Смешанное соединение проводников. Расчёт электрических цепей
Повторение. Факты про последовательное и параллельное соединение проводников.
1. При последовательном соединении проводников общее сопротивление участка равно сумме сопротивлений проводников:
2. При последовательном соединении проводников силы тока в каждом из проводников равны и равны общей силе тока на участке цепи:
3. При последовательном соединении проводников сумма напряжений равна общему напряжению на участке цепи:
4. При параллельном соединении проводников общая проводимость участка равна сумме проводимостей проводников:
5. При параллельном соединении проводников сумма сил токов равна общей силе тока на участке цепи:
6. При параллельном соединении проводников напряжения в каждом из проводников равны и равны общему напряжению на участке цепи:
Задача 1
Четыре одинаковые лампы подключены к источнику постоянного напряжения (см. Рис. 1). Определите силу тока в каждой лампе, если напряжение на источнике составляет 30 В.
Дано: ;
Найти: ,
,
,
Решение
Рис. 1. Иллюстрация к задаче
На рисунке 1 изображена электрическая цепь со смешанным соединением проводников: лампы 2 и 3 соединены параллельно, а лампы 2 и 4 соединены последовательно с участком цепи, состоящим из ламп 2 и 3.
Проводимость участка цепи, состоящего из ламп 2 и 3, равна:
Следовательно, сопротивление этого участка равно:
Так как лампы 1 и 4 соединены последовательно с участком цепи, состоящим из ламп 2 и 3, то общее сопротивление ламп будет равно:
Согласно закону Ома, сила тока всей цепи равна:
Так как при последовательном соединении проводников силы тока в каждом из проводников равны и равны общей силе тока на участке цепи, то:
Необходимо найти силу тока на лампах 2 и 3. Для этого вычислим напряжение на участке цепи, который состоит из ламп 2 и 3:
Так как лампы 2 и 3 соединены параллельно, то напряжения на этих лампах равны:
Отсюда сила тока в каждой лампе равна:
Ответ: ;
Задача 2
Участок цепи, который состоит из четырёх резисторов, подключён к источнику с напряжением 40 В (см. Рис. 2). Вычислите силу тока в резисторах 1 и 2, напряжение на резисторе 3. Сопротивление первого резистора равно 2,5 Ом, второго и третьего – по 10 Ом, четвёртого – 20 Ом.
Дано: ;
;
;
Найти: ,
,
Решение
Рис. 2. Иллюстрация к задаче
Через резистор течёт такой же ток, как и через весь участок (
), следовательно, согласно закону Ома:
То есть для нахождения нужно вычислить сопротивление (R) всего участка цепи, который состоит из двух последовательно подключённых частей, одна часть с резистором
, другая часть с резисторами
:
Резистор соединён параллельно резисторам
и
, следовательно:
Резисторы и
соединены последовательно, поэтому:
Следовательно, сопротивление всей цепи равно:
Подставим данное значение в формулу для нахождения тока в резисторе :
Так как при параллельном соединении проводников напряжения в каждом из проводников равны и равны общему напряжению на участке цепи, то:
Отсюда:
При последовательном соединении силы тока одинаковы, поэтому:
Получили систему уравнений:
Решив эту систему получим, что:
Так как и
соединены последовательно:
Напряжение на резисторе равно:
Ответ: ;
;
Задача 3
Найдите полное сопротивление цепи (см. Рис. 3), если сопротивление резисторов ,
,
. Найдите силу тока, идущего через каждый резистор, если к цепи приложено напряжение 36 В.
Дано: ;
;
;
Найти: ,
, ,
,
,
,
;
Решение
Рис. 3. Иллюстрация к задаче
Резисторы ,
,
соединены последовательно, поэтому сопротивление на этом участке равно:
Резистор подключён параллельно участку с резисторами
,
,
, поэтому сопротивление на участке с резисторами
,
,
,
равно:
Резисторы и
соединены с участком цепи с резисторами
,
,
,
последовательно, то есть общее сопротивление цепи равно:
Через резистор и
(
) неразветвлённой цепи течёт весь ток цепи, поэтому:
По закону Ома этот ток равен:
Общее напряжение цепи будет состоять из напряжений , так как
,
,
соединены последовательно (
, потому что
и
параллельны):
Согласно закону Ома:
Резисторы ,
,
соединены последовательно, следовательно:
Ответ: ;
;
;
Разветвление: Задача на бесконечную электрическую цепь
Найдите сопротивление R бесконечной цепи, показанной на рисунке 4.
Рис. 4. Иллюстрация к задаче
Решение
Поскольку рассматриваемая в задаче цепь бесконечна, удаление одной «ячейки», состоящей из резисторов и
, не влияет на её сопротивление. Следовательно, вся цепь, находящаяся правее звена
, тоже имеет сопротивление R. Это позволяет нарисовать эквивалентную схему цепи (см. Рис. 5) и записать для неё уравнение.
Рис. 5. Иллюстрация к задаче
Получили квадратное уравнение относительно R. Решая это уравнение и отбрасывая отрицательный корень (отрицательного сопротивления не существует), получаем формулу для общего сопротивления цепи:
Проанализировав данную формулу, можно заметить, что если , то общее сопротивление цепи
. То есть резистор с малым сопротивление
практически закоротит всю последующую бесконечную цепь.
Ответ:
Итоги
Мы рассмотрели различные задачи на смешанное сопротивление проводников, а также на расчёт электрических цепей.
Разветвление: Задача из ЕГЭ
Сопротивление каждого резистора в цепи (см. Рис. 6) равно 100 Ом. Участок подключён к источнику постоянного напряжения выводами AиB. Напряжение на резисторе равно 12 В. Найти напряжение между выводами схемы на участке A–B(варианты ответа: а) 12 В; б) 18 В; в) 24 В; г) 36 В.
Дано: ;
Найти:
Решение
Рис. 6. Иллюстрация к задаче
Резисторы расположены последовательно, значит, силы тока на этих резисторах равны:
Так как, по условию, , то и напряжения на этих резисторах будут равны:
Следовательно, общее напряжения на участке, состоящем из резисторов , будет равно:
Так как участок с резисторами соединён с участком с резисторами
параллельно, то напряжения на этих участках равны между собой и равны общему напряжению на участке A–B:
Ответ: г) 36 В
Данную задачу, как видим, можно решить, не зная значений сопротивления, а зная только то, что они равны. Также эту задачу можно решить, зная значение сопротивлений , даже если они не равны.
Вопросы к конспектам
Участок электрической цепи состоит из трех сопротивлений: ;
;
(см. Рис. 7). Определите показания вольтметров
и амперметров
, если амперметр
показывает силу тока 2 А.
Рис. 7. Иллюстрация к задаче
Как нужно соединить четыре резистора, сопротивления которых 0,5 Ом, 2 ОМ, 3,5 Ом и 4 Ом, чтобы их общее сопротивление было 1 Ом?
1) Для определения сопротивления лампы по мощности можно сначала найти силу тока I=P/U, затем найти сопротивление по закону Ома R=U/I или сразу по формуле R=U^2/P R=110^2/20=605 Ом.
2) При последовательном соединении сила тока в обоих лампах одинакова и мощности вычисляются по формуле P=I^2*R, то есть отношение мощностей равно отношению сопротивлений P2/P1=R2/R1. Найдем R2=U^2/P =220*220/50 = 968 Ом. Тогда Р2/Р1=968/605=1,6.
3) Ярче горит вторая лампа, так как она потребляет большую мощность, то есть имеет большее сопротивление.
Рассчитайте силу тока в лампе и её сопротивление по схеме, изображённой на рисунке 174.
рис. 174
reshalka.com
ГДЗ Физика 7-9 классы сборник вопросов и задач к учебнику Перышкина автор Марон. Параллельное соединение проводников. Номер №1122
Решение
Дано:
I = 1,5 А;
U
л
=
8
В;
I
1
=
1
А.
Найти:
R
л
− ?
I
л
− ?
Решение:
При параллельном соединении сила тока в подводящих проводах равна сумме сил тока в лампе и проводнике:
I
=
I
1
+
I
л
;
I
л
=
I
−
I
1
;
I
л
=
1
,
5
−
1
=
0
,
5
А;
Напряжение на лампе и на проводнике равно напряжению сети, т.к. лампа и проводник соединены параллельно.
U
л
=
U
1
=
U
=
8
В;
Найдем сопротивление лампы по закону Ома:
R
л
=
U
I
л
;
R
л
=
8
0
,
5
=
16
Ом.
Ответ: 0,5 А; 16 Ом.
Перейти к содержимому
Для лампы накаливания мощностью сто пятьдесят ват и напряжением двести двадцать вольт необходимо определить величину сопротивления вольфрамовой нити накаливания при температуре двадцать пять градусов Цельсия. Известно, что температура накала нити лампы составляет две тысячи пятьсот градусов Цельсия. Температурный коэффициент сопротивления вольфрама 5,1×10-3град-1.
Дано: U=220 В; Р=150 Вт; t°1=25°C; t°2=2500°C; α=5,1×10-3град-1
Найти: R1-?
Решение
Запишем формулы для расчета величины сопротивления нити накаливания при комнатной и рабочей температуре
,
,
где R1 — сопротивление нити накаливания при температуре 25 градусов Цельсия;
R2 — сопротивление нити накаливания при температуре 2500 градусов Цельсия.
,
.
Сопротивление нити накаливания при рабочей температуре определим из формулы
, тогда
Итоговая формула для расчета величины сопротивления нити накаливания при температуре 25 градусов Цельсия принимает вид
Ом.
Ответ: сопротивление вольфрамовой нити накаливания электрической лампы при температуре двадцать пять градусов Цельсия составляет двадцать шесть целых пять десятых Ом.
Решил
я
как-то
проверить
закон
Ома.
Применительно
к
лампе
накаливания.
Измерил
сопротивление
лампочки
Лисма
230
В
60
Вт,
оно
оказалось
равным
59
Ом.
Я
было
удивился,
но
потом
вспомнил
слово,
которое
всё
объясняло
–
бареттер.
Дело
в
том,
что
сопротивление
вольфрамовой
нити
лампы
накаливания
сильно
зависит
от
температуры
(следствие
протекания
тока).
В
моем
случае,
если
это
бы
был
не
вольфрам,
а
обычный
резистор,
его
рассеиваемая
мощность
при
напряжении
230
Вольт
была
бы
P
=
U2/R
=
896.
Почти
900
Ватт!
Кстати,
именно
поэтому
производители
датчиков
с
транзисторным
выходом
рекомендуют
соблюдать
осторожность
при
подключении
датчиков.
Как
же
измерить
рабочее
сопротивление
нити
лампы
накаливания?
А
никак.
Его
можно
только
определить
косвенным
путем,
из
закона
знаменитого
Ома.
(Строго
говоря,
все
омметры
используют
тот
же
закон
–
прикладывают
напряжение
и
меряют
ток).
И
мультиметром
тут
не
обойдешься.
Используя
косвенный
метод
и
лампочку
Лисма
24
В
с
мощностью
40
Вт,
я
составил
вот
такую
табличку:
Зависимость
сопротивления
нити
лампы
накаливания
от
напряжения
Напряжение | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 |
% напряжения |
8.3 | 16.7 | 25.0 | 33.3 | 41.7 | 50.0 | 58.3 | 66.7 |
Ток | 0.55 | 0.7 | 0.84 | 0.97 | 1.08 | 1.19 | 1.29 | 1.38 |
Сопротивление | 3.6 | 5.7 | 7.1 | 8.2 | 9.3 | 10.1 | 10.9 | 11.6 |
Мощность | 1.1 | 2.8 | 5.04 | 7.76 | 10.8 | 14.28 | 18.06 | 22.08 |
(продолжение таблицы)
Напряжение | 18 | 20 | 22 |
24 |
26 | 28 | 30 | 32 |
% напряжения |
75.0 | 83.3 | 91.7 |
100.0 |
108.3 | 116.7 | 125.0 | 133.3 |
Ток | 1.47 | 1.55 | 1.63 |
1.7 |
1.77 | 1.84 | 1.92 | 2 |
Сопротивление | 12.2 | 12.9 | 13.5 |
14.1 |
14.7 | 15.2 | 15.6 | 16.0 |
Мощность | 26.46 | 31 | 35.86 |
40.8 |
46.02 | 51.52 | 57.6 | 64 |
(Номинальные параметры выделены)
Как
видно
из
таблицы,
зависимость
сопротивления
лампочки
от
напряжения
нелинейная.
Это
может
проиллюстрировать
график,
приведенный
ниже.
Рабочая
точка
на
графике
выделена.
Сопротивление
нити
лампы
накаливания
в
зависимости
от
напряжения
Кстати,
сопротивление
подопытной
лампочки,
измеренное
с
помощью
цифрового
мультиметра
–
около
1
Ома.
Предел
измерения
–
200
Ом,
при
этом
выходное
напряжение
вольтметра
–
0,5
В.
Эти
данные
также
укладываются
в
полученные
ранее.
Зависимость
мощности
от
напряжения:
Зависимость
мощности
от
напряжения
Для
ламп
на
напряжение
230
В
на
основании
экспериментальных
данных
была
составлена
вот
такая
табличка:
Мощность лампочки, Вт |
25 | 40 | 60 | 75 | 100 |
R холодной нити,Ом |
150 | 90-100 | 60-65 | 45-50 | 37-40 |
R горячей нити, |
1930 | 1200 | 805 | 650 | 490 |
Rгор./Rхол. | 12 | 12 | 13 | 13 | 12 |
Из
этой
таблицы
видно,
что
сопротивление
нити
лампы
накаливания
в
холодном
и
горячем
состоянии
отличается
в
12-13
раз.
А
это
значит,
что
во
столько
же
раз
увеличивается
потребляемая
мощность
в
первоначальный
момент.
Стоит
отметить,
что
сопротивление
в
холодном
состоянии
измерялось
мультиметром
на
пределе
200
Ом
при
выходном
напряжении
мультиметра
0,5
В.
При
измерении
сопротивления
на
пределе
2000
Ом
(выходное
напряжение
2
В)
показания
сопротивления
увеличиваются
более
чем
в
полтора
раза,
что
опять
же
укладывается
в
идею
статьи.
“Горячее”
сопротивление
измерялось
косвенным
методом.
UPD:
Сопротивление
нити
накаливания
люминесцентных
ламп
Дополнение
к
статье,
чтобы
получился
ещё
более
полный
материал.
Лампы
с
цоколем
Т8,
сопротивление
спирали
в
зависимости
от
мощности
:
10
Вт
–
8,0…8,2
Ом
15
Вт
–
3,3…3,5
Ом
18
Вт
–
2,7…2,8
Ом
36
Вт
–
2,5
Ом.
Сопротивление
измерялось
цифровым
омметром
на
пределе
200
Ом.
Формула
мощности
и
напряжения
Обновление
статьи
от
января
2018.
У
меня
на
блоге
появилась
статья
автора
Станислава
Матросова,
который
развил
тему
сопротивления
спирали
лампочки
с
теоретической
стороны.
Он
вывел
формулу,
согласно
которой:
Для
любой
лампы
накаливания
существует
параметр,
стабильный
в
широком
диапазоне
электрических
режимов. Этим
параметром
является
отношение
куба
напряжения
к
квадрату
мощности:
Я
решил
на
основе
данных,
полученных
в
статье,
посчитать
эту
величину
в
Экселе.
Вот
что
у
меня
получилось:
U |
P |
U^3 |
P^2 |
Const |
2 | 1,1 | 8 | 1,21 | 6,61157 |
4 | 2,8 | 64 | 7,84 | 8,163265 |
6 | 5,04 | 216 | 25,4016 | 8,503401 |
8 | 7,76 | 512 | 60,2176 | 8,502498 |
10 | 10,8 | 1000 | 116,64 | 8,573388 |
12 | 14,28 | 1728 | 203,9184 | 8,473978 |
14 | 18,06 | 2744 | 326,1636 | 8,412956 |
16 | 22,08 | 4096 | 487,5264 | 8,401596 |
18 | 26,46 | 5832 | 700,1316 | 8,329863 |
20 | 31 | 8000 | 961 | 8,324662 |
22 | 35,86 | 10648 | 1285,94 | 8,280327 |
24 | 40,8 | 13824 | 1664,64 | 8,304498 |
26 | 46,02 | 17576 | 2117,84 | 8,29902 |
28 | 51,52 | 21952 | 2654,31 | 8,270321 |
30 | 57,6 | 27000 | 3317,76 | 8,138021 |
32 | 64 | 32768 | 4096 | 8 |
Действительно,
константа,
которая
с
некоторой
погрешностью
во
всём
диапазоне
равна
8,2±0,2.
Её
размерность
–
“Вольт
в
кубе
на
Ватт
в
квадрате”.
Константа
для
расчета
лампы
накаливания
=
8,2
Низкое
значение
константы
в
начале
диапазона
объяснено
автором
в
приведенной
по
ссылке
статье.
Теперь,
зная
значение
этой
константы
(8,2),
можем
записать
формулу
зависимости
мощности
от
напряжения
лампочки
накаливания
40Вт
24В:
Зависимость
мощности
лампочки
накаливания
от
напряжения
Формула
для
сопротивления
Но
вернёмся
к
теме
статьи.
Проверим
вывод
Станислава
Матросова
о
том,
что
сопротивление
лампочки
пропорционально
корню
из
напряжения.
Из
предыдущих
выводов
можно
вывести
формулу
для
конкретной
лампочки
40Вт
24В:
Зависимость
сопротивления
от
напряжения,
формула
для
лампы
накаливания
Теперь
проверим,
как
эта
формула
соотносится
с
полученными
мною
экспериментальным
данным
(см.
таблицу
в
начале
статьи).
Составим
такую
таблицу:
1. Напря- жение, |
2. Норм. напр. |
3. Сопрот., Ом |
4. Норм. сопрот. |
5. Корень из напряж. |
6. Корень из Х из |
2 | 0,08 | 3,6 | 0,26 | 0,29 | 4,04 |
4 | 0,17 | 5,7 | 0,40 | 0,41 | 5,72 |
6 | 0,25 | 7,1 | 0,50 | 0,50 | 7,01 |
8 | 0,33 | 8,2 | 0,58 | 0,58 | 8,09 |
10 | 0,42 | 9,3 | 0,66 | 0,65 | 9,04 |
12 | 0,50 | 10,1 | 0,72 | 0,71 | 9,91 |
14 | 0,58 | 10,9 | 0,77 | 0,76 | 10,70 |
16 | 0,67 | 11,6 | 0,82 | 0,82 | 11,44 |
18 | 0,75 | 12,2 | 0,87 | 0,87 | 12,13 |
20 | 0,83 | 12,9 | 0,91 | 0,91 | 12,79 |
22 | 0,92 | 13,5 | 0,96 | 0,96 | 13,41 |
24 | 1,00 | 14,1 | 1,00 | 1,00 | 14,01 |
26 | 1,08 | 14,7 | 1,04 | 1,04 | 14,58 |
28 | 1,17 | 15,2 | 1,08 | 1,08 | 15,13 |
30 | 1,25 | 15,6 | 1,11 | 1,12 | 15,66 |
32 | 1,33 | 16 | 1,13 | 1,15 | 16,18 |
Таблица
требует
пояснений.
Чтобы
была
соблюдена
размерность,
я
нормировал
экспериментально
заданное
напряжение
(столбец
2)
и
рассчитанное
сопротивление
(столбец
4).
Колонка
5
–
это
корень
из
нормированного
напряжения,
и
видно,
что
значения
этой
колонки
отлично
совпадают
с
колонкой
4!
Но
давайте
вернемся
в
реальному
сопротивлению,
и
рассчитаем
его
по
приведенной
выше
формуле
(Зависимость
сопротивления
от
напряжения).
Это
–
6-я
колонка.
Хорошо
видно,
что
расчет
по
формуле
практически
идеально
совпадает
с
расчетом
из
экспериментальных
данных!
Зависимость
сопротивления
от
напряжения.
Квадратичная
зависимость.
Кто
хочет
проверить
мои
расчеты,
прикладываю
файл: •
Файл
с
расчетами
и
графиками
/
Файл
с
расчетами
и
графиками
к
статье
про
лампу
накаливания,
xlsx,
19.51
kB,
скачан:
1064
раз./
Всё,
учебник
физики
можно
переписывать!
Кому
интересно
–
задачкапро
последовательное
подключение
двух
лампочек.
Понравилось?
Поставьте
оценку,
и
почитайте
другие
статьи
блога!
Загрузка…
Внимание!
Автор
блога
не
гарантирует,
что
всё
написанное
на
этой
странице
—
истина.
За
ваши
действия
и
за
вашу
безопасность
ответственны
только
вы!