная.

Токи в линейных проводах (фазные токи
нагрузки) определяем с помощью закона
Ома:

Ток в нейтральном проводе находим по
первому закону Кирхгофа

Полные
мощности фаз:

Так как вещественная часть полной
мощности есть активная мощность цепи,
а мнимая часть – реактивная, то,
просуммировав отдельно вещественные,
а затем мнимые части мощностей трех
фаз, определяем трехфазную активную и
реактивную мощности.

Активная трехфазная мощность

Реактивная трехфазная мощность

Полная мощность

Активная трехфазная мощность нагрузки
может быть определена суммой активных
мощностей потребителей каждой из фаз

Относительная ошибка вычислений для
активной мощности

Реактивная трехфазная мощность нагрузки
также определяется суммой реактивных
мощностей потребителей каждой из фаз

Суммарная реактивная мощность всех потребителей

Относительная
ошибка вычислений для активной мощности

Ошибка
менее одного процента допускается.
Таким образом, баланс активных и
реактивных мощностей соблюдается,
значит токи определены правильно.

Векторную диаграмму размещаем на
комплексной плоскости с осями +1 и + j,
рисунок 3.21. Выбираем масштаб векторов
тока равным 10 А/деление, а векторов
напряжения – 40 В/деление. Строим
векторы фазных напряжений, а затем
векторы токов. Длина вектора соответствует
в масштабе модулю показательной формы
соответствующего выражения тока или
напряжения, а угол, под которым этот
вектор строится к вещественной оси,
равен аргументу комплексного значения
величины.

Рисунок 10
– Векторная диаграмма при соединении

потребителей
звездой с нейтральным проводом

2. Расчёт трёхфазной цепи при соединении потребителей треугольником.

Нарисуем
схему трёхфазной цепи, причем элементы
из фазы A,
B,
C
соединения потребителей
звездой подключим соответственно между
точками ab,
bc,
ca
при
соединении потребителей треугольником
(рисунок
11).

В
комплексной форме записи линейные
напряжения на нагрузке:

Рисунок
11 – Схема трёхфазной цепи при соединении
потребителей

треугольником

Сопротивления фаз
нагрузки в комплексной форме:

Фазные токи
определяем по закону Ома:

Для определения линейных токов используем
первый закон Кирхгофа для точек a,в,cсхемы (рисунок
11)

А,

А,

А.

Полные комплексные мощности

Трехфазная активная мощность

Вт.

Трехфазная
реактивная мощность

Трехфазная полная
мощность

Векторную диаграмму
токов для нагрузки, соединенной
треугольником,строим в масштабе
на комплексной плоскости относительно
осей +1 и + j
(рисунок12).На
векторной диаграмме линейные токи
получены на основании первого закона
Кирхгофа, путем вычитания одного вектора
фазного тока из соответствующего
другого.

Рисунок 12
– Векторная диаграмма токов
для

нагрузки, соединённой
треугольником

ЗАДАЧА
1

РАСЧЕТ ЛИНЕЙНОЙ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ
ЦЕПИ

ПОСТОЯННОГО
ТОКА

Для цепи, изображенной
на рисунке 13,
известны ЭДС Е₁,
Е₂
и внутренние сопротивления r₀₁,
r₀₂
источников
питания, а также сопротивления r₁–r₆.
Необходимо:

1.
Составить систему уравнений для
определения токов путем непосредственного
применения законов Кирхгофа. Решать
эту систему уравнений не следует.

2.
Определить токи ветвей методом контурных
токов.

3.
Составить баланс мощностей.

4.
Построить потенциальную диаграмму для
контура, включающего две ЭДС.

Значения параметров
элементов цепи приведены в таблице 1.
Теоретический материал и пример расчета
даны во втором разделе пособия, а также
в учебниках [1 – 4, 10].

Таблица
1
– Числовые
значения исходных данных к задаче № 3

Вариант	E1	E2	r01	r02	r1	r2	r3	r4	r5	r6
B	Ом
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0	27 12 127 127 36 220 127 220 127 36	12 127 110 12 127 36 220 380 36 220	0,1 0,3 0,1 0,4 0,5 0,3 0,6 0,5 0,7 1,8	0,8 0,6 1,0 1,2 0,7 0,8 1,2 1,5 1,2 2,8	5 3 9 4 6 6 7 9 5 9	3 8 4 7 3 8 4 3 3 6	7 5 5 2 9 3 1 6 7 3	6 3 5 2 3 6 2 5 5 8	3 4 6 4 5 4 5 3 8 6	7 5 7 5 3 6 8 8 9 3

Рисунок 13
– Варианты электрических цепей к задаче
№ 1

Продолжение рисунка
13

Продолжение рисунка
13

Продолжение рисунка
13

Продолжение рисунка
13

Продолжение рисунка
13

Продолжение рисунка
13

Продолжение рисунка
13

Продолжение рисунка
13

Продолжение рисунка
13

Продолжение рисунка
13

Продолжение рисунка
13

Продолжение рисунка
13

Продолжение рисунка
13

Продолжение рисунка
13

Продолжение рисунка
13

Продолжение рисунка
13

Соседние файлы в папке Методы с условиями

• #
• #

Рассмотрим схему приведенную на рисунке 1:

Допустим необходимо найти сопротивление схемы относительно точек A и B. Заданы сопротивления резисторов: R1=20, R2=20, R3=10, R4=20, R5=8, R6=4, R7=4. Преобразуем треугольник сопротивлений R1, R2, R3 в звезду сопротивлений R12, R23, R13:

Рисунок 2 — Схема с преобразованным в звезду треугольником 

Сопротивления R12, R13, R23 найдены по формулам 1-3: 

Чтобы найти сопротивление луча звезды надо произведение сопротивлений прилегающих к нему сторон треугольника разделить на сумму сопротивлений всех сторон треугольника. 

 Преобразуем последовательное соединение резисторов R13 и R6 в резистор R136 и аналогично   преобразуем последовательное соединение резисторов R23 и R7 в резистор R237:

Рисунок 3 — Схема3

Сопротивления резисторов R136 и R237 найдены по формулам 4 и 5:

Преобразуем параллельное соединение резисторов R136 и R237 в резистор R136IIR237:

Рисунок 4 — Схема4

Найдем R136IIR237 по формуле 6:

Далее преобразуем схему 4 к виду:

Рисунок 5 — Схема5

Найдем сопротивление которое стоит справа:

Теперь, заменой параллельного соединения резисторов, в схеме на рисунке 5, одним резистором Rэ, находится эквивалентное сопротивление всей схемы:

Найдем Rэ: