Как найти смежные углы с минутами

Смежные углы в геометрии

15 июня 2022

Два угла называются смежными, если у них общая вершина, общая сторона, а две других стороны образуют прямую.

В этом уроке:

1. Что такое смежные углы
2. Основное свойство смежных углов
3. Биссектрисы смежных углов
4. Тренировочные задачи

Это довольно простая, но очень важная тема.

1. Что такое смежные углы

Возьмём прямую $AB$ и отметим на ней точку $M$. Получим развёрнутый угол $AMB:$

Проведём из точки $M$ луч $MN$, не совпадающий с лучами $MA$ и $MB$.

Получим два новых угла: $angle AMN$ и $angle BMN$. Эти углы и называются смежными.

Определение. Два угла называются смежными, если у них одна общая сторона, а две других образуют прямую (или, что то же самое, являются дополнительными лучами).

Обратите внимание: чтобы углы стали смежными, им недостаточно просто иметь общую сторону. Вот эти углы — не смежные, хотя они и имеют общую сторону:

А вот дальше — смежные, хотя и расположены немного непривычно:

Часто смежные углы возникают в точке пересечения прямых. Например, при пересечении двух прямых

образуется четыре пары смежных углов: $angle ASM$ и $angle ASN$; $angle BSM$ и $angle MSN$; $angle ASN$ и $angle BSN$; наконец, $angle ASM$ и $angle BSM$.

2. Основное свойство внешних углов

У смежных углов есть замечательное свойство, которое будет преследовать нас на протяжении всей геометрии, до конца 11 класса.

Теорема. Сумма смежных углов равна 180°.

Доказательство. Рассмотрим смежные углы $AMN$ и $BMN$ с общей стороной $MN$:

Поскольку луч $MN$ делит угол $AMB$ на смежные углы $AMN$ и $BMN$, по основному свойству углов

[angle AMB=angle AMN+angle BMN]

Но угол $AMB$ — развёрнутый, поэтому

[angle AMN+angle BMN={180}^circ ]

Другими словами, если один угол равен $alpha $, то смежный с ним равен ${180}^circ -alpha $. Или если известно, что углы $alpha $ и $beta $ — смежные, то $alpha +beta ={180}^circ $.

Казалось бы, элементарные рассуждения, но их вполне достаточно, чтобы решать большой класс задач.

Задача 1. Найдите угол, смежный с углом $ABC$, если:

1. $angle ABC={36}^circ $.
2. $angle ABC={121}^circ $.

Решение

1) Обозначим смежный угол $DBC=x$. Он будет тупым:

Тогда $x=180-36=144$.

2) Обозначим смежный угол $DBC=x$. Он будет острым:

Тогда $x=180-121=59$.

Немного усложним задачу.

Задача 2. Найдите смежные углы, если:

1. один из них на 68° больше другого.
2. один из них в 5 раз больше другого.
3. их градусные меры относятся как 5 : 4.

Решение.

1) Пусть один из углов равен $x$. Тогда другой (очевидно, больший) будет равен $x+68$.

Поскольку углы смежные, их сумма равна 180 градусов:

[begin{align}2x+68&=180 \ 2x&=112 \ x&=56 end{align}]

Итак, один угол равен 56 градусов. Тогда другой равен $x+68=124$ градуса.

2) Пусть меньший угол равен $x$. Тогда смежный с ним равен $5x$.

Сумма смежных углов равна 180 градусов, поэтому

[begin{align}5x+x&=180 \ 6x&=180 \ x&=30 end{align}]

Мы нашли меньший угол — он равен 30 градусов. Тогда второй угол равен $5x=150$ градусов.

3) В задачах с отношениями величинам удобно обозначать их кратными некоторой переменной. Например, если углы относятся как 5 к 4, то пусть величина одного угла будет $5x$, а другого — $4x$.

Сумма смежных углов вновь равна 180 градусов:

[begin{align}5x+4x&=180 \ 9x&=180 \ x&=20 end{align}]

Поэтому сами углы равны $4x=80$ и $5x=100$ градусов.

3. Биссектрисы смежных углов

Вновь рассмотрим смежные углы $AMN$ и $BMN$:

Построим биссектрису $MC$ угла $AMN$ и биссектрису $MD$ угла $BMN$:

Если $angle AMC=x$ и $angle BMD=y$, то $angle AMN=2x$ и $angle BMN=2y$. Это смежные углы, поэтому

[begin{align}2x+2y&={180}^circ \ x+y&={90}^circ end{align}]

Получается, что биссектрисы смежных углов всегда пересекаются под углом 90°. Этот факт известен далеко не всем ученикам. Хотя он вполне может встретиться, например, на ЕГЭ.

Задача 3. Углы $ABC$ и $MBC$ смежные, $angle ABC={70}^circ $. Луч $BD$ принадлежит углу $ABC$, причём $angle ABD={40}^circ $. Найдите угол между биссектрисами углов $CBD$ и $MBC$.

Решение. Изобразим все углы на рисунке:

Видим, что углы $ABD$ и $MBD$ — смежные. Следовательно

[begin{align}angle MBD&={180}^circ -angle ABD= \ &={180}^circ -{40}^circ ={140}^circ end{align}]

Синим цветом отмечены биссектрисы углов $CBD$ и $MBC$. Обозначим величину углов переменными: $angle CBD=2x$, $angle MBD=2y$. Но $angle MBD=angle MBC+angle CBD$, поэтому

[begin{align}2x+2y&=140 \ x+y&=70 end{align}]

Это и есть искомый угол между биссектрисами. Он равен 70 градусов.

Задача 4. Дан треугольник $ABC$. Лучи $AM$ и $CN$ лежат на одной прямой со стороной $AB$ (см. рисунок). Известно, что $angle MAC+angle ABC={180}^circ $. Докажите, что $angle MAC=angle NBC$.

Пусть $angle ABC=x$. Тогда из условия следует, что $angle MAC={180}^circ -x$.

С другой стороны, углы $ABC$ и $NBC$ смежные, поэтому $angle NBC={180}^circ -x$.

Получается, что углы $MAC$ и $NBC$ равны одному и тому же выражению. Следовательно, $angle MAC=angle NBC$, что и требовалось доказать.

Смотрите также:

1. Что такое вертикальные углы
2. Перпендикулярные прямые — определение и свойства
3. Правила комбинаторики в задаче B6
4. Метод координат в пространстве
5. Четырехугольная пирамида: как найти координаты вершин
6. Задача B4 про три дороги — стандартная задача на движение

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Содержание:

Определение: Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки, и частью плоскости, которую они ограничивают.

Два угла называются равными, если их можно совместить наложением.

Биссектрисой угла называется луч, который выходит из вершины угла и делит его на два равных угла.

Определение. Развернутым углом называется угол, стороны которого являются дополнительными лучами.

На рисунке 56 луч АК — биссектриса угла ВАС и

На рисунке 57 угол ABC — развернутый, лучи ВА и ВС — дополнительные. Другая (незакрашенная) полуплоскость относительно прямой АС также задает развернутый угол ABC.

Углы измеряются в градусах, минутах, секундах.

Развернутый угол равен 180°;  часть развернутого угла называется градусом и обозначается 1°;  часть одного градуса называется минутой и обозначается 1′;  часть минуты называется секундой и обозначается 1″.

Угол, равный 5 градусов 20 минут и 35 секунд, записывается так: 5°20’35».

Вместо «градусная мера угла равна 20°» часто говорят «угол равен 20°», вместо найти «градусную меру угла» говорят «найти угол».

Определения

Определение: Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки, и частью плоскости, которую они ограничивают.

Определение: Угол, равный 90°, называется прямым; угол, меньший 90°, — острым; угол, больший 90°, но меньший 180°, — тупым; угол, равный 360°, называется полным (его стороны совпадают).

На рисунке 58 последовательно изображены: острый угол, равный 60°; прямой угол, равный 90°; тупой угол, равный 120°; угол, равный 270°; и полный угол, равный 360°.

Градусная мера угла является его важной характеристикой. Свойства градусной меры угла: любой угол имеет градусную меру, выраженную некоторым положительным числом; равным углам соответствуют равные градусные меры, а большему углу — большая градусная мера. И наоборот.

Аксиомы

Аксиома измерения углов. Если внутри угла из его вершины провести луч, то он разобьет данный угол на два угла, сумма градусных мер которых равна градусной мере данного угла.

Аксиома откладывания углов. От любого луча в данную полуплоскость можно отложить угол данной градусной меры, и притом только один.

На рисунке 59 луч AD проходит внутри угла ВАС. По аксиоме измерения углов Например, если из вершины развернутого угла АОВ (рис. 60) провести ЛУЧ ОС, который составит со стороной ОВ угол 50°, то со стороной OA луч ОС составит 180° — 50° = 130°.

Два луча с общим началом задают на плоскости два угла. В дальнейшем будем рассматривать меньший из этих двух углов (если они неразвернутые). Такой угол меньше 180°.

Пример №1

Внутри угла ВАС, равного 114°, из его вершины проведен луч АЕ. Угол ВАЕ в 2 раза больше угла ЕАС. Найти величину угла ВАЕ.

Решение:

Пусть Тогда (рис. 61).

По аксиоме измерения углов

Тогда

Ответ: 76^о

Замечания. 1. Возможен другой способ записи решения, когда рядом с буквой пишут знак градуса: Тогда в уравнении знак градуса писать не нужно:

2. В дальнейшем при решении задач не будем ссылаться на аксиому измерения углов.

Пример №2

Внутри угла проведены лучи BD и BF (рис. 62).

Найти величину угла DBF, если:

Решение:

Если сложить углы ABF и CBD, то получим угол ABC плюс угол DBF.

Отсюда

Ответ:

Пример №3

Луч AD делит угол ВАС на два угла BAD и CAD. Доказать, что угол между биссектрисами АК и АЕ углов BAD и CAD равен половине угла ВАС (рис. 63).

Доказательство:

Так как АК иАЕ — биссектрисы, то  Тогда

Следовательно,  Что и требовалось доказать.

Замечание. В данной задаче мы доказали свойство: «Если внутри угла из его вершины провести луч, то угол между биссектрисами полученных углов равен половине данного угла».

Геометрия 3D

В пространстве при пересечении двух плоскостей образуются двугранные углы. Две полуплоскости с общей границей являются гранями такого двугранного угла, а их граница — его ребром. Измеряется двугранный угол величиной линейного угла, образованного двумя лучами, проведенными в каждой из полуплоскостей из точки на ребре двугранного угла перпендикулярно этому ребру. На рисунке 69 ZABC — линейный угол изображенного двугранного угла.

Геометрия 3D

В пространстве при пересечении двух плоскостей образуются двугранные углы. Две полуплоскости с общей границей являются гранями такого двугранного угла, а их граница — его ребром. Измеряется двугранный угол величиной линейного угла, образованного двумя лучами, проведенными в каждой из полуплоскостей из точки на ребре двугранного угла перпендикулярно этому ребру. На рисунке 69 — линейный угол изображенного двугранного угла.

Смежные углы. Вертикальные углы

Определение. Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие являются дополнительными лучами.

Если на рисунке 70 лучи OA и ОВ дополнительные, то углы АОС и ВОС — смежные.

Теорема (свойство смежных углов). Сумма смежных углов равна 180°.

Дано: — смежные.

Доказать:

Доказательство:

Из определения смежных углов следует, что лучи OA и ОВ являются дополнительными и поэтому образуют развернутый угол АОВ, равный 180°. Луч ОС проходит между сторонами этого угла, и по аксиоме измерения углов Поэтому . Теорема доказана.

Следствия.

1. Если смежные углы равны, то каждый из них прямой.
2. Если два угла равны, то равны и смежные с ними углы.

Замечание. Все теоремы курса геометрии 7—9 классов описывают свойства фигур на плоскости.

Определение. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами к сторонам другого.

При пересечении двух прямых АС и DB в точке О (рис. 71) получим, что лучи OA и ОС, О В и OD — дополнительные. Поэтому углы AOD и BОС — вертикальные. Углы АОВ и DOC также вертикальные.

Теорема (свойство вертикальных углов). Вертикальные углы равны.

Дано: — вертикальные (рис. 72).

Доказать:

Доказательство:

Углы 1 и 3 смежные, так как лучи OA и OD — дополнительные по определению вертикальных углов. По свойству смежных углов  Углы 2 и 3 также смежные,

Так как

Теорема доказана.

Углом между двумя пересекающимися прямыми называется меньший из образованных ими углов. Если при пересечении прямых АВ и CD (рис. 73) то  как вертикальные. Угол между прямыми АВ и CD равен 30°. Говорят, что прямые пересекаются под углом 30°.

При пересечении двух прямых образуются четыре угла (не считая развернутых). Если один из них 90°, то и остальные по 90° (докажите самостоятельно). Говорят, что прямые пересекаются под прямым углом.

Угол между параллельными прямыми считается равным 0°.

Пример №4

Смежные углы относятся как 2:3. а) Найти величину каждого из углов, б) Определить, сколько процентов развернутого угла составляет меньший угол.

Решение:

а) Пусть — данные смежные углы (рис. 74). Согласно условию (градусную меру одной части принимаем за ). По свойству смежных углов

то есть

б) Меньшим является а 72° от 180° составляют

Ответ: 72°, 108°; 40 %.

Пример №5

а) Найти угол между биссектрисами ОК и ОМ смежных углов ВОС и АОС (рис. 75), если б) Доказать, что биссектрисы смежных углов образуют прямой угол.

Решение:

а) Если

б) Так как ОМ и ОК — биссектрисы, то

Найдем градусную меру По свойству смежных углов  Тогда . Что и требовалось доказать.

Замечание. Можно было сослаться на ключевую задачу 3* к § 5.

Пример №6

Доказать, что биссектрисы вертикальных углов образуют развернутый угол.

Решение:

а) Пусть ОЕ и ОК — биссектрисы вертикальных углов АОС и BOD (рис. 76). Докажем, что — развернутый. Известно, что биссектриса делит угол пополам. Так как вертикальные углы равны, то равны и их половины. Поэтому

б) так как лучи OA и ОВ дополнительные, и поэтому — развернутый. Заменив в последнем равенстве на равный ему  получим Отсюда следует, что — развернутый.

Замечание. Из решения задачи следует свойство: если — развернутый и — вертикальные.