Как найти скорость перемычки

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Магнитное поле: перемычки на рельсах — 3

В этой статье мы рассмотрим перемещающиеся по рельсам перемычки в магнитном поле .  Если две предыдущие статьи с перемычками вы уже изучили, то можно использовать эту в качестве домашнего задания – для закрепления материала. Статья является шестой в серии «Магнитное поле». Конспект занятий Пенкина М.А.

Задача 1.

Две вертикальные проводящие рейки, расстояние между которыми    см, находятся в однородном магнитном поле, индукция которого   Тл направлена перпендикулярно плоскости рисунка. Сверху рейки соединены через батарею с ЭДС  В и внутренним сопротивлением   Ом, а снизу – через резистор с сопротивлением   Ом. В начальный момент проводящую перемычку AC массой   г удерживают неподвижной, а затем отпускают. Через некоторое время перемычка движется вниз с установившейся скоростью . Найти . Ответ выразить в м/с, округлив до целых. Сопротивлением реек и перемычки пренебречь. Принять   м/с.

Рассмотрим перемычку в момент, когда ее скорость уже установилась. Тогда по второму закону Ньютона

Откуда

С другой стороны, если перемычка движется в магнитном поле со скоростью , то на ее концах наводится ЭДС, определяемая формулой

Схема будет выглядеть так:

Так как по определению идеальный источник ЭДС – это двухполюсник, напряжение на зажимах которого не зависит от протекающего тока – а наша перемычка будет именно таким идеальным источником – то можно записать

Таким образом,

Ответ: 6 м/с.

Задача 2.

По двум горизонтальным проводящим рейкам, расстояние между которыми   м, может скользить без трения перемычка, масса которой   г, а омическое сопротивление   Ом. Слева и справа концы реек соединены через резисторы с сопротивлением   Ом. Система находится в однородном вертикальном магнитном поле с индукцией   Тл. Неподвижной перемычке сообщают начальную скорость   см/с вдоль реек. На какое расстояние сместится перемычка? Ответ выразить в м, округлив до десятых. Сопротивлением реек пренебречь. Перемычка расположена перпендикулярно рейкам.

В некоторый момент перемычка имеет скорость , а значит, эквивалентна батарейке с ЭДС

Тогда на движущийся проводник с током начнет действовать сила Ампера (она здесь будет тормозящей силой). Но эта сила будет меняться: меняется скорость, меняется , меняется ток.  А именно, сила будет убывать. Поэтому

Тогда

Электрическая схема:

Преобразуем параллельно включенные сопротивления:

Подставляем ток  в выражение для силы Ампера:

Домножим на :

Заменим произведение — на элементарное перемещение:

И просуммируем это выражение за весь тормозной путь :

Откуда тормозной путь

Ответ: .

Задача 3.

По длинным вертикальным проводящим штангам, находящимся на расстоянии   см друг от друга, может без трения скользить, не теряя электрического контакта и оставаясь перпендикулярной рельсам, проводящая перемычка массой . Штанги соединены через два резистора с сопротивлением   Ом и идеальную батарею с ЭДС   В. Сопротивлением остальных участков цепи можно пренебречь. Система находится в горизонтальном постоянном однородном магнитном поле с индукцией   Тл, перпендикуляром плоскости рисунка. Ускорение свободного падения принять равным   м/c.

Чему равна масса перемычки, если при разомкнутом ключе она оказывается неподвижной? Ответ выразить в г, округлив до целых.

После замыкания ключа через некоторое время устанавливается постоянная скорость перемычки. Чему равна эта скорость? Ответ выразить в м/с, округлив до целых.

Так как перемычка неподвижна, то она не представляет собой ЭДС, и ток через нее будет равен

Сила Ампера будет уравновешена силой тяжести:

Откуда

Масса перемычки 12 г.

Теперь замкнем ключ. Сопротивление оказывается шунтировано перемычкой (ключом) и исчезает из цепи. Следовательно, и ток уже другой. Теперь перемычка двигается, а в движущемся в магнитном поле проводнике индуцируется ЭДС, равная

Теперь наша перемычка подобна батарейке, изобразим схему:

Тогда

То есть скорость направлена вверх. При составлении уравнения по второму закону я предположила, что движение будет направлено вниз, и в соответствии с этим составила уравнение по второму закону. Так как получен «минус» — предположение неверно и направление скорости – противоположное.

Ответ: 12 м/с

Задача 4.

Тонкое проволочное кольцо радиусом   см расположено в однородном магнитном поле с индукцией   Тл. Силовые линии поля направлены перпендикулярно плоскости рисунка. По кольцу скользят в противоположных направлениях две перемычки с угловыми скоростями   рад/с и . Перемычки и кольцо сделаны из одного куска проволоки, сопротивление единицы длины которого составляет   Ом/м. Определить величину тока через перемычки, когда угол . Ответ выразить в мА, округлив до целых. Между перемычками в точке O, а также между кольцом и перемычками – хороший электрический контакт. Считать, что .

Так как точки перемычки все двигаются с разными скоростями, поскольку располагаются на разном расстоянии от центра вращения, то при расчете будем брать среднюю скорость.

Шаг 1. На концах проводника, движущегося в магнитном поле, индуцируется ЭДС, определяемая формулой:

Длины перемычек равны, их сопротивления – также:

Так как длина дуги между перемычками  — , то ее сопротивление

Эквивалентная схема будет выглядеть так:

Сопротивления и соединены параллельно,

Ответ: A.

Задача 5.

По длинным параллельным проводящим горизонтальным рельсам, находящимся на расстоянии  друг от друга, может без трения скользить, не теряя электрического контакта и оставаясь перпендикулярной рельсам, проводящая перемычка (на рисунке изображен вид сверху). Рельсы соединены через источник с ЭДС   и внутренним сопротивлением r. Сопротивлением остальных участков цепи можно пренебречь. Система находится в вертикальном однородном магнитном поле с индукцией , перпендикулярном плоскости рисунка. Если к перемычке приложить параллельно рельсам силу , то перемычка будет оставаться неподвижной, а при вдвое большей силе (в том же направлении) через некоторое время устанавливается равномерное движение перемычки со скоростью . Найдите , если   В,   Тл и   см. Ответ выразить в м/с, округлив до целых.

Сначала перемычку удерживают, так как в ней протекает ток и возникает сила Ампера, старающаяся сдвинуть перемычку влево. Поэтому силу надо прикладывать вправо.

Далее силу удваивают, и перемычка начинает двигаться, следовательно, она подобна батарейке с ЭДС

Тогда новая сила Ампера

Откуда

Ответ: 5 м/c.

По перемычке идет ток, равный I = U / R. Со стороны магнитного поля на перемычку действует сила Ампера F_A = IBl. Будем считать, что сила ампера больше силы трения. Результирующая сила F_A − F_mp = ma.

Перемычка начинает движение с ускорением. При этом на концах движущегося проводника возникнет ЭДС индукции, которая создает ток навстречу основному току — индукционный ток I_i = E / R. При ослаблении тока наступит момент, когда сила трения начнет уравновешивать магнитную силу, проводник будет двигаться с постоянной скоростью.

(U/R − vBl/R) Bl = F_mp,

откуда и выражаем искомую скорость.

2018-01-11   

По вертикальным короткозамкнутым рельсам скользит без трения контактирующая с ними перемычка, длина которой равна расстоянию между рельсами (рис.). Вся система находится в магнитном поле индукцией $B = 1 Тл$, перпендикулярном плоскости рельс. Плотность меди $rho^{ prime} = 8,9 cdot 10^{3} кг/м^{3}$, удельное сопротивление $rho = 1,7 cdot 10^{-8} Ом cdot м$, сопротивление рельс пренебрежимо мало. Найти установившуюся скорость $v$ падения перемычки.

Решение:

Под действием силы тяжести $m vec{g}$ перемычка будет разгоняться до тех пор, пока сила тяжести не будет скомпенсирована силой Ампера $F_{A} = IBl$ ($I$ — ток в перемычке, $l$ — ее длина), направленной вверх и возрастающей вместе с увеличением скорости перемычки. Сила тока:

$I = frac{E}{R} = frac{Blv}{R}$,

где $R$ — сопротивление перемычки, определяемое ее длиной $l$ и площадью сечения $S_{0}$:

$R = rho l/S_{0}$.

Выражая массу перемычки через ее плотность и размеры

$m = rho^{ prime}lS_{0}$

и записывая условие постоянства скорости в виде

$F_{A} = mg$,

получаем

$frac{B^{2}l^{2}v}{ rho l / S_{0}} = rho^{ prime} lS_{0} g$,

откуда

$v = rho rho^{ prime} g/B^{2} = 1,5 мм/с$.

Решение

При подключении заряженного конденсатора к рельсам начинается разряд этого конденсатора. В результате через перемычку начинает протекать ток . Поскольку перемычка находится в магнитном поле, на нее будет действовать направленная горизонтально и перпендикулярно перемычке сила Ампера. Если, как обычно, пренебречь действием воздуха на перемычку, то согласно условию задачи следует считать, что никаких других сил в горизонтальном направлении на перемычку не должно действовать. Следовательно, перемычка после подключения конденсатора должна начать двигаться вдоль рельсов с ускорением. При этом сила тока, текущего через перемычку, будет уменьшаться, во-первых, из-за того, что по мере разряда конденсатора уменьшается разность потенциалов между его обкладками, а во-вторых, по мере увеличения скорости движения перемычки на движущиеся в ней носители заряда будут действовать все бльшие и бльшие по величине силы Лоренца, тормозящие (в соответствии с правилом Ленца) их упорядоченное движение. Учитывая, что индуктивностью цепи разряда конденсатора по условию задачи следует пренебречь, а сопротивление этой цепи явно не равно нулю, можно утверждать, что по прошествии определенного времени перемычка будет двигаться с постоянной скоростью . При этом, т.к. перемычка движется в однородном вертикальном магнитном поле с индукцией , между рельсами за счет действия сил Лоренца должна существовать постоянная разность потенциалов . Следовательно, неизменным должен быть и заряд конденсатора .

Будем, как обычно, лабораторную систему отсчета, относительно которой рельсы неподвижны, считать инерциальной. Тогда с учетом ранее сказанного уравнение движения перемычки в проекции на направление ее движения можно будет представить в виде: . Здесь точкой над символом, как это и принято в физике, обозначены производные соответствующих величин по времени. Поскольку в момент подключения конденсатора () скорость перемычки была равна , а заряд конденсатора был равен , то из уравнения движения следует, что . Отсюда и из ранее полученных уравнений следует, что искомая скорость движения перемычки при выполнении сделанных предположений должна быть равна:

Ответ

.