Как найти соотношение объемов шаров

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Площадь поверхности шара определяется по формуле

S = 4 * п * ρ^2.

Тогда для двух шаров радиусами r и R отношение площадей будет равно

S1 / S2 = (4 * п * r^2) / (4 * п * R^2) = (r / R) ^2.

По условию площади относятся как

S1 / S2 = 16 / 25,

тогда радиусы шаров относятся как

r / R = √ (16 / 25) = 4 / 5.

Объем шара определяется по формуле

V = 4/3 * п * ρ^3.

Тогда для двух шаров радиусами r и R отношение объемов будет равно

V1 / V2 = (4/3 * п * r^3) / (4/3 * п * R^3) = (r / R) ^3.

Зная отношение радиусов, получим:

V1 / V2 = (4 / 5) ^3 = 64 / 125.

Рассмотрим осевое сечение; это равнобедренный треугольник. Найдём его высоту $%h$% и основание $%2r$%, где $%r$% есть радиус основания конуса.

Можно считать, что длины радиусов равны 1 и 2, так как нас интересуют пропорции. Пусть $%x$% — расстояние от центра окружности радиуса 1 до вершины треугольника. Тогда центр окружности радиуса 2 удалён от той же вершины на расстояние $%x+3$%. Опуская из центров окружностей перпендикуляры на боковые стороны, длины которых равны радиусам, получаем два подобных равнобедренных треугольника. Из них мы имеем пропорцию $%x:1=(x+3):2$%, откуда $%x=3$%. Тем самым,высота равна $%h=x+3+2=8$%, что легко понять, сделав рисунок.

У одного из прямоугольных треугольников, о которых шла речь, гипотенуза равна $%x=3$%, а один из катетов равен 1. По теореме Пифагора, второй катет равен $%2sqrt2$%. Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник с катетами $%h$% и $%r$%. Он подобен двум рассмотренным ранее, так как острый угол при вершине тот же. Тогда имеет место пропорция $%h:r=2sqrt2:1$%, и $%r=2sqrt2$%.

Объём конуса равен $%V=frac13pi r^2h=frac{64}3pi$%. Сумма объёмов шаров равна $%frac43pi(1^3+2^3)=12pi$%. Отсюда находим отношение, равное $%frac9{16}$%.